数列
数列知识点归纳总结
数列知识点归纳总结一、基本概念1. 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一组数，通常用a1, a2, a3, …,an来表示，其中ai表示数列中的第i个数。
数列中的数称为项，n称为项数。
2. 数列的类型数列可以根据项的规律和性质进行分类，主要包括等差数列、等比数列、递推数列等。
3. 数列的通项公式数列的通项公式是描述数列中任意一项与其序号之间的关系的公式，通常用an或者Un 表示第n个项，用n表示项数。
数列的通项公式可以根据数列的类型和性质进行求解。
二、等差数列1. 定义如果一个数列满足任意相邻两项之差都相等的条件，那么这个数列就是等差数列，差值为d。
2. 性质（1）通项公式：对于等差数列an，其通项公式为an=a1+(n-1)d。
（2）前n项和：等差数列的前n项和Sn= (a1+an) * n /2。
（3）求和公式推导：对于等差数列Sn= (a1+an) * n /2，可用数学归纳法进行证明。
3. 等差数列的应用等差数列在数学和现实生活中有着重要的应用，如计算机算法中的序列求和、物理学中等速直线运动、金融学中的等额本息贷款等。
三、等比数列1. 定义等比数列是指数列中的任意相邻两项的比值都相等的数列，比值为q。
2. 性质（1）通项公式：对于等比数列an，其通项公式为an=a1*q^(n-1)。
（2）前n项和：等比数列的前n项和Sn= (a1*(q^n - 1)) / (q-1)。
3. 等比数列的应用等比数列在数学和现实生活中也有着重要的应用，如复利计算、生物学中种群增长问题、物理学中的指数衰减等。
四、递推数列1. 定义递推数列是指数列中的每一项都可以由前面的一项或几项通过某种规律得到的数列。
2. 性质递推数列的通常是通过递推关系式进行求解，递推数列的解可以是显式公式和递推公式。
3. 递推数列的应用递推数列是数学中的重要概念，它在代数、离散数学、概率论等领域都有着广泛的应用。
五、常见数列形式1. 斐波那契数列斐波那契数列是指数列中第n项等于其前两项之和的数列，通常用F(n)表示，前几项为0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …2. 调和数列调和数列是指数列中的每一项是调和级数的一部分的数列，通常用H(n)表示，前几项为1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …2. 等差-等比混合数列等差-等比混合数列是指数列中的相邻两项之间既满足等差数列的条件，又满足等比数列的条件的数列。
数列ppt课件
等差数列的求和公式
总结词
等差数列的求和公式是用来计算数列 中所有项的和的数学公式。
详细描述
等差数列的求和公式是 S_n = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d)，其中 S_n 表示前 n 项的和，a_1 表示首项，d 表示公差， n 表示项数。这个公式可以帮助我们快 速计算出等差数列中所有项的和。
03 等比数列
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其中任意项与它的前一项的比值都相等。
详细描述
等比数列是一种有序的数字排列，其中任意一项与它的前一项的比值都等于同一个常数。这个常数被称为公比， 通常用字母q表示。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示数列中每一项的数学表达式。
04 数列的极限与收敛
数列的极限定义
极限的定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$ 趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个
常数$a$，则称$a$为数列${ a_{n}}$的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性 等性质。
极限的运算性质
极限具有可加性、可乘性、可分离 性等运算性质。
收敛数列的性质
在经济学中的应用
在经济学中，很多问题也可以转化为求和问题，例如计算总收益、总成本等。而求和问题 同样可以转化为数列的极限问题。因此，数列的极限和收敛的概念在经济学中也有着广泛 的应用。
05 数列的级数
级数的定义与分类
要点一
定义
级数是无穷数列的和，可分为数项级数和函数项级数。
要点二
分类
根据项的正负和收敛性，级数可分为正项级数、负项级数 、交错级数等。
正项级数的审敛法
数列知识点归纳
数列知识点归纳数列是数学中非常重要的概念，它是由一系列按一定规律排列的数所构成的。
在数学和其他科学中，数列常常被用来描述和分析各种变化的现象和问题。
本文将对数列的基本概念、性质以及常见的数列类型进行归纳总结。
一、基本概念1. 数列的定义：数列是由一系列具有固定顺序的数所构成的集合。
通常用字母表示数列，如a1,a2,a3,…,an，其中a1表示数列的第一项，an表示数列的第n项。
2. 数列的项数和项的通项公式：项数指数列中的项的个数，通项公式是指能够根据项的位置n来确定该位置上的数的公式。
3. 数列的和与差：数列的和是指将数列中的所有项相加所得到的结果，数列的差是指相邻两项之间的差值。
4. 数列的递增和递减：如果数列中的每一项都比它前面的项大，则称这个数列为递增数列；如果数列中的每一项都比它前面的项小，则称这个数列为递减数列。
