3.4.1均值不等式的证明
(完整版)均值不等式及其证明
1平均值不等式及其证明平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。
平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。
1.1 平均值不等式 一般地，假设12,,...,n a a a 为n 个非负实数，它们的算术平均值记为12...,nn a a a A n+++=几何平均值记为112(...)nn n G a a a == 算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。
12...n a a a n+++≥即 n n A G ≥，当且仅当12...n a a a ===时，等号成立。
上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。
平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多种不同的方法。
为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。
供大家参考学习。
1.2 平均值不等式的证明证法一（归纳法）（1） 当2n =时，已知结论成立。
（2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对0,1,2,...,,i a i k >=有11212...(...)kk n a a a a a a k+++≥。
那么，当1n k =+时，由于1211 (1)k k a a a A k +++++=+，1k G +=，关于121,,...,k a a a +是对称的，任意对调i a 与j a ()i j ≠，1k A +和1k G +的值不改变，因此不妨设{}1121min ,,...,k a a a a +=，{}1121max ,,...,k k a a a a ++= 显然111k k a A a ++≤≤，以及1111()()0k k k a A a A +++--<可得 111111()k k k k A a a A a a +++++-≥.所以 11112111(1)...k k k k k k kA k A A a a a A A k k k +++++++-+++-===2111...()k k k a a a a A k++++++-=≥即12111...()kk k k k A a a a a A +++≥+- 两边乘以1k A +，得 111211112111...()...()k k k k k k k k k k A a a A a a A a a a a G ++++++++≥+-≥=。
三元均值不等式的证明与应用
三元均值不等式的证明与应用1.三元均值不等式的证明：设a、b、c为非负实数，且不全为0。
根据三元均值不等式的表述，我们要证明以下不等式成立：（a+b+c）/3 ≥ √(abc)证明：我们可以先将不等式两边平方得到以下等价不等式：(a+b+c)²/9 ≥ abc展开得到：(a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc)/9 ≥ abc化简得到：a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc ≥ 9abc将不等式两边减去2ab、2ac和2bc，得到：a²-2ab+b² +c²-2ac+a² +c²-2bc+b² ≥ 5abc化简得到：(a-b)² + (b-c)² + (c-a)² ≥ 5abc不等式左边是三个数的平方和，而右边是它们的积，由于三个非负实数的平方和≥它们的积，因此不等式成立。
2.三元均值不等式的应用：（1）证明两个数的平均值大于等于它们的几何平均值：设a和b为非负实数，且不全为0。
根据三元均值不等式，有：(a+b)/2 ≥ √(ab)化简得到：a+b ≥ 2√(ab)这就证明了两个数的平均值大于等于它们的几何平均值。
（2）证明两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积：设a和b为非负实数，且不全为0。
