基于MATLAB的最小二乘曲线拟合
基于MATLAB的最小二乘曲线拟合仿真研究
基于MATLAB的最小二乘曲线拟合仿真研究一、本文概述在科学技术和工程实践中，曲线拟合是一项至关重要的任务。
它广泛应用于数据分析和预测、模型建立与优化等领域。
最小二乘法作为一种经典的数学优化技术，在曲线拟合中发挥着核心作用。
它通过最小化预测值与实际观测值之间的误差平方和，来寻找最佳的函数模型，使之能够准确地反映数据的内在规律。
本文旨在探讨基于MATLAB的最小二乘曲线拟合方法，并通过仿真研究验证其有效性和适用性。
我们将首先介绍最小二乘法的基本原理，然后详细阐述如何在MATLAB中实现最小二乘曲线拟合。
接下来，我们将通过一系列仿真实验，比较不同拟合方法的性能，分析影响拟合效果的因素，并探讨如何在实际应用中优化拟合过程。
本文的主要内容包括：最小二乘法的基本原理、MATLAB实现方法、仿真实验设计、结果分析与讨论，以及结论与展望。
通过本文的研究，读者将能够深入理解最小二乘曲线拟合的原理和方法，掌握MATLAB在曲线拟合中的应用技巧，为实际工作中的数据处理和模型建立提供有益的参考和借鉴。
二、最小二乘法原理及MATLAB优势最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
这种方法广泛应用于曲线拟合、回归分析等领域。
最小二乘法的核心思想是，对于一组给定的数据点，找到一个函数，使得该函数与数据点之间的误差平方和最小。
在曲线拟合中，通常使用多项式函数作为拟合函数，通过调整多项式的系数来最小化误差。
MATLAB作为一种强大的数学计算和仿真软件，具有显著的优势，特别适用于最小二乘曲线拟合的研究。
MATLAB内置了丰富的数学函数库，可以直接调用最小二乘法的相关函数，如polyfit、lsqcurvefit 等，简化了计算过程。
MATLAB具有高效的数值计算能力，能够快速处理大量数据，并给出精确的结果。
MATLAB还具有强大的图形绘制功能，可以直观地展示拟合曲线和原始数据点的对比，方便研究人员对拟合效果进行评估。
Matlab最小二乘法曲线拟合
之阳早格格创做最小两乘法正在直线拟合中比较一致.拟合的模型主要有1.直线型2.多项式型3.分数函数型4.指数函数型5.对付数线性型6.下斯函数型......普遍对付于LS问题，常常利用反斜杠运算“\”、fminsearch或者劣化工具箱提供的极小化函数供解.正在Matlab中，直线拟合工具箱也提供了直线拟合的图形界里支配.正在下令提示符后键进：cftool，即可根据数据，采用适合的拟合模型.“\”下令1.假设要拟合的多项式是：y=a+b*x+c*x^2.最先修坐安排矩阵X：X=[ones(size(x)) x x^2];实止：para=X\ypara中包罗了三个参数：para(1)=a;para(2)=b;para(3)=c;那种要领对付于系数是线性的模型也符合.2.假设要拟合：y=a+b*exp(x)+cx*exp(x^2)安排矩阵X为X=[ones(size(x)) exp(x) x.*exp(x.^2)];para=X\y3.多沉返回(乘积返回)设要拟合：y=a+b*x+c*t，其中x战t是预测变量，y是赞同变量.安排矩阵为X=[ones(size(x)) x t] %注意x,t大小相等！para=X\y polyfit函数polyfit函数没有需要输进安排矩阵，正在参数预计中，polyfit会根据输进的数据死成安排矩阵.1.假设要拟合的多项式是：y=a+b*x+c*x^2p=polyfit(x,y,2)而后不妨使用polyval正在t 处预测：y_hat=polyval(p,t)polyfit函数不妨给出置疑区间.[p S]=polyfit(x,y,2) %S中包罗了尺度好[y_fit,delta] = polyval(p,t,S) %依照拟合模型正在t处预测正在每个t处的95%CI为：(y_fit-1.96*delta, y_fit+1.96*delta)2.指数模型也符合假设要拟合：y = a+b*exp(x)+c*exp(x.?2)p=polyfit(x,log(y),2)fminsearch函数fminsearch是劣化工具箱的极小化函数.LS问题的基础思维便是残好的仄圆战(一种范数，由此，LS爆收了许多应用)最小，果此不妨利用fminsearch函数举止直线拟合.假设要拟合：y = a+b*exp(x)+c*exp(x.?2)最先修坐函数，不妨通过m文献或者函数句柄修坐：x=[......]';y=[......]';f=@(p,x) p(1)+p(2)*exp(x)+p(3)*exp(x.?2) %注理念量化:p(1)=a;p(2)=b;p(3)=c;%不妨根据需要采用是可劣化参数%opt=options()p0=ones(3,1);%初值para=fminsearch(@(p) (y-f(p,x)).