数理方程
数理方程课件
数理方程课件数理方程是数学中的重要分支，它研究方程的解和性质。
随着计算机技术的不断发展，数理方程的研究变得越来越重要，其在科学、工程和金融等领域都有着广泛的应用。
本文将介绍数理方程的基本概念、解的求解方法和一些经典方程的应用案例。
一、数理方程的基本概念数理方程是指含有未知数和已知数之间关系的等式。
它通常由代数方程、微分方程和积分方程组成。
在数理方程的研究中，我们需要关注方程的次数、阶数和特殊形式，并通过分析方程的性质来解决相关问题。
在解数理方程时，我们常用的方法包括代数方法、几何方法和数值方法。
其中，代数方法主要通过变换和化简方程，将其转化为更简单的形式进行求解；几何方法通过图形和几何关系来推导方程的解；数值方法则借助计算机的力量，利用数值逼近的方法求解方程。
二、数理方程的解的求解方法1. 代数方程的解的求解方法代数方程是最常见的数理方程形式，其解的求解方法众多。
常见的方法包括因式分解、配方法、二次公式、根号法等。
例如，对于一元二次方程$a x^{2}+b x+c=0$，我们可以使用二次公式来求解：$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$2. 微分方程的解的求解方法微分方程描述了函数与其导数之间的关系，其解的求解方法也有多种。
常见的方法有分离变量法、常数变易法、齐次线性微分方程的解法等。
例如，对于一阶线性微分方程$\frac{d y}{d x}+P(x) y=Q(x)$，我们可以使用常数变易法进行求解。
3. 积分方程的解的求解方法积分方程是利用积分关系表达的方程，其解的求解方法也有多种。
常见的方法有分离变量法、常数变易法、特殊积分方程的解法等。
例如，对于柯西问题（Cauchy problem）中的积分方程$u(x)=f(x)+\int_{a}^{x} K(x, t) u(t) d t$，我们可以使用定积分的性质进行求解。
三、常见数理方程的应用案例1. 常微分方程的应用常微分方程在物理学、化学、生物学等领域有着重要的应用。
数理方程知识点总结
数理方程知识点总结数理方程是数学理论中的重要分支，其主要研究方向是解决各种类型的方程，包括一元多项式方程、二元一次方程以及各种变形形式的方程等。
数理方程的解决方法非常多元化，通常采用代数、几何、分析等多种方法进行解决，本文将对数理方程的相关知识点进行总结。
一、一元多项式方程1、一元n次多项式方程形如$f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_n = 0$，其中$a_0 \neq 0$, $n$为任意正整数，求出方程的根$x_1, x_2, ...,x_n$。
求解该方程的方法有以下几种：（1）牛顿迭代法牛顿迭代法的基本思想是：将一元n次多项式方程重新构造成$x = g(x)$的形式，并求该函数在曲线上的切线截距，不断通过切线截距逼近根的值。
具体算法如下：• 任选一个随机数$x_0$作为初值；• 计算$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数$f'(x_0)$；• 根据切线公式$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$，计算出当$y = 0$时的$x$值$x_1$，即$x_1 = x_0 - f(x_0) / f'(x_0)$；• 重复上述过程，将$x_1$作为$x_0$，计算出$x_2$；• 重复以上步骤，直到$x_n$接近被求解的根。
（2）二分法二分法的基本思想是根据函数值的符号改变区间的端点，使函数在这个区间内单调递增或递减，从而迅速缩小待求解根所在的“搜索区间”，达到求解根的目的。
算法流程如下：• 选定区间$[a, b]$值满足$f(a)f(b) < 0$，即根在$[a, b]$区间内；• 取区间中点$c = (a + b) / 2$，计算$f(c)$；• 如果$f(c) = 0$，即找到根；• 如果$f(a)f(c) < 0$，即根在区间$[a, c]$内，则将$b$更新为$c$；• 如果$f(b)f(c) < 0$，即根在区间$[c, b]$内，则将$a$更新为$c$；• 重复以上过程，不断缩小区间，直到找到根或直到区间长度足够小时停止。
数理方程课程介绍
《数理方程》课程介绍
一、本课程的性质与任务：
《数理方程》是理科很多专业的必修课以及相关专业的选修课。
数理方程主要是指在物理学、力学以及工程技术中常见的一些偏微分方程。
它是一门发展相当迅速的学科，不仅有广泛的应用，同时又与数学的其它各个分支有密切的联系，是数学理论与实际问题之间的一个桥梁。
本课程重点讲授一些经典的知识，同时兼顾新近发展的有着广泛应用的有关知识。
使学生了解到数学物理方程的某些应用背景，扩大学生的数学知识面，初步具备了解决数理方程定解问题的能力。
对培养学生的逻辑推理能力起着很大的作用。
本课程主要讲述经典的弦振动、热传导、Laplace方程的物理背景、定解问题的概念和古典的求解方法, 如波动方程的D`Alembert解法、分离变量法，积分变换法及极坐标系下的分离变量法等。
二、课程内容、学时与教学方式：
内容： 1) 绪论；
2) 分离变量法；
3)行波法与积分变换法；
4) 变分法初步与Green函数。
学时：40
教学方式：课堂讲授
三、教材：
数理物理方程与特殊函数》（第二版），南京工学院数学教研组著，北京：高等教育出版社，1997年。
四、开课范围：
力学、物理、数学等理科专业本科生。
五、预备知识：
高等数学、常微分方程。
数理方程总结完整版
此方程的特征函数和特征值分别为：
②“左一右二”齐次边界条件的齐次方程： 2 2u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1 1 则
u ( x, t ) (Cn cos
sin
(n 1/ 2) x l
③：“左二右一”齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
③“左二右一”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1
则
2 2 ( n 1/ 2) ( n 1/ 2) 2 此方程的特征函数和特征值分别为： X ( x) cos x, = = , n 1,2,3... 2 l l
②：“左一右二”齐次边界条件的齐次方程：
2 u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
a 2 ( n1/2 )2 2 t l2
(n ) a (n ) a (n ) 2 2 2 u ( x, t ) (Cn cos t Dn sin t ) cos x l l l n 1
1
④“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t 2 x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