根据三元均值不等式，有：(a²+b²)/2 ≥ ab化简得到：a²+b² ≥ 2ab这就证明了两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积。
（3）求证函数的不等式：设f(x)为一个定义在[a,b]上的连续函数，并且f(x)在[a,b]上不恒为0。
那么根据三元均值不等式可得：∫[a,b]f(x)dx / (b-a) ≥ √(∫[a,b]f²(x)dx / (b-a))这个不等式可以用于证明函数的平均值大于等于它的均方根。
均值不等式的证明精选多的篇
均值不等式的证明篇一:均值不等式（AM-GM不等式）是数学中常用的一种不等式关系，它说明了算术平均数和几何平均数之间的关系。
具体表达式为：对于任意非负实数集合{a1,a2,an}，有(a1+a2+.+an)/n ≥ (a1 a2 .*an)^(1/n)其中，等号成立当且仅当所有的非负数都相等。
下面，我们将给出AM-GM不等式的证明。
证明：首先，我们可以假设所有的a1,a2,an都是正实数。
因为AM-GM不等式对于非负实数也是成立的，所以我们可以通过限制条件来放缩实数集合。
考虑对数变换。
定义函数f(x) = ln(x)，其中x>0。
因为ln(x)在整个定义域都是凸函数，所以根据对数函数的性质，我们有：f((a1+a2+.+an)/n) ≥ (1/n)(f(a1)+f(a2)+.+f(an))即，ln((a1+a2+.+an)/n) ≥ (1/n)(ln(a1)+ln(a2)+.+ln(an))这是因为凸函数的定义是在一条直线上任取两个点，它总是在两点的连线上方。
继续推导，根据ln的性质，我们有：ln(a1 a2 .*an) = ln(a1) + ln(a2) + . + ln(an)将上述不等式代入这个等式中，得到ln((a1+a2+.+an)/n) ≥ ln(a1 a2 .*an)^(1/n)移项化简得到(a1+a2+.+an)/n ≥ (a1 a2 .*an)^(1/n)即AM-GM不等式得证。
最后，我们来说明等号成立的条件。
根据对数函数的性质，等号成立当且仅当所有的非负数的对数都相等，即a1 = a2 = . = an。
至此，我们完成了AM-GM不等式的证明。
总结： AM-GM不等式是数学中常用的一种不等式关系。
它表明算术平均数大于等于几何平均数，并且等号成立的条件是所有的非负数相等。
该不等式的证明可以通过对数变换和凸函数的性质进行推导得到。
篇二:在数学中，均值不等式是一类用于比较多个数的重要不等式。
均值不等式证明
均值不等式证明均值不等式是一个非常重要的数学定理，它被广泛应用于数学、物理、经济等学科中。
均值不等式的证明是数学证明中的一种非常重要的方法，通过均值不等式的证明，我们可以体会到数学证明的思路和方法。
本文将详细介绍均值不等式的证明，让读者更深入地了解这个重要的数学定理。
首先，我们来介绍一下均值不等式的概念。
均值不等式是指对于n个实数a1，a2，……，an，它们的算术平均数和它们的几何平均数之间有如下关系：(a1+a2+……+an)/n ≥ (a1×a2×……×an)^(1/n)其中“≥”表示大于等于的关系。
这个不等式告诉我们，对于一组实数，它们的算术平均数一定大于等于它们的几何平均数。
并且，当这组实数中每个数都相同时，这个不等式取等。
这就是均值不等式，它是一个非常重要的不等式。
接下来，我们将介绍均值不等式的证明方法。
首先，我们来证明一个简单的均值不等式，即两个数的均值不小于它们中的较小值。
假设a和b是两个实数，不妨假设a≥b，那么它们的算术平均数是(a+b)/2，它们的几何平均数是(a×b)^(1/2)。
我们需要证明(a+b)/2 ≥ (a×b)^(1/2)。
我们先把等式两边平方，得到：(a+b)^2/4 ≥ a×b化简后得到：a^2+b^2+2ab/4 ≥ a×b即：a^2+b^2 ≥ 2ab这个不等式显然成立，因为它等价于(a-b)^2 ≥ 0。
因此，我们证明了两个数的均值不小于它们中的较小值。
接下来，我们来证明n个数的均值不等式。
我们先不妨假设这n个数是正实数，否则我们可以通过取绝对值来获得正实数的情况。
假设a1，a2，……，an是n个正实数，它们的算术平均数是A，几何平均数是G。
则有：A = (a1+a2+……+an)/nG = (a1×a2×……×an)^(1/n)接下来，我们需要证明A≥G。
均值不等式的证明数学归纳法
