高等数学B2复习(讲稿子)例题解答
2019-2020学年人教B版数学必修二讲义：模块复习课 Word版含答案
姓名，年级：时间：一、空间几何体1．多面体及其结构特征（1）棱柱：①有两个平面(底面）互相平行；②其余各面都是平行四边形；③每相邻两个平行四边形的公共边互相平行．(2)棱锥：①有一个面(底面）是多边形；②其余各面(侧面）是有一个公共顶点的三角形．(3）棱台：①上下底面互相平行、且是相似图形；②各侧棱延长线相交于一点．2．圆柱、圆锥、圆台和球圆柱、圆锥、圆台和球可以看成以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰、一个半圆的直径所在的直线为旋转轴,将矩形、直角三角形、直角梯形、半圆分别旋转一周而形成的曲面围成的几何体．3．斜二测画法的意义及建系原则（1)斜二测画法中“斜"和“二测”：“斜"是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°。
“二测"是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变;平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．(2)斜二测画法中的建系原则：在已知图中建立直角坐标系,理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴，图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等．4．空间几何体的表面积和体积（1）多面体的表面积：各个面的面积之和,也就是展开图的面积．(2)旋转体的表面积：圆柱：S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)．圆锥：S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)．球：S＝4πR2。
(3)柱体、锥体、台体的体积公式①柱体的体积公式：V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)．②锥体的体积公式：V锥体＝错误!Sh(S为底面面积，h为高）．③台体的体积公式：V台体＝错误!(S＋错误!＋S′）h(S′，S分别为上、下底面面积，h为高）．④球的体积公式：V球＝错误!πR3.二、点、线、面之间的位置关系1．共面与异面直线（1）共面：空间中的几个点或几条直线,如果都在同一平面内，我们就说它们共面．(2)异面直线：既不相交又不平行的直线．2．平行公理过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．3．基本性质4平行于同一条直线的两条直线互相平行．即如果直线a∥b,c∥b，那么a∥c。
高数B2综合练习答案
可编辑文档综合练习一参考答案一、单项选择题1、B2、C3、C4、A5、B6、C7、D 二、填空题（1）22{(,)|1}x y x y +≥ （2）2b a -- （3）1 （4）3 （5） 1 （6）、2xy e = 三、计算题1、求定积分12011x dx x ++⎰ 解 11121100222000111ln(1)|arctan |1112x x dx dx dx x x x x x +==+++++⎰⎰⎰1ln 224π=+ 2、求定积分21e ⎰ 解2221112e e e ===⎰⎰ 3、设ln()(0,0),xz y xy x y =+>>求dz 。
解 因为 111111ln ,,(ln )()x x x x z z y y xy dz y y dx xy dy x x y y x y--∂∂=+=+=+++∂∂所以 4、设22(),z f x y f =+是可微函数，求z z y x x y∂∂-∂∂。
解 因为 2222()2,()2z zf x y x f x y y x y ∂∂''=+⋅=+⋅∂∂ 所以 2222()2()20z zy x f x y xy f x y yx x y∂∂''-=+⋅-+⋅=∂∂ 5、设(,)z f x y =是由方程21z xyz =+所确定的隐函数，求,z z x y∂∂∂∂。
解 设2(,,)1,,,2x y z F x y z z xyz F yz F xz F z xy '''=--=-=-=-于是故 ,,22y x z z F F z yz z xzx F z xy y F z xy''∂∂=-==-=''∂-∂-6、计算xyDe dxdy ⎰⎰，其中D 是由2,0,1x y x y ===所围成的闭区域。
解 2:01,0D y x y ≤≤≤≤221112100011[][|][]()|22y x x x y y y yyyyDe dxdy e dx dy ye dy ye y dy ye e y ===-=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 四、解答题 1、判定级数3111(1)3n nn n ∞+=+-∑的敛散性。
2018版高考数学全国人教B版理大一轮复习讲义：第二章
