高中数学(理)基础知识梳理归类

高中数学基础知识归类
一.集合与简易逻辑 1.注意区分集合中元素的形式.如： {x | y = lg x} —函数的定义域； { y | y = lg x} —函数的值域； {( x, y ) | y = lg x} —函数图象上的点集. 2.集合的性质： ①任何一个集合 A 是它本身的子集,记为 A ⊆ A . ②空集是任何集合的子集,记为 ∅ ⊆ A . ③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为 A ⊆ B ,在讨论的时候不要遗忘了 A = ∅ 的情况 如： A = { x | ax 2 − 2 x − 1 = 0} ,如果 A ∩ R + = ∅ ,求 a 的取值.(答： a ≤ 0 ) ④ CU ( A ∩ B) = CU A ∪ CU B , CU ( A ∪ B ) = CU A ∩ CU B ； ； （A ∩ B） ∩C = A∩ （B ∩ C） . （A ∪ B） ∪C = A∪ （B ∪ C） ⑤ A ∩ B = A ⇔ A ∪ B = B ⇔ A ⊆ B ⇔ CU B ⊆ CU A ⇔ A ∩ CU B = ∅ ⇔ CU A ∪ B = R . ⑥ A ∪ B 元素的个数： card ( A ∪ B) = cardA + cardB − card ( A ∩ B) . ⑦含 n 个元素的集合的子集个数为 2n ； 真子集(非空子集)个数为 2n − 1 ； 非空真子集个数为 2n − 2 . 3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 如：已知函数 f ( x) = 4 x 2 − 2( p − 2) x − 2 p 2 − p + 1 在区间 [ −1,1] 上至少存在一个实数 c ,使
b−a
2
a+b
2
对称；
对称(由 a + x = b − x 确定)； 对称；
f ( x ) + A − f ( x)
2
⑦函数 y = f ( x − a ) 与 y = f (b − x ) 的图像关于直线 x = ⑧函数 y = f ( x) , y = A − f ( x) 的图像关于直线 y =
y = x + a , y = − x + a 的对称曲线 C2 的方程为 f ( y − a, x + a ) = 0 (或 f (− y + a, − x + a ) = 0 ；
曲线 C1 ： f ( x, y ) = 0 关于点 (a, b) 的对称曲线 C2 方程为： f (2a − x, 2b − y ) = 0 . 9.函数的周期性：⑴若 y = f ( x) 对 x ∈ R 时 f ( x + a ) = f ( x − a ) 恒成立,则 f ( x) 的周期为 2 | a | ； ⑵若 y = f ( x) 是偶函数,其图像又关于直线 x = a 对称,则 f ( x) 的周期为 2 | a | ； ⑶若 y = f ( x) 奇函数,其图像又关于直线 x = a 对称,则 f ( x) 的周期为 4 | a | ； ⑷若 y = f ( x) 关于点 (a,0) , (b,0) 对称,则 f ( x) 的周期为 2 | a − b | ； ⑸ y = f ( x) 的图象关于直线 x = a , x = b( a ≠ b) 对称,则函数 y = f ( x) 的周期为 2 | a − b | ； ⑹ y = f ( x) 对 x ∈ R 时, f ( x + a ) = − f ( x) 或 f ( x + a ) = −
高中数学基础知识归类第 2页(共 21页)
于直线 x = a 对称； ⑤若 y = f ( x) 对 x ∈ R 时, f (a + x ) = f (b − x ) 恒成立,则 y = f ( x) 图像关于直线 x = ⑥函数 y = f ( a + x) , y = f (b − x) 的图像关于直线 x =
11.方程 k = f ( x) 有解 ⇔ k ∈ D ( D 为 f ( x) 的值域)； a ≥ f ( x) 恒成立 ⇔ a ≥ [ f ( x)]最大值 ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
高中数学基础知识归类第 3页(共 21页)
a ≤ f ( x) 恒成立 ⇔ a ≤ [ f ( x)]最小值 .