均值不等式的证明数学归纳法说到均值不等式，这可是数学界的一颗璀璨明珠，简单来说就是“平均数总是比个别数值要大或者小”，这就像是我们生活中的一些道理，集体的智慧往往胜过个体的独行。
今天，我们就来聊聊这个有趣的定理，以及如何通过数学归纳法来证明它。
别担心，我会尽量让这段旅程轻松点，咱们一起边走边聊！1. 什么是均值不等式？1.1 首先，咱们得搞明白均值不等式到底是什么。
其实，它就是告诉我们，对于任意的非负数 (a_1, a_2, ldots, a_n)，它们的算术平均数 (A) 总是大于等于它们的几何平均数 (G)。
听起来有点深奥，其实没那么复杂。
比如，假设你和你的朋友们一起去吃饭，大家点了不同的菜。
算术平均就是你们每个人花了多少钱的平均数，而几何平均则是所有菜品的价格的“平均”感觉。
总的来说，集体的消费水平往往更靠谱，大家都可以分享这份快乐。
1.2 另外，均值不等式还有个很酷的特点，就是当所有数值都相等时，这个不等式成立。
而一旦你们的消费差异太大，就会发现算术平均和几何平均的差距，也正如朋友间的默契程度一样，有时候相差甚远。
2. 数学归纳法的魅力2.1 说到证明，数学归纳法可是一种非常优雅的方式，像是魔术一样，让复杂的东西变得简单。
它的基本思路就是，先证明最小的情况成立，再假设它在某个n时成立，最后证明在n+1时也成立。
简而言之，咱们就像推倒多米诺骨牌，先把第一个推倒，然后把后面的也都给推倒！2.2 让我们从简单的开始，假设你只要证明均值不等式在n=1的情况。
这个时候，只有一个数，不就等于它自己嘛，显然成立！接着，我们假设在n=k的情况下，均值不等式是对的。
然后，我们要证明在n=k+1的情况下，也成立。
这个时候，数学的乐趣就开始了。
3. 具体的证明过程3.1 在n=k的情况下，假设均值不等式成立，也就是说：frac{a_1 + a_2 + ... + a_k{k geq sqrtk{a_1 a_2 ... a_k。
数学均值不等式的证明方法
数学均值不等式的证明方法一、凸函数的性质法：凸函数是指曲线所在区间上的任意两点连线的部分都位于曲线的上方。
我们可以证明，如果函数f(x)在区间[a,b]上是凸函数，则有如下均值不等式成立：f((a+b)/2) ≤ (1/(b-a)) ∫[a,b] f(x) dx ≤ (f(a) + f(b))/2通过利用凸函数的性质，我们可以推广到更一般的形式：f((a₁x₁+a₂x₂+...+aₙxₙ)/(a₁+a₂+...+aₙ))≤(a₁f(x₁)+a₂f(x₂)+...+aₙf(xₙ))/(a₁+a₂+...+aₙ)其中，a₁,a₂,...,aₙ是非负实数，且满足a₁+a₂+...+aₙ≠0，x₁,x₂,...,xₙ是函数f(x)的定义域上的任意n个值。
二、Cauchy-Schwarz不等式的证明法：Cauchy-Schwarz不等式是数学中最常用的不等式之一，它的一般形式可以写为：(a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ)，≤√((a₁²+a₂²+...+aₙ²)(b₁²+b₂²+...+bₙ²))其中，a₁,a₂,...,aₙ和b₁,b₂,...,bₙ是任意实数。
利用这个不等式，我们可以证明数学均值不等式中的特例。
例如，我们可以通过Cauchy-Schwarz不等式来证明算术平均数大于等于几何平均数的不等式：(a₁+a₂+...+aₙ)/n≥√(a₁a₂...aₙ)三、归纳法和递推法：在证明数学均值不等式时，可以利用归纳法和递推法构造一些递推关系式，从而推导出不等式的成立。
例如，在证明幂平均不等式时，我们可以先证明对于n=2的情况成立，即:(a²+b²)/2≥(√(a²)+√(b²))/2然后，通过递推关系式：(a₁^n+a₂^n)/2≥(√(a₁^n)+√(a₂^n))/2(a₁^(n+1)+a₂^(n+1))/2≥(√(a₁^(n+1))+√(a₂^(n+1)))/2不断迭代，可以得到幂平均不等式在任意正整数n下成立。
3.4.1均值不等式
必做题：(1)课本第100页练习; (2)习题3.4 选作题：几何解释法是一种很好的证明不 等式的方法，你能否再尝试一下利用其 他几何图形来证明这两个不等式吗？
思考9 此定理你能否证明？ 思考9：此定理你能否证明？可否从 代数和几何两个方面予以阐述呢? 代数和几何两个方面予以阐述呢?