基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.为了得到函数y ＝2x －2的图象，可以把函数y ＝2x 图象上所有的点( )A.向右平行移动2个单位长度B.向右平行移动1个单位长度C.向左平行移动2个单位长度D.向左平行移动1个单位长度解析 因为y ＝2x －2＝2(x －1)，所以只需将函数y ＝2x 的图象上所有的点向右平移1个单位长度即可得到y ＝2(x －1)＝2x －2的图象.答案 B2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( )解析 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，排除B.故选C.答案 C3.(2015·浙江卷)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )解析 (1)因为f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x ＝－f (x )，－π≤x ≤π且x ≠0，所以函数f (x )为奇函数，排除A ，B.当x ＝π时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1πcos π<0，排除C ，故选D.答案 D4.(2017·桂林一调)函数y ＝(x 3－x )2|x |的图象大致是( )解析 由于函数y ＝(x 3－x )2|x |为奇函数，故它的图象关于原点对称.当0<x <1时，y <0；当x >1时，y >0.排除选项A ，C ，D ，选B.答案 B5.使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是( )A.(－1，0)B..答案 (2，8]7.如图，定义在，.(3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.10.已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}.解 (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1<x <3， ∴f (x )的图象为：(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2，3)，(1，2]，，(2，3)是减区间；(1，2]，上的值不小于6，求实数a 的取值范围.解 (1)设f (x )图象上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0，1)的对称点(－x ，2－y )在h (x )的图象上，∴2－y ＝－x ＋1－x ＋2，∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x .(2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x ， 且g (x )＝x ＋a ＋1x≥6，x ∈(0，2]. ∵x ∈(0，2]，∴a ＋1≥x (6－x )，即a ≥－x 2＋6x －1.令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0，2]， q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，∴当x ∈(0，2]时，q (x )是增函数，q (x )max ＝q (2)＝7. 故实数a 的取值范围是[7，＋∞).。
高数B2分题型练习(答案)
高等数学B2分题型练习(参考答案) 一、单顶选择题1、 ()C2、()D3、()C4、()C5、()C6、()D7、 ()B8、()B9、()B10、()C 11、()D 12、()A 13、()A 14、()D 15、()D 16、()A 17、()B 18、()B19、()B 20、()C 21、()C 22、()C 23、()D 24、()C 25、()D 26、()A 27、()B28、()A 29、()A 30、()D 31、()D 32、()B 33、()A 34、()B 35、()C 36、()A二、填空题1、02、03、 04、05、12 6、12 7、0 8、2dx dy + 9、12dx dy + 10、0 11、0 12、222()xdx ydy x y ++ 13、1arccos 00(,)y dy f x y dx ⎰⎰14、12arcsin (,)ydy f x y dx π⎰⎰15、110(,)dx f x y dy ⎰ 16、210(,)xxdx f x y dy ⎰⎰17、1618、S 19、0a > 20、12p <≤ 21、( 22、2 23、[1,1)- 24、(2,4)- 25、0(1),(1,1)n nn x x ∞=-∈-∑ 26、0!n n x n ∞=∑ 27、210(1),(,)(21)!n n n x x n +∞=-∈-∞∞+∑ 28、110- 29、xe - 30、2x y e = 31、2± 32、312x x y C e C e -=+ 33、312y x C x C =++34、Cy x= 35、5212415y x C x C =++三、计算定积分1、求定积分cos 2sin x e xdx π⎰解：cos cos cos 222sin cos |1xx x exdx ed x ee πππ=-=-=-⎰⎰2、求定积分cos x xdx π⎰解：cos (sin )x xdx xd x ππ=⎰⎰00sin |sin x x xdxππ=-⎰0cos |2x π==- 3、求定积分220124xdx x ++⎰ 4、求定积分 21ln x xdx ⎰解：2222220001212444x x dx dx dx x x x +=++++⎰⎰⎰ 解：22211ln ln ()2x x xdx xd =⎰⎰ 222001arctan |ln(4)|22x x =++ 22211ln |22x x x dx =-⎰ ln 28π=+ 22132ln 2|2ln 244x =-=-5、求定积分2222dxx x -++⎰ 解：00022222(1)arctan(1)|()221(1)442dx d x x x x x πππ---+==+=--=++++⎰⎰ 6、求定积分解：令sin x t =，则cos dx tdt =，且当x =时，4t π=；1x =时，2π=t 。