12.恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法(最值法)； ⑵转化为一元二次方程根的分布问题； 13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法” ： 一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系； 14.二次函数解析式的三种形式： ①一般式： f ( x) = ax 2 + bx + c( a ≠ 0) ；②顶点式：
1
M N
= log a M − log a N ;log a M n = n log a M ；
log b N log b a
log a n M = log a M ；⑷对数换底公式 log a N =
n
(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) ；
推论： log a b ⋅ log b c ⋅ log c a = 1 ⇒ log a1 a2 ⋅ log a2 a3 ⋅ ⋯ ⋅ log an−1 an = log a1 an . (以上 M > 0, N > 0, a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, c > 0, c ≠ 1, a1 , a2 ,⋯ an > 0 且 a1 , a2 ,⋯ an 均不等于 1)
2
8.函数图象的几种常见变换⑴平移变换：左右平移---------“左加右减” （注意是针对 x 而言） ； 上下平移----“上加下减”(注意是针对 f ( x) 而言).⑵翻折变换： f ( x) →| f ( x) | ； f ( x) → f (| x |) . ⑶对称变换： ①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上. ②证明图像 C1 与 C2 的对称性,即证 C1 上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在 C2 上,反之亦然. ③函数 y = f ( x) 与 y =
f (− x) f ( x)
= ±1( f ( x) ≠ 0) ；
⑷复合函数的奇偶性特点是： “内偶则偶，内奇同外”. 注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个 (如 f ( x) = 0 定义域关于原点对称即可). ⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性； ⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等. ⑺复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域） 如：函数 y = log 1 ( − x 2 + 2 x) 的单调递增区间是 _____________ .(答： (1, 2) )
f (c) > 0 ,求实数 p 的取值范围.(答： (−3, ) )
2
3
4.原命题: p ⇒ q ；逆命题: q ⇒ p ；否命题: ¬p ⇒ ¬q ；逆否命题: ¬q ⇒ ¬p ；互为逆否的 两 个命题是等价的.如： “ sin α ≠ sin β ”是“ α ≠ β ”的 条件.(答：充分非必要条件) 5.若 p ⇒ q 且 q ≠> p ,则 p 是 q 的充分非必要条件(或 q 是 p 的必要非充分条件). 6. 注 意 命 题 p ⇒ q 的 否 定 与 它 的 否 命 题 的 区 别 : 命 题 p ⇒ q 的 否 定 是 p ⇒ ¬q ； 否 命 题 是 ¬p ⇒ ¬q . 命题“ p 或 q ”的否定是“ ¬p 且 ¬q ” ； “ p 且 q ”的否定是“ ¬p 或 ¬q ”. 如： “若 a 和 b 都是偶数，则 a + b 是偶数”的否命题是“若 a 和 b 不都是偶数,则 a + b 是奇数” 否定是“若 a 和 b 都是偶数,则 a + b 是奇数”. 7.常见结论的否定形式 原结论 是 都是 大于 小于 对所有 x ,成立 对任何 x ,不成立 否定 不是 不都是 不大于 不小于 存在某 x ,不成立 存在某 x ,成立 原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 p或q 否定 一个也没有 至少有两个 至多有 n − 1 个 至少有 n + 1 个 ¬p 且 ¬q
f (− x ) 的图像关于
函数 y = y 轴对称；
f ( x) 与函数 y = f (− x) 的图像关于直线 x 轴对称；
④若函数 y = f ( x) 对 x ∈ R 时， f (a + x ) = f (a − x ) 或 f ( x) = f (2a − x) 恒成立,则 y = f ( x) 图像关
A
2
a+b
2
对称(由 y =
确定)；
⑨函数 y = f ( x ) 与 y = − f ( − x) 的图像关于原点成中心对称；函数 y = f ( x) , y = n − f (m − x) 的图像关于点 ( , ) 对称；
2 2
m n
⑩函数 y = f ( x) 与函数 y = f −1 ( x) 的图像关于直线 y = x 对称；曲线 C1 ： f ( x, y ) = 0 ,关于
p且q
¬p 或 ¬q
二.函数
高中数学基础知识归类第 1页(共 21页)
1.①映射 f : A → B 是：⑴ “一对一或多对一”的对应；⑵集合 A 中的元素必有象且 A 中不 同元素在 B 中可以有相同的象；集合 B 中的元素不一定有原象(即象集 ⊆ B ). ②一一映射 f : A → B ： ⑴“一对一”的对应；⑵ A 中不同元素的象必不同, B 中元素都有原象. 2.函数 f : A → B 是特殊的映射.特殊在定义域 A 和值域 B 都是非空数集！据此可知函数图像与 x 轴的垂线至多有一个公共点,但与 y 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个. 3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则. 4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母 ≠ 0 ;偶次根式被开方数非负;对数真数 > 0 ,底数 > 0 且 ≠ 1 ；零指数幂的底数 ≠ 0 )；实际问题有意义；若 f ( x) 定义域为 [a, b] ,复合函数 f [ g ( x)] 定义 域由 a ≤ g ( x ) ≤ b 解出；若 f [ g ( x)] 定义域为 [a, b] ,则 f ( x) 定义域相当于 x ∈ [ a, b] 时 g ( x) 的值域. 5.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类)；②逆求法(反函数法)；③换元法(特别注意新元范围). ④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域； ⑤不等式法⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域； ⑧判别式法（慎用） ：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数). 6.求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类型)； ⑵代换(配凑)法； ⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于 f ( x) 及另外一个函数的方程组。 7.函数的奇偶性和单调性 ⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等； ⑵若 f ( x) 是偶函数,那么 f ( x) = f (− x) = f (| x |) ；定义域含零的奇函数必过原点( f (0) = 0 )； ⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式： f ( x) ± f (− x) = 0 或