第12章 压杆稳定
第十二章 压杆稳定教学教案
两端铰支 ＝1.0 一端自由，一端固定 ＝2.0 两端固定 ＝0.5 一端铰支，一端固定 ＝0.7
l 相当长度(effective length)
2020/8/7
Kylinsoft
MOM-12-17
12.3 Columns with others support
C
conditions
Pcr
2 EI (l)2
第十二章 压杆稳定 Chapter 12 Stability of Columns
2020/8/7
Kylinsoft
MOM-12-1
Contents
12.1 Introduction 12.2 Euler’s formula 12.3 Columns with others support conditions 12.4 Critical stresses 12.5 Some measurements improving the stability
C
12.1 Introduction
q
2020/8/7
Typ biuccap klalitn fte o grrn -w tshaicn llyeld i(naidn )
comn parn(ed b isn )stioorfsoaip rornesdscuyrliizn
Kylinsoft
MOM-12-12
v(0)0,v(l)0
B 0 , A sk i n l0
A0
kl Pln
EI
Pn2l22EI
P cr (P )m in 0 Pcr2lE 2 I2El2m Iin
vAsiknxAsinx l
fonr1,elasctiucrivse
压杆稳定《材料力学》ch-12课件
02
该方程基于能量平衡原理和变分 法推导得出，通过求解该方程可 以得到压杆的挠曲线，进而分析 其失稳模态和临界载荷。
初始挠度的影响
初始挠度是指压杆在未受力作用前的弯曲程度，对压杆的稳 定性有很大影响。
初始挠度会导致压杆在受力时发生弯曲变形，进而影响其失 稳模态和临界载荷。因此，在进行压杆稳定性分析时，需要 考虑初始挠度的影响，并进行相应的修正。
04
压杆稳定的实验研究
实验目的与原理
实验目的
通过实验研究，掌握压杆稳定的基本原 理和影响因素，提高对压杆失稳现象的 认识。
VS
实验原理
压杆稳定是指在外力作用下，细长杆保持 其平衡状态的能力。当外力增大到一定程 度时，压杆可能发生弯曲或失稳。本实验 通过观察不同条件下的压杆失稳现象，分 析影响压杆稳定性的因素。
详细描述
通过改变截面的形状，可以改变压杆的惯性矩和截面的应力分布，从而改变其稳定性。例如，将圆形截面改为方 形、矩形或六面体形，可以增加压杆的抗弯刚度，提高其稳定性。
设置支撑
总结词
设置合理的支撑可以提高压杆的稳定性。
详细描述
支撑可以有效地减少压杆的自由长度，从而提高其稳定性。支撑的设置应考虑到压杆的工作环境和受 力情况，以避免过度的应力集中和支撑结构的破坏。同时，支撑结构的刚度和稳定性也需要进行考虑 和设计。
稳定性丧失的机理
弯曲变形
当轴向压力超过某一临界值时，压杆会发生弯曲变形，导致稳定性丧失。
屈曲
当轴向压力继续增大，压杆将发生屈曲，即部分区域发生弯曲，导致整体失稳。
临界压力与欧拉公式临界源自力指使压杆由稳定平衡状态转变为不稳 定平衡状态的轴向压力。
材料力学 (12)
π EI Fcr 2 ( 2l )
2
π EI Fcr 2 (0.7l )
C— 挠曲 线拐点 2
π 2 EI Fcr 2 (0.5l )
其它约束情况下，压杆临界力的欧拉公式
2 EI Fcr 2 ( l )
上式称为细长压杆临界压力的一般形式
欧拉公式
—长度系数（或约束系数）。 l —相当长度
记
2E 2 p 或写成
2E p p
2E p
p
则 欧拉公式的适用范围：
满足该条件的杆称为细长杆或大柔度杆
对A3钢，当取E=206GPa，σp=200MPa,则
2 2E 206 10 9 p 100 6 p 200 10
M w EI
F w w EI
w
F
w
F w w0 EI F 2 2 w k w0 令k , EI
（3）微分方程的解：w
Asin kx B cos kx
（4）确定积分常数：由边界条件 x=0，w=0；x=l，w=0 确定
由x 0, w 0,得B 0,
2 EImin Fcr ( l )2
(2 500) 2 76.8 103 (N) 76.8(kN)
