公开课指数函数
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指数函数及其性质-(公开课)
函数的奇偶性
总结词
指数函数并非总是奇函数或偶函数，这取决于底数 $a$ 的值 。
详细描述
如果 $a > 0$ 且 $a neq 1$，那么 $f(x) = a^x$ 是非奇非偶函 数。这是因为对于所有 $x in mathbb{R}$，都有 $f(-x) = a^{-x} = frac{1}{a^x} neq a^x = f(x)$，同时也不满足 $f(-x) = -f(x)$。
风险评估
指数函数可以用于风险评估，例如计算投资组合的贝塔系数，衡量 投资组合相对于市场的波动性。
在科学研究中的应用
放射性衰变
01
放射性衰变是指放射性物质释放出射线并转化为另一种物质的
过程，指数函数可以用来描述放射性衰变的规律。
种群增长模型
02
在生态学中，指数函数可以用来描述种群数量的增长趋势，例
如细菌繁殖等。
谢谢
THANKS
变化。
网络流量预测
网络流量的变化趋势可以使用指数 函数进行建模和预测。
软件性能测试
在软件性能测试中，指数函数可以 用于描述软件响应时间随用户数量 增加的变化规律。
04 指数函数与其他数学知识的联系
CHAPTER
与对数函数的关系
对数函数是指数函数的反函数，即如 果y=a^x，那么x=log_a y。
03 指数函数的应用
CHAPTER
在金融领域的应用
复利计算
指数函数在金融领域中常 用于计算复利，描述本金 及其产生的利息之和随时 间变化的规律。
股票价格模型
股票价格通常使用指数函 数进行建模，以描述其随 时间增长的趋势。
保险与养老金计算
保险费和养老金的累积也 常使用指数函数进行计算。
《指数函数》公开课课件
《指数函数》公开 课课件
目录
• 指数函数基本概念与性质 • 指数函数运算规则与技巧 • 指数函数在生活中的应用举例 • 指数函数在科学研究中的应用举例 • 指数函数图像变换与性质变化规律 • 指数函数与其他知识点联系与拓展
01
指数函数基本概念与 性质
指数函数定义及图像特征
指数函数定义
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函 数称为指数函数。
乘法法则
$a^m times b^m = (a times b)^m$，不同底数 幂相乘，指数不变，底数 相乘。
除法法则
$frac{a^m}{b^m}
=
left(frac{a}{b}right)^m$
，不同底数幂相除，指数
不变，底数相除。
幂的乘方法则
$(a times b)^n = a^n times b^n$，不同底数幂 的乘方，将每个底数分别 乘方。
在医学领域，指数函数可用于预 测肿瘤生长速度、评估治疗效果
等。
化学反应速率计算与分析
反应速率方程
化学反应速率与反应物浓度之间的关系可用指数函数表示。
速率常数计算
通过实验数据，利用指数函数拟合反应速率曲线，计算速率常数 。
反应机理研究
指数函数可用于分析化学反应机理，揭示反应过程中的速率控制 步骤。
物理学中波动现象描述
人口增长模型建立与预测
指数增长模型
人口增长可以采用指数增长模型进行 描述，即人口数量按照一定比例增长 ，增长速度随时间推移而加快。
预测应用
人口预测对于城市规划、资源分配、 环境保护等方面具有重要意义，可以 为政府和企业提供决策依据。
模型建立
根据历史人口数据和增长率，可以建 立出人口增长的指数模型，并预测未 来人口数量。
目录
• 指数函数基本概念与性质 • 指数函数运算规则与技巧 • 指数函数在生活中的应用举例 • 指数函数在科学研究中的应用举例 • 指数函数图像变换与性质变化规律 • 指数函数与其他知识点联系与拓展