极其优美的十大数理方程
这是一般人完全不明白的。官方评价是：“薛定谔方程是世界原 子物理学文献中应用最广泛、影响最大的公式。”由于对量子力 学的杰出贡献，薛定谔获得 1933 年诺贝尔物理奖。 7、哥德巴赫猜想 任一大于 2 的偶数，都可表示成两个质数之和。 8、 德布罗意方程组（给出了波长、能量等之间的关系） 第一德布罗意方程指出，粒子波长λ（亦称德布罗意波长）和动 量 p 的关系：（下式中普朗克常数 h、粒子静质量 m、粒子速度 v、洛伦兹因子γ和真空光速 c）
3、 经典力学的灵魂——牛顿第二定律
科学家认为这是经典物理学中最伟大的核心定律之一。 动力的所 有基本方程都可由它通过微积分推导出来。 4、 方程中的“名流”——爱因斯坦引力场方程与质能方程：
G R 1 g R T , 2
；
好像从来没有一个科学界的公式有如此广泛的意义。 爱因斯坦告 诉人们一个难以理解的时空世界， 能量和质量可以互换。 原子弹、 GPS 可以验证。 5、 文明的基础—勾股定理/毕达哥拉斯定理
第二德布罗意方程指出频率 f 和总能 E 的关系：
这两个式子通常写作：
德布罗意认为电子不仅是一个粒子， 也是一种波， 它还有 “波 长”。这个物质波方程，表达了波长、能量等等之间的关系。为 此他获得了 1929 年诺贝尔物理学奖。 9、傅立叶变换
傅立叶逆变换： 这个挺专业的，简要地说没有这个式子没有今天的电子计算机， 所以你能在这里上网必须感谢这个完全看不懂的式子。 10、 圆的周长公式： 现代科技领域使用的圆周率值，有十几位已经足够了。如果用 35 位精度的圆周率值，来计算一个能把太阳系包起来的一个圆 的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。现在的人计算圆周 率，多数是为了验证计算机的计算能力，还有就是为了兴趣。
数理方程重点总结
X (0) A 0 B 1 0
断 言: B 0， 于 是 有
u
u
0,
0 (2)
x x0
x xl
X ( x) A sin x
又 由 边 界 条 件u
0， 得
x xl
sin l 0
于 是 ， 得 到 空 间 变 量 问题 的 本 征 值
l n
或
n
( n l
)2
(n 1,2,3,)
据此，解得H( y)
H ( y) cos y 1 y2 1 H (0) 6
(7)
将 （5） 、 （7） 代 入 （4） 式 ， 即 得 特 解
u( x, y) 1 x3 y2 cos y 1 y2 1 x2
6
6
再另附：直接积分法 求偏微分方程的通解
2u u
t
2 2xt
xt x
可 以 由 两 个 边 界 条 件 唯一 地 被 确 定 。
例如 f (x) x
W (x)
1 6a 2
x3
C1 x C2
W (0) M1
M1 C2
W (l) M2
l3 M2 6a2 C1l M1
据此，得到W ( x) 的解
C1
M2
M1
l3 6a 2
l
M2
l
M1
l2 6a 2
X X 0
(1)
u x
0 , u
x0
x
0
xl
(2)
(1) 式的通解为
X ( x) Acos x B sin x
(3)
对上式求导，得
X ( x) A sin x B cos x
X ( x) A sin x B cos x
数理方程课件
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
数理方程(调和方程)
第四章 调和方程§1.调和方程的定解问题 1.方程的几个例子例1. 稳定的温度分布温度分布满足),(2t x f u a u t =∆-稳定热源:),,,)((321x x x x x f f ==与t 无关 边界绝热(即边界条件也与t 无关)则长时间后,温度分布必然趋于稳定状态(与t 无关),即)(x u u =此时有)(1x f u =∆, (21a ff -=)称为Poission 方程 当01=f 时,0=∆u ,称为Laplace 方程或调和方程.例2.弹性膜的平衡状态:u 为膜在垂直方向的位移,外力),(21x x f f =,则有f x ux u =∂∂+∂∂222212例3.静电场的电势uMaxwell 方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂-=∂∂+=ρdivD divB t B rotE t D J rotH 0E :电场强度, H :磁场强度, D :电感应强度, B :磁感应强度 J :传导电流的面密度, ρ:电荷的体密度物质方程⎪⎩⎪⎨⎧===E J H B E D σμε:μ导磁率, σ:导电率, ε: 介质的介电常数 divE divD ερ==∵静电场是有势场:u grad E -=ερ-=⇒u grad div , 即ερ-=u ∆若静电场是无源的,即0=ρ,则0=∆u 例4.解析函数)(),,(),()(iy x z y x iv y x u z f +=+=则v u ,满足Cauchy-Riemann 条件:y x y x u v v u -==, 例5.布朗运动(见图) 设质点运动到边界上即终止，⎪⎩⎪⎨⎧===∆0,10`),,(),,(211C C u u u C z y x z y x u 概率，则上的为起点，终止在：以易知,0,0=∆=∆v u2.定解问题(1)内问题:nR ⊂Ω,有界,Γ=Ω∂,u 在Ω内满足f u =∆ 边界条件:第一类(Dirichlet):g u =Γ|第二类(Neumann):g n u=∂∂Γ| 第三类(Robin):)0(|)(>=+∂∂Γσσg u nun 为Γ的单位外法线方向.(2) 外问题:u 在Ω外部满足f u =∆同样有三类边界条件(此时n 为Ω的内法线方向).但解在无穷远处是否可以不加限制?要加何种限制? 先看两个例子:例1.2=n ⎪⎩⎪⎨⎧=>+=∆=+0|)1(,012222y x u y x u221ln 1ln ,0yx r u u +===均为解, 例 2. 3=n ⎪⎩⎪⎨⎧=++=>==1),1(01222r u zy x r r u ∆ru u 1,1==均为解.因此,解在无穷远点一定要加限制,以确定解的唯一性. 通常,:2=n 解在无穷远处有界:),(lim y x u r ∞→有界:3≥n 解在无穷远处趋于0:0),,(lim =∞→z y x u r(3) 无界区域的边值问题:与外问题类似 (4) 等值面边值问题:0=∆u边界条件:⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=⎰ΓΓ)()(|已知待定A dS n uC u 这个问题可约化为 Dirichlet 问题:设⎩⎨⎧==∆Γ1|0U U 的解为)(x U U =,选取常数C ,s.t.:A dS n UC=∂∂⎰Γ 则CU u =§2.分离变量法1. 