二、性质与定理1. 数列的有界性：一个数列可能是有界的，也可能是无界的。
如果一个数列的所有项都在某一范围内，则称它是有界数列；如果一个数列存在项无限大或无穷小的情况，则称它是无界数列。
2. 数列的极限：数列的极限是指当数列的项数趋于无穷大时，数列中的数趋于的值。
数列的极限可以是有限的，也可以是无穷大或无穷小。
3. 数列的收敛与发散：如果一个数列存在极限，并且极限是有限的，则称这个数列是收敛数列；如果一个数列不存在极限，或者极限是无限大或无穷小，则称这个数列是发散数列。
4. 数列的递推公式和通项公式：递推公式是指通过前一项或前几项计算出后一项的公式；通项公式是指能够根据项的位置n来确定该位置上的数的公式。
三、常见数列类型1. 等差数列：等差数列是指数列中任意两项之间的差值都相等的数列。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1是首项，d 是公差。
2. 等比数列：等比数列是指数列中任意两项之间的比值都相等的数列。
等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1是首项，r 是公比。
数列的概念
数列的概念1.数列：按一定的次序排列的一列数叫数列。
2．项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
其中第1项也叫做首项 3.项数：数列的各项所在的位置序号叫做项数。
4．数列的表示：（1）一般形式：1a ，2a ，3a ，…n a ，…其中n a 是数列的第n 项。
（2）简单表示：{}n a5、数列分类：递增数列，递减数列，摆动数列， 6．通项公式：若数列{}n a 的第n 项n a 与它的项数n 之间的关系可以用一个公式表示，则这个公式叫做数列的通项公式。
简记为)(n f a n =。
等差数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示设数列}{n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列 d n a a n )1(1-+= *N n ∈ 广义通项公式: d m n a a m n )(-+=*1,n n a a d n N +=+∈(1)*,,,N q p n m ∈若q p n m +=+则:q p n m a a a a +=+ (2)}{n ka k 为常数,也是等差数列. (3)下标成等差数列的项也成等差数列. (4)}{n a ,}{n b 是等差数列,则}{n nqb pa +也是等差数列.在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项。
由定义,实数b a ,的等差中项2ba A +=等 比 数 列一、基础知识 1．定义与定义式从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.)(1为不等于零的常数q q a a nn =+ 2．通项公式11-=n n q a a ,推广形式:m n m n q a a -=,变式),,(*-∈>=N n m m n a a q mn mn3．前n 项和⎪⎩⎪⎨⎧≠≠--=--==)10(11)1()1(111q q q q a a qq a q na S n nn 且注:应用前n 项和公式时,一定要区分11≠=q q 与的两种不同情况,必要的时候要分类讨论. 4．等比中项:若a 、b 、c 成等比数列,则b 是a 、c 的等比中项,且ac b ±=5．在等比数列{}n a 中有如下性质: (1)若q p n m a a a a N q p n m q p n m ⋅=⋅∈+=+*则,,,, (2)下标成等差数列的项构成等比数列(3)连续若干项的和也构成等比数列. 6．证明数列为等比数列的方法: (1)定义法:若{}为等比数列数列n nn a N n q a a ⇔∈=*+)(1(2)等比中项法:若{}为等比数列数列且n n n n n n n a a a a N n a a a ⇔≠∈⋅=++*++)0(21221 (3)通项法:若{}为等比数列数列的常数均是不为n n n a N ，n q c cq a ⇔∈=*)0,( (4)前n 项和法:若{}为等比数列数列且为常数n n n a q q ，q A A Aq S ⇔≠≠-=)1,0,( 7．解决等比数列有关问题的常见思维方法 (1)方程的思想(“知三求二”问题)(2)分类的思想①运用等比数列的求和公式时,需要对11≠=q q 和讨论 ②当{}为递增数列等比数列时或n a q a q a ,10,01,011<<<>>()1(111-=--+q qa a a n n n ){}为递减数列等比数列时或n a q a q a ,10,01,011<<>><1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。
数列的概念和性质
数列的概念和性质数列（Sequence）是数学中一个重要的概念，指按照特定顺序排列的一组数的集合。
数列可分为有穷数列和无穷数列两种。
具体而言，数列的概念和性质如下所述：一、数列的概念数列是按照特定规律排列的一组数的有序集合。
数列常用字母表示，如a₁,a₂,a₃,…,aₙ，其中的a₁、a₂、a₃等分别表示数列的第1、2、3个元素，而aₙ表示数列的第n个元素。
数列中的每个元素都有其独立的位置和值。
根据数列的特点，数列可以分为等差数列、等比数列和等差数列的一般形式。