l i
i I A
≤ 2，粗短杆
2E 1 P
a s 2 b
Fcr cr A
例 F
已知：压杆为Q235钢，l=0.5m，E=200GPa，求细长 压杆的临界压力。
解：I min I y 3.89cm 4 3.89104 mm 4
y0 x x1 x0 z0 x0 x x1 y0
所以，只有压杆的长细比λ≥100时，才能应用欧拉公式计算其 临界压力。
压杆稳定《材料力学》ch-12课件
实验设备与步骤
实验设备：压杆实验装置、压力表、砝码、各 种不同材料和截面形状的细长杆。
01
1. 准备不同材料和截面形状的细长杆，将 其固定在压杆实验装置上；
03
02
实验步骤
04
2. 在杆的一端施加砝码，逐渐增加压力， 观察压杆在不同压力下的失稳现象；
3. 记录不同条件下（如不同材料、截面形 状、长度、直径等）压杆的失稳载荷；
析。
欧拉公式与临界应力
欧拉公式是计算细长压杆临界应力的公式，其形式为： Pcr = π²EI/L²。
输标02入题
其中，Pcr是临界力，E是弹性模量，I是压杆横截面的 惯性矩，L是压杆长度。
01
03
临界应力是衡量压杆稳定性的重要指标，当压杆所受 应力小于临界应力时，压杆处于稳定状态；当所受应
力大于临界应力时，压杆将发生屈曲失稳。
04
通过欧拉公式可以计算出不同长度和形状的细长压杆 的临界应力。
不同长度压杆的稳定性分析
对于不同长度的压杆，其稳定性分析方法有所不同。
对于细长压杆，可以采用欧拉公式进行计算；对于短粗杆，需要考虑剪切变形和弯 曲变形的影响，可以采用能量法或有限元法进行分析。
在进行稳定性分析时，需要考虑压杆的实际工作条件和载荷情况，以确定合理的分 析方法和参数。
起重机的吊臂、支腿等部位需要承受 较大的压力和弯矩，压杆稳定问题直 接关系到设备的安全性和稳定性。
发动机支架
发动机支架需要承受较大的振动和压 力，压杆稳定问题对于保证发动机的 正常运行至关重要。
其他领域的压杆稳定问题
航空航天
飞机和火箭的结构需要承受较大的气动压力和加速度，压杆稳定问题直接关系到飞行器的安全性和稳定性。
材料力学第12章 能量法
范围内工作时，其轴线弯曲成为一段圆弧，如图12.5（a）所示。两端横截
面有相对转动，其夹角为θ ，由第7章求弯曲变形的方法可以求出
图12.5 与前面的情况相似，在线弹性范围内，当弯曲外力偶矩由零逐渐增加到M0时
，梁两端截面相对于转动产生的夹角也从零逐渐增加到θ ，M0与θ 的关系也
是斜直线，如图12.5（b）所示，所以杆件纯弯曲变形时的应变能为
dW在图12.2（a）中以阴影面积来表示。拉力从零增加到FP的整个加载过程
中所做的总功则为这种单元面积的总和，也就是说是△OAB的面积，即
可以将以上的分析推广到其他受力情况，因而静载荷下外力功的计算式可以
写为 式中的 F是广义力，它可以是集中力或集中力偶；Δ 是与广义力F相对应的
位移，称为广义位移，它可以是线位移或角位移。式（12.2）表明，当外力
在工程实际中，最常遇到的是横力弯曲的梁。这时梁横截面上同时有剪力和
弯矩，所以梁的应变能应包括两部分：弯矩产生的应变能和剪力产生的应变 能。在细长梁的情况下，剪切应变能与弯曲应变能相比，一般很小，可以不
计，常只计算弯曲应变能。另外，此时弯矩通常均随着截面位置的不同而变
化，类似于式（12.5）与式（12.9），梁的弯曲应变能为
表面上的剪力与相应的位移方向垂直，没有做功。因此，单元体各表面上的 剪切力在单元体变形过程中所做的功为
故单元体内积蓄的应变能为
则单元体内积蓄的应变比能为
下
这表明，vε 等于γ 直线
的面积。由剪切胡克定律=Gγ ,比能又可以写成下列形式
（3）扭转 如图12.4（a）所示的受扭圆轴，若扭转力偶矩由零开始缓慢增加到最终值T
，积蓄在弹性体内的应变能Vε 及能量耗损Δ E在数值上应等于载荷所做的功 ，既 如果在加载过程中动能和其他形式的能量耗损不计，应有
欧拉临界应力 屈曲计算
Bd
Pcr
L A Pcr
B
L A
例123 试导出两端固定压杆 的欧拉公式。
Pcr
L