圆的Dirichlet 内问题与外问题内问题⎪⎩⎪⎨⎧=<+=∆=+)(|)(0222222θf u a y x u a y x引入极坐标θθsin ,cos r y r x ==222222221)(111θθ∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂+∂∂≡urr u r r r ur r u r ru u ∆ 则原问题化为:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≤≤<=++=)20()(|)20,(0112πθθπθθθf u a r u r u r u a r r rr 将)()(θΘr R 代入方程并分离变量得⇒-='+''-=''λ21r R R r RΘΘ0,02=-'+''=+''R R r R r λλΘΘ求解特征值问题:⎩⎨⎧==+'')2()0(0πλΘΘΘΘθλθλθλθθλθλθλθλsin cos )(:0)(:0)(:0212121C C C C e C e C +=Θ>+=Θ=+=Θ<---∴0<λ时不是解. 1)(:0C =Θ=θλ.θθθλλk C k C k s i n c o s )(,:0212+==>Θ∴,....)2,1,0(2==k k k λ,...)2,1(sin cos )(,)(00=+==k k B k A A k k k θθθθΘΘ求解)(022方程Euler R k R r R r =-'+'':一般Euler 方程的求解：()()t B t A t t y i t B t A t y BtAt t y a a a t y a t y t a t y t a ln sin ln cos )(ln )()(0)1(0)()()(212121212102120121βββαμμμμμμμμμμμαμμμ+=±∙+=∙+=∙=++-=+'+''：为一对共轭虚数，为相等的实数：，为不相等的实数：，，其解为特征值相应的特征方程为00)1(222=-⇒=-+-k k μμμμk ±=⇒μ,...)2,1()(=+=⇒-k r D r C r R k k k k kr D C r R ln )(000+=),2,1,0(0)0( ==⇒k D R k k 有界 ,...)2,1()(==⇒k r C r R k k k 00)(C r R = ∑∞=++=∴10)sin cos (2),(k kk k r k k r u θβθααθ∑∞=++==1)sin cos (2)(:k kk k a k k f a r θβθααθ⇒⎰⎰====πππβπα2020,...2,1,sin )(1,...2,1,0,cos )(1k ktdt t f a k ktdt t f a k k k k代入级数表达式得，注：将k k βα, ()()()()⎰⎰⎰∑∑⎰∑⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--------∞=--∞=-∞=∞=πθθπθθθπθθπππππθπθθπθ202)()(220)()()(201)(0)(20120111)(21111)(21)(21)(cos 21)(21sin sin cos cos 21)(21),(dt a r e e a r a r t f dt e a r e a r e a r t f dt e a r e a r t f dtt k a r t f dt kt kt a r t f r u t i t i t i t i t i k t ik k k t ik k k k k k()a r dt rt ar a r a t f r u <+---=⇒⎰πθπθ202222)cos(2)(21),( (Poisson 公式)外问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=>=∞→=有界u f u a r u r a r lim )()(0θ∆∑∞=-++=1)sin cos (2),(k k k k r k k r u θβθααθ∑∞=-++==1)sin cos (2)(:k k k k a k k f a r θβθααθ⇒⎰⎰====πππβπα2020,...2,1,sin )(,...2,1,0,cos )(k ktdt t f ak ktdt t f a kk kk同样有Poisson 公式)()cos(2)(21),(202222a r dt rt ar a a r t f r u >+---=⎰πθπθ 2.扇形域()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==<<<=++==θαθαθθθf u u a r u r u r u a r r rr 0),0(011,02 分离变量得:()()⎩⎨⎧===+''000αλΘΘΘΘ 与()⎪⎩⎪⎨⎧+∞<=-'+''002R R R r R r λ 2⎪⎭⎫⎝⎛=⇒απλk k(),.......2,1sin ==Θk k B k k θαπθ()απαπk k k k k rD rC r R -+=()00=⇒+∞<k D R ()∑∞==∴1sin,k k k k r a r u θαπθαπ()∑∞===1sin:k k k k a a f a r θαπθαπ()θθαπθαααπd k f aa k k sin2⎰=∴3.环形域()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==<<===θθ212121,0f u f u rr r u r r r r ∆ ()......2,1,0,sin cos ......2,1,0,2=+=Θ==k k B k A k k k k k k θθθλ()⎩⎨⎧≠+=+=-0,0,ln 00k r D r C k r D C R kk k k k θ ()()∑∞=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++=∴100sin cos sin cos ln ),(k kk k k k k r k d k c r k b k a r b a r u θθθθθ ()()())2,1(sin cos sin cos ln :100=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++==∑∞=-i r k d k c r k b k a r b a f r r k ki k k k i k k i i i θθθθθ ()θθππd f r b a i i ⎰=+⇒200021ln ()θθθππd k f r c r a i ki k k i k ⎰=+-20cos 1()θθθππd k f r d r b i k i k k i k ⎰=+-20sin 1.....2,1,2,1==k i解联立方程即得().....2,1,0,,,,0,0=k d c b a b a k k k k例如()()θθθθθ2cos 212122cos 1cos ,0221+=+===f f ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=+=+=+--2,212,0,0,0ln 2211100k k r c r a r c r a r b a kk k k k k kk k r d r b r d r b r b a k k k k k k k k ∀=+=+=+--,0,0,21ln 2211200()()()())2(0),(02,2ln ln 21,ln ln 2ln 42412224241224121201210≠==∀==--=-=-=--=⇒k c a k d b rr r c rr r r a r r b r r r a k k k k4.