二、等差数列的性质等差数列（Arithmetic Progression）指数列中的每一项与前一项的差等于同一个常数d，该常数称为该等差数列的公差（Common Difference）。
等差数列的性质如下：1. 通项公式：等差数列的第n项的通项公式可表示为an = a₁ + (n-1)d，其中a₁为首项，d为公差。
2. 前n项和公式：等差数列的前n项和公式可表示为Sn = n/2(a₁ + an) = n/2(2a₁ + (n-1)d)，其中a₁为首项，an为末项，n为项数。
3. 等差中项：等差数列中两个相邻的项的平均值称为等差数列的中项，若n为奇数时，中项可表示为an/2 +1 = a₁ + (n/2-1)d；若n为偶数时，中项可表示为aₙ/2 = a₁ + (n/2-0.5)d。
三、等比数列的性质等比数列（Geometric Progression）指数列中的每一项与前一项的比等于同一个非零常数q，该常数称为该等比数列的公比（Common Ratio）。
等比数列的性质如下：1. 通项公式：等比数列的第n项的通项公式可表示为an = a₁ *q^(n-1)，其中a₁为首项，q为公比。
2. 前n项和公式：等比数列的前n项和公式可表示为Sn = a₁(q^n -1) / (q - 1)，其中a₁为首项，q为公比。
四、等差数列和等比数列的一般形式在实际问题中，数列的规律未必只符合等差或等比的特性。
数学数列知识点整理
数学数列知识点整理数学数列是数学中的重要概念，是指按照特定规律排列的一系列数。
数列具有重要的应用价值，例如在数学、物理、计算机科学等领域中都有广泛的应用。
本文将从数列的定义、分类、性质、求和公式和应用等方面进行整理和介绍。
一、数列的定义和分类数列是按照一定规律排列的一系列数，可以用{a1, a2, a3, …, an}表示，其中a1、a2、a3等分别表示数列的第1项、第2项、第3项等。
数列可以分为等差数列、等比数列、递推数列等几种类型。
1.等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差相等的数列，常用an=a1+(n-1)d表示，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
2.等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列，常用an=a1*r^(n-1)表示，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
3.递推数列递推数列是指数列中每一项都是前一项的某个函数，常用an=f(an-1)表示。
二、数列的性质数列具有一些基本性质，如有限项数列的和等于各项之和，等差数列和等比数列的前n项和公式等。
1.有限项数列的和有限项数列的和是指将数列中所有项相加的结果，用Sn表示。
例如，数列{1,2,3,4,5}的和为1+2+3+4+5=15，用S5表示。
有限项数列的和公式为Sn=(a1+an)*n/2，其中a1为首项，an为末项，n 为项数。
2.等差数列的和等差数列的和是指将等差数列中前n项相加的结果，用Sn表示。
等差数列的和公式为Sn=n*(a1+an)/2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。
3.等比数列的和等比数列的和是指将等比数列中前n项相加的结果，用Sn表示。
等比数列的和公式为Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
三、数列的求和公式求和公式是指可以用一种通用的方法来计算数列的和。
除了上述等差数列和等比数列的前n项和公式外，还有一些其他的求和公式。
1.调和级数调和级数是指数列1/1、1/2、1/3、1/4、1/5……的和，用Hn表示。
(完整版)数列的概念
【解析】(1)各数都是偶数，且最小为 4，所以通项公式 an＝2(n＋1)(n∈N＋)． (2)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数，且奇数项为负，
偶数项为正，所以它的一个通项公式
an＝(－1)n× n
1 n ＋1
.
(3)这是一个摆动数列，奇数项是 a，偶数项是 b，所以此数列的一个通项公式
（1）3,5,7,9，…
（2）1,2,4,8，…
（3）9,99,999,9 999，…
解:（1）观察知，这个数列的前4项都是序号的
2倍加1，所以它的一个通项公式为
an 2n 1；
（2）这个数列的前4项可以写成20,21,22,23，
所以它的一个通项公式为
an 2n1;
（3）这个数列的前4项可以写成10-1,100-1,1 0001,
【即时训练】
1.下面数列是有穷数列的是 ( B )
A.1,0,1,0, C.2,22,222,
B.1, 1 , 1 , 1 234
D.0,0,0,0,
2.以下四个数中，是数列 {n(n 1)}中的一项的是 ( A )
A.380 B.39 C.32 D.23
探究点2 数列的通项概念
在数列⑤中，每一项的序号n与这一项 an有下
与该项都有对应关系，见下表.
序号
1
2
3
4
…
n
…
项 a1 a2 a3 a4 … an …
因此数列也可以看作定义域为正整数集N+(或它的 有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时， 该函数对应的一列函数值就是这个数列.
