高考数学第二轮专题复习教案向量的应用
高中数学教案《平面向量及其应用》
教学设计：《平面向量及其应用》一、教学目标1.知识与技能：使学生理解平面向量的基本概念，包括向量的定义、表示方法（有向线段、坐标表示）、向量的模、方向角等；掌握向量的加法、减法、数乘及数量积的运算法则和几何意义；能运用向量知识解决简单的几何与物理问题。
2.过程与方法：通过观察、实验、推理等数学活动，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力；引导学生运用数形结合的思想，理解向量运算的几何背景，提高解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神；通过团队合作解决问题，增强学生的沟通能力和团队协作能力。
二、教学重点和难点●重点：平面向量的基本概念、向量的基本运算（加法、减法、数乘、数量积）及其几何意义。
●难点：理解向量数量积的概念、性质及其在解决实际问题中的应用；向量运算的坐标表示法及其应用。
三、教学过程1.导入新课o情境创设：通过展示风力发电机叶片的运动、航海中的航向与速度变化等实例，引出向量的概念，说明向量在现实生活中的应用价值。
o问题引入：提问学生如何描述这些运动中的方向和大小，引导学生思考向量的必要性。
o概念引入：正式给出平面向量的定义，强调其作为“有方向的量”的特性。
2.新知讲授o基本概念讲解：详细解释向量的表示方法（有向线段、坐标表示）、模长、方向角等概念，并通过图示加深理解。
o向量运算教学：●加法与减法：通过“平行四边形法则”和“三角形法则”演示向量的加法与减法，强调其几何意义。
●数乘：讲解数乘的定义，通过伸缩变换的直观演示，理解数乘对向量方向和大小的影响。
●数量积：引入数量积的概念，通过投影长度的计算，讲解其计算公式和性质，强调其在度量角度、判断方向等方面的应用。
3.例题解析o选取典型例题，覆盖向量运算的所有类型，逐步引导学生分析、解题，重点讲解解题思路和方法。
o强调解题过程中向量运算的几何背景，促进学生数形结合思维的发展。
4.学生活动o小组讨论：分组讨论向量在日常生活或专业领域的应用实例，每组选代表分享，增强课堂互动性。
备战2024高考数学二轮复习讲义第二讲-转化思想在平面向量中的应用
第2讲转化思想在平面向量中的应用转化思想是高中生必备的灵活性思维方式，也是解决数学问题的有效途径之一，其要点在于将陌生的问题情形转化为熟悉的情形，将复杂、抽象的数学问题简单化、直观化，或从不同角度切入以分析问题，逐步探索出解决问题的有效方法。
平面向量作为高中数学教学的重要内容之一，平面向量做为载体内容与三角函数、解三角形、平面解析几何等都有重要联系，而平面向量中也常常遇到转化思想的相关应用，例如用基底表示平面向量、等和线转化解决系数和问题、极化恒等式转化求解数量积问题等在平面向量中都有广泛的重要应用，而本文会重点就转化思想在平面向量中的几类应用展开详细讲解。
【应用一】转化思想在用基底表示平面向量中的应用我们在学习平面向量基本定理时，会学习到基底的概念，我们不妨先来复习一下平面向量基本定理，如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（1）基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一．我们在高考复习及高考题中也常常遇见给定基底来表示某一向量的题型，解题的关键在于把待表示的向量转化到某个三角形或平行四边形中用向量的加法或减法先表示出来，再用转化思想与平行关系用基底来表示即可。
例如下面这道例题：本题没有图象，我们不妨先作图在研究，如图所示：要表示EB ,则需在在三角形ABD ∆中找到一组基础关系，由于E 为AD 的中点，所以1122BE BA BD =+，再结合ABC ∆的关系可得到()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ ，即3144EB AB AC =-，从而达到用基底AB AC 、来表示EB【思维提升】通过本题我们不难发现，对于已知基底来表示向量的问题，我们通常先找到一组基础的关系，再通过转化思想转化为用基底来表示，通过学习本题达到学习一道题会一类题的效果。
高中数学教案设计——向量的应用
高中数学教案设计——向量的应用一、教学目标1.了解向量的概念，掌握向量的加减法、数量积、向量积等基本性质和计算方法。
2.掌握向量的几何应用，如点、直线、平面的位置关系、三角形重心、垂心、外心、内心等特殊点。
3.学会通过向量的知识解决实际问题，如平面几何、力、速度、位移等。
二、教学难点1.高中向量的综合应用能力培养。
2.向量的数量积、向量积的几何意义及应用。
3.向量的投影、角度及夹角。
三、教学重点1.向量加减法的基本概念、几何意义及运算规律。
2.向量的数量积、向量积的计算方法和几何意义。
3.向量的投影、夹角的计算方法及几何意义。
四、教学方法1.课堂讲授与对话演练相结合。
2.运用多媒体教学辅助工具进行教学。
3.拓展学生思维，激发学生兴趣。
