1985年全国统一高考数学试卷理科
高考数学普通高等学校招生全国统一考试85.doc
高考数学普通高等学校招生全国统一考试85数学试题（文史类）分选择题和非选择题两部分. 满分150分. 考试时间1.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率kn k k n n P P C k P --=)1()(第一部分（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆5)2(22=++y x 关于原点（0，0）对称的圆的方程为 （ ）A ．5)2(22=+-y x B ．5)2(22=-+y xC ．5)2()2(22=+++y xD ．5)2(22=++y x解：∵圆5)2(22=++y x 的圆心(-2,0)关于原点对称的点为(2,0),∴圆5)2(22=++y x 关于原点对称的圆为(x-2)2+y 2=5,选(A).2．=+-)12sin 12)(cos 12sin 12(cosππππ（ ）A ．23-B ．21-C ．21 D ．23解：(cossin)(cossin)cos1212121262πππππ-+==,选(D) 3．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)(=x f ，则使得x x f 的0)(<的取值范围是（ ）A ．)2,(-∞B ．),2(+∞C ．),2()2,(+∞--∞D ．（－2，2）解：∵函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ,∴f(-2)=0, 在]0,(-∞上0)(<x f 的x 的取值范围是(2,0]-,又由对称性[0,)+∞,∴在R 上fx)<0仰x的取值范围为(-2,2),选(D)4．设向量a =（－1，2），b =（2，－1），则（a ·b ）（a +b ）等于 （ ） A ．（1，1） B ．（－4，－4） C ．－4 D ．（－2，－2） 解：（a ·b ）（a +b ）=[-2+(-2)](1,1)=(-4,-4),选(B) 5．不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log ,2|2|22x x 的解集为 （ ）A ．)3,0(B ．)2,3(C ．)4,3(D ．)4,2(解∵|x-2|<2的解集为(0,4),log 2(x 2-1)>1的解集为)(,+∞⋃-∞,∴不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log ,2|2|22x x 的解集)4,3(,选(C) 6．已知βα,均为锐角，若q p q p 是则,2:),sin(sin :πβαβαα<++<的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：∵由α、β均为锐角，:,2q παβ+<得0<α<α+β<2π∴sin(α+β)>sin α,但α、β均为锐角，sin α<sin(α+β),不一定能推出α+β<2π,如α=6π,β=3π就是一个反例,选(C)7．对于不重合的两个平面βα与，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③存在直线α⊂l ，直线β⊂m ，使得m l //； ④存在异面直线l 、m ，使得.//,//,//,//βαβαm m l l其中，可以判定α与β平行的条件有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解：命题①③是真命题,选(B)8．若nx )21(+展开式中含3x 的项的系数等于含x 的项的系数的8倍，则n 等于 （ ）A ．5B ．7C ．9D ．11解：3x 的项的系数为332n C ,x 的项的系数为12n C ,由题意得332n C =812n C 解之得n=5,选(A)一了9．若动点),(y x 在曲线)0(14222>=+b by x 上变化，则y x 22+的最大值为（ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b b b bB ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2)20(442b b b bC ．442+bD ．b 2解：由题意可设x=2cos α,y=bsin α,则x 2+2y=4cos 2α+2bsin α=-4sin 2α+2bsin α+4=-2(sin 2α-bsin α-2)=-2(sin α-2b )2+4+22b ,∴22x y +的最大值为2404424b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪≥⎩,选(A)10．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面 各连接中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形 的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则 该塔形中正方体的个数至少是 （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7解：k 层塔形的各层立方体的边长,增加的表面积以及k 层塔形的 表面积一览表如下：由上表可以看出要使塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则 该塔形中正方体的个数至少是6层,选(C)第二部分（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 11．若集合}0)5)(2(|{},034|{2<--∈=<+-∈=x x R x B x x R x A ，则=B A.解：∵A=(-4,3),B=(2,5),∴A ∩B={x|2<x<3}12．曲线3x y =在点（1，1）处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为 . 解：∵y '=3x 2,∵在(1,1)处切线为y-1=3(x-1),令y=0,得切线与x 轴交点(2,03),切线与直线x=2交于(2,4),∴曲线3(1,1)y x =在点处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为S=1416842363⋅⋅==.. 13．已知βα,均为锐角，且=-=+αβαβαtan ),sin()cos(则 . 解：由已知得1-tan αtan β=tan α-tan β,∴tan α=1tan 11tan ββ+=+.14．若y x y x -=+则,422的最大值是 . 解：令x=2cos α,y=2sin α,则x-y=2cos α-2sin α=2sin(4πα-)≤2,∴若y x y x -=+则,422的最大值是15．若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为 .解；P=1128222101745C C C C ⋅+= 16．已知B A ),0,21(-是圆F y x F (4)21(:22=+-为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平 分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 . 解：由题意可知,动点P 的轨迹是椭圆,这个椭圆的焦点是A(-12,0)和F(12,0),定长2a=圆F 的半径2,因而动点P 的轨迹方程为13422=+y x 三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）若函数)4sin(sin )2sin(22cos 1)(2ππ+++-+=x a x x x x f 的最大值为32+，试确定常数a 的值.18．（本小题满分13分）加工某种零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分别为109、98、87， 且各道工序互不影响.（Ⅰ）求该种零件的合格率；（Ⅱ）从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率.19．（本小题满分13分）设函数∈+++-=a ax x a x x f 其中,86)1(32)(23R . （1）若3)(=x x f 在处取得极值，求常数a 的值； （2）若)0,()(-∞在x f 上为增函数，求a 的取值范围.本小题满分13分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上一点，PE ⊥EC. 已知,21,2,2===AE CD PD 求 （Ⅰ）异面直线PD 与EC 的距离； （Ⅱ）二面角E —PC —D 的大小. 21．（本小题满分12分）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅（其中O 为原点）. 求k 的取值范围.22．（本小题满分12分）数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足记).1(211≥-=n a b n n（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值；（Ⅱ）求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和.n S数学试题（文史类）答案一、选择题：每小题5分，满分50分.1.A2.D3.D4.B5.C6.B7.B8.A9.A 10.C 二、填空题：每小题4分，满分24分. 11．}32|{<<x x 12．38 13．1 14．22 15．4517 16．13422=+y x 三、解答题：满分76分. 17．（本小题13分）解：)4sin(sin )2sin(21cos 21)(22ππ+++--+=x a x x x x f)4sin(cos sin )4sin(sin cos 2cos 2222ππ+++=+++=x a x x x a x x x )4sin()2()4sin()4sin(222πππ++=+++=x a x a x因为)(x f 的最大值为)4sin(,32π++x 的最大值为1，则,3222+=+a所以,3±=a 18．（本小题13分） （Ⅰ）解：1078798109=⨯⨯=P ； （Ⅱ）解法一： 该种零件的合格品率为107，由独立重复试验的概率公式得： 恰好取到一件合格品的概率为 189.0)103(107213=⋅⋅C ， 至少取到一件合格品的概率为 .973.0)103(13=-解法二：恰好取到一件合格品的概率为189.0)103(107213=⋅⋅C ， 至少取到一件合格品的概率为 .973.0)107(103)107()103(107333223213=+⋅+⋅⋅C C C19．（本小题13分）解：（Ⅰ）).1)((66)1(66)(2--=++-='x a x a x a x x f因3)(=x x f 在取得极值， 所以.0)13)(3(6)3(=--='a f 解得.3=a 经检验知当)(3,3x f x a 为时==为极值点.