^2,p0) %不妨输出Hessian矩阵res=y-f(para,x)%拟合残好直线拟合工具箱提供了很多拟合函数，对付大样本场合比较灵验！非线性拟合nlinfit函数clear all;x1=[0.4292 0.4269 0.381 0.4015 0.4117 0.3017]';x2=[0.00014 0.00059 0.0126 0.0061 0.00425 0.0443]';x=[x1 x2];y=[0.517 0.509 0.44 0.466 0.479 0.309]';f=@(p,x) 2.350176*p(1)*(1-1/p(2))*(1-(1-x(:,1).^(1/p(2))).^p(2)).^2.*(x(:,1).^(-1/p(2))-1).^(-p(2)).*x(:,1).^(-1/p(2)-0.5).*x(:,2);p0=[80.5]';opt=optimset('TolFun',1e-3,'TolX',1e-3);%[pR]=nlinfit(x,y,f,p0,opt) 例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子直线型例子的一个例子1900-2000年的总人心情况的直线拟合clear all;close all;%cftool提供了可视化的直线拟合！t=[1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000]';y=[75.995 91.972 105.711 123.203 131.669 150.697 179.323 203.212 226.505 249.633 281.4220]';%t太大，以t的幂动做基函数会引导安排矩阵尺度太好，列变量险些线性相依.变更为[-1 1]上s=(t-1950)/50;%plot(s,y,'ro');%返回线：y=a+bxmx=mean(s);my=mean(y);sx=std(s);sy=std(y);r=corr(s,y );b=r*sy/sx;a=my-b*mx;rline=a+b.*s;figure;subplot(3,2,[1 2])plot(s,y,'ro',s,rline,'k');%title('多项式拟合');set(gca,'XTick',s,'XTickLabel',sprintf('%d|',t));%holdon;n=4;PreYear=[2010 2015 2020];%预测年份tPreYear=(PreYear-1950)/50;Y=zeros(length(t),n);res=zeros(size(Y));delta=zeros(si ze(Y));PrePo=zeros(length(PreYear),n);Predelta=zeros(size(Pre Po));for i=1:n [p S(i)]=polyfit(s,y,i); [Y(:,i) delta(:,i)]=polyval(p,s,S(i));%拟合的Y [PrePo(:,i) Predelta(:,i)]=polyval(p,tPreYear,S(i));%预测res(:,i)=y-Y(:,i);%残好end% plot(s,Y);%2009a自动增加分歧颜色% legend('data','regression line','1st poly','2nd poly','3rd poly','4th poly',2)% plot(tPreYear,PrePo,'>');% hold off% plot(Y,res,'o');%残好图r=corr(s,Y).^2 %R^2%拟合缺点预计CIYearAdd=[t;PreYear'];tYearAdd=[s;tPreYear'];CFtit={'一阶拟合','两阶拟合','三阶拟合','四阶拟合'};for col=1:n subplot(3,2,col+2); plot(s,y,'ro',s,Y(:,col),'g-');%本初数据战拟合数据legend('Original','Fitted',2); hold on; plot(s,Y(:,col)+2*delta(:,col),'r:');%95% CI plot(s,Y(:,col)-2*delta(:,col),'r:'); plot(tPreYear,PrePo(:,col),'>');%预测值plot(tPreYear,PrePo(:,col)+2*Predelta(:,col));%预测95% CI