五、教学内容及课时安排第一课时：向量的概念和基本性质1.向量的定义、运算法则及几何意义。
2.零向量、负向量的概念及性质。
3.向量的平移、相等概念及性质。
4.向量组的线性运算概念及性质。
第二课时：向量的数量积及几何应用1.向量的数量积的定义、性质及计算方法。
2.向量的数量积的几何意义和应用，如向量的夹角、向量的垂直、平行关系的判定。
3.向量的应用，如平面几何、力等。
第三课时：向量的投影及几何应用1.向量的投影的定义、计算方法及意义。
2.向量的几何应用，如平面几何角度、速度等。
第四课时：向量积及其几何应用1.向量积的定义、性质及计算方法。
2.向量积的几何意义及应用，如判断三角形面积，判断向量垂直、平行、夹角等关系。
第五课时：向量线性方程组及其几何应用1.向量线性方程组的概念及解的方法。
2.向量线性方程组的几何意义及应用。
3.向量几何问题的求解，如三角形内心、外心、垂心、重心等。
六、教学方式措施1.知识点的讲述及演示。
2.练习题的讲解及演示。
3.复习提醒、巩固测试。
七、教学评价1.学生从零基础开始逐步学习，由浅入深，能够渐进式的理解向量的相关知识。
2.利用多元化的教学方式，激发学生的学习热情，强化学习能力，让学生掌握向量知识的实际应用。
高三数学二轮复习 专题5向量及其应教案 苏教版
.专题5 向量及其应用【高考趋势】向量是新教材中出现的内容，很受命题者的青睐，最初几年的试题以填空为主，主要考查一些基本概念，近几年将向量与三角、向量与解析几何结合的试题较多，向量与三角的结合主要考察三角的二倍角公式与向量数量积的应用，大多数试题将二倍角公式及辅助公式Asinx+Bcosx=)sin(22ϕ++x B A 有机地融为一体，向量与解析几何结合的试题大多数涉及用向量的数量积处理垂直关系，以及用向量的数量积考虑有关定值问题等。
【考点展示】1、|OA |=1，||OB =3，OA ·OB =0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC=300，设OB n OA m OC +=〔m,n ∈R 〕，那么nm 等于 。
2、设a ,b 是非零向量，假设函数f(x)=(x a +b )·(a -x b )的图象是一条直线，那么a ·b =3、假设非零向量a 、b 满足|a +b |=|b |,那么以下结论中正确的一个是 ①|a |>|b |; ②|a |<|b |;③|2b |>|a +2b |;④|2b |<|a +2b |4、平面上三点A ，B ，C 满足|AB |=3, |4|=BC ,|CA |=5, 那么AB CA CA BC BC AB ⋅+⋅+⋅的值等于5、△ABC 中的外接圆圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，OH =m(OC OB OA ++)，那么实数m=【样题剖析】例 1 〔1〕O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||(AC ACAB ABOA OP ++=λ，λ∈[0，+∞〕，那么P 的轨迹一定通过△ABC 的 。
〔外心/内心/重心/垂心〕。
〔2〕P 是△ABC 所在平面内的一点，假设PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，那么P 是△ABC 的.〔外心/内心/重心/垂心〕。
〔3〕点O是△ABC所在平面内的一点，满足AB2+OC2=AC2+OB2=BC2+OA2，那么点O是△ABC的〔外心/内心/重心/垂心〕。
高中数学向量的应用教案
高中数学向量的应用教案
目标：1. 理解向量的定义和加法运算
2. 学会平面上向量的坐标表示和计算
3. 掌握向量的数量积和叉积运算
4. 能够应用向量解决实际问题
教学过程：
一、导入：
1. 学生回顾向量的定义和加法运算。
2. 引导学生思考向量在生活中的应用。
二、学习向量的坐标表示和计算：
1. 讲解向量在平面坐标系中的表示方法。
2. 演示向量的坐标计算方法。
3. 练习向量坐标计算的例题。
三、学习向量的数量积运算：
1. 讲解向量的数量积定义和性质。
2. 演示向量数量积的计算方法。
3. 练习向量数量积的例题。
四、学习向量的叉积运算：
1. 讲解向量的叉积定义和性质。
2. 演示向量叉积的计算方法。
3. 练习向量叉积的例题。
五、实际问题应用：
1. 给学生提供一些生活中的问题，让他们应用所学知识解决。
2. 学生分组讨论并展示解决方案。
六、总结复习：
1. 总结学习到的知识点和应用方法。
2. 学生进行自测和答疑。
七、作业布置：
1. 完成课堂练习题。
2. 选择一道真实生活中的问题，用向量方法解决并写出解析。
评价方式：通过作业和课堂练习的表现来评价学生对向量应用的掌握程度，并根据学生的情况进行及时调整和指导。
2019届高三理科数学第二轮专题复习配套文档专题四 第3讲立体几何中的向量方法