（Ⅱ）令.1,0)1)((6)(21===--='x a x x a x x f 得当),()(,0)(),,1(),(,1a x f x f a x a -∞>'+∞-∞∈<在所以则若时 和),1(+∞上为增 函数，故当)0,()(,10-∞<≤在时x f a 上为增函数.当),()1,()(,0)(),,()1,(,1+∞-∞>'+∞-∞∈≥a x f x f a x a 和在所以则若时 上为增函 数，从而]0,()(-∞在x f 上也为增函数.综上所述，当)0,()(,),0[-∞+∞∈在时x f a 上为增函数. 本小题13分）解法一：（Ⅰ）因PD ⊥底面，故PD ⊥DE ，又因EC ⊥PE ，且DE 是PE 在面ABCD 内的射影，由三垂直线定理的逆定理知 EC ⊥DE ，因此DE 是异面直线PD 与EC 的公垂线.设DE=x ，因△DAE ∽△CED ，故1,1,2±===x x xCD AE x 即（负根舍去）. 从而DE=1，即异面直线PD 与EC 的距离为1.（Ⅱ）过E 作EG ⊥CD 交CD 于G ，作GH ⊥PC 交PC 于H ，连接EH. 因PD ⊥底面， 故PD ⊥EG ，从而EG ⊥面PCD.因GH ⊥PC ，且GH 是EH 在面PDC 内的射影，由三垂线定理知EH ⊥PC. 因此∠EHG 为二面角的平面角.在面PDC 中，PD=2，CD=2，GC=,23212=-因△PDC ∽△GHC ，故23=⋅=PC CG PD GH ， 又,23)21(12222=-=-=DG DE EG故在,4,,π=∠=∆EHG EG GH EHG Rt 因此中即二面角E —PC —D 的大小为.4π 解法二：（Ⅰ）以D 为原点，、、分别为x 、y 、 z 轴建立空间直角坐标系.由已知可得D （0，0，0），P （0，0，)2， C （0，2，0）设),0,2,(),0)(0,0,(x B x x A 则>).0,23,(),2,21,(),0,21,(-=-=x x x E 由0=⋅⊥CE PE CE PE 得，即.23,0432==-x x 故 由CE DE ⊥=-⋅=⋅得0)0,23,23()0,21,23(， 又PD ⊥DE ，故DE 是异面直线PD 与CE 的公垂线，易得1||=，故异面直线PD 、 CE 的距离为1.（Ⅱ）作DG ⊥PC ，可设G （0，y ，z ）.由0=⋅得0)2,2,0(),,0(=-⋅z y 即),2,1,0(,2==y z 故可取作EF ⊥PC 于F ，设F （0，m ，n ）， 则).,21,23(n m --= 由0212,0)2,2,0(),21,23(0=--=-⋅--=⋅n m n m PC EF 即得， 又由F 在PC 上得).22,21,23(,22,1,222-===+-=EF n m m n 故 因,,⊥⊥故平面E —PC —D 的平面角θ的大小为向量DG EF 与的夹角.故,4,22||||cos πθθ===EF DG 即二面角E —PC —D 的大小为.4π21．（本小题12分）解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k 于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得 .1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 22．（本小题12分）解法一：（I ）;22111,111=-==b a 故.320,2013;421431,43;3821871,87443322===-===-==b a b a b a 故故故（II ）因231)34(3832)34)(34(=⨯=--b b ，2231222)34()34)(34(,)34()34(-=--=-b b b b故猜想.2,32}34{的等比数列公比是首项为=-q b n因2≠n a ，（否则将2=n a 代入递推公式会导致矛盾）,034,3436162038212)34(2,36162034368163421134).1(8162511111≠--=--=--=---=---=--=-≥-+=++++b b a a a b a a a a a b n a aa n n n n n n n n n n n n n 因故故2|34|=-q b n 确是公比为的等比数列. n n b b 23134,32341⋅=-=-故因, )1(34231≥+⋅=n b n n ,121211+=-=n n n n n b b a a b 得由 n n n b a b a b a S +++= 2211故)152(313521)21(31)(2121-+=+--=++++=n nn b b b n n n 解法二： （Ⅰ）由,052168,21121111=++-+=-=++n n n n n n n n a a a a b a a b 代入递推关系得 整理得,342,0364111-==+-+++n n n n n n b b b b b b 即 .320,4,38,2,143211=====b b b b a 所以有由（Ⅱ）由,03234),34(234,342111≠=--=--=++b b b b b n n n n所以故的等比数列公比是首项为,2,32}34{=-q b n).152(313521)21(31)(21,121211).1(34231,23134212211-+=+--=++++=+++=+=-=≥+⋅=⋅=-n n n b b b b a b a b a S b b a a b n b b n n n n n n n n n n n n n n n 故得由即 解法三：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）2342312)34(3832,38,34,32=⨯=-=-=-b b b b b b 因此故又因的等比数列公比是首项为猜想).1(81625,2231,2,32}{111≥-+=≠⋅=-=-+++n a a a a b b q b b nn n n nn n n n 1222181625121121111----+=---=-++n n n n n n n a a a a a b b ;3681036636816--=----=n n n n n a a a a a 3681636816211211111212-----=---=-++++++n n n n n n n n a a a a a a b b ).(2361620368163624361n n n n n n n n b b a a a a a a -=--=-----=+ ,231,2}{,0321112n n n n n b b q b b b b ⋅=-=-≠=-++的等比数列是公比因 从而112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=---n n n n n n n n n n n n b a b a b a S b b a a b n +++=+=-=≥+⋅=+-=++++=-- 2211121,121211).1(342312)22(312)222(31故得由。
1985年全国统一高考数学考试卷(理科)
1985年全国统一高考数学试卷〔理科〕一、选择题〔共5小题，每一小题3分，总分为15分〕的体积是〔〕π为周期的偶函数？〔〕5．〔3分〕用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复二、解答题〔共13小题，总分为90分〕6．〔4分〕求方程解集．7．〔4分〕设|a|≤1，求arccosa+arccos〔﹣a〕的值．8．〔4分〕求曲线y2=﹣16x+64的焦点．9．〔4分〕设〔3x﹣1〕6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．10．〔4分〕设函数f〔x〕的定义域是[0，1]，求函数f〔x2〕的定义域．11．〔7分〕解方程log4〔3﹣x〕+log〔3+x〕=log4〔1﹣x〕+log〔2x+1〕．12．〔7分〕解不等式13．〔15分〕如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为45°，P为平面AC的一点，Q为面BD的一点，直线MQ是直线PQ在平面BD的射影，并且M在BC上又设PQ与平面BD 所成的角为β，∠CMQ=θ〔0°＜θ＜90°〕，线段PM的长为a，求线段PQ的长．14．〔15分〕设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面的两动点，并且满足：〔1〕Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值θ和﹣θ；〔2〕△OZ1Z2的面积为定值S求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值．15．〔15分〕两点P〔﹣2，2〕，Q〔0，2〕以与一条直线：L：y=x，设长为的线段AB在直线L上移动，如图，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．〔要求把结果写成普通方程〕16．〔14分〕设，〔1〕证明不等式对所有的正整数n都成立；〔2〕设，用定义证明17．〔12分〕设a，b是两个实数，A={〔x，y〕|x=n，y=na+b，n是整数}，B={〔x，y〕|x=m，y=3m2+15，m是整数}，C={〔x，y〕|x2+y2≤144}，是平面XOY的点集合，讨论是否存在a和b使得〔1〕A∩B≠φ〔φ表示空集〕，〔2〕〔a，b〕∈C同时成立．18．曲线y=x3﹣6x2+11x﹣6．在它对应于x∈[0，2]的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值．1985年全国统一高考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题〔共5小题，每一小题3分，总分为15分〕的体积是〔〕A．B．C．D．2．〔3分〕的〔〕A．必要条件B．充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要的条件π为周期的偶函数？〔〕5．〔3分〕用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复二、解答题〔共13小题，总分为90分〕6．〔4分〕求方程解集．7．〔4分〕设|a|≤1，求arccosa+arccos〔﹣a〕的值．8．〔4分〕求曲线y2=﹣16x+64的焦点．9．〔4分〕设〔3x﹣1〕6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．10．〔4分〕设函数f〔x〕的定义域是[0，1]，求函数f〔x2〕的定义域．11．〔7分〕解方程log4〔3﹣x〕+log〔3+x〕=log4〔1﹣x〕+log〔2x+1〕．考点：对数的运算性质；对数函数的定义域．专题：计算题．分析：把方程移项，再化为同底的对数，利用对数性质解出自变量的值，由于不是恒等变形，注意验根．解答：解：由原对数方程得，解这个方程，得到x1=0，x2=7．