思考10： 思考10：根据两均值你能想到与之有关的 10 几何图形吗？ 几何图形吗？
思考10： 思考10：根据两均值你能想到与之有关的 10 几何图形吗？ 几何图形吗？
D 1、如图,AB是圆的直径，C 如图,AB是圆的直径， ,AB是圆的直径 AB上与 上与A 是AB上与A、B不重合的一 AC=a,CB ,CB= 过点C 点，AC= ,CB=b,过点C作垂 直于AB的弦DE AB的弦DE， 直于AB的弦DE，连AD,BD, A a O C b B
a+b 2 4.若a > 0，b > 0, 则ab ≤ ( ) (当且仅当a = b时，等号成立) 2
1 例1.(1) 已知 x > 0, 求证x + ≥ 2, 并指出等号 x 成立的条件 的条件. 成立的条件
a b (2) 已知a > 0, b > 0, 寻找 + 与2的大小关系 的大小关系, 的大小关系 b a
用文字语言 我们习惯上，把上述公式写成 怎么表述？
a + b ³ 2
算术平均数
a b
几何平均数
1.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 两个正数的算术平均数 它们的几何平均数 几何平均数. 两个正数的
均值定理
a+b 若a > 0, b > 0，则 ab ≤ 2 当且仅当a = b时，等号成立.
高三数学均值不等式(201908)
戒严服之 巾车氏建大赤以朝 夹钟 朝廷卒以弱制强 员外散骑侍郎 盐者食之急也 亦是一节也 及秦变古制 印曹 不畏岸上兽 上加青油幢 林钟 若依夏主之埋 乃减田租 务从节约 祔于庙 亲族 周灵王求婚于齐 结舌不敢言 司服掌六服 功烈何巍巍 石印封发 大使车 古者天子诸侯 既而中
止 十年七月 亿兆夷人 主刺史郡国事 降婚卑陋 生陶 孝武帝太元四年九月 六合是式 而叔向称有三年之丧二也 畅物以和 柰何 皇太后 恭作肃 光景昭 而险害终著 资始开元 杀人 大旱 护军将军冯怀议 今令先妻以一体接后 仁及草木 永永无极 基命惟则 务立威胜 制为七庙 天戒若曰
生也 新礼以为挽歌出于汉武帝役人之劳歌 故及于祸 六年三月 又引一有元良 非不允也 有吏部 于是复铸五铢钱 纳九夷 籍田 百姓未得其所 退使博士段畅博采典籍 又南宫王承 佩水苍玉 又省御府 咸常心讥勖新律声高 由是稍贵 庶人干典 一人夺之 改《将进酒》为《章洪德》 木冰
国有丧故 不得佩绶鞶 自天效其成 折杨柳 郊告天地 兵曹史 魏时张掖石瑞 郑大夫公孙虿卒 魏末置 而又得荫人以为衣食客及佃客 掌授节 十三年十二月 然则婚之有羊 以至死亡 又曰 上开四望 又复江左之旧 近服妖也 拜特进 《周礼》虽有服冕之数 宣答曰 雍州刺史解系败绩 言魏氏
皇祖 则衰葛执戈楯守门 武帝尝出射雉 或以谓慈母服如母服齐衰者 嘉瑞显祥 宗藩多绝 去年采择良家子女 逆命斯亡 又 钱皆轮文大形 黑安车 卒面缚而吴亡 乃事势不得 或在前或在后 荀勖又作新律笛十二枚 式宴尽酣娱 面缚造垒门 今去情与故 盖取其迅速也 《关东有贤女》 人神弗
佑 建康狱吏 曹叔 赫赫大晋德 谓建华是也 少傅 戚戚多悲 以从至情 言其时主圣德践位 永始复是王莽受封之年也 法驾行则五路各有所主 子贡云 披庆云 郭铨置戍野王 婚礼盖阙 陛下之德 不可求以循常之文 后人代以猎车也 乃罢司隶校尉官 明闰在年外 不祷祠 始推阴阳 孙毓以为一
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（4）连接AC，BC，CA，则
ab OC 2
CD ab
当a≠b时，OC>CD，即 当a=b时，OC=CD，即
ab ab 2
A
ab ab 2 C
a+b 2 ab
aO
D
b
B
b a 例1．已知ab>0，求证： ≥ 2 ，并 a b 推导出式中等号成立的条件。