plot(tPreYear,PrePo(:,col)-2*Predelta(:,col)); axis([-1.2 1.8 0 400]); set(gca,'XTick',tYearAdd,'XTickLabel',sprintf('%d|',Ye arAdd)); title(CFtit{col}); hold off;endfigure;%残好图for col=1:n subplot(2,2,col); plot(Y(:,i),res(:,i),'o');end一个非线性的应用例子(多元情况)正在百度知讲中，要拟合y=a*x1^n1+b*x2^n2+c*x3^n3%注：不过动做应用，模型纷歧定精确！！！%x2=x3!!!y=[1080.94 1083.03 1162.80 1155.61 1092.82 1099.26 1161.06 1258.05 1299.03 1298.30 1440.22 1641.30 1672.21 1612.73 1658.64 1752.42 1837.99 2099.29 2675.47 2786.33 2881.07]'; x1=[1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9 1.95 2]'; x2=[1 1.025 1.05 1.075 1.1 1.125 1.15 1.175 1.2 1.225 1.250 1.275 1.3 1.325 1.350 1.375 1.4 1.425 1.45 1.475 1.5]'; x3=[1 1.025 1.05 1.075 1.1 1.125 1.15 1.175 1.2 1.225 1.250 1.275 1.3 1.325 1.350 1.375 1.4 1.425 1.45 1.475 1.5]'; x=[x1 x2 x3]; f=@(p,x) p(1)*x(:,1).^p(2)+p(3)*x(:,2).^p(4)+p(5)*x(:,3).^p(6);p0=ones(6,1); p=fminsearch(@(p)sum(y-f(p,x)).^2,p0) res=y-f(p,x); res2=res.^2 %波折的模型。
Matlab最小二乘法曲线拟合
最小二乘法在曲线拟合中比较普遍。
拟合的模型主要有1.直线型2.多项式型3.分数函数型4.指数函数型5.对数线性型6.高斯函数型......一般对于LS问题，通常利用反斜杠运算“\”、fminsearch或优化工具箱提供的极小化函数求解。
在Matlab中，曲线拟合工具箱也提供了曲线拟合的图形界面操作。
在命令提示符后键入：cftool，即可根据数据，选择适当的拟合模型。
“\”命令1.假设要拟合的多项式是：y=a+b*x+c*x^2.首先建立设计矩阵X：X=[ones(size(x)) x x^2];执行：para=X\ypara中包含了三个参数：para(1)=a;para(2)=b;para(3)=c;这种方法对于系数是线性的模型也适应。
2.假设要拟合：y=a+b*exp(x)+cx*exp(x^2)设计矩阵X为X=[ones(size(x)) exp(x) x.*exp(x.^2)];para=X\y3.多重回归(乘积回归)设要拟合：y=a+b*x+c*t，其中x和t是预测变量，y是响应变量。
设计矩阵为X=[ones(size(x)) x t] %注意x,t大小相等！para=X\ypolyfit函数polyfit函数不需要输入设计矩阵，在参数估计中，polyfit会根据输入的数据生成设计矩阵。
1.假设要拟合的多项式是：y=a+b*x+c*x^2p=polyfit(x,y,2)然后可以使用polyval在t处预测：y_hat=polyval(p,t)polyfit函数可以给出置信区间。
[p S]=polyfit(x,y,2) %S中包含了标准差[y_fit,delta] = polyval(p,t,S) %按照拟合模型在t处预测在每个t处的95%CI为：(y_fit-1.96*delta, y_fit+1.96*delta)2.指数模型也适应假设要拟合：y = a+b*exp(x)+c*exp(x.?2)p=polyfit(x,log(y),2)fminsearch函数fminsearch是优化工具箱的极小化函数。
matlab最小二乘法拟合二次曲线
标题：探索MATLAB最小二乘法：拟合二次曲线的深度与广度近年来，MATLAB的最小二乘法在数据分析和拟合曲线中逐渐成为研究和工程实践中的热门话题。
