【数学】冀教版八年级上册第17章特殊三角形【学案】认识勾股定理

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【冀教版】八年级上:第17章《特殊三角形》全章教学案(含答案)

【冀教版】八年级上:第17章《特殊三角形》全章教学案(含答案)

第十七章特殊三角形1.了解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理;探索并掌握等腰三角形的判定定理;探索等边三角形的性质定理和判定定理.2.探索并掌握直角三角形的性质定理,掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.3.探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题.4.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.5.会利用基本作图方法作三角形:已知底边及底边上的高线作等腰三角形;已知一直角边和斜边作直角三角形.6.通过实例体会反证法的含义.1.经历由情境引出问题,探索、掌握有关数学知识,再运用于实践的过程,培养学生学数学、用数学的意识与能力.2.在教学过程中提供充足的时间和空间,让学生经历观察、操作、实验、猜想、验证等活动过程,培养学生尝试探究的意识和能力.1.感受数学文化的价值和中国传统数学的成就,激发学生热爱祖国及祖国悠久文化的思想感情.2.使学生从数学的角度思考问题,培养学生积极的学习态度,树立学习的信心,提高学生的学习兴趣.本章知识既是三角形内容的深化和拓展,又是进一步研究特殊四边形的重要工具.同时,等腰三角形的知识在今后探索线段相等、角相等、直线的垂直关系等方面有着广泛的应用;勾股定理及其逆定理不仅是数形结合思想的完美体现,更是我们今后解决数学问题和实际问题的有力工具.因此,本章起着承上启下的桥梁作用.(1)等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质和判定,主要通过观察与思考、操作与归纳等方法去探索和发现结论,再通过演绎推理证明结论,最后举例证明,实现在发展学生合情推理能力的基础上,把证明作为探索活动的自然延续.较好体现了合情推理与演绎推理两种推理形式的相辅相成,实现了两种推理的有机融合.(2)对于勾股定理的获得,设计了观察、计算、思考、归纳、猜想等探究活动,将验证猜想的过程设计为“试着做做”和“做一做”等学生自主活动,让学生体验勾股定理发现的全过程,发展学生的推理能力和创新意识;对于勾股定理的逆定理,通过让学生先操作(画直角三角形),再证明(利用全等)的方式来获得.(3)在本章的尺规作图中,都增加了分析环节,使学生不仅要知道作图的步骤,而且还要了解作图的道理.【重点】1.等腰三角形、等边三角形的性质和判定.2.直角三角形的性质和判定.3.勾股定理、逆定理及其简单应用.4.反证法及其简单应用.【难点】1.等腰三角形、等边三角形的性质及其应用.2.勾股定理及其逆定理的应用.1.关于等腰三角形和直角三角形性质和判定的教学,应引导学生在独立思考和合作交流的前提下,进行观察与思考、操作与探究等活动并获得猜想,进而一起完成对猜想的证明,落实对合情推理和演绎推理的自然结合,实现提升学生推理意识和推理能力的目的.2.对于勾股定理的教学,教师要提供充足的时间和空间,让学生观察、猜想、推理,使定理的发现成为学生认识活动的自然结果.3.对于证明格式、方法和步骤,要让学生在亲身经历、体验的过程中去逐步理解和掌握,此过程切忌急于求成,更不要以教师的讲解代替学生的活动,要给学生充足的时间和空间去探索、实践和总结.4.提倡思维多样化,注重培养学生清晰表达自己思维过程的能力,对学生出现的多种思路和方法,应给予充分肯定并在全班展示,使学生的求异思维和创新意识能得到及时的表现.17.1等腰三角形2课时17.2直角三角形1课时17.3勾股定理3课时17.4直角三角形全等的判定1课时17.5反证法1课时回顾与思考1课时17.1等腰三角形1.了解等腰三角形、等边三角形的定义,掌握等腰三角形及等边三角形的性质.2.掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法.1.通过动手操作及等腰三角形、等边三角形的对称变换掌握其性质和特征.2.掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法,能利用性质和判定方法解决问题.1.体会等腰三角形和等边三角形的对称美.2.体会数学在现实生活中的广泛应用,认识数学无处不在,提高学生学习数学的兴趣.【重点】等腰三角形和等边三角形的性质和判定方法.【难点】等腰三角形和等边三角形的性质和判定方法的应用.第课时在动手操作的过程中,理解等腰三角形、等边三角形的性质定理.1.让学生通过动手操作,经历等腰三角形性质的探索过程,培养学生的动手、归纳、概括的能力.2.培养学生的猜想能力,让学生经过推理证明得到等腰三角形、等边三角形的性质定理.培养学生的逻辑思维能力,让学生树立良好的学习观,增强学生认真学习的态度.【重点】等腰三角形、等边三角形的性质定理.【难点】等腰三角形、等边三角形的性质定理的推理和证明.【教师准备】多媒体课件、各种形状的图形、剪刀.【学生准备】长方形纸、剪刀.导入一:教师预先做出各种几何图形,包括圆、长方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等边三角形、等腰三角形等.让同学们抢答哪些是轴对称图形,提问什么是轴对称图形,什么样的三角形才是轴对称图形.引入今天所要讲的课题——等腰三角形、等边三角形的性质定理.我们知道,有两条边相等的三角形是等腰三角形,下面我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形.[设计意图]通过辨别,让学生发现等腰三角形是轴对称图形,从而引出可以利用轴对称的性质来确定等腰三角形.导入二:在前面的学习中,我们认识了轴对称图形,探究了轴对称的性质,并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形,还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案.这节课我们就从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形.思考:三角形是轴对称图形吗?有的三角形是轴对称图形,有的三角形不是.问题:什么样的三角形是轴对称图形?满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形,也就是将三角形沿某一条直线对折后,两部分能够完全重合的就是轴对称图形.这节课我们就来认识一种是轴对称图形的三角形──等腰三角形.[设计意图]从三角形的角度,让学生通过思考,了解等腰三角形是轴对称图形,从而自然地引入到本节课的学习之中,激发了学生的学习兴趣和求知欲望.导入三:1.出示一组含有等腰三角形的生活图片,让学生感知图片主要部分形状的共同点.2.出示自制的测平仪,告诉学生含45°角的三角板顶点固定一条拴着重物的绳子,标出底边中点标志,它就变成了测平仪.激起学生的好奇心,从而引入课题.[设计意图]活跃课堂气氛,消除学生的紧张情绪,让学生带着问题进入学习.思路一【活动1】【课件1】如图所示,把一张长方形纸按图中虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开,得到的ΔABC有什么特点?【学生活动】学生动手操作,观察ΔABC的特点,可以发现AB=AC.【教师活动】让学生回顾等腰三角形的概念:有两边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.如图所示,在ΔABC中,若AB=AC,则ΔABC是等腰三角形,AB,AC是腰,BC是底边,∠A是顶角,∠B和∠C是底角.【活动2】【课件2】观察与思考:如上图所示,ΔABC是等腰三角形,其中AB=AC.