江苏省徐州市2013-2014学年高一上学期期末考试数学试题及答案

徐州市2013—2014 学年度第一学期期末考试高一数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题纸相应位．．．．．．．．．．．．．置上．．. 1.设},3,2,1{=M },4,3,2{=N 求=N M ▲ . 2.函数)62sin(π+=x y 最小正周期为 ▲ .3.︒150sin 的值为 ▲ .4.设},2{},1{,<=<==x x B x x A R U 则=B A C U )( ▲ .5. 圆心角为3π弧度，半径为6的扇形的面积为 ▲ .6. 函数42-=x y 的定义域为 ▲ .7.已知向量),3,2(),4,2(-=-=k k 若,⊥= ▲ .8.已知函数⎩⎨⎧≤>-=,0,1,0,43)(2x x x x f ，则=))0((f f ▲ .9.已知,31)125sin(=-︒α则）α+︒55sin(的值为 ▲ . 10.已知)32(log )(22--=x x x f 的单调增区间为 ▲ .11.若函数xk k x f 212)(⋅+-=在其定义域上为奇函数，则实数=k ▲ .12.若存在),2[+∞∈x ，使不等式121≥⋅+xx ax成立，则实数a 的最小值为 ▲ .13.如图，在ABC ∆中，,12,==⊥AB AD 则⋅的BADC第13题图值为 ▲ .14.给出下列四个命题： ①函数)32sin(π-=x y 的图象可以由x y 2sin =的图象向右平移6π个单位长度得到；②函数x y 23⋅=的图象可以由函数x y 2=的图象向左或向右平移得到； ③设函数x x x f sin lg )(-=的零点个数为,n 则;6=n④已知函数e e e x g m x m x m x f x ()(),3)(2()(-=++-=是自然对数的底数），如果对于任意,R x ∈总有0)(<x f 或,0)(>x g 且存在),6,(--∞∈x 使得,0)()(<x g x f 则实数m 的取值范围是)3,4(--.则其中所有正确命题的序号是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分14分)设D C B A ,,,为平面内的四点，且).1,4(),2,2(),3,1(C B A - （1）若,=求D 点的坐标；（2）设向量,,b a ==若b ka -与b a 3+平行，求实数k 的值.16. (本题满分14分) 已知.2tan =α （1）求ααααcos sin cos 2sin 3-+的值；（2）求)cos()sin()3sin()23sin()2cos()cos(αππααππααπαπ+-+-+-的值；（3）若α是第三象限角，求αcos 的值.17. (本题满分14分)设向量ba,满足.5aba=b3,1=-=（1）求ba3+的值；（2）求b+夹角的正弦值.a33与ba-18. (本题满分16分)某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件 .经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似看作一次函数b=的关系（如图所示）.kxy+（1）根据图象，求一次函数b=的表达式；y+kx（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价—成本总价）为S元. 试用销售单价x表示毛利润,S并求销售单价定为多少时，该公司获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？200 400 600 700第18题19. (本题满分16分)已知函数),0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象的一个最高点为),2,12(π-与之相邻的与x 轴的一个交点为).0,6(π（1） 求函数)(x f y =的解析式；（2） 求函数)(x f y =的单调减区间和函数图象的对称轴方程；（3） 用“五点法”作出函数)(x f y =在长度为一个周期区间上的图象.20. (本题满分16分)函数)(x f 定义在区间,),,0(R y ∈+∞都有),()(x yf x f y =且)(x f 不恒为零. （1） 求)1(f 的值；（2） 若,1>>>c b a 且,2ac b =求证：2)]([)()(b f c f a f <；（3） 若,0)21(<f 求证：)(x f 在),0(+∞上是增函数.徐州市2013—2014学年度第一学期期末抽测高一数学参考答案一、填空题：1．{1,2,3,4} 2．π 3． 124．{}|12x x <≤ 5．6π 6．[2,)∞+ 7．1- 9．1310． ()3,∞+ 11．1± 12．72 13．2 14．①②③④二、解答题： 15．⑴设(),D x y ．由AB CD =，得()()()()2,21,3,4,1x y --=--，则()()1,54,1x y -=-+，…………3分 所以{41,15,x y -==-+解得{5,6.x y ==-………………………………………………………………5分所以点D 的坐标为()5,6-．…………………………………………………………………6分 ⑵因为()()()2,21,31,5AB ==--=-a ，()()()4,12,22,1BC ==---=b ,……………8分 所以()()()1,52,12,51k k k k -=--=---a b ，()()()31,532,17,2=-=-++a b ．……10分 由k -a b 与3+a b 平行，得()()()225170k k -⨯----⨯=，…………………………12分所以13k =-．………………………………………………………………………………14分16．⑴3sin 2cos 3tan 2sin cos tan 1αααααα=--++ ………………………………………………………2分 322821⨯==-+．…………………………………………………………………………3分⑵()()()()()()()()()()cos cos()sin()cos sin cos 22sin 3sin cos sin sin cos ααααααααααααπ3ππ----=π-ππ---+++ ……………………9分cos 11sin tan 2ααα=-=-=-．