具体来说，通过最小二乘法可以拟合出最优的二次曲线，从而更精准地分析和预测各种实际数据。
在本文中，我将利用最小二乘法拟合二次曲线这一主题，结合MATLAB的相关知识和理论基础，进行深度与广度兼具的探索和阐述。
希望通过这篇文章，可以让读者更全面、深入地了解MATLAB最小二乘法在拟合二次曲线中的应用和意义。
1. MATLAB最小二乘法概述MATLAB作为数据分析和数值计算的重要工具之一，其最小二乘法在拟合曲线中具有广泛的应用。
最小二乘法的核心思想是通过最小化误差的方式，找到一条最符合实际数据的曲线。
在MATLAB中，可以利用polyfit函数实现最小二乘法拟合二次曲线，其原理和实现方式将在后文详细说明。
2. 深入理解最小二乘法最小二乘法不仅仅是一种拟合曲线的技术，更是一种数学原理和计算方法。
在拟合二次曲线中，我们需要理解误差的来源及其产生的原因，掌握最小二乘法拟合的数学模型和计算过程。
通过深入理解最小二乘法，我们可以更准确地分析和解释拟合结果，为实际问题的研究和解决提供更为可靠的依据。
3. MATLAB实例分析接下来，我们将以一个实际的数据集为例，利用MATLAB进行最小二乘法拟合二次曲线。
通过具体的数据分析和计算实例，我们可以更直观地了解最小二乘法的应用过程和拟合效果。
也可以探讨和比较不同参数对拟合结果的影响，从而更全面地认识最小二乘法在拟合二次曲线中的灵活性和可操作性。
4. 总结与展望在本篇文章中，我们对MATLAB最小二乘法在拟合二次曲线中的深度与广度进行了探索和阐述。
通过对最小二乘法原理的解析和MATLAB 实例的分析，我们希望读者能够更全面、深入地理解其在数据分析和拟合曲线中的重要性和实际应用。
也希望能够引发更多关于最小二乘法的讨论和研究，为其在实际工程和科研中的进一步应用提供更多可能性。
matlab最小二乘法拟合直线
matlab最小二乘法拟合直线【导言】直线拟合是数据分析和数学建模中常用的方法之一，而最小二乘法则是在直线拟合中最常用的方法之一。
在本文中，将介绍使用Matlab进行最小二乘法拟合直线的步骤和原理，并就此主题进行深入的探讨。
【正文】一、最小二乘法简介最小二乘法是一种数学优化方法，它通过最小化误差的平方和来寻找函数与观测数据之间的最佳拟合。
在直线拟合中，最小二乘法的目标是找到一条直线，使得所有观测数据点到直线的距离之和最小。
1. 确定拟合的模型在直线拟合中，我们的模型可以表示为：Y = a*X + b，其中a和b为待求参数，X为自变量，Y为因变量。
2. 计算误差对于每一个观测数据点(x_i, y_i)，计算其到直线的垂直距离d_i，即误差。
误差可以表示为：d_i = y_i - (a*x_i + b)。
3. 求解最小二乘法问题最小二乘法的目标是最小化所有观测数据点到直线的距离之和，即最小化误差的平方和：min Σ(d_i^2) = min Σ(y_i - (a*x_i + b))^2。
通过求解该最小化问题，可以得到最佳拟合的直线斜率a和截距b的值。
二、Matlab实现最小二乘法拟合直线的步骤下面将介绍使用Matlab进行最小二乘法拟合直线的基本步骤。
1. 导入数据需要将实验数据导入Matlab。
可以使用matlab自带的readtable函数从文件中读取数据，也可以使用xlsread函数直接从Excel文件中读取数据。
2. 数据预处理在进行最小二乘法拟合直线之前，先对数据进行预处理。
一般情况下，可以对数据进行去除异常值、归一化等操作，以确保数据的准确性和可靠性。
3. 拟合直线使用Matlab的polyfit函数可以实现直线拟合。
polyfit函数可以拟合输入数据的曲线或平面，并返回拟合参数。
在拟合直线时，需要指定拟合的阶数，对于直线拟合，阶数为1。
4. 绘制拟合直线使用Matlab的plot函数可以将拟合的直线绘制出来，以便于观察拟合效果。
matlab最小二乘法拟合曲线
matlab最小二乘法拟合曲线Matlab最小二乘法拟合曲线是一种应用于数据拟合的有效的工具，它的作用是使用最小二乘法来估计未知参数并获得适合拟合的最优拟合曲线，以下是Matlab最小二乘法拟合曲线的具体用法：一、Matlab最小二乘法拟合模型：1、首先，根据需要拟合的数据，定义未知参数的类型、数量和频率；2、接下来，定义未知参数的初始值，以及用于确定参数最优拟合曲线的搜索算法；3、然后，调用最小二乘法函数，使用最小二乘法函数计算拟合参数θ；4、最后，用优化到的θ值生成最优曲线，即得到拟合曲线。
二、Matlab最小二乘法拟合曲线的特点：1、精度高：最小二乘法在误差估计上是最佳的，能控制估计偏差，通过求解思维运算完成最小二乘拟合；2、可以处理多元数据：最小二乘法可以处理多个变量进行统计拟合，有多个自变量时，仍然能生成反映变量之间关系的拟合曲线；3、计算量小：最小二乘法只需计算发生一次，消耗计算量较小，计算正确率高；4、反应速度快：最小二乘法反应速度快，可以很好的拟合多项式，某一特定点的拟合能力强，它具有很高的拟合度。