(1)我们知道线段BC为轴对称图形,中垂线为它的对称轴,由AB=AC,可知点A在线段BC的中垂线上.据此,你认为ΔABC是轴对称图形吗?如果是,对称轴是哪条直线?(2)∠B和∠C有怎样的关系?(3)底边BC上的高、中线及∠A的平分线有怎样的关系?【学生活动】学生经过观察,然后小组讨论交流,从中总结等腰三角形的性质.【教师活动】引导学生归纳:性质1等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).[知识拓展]等腰三角形的“等边对等角”的特征是用来说明两角相等、计算角的度数的常用方法.性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”).【活动3】你能用所学知识验证上述性质吗?【课件3】如图所示,在ΔABC中,AB=AC.求证∠B=∠C.【学生活动】学生在独立思考的基础上进行讨论,寻找解决问题的办法,若证∠B=∠C,根据全等三角形的知识可以知道只需要证明这两个角所在的三角形全等即可.于是可以作辅助线构造两个三角形,作BC边上的中线AD,证明ΔABD和ΔACD全等即可,根据条件利用“边边边”可以证明.【教师活动】让学生充分讨论,根据所学的数学知识,利用逻辑推理的方式进行证明,证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性.证明:作BC边上的中线AD,如图所示,则BD=CD,在ΔABD和ΔACD中,所以ΔABD≌ΔACD(SSS),所以∠B=∠C.这样,就证明了性质1.类比性质1的证明你能证明性质2吗?由ΔABD≌ΔACD,还可得出∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC=90°.从而AD⊥BC,这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线平分顶角∠A并垂直于底边BC.添加辅助线的方法多样,让学生再去讨论、交流,即用类似的方法可以证明性质2.说明:经过以上证明也可以得出等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合,等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.[知识拓展]等腰三角形还有以下性质:(1)等腰三角形两腰上的中线、高线相等;(2)等腰三角形两个底角平分线相等;(3)等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.[设计意图]通过折叠等腰三角形让学生观察,在动手操作中掌握等腰三角形的性质,概括出性质,并引导学生加以证明,让学生经历知识的形成和证明过程,加深了对知识的理解和掌握.思路二要求学生通过自己的思考来作一个等腰三角形.【课件4】作一条直线l,在l上取点A,在l外取点B,作出点B关于直线l的对称点C,连接AB,BC,CA.以上活动所得三角形的两边相等吗?此三角形称为.小结:【课件5】填出等腰三角形各部分名称.归纳:等腰三角形的定义:有两边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,底边与腰的夹角叫底角.同学们在自己作出的等腰三角形中,注明它的腰、底边、顶角和底角.【课件6】问题1:等腰三角形是轴对称图形吗?请找出它的对称轴.问题2:通过折叠或测量,看看等腰三角形的两底角有什么关系?问题3:顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?问题4:底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?底边上的高所在的直线呢?1.学生通过刚才自主探究,大胆猜想以上问题的结果.2.教师用几何画板直观演示并引导学生观察等腰三角形的性质.(对称性,等边对等角,三线合一.)小结:等腰三角形的性质:(1)等腰三角形的两个底角(简称“”);(2)等腰三角形的,、重合(简称“三线合一”).3.你能证明以上性质吗?问题:(1)性质1(等腰三角形的两个底角相等)的条件和结论分别是什么?(2)怎样用数学符号表示条件和结论?已知:在ΔABC中,AB=AC.求证:∠B=∠C;请以“顶角的平分线”为辅助线,证明以上性质.(A组同学完成以下填空,B组同学独立证明.)教师巡视辅导点评.【课件6】证明:如图所示,作∠BAC的平分线AD,∴∠=∠,在ΔABD与ΔACD中,∴ΔABD≌ΔACD(),∴∠B=∠.4.受上述启发,能证明性质2吗?即证明∠BAC的平分线AD是ΔABC底边上的中线和高.证明:由ΔABD≌ΔACD知BD=,∠BAD=∠,∠ADB=∠,∵∠ADB+∠ADC=°,∴∠ADB=∠ADC=°.因此∠BAC的平分线AD也是ΔABC底边BC上的中线和高.5.提问:作底边上的高,又如何证明?(让同学讲证明思路.)[设计意图]通过作等腰三角形让学生感知其重点,通过几何画板让学生对照图形思考等腰三角形的性质,同时掌握对性质的证明方法,培养学生的学习能力.探究二:等边三角形的性质定理【课件7】已知:如图所示,在ΔABC中,AB=BC=AC.求证:∠A=∠B=∠C=60°.指导学生利用等腰三角形的性质进行证明.证明:在ΔABC中,由AB=AC,得∠B=∠C.由AC=BC,得∠A=∠B.所以∠A=∠B=∠C.由三角形内角和定理可得∠A=∠B=∠C=60°.[知识拓展]等边三角形是特殊的等腰三角形,除了具有等腰三角形的性质外,等边三角形还具有自己特有的性质:(1)等边三角形有三条对称轴(等边三角形三条边都相等,都可以作为底边);(2)作等边三角形各边的高线、中线、各角的平分线一共有三条.[设计意图]让学生通过测量、证明,发现等边三角形的性质,掌握等腰三角形和等边三角形的关系.探究三:例题讲解【课件8】已知:如图所示,在ΔABC中,AB=AC,BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的平分线.求证:BD=CE.〔解析〕根据角平分线定义得到∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB,再根据等边对等角得到∠ABC=∠ACB,从而得到∠ABD=∠ACE,然后通过ASA证得ΔABD≌ΔACE,就可以得到BD=CE.教师巡回指导,在学生完成后,指名口述解答过程.【课件9】(补充例题)如图所示,在ΔABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求ΔABC中各角的度数.〔解析〕根据等边对等角的性质,我们可以得到∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC,再由∠BDC=∠A+∠ABD,就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A.再由三角形内角和为180°,就可求出ΔABC的三个角的度数.如果设∠A为x,那么∠ABC,∠C都可以用x来表示,这样过程就更简捷了.解:因为AB=AC,BD=BC=AD,所以∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD.设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.在ΔABC中,∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,解得x=36°.所以∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.[设计意图]通过对例题的讲解、分析,引导学生应用等腰三角形的性质,让学生掌握解题思路和方法,提高学生对等腰三角形性质的应用能力.1.等腰三角形的性质1等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).注意:等边对等角只限于在同一个三角形中使用.2.