01
指数函数基本概念与 性质
指数函数定义及图像特征
指数函数定义
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函 数称为指数函数。
乘法法则
$a^m times b^m = (a times b)^m$，不同底数 幂相乘，指数不变，底数 相乘。
除法法则
$frac{a^m}{b^m}
=
left(frac{a}{b}right)^m$
，不同底数幂相除，指数
不变，底数相除。
幂的乘方法则
$(a times b)^n = a^n times b^n$，不同底数幂 的乘方，将每个底数分别 乘方。
在医学领域，指数函数可用于预 测肿瘤生长速度、评估治疗效果
等。
化学反应速率计算与分析
反应速率方程
化学反应速率与反应物浓度之间的关系可用指数函数表示。
速率常数计算
通过实验数据，利用指数函数拟合反应速率曲线，计算速率常数 。
反应机理研究
指数函数可用于分析化学反应机理，揭示反应过程中的速率控制 步骤。
物理学中波动现象描述
人口增长模型建立与预测
指数增长模型
人口增长可以采用指数增长模型进行 描述，即人口数量按照一定比例增长 ，增长速度随时间推移而加快。
预测应用
人口预测对于城市规划、资源分配、 环境保护等方面具有重要意义，可以 为政府和企业提供决策依据。
模型建立
根据历史人口数据和增长率，可以建 立出人口增长的指数模型，并预测未 来人口数量。
指数函数优秀课件
•指数函数基本概念•指数函数运算规则•指数函数在生活中的应用•指数函数与对数函数关系目•指数方程和不等式求解方法•指数函数在高级数学中的应用录指数函数的定义底数a的取值范围函数的单调性函数的值域函数的周期性030201指数函数的图像是一条从y轴上的点(0,1)出发的曲线。
当a>1时，曲线向上增长；当0<a<1时，曲线向下减少。
指数函数的图像关于y轴对称，即对于任意x值，f(-x)=f(x)。
指数函数的图像具有渐近线y=0，即当x趋近于负无穷大时，y趋近于0。
同时，当x趋近于正无穷大时，y趋近于正无穷大（a>1）或0（0<a<1）。
指数函数图像与特征同底数指数法则乘法法则除法法则幂的乘方法则不同底数指数法则乘法公式除法公式指数运算优先级01020304括号指数乘除加减复利计算复利公式A = P(1 + r/n)^(nt)，其中A表示未来值，P表示本金，r表示年利率，n表示每年计息次数，t表示时间（年）。
该公式用于计算投资或存款在定期计息的情况下的未来值。
连续复利当计息次数趋于无穷大时，复利公式变为A = Pe^(rt)，其中e是自然对数的底数，约等于2.71828。
连续复利更精确地描述了资金在连续时间内的增长情况。
放射性物质衰变衰变公式半衰期细菌繁殖模型细菌增长公式N = N₀e^(kt)，其中N表示经过时间t后的细菌数量，N₀表示初始数量，k表示细菌增长率，t表示时间。
该公式用于描述在理想条件下细菌数量的指数增长。
细菌繁殖周期细菌从一个分裂成两个所需的时间称为繁殖周期。
在理想条件下，细菌数量每经过一个繁殖周期就会翻倍。
因此，细菌数量的增长与繁殖周期和经过的时间密切相关。
对数函数的定义：对于任意正实数a（a≠1），如果N （N>0）的a次幂等于X，那么X叫做以a 为底N的对数，记作X=logaN。
其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
对数函数的性质底数大于1时，函数是增函数；底数小于1时，函数是减函数。
指数函数 【公开课教学PPT课件】
长度为y米，请写出y和x的关系式: y ( 1 )x 2
第1次
第2次 第3次 第4次
在这个函数
里,自变量x作
为指数,而底
数
1 2
是常量.