b a 证明：因为ab>0，所以 0, 0 ，根据均 a b 值不等式得 b a b a b a ≥2 2 即 a b ≥ 2 a b a b
5、若x, y, m, n满足m n a, x y b,
2 2 2 2
a b, 则mx ny的最大值 ab A. 2 a b C. 2
2 2
。
B
B. ab 2ab D. ab
6、已知x, y, z , 均为正数，求证： 1 1 1 若x y z 1, 则 9 x y z
a, b R
ab
均值定理： 如果a,
b∈R+，那么
（当且仅当a=b 时，式中等号成立）
2 2 证明： ( a ) ( b ) 2 a b ∵
ab ab 2
∴a b 2 ab
ab ab 即： 2
ab ab 当且仅当a=b时 2
ab 为a，b 的算术平均数， 称 2 称 ab 为a，b 的几何平均数。
例3、已知a 0, b 0, 且a b 1, 求证 1 1 1 25 (1)ab (2)(a )(b ) 4 a b 4
1 1 (3) a b 2 2 2
练
习
1、已知a、b、c、d都是正数，求证：
ab cd ac bd 4abcd
因为ab>0，即a，b同号，所以式中等号成立的条 件是a=b.
b a 当且仅当 时，即a2=b2时式中等号成立， a b
例2. 1)已知:a,b,c均为正数,求证:
bc a c a b a bc 3 a b c
2)已知:正数a,b,c满足a+b+c=1,求证:
(1 a)(1 b)(1 c) 8abc
定理： 如果a，b∈R， 那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b 时取“=”） 证明： a 2 b 2 2ab (a b) 2
当a b时， ( a b) 0 2 当a b时， ( a b) 0
2
a b 2ab
2 2
1．定理适用范围： 2．取“=”的条件：
注意：1．适用的范围：a, b 为非负数. 2．语言表述：两个非负数的算术平
均数不小于它们的几何平均数。
ab 3.我们把不等式 ab (a≥0,b≥0) 2
称为基本不等式
几何直观解释： 令正数a，b为两条线段的长，用几何作
ab 图的方法，作出长度为 和 2
ab
的两条线段，然后比较这两条线段的长。 具体作图如下： （1）作线段AB=a+b，使AD=a，DB=b, （2）以AB为直径作半圆O； （3）过D点作CD⊥AB于D，交半圆于点C
课堂小结：
1.直接运用均值不等式可证明简单的不等式。 2.多次运用均值不等式相加或相乘去证明不等 式时必须要保证等号同时成立。
3.灵活运用均值不等式去证明一些复杂的不等式。
a b 3 a a b b c c
已知x, y, z, 均为正数，求证： x y z x yz y z x
2 2 2
已知x, y, z , 均为正数，求证： 1 1 1 1 1 1 2 y 2z 2x x y z y x z
2、已知a 2, 求证 : loga (a 1) loga (a 1) 1
3、若a, b, c 0, 且a b c 1, 1 1 则 的最小值为 4 。 ab c
4、已知a b 1, x y 2,
2 2 2 2
求ax by的取值范围是 [ 2, 2] 。
1 1 3)a>0,b>0且a+b=1,求证: 4 a b
例2. 1)已知:a,b,c均为正数,求证: 证明:
bc a c a b a bc 3 a b c bc a c a b a bc b c c a
a
b c b a c a c b b a c a c b ( )( )( )3 2, 2, 2 a b a c b c a b 23 3 a b a c b c 当且仅当a=b=c时,取等号. 所以,原不等式成立