等腰三角形的性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”).说明:等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(底边上的高、顶角平分线)所在的直线是它的对称轴.3.等边三角形的性质等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于60°.1.若等腰三角形的顶角为40°,则它的底角度数为()A.40°B.50°C.60°D.70°解析:因为等腰三角形的两个底角相等,顶角是40°,所以其底角为=70°.故选D.2.一个等腰三角形的两边长分别是3和7,则它的周长为()A.17B.15C.13D.13或17解析:①当等腰三角形的腰为3,底边为7时,3+3<7,不能构成三角形;②当等腰三角形的腰为7,底边为3时,周长为3+7+7=17.故这个等腰三角形的周长是17.故选A.3.如图所示,AD是等边三角形ABC的中线,AE=AD,则∠EDC等于()A.30°B.20°C.25°D.15°解析:∵ΔABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=∠C=60°,∵AD是ΔABC的中线,∴∠DAC=∠BAC=30°,AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∵AE=AD,∴∠ADE=∠AED==75°,∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.故选D.4.如图所示,l∥m,等边三角形ABC的顶点B在直线m上,边BC与直线m所成的锐角为20°,则∠α的度数为()A.60°B.45°C.40°D.30°解析:如图所示,过C作CE∥直线m,∵l∥m,∴l∥m∥CE,∴∠ACE=∠α,∠BCE=∠CBF=20°,∵ΔABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∴∠α+∠CBF=∠ACB=60°,∴∠α=40°.故选C.5.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,若AB=6,CD=4,则ΔABC的周长是.解析:∵在ΔABC中,AB=AC,∴ΔABC是等腰三角形,又∵AD⊥BC于点D,∴BD=CD.∵AB=6,CD=4,∴ΔABC 的周长=6+4+4+6=20.故填20.6.如图所示,在ΔABC中,∠A=70°,AB=AC,CD平分∠ACB.求∠ADC的度数.解析:由AB=AC及顶角∠A的度数,利用等边对等角得到两底角相等,再利用三角形内角和定理求出底角的度数,再由CD为底角的平分线,求出∠DCB的度数,由∠ADC为三角形BCD的外角,利用外角性质即可求出∠ADC的度数.解:∵在ΔABC中,∠A=70°,AB=AC,∴∠B=∠ACB==55°,又∵CD平分∠ACB,∴∠DCB=∠ACD=27.5°,∵∠ADC为ΔBCD的外角,∴∠ADC=∠B+∠DCB=82.5°.7.如图所示,等边三角形ABC中,D为AC边的中点,过C作CE∥AB,且AE⊥CE,那么∠CAE=∠ABD吗?请说明理由.解析:根据ΔABC为等边三角形,D为AC边上的中点得到AC=BA,∠BAC=∠BCA=60°,BD⊥AC,求出∠BDA=90°,由CE∥AB得∠ACE=∠BAD,利用三角形内角和定理得出∠CAE=∠ABD.解:∠CAE=∠ABD,理由如下:∵ΔABC为等边三角形,D为AC边上的中点,∴AC=BA,∠BAC=∠BCA=60°,BD⊥AC,∴∠BDA=90°,∵AE⊥CE,∴∠AEC=∠BDA=90°,又∵CE∥AB,∴∠ACE=∠BAD,∴180°-90°-∠ACE=180°-90°-∠BAD,∴∠CAE=∠ABD.第1课时探究一:等腰三角形的性质探究二:等边三角形的性质探究三:例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】1.教材第142页练习第1,2,3题.2.教材第143页习题A组第1,2,3题.【选做题】教材第143页习题B组第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,∠A=30°,以B为圆心,BC的长为半径圆弧,交AC于点D,连接BD,则∠ABD等于()A.30°B.45°C.60°D.90°2.如图所示,在ΔABC中,点D在BC上,AB=AD=DC,∠B=80°,则∠C的度数为()A.30°B.40°C.45°D.60°3.已知等腰三角形ABC的周长为13,且各边长均为整数,那么这样的等腰三角形ABC有()A.5个B.4个C.3个D.2个4.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD,AB=BD,则∠B的度数为()A.30°B.36°C.40°D.45°5.如图所示,ΔABC是一房屋人字架,其中AB=AC,为使人字架更加坚固,房主要求在顶点A和横梁BC之间加根柱子AD,可木工却不知将D点钉在BC何处才能使AD⊥BC,请同学们帮帮他,并说明理由.【能力提升】6.如图所示,ΔABC是等边三角形,E是AC上一点,D是BC延长线上一点,连接BE,DE,若∠ABE=40°,BE=DE,求∠CED的度数.7.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,D为BC边上一D点,∠B=30°,∠DAB=45°.(1)求∠DAC的度数;(2)求证DC=AB.【拓展探究】8.已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9 cm和15 cm两部分,求这个等腰三角形的底边长和腰长.9.已知等边三角形ABC和点P,设点A到BC的距离为h,点P到ΔABC的三边AB,AC,BC的距离分别为h1,h2,h3,(1)如图(1)所示,若点P在边BC上,求证h1+h2=h.(2)如图(2)所示,当点P在ΔABC内时,猜想h1,h2,h3和h有什么关系?并证明你的结论.(3)如图(3)所示,当点P在ΔABC外时,h1,h2,h3和h有什么关系?【答案与解析】1.B(解析:∵AB=AC,∠A=30°,∴∠ABC=∠ACB=(180°-∠A)=(180°-30°)=75°,∵以B为圆心,BC的长为半径圆弧,交AC于点D,∴BC=BD,∴∠CBD=180°-2∠ACB=180°-2×75°=30°,∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=75°-30°=45°.)2.B(解析:∵ΔABD中,AB=AD,∠B=80°,∴∠B=∠ADB=80°,∴∠ADC=180°-∠ADB=100°,∵AD=CD,∴∠C==40°.)3.C(解析:周长为13,边长为整数的等腰三角形的边长只能为:3,5,5;或4,4,5;或6,6,1.共3个.)4.B(解析:∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵AB=BD,∴∠BAD=∠BDA,∵CD=AD,∴∠C=∠CAD,∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°,∴5∠B=180°,∴∠B=36°.)5.解:木工将D点钉在BC中点处能使AD⊥BC,理由如下:∵AB=AC,BD=DC,∴AD⊥BC.6.解:∵ΔABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∵∠ABE=40°,∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60°-40°=20°,∵BE=DE,∴∠D=∠EBC=20°,∴∠CED=∠ACB-∠D=40°.7.