第x次
知识梳理 自主学习
2.某种细胞分裂时,由1个分裂成 2个,2个分裂成4个,……1个这样的 细胞分裂x次后,得到的细胞个数y
与x的函数关系是 y 2 x 。
y=ax
8
1x 7 gx = 2 6
5 4 3 2 1
fx = 2x
-6
-4
-2
-1
-2
2
4
6
8
学习目标
1.理解指数函数的概念和意义。 2.能画出指数函数的图像。 3.初步掌握指数函数的有关性质与应用。
知识梳理 自主学习
1.一根1米长的绳子，第一次剪掉绳长的一半，第 二次剪掉剩余绳长的一半……剪了x次后剩余绳子的
指数函数 y ax 在底数 a 1及 0 a 1这两种情况下的
图象和性质 a＞１
０＜a＜１
图
y
y ax
y ax y
(0,1) y=1
(0,1) y=1
象
0
x
o
x
(1)定义域: R
性
(2)值域 : (0,+∞)
(3)过点(0,1),即x=0时,y=1
质
x 0, a x 1 x 0,0 a x 1
在这个函数里,自变量x作为指数,而底数
2是常量.
知识点一 指数函数的概念
一般地，函数 y ax (a 0, a 1) 叫 做 指 数 函 数 ， 其中x是自变量，函数的定义域是R.
a＝0时，x＞0时，ax总为0；x≤0时，ax没有意义．
第1次
第2次 第3次 第4次
在这个函数
里,自变量x作
为指数,而底
数
1 2
是常量.
第x次
知识梳理 自主学习
2.某种细胞分裂时,由1个分裂成 2个,2个分裂成4个,……1个这样的 细胞分裂x次后,得到的细胞个数y
与x的函数关系是 y 2 x 。
y=ax
8
1x 7 gx = 2 6
5 4 3 2 1
fx = 2x
-6
-4
-2
-1
-2
2
4
6
8
学习目标
1.理解指数函数的概念和意义。 2.能画出指数函数的图像。 3.初步掌握指数函数的有关性质与应用。
知识梳理 自主学习
1.一根1米长的绳子，第一次剪掉绳长的一半，第 二次剪掉剩余绳长的一半……剪了x次后剩余绳子的
指数函数 y ax 在底数 a 1及 0 a 1这两种情况下的
图象和性质 a＞１
０＜a＜１
图
y
y ax
y ax y
(0,1) y=1
(0,1) y=1
象
0
x
o
x
(1)定义域: R
性
(2)值域 : (0,+∞)
(3)过点(0,1),即x=0时,y=1
质
x 0, a x 1 x 0,0 a x 1
在这个函数里,自变量x作为指数,而底数
2是常量.
知识点一 指数函数的概念
一般地，函数 y ax (a 0, a 1) 叫 做 指 数 函 数 ， 其中x是自变量，函数的定义域是R.
a＝0时，x＞0时，ax总为0；x≤0时，ax没有意义．
指数函数市公开课一等奖
放射性物质衰变规律分析
80%
放射性衰变公式
描述放射性物质衰变过程中，原 子核数目随时间呈指数减少的规 律，可用于计算半衰期、剩余放 射性强度等。Βιβλιοθήκη 100%衰变链分析
研究放射性物质衰变过程中产生 的多种放射性同位素及其衰变规 律，有助于了解放射性污染的来 源和危害程度。
80%
放射性同位素应用
利用放射性同位素的衰变规律， 可应用于医学诊断、工业探伤、 环境监测等领域。
化学反应速率计算
反应速率方程
描述化学反应速率与反应物浓 度、温度等条件之间的关系， 可用于计算反应速率常数、活 化能等参数。
反应级数确定
通过分析反应速率与反应物浓 度的关系，确定化学反应的级 数，有助于了解反应机制和动 力学特征。
反应条件优化
利用反应速率方程，可研究不 同反应条件下（如温度、压力 、催化剂等）对化学反应速率 的影响，为工业生产提供理论 指导。
竞赛题目选讲