矩形域()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====+====x u x u y u y u u u b y y a x x yy xx 100100,,0ψψϕϕw v u +=分解()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====+====x v x v v v v v y x v b y y a x x yy xx 1000,0,00:),(ψψ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====+====0,0,0:),(0100b y y a x x yy xx w w y w y w w w y x w ϕϕ:),(y x v 求解分离变量得特征值问题()()⎩⎨⎧=X =X =X +X ''000a λ0=-''Y Y λ及(),......2,1,sin ,2==⎪⎭⎫⎝⎛=⇒k a x k B x a k k k k ππλX()ak D y a k C y k k k ππsinh cosh +=Y()x a k y a k b y a k a y x v k k k πππsin sinh cosh ,1∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴()x a k a x y k k πψsin :010∑∞===()xdx a k x a a a k πψsin 200⎰=∴()x a k b a k b b a k a x k k k πππψsin sinh cosh 11∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=()xd ak x a b a k b b a k a a k k πψππsin 2sinh cosh 01⎰=+⇒()()xdx a k a b k x x ab k a b a k ππψψπsin cosh sinh2001⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∴ 类似地，()y b k x b k d x b k c y x w k k k πππsin sinh cosh ,1∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=()ydy bk x b c b k πϕsin 200⎰=()()ydy b k b a k y y ba kb d b k ππϕϕπsin cosh sinh2001⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-= 5.非齐次问题 例()⎪⎩⎪⎨⎧=<-+==cu R r y x b a u R r )(222∆方法一:方程齐次化 令21w w u v --=()()()212211111144,2)1(:1:r ar w a A a r A r A Ar r w aw rw w r w w =∴==⇒=+-==+"=∆=-- 令 设21212),(ρρy A x A y x w +=)()1()1(:)(222222*********y x b y A x A y x b w -=-+--=∆--ρρρρρρ 12/,42121b A A =-===⇒ρρθ2cos 12)(12),(4442r by x b y x w =-=∴⎪⎩⎪⎨⎧--=<=--=∴=θθ2cos 124)(02cos 12442242R b R a c v R r v r b r a u v Rr ∆满足 ∑∞=++=1)sin cos (2),(n n n n r n n r v θβθααθ∑∞=++=--=142)sin cos (22cos 124:n nn n R n n R bR a c R r θβθααθ222012,42)(0),2,0(0R bR a c n n n n -=-=∀=≠=⇒ααβα θθ2cos 124),(222R r bR a c r v --=∴θθ2cos )(12)(4),(22222R r r bR r a c r u -+-+=∴方法二.特征函数法:⎪⎩⎪⎨⎧=<+=++=cuR r br a u r u r u R r r rr )(2cos 1122θθθ 令()∑∞=+=0sin )(cos )(),(n nnn r B n r A r v θθθ代入方程:θθθ2cos sin )()(1)(cos )()(1)(202222br a n r B r n r B r r B n r A r n r A r r A n n n n n n n +=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+"+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+''∑∞= )2,0(0)()(1)(22≠=-'+''⇒n r A r n r A r r A n n n, )(0)()(1)(22n r B r n r B r r B n n n ∀=-'+" (**))(4)(1)((*),)(1)(2222200br r A rr A r r A a r A rr A =-'+''='+'')0(,)0(==⇒+∞<+∞<n n n n d b B A)()(),2,0(,)(n r c r B n r a r A nn n n n n ∀=≠=∴边界条件()⇒+=∑∞=0sin )(cos )(n n n n R B n R A c θθ()0)(,)(;00)(,0)(00==≠==R B c R A n R B R A n n)(0)(),2,0(0)(n r B n r A n n ∀=≠=∴易求得（*）的一个特解为24r a,（**）的一个特解为412r b20004ln )(r a r b a r A ++= , 42222212)(r br b r a r A ++=-)0(,)0(2020==⇒+∞<+∞<b b A A)(4)(4)(220200R r ac r A R a c a c R A -+=⇒-=⇒=,)(12)(120)(2222222R r r br A R ba R A -=⇒-=⇒=θθ2cos )(12)(4),(22222R r r bR r a c r u -+-+=∴ §3调和函数的基本性质 3.1 Green 公式设nR ⊂Ω为有界区域, ΓΩ=∂分块光滑, ΓΩΩ =.Green 第一公式 设)()(),()(0112ΩΩ∈ΩΩ∈C C v C Cu ,则⎰⎰⎰∇⋅∇-∂∂=ΩΓΩ∆udx v dS n uv udx v 证明:⎰∑⎰=∂∂=ΩΩ∆ni idx x uv udx v 122⎰∑⎰∑==∂∂∂∂-∂∂∂∂=ΩΩni ii ni i i dx x ux v dx x u v x 11)(⎰⎰∇⋅∇-∂∂=ΩΓudx v dS n uv 同样地, 若)()(),()(0112ΩΩ∈ΩΩ∈C C u C Cv ,则 ⎰⎰⎰∇⋅∇-∂∂=ΩΓΩ∆vdx u dS n vu vdx u 因此有,Green 第二公式 设),()(,12ΩΩC Cv u ∈则 ⎰⎰∂∂-∂∂=-ΓΩ∆∆dS n uv n v u dx u v v u )()(Green 公式特例⎰⎰∂∂=ΓΩ∆dS n uudx 0,=∇⋅∇=∂∂⎰⎰v vdx u dS n vu∆ΩΓ 0,0)(===∂∂-∂∂⎰v u dS n u v n v u ∆∆Γ3.2 调和函数的基本性质1. Neumann 问题解的自由度及可解性条件 (1)解的自由度考虑问题 (PN) ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=g nu f u Γ∆若它有两个解21,u u , 则21u u u -=满足问题(N) ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=00Γ∆nu u⎰⎰⎰∇-∂∂==ΩΓΩ∆dxu dS n u u udxu 2⎰∇-=Ωdx u 2),,2,1(0n i u i x ==⇒.const u ≡⇒结论: 问题(PN)在相差一个常数的意义下有唯一解. (2)可解性条件 对问题(PN),⎰⎰∂∂=ΓΩ∆dS n uudx ⎰⎰=⇒ΓΩdS g dx f结论: 问题(PN)有解的必要条件为⎰⎰=ΓΩdS g dx f .2. 基本积分公式先考察3=n 的情形.设.,,),,(30000ΓΩΩΓΩΩ ==∂⊂∈R z y x M考虑函数,41),(00MM r M M v π=其中,),,(Ω∈z y x M202020)()()(0z z y y x x r MM -+-+-=.易知,),(0M M v 除0M M=外关于M 处处满足调和方程,称之为调和方程的基本解.取ε充分小,使得Ω⊂)(0M B ε. 记,\,εεεεB B ΩΩΓ==∂,,εεεεεΩΩΩΓΓΩ∂==∂ (见图)则)()(12εεΩΩC C v ∈,且在εΩ内处处满足调和方程.设)()(12ΩΩC Cu ∈,对u 与v 应用Green 第二公式, ⎰⎰⎰Ω∆-επdx M u r MM )(41⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂=εππΓΓ dS n M u r r n M u MM MM )(41)41()(00⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂=ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100π⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂-επΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100 ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂=ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100π ⎰⎰⎰⎰∂∂++εεπεπεΓΓdS r M u dS M u )(41)(412 ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂=ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100πε)()(21M ruM u ∂∂++其中εΓ∈21,M M令,0→ε则,,,021ΩΩ→→εM M M 从而,⎰⎰⎰-=Ω∆dx r M u M u MM 0)(41)(0π ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂-ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100π成为基本积分公式.调和函数的基本积分公式为:⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=ΓdS n M u r r n M u M u MM MM )(1)1()(41)(000π注1. 基本解:1ln21:2MM r n π= ,1:32-≥n MM n r n ω其中n ω为n 维空间中单位球面的面积. 2=n 时的基本积分公式为:⎰⎰-=Ω∆dx M u r M u MM )(1ln 21)(00π⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂-ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1ln )1(ln )(2100π注2. 对调和函数u ,成立⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂-ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100π ⎪⎩⎪⎨⎧=.),(4,),(2,,000000内在上在外在ΩΓΩM M u M M u M ππ 3. 平均值定理记以0M 为球心、R 为半径的球为)(0M B R ,球面为).(0M S R).()()(000M S M B M B R R R = 设))((00M B C u R ∈, 且在)(0M B R 内调和,则⎰⎰=)(20041)(M S R dS u R M u π证明: 先假设)),(())((0102M B C M B Cu R R ∈由中的基本积分公式,⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=)(0000)(1)1()(41)(M S MM MM R dS n M u r r n M u M u π⎰⎰=)(20)(41M S R dS M u R π⎰⎰∂∂+)(0)(41M S R dS n M u R π⎰⎰=)(20)(41M S R dS M u R π若))((00M B Cu R ∈,则取R R <,在)(0M B R 上有⎰⎰=)(20041)(M S RdS u R M u π 取极限R R →即可.