(1)解:∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,∵∠C+∠BAC+∠B=180°,∴∠BAC=180°-30°-30°=120°,∵∠DAB=45°,∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°.(2)证明:∵∠DAB=45°,∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°,∴∠DAC=∠ADC,∴DC=AC,∵AB=AC,∴DC=AB.8.解:设等腰三角形的腰长为x,如图所示,∵ΔABC是等腰三角形,∴AB=AC,由BD是AC边上的中线,有AB+AD=9或AB+AD=15,分下面两种情况:(1)x+x=9,∴),∴三边长分别为6,6,12,∵6+6=12,不符合三角形的三边关系,∴舍去;(2)x+x=15,∴,∴三边长分别为10,10,4.综上可知这个等腰三角形的底边长为4 cm,腰长为10 cm.9.(1)证明:如图(1)所示,连接AP,则SΔABC=SΔABP+SΔAPC,∴BC·AM=AB·PD+AC·PF,即BC·h=AB·h1+AC·h2.又∵ΔABC是等边三角形,∴BC=AB=AC,∴h=h1+h2.(2)解:h=h1+h2+h3,证明如下:如图(2)所示,连接AP,BP,CP,则SΔABC=SΔABP+SΔBPC+SΔACP,∴BC·AM=AB·PD+AC·PF+BC·PE,即BC·h=AB·h1+AC·h2+BC·h3.又∵ΔABC是等边三角形,∴BC=AB=AC.∴h=h1+h2+h3.(3)解:h=h1+h2-h3.理由如下:如图(3)所示,连接PB,PC,PA.由三角形的面积公式得SΔABC=SΔPAB+SΔPAC-SΔPBC,即BC·AM=AB·PD+AC·PF-BC·PE,∵ΔABC是等边三角形,∴AB=BC=AC,∴h1+h2-h3=h.这节课是在学生已经学习了三角形的有关概念和“认识轴对称图形”的基础上进行学习的,学生已经掌握了三角形的相关知识,具有初步的探究学习经验.同时本节课的内容不仅是对前面所学知识的运用,也是今后证明角相等、线段相等及直线垂直的重要工具,它在教材中处于非常重要的地位.因为等腰三角形的性质在日常生活中有广泛的应用,所以探索发现等腰三角形的性质是这节课的重点;同时,对“三线合一”性质的理解和运用,学生有一定的难度,是这节课的难点.为了突出重点,教师充分创设问题情境,解决问题;为了突破难点,教师引导学生经历动手折纸、动手画图、对比分析、提出猜想、小组讨论、发现、归纳总结等活动,加以化解.教师在整个教学过程中主要通过动手操作、直观演示、小组讨论、自主探索、合作交流、发现归纳等多种教与学的方式,确保学生是学习的主人,教师是组织者、引导者、合作者.同时为了更好地启发、感染和调动学生,提高教学效率,采用课件辅助教学,充分开发和利用教育资源为课堂教学服务.在教学方法上,本节课以学生为主体,教师真正成为学生学习的组织者、引导者、合作者.特别是在探究“三线合一”的性质时,老师给出探究主题,学生以小组为单位,合作交流,自主探究、发现.本着“问题是数学的心脏”原则,教师精心设计了一些问题,在教学过程中有半数的学生回答了教师的提问,但碍于教学计划,有的问题在回答过程中还不时得到教师的提醒,这样导致的结果是难于发现学生真实的思维过程.“多提问”固然有利于学生思考和理解知识,有利于了解学生掌握知识的程度.但在倡导培养创新精神和实践能力的今天,更要重视对学生问题意识的培养.但教师在本节课的教学设计中留给学生的时间和空间偏少,导致学生发现问题、提出问题太少,长此以往,会使学生问题意识淡化.问起于疑,疑源于思,课堂上教师要为学生质疑创造足够的空间和时间.在问题解决过程中培养学生问题意识和发现问题、提出问题的良好习惯.在探究问题的过程中,教师一定要让学生自己去发现,只有由学生自己发现的东西,才是最真实的,也是最容易掌握的.在学生回答问题时,教师要适当点拨,但不能代替学生回答自己提出的问题,一定要让学生说,哪怕是错误的,也是经过学生思考得来的.【练习】(教材第142页)1.提示:(1)70°.(2)45°.(3)35°.(4)60°.图略.2.提示:(1)20°.(2)80°.(3)90°.(4)120°.3.解:(1)可以是锐角,不可以是直角和钝角.因为等腰三角形两底角相等,当底角为直角或钝角时,三角形内角和大于180°,与三角形内角和等于180°相矛盾,所以底角不可以是直角或钝角.(2)都可以,因为都符合三角形内角和定理.【习题】(教材第143页)A组1.解:(1)图中有3个等腰三角形,它们分别是ΔABC,ΔABD,ΔBCD.(2)因为AB=AC,所以∠ABC=∠C.因为BD=BC,所以∠C=∠BDC.因为BD=AD,所以∠A=∠DBA.设∠A=∠DBA=α,则∠ABC=∠BDC=∠C=2α.在ΔABC中,∠ABC+∠C+∠A=180°,所以2α+2α+α=180°,即5α=180°,所以α=36°,即∠A=36°.2.解:(1)80°,20°或50°,50°.(2)40°,40°.(3)设这个三角形的顶角为x°,则其底角为x°,由题意得x+x+x=180,∴x=90,x=45.∴这个三角形三个内角的度数分别为90°,45°,45°.3.解:∵ΔABC为等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°,又∵BD=DC,∴∠CAD=∠BAD=∠BAC=60°=30°.4.解:∵AB=BC,∠B=50°,∴∠ACB=∠BAC==65°.∵AC=CD,∴∠D=∠CAD.又∵∠ACB=∠D+∠CAD,∴∠ACB=2∠D,∴2∠D=65°,∴∠D=32.5°.B组1.解:设腰长为x cm.①当腰长大于底边长时,x+x=18,∴x=12,此时底边长为15-).②当腰长小于底边长时,x+x=15,∴或13 cm.2.解:相等,相等.已知:如图所示,在ΔABC中,AB=AC,BD,CE分别是AC,AB边上的中线,BG,CH分别是AC,AB 边上的高.求证BD=CE,BG=CH.证明:∵AB=AC,BD,CE分别为AC,AB边上的中线,∴AD=AC,AE=AB,∴AD=AE.在ΔABD和ΔACE中,∴ΔABD≌ΔACE,∴BD=CE.∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC,∵BG,CH分别为AC,AB边上的高,∴∠BGC=∠CHB=90°.在ΔBGC和ΔCHB中,∴ΔBGC≌ΔCHB,∴BG=CH.等腰三角形的性质与应用等腰三角形“三线合一”的性质在初中几何证明和计算中占据了非常重要的地位,实际上这个性质的逆定理在证明中的直接或间接应用也不亚于这个性质的直接应用,可以作为判定等腰三角形的一种重要思路.由于书上没有直接给出逆定理,所以很多学生在解题时很难想象到利用这一定理来解决问题,以至于在几何证明过程中思维受阻,不能正确地作出辅助线.因而在教学中,教师如果把握好等腰三角形“三线合一”性质的逆定理在辅助线教学中的应用,把握好化归思想方法的渗透,将有助于让学生把握解题的关键,更好地培养和发展学生的思维能力,有助于学生突破解题的难点,明确辅助线的添加,探明解题的方法,从而帮助学生提高解决问题的能力,“三线合一”性质:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合,逆定理:①如果三角形中任一角的平分线和它所对边的中线重合,那么这个三角形是等腰三角形.②如果三角形中任一角的平分线和它所对边的高重合,那么这个三角形是等腰三角形.③如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合,那么这个三角形是等腰三角形.简言之:三角形中任意两线合一,必能推导出它是一个等腰三角形.学习本节的关键之一是让学生通过剪切、折叠,发现线段和角的关系,从图形中观察并总结出等腰三角形的性质.教学中要注意引导,不要急于得出结论,在操作过程中,让学生翻折不同的等腰三角形,如顶角是锐角、钝角或直角的等腰三角形,说明在翻折过程中相应的角的大小和线段的长短关系都没有发生变化;还可以让学生探索一般的三角形是否一定有这种性质,进一步体会等腰三角形所具有的特点.。