检验：x=7是增根，故x=0是原方程的根．点评：此题考查对数的运算性质，对数函数的定义域．12．〔7分〕解不等式考点：其他不等式的解法．专题：计算题；分类讨论．分析：分类讨论，当时不等式成立，解出不等式解集即可，当时，将不等式的两边平方，解出解集即可，最后求出两个解集的并集即可．解答：解：，解得；〔4分〕或，解得﹣1≤x＜2；〔8分〕综上所述，解得〔12分〕点评：此题主要考查根号下的不等式的求解．13．〔15分〕如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为45°，P为平面AC的一点，Q为面BD的一点，直线MQ是直线PQ在平面BD的射影，并且M在BC上又设PQ与平面BD所成的角为β，∠CMQ=θ〔0°＜θ＜90°〕，线段PM的长为a，求线段PQ的长．考点：平面与平面之间的位置关系．专题：计算题．分析：过点P作平面BD的垂线，垂足为R，由PQ与平面BD所成的角为β，要求PQ，可根据，故我们要先求PR值，而由二面角的平面角为45°，我们可得NR=PR，故我们要先根据MR=，与a2=PR2+MR2，求出NR的值．解答：解：自点P作平面BD的垂线，垂足为R，由于直线MQ是直线PQ在平面BD的射影，所以R在MQ上，过R作BC的垂线，设垂足为N，如此PN⊥BC〔三垂线定理因此∠PNR是所给二面角的平面角，所以∠PNR=45°由于直线MQ是直线PQ在平面BD的射影，所以∠PQR=β在Rt△PNR中，NR=PRcot45°，所以NR=PR．在Rt△MNR中，MR=，在Rt△PMR中，，又0°＜θ＜90°，所以．在Rt△PRQ中，．故线段PQ的长为．点评：此题考查的知识点是平面与平面间的位置关系，二面角，解三角形，根据条件由未知的结论利用分析法寻求解题思路是解题的关键．14．〔15分〕设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面的两动点，并且满足：〔1〕Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值θ和﹣θ；〔2〕△OZ1Z2的面积为定值S求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值．考点：复数的根本概念；复数求模．专题：综合题．分析：设出Z1，Z2和Z对应的复数分别为z1，z2和z，由于Z是△OZ1Z2的重心，表示其关系，求解即可．解答：解：设Z1，Z2和Z对应的复数分别为z1，z2和z，其中z1=r1〔coθ+isinθ〕，z2=r2〔coθ﹣isinθ〕．由于Z是△OZ1Z2的重心，根据复数加法的几何意义，如此有3z=z1+z2=〔r1+r2〕cosθ+〔r1﹣r2〕isinθ．于是|3z|2=〔r1+r2〕2cos2θ+〔r1﹣r2〕2sin2θ=〔r1﹣r2〕2cos2θ+4r1r2cos2θ+〔r1﹣r2〕2sin2θ=〔r1﹣r2〕2+4r1r2cos2θ又知△OZ1Z2的面积为定值S与，所以，即由此，故当r1=r2=时，|z|最小，且|z|最小值=．点评：此题考查复数的根本概念，复数求模，是中档题．15．〔15分〕两点P〔﹣2，2〕，Q〔0，2〕以与一条直线：L：y=x，设长为的线段AB在直线L上移动，如图，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．〔要求把结果写成普通方程〕考点：轨迹方程．专题：计算题；交轨法．分析：根据题意，设点A和B分别是〔a，a〕和〔a+1，a+1〕，直线PA的方程是，直线QB的方程直线PA和QB平行，无交点〔2〕当a≠0时，直线PA与QB相交，设交点为M〔x，y〕，由〔2〕式得，∴将上述两式代入〔1〕式，得整理得x2﹣y2+2x﹣2y+8=0，即当a=﹣2或a=﹣1时，直线PA和QB仍然相交，并且交点坐标也满足〔*〕式所以〔*〕式即为所求动点的轨迹方程．点评：此题考查轨迹方程的求法，解题时要认真审题，仔细分析，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地选取公式．16．〔14分〕设，〔1〕证明不等式对所有的正整数n都成立；〔2〕设，用定义证明考点：不等式的证明；极限与其运算．专题：证明题．分析：〔1〕考虑a n和式的通项，先对其进展放缩，结合数列的求和公式即可证得；〔2〕欲用定义证明即证对任意指定的正数ε，要使．解答：证：〔1〕由不等式17．〔12分〕设a，b是两个实数，A={〔x，y〕|x=n，y=na+b，n是整数}，B={〔x，y〕|x=m，y=3m2+15，m是整数}，C={〔x，y〕|x2+y2≤144}，是平面XOY的点集合，讨论是否存在a和b使得〔1〕A∩B≠φ〔φ表示空集〕，〔2〕〔a，b〕∈C同时成立．18．曲线y=x3﹣6x2+11x﹣6．在它对应于x∈[0，2]的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值．。
1985年高考数学题
1986年高考数学题1. 已知平面直角坐标系上直线L: $2x-y+3=0$ , M($\frac{7}{4}$,1) , 点P到L的距离为 $\frac{1}{2}$ 。
求：(1) 直线L的斜率；(2) 点P到直线L的垂线方程。
2. 若函数$f(x)=ax^2+bx+c$ ($a \neq 0$)的图象恰与x轴相切，且过点(1,2)，则a,b,c 的值满足的关系为________。
3. 已知3阶矩阵$A = \begin{pmatrix}1 & -2 & 2\\2 & 2 & -1\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}$ 。
求：(1) A的伴随矩阵；(2) $A^{-1}$ 。
以下是这三道题目的解答：1.(1)直线L的斜率为 $k = \frac{2}{1} = 2$。
(2)设点P到直线L的垂线为直线N，则直线N的斜率为 $-\frac{1}{2}$，直线N的方程为 $y-1 = -\frac{1}{2}(x-\frac{7}{4})$ 或 $x+2y-{\frac{15}{4}}=0$。
2.因为函数$f(x)$与x轴相切，所以$f(1) = 0$ 且 $f'(1) = 0$。
解得：$a+b+c=2$ 且 $2a+b=0$。
因为 $a \neq 0$，所以可以解得 $a = 1$ 且 $b = -2$，进而得到 $c = 3$。
因此，a,b,c的值满足 $a=1, b=-2, c=3$。
3.(1)A的伴随矩阵为 $A^*=\begin{pmatrix}-1 & 1 & 4\\-2 & 2 & 5\\-2 & 2 & 4\end{pmatrix}$。
(2)A的行列式为 $|A|=1$，所以 A 可逆。
根据矩阵求逆的公式，可以得到 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*=\begin{pmatrix}-1 & 1 & 4\\-2 & 2 & 5\\-2 & 2 & 4\end{pmatrix}$。
1986年全国统一高考-数学试卷(理科)
1986年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（ ） A ． B ． C ． D．2．（3分）函数y=（0.2）﹣x +1的反函数是（ ） A ． y=log 5x+1 B ． y=log x 5+1 C ． y=log 5（x ﹣1） D ． y=log 5x ﹣13．（3分）极坐标方程表示（ ）A． 一条平行于x 轴的直线 B ． 一条垂直于x 轴的直线C ． 一个圆D ． 一条抛物线4．（3分）函数是（ ）A ． 周期为的奇函数B ． 周期为的偶函数C ． 周期为的奇函数D ． 周期为的偶函数5．（3分）给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（） A ． 1789 B ． 1799 C ． 1879 D ．18996．（3分）（2004•重庆）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（3分）如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（）A ．D=E B．D=F C．E=F D．D=E=F8．（3分）在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D 是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S﹣EFG中必有（）A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面D．GD⊥△SEF所在平面9．（3分）在下列各图中，y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象只可能是（）A．B．C．D．10．（3分）当x∈[﹣1，0]时，在下面关系式中正确的是（）A ． B．C ． D．二、解答题（共13小题，满分90分）11．（4分）求方程的解．12．（4分）已知的值．13．（4分）在xoy 平面上，四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）求这个四边形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积．14．（4分）求．15．（4分）求展开式中的常数项．16．（4分）已知的值．17．（10分）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的任一点，求证：平面PAC 垂直于平面PBC ．18．（12分）当sin2x ＞0，求不等式log 0.5（x 2﹣2x ﹣15）＞log 0.5（x+13）的解集．19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使∠ACB 取得最大值．20．（10分）已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：（1）C⊂A∪B且C中含有3个元素，（2）C∩A≠∅（∅表示空集）．21．（12分）过点M（﹣1，0）的直线L1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点记：线段P1P2的中点为P；过点P和这个抛物线的焦点F的直线为L2；L1的斜率为k试把直线L2的斜率与直线L1的斜率之比表示为k的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数．22．（12分）已知x1＞0，x1≠1，且，（n=1，2，…）．试证：数列{x n}或者对任意自然数n都满足x n＜x n+1，或者对任意自然数n都满足x n＞x n+1．23．附加题：（1）求y=xarctgx2的导数；（2）求过点（﹣1，0）并与曲线相切的直线方程．1986年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（）A ．B．C．D．考点：复数的基本概念．分析：复数的三角形式是r（cosθ+isinθ），观察所给的四种形式，只有一种形式符合要求，注意式子中各个位置的符号，可得结果．