2022年全国高中数学联赛一试第11题
本题是一道以指数函数为背景的数列问题，要求考生掌握指数函数的性质、数列的通项公式和求和方法，以及数 列与不等式的综合应用。
2021年全国高中数学联赛二试第4题
本题是一道以指数函数为背景的函数与导数综合问题，要求考生灵活运用指数函数的性质、导数的运算和函数的 单调性进行求解。
创新题型展示
探究性问题
如“已知函数f(x) = a^x + x^2 (a > 0, a ≠ 1)，探究f(x)的单调性并证明。”这 类问题要求考生通过自主探究，发现指 数函数的性质，并运用导数等工具进行 证明。
VS
应用性问题
如“某市为了治理污水，需要铺设一段全 长为3000米的污水排放管道。为了尽量 减少施工对城市交通所造成的影响，实际 施工时，每天的工效比原计划增加25%， 结果提前30天完成这一任务。原计划每 天铺设管道多少米？”这类问题要求考生 将实际问题抽象为数学模型，运用指数函 数的性质进行求解。
指数函数6省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
你能从以上两个解析式中抽象出一 种更具有一般性旳函数模型吗？
提醒：用字母a来替代2与0.94
得到：y=ax，这是一类主要旳函数 模型，而且有广泛旳用途，它能够 处理好多生活中旳实际问题，这就 是我们下面所要研究旳一类主要函 数模型。
一、指数函数旳概念：
一般地，函数y=ax (a>0，a≠1) 叫做指 数函数，其中x是自变量，函数旳定 义域是R。
( a>1)
（1）指数函数Y= ax 过点（1，1.7) , 说出a旳范围并指出它旳奇偶性和单调性。
1 01
练:指数函数y=bx 过点(1, 0.3),说出b旳范围并指出它旳奇偶性和单调性。
答案： 0＜ b＜1，是非奇非偶函数，x在（-∞，+∞） 上Y= b x是减函数
（2）指数函数Y=a x ,Y=b x ,Y=c x ,Y=m x旳图象如图,试判断底数a、 b、c、m旳大小。
解:
y
2
x3
增函数且
1
1
32
y 1 x 是减函数且 2 1
2
33
2
2
1 3 1 3 3 2
2
1
1
3
1 3
2 2
第17张
4。已知
( 4)a
(
4
b
)
，比较a.
7
7
b旳大小
5、已知y=f（x）是指数 函数，且f（2）=4，求 函数y=f（x）旳解析式。
6、某种放射性物质不断衰变为其 他物质，每经过一年它剩余旳质 量约是原来旳84%，画出这种物 质旳剩余量随时间变化旳图象， 并从图象上求出经过多少年，剩 余量是原来旳二分之一。（成果 保存1位有效数字）
2、
定义
提醒：用字母a来替代2与0.94
得到：y=ax，这是一类主要旳函数 模型，而且有广泛旳用途，它能够 处理好多生活中旳实际问题，这就 是我们下面所要研究旳一类主要函 数模型。
一、指数函数旳概念：
一般地，函数y=ax (a>0，a≠1) 叫做指 数函数，其中x是自变量，函数旳定 义域是R。
( a>1)
（1）指数函数Y= ax 过点（1，1.7) , 说出a旳范围并指出它旳奇偶性和单调性。
1 01
练:指数函数y=bx 过点(1, 0.3),说出b旳范围并指出它旳奇偶性和单调性。
答案： 0＜ b＜1，是非奇非偶函数，x在（-∞，+∞） 上Y= b x是减函数
（2）指数函数Y=a x ,Y=b x ,Y=c x ,Y=m x旳图象如图,试判断底数a、 b、c、m旳大小。
解:
y
2
x3
增函数且
1
1
32
y 1 x 是减函数且 2 1
2
33
2
2
1 3 1 3 3 2
2
1
1
3
1 3
2 2
第17张
4。已知
( 4)a
(
4
b
)
，比较a.