八年级数学冀教版 第17章 特殊三角形17.3 勾股定理17.3.2 勾股定理的应用【教案】

八年级数学冀教版 第17章  特殊三角形17.3  勾股定理17.3.2  勾股定理的应用【教案】

勾股定理的应用教学目标:1、熟练地叙述勾股定理的内容,能运用勾股定理进行简单计算。

2、会运用勾股定理解决生活中的问题教学重点:运用勾股定理进行简单计算。

教学难点:应用勾股定理解决生活中的问题。

教学课时:1课时教具准备:三角板、水杯、筷子、课件教学过程:一、 揭示课题,出示学习目标。

1、板书课题:勾股定理的应用2、出示学习目标:1、熟练地叙述勾股定理的内容,能运用勾股定理进行简单计算。

2、会运用勾股定理解决生活中的问题。

二、 出示自学指导,组织学生自学。

1、出示自学指导:请同学们认真看教材内容,思考:1) 木板横着能否通过?竖着能否通过?2) 木板斜着能否通过?斜着能通过的最大长度是长方形ABCD 的什么?3) 如何求最大长度?根据什么定理?4) 勾股定理的内容是什么?要应用勾股定理解决实际问题,必须将其转化为什么问题?3分钟后看谁能对上面的问题谈谈自己的理解。

2、学生自学,教师巡视。

三、 自学检测。

1、让学生回答上面的问题。

2、出示自学检测题如图,一根旗杆在离地面12m 处折断,旗杆的顶端落在离底部16m 处的地面上,折断处还连接在一起,求旗杆在折断之前的高度是多少?方法:让两名学生上黑板解答,其他学生在独立思考的基础上小组讨论完成,教师巡视,然后纠正。

四、 课堂提升。

1、 如图(1),将一个长24cm 的筷子,置于底面直径为5cm ,高为12cm 的 A 12 BC 16圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度 h cm ,则h 的取值范围是 2、 如图(2),场地上有两棵树相距12m ,一棵树高13m ,另一棵树高8m ,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞多少米?3、 如图(3),有一根70cm 长的木棒,要放在长、宽、高分别为50cm ,40cm ,30cm 的木箱中,能否放进去?图(1) 图(2)方法:(第3题根据时间确定)学生在独立思考的基础上小组内讨论完成。