边界条件： M A Pcr d 2 x 0 ： y 0 ， y ' 0 ， y " k d EI EI x L：y d，y" M ( L ) 0 失 EI 稳 将边界条件代入统一微 分方程的通解得： L 模 0 1 0 1 0 C L 式 1 k 0 1 0 0 如 A C 2 图 0 k 2 0 0 k 2 C 3 0 C sin kL cos kL L 1 1 y A 4 2 2 d k sinkL k coskL 0 0 0 L MA=Pcrd P 有非零解的充要条件为 ：系数行列式值为零； cr 解得压杆失稳特征方程 为：coskL 0 C P kL cr L n ( n 0， 1， 2) EI 2 2 取n 1，得一端固定一端自由 压杆临界力的欧拉公式 为：Pcr EI ( 2L) 2
2)p≥≥0—中粗杆(中柔度杆)； a s s 304 240 3)对于A3钢： 0 60 b 1.12 2 s a b ②抛物线公式： cr 1 1
a 1和b 1是与材料有关的常数。
2.scr=sS时: 强度破坏，采用强度公式。
三、临界应力总图
scr scr=ss scr=ab B C
x Pcr P cr B B d 相当于2L长两端铰支压杆的临界力
x QB Pcr B 失 稳 模 式 如 图 A端QA、MA及B端QB不为零。 边界条件： x 0：y 0，y ' 0 M(L) x L ： y 0 ， y " 0 EI 将边界条件代入统一微 分方程的通解得： 0 1 0 1 C1 k 0 1 0 C 2 0 coskL L 1 C 3 sinkL 2 2 k sinkL k coskL 0 0 C 4
材料力学——第12章(压杆稳定计算)
情况(b)： I z =hb3 /12
FPcrb2
l/2
z x
b h x
h b
2 EI z
2 l 2 10 10 9 0.2 0.12 3 44.4kN 2 12 8 FPcrb2 / FPcrb1 44.4 / 493.5 9% FPcra 2 / FPcra1 123.4 / 177.6 70%
32
②S< 时：
cr
S
P
0 的杆为小柔度杆，其临 界应力为屈服极限。
cr s
cr a b
③临界应力总图
2E cr 2
l
i
33
0 s a b
P 2E P
2.抛物线型经验公式 对于由结构钢、低合金结构钢等材料制成的非细长杆， 可采用抛物线型经验公式计算其临界应力
E cr 2 P
2
2E P
令
P
E
P
P
29
满足
P
压杆
细长杆（大柔度杆）
即只有当压杆为细长杆时，才能用欧拉公式计算其临界应 力和临界力。 λ P 值仅与材料的弹性模量 E 及比例极限σ P 有关，所 以，λ P值仅随材料而异。例如，对于 Q235 钢（ E = 206 GPa ，σ P＝200 MPa ) ，λ P的理论值为
35
36
37
[例12-2] Q235钢制成的矩形截面压杆，受力及两端约 束情况如图所示，在A、B两处为销钉连接。若已知l=2300mm, , b=40mm,h=60mm，材料的弹性模量E=206GPa,λ P=101。试求此 杆的临界力。
解：⑴确定压杆将首 先在哪个平面内屈曲。
12 压杆稳定(第二版)详解
64
64
2.9 106 m4
FN
36
A
(D2
d2)
2
(1002
802 ) 106
2.8 103 m2
4
4
i
I A
2.9 10 6 2.8 10 3
0.032 m
∵ 两端铰支 =1
l 13.5 109
i 0.032
而 p
2E p
2 200 109
200 106
C2 0,
C1 0,
k
l
w
C1
sin
l
x
半波正弦曲线
wm ax wl 2 C1
§12.3 其他约束条件下细长压杆的临界力
一、其它约束条件下细长压杆临界力的欧拉公式
方法⑴：利用挠曲线近似微分方程，结合压杆的边 界条件进行推导，同§13-2两端铰支的情况； 方法⑵：将其他不同约束条件下细长压杆的挠曲线 形状与两端铰支细长压杆的挠曲线形状进行对比。
s=240MPa，E=206GPa，稳定安全系数为[n]st=3。试
求许可荷载[F]。
F
解：（1）以杆ACB为研究对象，A
C
B
求CD杆轴向压力与F的关系
2m
3m
3.5m
MA 0, F 5 FN 2 0
F
2 5
FN
（2）判断杆的类型
D
XA A
C
F
B
I (D4 d 4) (1004 804 ) 1012 YA
F
l
F
解： ∵该连杆为两端铰支细长压杆
Fcr
2EI (l)2
2E
(1 l)2
d 4
64
3Ed4
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第12章压杆稳定