7
7
b旳大小
5、已知y=f（x）是指数 函数，且f（2）=4，求 函数y=f（x）旳解析式。
6、某种放射性物质不断衰变为其 他物质，每经过一年它剩余旳质 量约是原来旳84%，画出这种物 质旳剩余量随时间变化旳图象， 并从图象上求出经过多少年，剩 余量是原来旳二分之一。（成果 保存1位有效数字）
2、
定义
指数函数图像和性质名师优质公开课
fx = 0.9x
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
练习： 1、已知下列不等式，试比较m、n的大小：
( 2)m ( 2)n
mn
33
1.1m 1.1n
mn
2、比较下列各数的大小：
10 , 0.42.5 , 20.2
0.42.5 10 20.2
比较指数型值经常 借助于指数函数的图像
或直接运用函数的单调性
（0，+∞）上是减函数。
（3）在第一象限，图象向上与 y 轴无限靠近，向右与 x 轴无限靠近。
指数函数的定义：
函数
y a x (a 0且a 1)
叫做指数函数，其中x是自变量 函数定义域是R 值域是（0， ）
下列函数中，哪些是指数函数？
y 4x y x4
y 4 x1
y 4 x
y 4x y 3x
y 3x y 2x
1
0
1
x
y
y
y 1 x
y2 a x
(a 1)
y 1 x 3
y
y 3x y 2x
y ax
(0 a 1)
1 1
0
x
0
1
1
0x
x
y
y 1 x 2
y 1 x 3
y 3x y 2x
y=1 1
0
1
x
y
y ax
(a 1)
1
0
x
y
y ax
(0 a 1)
或选用适宜的中介值（惯用的特殊值是0和1），再运用单调性比较大小
a>1
0<a<1
图 6
5
4.2.1 指数函数的概念公开课教案教学设计课件案例试卷
例2 （2）在问题2中，某生物死亡10000年后，它体碳14内含量衰减为原 来的百分之几？
解：设生物死亡x年后，它体内碳14含量为h(x),
如果把刚死亡的生物体内碳14
含量看成1个单位，那么h(
x)
（(
1
1
）5730
)
x
,
2
当x
10000 时,利用计算器求得h(10000
)
(
1
10000
) 5370
309 278
1.11
=
-
=
/
2003 年游客人次 2002 年游客人次
344 309
1.11
2015 年游客人次 2014 年游客人次
1244 1118
1.11
结果表明,Ｂ地景区的游客人次的年增长率 都约为0.11是一个常数．像这样，增长率为 常数的变化方式,我们称为指数增长.因此,B 地景区游客人次近似于指数增长.
根据已知条件,(1
p)5730
1
,从而1
p
(
1
)
1 5730
,
所以p
1
(
1
)
1 5730
2
2
2
如果生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y，那么:
y
(1
p)x ,即y
((
1
)
1 5730
)
x
(
x
[0,))
2
这也是一个函数，其中其中底数是一个常数，指数x是自变量.
问题1：游客年增长率为：0.11，x年后游客人次：y 1.11x ;
设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，把刚死亡的生物体内碳14 含量看成1个单位，则：
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天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 少 天 才 =不 小 在 于 习，老 学 勤 奋，努 来 徒 力 伤 才+ 能 悲 成 功！ 成功 艰苦的劳动 +正确的方法 少谈空话
知 识 改 变 命 运,勤 奋 创 造 奇 迹
指数函数图像和性质
研究函数的性质可以从函数的图象入手 作函数图像的步骤：
x
y 3x
y 2x
22 4 1/4
1
0
1
x
y
y
y
1 y 2
x
y ax
(a 1)
1 y 3
x
y 3x
y 2x
y ax
(0 a 1)
1 1
1 1
0
x
0
0 x
x
y
y
y ax
(a 1)
y ax
(0 a 1)
1
1
0
列表，描点，连线
下面，我们从以下几个方面研究这类函数的 性质：
定义域、值域、单调性
xx Y y
1 x 作函数 y y 的图像 2 作函数 的图像 2