注1. 上调和(0≤u ∆): ⎰⎰≥)(20041)(M S R dS u R M u π下调和(0≥u ∆): ⎰⎰≤)(20041)(M S R dS u R M u π注2.平()θϕθϕθϕθθπϕθρππcos ,sin sin ,cos sin sin ),,(41),,(000200000R z z R y y R x x d d z y x u u +=+=+==⎰⎰注3.()()⎰⎰++===πθθθππ200000)(0sin ,cos 21)(21)(20d R y R xu M M S uds RM u n R M S R 为圆心的圆周：以时的平均值公式：4. 极值原理,min min ,max max ,,,,u u u u u ΓΩΓΩ==ΩΩΓΩ=ΩΓ=Ω∂Ω则上连续内调和且在在若为有界区域设.,,,,,)(1.v u v u v u v u ≡≤Ω≤ΩΩΓΓ且等号成立当且仅当内恒成立则在且上连续在内调和在设顺序原理注.,:.2与最低点温度在边界取到最高点时稳定温度场内部无热源物理意义注uu f u u u f u C C u ΓΓΩ=⇒≤=∆=⇒≥=∆ΩΩ∈min min 0max max 0),()(3.12则设注例题()()球上的最大值与最小值球心处的值和在试求为球坐标题设有单位球内的定解问u r u r u r .,,sin cos sin cos 1013ϕθϕϕθθ⎪⎩⎪⎨⎧+++=<=∆= ()4sin 41sin sin cos sin cos 41)0,0,0(2002200πϕθθπϕθθϕϕθθπππππ==+++=⎰⎰⎰⎰d d d d u ()()21sin cos sin cos min min 22sin cos sin cos max max 11--=+++==+++=≤≤ϕϕθθϕϕθθu u r r5. Dirichlet 内问题解的唯一性与稳定性内问题⎩⎨⎧=∈=gu x f u ΓΩ∆)(唯一性: 考虑相应的齐次问题⎩⎨⎧=∈=0)(0ΓΩ∆u x u .0min min ,0max max ====u u u u ΓΓΩ⎭⎬⎫⇒ .0≡u稳定性: 连续依赖于边界条件.考虑⎩⎨⎧=∈=g u x u ΓΩ∆)(0,⇒⎪⎭⎪⎬⎫====g u u g u u ΓΓΓΓΩmin min min ,max max max .m a x m a x g u ΓΩ=§4 Green 函数及其应用4.1 Green 函数 1. G reen 函数的定义设3R ⊂Ω为有界区域,ΓΩ=∂.设函数),()(,12ΩΩC Cg u ∈若g 在Ω中调和,则⎰⎰⎰⎰⎰∂∂-∂∂+=ΓΩ∆dS n ug n g u udx g )(0设Ω∈0M ,已知基本积分公式⎰⎰⎰⎰⎰ΓΩ∂∂-∂∂-∆-=dSn M u r r n M u dxr uM u MM MM MM ])(41)41()([4)(0000πππ相加得⎰⎰⎰⎰⎰ΓΩ∂∂---∂∂--∆-=dS nM u g r g r n M u dxg r u M u MM MM MM ])()41()41()([)41()(0000πππ因此选),(0M M g g =满足⎪⎩⎪⎨⎧==ΓΓ∆0410MM r g g π 称函数),(41),(000M M g r M M G MM -=π为Green 函数.易知),(0M M G 除0M M=外关于变量M 处处满足调和方程,且0),(0=∈ΓM M M G .注1. 对Dirichlet 问题⎩⎨⎧==ϕΓ∆u fu ,⎰⎰⎰⎰⎰ΓΩ∂∂--=dSn M M G M dxM f M M G M u ),()()(),()(000ϕ注2. 对二维情形,Green 函数为),(1ln 21),(000M M g r M M G MM -=π 其中g 满足⎪⎩⎪⎨⎧==ΓΓ∆01ln 210MM rg g π2. Green 函数的意义1) G reen 函数仅依赖于区域,而与边界条件无关. 2) 特殊区域上的Green 函数可用初等的方法求出. 3) 利用Green 函数求解的积分公式可以讨论解的性质. 4) 有明显的物理意义:在接地的导电闭曲面Γ内的点0M 处放一 单位正电荷,则Γ内任一点M 处的电位为),(0M M G ,它由两部分组成:即0M 处电位正电荷产生的电位41MM r π与Γ内表面上感 应负电荷产生的感应电位),(0M M g -.而且导体表面的电位恒为零. 3. Green 函数的性质 1))1(),(00MM r O M M G =事实上,),(411),(0000M M g r r M M G MM MM -=π而+∞<≤041max ),(0MM r M M g πΓ)(0),(000M M M M g r MM →→⇒ 2) 1),(0-=∂∂⎰⎰ΓdS n M M G (只需取1≡u 即可.)3) 041),(00MM r M M G π<<.事实上, 由极值原理, 041min min ),(00>=>MM r g M M g πΓΓ, 即 041),(0MM r M M G π<.0,0),(,,00=>Γ∃≠∀ΓΓG G M M M 而使得充分小球面为半径的以为球心以εεεε.0min ),(G 0=>⇒G M M G εεΓΓΓΓ 所围的区域内调和与在由4) .),(),(),(211221中不重合的两点为ΩM M M M G M M G =事实上,.),(),(),(),(,,,,2121212121内调和在与则所围区域与、由使得充分小为半径的球面以为球心、分别作以εεεεεεεεΩΓΓΓΩ∈ΓΓ≠∀M M G M M G M M M M M M ⎰⎰⎰-=εΩ∆∆dx M M G M M G M M G M M G )),(),(),(),((01221⎰⎰∂∂-∂∂=21)),(),(),(),((1221εεΓΓΓ dSn M M G M M G n M M G M M G ⎰⎰∂∂-∂∂=ΓdS n M M G M M G n M M G M M G )),(),(),(),((1221⎰⎰∂∂-∂∂+1)),(),(),(),((1221εΓdSn M M G M M G n M M G M M G⎰⎰∂∂-∂∂+2)),(),(),(),((1221εΓdS nM M G M M G n M M G M M GIII II I ++=).,(lim ),,(lim 0,120210M M G M M G -===→→III II I εε易知4.2 静电源像法当区域具有某种对称性时,感应负电荷产生的电位 可以用在相应的对称点放置的假想负电荷产生的电位 来取代------这种求Green 函数的方法称为静电源像法. 1. 