第3讲立体几何中的向量方法[真题再现]1．（2018·课标Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD，BC的中点,以DF为折痕把△DFC使点C到达点P的位置，且PF⊥BF。
(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．[解］(1）证明：由已知可得BF⊥PF,BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD。
（2)解：如图，作PH⊥EF，垂足为H.由（1)得，PH⊥平面ABFD。
以H为坐标原点，错误!的方向为y轴正方向,|错误!｜为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H.xyz.由（1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1,所以PE＝错误!.又PF＝1，EF＝2，所以PE⊥PF.所以PH＝错误!，EH＝错误!.则H（0，0,0），P错误!，D错误!，错误!＝错误!,错误!＝错误!.又错误!为平面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成角为θ，则sin θ＝错误!＝错误!＝错误!。
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为错误!.2．（2018·课标Ⅱ）如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝22，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明:PO⊥平面ABC；(2）若点M在棱BC上，且二面角M。
P A-C为30°，求PC与平面P AM所成角的正弦值[解］(1）证明：因为P A＝PC＝AC＝4,O为AC的中点,所以OP⊥AC，且OP＝2错误!.如图，连接OB.因为AB＝BC＝错误!AC,所以△ABC为等腰直角三角形，且OB ⊥AC,OB＝错误!AC＝2。
由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC,OB∩AC＝O，得PO⊥平面ABC.（2）解:如图，以O为坐标原点，错误!的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O。
xyz。
由已知得O（0，0,0）,B（2，0，0)，A（0,－2，0）,C(0,2,0)，P(0,0，2错误!），错误!＝（0,2,2错误!)．取平面P AC的一个法向量错误!＝(2，0，0）．设M (a ，2－a,0）（0≤a ≤2)，则错误!＝(a ，4－a,0)．设平面P AM 的法向量为n ＝(x ,y ,z ）．由AP ，→·n ＝0，错误!·n ＝0得错误!可取y ＝错误!a ,得平面P AM 的一个法向量为n ＝(错误!（a －4），错误!a ，－a ）,所以cos 错误!，n ＝错误!。
北师大版高中必修47.2向量的应用举例教学设计
北师大版高中必修47.2向量的应用举例教学设计一、教学目标1.学生能够运用向量的加减法、数量积和向量积来解决问题。
2.学生能够理解应用向量的基本概念，并能在实际生活中应用。
二、教学重点难点教学重点1.向量的加减法、数量积和向量积的应用。
2.在实际生活中运用向量解决问题。
教学难点1.理解应用向量的基本概念。
2.运用向量解决实际问题。
三、教学准备1.教师：教案、PPT课件、板书、白板笔。
2.学生：笔记本电脑或笔记本纸、铅笔、尺子等书写工具。
四、教学过程1. 预习任务请学生提前阅读教材上的相关内容，并在作业本中做好预习笔记。
2. 引入1.向学生展示一张利用向量图求解汽车行驶路线的例子。
2.提问：这张图中体现了哪些向量的概念和应用方法？3.引导学生思考。
3. 讲解1.通过讲解向量的基本概念和应用方法，让学生掌握向量的加减法、数量积和向量积的应用方法。
2.分析揭晓引入例子的基本概念和解决方法，帮助学生更好的理解。
4. 练习1.通过示例让学生掌握向量的应用方法。
2.练习不同类型的应用题。
5. 总结1.回顾课堂内容并强调重点。
2.教师总结与学生思考问题，强化学生的学习内容和重点概念。
五、教学评价1.集体讨论问题并解决重点难点问题。
2.检查学生的学习笔记和课堂练习，帮助他们巩固掌握向量的应用。
六、课后作业1.作业本中完成相关课堂作业，包括掌握向量的加减法、数量积和向量积的应用。
2.学生自己去寻找生活中具有向量应用的例子，并进行分析解决问题。
七、教学延伸1.可以通过更多、复杂的应用例子来深化学生对向量概念的理解。
2.可以引导学生进一步思考向量的其他应用方法。
2022年高考数学二轮复习第二篇考点突破专题三 第2课时 立体几何中的向量方法
所以 sin θ＝|cos 〈n，C→D 〉|＝|nn|··C|→C→DD| ＝
8 15
＝2
30 15
，
所以直线
CD
与平面
PBD
所成角的正弦值为2
30 15
.