对于第1题,教师利用教具演示适时给予引导;第2题引导学生利用作辅助线构建直角三角形;第3题让学生类比探究1讨论解决,教师适时引导。

冀教版八年级上册数学第17章 特殊三角形 【教案】 勾股定理的逆定理

冀教版八年级上册数学第17章 特殊三角形 【教案】 勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理教学内容本节课主要学习勾股定理的逆定理.教学目标1.知识与技能探索并掌握直角三角形判别思想,会应用勾股定理解决实际问题. 2.过程与方法3.情感、态度与价值观培养数学思维以及合情推理意识,感悟勾股定理和逆定理的应用价值.重难点、关键1.重点:理解并掌握勾股定理的逆定性,并会应用.2.难点:理解勾股定理的逆定理的推导.3.关键:以古埃及人的思考方法,来领会勾股逆定理,同时运用验证,•体验勾股定理的逆定理.教学准备教师准备:投影仪,投影片,补充材料,教具:钉子与打结的绳子.学生准备:(1)复习勾股定理,预习“勾股逆定理”;(2)纸片、剪刀.学法解析1.认知起点:在学习了勾股定理的基础上学习勾股定理逆定理.3.学习方式:情境认知,操作感悟,师生互动.教学过程一、创设情境,导入课题【实验观察】实验方法:用一根打上13个等距离结的细绳子,让同学操作,用钉子钉在第一个结上,再钉在第4个结上,再钉在第8个结上,最后将第十三个结与第一个结钉在一起,然后用角尺量出最大角的度数.(90°),可以发现这个三角形是直角三角形.【显示投影片1】【活动方略】教师叙述:这是古埃及人曾经用过这种方法来得到直角,这个三角形三边长分别为多少?(3,4,5).这三边满足了怎样的条件呢?(32+42=52),是不是只有三边长为3,4,•5的三角形才能构成直角三角形呢?请同学们动手画一画,如果三角形的三边分别为2.5cm,6cm,6.5cm,满足关系式“2.52+62=6.52”,画出的三角形是直角三角形吗?换成三边分别为5cm,12cm,13cm或8cm,15cm,17cm呢?学生活动:动手画图,体验发现,得到猜想.【问题探究1】学生回答:(略)学生活动:分四人小组,互相交流,然后举手发言.素材提供:【设计意图】二、观察探讨,研究新知【问题探究2】(投影显示)△ABC的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,如果△ABC•是直角三角形,它应该与直角边是a,b的直角三角形全等.实际情况是这样的吗?我们画一个直角三角形A′B′C′,使B′C′=a,A′C′=b,∠C′=90°,•再将画好的△A′B′C′剪下,放到△ABC上,请同学们观察,它们是否能够重合?试一试!【活动方略】教师活动:操作投影仪,提出探究的问题,引导学生思考,然后再提问个别学生.学生活动:拿出事先准备好的纸片、剪刀,实验、领会、感悟:(1)•它们完全重合;(2)理由是在△A′B′C′中,A′B′2=B′C′2+′A′C′2=a2+b2,因为a2+b2=c2,因此,A′B′=c,从△ABC和△A′B′C′中,BC=a=B′C′,AC=b=A′C′,AB=c=A′C′,•推出△ABC≌△A′B′C′,所以∠C=∠C′=90°,可见△ABC是直角三角形.【设计意图】采用实验、观察、比较的数学手法,突破难点.【课堂演练】(投影显示)1.以下各组数为边长,能组成直角三角形的是(C).A.5,6,7 B.10,8,4 C.7,25,24 D.9,17,15 2.以下各组正数为边长,能组成直角三角形的是(B).,a+1A.a-1,2a,a+1 B.a-1,C.a-1教师活动:操作投影仪,组织学生演练,并讲评.学生活动:应用所学,完成演练题,并从中归纳判定方法,并判定两条较小数平方和是否等于最大边长的平方.【评析】在演练中,提示学生阅读课本P83例1.三、范例点击,提高认知【显示投影片2】思路:首先应根据题意画出图形.•这是一种象限图,依图形可以看出,“远航”号的航向已经知道,只要求出两艘轮船的航向所成的角,就可以知道“海天”号的航向.【活动方略】教师活动:操作投影仪,分析例2,特别是要教会学生如何画出象限图,•可适时复习“象限角”的画法.然后确定一个三角形,引导学生应用所学的“勾股定理的逆定理”.学生活动:理解图形的画法,参与教师讲例,并归纳方法为(1)•画出正确的象限图;(2)确定一个三角形,再应用勾股定理的逆定理解决问题.【问题探究3】(投影显示)如图(1),在正方形ABCD 中,F 为DC 的中点,E 为BC 上一点,且EC=14BC ,求证:AF ⊥EF . 思路:要证AF ⊥EF ,需证△AEF 是直角三角形,由勾股定理的逆定性,•只要证出AF 2+EF 2=AF 2就可以了.教师活动:操作投影仪,组织学生讨论,引导学生写出推理过程. 学生活动:先独立思考,再与同伴交流,并踊跃上台“板演”. 证明:连结AE ,设正方形边长为a ,则DF=FC=2a,EC=4a ,在Rt △ECF中,有EF=(2a )2+(4a )2=516a 2;同理可证.在Rt△ECF 中,有EF 2=(2a )2+(4a )2=516a 2,在Rt△ABE 中,有BE=a-14a=34a ,∵AE 2=a 2+(34a )2=•2516a 2, ∴AF 2+EF 2=AE 2.根据勾股逆定理得,∠AEF=90°,∴AF ⊥EF . 【设计意图】以例2为理解勾股定理逆定理的应用,再补充“问题探究3”来拓展勾股定理逆定理的应用范围. 四、随堂练习,巩固深化 1.课本练习 2.【探研时空】若△ABC 的三边a ,b ,c 满足条件a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c ,试判断△ABC 的形状.(提示:根据所给条件,只有从关于a,b,c的等式入手,找出a,b,c三边之间的关系,应用分解因式可得(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0,求出a=5,b=12,c=13,∵a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形)五、课堂总结,发展潜能1.勾股定理的逆定性:如果三角形的三条边长a,b,c有下列关系:a2+b2=c2,•那么这个三角形是直角三角形.(问:勾股定理是什么呢?) 2.该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法.3.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算,通过学习加深对“数形结合”的理解.六、布置作业,专题突破1.课本习题.2.选用课时作业设计.七、课后反思。

冀教版初中数学八年级上册 17.3 勾股定理 教案 .doc

冀教版初中数学八年级上册  17.3  勾股定理  教案 .doc

勾股定理一、概述本课内容是初中数学中一节非常重要的内容,也是平面几何的一个核心定理。

本节课在以后的学习中运用十分广泛,是初中数学学习的重要定理,我国在勾股定理的发现和应用上有着悠久的历史,也让学生体会到民族的自豪感二、教学目标分析及教学重、难点分析知识与技能:➢掌握勾股定理的基本内容,并了解勾股定理的证明过程➢能够利用勾股定理解决简单问题➢体会数形结合的思想过程与方法:➢通过对勾股定理内容及勾股定理证明方法的探究,发展学生的探究能力和检验猜想的能力➢通过利用拼图和平板网络查找,了解勾股定理的证明,体会运用拼图等解决问题的方法,发展学生的动手能力➢通过探究及小组交流的过程,增进学生合作学习的能力,培养学生的辩证思维。

情感态度与价值观:➢通过对中国及国外相关数学史的学习,增进学生对数学的兴趣,同时增加学生的民族自豪感。

教学重点及难点重点:1、勾股定理的探究及运用定理解决简单问题2、勾股定理的证明难点:勾股定理的探究和证明三、学习者特征分析八年级是上学期的学生,有了足够的知识储备,具备几何思维能力和探究发现能力,八年级上学期的学生仍保留着学习的热情,也形成了较好的学习习惯,翻转课堂的方式,可以充分调动学生,让学生带着问题进入课堂,使课堂的学习更有目的性和实效性。