上半空间的Green 函数{};41,0z z)y,(x,00MM r M M π点产生的电位为它对单位正电荷处放中的点在上半空间>),,,(0),,,(00011000000z y x M M z M z y x M M -===的对称点关于平面则设141,1MM r M M π-产生的电位为则它对放单位负电荷在104141),(0MM MM r r M M G ππ-=⇒ ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-+---+-+-=202020202020)()()(1)()()(141z z y y x x z z y y x x π⎩⎨⎧=>==),()0(0Dirichlet 0y x f u z u z ∆ 问题考虑, dxdy z G y x f z y x u z 0000),(),,(=∞+∞-∞+∞-⎰⎰∂∂= []⎰⎰∞+∞-∞+∞-+-+-=232020200)()(),(2z y y x x dxdy y x f z π. ),(),,(],1ln 1[ln 21),(Green .00110000010y x M M y x M M r r M M G MM MM -==-=其中函数为上半平面的注π⎰∞+∞-=+-=⎪⎩⎪⎨⎧=>=∆2200000)()(),()()0(0Dirichlet y x x dxx f y y x u x f u y y π的解为问题2. 球的Green 函数 ,),0( ,),0(10M R B R B M 反演点为的它关于球面内的一点为球设∂=Γ 210R r r O M O M =⋅.441,,1010MM MM r qr M q M M ππ与产生的电位分别为它们对单位负电荷放在放单位正电荷在.,441100Γ∈=⇒P r qr PM PM 其中消这两个电位在球面上抵ππ 00100,OM PM PM r R r r q ===⇒ρρ其中)1(41),(1000MM MM r Rr M M G ρπ-=⇒⎩⎨⎧=<==fu R r u R r )(0Dirichlet ∆问题考虑2101221022001cos 2,cos 2,cos ),cos(,,101R G nGr r OM OM r r RMM MM OM OM =∂∂=∂∂-+=-+=====Γρρργρρρργρρρργρρρ及并注意到则记⎰⎰-+-=⇒ΓdS f R R R R M u 2302022020)cos 2(41)(γρρρπ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<≤≤≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===R z y x ρπϕπθθρϕθρϕθρ0200cos sin sin cos sin 利用球坐标变换 )Poisson (sin ),,()cos 2(4),,(2023020222000公式⎰⎰-+-=ππϕθθϕθγρρρπϕθρd d R f R R R R u)cos ,sin sin ,cos (sin )cos ,sin sin ,cos (sin 1.000000ϕϕθϕθθϕθϕθ的方向余弦为的方向余弦为注OM OM)cos(sin sin cos cos cos 000ϕϕθθθθγ-+=⇒ ]ln 1[ln 21),( Green 2.1000MM MM r Rr M M G ρπ-=函数为园的注 )P o i s s o n ()()c o s (221),(D i r i c h l e t 20002022200公式问题的解为相应的⎰--+-=πθθθθρρρπθρd f R R R u。
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－
1 cos nxdx 1 sin nxdx 0, n 1, 2,
－
,
－
cos nx sin mxdx
第二类边界条件
解：令
,得
化简: 引入参数 得
分离变量：
(i)
时，
由边值条件
得C1 =C 2=0 从而
，无意义
(ii) (iii)
时, 时,
,
由边值条件
由边值条件
则
从而
而
特征值 特征函数
T 的方程
其解为
所以
故
代入初始条件:
将
展开为傅立叶余弦级数，比较系数得
n at n at n x u( x , t ) A0 B0t ( An cos Bn sin )cos l l l n 1
常微分 解2 偏微分 方 程2 特征解（解 2 解 1 ） 常微分 方 程 分离 解 1 方 程 1 齐次边 变量 条 件 （特征函数） 界条件 （特征值问题）
分离 变量
所求解＝ 特征解
特征值
分离变量法图解
例1 设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速
u x , t A t sin x
设
方程得
且
不恒为零，代入
①
由
不恒为零，有：
这个式子的左端是x的函数, 右端是t的函数，何时恒等？
②
…..…….. ③
思考：先解哪一个方程？
利用边界条件
④ ④
则
⑤
特征值问题
参数 称为特征值；
相应的非零解 X(x) 称为特征函数；
分三种情形讨论特征值问题的求解：
u( x , t )
n at ( An cos l n 1
n at n x Bn sin l ) sin l
其中 An 和 Bn 由上页给出。
由叠加原理，如果上式右端的无穷级数是收敛的， 并且关于 x，t 能逐项微分两次，则和式 u(x,t) 确 实是问题(2.1)-(2.3)的解（经典解）。
条件：若在区间
上，
，且
则无穷级数解
ห้องสมุดไป่ตู้
为混合问题(2.1)-(2.3)的经典解, 其中
如果(*)定义的函数 u(x,t)不具备经典解的要求，则 称为问题(2.1)-(2.3)的形式解。
注1: 本书不讨论所求形式解是否满足经典解要求 的条件，只要求得了形式解，就认为定解问题得 到了解决。 注2: 用分离变量法求解定解问题的关键是确定 特征函数和运用叠加原理，这些运算能够进行, 是因为方程以及边界条件都是齐次的。
当 n 为偶数， 0, 4 , 当 n 为奇数。 3 3 5n
因此，所求的解为：
u( x , t ) 4
3
5 n 0 2n 1
1
3
2n 1 sin 10
x cos10 2n 1 t
例2：研究两端为自由端的弦的自由振动问题。
解：
u x , t (Cn cos na t Dn sin na t )sin n x
n 1
其中
0, n 2 C n 2 sin 2 x sin n xdx , 0 1, n 2
1
2 Dn na
1
0
n . x 1 x sin n xdx 1 1 4 n a
2. 正弦级数与余弦级数。
若 f ( x) 是 [l , l ] 上的奇函数， 则其傅立叶级数 只含正弦函数项；若 f ( x) 是 [l , l ] 上的偶函数， 则其傅立叶级数只含余弦函数项。
问题： 如何求定义在 [0,l ] 上的函数 f ( x) 的 傅里叶级数？
方法： 根据需要，将 f ( x) 的定义域拓展到 [l , l ]: 若展开成正弦级数，进行奇延拓；若展开成余弦 级数，进行偶延拓。然后将延拓后函数的傅里叶 级数限制到 [0,l ] 即可。
§2.1 有界弦的自由振动
研究两端固定弦的自由振动.