微积分B(2)第1次习题课参考答案(极限、连续、可微)_168607827
=
lim cos 2θ
ρ →0
=
0,
θ = π, 4
−1,
θ = π, 2
所以极限 不存在． lim (x, y)→(0,0)
x2 x2
− +
y2 y2
方法 3：因为 ， ，所以极限 不存在． x2
lim
x→0
lim
y→0
x2
− +
y2 y2
=1
lim lim
y→0 x→0
x2 x2
− +
y2 y2
(0, 0) ∂y
=
lim
y→0
f
(0, y) − y
f
(0, 0)
=
lim
y→0
f
(0, y
y)
= lim y→0
f
(0, y) y2
⋅
y
=
A×0
=
0
因为 ，所以 lim x→0 y→0
f
(x, y) − f (0, 0) x2 + y2
=
lim
x→0 y→0
f (x, y) x2 + y2
⋅
x2 + y2 = A× 0 = 0
1
ye xy + exy
=
∂ ∂y
y
−
y 1 + exy
=1−
1 + exy (1 +
− xyexy exy )2
所以 ， ． ∂z ∂x
(0,0)
=0
∂2z ∂y∂x
=1− 1 = 1 22
(0,0)
（ ）已知 ，求 ． 3
z = ln(2 + x2 + y4 )
2012高数B(2)复习题解答
2012高等数学B(2)复习题及解答1、220()()xF x tf x t dt =-⎰，求()F x '2、2220cos sin y x t xe dt tdt y =+⎰⎰，求y '3、11111()12x dx e -⎡⎤--⎢⎥+⎣⎦⎰；解 由于11111111()12121212x x x x x e e e e e --=-=--=--++++为奇函数，故11111()212x dx e -⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦⎰ 4、设(,)z f x v =，(,)v v ax by =其中f ，v 具有二阶连续偏导数，求22zy∂∂5、交换⎰⎰-1022),(y ydx y x f dy 的积分次序解 D ：10≤≤y ，22y x y -≤≤，21D D D +=，其中1D ：10≤≤x ，20x y ≤≤；2D ：20≤≤x ，220x y -≤≤⎰⎰-1022),(y ydx y x f dy +=⎰⎰12),(x dy y x f dx ⎰⎰-21202),(x dy y x f dx6、讨论下列函数项级数的收敛域（1）()∑∞=-121n nx n ； （2）330(!)(21)(3)!n n n x n ∞=-∑； （1）解 令2-=x y ，则原级数化为∑∞=11n ny n，1lim 1n n n n a R a →∞+===当1=y 时，∑∞=11n n 发散；当1-=y 时，()∑∞=-111n n n 收敛。
收敛域为 11<≤-y ⇒ 121<-≤-x ⇒ 31<≤x（2）解 缺项情形，直接用函数通项比值法求R3331(1)2121lim lim 1(33)(32)(31)27n n n nn x x u u n n n +→∞→∞+--==<+++ 当213x -<时，原级数绝对收敛；当213x -=±时，33(!)(3)lim lim 0(3)!nn n n n u n →∞→∞±=≠，原级数发散。
高等数学b2第六章教材答案
高等数学b2第六章教材答案高等数学B2 第六章教材答案第一节：函数极值和最值1. 函数的极值和最值是函数在定义域内的特殊点，它们在数学和实际问题中具有重要的应用价值。
下面是第六章教材中相关习题的答案：习题1：a) 求函数$f(x) = 3x^2 - 6x + 2$在区间[-1, 2]上的极大值和极小值。
解：首先求函数$f'(x) = 6x - 6$的零点，即$6x - 6 = 0$，得$x = 1$。
将$x = -1, x = 1, x = 2$代入$f(x)$中，分别得到$f(-1) = 13, f(1) = -1, f(2)= 10$。
所以$f(x)$在$x = 1$处取得极小值-1，在$x = -1$处取得极大值13。
b) 求函数$g(x) = x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 3$在整个定义域上的最大值和最小值。
解：首先求函数$g'(x) = 3x^2 - 9x$的零点，即$3x^2 - 9x = 0$，得$x = 0, x = 3$。
将$x = 0, x = 3$代入$g(x)$中，分别得到$g(0) = 3, g(3) =\frac{27}{2}$。
所以$g(x)$在$x = 3$处取得最大值$\frac{27}{2}$，在$x = 0$处取得最小值3。
2. 函数的极值和最值在实际问题中有很多应用，比如优化问题、经济学中的最大效益等。
通过求解函数的极值和最值，可以找到使函数取得最优结果的变量取值。
习题2：一块长方形的地面上，以其一条边为底，作一个等腰直角梯形，使得梯形的上底与下底分别与已知两块木板的宽度相等。
问该等腰直角梯形的底边长度为多少，才能使梯形的面积最大。
解：设等腰直角梯形的底边长度为$x$，则梯形的上底和下底长度也都为$x$。
设梯形的高为$h$，根据勾股定理得到$h = \sqrt{2}x$。
梯形的面积$S(x) = \frac{1}{2}(x + x)(\sqrt{2}x)$。
《高等数学B2》期末复习
第七章微分方程 例2 微分方程
dy 1 x y 2 xy 2的通解是（ dx
dy 1 y 2 (1 x)dx
）
dy (1 x)(1 y 2 ) dx
（可分离变量类型）
x2 arctany x c 2 x2 y tan( x c) 为通解 2