解答：解：∵Z=r（cosθ+isinθ），∴Z=2（cos+isin），故选B点评：复数的代数形式和三角形式是复数运算中常用的两种形式，注意两种形式的标准形式，不要在简单问题上犯错误．2．（3分）函数y=（0.2）﹣x+1的反函数是（）A ．y=log5x+1B．y=log x5+1C．y=log5（x﹣1）D．y=log5x﹣1考点：反函数．专题：计算题．分析：本题考查的是指数式与对数式的互化及反函数的求法，利用指对互化得到反函数的解析式y=log5（x﹣1）即可选择答案．解答：解：根据指数式与对数式的互化，由y=（0.2）﹣x+1解得x=log5（y﹣1）x，y互换得：y=log5（x﹣1）故选C点评：本题小巧灵活，很好的体现了指数是与对数式的互化，抓住选项特点，求出反函数的解析式就可以判断出正确答案，不必求出反函数的定义域等．3．（3分）极坐标方程表示（ ） A ． 一条平行于x 轴的直线B ．一条垂直于x 轴的直线C ． 一个圆D ．一条抛物线考点： 点的极坐标和直角坐标的互化．专题： 选作题；转化思想．分析： 首先由极坐标与直角坐标系的转换公式，把极坐标转化为直角坐标系下的方程，然后再判断曲线所表示的图形． 解答： 解：由极坐标与直角坐标系的转换公式， 可得到X=即是一条垂直于x 轴的直线．所以答案选择B ． 点评： 此题主要考查极坐标系与直角坐标系的转化，以及公式的应用．计算量小题目较容易．4．（3分）函数是（ ） A ． 周期为的奇函数 B ． 周期为的偶函数C ． 周期为的奇函数D ． 周期为的偶函数考点：二倍角的正弦． 分析：逆用二倍角的正弦公式，整理三角函数式，应用周期的公式求出周期，再判断奇偶性，这是性质应用中的简单问题． 解答： 解：∵y=sin2xcos2x=sin4x∴T=2π÷4=，∵原函数为奇函数，故选A点评：利用同角三角函数间的关系式可以化简三角函数式．化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根号内的三角函数式尽量开出；第四，尽量使分母不含三角函数．把函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式再解决三角函数性质有关问题．5．（3分）给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（）A ．1789 B．1799 C．1879 D．1899考点：收集数据的方法．专题：计算题．分析：本题要求求20个数字的和，数字个数较多，解题时要细心，不要漏掉数字或重复使用数字．解答：解：由题意知本题是一个求和问题，87+91+94+88+93+91+89+87+92+86+90+92+88+90+91+86+89+92+95+88=1799，故选B．点评：本题是一个最基本的问题，考查的是数字的加法运算，这样的题目若出上，则是一个送分的题目．6．（3分）（2004•重庆）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：压轴题．分析：由题设条件知p⇒r⇒s⇒q．但由于r推不出p，所以q推不出p．解答：解：依题意有p⇒r，r⇒s，s⇒q，∴p⇒r⇒s⇒q．但由于r推不出p，∴q推不出p．故选A．点评：本题考查充分条件，必要条件，充要条件的判断，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．7．（3分）如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（）A ．D=E B．D=F C．E=F D．D=E=F考点：圆的一般方程．分析：圆关于直线y=x对称，只需圆心坐标满足方程y=x即可．解答：解：曲线关于直线y=x对称，就是圆心坐标在直线y=x上，圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）中，D=E．故选A．点评：本题考查圆的一般方程，对称问题，是基础题．8．（3分）在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S﹣EFG中必有（）A ．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面D．GD⊥△SEF所在平面考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：根据题意，在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，由线面垂直的判定定理，易得SG⊥平面EFG，分析四个答案，即可给出正确的选择．解答：解：∵在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFG．故选A．点评：线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．9．（3分）在下列各图中，y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象只可能是（）A ．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：压轴题；数形结合．分析：要分析满足条件的y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象情况，我们可以使用排除法，由二次项系数a与二次函数图象开口方向及一次函数单调性的关系，可排除A，C；由二次函数常数项c为0，函数图象过原点，可排除B．解答：解：在A中，由二次函数开口向上，故a＞0故此时一次函数应为单调递增，故A不正确；在B中，由y=ax2+bx，则二次函数图象必过原点故B也不正确；在C中，由二次函数开口向下，故a＜0故此时一次函数应为单调递减，故C不正确；故选D．点评：根据特殊值是特殊点代入排除错误答案是选择题常用的技巧，希望大家熟练掌握．10．（3分）当x∈[﹣1，0]时，在下面关系式中正确的是（）A ．B ．C ．D ．考点：反三角函数的运用．专题：压轴题；阅读型．分析：利用三角函数的运算法则，以及几何意义对选项一一验证，可求正确选项．解答：解：当x在（﹣1，0）∈[﹣1，0]内变化时：由于0＜1﹣x2＜1，每一个关系式的右端均为锐角．每一个关系式的左端均为两项，第一项均为π；考查第二项，由于arccos（﹣x）和arcsin（﹣x）均为锐角，所以π﹣arccos（﹣x）=钝角，（A）不正确．π﹣arcsin（﹣x）=钝角，（B）不正确．由于arcsinx为负锐角，所以π﹣arcsinx＞π，（D）不正确．故选C．点评：本题考查反函数的运算，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．二、解答题（共13小题，满分90分）11．（4分）求方程的解．考点：指数函数综合题．分析：将方程两侧化成以5为底数的指数式，由同底数的指数式相等必有指数相等即可解．解答：解：∵===∴∴点评：本题主要考查解指数方程的问题．注意方程两侧可都化成同底数后再求解．12．（4分）已知的值．考点：复数代数形式的混合运算．分析：ω的值是1的一个立方虚根，ω2+ω+1=0是它的性质．解答：解：由==0 点评：本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题．13．（4分）在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：画出图形，旋转后的几何体是一个圆台，去掉一个倒放的圆锥，求出圆台的体积，减去圆锥的体积即可．解答：解：在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3），这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体是：底面半径为3，高为2，上底面半径为1的圆台，去掉一个底面半径为1，高为1的圆锥，所以几何体的体积是：=．故答案为：点评：本题是基础题，考查旋转体的体积，旋转体的图形特征，棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，是常考题型．14．（4分）求．考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：当x→∞时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则．本题中，可将分子、分母都除以3n，再利用商的极限运算法则进行计算．解答：解：原式=，又．则原式=．故答案是．点评：在求此类分式极限式时，注意到常用的技巧，分子分母同时除以3n．即可完成极限计算．15．（4分）求展开式中的常数项．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第r+1项，令x的指数为0求出常数项．解答：解：展开式的通项T=（﹣1）r25﹣r C5r x15﹣5rr+1令15﹣5r=0得r=3所以展开式的常数项为﹣22C53=﹣40点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．16．（4分）已知的值．考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：先对sinθ﹣cosθ=两边平方得到sinθcosθ=，再由sin3θ﹣cos3θ=（sinθ﹣cosθ）（sin2+sinθcosθ+cos2θ）可得答案．解答：解：∵sinθ﹣cosθ=，∴∴sinθcosθ=sin3θ﹣cos3θ=（sinθ﹣cosθ）（sin2+sinθcosθ+cos2θ）=×（1+）=点评：本题主要考查已知关于三角函数的等式求3次三角函数值的问题．这里要注意三角函数的变形应用．17．（10分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证：平面PAC垂直于平面PBC．考点：平面与平面垂直的判定．专题：证明题；综合题．分析：要证明平面PAC垂直于平面PBC，直线证明平面PBC内的直线BC，垂直平面PAC内的两条相交直线PA、AC即可．解答：证明：连接AC∵AB是圆O的直径∴∠ACB=90°即BC⊥AC又∵PA⊥圆O所在平面，且BC在这个平面内∴PA⊥BC 因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线∴BC⊥平面PAC∴△PB C所在平面与△PAC所在平面垂直．点评：本题考查直线与平面平行与垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．18．（12分）当sin2x＞0，求不等式log0.5（x2﹣2x﹣15）＞log0.5（x+13）的解集．考点：对数函数的单调性与特殊点；对数函数的定义域；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：由sin2x＞0得到x取值范围；再接对数不等式，又得到x取值范围，最后将得到的这2个范围取交集即得原不等式的解集．解答：解：满足sin2x＞0 的x取值范围是，（1）而由log0.5（x2﹣2x﹣15）＞log0.5（x+13），得解得：﹣4＜x＜﹣3，5＜x＜7，（5）由（1）、（5）可知所求解集为（﹣π，﹣3）∪（2π，7）．