定解问题为：
2 2u u 2 0, 0 x l , t 0 2 a 2 x t t0 u x 0 0, u x l 0, u ( x ), u ( x ), 0 x l t 0 t t 0
(1) p2 4q 0 时，y C1e 1 x C 2e 2 x ; (2) p2 4q 0 时，y (C1 C2 x )e 1 x ; (3) p2 4q 0 时，设 1 i , 2 i , 则
y e x (C1 cos x C2 sin x ).
第二章 分离变量法
在微积分学中，多元函数的微分和 重积分经常要转化为一元函数的相应问 题来计算，例如偏导数、累次积分等。 类似地，偏微分方程的定解问题的常用 解法是设法转化为常微分方程的定解问 题。下面介绍的分离变量法就是这样一 种转化的方法。
理论基础:
叠加原理 设 L 是线性微分算子，若 ui 满足线性方程（或 线性定解条件）
思考：当边界条件为一个第一类，另一个第二类 时，问题如何解答？ 参见教材第25页的例2.
练习 求下列定解问题的解：
2 2u 2 u , 0 x 1, t 0; 2 a 2 t x u | x 0 u | x 1 0; u u |t 0 sin 2 x , |t 0 x 1 x . t
(i)
方程通解为
由边值条件得：
C1 =C 2=0 从而
(ii) 时，通解
，
无意义.
由边值条件
无意义
(iii）
时，通解
由边值条件：
得
从而
故
即： 而
再求解T：
其解为 所以
两端 固定 弦的 特征 振动
未必满足初始条件(2.3) 受叠加原理启发，
………………...⑥
代入初始条件得：
补充：傅立叶(Fourier)级数
的特征值问题(§2.6) 二阶线性齐次常系数常微分方程
对于 y py qy 0 ( p, q 是常数)
令 y e x 代入方程有 2 p q 0,
1
p
p 2 4q p p 2 4q , 2 2 2
2 p q 0
－
cos nx cos mxdx n m.
－
sin nx sin mxdx 0,
f ( x) 为 [ , ］ 上可积的以 2 为周期的函数。
若 f ( x) 满足一定条件，则 a0 f ( x) (an cos nx bn sin nx ), 2 n 1
将 得
展开为Fourier正弦级数，比较系数
sin n x , l 或直接根据 n 1,2,... 的正交性去计算
x sin m x dx sin n l l 0
l
sin nt sin mt dt 0
l
0, n m , m , n 为自然数 l , n m. 2
计算可得
l
x， 则 y [ , ].
a0 n n f ( x ) (an cos x bn sin x ), 2 n 1 l l
1 l n 其中 an f ( x) cos xdx, n 0,1, 2, , l l l 1 l n bn f ( x)sin xdx, n 1, 2, . l l l
其中 an bn f ( x) cos nxdx,
1
n 0,1, 2, n 1, 2, .
,
f ( x)sin nxdx,
1
两种推广
1. f ( x) 为 [l , l ] (l ) 上可积的以 2l 为周期的函数。
方法： 做变量代换 y
二、解的物理意义
初位相
角频率
⑴弦上各点的角频率 和初位相 有波形的传播现象。 ⑵弦上各点振幅
都相同，因而没 节点 腹点
因点而异
在
在
处，振幅永远为0
处，振幅最大,为 N n
特点
u( x , t ) n 1 un ( x , t )
u(x,t )是由无穷多个振幅、角频率、初位相各不
相同的驻波叠加而成。 n＝1的驻波称为基波, n>1的驻波叫做n次谐波。
Lui f i ,
i 1,2,
, n,
i
则它们的线性组合 u
c u
i 1 i
必满足方程（或定解条件） Lu
c f
i 1 i
i
其中要求级数收敛，且满足“L 中出现的求导与求和可交 换”的条件。
Sturm-Liouville 理论
P ( x ) y q( x ) y ( x ) y 0 (a x b)
为零，初位移为 x x 10 x ，求弦做微小横向振
1000
动时的位移，其中 a 2 10000 与弦的材料和张力 有关 .
解 设位移函数为 u x, t ，则需要求解下列定解问题
2u 2u 2 10000 2 , 0 x 10, t 0; x t u | x 0 u | x 10 0; u | x 10 x , u | 0. t o t 0 1000 t