直觉模糊集的熵理论及matlab应用

直觉模糊集的熵理论由于直觉模糊集理论和Vague 集理论从理论本质上讲是完全等价的，只是两者的表现形式略有差异，所以他们的理论知识也是基本相同的。

相比于模糊集的熵，直觉模糊集的熵的度量受两个方面的影响:对概念知识的匾乏导致的未知性和概念本身存在的未知性，因此，对直觉模糊熵的理论研究有着一定的困难，因为现在关于模糊集的很多理论研究都己经相对成熟，所以很多学者提出可以通过将直觉模糊集转化为模糊集理论，借用模糊集理论概念关于熵的计算求解方法来进行研究，但是这样做就会导致直觉模糊集中未知度信息的部分丢失。

对此，众多学者提出基于仙农的概率熵对直觉模糊集的熵值理论进行研究，但是这种简单的模仿缺乏很好的数学性质。

在我们计算直觉模糊集的模糊熵时，应该同时考虑直觉模糊集的未知性和模糊集合的模糊性两个方面，现在被提出的很多构造方法在处理未知性和模糊性的相互关系时，考虑还不够完善，计算求得的结果有时会与人们的直觉认识相悖。

本文将充分考虑两者的相互约束关系，通过分析直觉模糊集的模糊度本质，提出一种新的直觉模糊集模糊熵的求解公式1.直觉模糊集的基本概念Atanassov 在1986年提出的直觉模糊集，作为模糊集的一种拓展与改进理论，最大的特点是它同时考虑支持、反对和弃权的证据，从真隶属函数()μA x 、假隶属函数()γA x 和犹豫隶属函数()1()()πμγ=--A A A x x x 三个方面来刻画模糊问题的本质，因而能够更加细腻地描述和刻画客观世界的模糊性，在处理和表示不确定性、不精确性信息的概念时相比模糊集更有表现能力、更加灵活实用，但它的模糊性来自两个方面:来自数据的未知信息()1()()πμγ=--A A A x x x 和数据本身的不确定性。

定义1：设U 是一个给定的有限论域，则称U 上的一个直觉模糊集A:{},(),()|μγ=<>∈A A A x x x x U ，其中():[0,1]μ→A x U 和():[0,1]γ→A x U 分别代表集合A 的隶属函数和非隶属函数，且对于A 上的所有,0()()1μγ∈≤+≤A A x U x x 都成立。

直觉模糊集A 的补集可表示为A c ，且{},(),()|γμ=<>∈c A A A x x x x U 。

X 中x 属于和不属于A 的隶属度与非隶属度所组成的有序对((),())μγA A x x 称为直觉模糊数。

定义2:设A ，B 为论域X 上的两个直觉模糊集(IFS)，则有如下的公式和关系成立:,()(),()()μμγγ⊂⇔∀∈≤≤A B A B A B x X x x x x=⇔⊂A B A B 且⊃A B{},(),()|γμ=<>∈c A A A x x x x U{}=,()(),()()|μμγγ⋂<∧∧>∈A B A B A B x x x x x x X {}=,()(),()()|μμγγ⋃<∨∨>∈A B A B A B x x x x x x X{}=,()()()(),()()|μμμμγγ+<+-⋅⋅>∈A B A B A B A B x x x x x x x x X{}=,()(),()()()()|μμγγγγ⋅<⋅+-⋅>∈A B A B A B A B x x x x x x x x X 2.直觉模糊熵因为直觉模糊集不再像模糊集一样是单值隶属度，而是同时包含了真隶属现用度、假隶属度和犹豫隶属度，所以在计算时相比模糊集会复杂一些，但是代计算机技术发展相当快速，这些复杂性用计算机计算是完全可以接受的。

直觉模糊集代替模糊集处理和描述不确定性、模糊性信息更加有效、灵活，同时，直觉模糊集理论的研究现状尚不完善，目前仍处于国际学者研究的前沿，其研究可以丰富模糊信息处理的模型和算法研究，并且更加符合人的思维逻辑和认知方式。

因此说，深入研究直觉模糊集理论知识是十分值得的，而且，具有一定的学术研究价值和实际应用价值，在不断丰富直觉模糊集的相关基本理论的同时，努力拓展直觉模糊集在现实生活中的应用领域，为社会经济发展提供有力的帮助。

直觉模糊熵的公理化定义最先是由P . Burillo, H. Bustince 在1996年提出的，具体定义如下: 若函数:()+→I IFS X R 满足条件： （1）()0()=⇔∈I A A FS X（2）()()()0()μγ=⇔==∀∈A I A N x x x X （3）()()=I A I A（4）()()≥⇒≥A B I A I BIFS 是Intuitionistic Fuzzy Sets 的简称，P . Burillo, H. Bustince 用公式11()(1()())()μγπ===--=∑∑N NA i A i A i i i I A x x x （1）来求解直觉模糊集的熵。

