理科试卷

蒙城六中2013-2014学年度上学期质量检测 高二数学（理）试题（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. 若命题“错误！未找到引用源。

”为假，且“错误！未找到引用源。

”为假，则 ( )A ．错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

为假B ．错误！未找到引用源。

假C ．错误！未找到引用源。

真D ．不能判断错误！未找到引用源。

的真假2. 已知向量1(1,2,)3a =-，下列向量中与a 平行的向量是 （ ）A ．1(1,2,)3--B ．5(5,10,)3--C ．5(5,10,)3-- D ．(3,6,1)- 3．下列命题中正确的是 （ ）A ． x x y 1+=的最小值是2B ． 2322++=x x y 的最小值是2C ． 4522++=x x y 的最小值是25 D ．xx y 432--=的最大值是342- 4．若R b a ∈,，则3311b a >成立的一个充分不必要条件是（ ） A 0>ab B a b > C 0<<b a D 0)(<-b a ab5．如图，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在线段OA 上，且2OM MA =，点N 为BC 的中点，则MN =（ ）A ．121232a b c -+ B ．211322a b c -++ C ．111222a b c +- D ．221332a b c +-6. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则 （ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．217．已知123{,,}e e e 是空间的一个基底，下列四组向量中，能作为空间一个基底的是 （ ）①1223,2,e e e e - ②221212,,2e e e e e -+ ③1223132,,5e e e e e e ++-+ ④31313,,e e e e e ++ A ．①② B ．②④ C ．③④ D ．①③8．关于x 的不等式01)1()1(22<----x a x a 的解集为R ，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,53 B ．()1,1- C ．(]1,1- D ．⎥⎦⎤⎝⎛-1,53 9．下列说法错误．．的是 ( ） A ．如果命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题.B. 命题p ：042,0200<+-∈∃x x R x ,则042,:2≥+-∈∀⌝x x R x pC ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠”D ．存在性命题 “R x ∈∃，使2240x x -+-=”是真命题.10．已知f(x)是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有(xy)x (y)y (x)f f f =+成立．数列{}n a 满足(2)n n a f = (n ∈N *)，且a 1＝2.则数列的通项公式为a n ＝________. A ．2nn ⨯ B.(1)2n n -⨯ C ．12n n +⨯ D ．12n n -⨯第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案的最简结果填在题中的横线上． 11. p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的_____________条件．12.已知等比数列｛n a ｝中，a 1＋a 2=9，a 1a 2a 3=27,则｛a n ｝的前n 项和 S n = ___________．13. 已知()()()λ,5,4,2,4,1,6,2,4=--=-=，若,,a b c 三向量共面，则λ=________14. 给出平面区域（如图），若使目标函数：z ＝ax ＋y （a ＞0）取得最大值的最优解有无数多个， 则a 的值为 ．14题2）15.已知0,0,x y >>且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）在中，角所对的边分别是，已知. （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求的面积.17.（12分）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。