点评：本题考查对数函数的定义域，对数函数的单调性与特殊点，及一元二次不等式的解法．19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使∠ACB取得最大值．考点：基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正切函数．专题：计算题；函数思想．分析：首先题目给定y轴的正半轴上的两点A、B，求x轴的正半轴上点C，使∠ACB取得最大值．故可以设A的坐标为（0，a）、点B的坐标为（0，b），C的坐标为（x，0）记∠BCA=α，∠OCB=β，．然后根据三角形角的关系，求出tanα的值再根据基本不等式求出其最大值，因为在内tanα是增函数，即所得的角为最大角．解答：解：设点A的坐标为（0，a）、点B的坐标为（0，b），0＜b＜a，又设所求点C的坐标为（x，0）．记∠BCA=α，∠OCB=β，则∠OCA=α+β．显然，．现在有tanα=tg[（α+β）﹣β]==．记，那么，当时，y取得最小值2因此，当时，tanα取得最大值．因为在内tanα是增函数，所以当时，∠ACB取最大值．故所求点C的坐标为（，0）．故答案为（，0）．点评：此题主要考查基本不等式在求最值问题中的应用，题中涉及到两角和与差的正切函数，有一定的技巧性，属于中档题目．20．（10分）已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：（1）C⊂A∪B且C中含有3个元素，（2）C∩A≠∅（∅表示空集）．考点：子集与交集、并集运算的转换．分析：集合韦恩图求出A∪B中元素的个数，再利用排列组合知识求解即可．解答：解：因为A、B各含12个元素，A∩B含有4个元素，因此A∪B元素的个数是12+12﹣4=20故满足题目条件（1）的集合的个数是C203，在上面集合中，还满足A∩C=∅的集合C的个数是C83因此，所求集合C的个数是C203﹣C83=1084点评：本题考查集合中元素的个数、子集个数以及排列组合知识，难度不大．21．（12分）过点M（﹣1，0）的直线L1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点记：线段P1P2的中点为P；过点P和这个抛物线的焦点F的直线为L2；L1的斜率为k试把直线L2的斜率与直线L1的斜率之比表示为k的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题．分析：先设直线L1的方程是y=k（x+1），然后与抛物线方程联立消去y，得到两根之和、两根之积，将直线L1与该抛物线有两个交点转化为△=（2k2﹣4）2﹣4k2•k2＞0且k≠0，进而可得到k的范围，设点P的坐标为，可以得到直线L1、直线L2的斜率，记，则可以得到，再由，可以得到，再分析单调性即可．解答：解：由已知条件可知，直线L1的方程是y=k（x+1）①把①代入抛物线方程y2=4x，整理后得到k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0②因此，直线L1与该抛物线有两个交点的充要条件是：（2k2﹣4）2﹣4k2•k2＞0③及k≠0．④解出③与④得到k∈（﹣1，0）∪（0，1）现设点P的坐标为，则直线L1的斜率，而直线L2的斜率，记，则今记L1与抛物线的两个交点P1与P2的横坐标分别为x1和x2，由韦达定理及②得，由此得到，定义域是（﹣1，0）∪（0，1）显然，1﹣k2在（﹣1，0）内递增，在（0，1）内递减所以，在（0，1）内为增函数，在（﹣1，0）内为减函数点评：本题主要考查直线与抛物线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合题是高考的一个重要考点，要着重复习．22．（12分）已知x1＞0，x1≠1，且，（n=1，2，…）．试证：数列{x n}或者对任意自然数n都满足x n＜x n+1，或者对任意自然数n都满足x n＞x n+1．考点：用数学归纳法证明不等式；数列递推式．专题：证明题；压轴题；归纳法．分析：首先，，故x与x n+1，的大小关系n取决于x n与1的大小，猜想分两类：x1＜1和x1＞1，最后利用数学归纳法进行证明即可．解答：证：首先，，由于x1＞0，由数列{x n}的定义可知x n＞0，（n=1，2，…）所以，x n+1﹣x n与1﹣x n2的符号相同．①假定x1＜1，我们用数学归纳法证明1﹣x n2＞0（n∈N）显然，n=1时，1﹣x12＞0设n=k时1﹣x k2＞0，那么当n=k+1时，因此，对一切自然数n都有1﹣x n2＞0，从而对一切自然数n都有x n＜x n+1②若x1＞1，当n=1时，1﹣x12＜0；设n=k时1﹣x k2＜0，那么当n=k+1时=，因此，对一切自然数n都有1﹣x n2＜0，从而对一切自然数n都有x n＞x n+1点评：本题主要考查了用数学归纳法证明不等式、不等式的证明，属于中档题．23．附加题：（1）求y=xarctgx2的导数；（2）求过点（﹣1，0）并与曲线相切的直线方程．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．专题：计算题；压轴题．分析：（1）根据（uv）′=u′v+uv′，（arctgx）′=，根据复合函数求导数的法则求出即可；（2）根据（）′=求出y′，把x等于﹣1代入y′的值即为切线的斜率，利用切点的斜率写出切线方程即可．解答：解：（1）y′=（xarctgx2）′=x′arctgx2+x•（arctgx2）′=arctgx2+x•2x•=arctgx2+；（2），而点（﹣1，0）在曲线上，y'|x=﹣1=1，所以所求的切线方程为y=x+1点评：此题考查学生利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，灵活运用求导法则求函数的导数，是一道中档题．。
1985年全国高等学校统一招生数学试题
1985年全国高等学校统一招生数学试题
康庄;家骏;文立
【期刊名称】《数学教学通讯》
【年(卷),期】1984(000)003
【总页数】4页(P48-51)
【作者】康庄;家骏;文立
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】G6
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1985年全国普通高等学校招生统一考试数学理.pdf
学习目标： 1、认识课本附录P142——P144页常见的化学实验仪器，了解它们的主要用途和实验注意事项； 2、理解和牢记化学实验室安全规则，提高遵守实验室安全规则的自觉性。
知识点（含重点、难点）： 重点：化学实验室常见的仪器名称、用途、使用的注意事项。
难点：提高学生遵守实验室安全规则的意识。
实验准备： 试管、蒸发皿、燃烧匙、烧杯、锥形瓶、酒精灯、量筒、铁架台（带铁夹、铁圈）、试管夹、试管架、漏斗、分液漏斗、广口瓶、细口瓶、滴瓶、药匙、胶头滴管、等 板书设计： 化学实验基本技能训练（一）(第一课时) 一、认识你的实验室 二、切记实验室安全规则 ①直接加热的仪器 1、三不原则1、反应容器2、用剩药品的处理（安全环保原则） ②垫石棉网加热 3、化学危险品图标 2、加热仪器 4、烫伤 3、计量仪器 5、酸、碱灼伤 4、固定、支持仪器 6、实验台着火 5、分离物质仪器 6、存放物质的仪器 学习过程： 师生互动活动意图【创设情景引入新课】 【教师】首先我给大家讲一只烧坏的挎包的故事：在美国一所著名中学，化学实验室的陈列窗中有一只烧坏的挎包，关于这个挎包还有一个有趣的故事呢。
很多年以前，这个学校的一个学生在做实验时，看到金属钠非常神奇，就偷偷的在自己的挎包里放了一小块金属钠，打算下课后再玩，但是还没等下课他的挎包就着火了，原来金属钠的化学性质非常活泼，在他的挎包里很快就自燃了，他不遵守实验室的规则而导致了实验时的危险，为了警示以后的学生，因此学校把这个学生的挎包留了下来并陈列在橱窗里。
【学生】聆听，意识到不遵守实验室安全规则带来的危险 【过渡】今天，我们就一起走进化学实验室来了解化学实验室的有关知识。
【板书课题】化学实验基本技能训练（一） 【出示学习目标】 【教师】首先我们来了解一下本节课的学习目标， 投影：学习目标 师生明确学习的目标和具体的任务，知道学习时的重点和难点。
【学生】明确目标，知道本节课的学习任务。
普通高等学校招生全国统一考试数学1985年-文科数学
1985年全国普通高等学校招生统一考试（文史类）数学一、本题每个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.(1)设正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a,那么三棱锥A′—ABD的体积是(A)必要条件(B)充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分又不必要的条件(3)设集合X={0,1,2,4,5,7},Y={1,3,6,8,9},Z={3,7,8},那么集合(x∩Y)∪Z是(A){0,1,2,6,8} (B){3,7,8}(C){1,3,7,8} (D){1,3,6,7,8}以π为周期的偶函数?(A)y=x2 (x∈R) (B)y=│sinx│(x∈R)(C)y=cos2x (x∈R) (D)y=e sin2x (x∈R)(5)用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20000大,并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数,共有(A)96个(B)78个(C)72个(D)64个二、只要求直接写出结果.(2)求圆锥曲线3x2-y2+6x+2y-1=0的离心率.(3)求函数y=-x2+4x-2在区间[0,3]上的最大值和最小值.(4)设(3x-1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值.(5)设i是虚数单位,求(1+i)6的值.三、设S1=12, S2=12+22+12,S3=12+22+32+22+12,…,S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12,….用数学归纳法证明:公式对所有的正整数n都成立.四、证明三角恒等式五、(1)解方程lg(3-x)-lg(3+x)=lg(1-x)-lg(2x+1).(2)解不等式六、设三棱锥V-ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β,它的高是h.求这个三棱锥底面的内切圆半径.七、已知一个圆C:x2+y2+4x-12y+39=0和一条直线l:3x-4y+5=0.求圆C关于直线l对称的圆的方程.1985年全国普通高等学校招生统一考试（文史卷）数学参考答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)D; (2)A; (3)C; (4)B; (5)B.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.