三、Matlab最小二乘法拟合曲线的应用：1、最小二乘法拟合曲线可以用于多元统计拟合，研究变量之间的关系，可用于实验数据处理和建模；2、最小二乘法拟合曲线也可以用于经济学，可以通过估计最小二乘回归系数进行广义线性模型的预测；3、最小二乘法拟合曲线可以用于工程曲线拟合，如机械设计的几何拟合等，以及测量仪器的校正等；4、最小二乘法拟合曲线也可以用于生物学研究，可以通过进化分类树及类群的状态估计其特征变化趋势；5、最小二乘法拟合曲线还可以用于物理和化学实验中，以及天气、气候等领域。
四、Matlab最小二乘法拟合曲线的优缺点：优点：1、计算量小，计算消耗较小；2、可对多元数据进行拟合，处理变量之间的关系；3、拟合精度高，控制估计偏差；4、反应速度快，容错性强。
缺点：1、处理误差较大的数据时，拟合效果不佳；2、对曲线的凸性要求，不能处理异常数据；3、无法处理变量间的非线性关系，拟合结果也会出现偏差。
Matlab最小二乘法曲线拟合
之杨若古兰创作最小二乘法在曲线拟合中比较普遍.拟合的模型次要有1.直线型2.多项式型3.分数函数型4.指数函数型5.对数线性型6.高斯函数型......普通对于LS成绩，通常利用反斜杠运算“\”、fminsearch 或优化工具箱提供的极小化函数求解.在Matlab中，曲线拟合工具箱也提供了曲线拟合的图形界面操纵.在命令提示符后键入：cftool，即可根据数据，选择适当的拟合模型.“\”命令1.假设要拟合的多项式是：y=a+b*x+c*x^2.首先建立设计矩阵X：X=[ones(size(x)) x x^2]; 履行：para=X\ypara中包含了三个参数：para(1)=a;para(2)=b;para(3)=c; 这类方法对于系数是线性的模型也适应.2.假设要拟合：y=a+b*exp(x)+cx*exp(x^2) 设计矩阵X为X=[ones(size(x)) exp(x) x.*exp(x.^2)]; para=X\y3.多重回归(乘积回归) 设要拟合：y=a+b*x+c*t，其中x和t是猜测变量，y是呼应变量.设计矩阵为X=[ones(size(x)) x t] %留意x,t大小相等！para=X\ypolyfit函数polyfit函数不须要输入设计矩阵，在参数估计中，polyfit会根据输入的数据生成设计矩阵.1.假设要拟合的多项式是：y=a+b*x+c*x^2 p=polyfit(x,y,2)然后可以使用polyval在t处猜测：y_hat=polyval(p,t)polyfit函数可以给出相信区间. [p S]=polyfit(x,y,2) %S中包含了尺度差[y_fit,delta] = polyval(p,t,S) %按照拟合模型在t处猜测在每个t处的95%CI为：(y_fit1.96*delta, y_fit+1.96*delta)2.指数模型也适应假设要拟合：y = a+b*exp(x)+c*exp(x.?2) p=polyfit(x,log(y),2)fminsearch函数fminsearch是优化工具箱的极小化函数.LS成绩的基本思想就是残差的平方和(一种范数，由此，LS发生了很多利用)最小，是以可以利用fminsearch函数进行曲线拟合. 假设要拟合：y = a+b*exp(x)+c*exp(x.?2) 首先建立函数，可以通过m文件或函数句柄建立：x=[......]';y=[......]';f=@(p,x) p(1)+p(2)*exp(x)+p(3)*exp(x.?2) %留意向量化:p(1)=a;p(2)=b;p(3)=c; %可以根据须要选择是否优化参数%opt=options()p0=ones(3,1);%初值para=fminsearch(@(p) (yf(p,x)).^2,p0) %可以输出Hessian矩阵res=yf(para,x)%拟合残差曲线拟合工具箱提供了很多拟合函数，对大样本场合比较无效！非线性拟合nlinfit函数clear all; x1=[0.4292 0.4269 0.381 0.4015 0.4117 0.3017]'; x2=[0.00014 0.00059 0.0126 0.0061 0.00425 0.0443]'; x=[x1 x2]; y=[0.517 0.509 0.44 0.466 0.479 0.309]'; f=@(p,x)2.350176*p(1)*(11/p(2))*(1(1x(:,1).^(1/p(2))).