P . Burillo, H. Bustince 是用犹豫度来确定和描述直觉模糊集合的嫡值大小肯定是存在不合理性的，因为它没有考虑模糊集的模糊性。

直觉模糊熵描述了直觉模糊集的模糊性程度，如何对其进行合理正确的刻画是很有科学研究价值的，对于论域U 上直觉模糊集(,)μγ=A A A ，如果μA 趋近于1，而γA 接近0时，就是说支持的程度更高，则直觉模糊集A 的模糊性就小;同理可得，如果μA 接近0，而γA 趋近于1时，表示否定的程度更高，则直觉模糊集A 的模糊性也小；但如果μA 和γA 都趋近于0时，则直觉模糊集A 的犹豫度πA 接近1，此时元素对集合A 的隶属关系是最不稳定的，则直觉模糊集的模糊性也是最大的。

因此，直觉模糊熵需要满足仙农提出的概率熵的几个条件，还需要充分考虑它自身的一些特殊性，据此我们给出直觉模糊熵需要满足的几个条件，如下:(a)若集合退化成经典集时，直觉模糊集的模糊性取得最小值;(b)若犹豫度πA 最得最大值时，则其模糊性也最大;(c) ()()=E A E A ，表示集合A 和其补集A 的模糊性是相同的;(d)如果(),()⊂⊂A IFs X B IFs X ，且ππ==A B C ，则A 和B 关于12-C 对称，且在小于12-C时，熵是递增的。

针对上述几个条件，可以给出直觉模糊熵的一个更合理的公理化定义，定义3:设论域U 上所有直觉模糊集的集合用V (U )表示，我们称函数:()[0,1]→E V U 为IFSs A 的模糊熵，若E 满足以下几点:(1)清晰性: ()0[0,1][1,0]=⇔=E A A or (2)模糊性: ()11π=⇔=A E A (3)对称性: ()()=E A E A(4)单调性: ππ==A B C ，12μμ-≤≤B A C则有()()≥E A E B 根据定义3可以对直觉模糊熵进行修正。

定理1:设(,)μγ=A A A ，且A 为一个直觉模糊值，有:ln ln ln ,(0,1)()0[0,1][1,0]μμγγππμγ---+∈⎧=⎨⇔=⎩A A A A A A A A E A A or 可以证明()E A 满足模糊熵的4个公理。

3.直觉模糊熵在模糊多属性决策中的应用对于任意给定的多属性决策问题，我们将方案i A 在指标属性j x 的测评值用(),()μγ<>i i A j A j x x 来进行刻画，同时()μi A j x 表示方案i A 对指标j x 满足的程度，()γi A j x 表示方案i A 对指标j x 不满足的程度，()[0,1]μ∈i A j x 和()[0,1]γ∈i A j x ，()()1μγ+≤i i A j A j x x ，用()1()()πμγ=--i i i A j A j A j x x x 来描述方案i A 对指标j x 的犹豫程度。

举例如下:对某一指标属性的满意度评价打分，我们设定被测者只能在“满意”和“不满意”这种选择上选其一打钩即可，调查是通过发放一回收问卷的形式进行的，假定共发放100份，最终收回96份。

而统计的结果是:满意56份，不满意31份，用基于直觉模糊集的理论知识描述该指标属性的得分为(0.56，0.31)，同时，1-0.56-0.31=0.13描述了被测者对于该指标属性的犹豫度。

用直觉模糊集描述的信息的决策矩阵可表示为()⨯=ij m n A A 。

设有两个直觉模糊集A 和B ，则有 加法：=(()()()(),()())μμμμγγ++-⋅⋅A i B i A i B i A i B i A B x x x x x x 数乘：=(1-(1-()),(())),>0λλλμγλA i A i A x x A 和B 的平均直觉模糊集: 1()=((),())2μγ=+i i X X X A B x x其中，1/2()1[1()()()()]μμμμμ=---+⋅i A i B i A i B i X x x x x x ，1/2()[()()]γγγ=⋅i A i B i X x x x 。

定义4：直觉模糊集((),())μγ=A A A x x ，则元素x 对集合A 的隶属情况可用三维形式表示如下:[(),(),()]μγπA A A x x x 。

集合A 的得分函数()()()μγ=-A A S A x x ，则转化后的集合A 的得分函数转化为()(()()())(()()())μμπγγπ=+⋅-+⋅A A A A A A S A x x x x x x ，且()[1,1]∈-S A 。

定义5：直觉模糊集((),())μγ=A A A x x ，则元素x 对集合A 的隶属情况可用三维形式表示如下:[(),(),()]μγπA A A x x x 。

集合A 的精确函数()()()μγ=+A A H A x x ，则转化后的集合A 的得分函数转化为()(()()())(()()())μμπγγπ=+⋅++⋅A A A A A A H A x x x x x x ，且()[0,1]∈H A 。

一个直觉模糊集合的得分函数()S A 和精确函数()H A 类似于统计学理论中的数学期望与方差，因为方差值越小则估计量的效果就会越好。

因此可以看作在得分函数值相等的状况下，用方差大小比较比较随机变量的优劣，方差越小则直觉模糊集的模糊性越小。

定义6：直觉模糊集合A 和B 的序关系定义如下：①()()<S A S B ，则A 小于B ，记为A<B ； ②()()=S A S B ，则若()()=H A H B ，可得到A 和B 代表了同样的信息，记为A ＝B ； 若()()<H A H B ，则A 小于B ，记为A<B ；定义7：直觉模糊集A 的模糊熵可由下式计算11()()2ln 3==∑ni i I A E A n ，其中()I A 满足熵的四个公理。