(1){x│-2≤x<1}∪{x│1<x≤2};(2)2;(3)最大值是2,最小值是-2;(4)64(或26;(5)-8i.三、本题考查应用数学归纳法证明问题的能力.证明:因为S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12,即要证明12+22+32+…+n2+…+32+22+12(Ⅱ)假设当n=k时,(A)式成立,即现设n=k+1,在上式两边都加上(k+1)2+k2,得12+22+…+k2+(k+1)2+k2+…+22+12即证得当n=k+1时(A)式也成立.根据(Ⅰ)和(Ⅱ),(A)式对所有的正整数n都成立,即证得四、本题考查三角公式和证明三角恒等式的能力.证法一:左边=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x-(4cos3x-3cosx)cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+cos4x+3cos2x=(2sin2x+cos2x)(sin2x+cos2x)+3cos2x=2sin2x+cos2x+3cos2x=2+2cos2x=右边.证法二:=右边.五、本题考查对数方程、无理不等式的解法以及分析问题的能力.(1)解法一:由原对数方程得于是解这个方程,得到x1=0, x2=7.检验:把x=0代入原方程,左边=0=右边;故x=0是原方程的根.把x=7代入原方程,由于3-x<0,1-x<0,它们的对数无意义,故x=7不是原方程的根,应舍去.因此,原对数方程的根是x=0.对原方程变形,同解法一,得x1=0, x2=7.2x+5>x2+2x+1,x2<4,即-2<x<2. 但由条件x≥-1,因此-1≤x<2也是原不等式的解. 综合(i)和(ii),得出原不等式的解集是六、本题考查三棱锥、二面角的概念,三垂线定理和解决空间图形问题的能力.解:自三棱锥的顶点V向底面作垂线,垂足为O.再过O分别作AB,BC,CA的垂线,垂足分别为E,F,G.连接VE,VF,VG.根据三垂线定理知VE⊥AB,VF⊥BC,VG⊥AC.因此∠VEO,∠VFO,∠VGO分别为侧面与底面所成二面角的平面角,由已知条件得∠VEO=∠VFO=∠VGO=β.在△VOE和△VOF中,由于VO⊥平面ABC,所以VO⊥OE,VO⊥OF.又因VO=VO,∠VEO=∠VFO,于是△VEO≌△VFO.由此得到OE=OF.同理可证OE=OG.因此OE=OF=OG.又因OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥AC,所以点O是△ABC的内切圆的圆心.在直角三角形VEO中,VO=h,∠VEO=β,因此OE=hctgβ.即这个三棱锥底面的内切圆半径为hctgβ.七、本题考查直线和圆的基础知识和用解析法解决几何问题的能力.解法一:已知圆C的方程是x2+y2+4x-12y+39=0,它可写成(x+2)2+(y-6)2=1,因此它的圆心为P(-2,6),半径为1.即3a-4b-20=0. (1)又PP′⊥l,故有即4a+3b-10=0. (2)解(1),(2)所组成的方程组,得a=4,b=-2.由此,所求圆的方程为(x-4)2+(y+2)2=1,即x2+y2-8x+4y+19=0.解法二:设圆C上任一点(x′,y′)关于直线l的对称点为(x,y).则有由此可得因点(x′,y′)在圆C上,故有(x′+2)2+(y′-6)2=1,即有化简,得x2+y2-8x+4y+19=0,这就是所求圆的方程.八、本题考查数列和极限的基础知识以及分析问题的能力.解:当公比q满足0<q<1时,于是因此当公比q=1时,S n=1+1+…+1=n,于是因此当公比q>1时, 于是因此综合以上讨论得到。
1985年全国统一高考数学试卷(文科)
1985年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分） 1．（3分）如果正方体ABCD ﹣A′B′C′D′的棱长为a ，那么四面体A′﹣ABD 的体积是（ ） A ． B ． C ． D ．2．（3分）的（ ）A ． 必要条件B ． 充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分又不必要的条件 3．（3分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y ）∪Z 是（ ） A ． {0，1，2，6，8} B ． {3，7，8} C ． {1，3，7，8} D ． {1，3，6，7，8}4．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（ ） A ． y =x 2（x ∈R ） B ． y =|sinx|（x ∈R ） C ． y =cos2x （x ∈R ）D ． y =e sin2x （x ∈R ）5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（ ） A ． 96个 B ． 78个 C ． 72个 D ． 64个二、解答题（共11小题，满分90分） 6．（4分）求函数．7．（4分）求圆锥曲线3x 2﹣y 2+6x+2y ﹣1=0的离心率． 8．（4分）求函数y=﹣x 2+4x ﹣2在区间[0，3]上的最大值和最小值． 9．（4分）设（3x ﹣1）6=a 6x 6+a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0，求a 6+a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0的值． 10．（4分）设i 是虚数单位，求（1+i ）6的值． 11．（14分）设S 1=12，S 2=12+22+12，S 3=12+22+32+22+12，…， S n =12+22+32+…+n 2+…+32+22+12，… 用数学归纳法证明：公式对所有的正整数n 都成立．12．（13分）证明三角恒等式．13．（16分）（1）解方程lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）；（2）解不等式14．（15分）设三棱锥V﹣ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h，求这个所棱锥底面的内切圆半径．15．（15分）已知一个圆C：x2+y2+4x﹣12y+39=0和一条直线L：3x﹣4y+5=0，求圆C关于直线L 的对称的圆的方程．16．（12分）设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项之和为S n，又设T n=，n=1，2，…．求．1985年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．（3分）如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′﹣ABD的体积是（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：画出图形，直接求解即可．解答：解：如图四面体A′﹣ABD的体积是V=故选D．点评：本题考查棱锥的体积，是基础题．2．（3分）的（）A．必要条件B．充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要的条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：先解出tanx=1的解，再判断两命题的关系．解答：解：由tanx=1得，当k=1时，x=，固由前者可以推出后者，所以tanx=1是的必要条件．故选A．点评：此题要注意必要条件，充分条件的判断，掌握正切函数的基本性质，比较简单．3．（3分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y）∪Z是（）A．{0，1，2，6，B．{3，7，8} C．{1，3，7，8} D．{1，3，6，7，8} 8}考点：交、并、补集的混合运算．分析：根据交集的含义取X、Y的公共元素写出X∩Y，再根据并集的含义求（X∩Y）∪Z．解答：解：X∩Y={1}，（X∩Y）∪Z={1，3，7，8}，故选C点评：本题考查集合的基本运算，较简单．4．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（）D．y=e sin2x（x∈R）A．y=x2（x∈R） B．y=|sinx|（x∈R）C．y=cos2x（x∈R）考点：三角函数的周期性及其求法．专题：压轴题．分析：根据函数的周期性和三角函数的单调性对选项逐一验证即可．解答：解：y=x2（x∈R）不是周期函数，故排除A．∵y=|sinx|（x∈R）周期为π，且根据正弦图象知在区间上是增函数．故选B．点评：本题主要考查三角函数的最小正周期和三角函数的图象．5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（）A．96个B．78个C．72个D．64个考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：根据题意，分析首位数字，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，由于百位数不是数字3，分2种情况讨论，①百位是3，②百位是2，4，5，分别求得其情况数目，由乘法原理，计算可得答案．解答：解：根据题意，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，分2种情况讨论，当首位是3时，百位数不是数字3，有A44=24种情况，当首位是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，有3（A44﹣A33）=54种情况，综合可得，共有54+24=78个数字符合要求，故选B．点评：本题考查排列、组合的应用，注意结合题意，进行分类讨论，特别是“百位数不是数字3”的要求．二、解答题（共11小题，满分90分）6．（4分）求函数．考点：函数的定义域及其求法．分析：只需使得解析式有意义，分母不为0，且被开方数大于等于0即可．解答：解：解得：{x|﹣2≤x＜1}∪{x|1＜x≤2}．点评：本题考查具体函数的定义域，属基本题．7．（4分）求圆锥曲线3x2﹣y2+6x+2y﹣1=0的离心率．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：先把方程整理成标准方程，进而可知a和b，求得c，则离心率可得．解答：解：方程整理成标准方程得（x+1）2﹣=1，即a=1，b=∴c==2∴e==2点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．8．（4分）求函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，3]上的最大值和最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：先配方，确定对称轴和开口，再结合着图象，找出最高点和最低点，即相应的最大值和最小值．解答：解：y=﹣（x﹣2）2+2，则开口向下，对称轴方程是x=2结合函数的图象可得，当x=2时，y max=2；当x=0时，y min=﹣2故最大值是2，最小值是﹣2．