2012朝阳二模数学(理)试题

北京市朝阳区2012届高三年级第二次综合练习数学（理）试题
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
1．已知全集R U =，集合{}21x A x =>，{}
2
340B x x x =-->，则U A B ð=
A ．{}04x x ≤<
B ．{}
04x x <≤
C ．{}10x x -≤≤
D ．{}
14x x -≤≤
2．复数z 满足等式(2i)i z -⋅=，则复数z 在复平面内对应的点所在的象限是 A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ． 第四象限
3．已知双曲线
22
15
x y m -=（0m >）的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同，则此双曲线的离心率为
A ．6
B ．
2
C ．32
D ．34
4．在△ABC 中， 2AB = ，3AC = ，0AB AC ⋅< ，且△ABC 的面积为3
2
，则BAC
∠等于
A ．60
或120
B ．120
C ．150
D ．30 或150
5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为,
4x t y t
=⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以原点O 为极
点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
)4
ρθπ=+，则直线l 和曲线C 的公共点有
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．无数个
6．下列命题：
:p 函数44()sin cos f x x x =-的最小正周期是π；
:q 已知向量(1)λ，
=a ，2(1),λ=-b ，(11)-，=c ，则(+)//a b c 的充要条件是1λ=-；
:r 若11
1a
dx =x
⎰（1a >）
，则e =a ． 其中所有的真命题是
A ．r
B ．,p q
C ．,q r
D ．,p r
7．直线y x =与函数22,,()42,x m f x x x x m >⎧=⎨++≤⎩
的图象恰有三个公共点，则实数m 的取
值范围是
A ．[1,2)-
B ．[1,2]-
C ．[2,)+∞
D ．(,1]-∞-
8．有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影, 其投影面积的最大值是
A ．1
B ．
2
C
D
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．二项
式2
5(+
ax 展开式中的常数项为5，则实数
a =_______．
10．执行如图所示的程序框图，输出的结果是_______． 11．若实数,x y 满足10,
0,
x y x -+≤⎧⎨
≤⎩则22x y +的最小值
是 ．
12．如图，AB 是圆O 的直径，CD AB ⊥于D ，且2A
D B D =，
E 为AD 的中点，连接CE
并延长交圆O 于F
．若CD =AB =_______，
EF =_________．
（第10题图）
13．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资
1万元，年产量为x （x *
∈N ）件．当20x ≤时，年销售总收入为（2
33x x -）万元；当20x >时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y （万元）与x （件）的函数关系式为 ，该工厂的年产量为 件时，所得年利润最大．（年利润=年销售总收入-年总投资）
14．在给出的数表中，第i 行第j 列的数记为,i j a ，且满足11,,12,j j i a a i -==，
1,1,1,(,)N i j i j i j a a a i j *+++=+∈，则此数表中的
第5行第3列的数是 ；记第3行的 数3，5，8，13，22， ⋅⋅⋅ 为数列{}n b ，则数列
{}n b 的通项公式为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．把
答案答在答题卡上． 15．（本小题满分13分） 已知函数(
)2cos cos f x x x x m =-+()R m ∈的图象过点π
(,0)12
M ． （Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若c
o s +c o s =2c o s c B b C a B
，
求()f A 的取值范围．
16．（本小题满分13分） 一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球，从中任意取出3个球． （Ⅰ）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率； （Ⅱ）求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率； （Ⅲ）记X 为取出的3个球中编号的最大值，求X 的分布列与数学期望． 17．（本小题满分14分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，⊥EA 平面ABCD ，//EF AB ， =4,=2,=1AB AE EF ．
（Ⅰ）若点M 在线段AC 上，且满足1
4
CM CA =, 求证：//EM 平面FBC ； （Ⅱ）求证：⊥AF 平面EBC ； （Ⅲ）求二面角--A FB D 的余弦值．
第1行 1 2 4 8 … 第2行 2 3 5 9 … 第3行 3 5 8 13 …
E
C
B
D
M
A
F
18．（本小题满分14分） 已知函数2
2()ln (0)a f x a x x a x
=++≠．
（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅲ）当(,0)a ∈-∞时，记函数()f x 的最小值为()g a ，求证：2
1()e 2
g a ≤
． 19．（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知点(A ，B ，E 为动点，且直线EA 与
直线EB 的斜率之积为1
2
-． （Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设过点(1,0)F 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N ．若点P 在y 轴上，且<满足PM PN =，求点P 的纵坐标的取值范围．
20．（本小题满分13分）
已知数列12:,,,n n A a a a (,2)n n ∈≥*N 满足01==n a a ，且当n k ≤≤2()
*N k ∈时， 1)(2
1=--k k a a ，令1
()n
n i i S A a ==∑．
（Ⅰ）写出)(5A S 的所有可能的值；
（Ⅱ）求)(n A S 的最大值；
（Ⅲ）是否存在数列n A ，使得2
(3)()4
n n S A -=？若存在，求出数列n A ；若不存在，
说明理由．。