y
1 y 2
x
x
-2 -2 1/4 4
-1 -1 1/2 2 00 1 1 11 2 1/2
1 y 3
（1）1.7
2.5
和1.7
3
(2)0.8
-0.1
和0.8
-0.2
x
分析:
y=1.7 当 当x x 分别为 2.5和 3时的函数值 分别为 -0.1 和 -0.2点的函数值
y
0.1 0.2 2.5 3 （ 2）0.8 和 和 0.8 可以看作函数 看作函数y (1)1.7 1.7 x
0.8
y=1.7
作业：
P102页，A组练习题，2题
2.5
3
x
-0.2
-0.1
O
x
课堂练习:
1、比较大小 0 .8 1 (1) 与 4 3 7 7 (2) 与 8
1 . 8 1 2
π
> > >
5 7 12 8
(3)
1.08 0.3 与
1.08 3.1
x
0
x
指数函数
的图像及性质
a>1
图 象
y=1
y
0<a<1
y=ax
(a>1)
y=ax
(0<a<1)
y
(0,1)
y=1
(0,1)
当 x > 0 时，y > 1. 当 x < 0 时，. 0< y < 1
0
x
x 当 x0 < 0 时，y > 1；
当 x > 0 时， 0< y < 1。
定义域: R 性 值 域: ( 0,+ ∞ ) 恒 过 点： ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 . 质 在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数
?:观察图像，
发现图像与底 的关系
1 y 2
x
y
在第一象限 沿箭头方向 底增大
y 3x y 2x
1 y 3
x
底互为倒数的 两个函数图像 关于y轴对称
1 0
1 y 3
x
1 y 2
x
x
指数函数图象与性质的应用： 例1:比较下列各组数的大小：
知 识 改 变 命 运,勤 奋 创 造 奇 迹
指数函数图像和性质
研究函数的性质可以从函数的图象入手 作函数图像的步骤：
x
y 3x
y 2x
22 4 1/4
1
0
1
x
y
y
y
1 y 2
x
y ax
(a 1)
1 y 3
x
y 3x
y 2x
y ax
(0 a 1)
1 1
1 1
0
x
0
0 x
x
y
y
y ax
(a 1)
y ax
(0 a 1)
1
1
0
列表，描点，连线
下面，我们从以下几个方面研究这类函数的 性质：
定义域、值域、单调性
xx Y y
1 x 作函数 y y 的图像 2 作函数 的图像 2
y
1 y 2
x
x
-2 -2 1/4 4
-1 -1 1/2 2 00 1 1 11 2 1/2
1 y 3
（1）1.7
2.5
和1.7
3
(2)0.8
-0.1
和0.8
-0.2
x
分析:
y=1.7 当 当x x 分别为 2.5和 3时的函数值 分别为 -0.1 和 -0.2点的函数值
y
0.1 0.2 2.5 3 （ 2）0.8 和 和 0.8 可以看作函数 看作函数y (1)1.7 1.7 x
0.8
y=1.7
作业：
P102页，A组练习题，2题
2.5
3
x
-0.2
-0.1
O
x
课堂练习:
1、比较大小 0 .8 1 (1) 与 4 3 7 7 (2) 与 8
1 . 8 1 2
π
> > >
5 7 12 8
(3)
1.08 0.3 与
1.08 3.1
x
0
x
指数函数
的图像及性质
a>1
图 象
y=1
y
0<a<1
y=ax
(a>1)
y=ax
(0<a<1)
y
(0,1)
y=1
(0,1)
当 x > 0 时，y > 1. 当 x < 0 时，. 0< y < 1
0
x
x 当 x0 < 0 时，y > 1；
当 x > 0 时， 0< y < 1。
定义域: R 性 值 域: ( 0,+ ∞ ) 恒 过 点： ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 . 质 在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数
?:观察图像，
发现图像与底 的关系
1 y 2
x
y
在第一象限 沿箭头方向 底增大
y 3x y 2x
1 y 3
x
底互为倒数的 两个函数图像 关于y轴对称
1 0
1 y 3
x
1 y 2
x
x
指数函数图象与性质的应用： 例1:比较下列各组数的大小：