点评：二次函数仍是高中阶段研究的重点，对于含参问题的二次函数考查的尤为频繁，在解决此类问题时往往要根据开口和对称轴，结合着图象，作出解答．9．（4分）设（3x﹣1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：对等式中的x赋值1求出各项系数和．解答：解：令x=1得26=a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0故a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=26点评：本题考查赋值法是求展开式的各项系数和的重要方法．10．（4分）设i是虚数单位，求（1+i）6的值．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：常规题型．分析：利用（1+i）2=2i及i的各次方的值求解即可．解答：解：因为（1+i）2=2i，故（1+i）6=（2i）3=8i3=﹣8i点评：本题考查复数的简单运算，在进行复数的运算时要注意一些常见结果的运用，如（1+i）2=2i，（1﹣i）2=﹣2i等．11．（14分）设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…，S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，…用数学归纳法证明：公式对所有的正整数n都成立．考点：数学归纳法．专题：证明题．分析：本题考查的知识点是数学归纳法，由数学归纳法的步骤，我们先判断n=1时对是否成立，然后假设当n=k时，公式成立，只要能证明出当n=k+1时，公式成立即可得到公式对所有的正整数n都成立．解答：证明：因为S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，即要证明12+22+32+…+n2+…+32+22+12=，（A）（Ⅰ）当n=1，左边=1，右=，故（A）式成立（Ⅱ）假设当n=k时，（A）式成立，即12+22+32+…+k2+…+32+22+12=现设n=k+1，在上式两边都加上（k+1）2+k2，得12+22+32+…+k2+（k+1）2+k2+…+32+22+12=+（k+1）2+k2，====．即证得当n=k+1时（A）式也成立根据（Ⅰ）和（Ⅱ），（A）式对所有的正整数n都成立，即证得点评：数学归纳法的步骤：①证明n=1时A式成立②然后假设当n=k时，A式成立③证明当n=k+1时，A式也成立④下绪论：A式对所有的正整数n都成立．12．（13分）证明三角恒等式．考点：三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：证明的思路是化简左边式子，方法是利用2倍角公式和同角三角函数的基本关系，得到式子与右边相等即可．解答：证明：左边=2sin4x+（2sinxcosx）2+5cos4x﹣cos（2x+x）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣（cos2xcosx﹣sin2xsinx）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣[（2cos2x﹣1）cosx﹣2sin2xcosx]cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣[2cos3x﹣cosx﹣2（1﹣cos2x）cosx]cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣（4cos3x﹣3cosx）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+cos4x+3cos2x=（2sin2x+cos2x）（sin2x+cos2x）+3cos2x=2sin2x+cos2x+3cos2x=2+2cos2x=2（1+cos2x）=右边点评：考查学生理解三角函数恒等式的证明思路，运用和差倍分的三角函数及同角三角函数的基本关系的能力．13．（16分）（1）解方程lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）；（2）解不等式考点：对数函数图象与性质的综合应用；其他不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）、根据对数的运算法则可知，由lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）得，于是解这求出结果后要根据对数函数的定义域进行验根，去除增根．（2）、由不等式可知解：．解无理不等式时要全面考虑，避免丢解．解答：（1）解：由原对数方程得，于是解这个方程，得x1=0，x2=7．检验：x=7是增根，因此，原方程的根是x=0．（2）解：解得点评：解对数方程要注意不要产生增根；解无理不等式时要注意不要丢解．14．（15分）设三棱锥V﹣ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h，求这个所棱锥底面的内切圆半径．考点：棱锥的结构特征．专题：常规题型；计算题．分析：先作辅助线，三棱锥的高，斜高，以及斜高在底面上的射影，从而作出侧面与底面所成角的平面角，然后，由余弦函数求得斜高在底面的射影，即底面三角形的内切圆的半径．要注意论证．解答：解：自三棱锥的顶点V向底面作垂线，垂足为O，再过O分别作AB，BC，CA的垂线，垂足分别是E，F，G连接VE，VF，VG根据三垂线定理知：VE⊥AB，VF⊥BC，VG⊥AC因此∠VEO，∠VFO，∠VGO分别为侧面与底面所成二面角的平面角，由已知条件得∠VEO=∠VFO=∠VGO=β，在△VOE和△VOF中，由于VO⊥平面ABC，所以VO⊥OE，VO⊥OF又因VO=VO，∠VEO=∠VFO，于是△VEO≌△VFO由此得到OE=OF同理可证OE=OG，因此OE=OF=OG又因OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥AC，所以点O是△ABC的内切圆的圆心在直角三角形VEO中，VO=h，∠VEO=β，因此OE=hcotβ．即这个三棱锥底面的内切圆半径为hcotβ．点评：本题主要考查三棱锥的结构特征，主要涉及了几何体的高，斜高及在底面上的射影，侧面与底面所成角等问题，考查全面，属中档题．15．（15分）已知一个圆C：x2+y2+4x﹣12y+39=0和一条直线L：3x﹣4y+5=0，求圆C关于直线L的对称的圆的方程．考点：关于点、直线对称的圆的方程．专题：计算题；压轴题．分析：求出已知圆的圆心，设出对称圆的圆心利用中点在直线上，弦所在直线与圆心连线垂直，得到两个方程，求出圆心坐标，然后求出方程．解答：解：已知圆方程可化成（x+2）2+（y﹣6）2=1，它的圆心为P（﹣2，6），半径为1设所求的圆的圆心为P'（a，b），则PP'的中点应在直线L上，故有，即3a﹣4b﹣20=0（1）又PP'⊥L，故有，即4a+3b﹣10=0（2）解（1），（2）所组成的方程，得a=4，b=﹣2由此，所求圆的方程为（x﹣4）2+（y+2）2=1，即：x2+y2﹣8x+4y+19=0．点评：本题是基础题，考查圆关于直线对称的圆的方程，本题的关键是垂直、平分关系的应用，这是解决这一类问题的常用方法，需要牢记．16．（12分）设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项之和为S n，又设T n=，n=1，2，…．求．考点：极限及其运算；等比数列的前n项和．专题：计算题；压轴题．分析：当公比q满足0＜q＜1时，．当公比q=1时，S n=n，．．当公比q＞1时，，．综合以上讨论，可以求得的值．解答：解：当公比q满足0＜q＜1时，，于是==．当公比q=1时，S n=1+1+…+1=n，于是=．因此当公比q＞1时，于是．因此．综合以上讨论得到点评：本题考查等比数列的极限，解题时要分情况进行讨论，考虑问题要全面，避免丢解．。
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1985年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．（3分）如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′﹣ABD的体积是（）A ．B．C．D．2．（3分）的（）A ．必要条件B．充分条件C ．充分必要条件D．既不充分又不必要的条件3．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（）A ．y=x2（x∈R） B．y=|sinx|（x∈R）C．y=cos2x（x∈R ）D．y=e sin2x（x∈R）4．（3分）极坐标方程ρ=asinθ（a＞0）的图象是（）A ．B．C．D．5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（）A ．96个B．78个C．72个D．64个二、解答题（共13小题，满分90分）6．（4分）求方程解集．7．（4分）设|a|≤1，求arccosa+arccos（﹣a）的值．8．（4分）求曲线y2=﹣16x+64的焦点．9．（4分）设（3x﹣1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．10．（4分）设函数f（x）的定义域是[0，1]，求函数f（x 2）的定义域．11．（7分）解方程log4（3﹣x）+log0.25（3+x）=log4（1﹣x）+log0.25（2x+1）．12．（7分）解不等式13．（15分）如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为45°，P为平面AC内的一点，Q为面BD内的一点，已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，并且M在BC上又设P Q与平面BD所成的角为β，∠CMQ=θ（0°＜θ＜90°），线段PM的长为a，求线段PQ的长．14．（15分）设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面内的两动点，并且满足：（1）Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值θ和﹣θ；（2）△OZ1Z2的面积为定值S求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值．15．（15分）已知两点P（﹣2，2），Q（0，2）以及一条直线：L：y=x，设长为的线段AB 在直线L上移动，如图，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．（要求把结果写成普通方程）16．（14分）设，（1）证明不等式对所有的正整数n都成立；（2）设，用定义证明17．（12分）设a，b是两个实数，A={（x，y）|x=n，y=na+b，n是整数}，B={（x，y）|x=m，y=3m2+15，m是整数}，C={（x，y）|x2+y2≤144}，是平面XOY内的点集合，讨论是否存在a和b使得（1）A∩B≠φ（φ表示空集），（2）（a，b）∈C同时成立．