^p(2)).^2.*(x(:,1).^(1 /p(2))1).^(p(2)).*x(:,1).^(1/p(2)0.5).*x(:,2);p0=[8 0.5]'; opt=optimset('TolFun',1e3,'TolX',1e3);%[p R]=nlinfit(x,y,f,p0,opt)例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子直线型例子2.多项式型的一个例子19002000年的总人口情况的曲线拟合clear all;close all; %cftool提供了可视化的曲线拟合！t=[1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000]'; y=[75.995 91.972 105.711 123.203 131.669 150.697 179.323 203.212 226.505 249.633 281.4220]'; %t太大，以t的幂作为基函数会导致设计矩阵尺度太差，列变量几乎线性相依.变换为[1 1]上s=(t1950)/50;%plot(s,y,'ro');%回归线：y=a+bx mx=mean(s);my=mean(y);sx=std(s);sy=std(y);r=corr(s,y);b=r*sy/sx;a=myb*mx;rline=a+b.*s;figure;subplot(3,2,[1 2]) plot(s,y,'ro',s,rline,'k');%title('多项式拟合'); set(gca,'XTick',s,'XTickLabel',sprintf('%d|',t));%hold on; n=4;PreYear=[ ];%猜测年份tPreYear=(PreYear1950)/50;Y=zeros(length(t),n);res=zeros(size(Y));delta=zeros(size(Y));PrePo=zeros(length(PreYear),n);Predelta=zeros(size(PrePo));for i=1:n[p S(i)]=polyfit(s,y,i);[Y(:,i) delta(:,i)]=polyval(p,s,S(i));%拟合的Y [PrePo(:,i) Predelta(:,i)]=polyval(p,tPreYear,S(i));%猜测res(:,i)=yY(:,i);%残差end% plot(s,Y);%a主动添加分歧色彩% legend('data','regression line','1st poly','2nd poly','3rd poly','4th poly',2)% plot(tPreYear,PrePo,'>'); % hold off % plot(Y,res,'o');%残差图r=corr(s,Y).^2 %R^2 %拟合误差估计CI YearAdd=[t;PreYear'];tYearAdd=[s;tPreYear'];CFtit={'一阶拟合','二阶拟合','三阶拟合','四阶拟合'}; for col=1:nsubplot(3,2,col+2);plot(s,y,'ro',s,Y(:,col),'g');%原始数据和拟合数据legend('Original','Fitted',2);hold on;plot(s,Y(:,col)+2*delta(:,col),'r:');%95% CIplot(s,Y(:,col)2*delta(:,col),'r:');plot(tPreYear,PrePo(:,col),'>');%猜测值plot(tPreYear,PrePo(:,col)+2*Predelta(:,col));%猜测95% CIplot(tPreYear,PrePo(:,col)2*Predelta(:,col));axis([1.2 1.8 0 400]);set(gca,'XTick',tYearAdd,'XTickLabel',sprintf('%d|',YearAdd));title(CFtit{col});hold off; endfigure;%残差图for col=1:nsubplot(2,2,col);plot(Y(:,i),res(:,i),'o'); end一个非线性的利用例子(多元情况)在百度晓得中，要拟合y=a*x1^n1+b*x2^n2+c*x3^n3%注：只是作为利用，模型纷歧定准确！！！