…………………………………………………………………10分 ⑶解法1：由sin tan 2cos ααα==，得sin 2cos αα=，又22sin cos 1αα=+，故224cos cos 1αα=+，即21cos 5α=，………………………12分因为α是第三象限角，cos 0α<，所以cos α=14分解法2：222222cos 111cos cos sin 1tan 125ααααα====+++， …………………………12分因为α是第三象限角，cos 0α<，所以cos α=．…………………………………14分17．⑴由3-=a b ，得()235-=a b ，所以22965-+=a a b b ，…………………2分 因为221==a b ，所以56=a b ．……………………………………………………………4分 因此()22236915+=++=a b a a b b，所以3+a b 8分 ⑵设3-a b 与3+a b 的夹角为θ， 因为()()2220333833-=-=++a b a b a a b b ，…………………………………………10分 则()()2033cos 33θ-==-++a b a b a b a b ，………………………………………………12分因为0180θ︒︒≤≤，所以sin θ===所以3-a b 与3+a b ．…………………………………………14分 18．⑴由图象知，当600x =时，400y =；当700x =时，300y =， 分别代入y kx b =+，解得1k =-，1000b =，所以1000(500800)y x x =-+≤≤．……………………………………………………6分 ⑵销售总价=销售单价⨯销售量xy =，成本总价=成本单价⨯销售量500y =， 代入求毛利润的公式，得2500(1000)500(1000)1500500000S xy y x x x x x =-=---=--+++ ………………10分 2(750)62500(500800)x x =--+≤≤，当750x =时，max 62500S =，此时250y =．……………………………………………14分 答：当销售单价为750元/件时，可获得最大毛利润为62500元，此时销售量为250件．…………………………………………………16分19．⑴由题意，2A =，46124T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以T =π，所以2ωπ=π，2ω=．…2分 所以()()2sin 2f x x ϕ=+，将,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭代入，得sin 16ϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，因为ϕ<π，所以3ϕ2π=，…………………………………………………………………4分 所求函数解析式为()2sin 23f x x 2π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．………………………………………………5分⑵由()3222232k x k k π2ππ+π++π∈Z ≤≤，得51212k x k ππ-+π+π≤≤， 所以函数的单调减区间是()5,1212k k k ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ．…………………………………7分 由()232x k k 2ππ+=+π∈Z （k ∈Z ），得122k x ππ=-+， 所以函数图象的对称轴方程为()122k x k ππ=-+∈Z ．……………………………………9分⑶1）列表x3π- 12π-6π 125π 32π 223x π+ 02π π23π 2π…………13分2）描点画图……………………………………16分20．⑴令1,1x y =≠，()()11f yf =，()()110f y -=，因为1y ≠，所以()10f =．…………………………………………………………………3分 ⑵设y x ac =，则log x y ac =，所以()()()()()()()log log log y x x x f ac f x yf x ac f x a c f x ====+()()()()()()()()log log log log x x a c x x a f x c f x f x f x f a f c ===+++，……………5分因为2b ac =，所以()()2f b f ac =，所以()()()2f b f a f c =+，()()()2f a f c f b =+，()()()()()()()()()222022f a f c f a f c f b f a f c f a f c ⎡⎤⎡-⎤⎡⎤-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦+≥．…………8分 下面证明当1x ≠时，()0f x ≠．假设存在01x ≠，()00f x =，则对于任意1x ≠，()()()()00log 0log 0x xx f x f x x f x ===，不合题意．所以，当1x ≠时，()0f x ≠．因为1a c >>，所以存在1m ≠，()()()()()()log log log log 0m m a c m m f a f c f m f m a c f m -=-=-≠，所以()()f a f c ≠，所以()()()2f a f c f b <⎡⎤⎣⎦．…………………………………………10分y0 2 2- 0 2⑶设()00,1x ∈，则()102log 010211log 022x f x f x f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，………………………12分设1x ，2x 为区间()0,∞+内的任意两个值，且12x x <，则1201x x <<，由⑵的证明知， ()()()()()1111222222220x x x f x f x f x f x f f x f x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+， 所以()()12f x f x <，所以()f x 在()0,∞+上是增函数．………………………………16分。