18．已知曲线y=x3﹣6x2+11x﹣6．在它对应于x∈[0，2]的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值．1985年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．（3分）如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′﹣ABD的体积是（）A ．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：画出图形，直接求解即可．解答：解：如图四面体A′﹣ABD的体积是V=故选D．点评：本题考查棱锥的体积，是基础题．2．（3分）的（）A ．必要条件B．充分条件C ．充分必要条件D．既不充分又不必要的条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：先解出tanx=1的解，再判断两命题的关系．解答：解：由tanx=1得，当k=1时，x=，固由前者可以推出后者，所以tanx=1是的必要条件．故选A．点评：此题要注意必要条件，充分条件的判断，掌握正切函数的基本性质，比较简单．3．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（）A ．y=x2（x∈R） B．y=|sinx|（x∈R）C．y=cos2x（x∈R）D．y=e sin2x（x∈R）考点：三角函数的周期性及其求法．专题：压轴题．分析：根据函数的周期性和三角函数的单调性对选项逐一验证即可．解答：解：y=x2（x∈R）不是周期函数，故排除A．∵y=|sinx|（x∈R）周期为π，且根据正弦图象知在区间上是增函数．故选B ．点评：本题主要考查三角函数的最小正周期和三角函数的图象．4．（3分）极坐标方程ρ=asinθ（a＞0）的图象是（）A ．B．C．D．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；压轴题．分析：先将原极坐标方程两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行判断．解答：解：∵极坐标方程ρ=asinθ（a＞0）∴ρ2=aρsinθ，∴x2+y2=ay，它表示圆心在（0，）的圆．故选C．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（）A ．96个B．78个C．72个D．64个考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：根据题意，分析首位数字，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，由于百位数不是数字3，分2种情况讨论，①百位是3，②百位是2，4，5，分别求得其情况数目，由乘法原理，计算可得答案．解答：解：根据题意，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，分2种情况讨论，当首位是3时，百位数不是数字3，有A44=24种情况，当首位是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，有3（A44﹣A33）=54种情况，综合可得，共有54+24=78个数字符合要求，故选B．点评：本题考查排列、组合的应用，注意结合题意，进行分类讨论，特别是“百位数不是数字3”的要求．二、解答题（共13小题，满分90分）6．（4分）求方程解集．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：直接化简方程，利用正弦函数的定义，求出方程的解．解答：解：方程化为：所以方程解集为：点评：本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题．7．（4分）设|a|≤1，求arccosa+arccos（﹣a）的值．考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：直接应用反函数的运算法则，求解即可．解答：解：arccosa+arccos（﹣a）=arccosa+π﹣arccosa=π点评：本题考查反函数的运算，是基础题．8．（4分）求曲线y2=﹣16x+64的焦点．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；转化思想．分析：先把曲线方程整理成标准方程，设x﹣4=t，则可求得y2=﹣16t的焦点坐标，则抛物线y2=﹣16（x﹣4）的焦点坐标可得．解答：解：整理曲线方程可得y2=﹣16（x﹣4）令x﹣4=t，则y2=﹣16t，焦点坐标为（﹣4，0）∴y2=﹣16（x﹣4）的焦点为（0，0）点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线基础的灵活运用．9．（4分）设（3x﹣1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：对等式中的x赋值1求出各项系数和．解答：解：令x=1得26=a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0故a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=26点评：本题考查赋值法是求展开式的各项系数和的重要方法．10．（4分）设函数f（x）的定义域是[0，1]，求函数f（x2）的定义域．考点：函数的定义域及其求法．分析：函数f（x）的定义域是[0，1]，函数f（x2）中x2∈[0，1]，求解即可．解答：解：函数f（x）的定义域是[0，1]，函数f（x2）中x2∈[0，1]，解得x∈[﹣1，1]点评：本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．11．（7分）解方程log4（3﹣x）+log0.25（3+x）=log4（1﹣x）+log0.25（2x+1）．考点：对数的运算性质；对数函数的定义域．专题：计算题．分析：把方程移项，再化为同底的对数，利用对数性质解出自变量的值，由于不是恒等变形，注意验根．解答：解：由原对数方程得，解这个方程，得到x1=0，x2=7．检验：x=7是增根，故x=0是原方程的根．点评：本题考查对数的运算性质，对数函数的定义域．12．（7分）解不等式考点：其他不等式的解法．专题：计算题；分类讨论．分析：分类讨论，当时不等式成立，解出不等式解集即可，当时将不等式的两边平方，解出解集即可，最后求出两个解集的并集即可．解答：解：，解得；（4分）或，解得﹣1≤x＜2；（8分）综上所述，解得（12分）点评：此题主要考查根号下的不等式的求解．13．（15分）如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为45°，P为平面AC内的一点，Q为面BD内的一点，已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，并且M在BC上又设PQ与平面BD所成的角为β，∠CMQ=θ（0°＜θ＜90°），线段PM的长为a，求线段PQ的长．考点：平面与平面之间的位置关系．专题：计算题．分析：过点P作平面BD的垂线，垂足为R，由PQ与平面BD所成的角为β，要求PQ，可根据，故我们要先求PR值，而由二面角的平面角为45°，我们可得NR=PR，故我们要先根据MR=，及a2=PR2+MR2，求出NR的值．解答：解：自点P作平面BD的垂线，垂足为R，由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，所以R在MQ上，过R作BC的垂线，设垂足为N，则PN⊥BC（三垂线定理因此∠PNR是所给二面角的平面角，所以∠PNR=45°由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，所以∠PQR=β在Rt△PNR中，NR=PRcot45°，所以NR=PR．在Rt△MNR中，MR=，在Rt△PMR中，，又已知0°＜θ＜90°，所以．在Rt△PRQ中，．故线段PQ的长为．点评：本题考查的知识点是平面与平面间的位置关系，二面角，解三角形，根据已知条件由未知的结论利用分析法寻求解题思路是解题的关键．14．（15分）设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面内的两动点，并且满足：（1）Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值θ和﹣θ；（2）△OZ1Z2的面积为定值S求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值．考点：复数的基本概念；复数求模．专题：综合题．分析：设出Z1，Z2和Z对应的复数分别为z1，z2和z，由于Z是△OZ1Z2的重心，表示其关系，求解即可．解答：解：设Z1，Z2和Z对应的复数分别为z1，z2和z，其中z1=r1（coθ+isinθ），z2=r2（coθ﹣isinθ）．由于Z是△OZ1Z2的重心，根据复数加法的几何意义，则有3z=z1+z2=（r1+r2）cosθ+（r1﹣r2）isinθ．于是|3z|2=（r1+r2）2cos2θ+（r1﹣r2）2sin2θ=（r1﹣r2）2cos2θ+4r1r2cos2θ+（r1﹣r2）2sin2θ=（r1﹣r2）2+4r1r2cos2θ又知△OZ1Z2的面积为定值S及，所以，即由此，故当r1=r2=时，|z|最小，且|z|最小值=．点评：本题考查复数的基本概念，复数求模，是中档题．15．（15分）已知两点P（﹣2，2），Q（0，2）以及一条直线：L：y=x，设长为的线段AB在直线L上移动，如图，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．（要求把结果写成普通方程）考点：轨迹方程．专题：计算题；交轨法．分析：根据题意，设点A和B分别是（a，a）和（a+1，a+1），直线PA的方程是，直线QB的方程是．当，即a=0时，直线PA和QB平行，无交点；当a≠0时，直线PA与QB相交，设交点为M（x，y），由此能得到直线PA和QB的交点M的轨迹方程．解答：解：由于线段AB在直线y=x上移动，且AB的长，所以可设点A和B分别是（a，a）和（a+1，a+1），其中a为参数于是可得：直线PA的方程是直线QB的方程是（1）当，即a=0时，直线PA和QB平行，无交点（2）当a≠0时，直线PA与QB相交，设交点为M（x，y），由（2）式得，∴将上述两式代入（1）式，得整理得x2﹣y2+2x﹣2y+8=0，即当a=﹣2或a=﹣1时，直线PA和QB仍然相交，并且交点坐标也满足（*）式所以（*）式即为所求动点的轨迹方程．点评：本题考查轨迹方程的求法，解题时要认真审题，仔细分析，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地选取公式．16．（14分）设，（1）证明不等式对所有的正整数n都成立；（2）设，用定义证明。