以小组为单位进行活动,可以使每一名学生都融入课堂四、教学策略选择与设计本课采用教学并用的教学策略。

1.翻转课堂教学模式,课前学生通过微课学习,了解相关部分数学史,同时可以运用定理解决简单问题2. 课堂上利用小组合作交流的学习方式,使学生在互助中解决微课学习中仍存有的疑问,并解决更深层次的问题3. 通过视频资料等演示式学习方式,课上通过更深入的中国相关数学史,增强学生的民族自豪感五、教学资源与工具设计希沃白板5,画板软件geogebra,拼图用几何图形、网络纸等学具六、教学过程教师展示三幅图片,请一名同学回顾微课中所学习的内容教师简单介绍勾股定理:在西方被称为bACc B a直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(锐角三角形两较短边的平方和大于第三边的平方, 钝角三角形两较短边的平方和小于第三边的平方)2.了解数学历史,探寻定理证明利用02年数学家大会的会徽,介绍数学家赵爽的弦图,引出勾股定理的证明活动 探究活动二:你能证明勾股定理吗? 探究方法: 1、利用"弦图”尝试证明勾股定理 2、利用手中的图形卡片拼图证明勾股定理 3、利用网络资源获得更多的证明方法 得到证明办法的小组进行展示讲解 教师介绍欧几里得对于勾股定理的证明方法,并播放相关微课学生听老师介绍,体会勾股定理的重要性并了解我国的相关数学史学生以小组为单位探究勾股定理的证明办法,并到讲台上进行讲解演示。

冀教版八年级数学上册17.3勾股定理导学案

冀教版八年级数学上册17.3勾股定理导学案

冀教版八年级数学上册17.3勾股定理导学案年级:八年级 科目: 数学 课题: 17.3勾股定理(1) 姓名: 能力情感目标 通过探索交流激发学生主动学习的欲望.技能方法目标1.经历勾股定理的探索过程,能熟记定理的内容. 2.能运用勾股定理由直角三角形的已知两边求第三边.3.能运用勾股定理解一些简单的实际问题重点 勾股定理的探索过程. 难点 勾股定理的应用 教法 启发引导式教学 学法自学,合作学习一 、课前抽测 1 直角三角形有什么性质?二 、合作交流、展示提升1、作一个直角三角形,使它的两条直角边的长分别为:3cm ,4cm,并量出斜边的长。

______________2、分别以这个直角三角形的三边为边作正方形,计算三个正方形的面积,它们有什么关系?___________________3、直角三角形的两条直角边用a,b 表示,斜边用C 表示,是否有_____呢?三、猜想证明观察(1) 如图甲,将四个直角边分别为a,b 斜边为c 的直角三角形放入边长为a+b 的正方形内,得到正方形A ,(2) 如图乙,将四个直角边分别为a,b 斜边为c 的直角三角形放入边长为a+b 的正方形内,得到正方形B 、C 。

思考:(1)甲、乙两个正方形的面积甲的面积:________ ,乙的面积:__________(1) 由此你发现了什么?____________(2) 即_____ 归纳:如果直角三角形两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,__________________ 即:也可以表示为:①②543乙甲Ca b ab abba bab a a bb a四、学以致用例:已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a若(1) a=5,b=12,求c.(2) a=40,c=41,求b.五巩固运用(1)求下列直角三角形的边长(2)在Rt△ABC中,∠C=90° a=3,b=3求c(3)在Rt△ABC中,∠B=90° a=3,b=4求c(4.)若直角三角形的两直角边长为6和8,则第三边为六、拓展提升1受台风麦莎影响,一棵树在离地面4米处断裂,树的顶部落在离树跟底部3米处,这棵树折断前有多高?总结:本节课,你学到了什么知识?还有那些疑惑?。

冀教版八年级上册数学第17章 特殊三角形 【学案】 勾股定理的应用

冀教版八年级上册数学第17章 特殊三角形 【学案】 勾股定理的应用

勾股定理的应用【学习目标】 能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题. 【重、难点】 在运用勾股定理解决实际问题的过程中,感受数学的“转化”思想(把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题),进一步发展有条理思考和有条理表达的能力,体会数学的应用价值. 【合作探究】1.如图,一圆柱体的底面周长为20cm ,高AB为4cm ,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A 出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C ,试求出爬行的最短路程.(精确到0.01cm ).2.一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如左图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【课堂展示】BA10cm 4cm? cm1.如图,在长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的外部,一只蚂蚁从顶点A 沿纸箱表面爬到顶点B 处,求它所行的最短路线的长。

2.如图,一块草坪的形状为四边形ABCD ,其中∠B=90°,AB=3m ,BC=4m ,•CD=•12m ,AD=13m .求这块草坪的面积.3.如图所示,公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇,且∠QPN=30°,点A 处有一所中学,AP=160米,假设一拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶,周围100米以内会受到噪声的影响,那么学校是否会受到噪声的影响?说明理由,若受影响,已知拖拉机的速度为18千米/时,则学校受影响的时间有多长?BAA BCD【自学测评】1.在△ABC 中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,则BC:AC:AB=_________2.甲、乙两人同时从同一地点出发,甲往东走了4km ,乙往南走了6km ,这时甲、乙两人相距__________km .3.在△ABC 中,AB=AC=4cm, ∠A: ∠B=2:5,过点C 作△ABC 的高CD ,与AB 交于D 点,则CD=_______4.如果梯子的底端建筑物有5m ,15m 长的梯子可达到该建筑物的高度大约是( )A.13mB.14m C 15m D. 16 m 5.如图所示,在长方形纸片ABCD 中,AD =4cm ,AB =14cm ,按如图方式折叠,使点B 与点D 重合,折痕为EF ,求DE6.如图所示,在△ABC 中,∠C=90°,CD ⊥AB ,求AC,AB 的长。

八年级数学上册17特殊三角形17.3勾股定理2导学案新版冀教版

八年级数学上册17特殊三角形17.3勾股定理2导学案新版冀教版

17.3 勾股定理(2)【学习目标】1.初步运用勾股定理解决简单的实际问题;2.运用勾股定理解决有关直角三角形的问题. 【学习重点】运用勾股定理解决简单的实际问题. 【学习难点】运用勾股定理解决简单的实际问题. 【预习自测】 一.知识链接1.如果直角三角形两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么a 2+b 2= c 2直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 2.运用方法因为 ∠C =90°所以 a 2+ b 2= c 2或AC 2+ BC 2= AB2勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一.至今在建筑工地上,还在用它来放线,进行“归方”,即放“成直角”的线.正因为这样,人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了。

尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票,主题是世界上“十个最重要的数学公式”,其中之一便是勾股定理.现在让我们一起走进“勾股定理的应用”. 【合作探究】自学:阅读课本,试着做一做本节练习,提出在自学中发现的问题,同时解决以下问题: 例:如图是一只圆柱形的封闭易拉罐,它的底面半径为4cm , 高为15cm ,问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长? 分析:搅拌棒在易拉罐中的位置可以有多种情形,如图中的1A B 、2A B ,但它们都不是最长的,根据实际经验,当搅拌棒的一个端点在B 点,另一个端点在A 点时最长,此时可以把BACbac线段AB 放在Rt△ABC 中,其中BC 为底面直径. 【解难答疑】1. 一棵大树被风刮断后折倒在地面上,如图,如果量得AC =6m ,CB =8m .则树在刮断之前有________高.2. 如图:有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了 米.3. 要从电线杆离地面5米处向地面拉一条13米的拉线,求地面拉线固定点A 到电线杆底部B 的距离.4.有两根木棒,它们的长度分别是40cm 和50cm ,若要钉成一个三角形木架,其中必须有一个角是直角,则所需最短的木棒长度是多少?5.一段长为10m 的梯子斜靠在墙上,梯子顶端距地面6m ,现将梯顶沿墙面下滑1m ,则梯子底端与墙面距离是否也增长1m ?说明理由.【拓展延伸】1.是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.若6AC ,5BC =,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图-2所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是 .2.如图,四边形ABCD ,EFGH ,NHMC 都是正方形,边长分别为a b c ,,;A B N E F ,,,,五点在同一直线上,则c = (用含有a b ,的代数式表示).3.把一根长为160 cm 的细铁丝剪成三段,作成一个等腰三角形风筝的边ABC (如图), 已知风筝的高AD =40 cm ,你知道小明是怎样弯折铁丝的吗?4. 如图,南北向MN 为我国的领海线,即MN 以西为我国领海,以东为公海.上午9时50分,我国反走私艇A 发现正东方有一走私艇C 以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来,便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B 密切注意.反走私艇A 通知反走私艇B :A 和C 两艇的距离是13海里,ABC图-1图-2a DC BcNEFb G HA、B两艇的距离是5海里.反走私艇B测得距离C艇是12 海里,若走私艇C的速度不变,最早会在什么时间进入我国领海?【总结反思】1.本节课我学会了:还有些疑惑:2.做错的题目有:原因:。

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17.3 勾股定理(1)【学习目标】1.经历用数格子的办法探索勾股定理的过程,进一步发展学生的合情推力意识,主动探 索的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系;2.探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系,进一步发展说理和简单的推理的意识及能力. 【学习重点】 1.掌握勾股定理;2.并会用勾股定理进行有关的计算. 【学习难点】 勾股定理的探究过程. 【预习自测】 一.知识链接由等边三角形的边角特点,提出直角三角形的边角特点问题.在等边三角形ABC 中,∠A=∠B=∠C→AB=BC=AC.在直角三角形ABC 中,∠A+∠B=∠C =90°,AB、 BC、 AC 三边之间有怎样的关系呢?二.【合作探究】 自主学习1.自学:阅读课本,试着做一做本节练习,提出在自学中发现的问题. 2.查找有关“勾股定理”的资料. (一)特殊情况探究(等腰直角三角形)问题:设1个单位的正方形方格面积为1,思考: 以AC 为一边的正方形面积AC 2是 , 以BC 为一边的正方形面积BC 2是 ,ACA BC 1AA CBABC以AB 为一边的正方形面积AB 2是 . 思考:三个正方形面积之间有什么关系?由三个正方形面积可以得到中间的直角三角形的三边 之间存在什么关系?如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个长度单位,上面所猜想的数量关系还成立吗?说明你的理由.(二)尝试验证勾股定理【解难答疑】1.直角ABC 的两直角边a =5,b =12,c = .2.直角ABC 的一条直角边a =6,斜边 c =10,则b = . 3.一高为5米的木梯,架在高为3米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少米?4.题目:在Rt △ABC 中, ∠C =90 °(1)已知a =3,b =4,求c ; (2)已知a =6,c =10,求b ; (3)已知c =25,b =15,求a .BACbac5.周长为24,斜边长为10的直角三角形面积为( )A .12B .16C .20D .246.直角三角形一直角边长为12,另两条边长均为自然数,则其周长为( )A .30B .28C .56D .不能确定7.在直角三角形ABC 中,90C ∠=︒,两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,如果a =5,b =12,那么c =______;如果b =8,c =17,那么三角形的面积是______. 【拓展延伸】1. 如图,四边形ABCD 是正方形,AE 垂直于BE ,且AE =3,BE =4,阴影部分的面积是______.2.如图,在△ABC 中,CE 平分∠ACB ,CF 平分∠ACD ,且EF ∥BC 交AC 于M ,若EF =5,则22CE CF +=____.AFE CD MB【总结反思】1.本节课我学会了:还有些疑惑:2.做错的题目有: 原因:。

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认识勾股定理
【学习目标】
1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程,进一步发展学生的合情推力意识,主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系,进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。

3、【学习重点】了结勾股定理的由来,并能用它来解决一些简单的问题。

【学前准备】1、画一个直角三角形并测量三边的长。

2、准备一张坐标纸
【自学探究】
阅读课本回答下列问题
1、
直角三角形的两条直角边的长度分别为a=3㎝,b=4㎝和a=6㎝,b=8㎝。


你量出斜边c 的长度。

(1) (2)
②进行有关的计算:(1)a 2+b 2=c 2= (2) a 2+b 2=c 2=
③得出结论:
2、思考:
(2)你能发现图1-1中三个正方形A ,B ,C 的面积之间有什么关系吗?图1-2中的呢?
6cm
(3)你能发现图1-1中三个正方形A,B,C围成的直角三角形三边的关系吗?(4)你能发现课本图1-3中三个正方形A,B,C围成的直角三角形三边的关系吗?
(5)如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个长度单位,上面所猜想的数量关系还成立吗?说明你的理由。

预习后你还有什么问题?最想和大家讨论交流的问题是什么?
【合作交流】
勾股定理:
例题:引例
【随堂练习】
1、练习
【巩固练习】
1.在△ABC中,∠C=90°,(l)若 a=5,b=12,则 c=(2)若c=41,a=9,则b=
2.等腰△ABC的腰长AB=10cm,底BC为16cm,则底边上的高为,面积为。

3.△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长为()
A.42 B.32 C.42或 32 D.37 或 33
4.一个长方体抽斗的长为24cm,宽为7cm,在抽斗里放铁条,铁条最长能是多少?
【小结】
你学到了什么:
知识方面
方法
你还有什么问题:
【今日作业】
1. 求出下列直角三角形中未知边的长度。

2、求斜边长17厘米、一条直角边长15厘米的直角三角形的面积【课后记】。

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