如果数列 an的第n项 an与n之间的函数关系可
以用_一__个__式__子__表示成an f (n) ，那么这个式子就 叫作这个数列的_通__项__公__式__，数列的通项公式就是
数列(共84张PPT)
观察
在自然数集N中，能被2整除的数称为偶数.按照从小到大的次序写出偶数：
0，2，4，6，8，10，12，16， ⋯ .
偶数数列的第1项是0，从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等于2.
3.2
等差数列及其通项公式
抽象
定义
如果一个数列从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等
由已知，4 = 7，9 = 22，根据通项公式得
1 + 4 − 1 = 7，
ቊ
1 + 9 − 1 = 22.
整理，得
1 + 3 = 7，
ቊ
1 + 8 = 22.
解得
1 = −2， = 3.
因此
20 = −2 + 20 − 1 × 3 = 55.
即第20项是55.
1.2
如果一个数列的第项能用它前面若干项的表达式来表示，那么把
这个表达式称为这个数列的递推公式.
公式（2）是斐波那契数列的递推公式，1 ，2 称为初始项．
3.1
例 1
数列的概念
己知下述数列的通项公式，分别求出它们的前4项：
（1） = 3 + 1；
（2） =
1
；
（3） =
1
；
2
（4） = −1
= 1 + ，
⋯，
−2 + 3 = 1 + − 2 − 1 + 1 + − 2 − 1 −
= 1 + ，
−1 + 2 = 1 + − 1 − 1 + + − 1 − 1 −
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1、棋盘中各个格子里的麦粒数按放置的先后排成 一列数： 2、高一（4）班学生的学号由小到大排成一列数：
1 ，2 ，3 ，4 ， … ， 64 .
3、从1984年到2008年，我国体育健儿共参加了七 次奥运会，获得的金牌数排成一列数：
15 ，5 ，16 ，16 ，28 , 32 , 51.
4、某种放射性物质不断变为其他物质，每经过1年， 剩留的这种物质是原来的84%.设这种物质最初的质量 是1，则这种物质各年开始时的剩留量排成一列数：
1
0
1
2
3
4
5
7
8
n
an 8 7 6 5 4 3 2
an n
yx
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
n
例 根据下面数列{an}的通项公式，写出它 的前5项：
解：在通项公式中取n=1，2，3，4，5，得到数列 的前5项：
lz
例 ：写出下面数列的一个通项公式，使它 的前4项分别是下列各数：
⑴1，3，5，7
hs
gntx
ytx
序号
项
1
2
3
4
…
64
数列：是定义域为正整数集N*(或它的有
限子集）的函数当自变量从小到大依次取值时
对应的一列函数值。
lz
an 8 7 6 5 4 3 2
an 2
y2
x 1
n 1
表示数列的各点坐标为： （1,1） （2,2） （3,22）
必是一群孤立的点！
（64,263）
（3）-1，1，-1，1；
（1）1，3，5，7；
分析： 序号: 1
2
3
4 1
2 2 1
3 5
6 1
2 3 1
4
项: 1
2 1
21 1
7
8 1
2 4 1
解：
an 2n 1
分析：
序号
项
1
22 1 2
2
32 1 3
2
3
42 1 4
4
52 1 5
解：
an
n 1
1
n 1
nn 2 n 1
（3）-1，1，-1，1；
分析：
序号 项
1
1
2
1
3
1
4
1
n
- 1 ，n为奇数 解： a n 1 ，n为偶数
或an 1
n1
另： 1，-1，1，-1；
解：
an 1
解：
1 an nn 1
作业
P122.习题3.1
第1题、第2题
1， 0.84 ， 0.842，0.843，…
对于数列，你感兴趣的是什么？ 请把你的想法跟小组同学交流一下。
① ② ③ ④
1 ，2 ，3 ，4 ， … ， 64 . 15 ，5 ，16 ，16 ，28 , 32 , 51. 1，0.84 ，0.842， 0.843， …
可以简记作：{an}
数列的一般形式：
n
lz
兔子繁殖问题
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能 力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所 有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
第1个月 第2个月 第3个月 第4个月 第5个月 第6个月 第12个月 1 1 2 3 5 8 ？
1，1，2，3，5，8，…
这就是以意大利著名数学家裴波那 契命名的“裴波那契数列” ．
3.1 数 列
阮桂莲
棋盘问题：
国际象棋起源于古代印度，关于国际象棋有这样一个 传说。国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求。 发明者说： “请在棋盘的第一格上放1粒麦粒，第二格上放 2粒， 第三格上放4粒， 第四格上放8粒，依次 类推，每个格子里放的 数都是前一个格子里放 的麦粒数的2倍，直到 第 64 个格子。请给我 这些麦粒。”