利用向量法求线面角的方法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的 夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的角(夹角为 钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角．
【思维点拨】
(1)
证明 OA⊥平面 BCD
第一步建系，写出各点坐标；
第二步求平面 EBC 的法向量与平面 BCD 的法向量；
(2) 第三步结合二面角大小求出 OA 的长及△ABD 的面积；
第四步利用体积公式求解体积．
【规范解答】 (1)因为 AB＝AD，O 为 BD 中点，所以 AO⊥BD，.……2 分 因为 AO⊂平面 ABD， 平面 ABD⊥平面 BCD 且平面 ABD∩平面 BCD＝BD， 所以 AO⊥平面 BCD， 又 CD⊂平面 BCD，所以 AO⊥CD. .……4 分
<m，n>＝
1 3
＝32
.二面角 B-QD-A
1×2
的平面角为锐角，故其余弦值为32 .
〉＝m·
－2 4＋m42
＝
2 2
，
解得 m＝1，.……9 分
所以 OA＝1，
所以 S△ABD＝12 ×BD×OA＝12 ×2×1＝1，
VA-BCD＝13
·S△ABD·|xc|＝
3 6
.……12 分
易错点 障碍点 学科素养
评分 细则
漏掉条件 因为平面 ABD∩平面 BCD＝BD，平面 ABD ⊥平面 BCD，AO⊂平面 ABD
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第19课时 向量的应用
一、基础练习
1、直线l ：Ax+By+C=0与圆x 2+y 2=4相交于M ，N 两点，若满足C 2=A 2+B 2，则ON OM ⋅=________
2、△ABC 中，C AC B AB ⋅+cos ||cos ||=_________
3、△ABC 中，点O 为BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同两点M 、N ，若n m ⋅==,，则m+n=______
4、已知|a |=2，|b |=1，a 与b 的夹角为45°，2a +λb 与λa +3 b 的夹角为锐角，则λ的范围为___________
5、在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则不等式
（1）⋅=⋅（2）AB AC AC ⋅=2
（3）BA BD BC ⋅=2
（4）CD AC AB ⋅=2 （5）))((22⋅⋅=⨯
正确的序号为________________
6、已知三个平面向量a ，b ，c ，其中a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且c ·a =1，c ·b =1，
|c |=，则对任意的正实数t ，|c +t a +1t
b |的最小值是_________
二、例题讲解： 例1：已知椭圆方程为22
1369
x y +=，点E （3，0），设点P 、Q 是椭圆C 上的两个动点，满足0EP EQ ⋅= ，求EP QP ⋅ 的取值范围。
例2：在Rt △ABC 中，已知斜边BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问与的夹角θ为何值时，⋅的值最大？并求出这个最大值。
例3：设平面向量a =)21,23(-，b =)2
3,21(，若存在不同时为0的两个实数s ，t ，及实数k>0，使x =a +(t 2-k)b ，y =-s a +t b ，且x ⊥y ，
（1）求函数关系式s=f(t)；
（2）若函数s=f(t)，在[1，+∞）上是单调函数；①求证：0<k ≤3；②设x 0≥1，f(x 0)≥1，且满足f[f(x 0)]=x 0，求证f(x 0)=x 0。
三、巩固练习：
1、△ABC ，AM ：AB=1：3，AN ：AC=1：4，BN 与CM 交于点E ，==,，则AE =_________（用含a ，b 的式子表示）
2、设x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别为i 、j ，坐标平面上点An ，Bn(n ∈N*)分别满足下列条件：（1）A A OA n n +==+11,且，（2）B B OB n n n 3)3
2(311⨯==+且。
（1）求n n OA OB
与的坐标；
（2）若四边形AnBnBn+1An+1的面积为a n ，求a n 的表达式； （3）对于（2）中的a n ，是否存在最小的自然数M ，对一切n ∈N*都有a n <M 成立，若
存在，求出M的值，若不存在，说明理由。