该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.那么在一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品各多少吨可获得最大利润，最大利润是多少？（用线性规划求解要画出规范的图形） 18. （12分）已知p ：02082≤--x x, q :x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)，若﹁p 是﹁q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.19．（12分）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，0n S ≠，11a =，1120n n n a S S +++=.（1）求证：数列1{}n S 是等差数列，并{}n a 的通项；（2）设21nn S b n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．如图所示，在长方体ABCD －1111A B C D 中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点． (1)求证：B 1E ⊥AD 1；(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？ 若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由； （3)若二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，求AB 的长．ABC ∆sin sin()3sin 2C B A A +-=c =C sin cos c A C ,,a b c ,,A B C ABC ∆21.（本小题满分13分）已知数列中，（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）若存在，使得成立，求实数的最小值.λ(1)n a n λ≤+n N *∈nTn {}2nn a n a {}n a 1123111,23()2n n n a a a a na a n N *++=+++⋅⋅⋅+=∈{}n a高二数学（理）答案（时间仓促仅供参考）一选择题：1-5BBCCB 6-10 ADDDA二填空题 11. 必要不充分 12.⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=nnS 2111213. 5 14. 35 15.（－4，2） 16．（Ⅰ）由正弦定理，得sin sin cos C A A C =， 因为sin 0A ≠，解得tan C =3C π=． 4分（Ⅱ）由sin sin()3sin 2C B A A +-=，得sin()sin()3sin 2B A B A A ++-=， 整理，得sin cos 3sin cos B A A A =． 若cos 0A =，则2A π=，tan 3c b π=，3b =， ABC ∆的面积12S bc ==8分若cos 0A ≠，则sin 3sin B A =，3b a =．由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，解得1,3a b ==．ABC ∆的面积1sin 2S ab C ==． 综上，ABC ∆12分18. 解： 由x 2－2x +1－2m ≤0得：1－m ≤x ≤1+m (m所以：“﹁q ”：A ={x |x >1+m 或x <1－m ,m ………………………………4分由02082≤--x x得：－2≤x ≤10,所以“﹁ p ”:B ={x |x >10或x <－………………………………8分由﹁p 是﹁q 的必要而不充分条件，知：A ⊆B,0129110m m m m >⎧⎪-≤-⇒≥⎨⎪+≥⎩故m 的取值范围为9m ≥ ……………………………………………….12分19. 解：（Ⅰ） 1120n n n a S S +++=，∴1120n n n n S S S S ++-+=， 即112n n n n S S S S ++-=，1112n nS S +-=， ∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列． 3分 由上知数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为公差的等差数列，首项为111S =，∴112(1)21nn n S =+-=-，∴121n S n =-． 6分 ∴()()111221232123n n n a S S n n n n -=-=-=-----． （或由1120n n n a S S +++=得()()11122221232123n n n a S S n n n n +=-=-⨯⨯=-----） 由题知，11a =综上，),2(,)32)(12(2)1(1N n n n n n a n ∈≥⎪⎩⎪⎨⎧---== 8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知21n n S b n =+1111(21)(21)22121n n n n ⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭， ∴1111111112335572121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴11122121n nT n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． 13分 20．解：(1)证明：以A 为原点，AB ，AD ，1AA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫a 2，1，0，B 1(a ，0,1)，故1AD ＝(0,1,1)，1B E ＝⎝⎛⎭⎫－a 2，1，－1，1AB ＝(a,0,1)，AE ＝⎝⎛⎭⎫a 2，1，0.∵1AD ·1B E ＝－a2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B 1E ⊥AD 1. …………………………………4分(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)，使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP ＝(0，－1，z 0)． 又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )．∵n ⊥平面B 1AE ，∴n ⊥1AB ，n ⊥AE ，得⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋z ＝0，ax2＋y ＝0.取x ＝1，则y ＝－a2，z ＝－a ，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－a2，－a .要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP ，有a 2－az 0＝0，解得z 0＝12.又DP ⊄平面B 1AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12.…………………………………8分(3)连接A 1D ，B 1C ，由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D . ∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C .又由(1)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1，∴AD 1⊥平面DCB 1A 1，∴1AD 是平面A 1B 1E 的一个法向量，此时1AD ＝(0,1,1)． 设1AD 与n 所成的角为θ，则cos θ＝n ·1AD |n ||1AD |＝－a2－a 2·1＋a 24＋a2.∵二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，∴|cos θ|＝cos 30°，即3a 22·1＋5a 24＝32，解得a ＝2，即AB 的长为2. ………………………13分21. （Ⅰ）12311232n n n a a a na a +++++⋅⋅⋅+=，n N *∈① 12323(1)2n n na a a n a a ∴+++⋅⋅⋅+-=，2n ≥②①-②：1122n n n n n na a a ++=-，13122n n n n a a ++∴=， 2分即1(1)3n n n a na ++=⨯（2n ≥），又22a =2，2n ∴≥时，数列{}n na 是以2为首项，3为公比的等比数列.223(2)n n na n -∴=⋅≥，故21,123,2n n n a n n-=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩ 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当2n ≥时，2223n n n a n -=⋅，∴当1n =时，11T =；当2n ≥时,0121436323n n T n -=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅,①12213343632(1)323n n n T n n --=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅,②①-②得，1221222(333)23n n n T n ---=+++⋅⋅⋅+-⋅ =1123323n n n ---+-⋅ =11(12)3n n --+-⋅111()3(2)22n n T n n -∴=+-≥，又11T =也满足 111()3()22n n T n n N -*∴=+-∈ 8分（Ⅲ）()11n n aa n n λλ≤+⇔≥+，由（Ⅰ）可知：当2n ≥时，()2231n n n λ-⋅≥+，令()()2231n f n n n -⋅=+，则()()()()()221123311223n n f n n n n f n n n --++⋅=⋅=>++⋅， 又()0f n >，∴()()1f n f n +>∴当2n ≥时，()f n 单增，∴()f n 的最小值是()123f =而1n =时，11112a =+，综上所述，1n a n +的最小值是13∴13λ≥，即λ的最小值是1313分。