%x2=x3!!!y=[1080.94 1083.03 1162.80 1155.61 1092.82 1099.26 1161.06 1258.05 1299.03 1298.30 1440.22 1641.30 1672.21 1612.73 1658.64 1752.42 1837.99 2099.29 2675.47 2786.33 2881.07]'; x1=[1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9 1.95 2]'; x2=[1 1.025 1.05 1.075 1.1 1.125 1.15 1.175 1.2 1.225 1.250 1.275 1.3 1.325 1.350 1.375 1.4 1.425 1.45 1.475 1.5]'; x3=[1 1.025 1.05 1.075 1.1 1.125 1.15 1.175 1.2 1.225 1.250 1.275 1.3 1.325 1.350 1.375 1.4 1.425 1.45 1.475 1.5]'; x=[x1 x2 x3]; f=@(p,x) p(1)*x(:,1).^p(2)+p(3)*x(:,2).^p(4)+p(5)*x(:,3).^p(6); p0=ones(6,1);p=fminsearch(@(p)sum(yf(p,x)).^2,p0)res=yf(p,x);res2=res.^2 %失败的模型。
matlab最小二乘法高次拟合曲线
matlab最小二乘法高次拟合曲线最小二乘法是一种常用的曲线拟合方法，用于找到一条最优的曲线来拟合一组给定的数据点。
在MATLAB中，可以使用polyfit函数来进行最小二乘法拟合。
假设有一组数据点(x_i, y_i)，其中x_i为自变量的取值，y_i为对应的因变量的取值。
现在要拟合一条高次曲线来表达这些数据点。
可以通过指定需要的多项式的次数来进行高次拟合。
假设需要进行n次拟合，那么拟合的曲线可以表示为：y = a_n * x^n + a_(n-1) * x^(n-1) + ... + a_1 * x + a_0其中a_n, a_(n-1), ..., a_1, a_0为拟合曲线中的系数。
在MATLAB中，可以使用以下代码进行最小二乘法高次拟合：```matlab% 输入数据点的x和y值x = [x_1, x_2, ..., x_m];y = [y_1, y_2, ..., y_m];% 指定需要进行的多项式的次数n = 指定的次数;% 进行最小二乘法拟合coefficients = polyfit(x, y, n);% 根据拟合得到的系数绘制拟合曲线x_fit = linspace(min(x), max(x), 1000);y_fit = polyval(coefficients, x_fit);plot(x, y, 'o', x_fit, y_fit);```在上述代码中，polyfit函数用于进行最小二乘法拟合，返回的coefficients是拟合曲线中的系数。
polyval函数用于根据拟合的系数计算曲线上对应的y值。
最后，使用plot函数将原始数据点和拟合曲线一起显示出来。
通过这种方法，可以找到一条最优的高次拟合曲线来表达给定的数据点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基于MATLAB的最小二乘曲线拟合
作者：时鑫时森何长征
来源：《中国科技纵横》2010年第20期
摘要:本文主要介绍了最小二乘曲线拟合方法的基本思路,并通过编制MATLAB程序对测量数据进行了一阶拟合和二阶拟合,实现了拟合多项式系数的求解。
关键词:曲线拟合最小二乘多项式拟合
Least-Square Curve Fitting Method Based on MATLAB
SHI Xin1, SHI Sen2, HE Chang-zheng3
(1. Beijing Global Information Application and Development Center, Beijing 100094; 2. Ericsson (China) Communications Company Ltd., Beijing 100102;
3. Beijing HT Horizon Technology Service Co., Ltd., Beijing 100026)
Abstract: Least-Square curve fitting method was introduced in this paper, and the measured data was fitted with the MATLAB program, which realized solving the polynomial coefficient.