一、选择题
1、一理想均匀直杆等轴向压力P=P Q；时处于直线平衡状态。
与其受到一微小横向干扰力后发生微小
弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（）。
A、弯曲变形消失，恢复直线形状；
B、弯曲变形减少，不能恢复直线形状；
C、微弯充到状态不变；
D、弯曲变形继续增大。
2、一细长压杆当轴向力P=P Q，时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P，则压杆的微弯
变形（）
A、完全消失
B、有所缓和
C、保持不变
D、继续增大
3、两根细长压杆a,b的长度，横截面面积，约束状态及材料均相同，若a,b杆的横截面形状分别为正
方形和圆形，则二压杆的临界压力P a e和P b e;的关系为（）
A、P a e〈P b e
B、P a e＝P b e
C、P a e〉P b e
D、不可确定
4、细长杆承受轴向压力P的作用，其临界压力与（）无关。
A、杆的材质
B、杆的长度
C、杆承受压力的大小
D、杆的横截面形状和尺寸
5、压杆的柔度集中地反映了压杆的（）对临界应力的影响。
A、长度，约束条件，截面尺寸和形状；
B、材料，长度和约束条件；
A、A、
B、材料，约束条件，截面尺寸和形状；D、材料，长度，截面尺寸和形状；
6、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（）来到断的。
A、长度
B、横截面尺寸
C、临界应力
D、柔度
7、细长压杆的（），则其临界应力σ越大。
A、弹性模量E越大或柔度λ越小；
B、弹性模量E越大或柔度λ越大；
B、B、
C、弹性模量E越小或柔度λ越大；
D、弹性模量E越小或柔度λ越小；
8、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（）。
A、λ≤π√E/σp
B、λ≤π√E/σs
C、λ≥π√E/σp
D、λ≥π√E/σs
9、在材料相同的条件下，随着柔度的增大（）
A、细长杆的临界应力是减小的，中长杆不是；
B、中长杆的临界应力是减小的，细长杆不是；
C、细雨长杆和中长杆的临界应力均是减小的；
D、细长杆种中长杆的临界应力均不是减小的；
10、两根材料和柔度都相同的压杆（）
A.界应力一定相等，临界压力不不一定相等；
B.临界应力不一定相等，临界压力一定相等；
C.临临界应力和临界压力一定相等；
D.临界应力和临界压力不一定相等；
11、在下列有关压杆临界应力σe的结论中，（）是正确的。
A、细长杆的σe值与杆的材料无关；
B、中长杆的σe值与杆的柔度无关；
C、中长杆的σe值与杆的材料无关；
D、粗短杆的σe值与杆的柔度无关；
12、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（）所示截面形状，其稳定性最好。
二、计算题
1、1、1、有一根30×50mm2的矩形截面压杆，两端为已求形铰支，试问压杆为多长时即可开始应
用欧拉公式计算临界载荷P，并计算P之值。
已知材料的弹性模量E=200Gpa，比例极限Q=200Mpa。
2、有一根20×30mm3的矩形截面压杆，如图，试求压杆的长度为何值时即可开始应用欧拉公式计算
临界载荷P之值，已知E=200Gpa，σp=200Mpa。
3、图示压杆L=1000mm，材料为A3钢，直径求d＝３５mm，E=２００GPa,a=３１０MPa,b=１.１４Mpa，
λp＝１００，σS＝２４０Mpa，求临界压力；
4、4、图示压杆，已知L=３７５mm，d=４０mm，P=６０kN,稳定安全系数n St=4,材料为A3钢，E=200Gpa,
λp=100,λS=60,a=310mpa,b=1.14mpa,试校核该杆的稳定性。
5、图示空心圆杆，P=50KN，L1700mm ,D=50mm ,d =40mm , 材料为A3钢，E =200Gpa ,a =310Mpa,b =1.14Mpa ,λp =100,λS =,规定的稳定安全系数n St =2,试问空心圆杆是否稳定。
6、图示压杆，L =200mm ,，材料为A3钢，E =200Gpa ,λp =100,λS =60,a =310Mpa ,b =1.14Mpa ,试计算该杆的临界载荷P lj .。