Key words: Curve fitting, Least-Square, Polynomial fitting
1 引言
在工程科学计算中经常要建立实验数据的数学模型。
给定函数的实验数据,需要用比较简单和合适的函数来逼近(或拟合)实验数据。
逼近离散数据的基本方法就是曲线拟合,常采用最小二乘拟合。
用MATLAB对实验数据进行最小二乘拟合,能较准确地标记实验数据点和绘出拟合曲线[1]。
2 最小二乘曲线拟合
曲线拟合问题的数学描述是,已知一组(二维)数据 , , 互不相同,寻求一个函数(曲线) ,使在某种准则下与所有数据点最为接近,即曲线拟合得最好。
线性最小二乘法是解决曲线拟合问题最常用的方法,基本思路是,令
(1)
其中是一组事先选定的线性无关的函数是一组待定系数。
寻求系数使得与的距离的平方和最小。
这种准则称为最小二乘准则,其求系数的方法称为线性最小二乘拟合方法。
2.1系数的求法
若记
(2)
则为的二次函数。
由数学分析(或高等数学)的极值理论, 达到最小的充分必要条件是满足。
于是得到求使达到最小的的方法是求解线性方程组(称为法方程组)
, ,
即求解线性方程组
,(3)。
若记
, , ,
则方程组(3)可表示为
(4)。
由于当线性无关时, 列满秩, 可逆,所以方程组(4)有唯一解。
用(1)作线性最小二乘拟合的误差通常考虑以下两种形式:
最小平方误差:;
最大偏差: 。
2.2 函数组的选取
面对一组数据 , ,用线性最小二乘法作曲线拟合时,首要的、也是关键的一步是恰当地选取。
如果通过机理分析,能够知道与之间应该有什么样的函数关系,则容易确定。
若无法知道与之间的关系,通常可以将数据作图,直观地判断应该用什么样的曲线去作拟合。
人们常用的曲线有
(i)直线 ;
(ii)多项式(一般 ,不宜太高);
在实际计算过程中,面对一组已知数据,到底用什么样的曲线拟合最好,可以在直观判断的基础上,选几种曲线分别拟合,然后比较,看哪条曲线的最小二乘指标最小。
3 MATLAB程序实现
MATLAB是一个高级的数值分析处理与计算软件[2],求解矩阵方程非常方便。
MATLAB 提供的polyfit函数用来计算多项式拟合系数,其设定曲线拟合的目标是最小方差,即最小二乘法[3]。
现有一测量数据文件“datafile”,如表1所示:
该数据文件第一列表示观测时间(s),第二列是表示距离观测量(m),现要求解距离观测量与观测时间之间的函数关系。
采用MATLAB编写求解多项式拟合系数的程序清单如下:
for fitnum=1:2%拟合阶数,可以根据需要设置
aa=load('datafile');%加载测量数据文件
%%拟合并计算拟合残差
[RowNum,ColNum]=size(aa);
para=polyfit(aa(:,1),aa(:,2),fitnum);
y = polyval(para,aa(:,1));
dy=y-aa(:,2);
%%将拟合结果输出
i=1;
while(i
printf('%20.8f %20.8f %20.8f 20.8f\n',aa(i,1),aa(i,2),y(i),dy(i));
i=i+1;
end
%%将原始数据及拟合结果作图
plot(aa(:,1),aa(:,2),'o',aa(:,1),y(:),'r.-');
%%将拟合参数输出
if(fitnum==1)
printf('a2=%20.8e \n a1=%20.8e \n \n',para(2),para(1));
end
if(fitnum==2)
printf('a3=%20.8e \n a2=%20.8e \n a1=%20.8e \n',para(3),para(2),para(1));
end
end
用MATLAB程序对该测量数据进行1阶和2阶多项式拟合,拟合结果如下:
一阶拟合参数为 , ,拟合曲线为 ,即 ,见图1。
二阶拟合参数为 , , ,拟合曲线为 ,即 ,见图2。
由图1和图2可见,测量数据散点与拟合曲线十分接近,拟合的效果较为理想,这也进一步说明了该拟合方法是准确与可行的。
4 结语
基于MATLAB的最小二乘曲线拟合方法简明适用,通过MATLAB实现了测量数据的最小二乘曲线拟合,在有限的测量数据条件下精确描述了观测量的特性,为实验研究和工程应用提供了依据。
参考文献:
[1] 姜健飞,胡良剑,唐俭.数值分析及其MATLAB实验[M].北京:科学出版社,2004.
[2] 何仁斌.MATLAB6工程计算及应用[M].重庆:重庆大学出版社,2001.
[3] 陈杰.MATLAB宝典[M].北京:电子工业出版社,2007.。