x 2 [ x cos x cos xdx c]
x [ x cos x sin x c]
cos x sin x 2 c x x
2
由 y x
2
4
2
c 0,
微分方程的特解为
cos x sin x y 2 x x
例7 求微分方程 y y 2 y 2e x 的通解 解 对应的齐次线性微分方程为 y y 2 y 0
特征方程为 r 2 r 2 0 , (r 2)(r 1) 0 特征方程的根为 r 1 , r 2 齐次线性微分方程的通解为 Y ( x) c1e x c2e2 x 因 1 不是特征方程的根，所以令原方程特解 y* ( x) aex , 代入，得 a 1 , y* ( x) e x , 所求的通解为 y Y ( x) y ( x) c1e c2e e (c1 , c2 R)
2 dx x
2
2 sin x P( x) , Q( x) x x
2
sin x x dx [ e dx c] 通解为 y e x sin x 2 ln x 2 ln x e [ e dx c] x 2 [ x sin xdx c] x
x 2 [ x sin xdx c] x 2 [ xd cos x c]
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高等数学（B Ⅱ）复习例题解答第六章： 空间解析几何初步（1）向量平行和垂直的充要条件：例1 求{3,2,1}=a ，{6,4,}k =b ，若//a b ，则k = ；若⊥a b ，则k = 。
【解】//a b 32164k⇔==，故2k =；⊥a b 362410k ⇔⨯+⨯+⨯=，故26k =- 例2 求与{1,2,3}=a 及=+b i j 都垂直的单位向量。
【解】设{,,}x y z =c 与,a b 都垂直，则2300x y z x y ++=⎧⎨+=⎩ 或 33x zy z=⎧⎨=-⎩故与a 及b 都垂直的单位向量为03,1}===-c c c（2）求向量的模、方向余弦及方向角和两向量的夹角的方法：例1已知两点1}M =和2{3,0,2}M =，试求向量12M M u u u u u u r的模、方向余弦及方向角。
【解】由于12{34,01}{1,}M M =--=-u u u u u u r，则122M M ==u u u u u u r又因为1212111{1,}{,}222M M M M =-=-u u u u u u r u u u u u u r 故方向余弦为11cos ,cos cos 222αβγ=-=-= 方向角为 23,cos ,cos 343πππαβγ===例2 已知向量a 与b 的夹角为23π，又3,4==a b ，计算(32)(2)-⋅+a b a b 。
【解】22(32)(2)344-⋅+=-+⋅a b a b a b a b22222344cos(,)3344434cos613π=-+=⨯-⨯+⨯⨯⨯=-a b a b a b 例3 设0++=a b c ，又3,1,2===a b c ，则⋅++=a b bc ca （ ） A. 1 B. 7 C. 1- D.7- 【解】选D. 注意到()()2()++⋅++=⋅+⋅+⋅+⋅++a b c a b c a a b b c c a b bc ca（3）求平面方程的方法：例1 已知平面π与平面204570x y z --+=平行且相距6个单位，求π的方程。
例2 一平面通过两点()11,1,1M 和()20,1,1M -，且垂直于平面1x y z ++=，求平面方程。
例3 求过直线10:230x y z L x y z ++=⎧⎨-+=⎩且平行于直线2:632x y zL ==的平面方程。
例4 已知平面π过点0(1,0,1)M -和直线211:201x y z L ---==，求平面π的方程。
例5 求平行于平面0:6650x y z π+++=且与三个坐标面所围成的四面体的体积为18的平面π的方程 [提示：可用截距式或一般式方程来作]（4）将直线的一般方程化为点向式或参数式的方法例1 将直线L 的一般方程2502310x y z x y z ++-=⎧⎨+--=⎩化为对称式方程和参数式方程。
（5）求空间直线的方法：例1 已知直线L 过点0{1,0,2}M =-且与平面:3460x y z π+-+=平行，又与直线132:141x y zL -+==垂直，求直线L 的方程。
例2 求直线270:2350x y z L y z --+=⎧⎨+-=⎩在平面:380x y z π-++=上的投影。
[提示：求直线L 在平面π上的投影，只需求出过直线L 且与平面π垂直的平面1π，则两平面的交线就是所求的投影直线]（6）判断二次曲面的方法：例1 下列方程中所表示的曲面表示旋转抛物面的是（ ）（A ）2221x y z ++= （B ）224x y z +=（C ）22214y x z -+= （D ）2221916x y z ++= 例2 设曲面方程2222221x y z a b c++=，当a b =时，曲面可由xoz 面上以曲线 绕 轴旋转而成，或由yoz 面上以曲线 绕 轴旋转而成。
例3 在空间中，方程22y px =表示母线平行于 轴，以xoy 坐标面上的抛物线 为准线的柱面。
第七章：多元函数微分学（1）求二元函数的定义域的方法:例1设arcsin 2xz = （2）求二重极限的方法:例1 求下列二重极限：（1）210sin lim x y x y xy →→； （2）110lim(1)yx y xy →→+； （3）2244lim x y x y x y →∞→∞++例2 证明二重极限：24200lim x y x yx y →→+不存在（3）求偏导数的方法:例1设(,)f x y =(0,0)x f '例2证明二元函数22220(,)0,0x y z f x y x y +≠==+=⎩在(0,0)的邻域连续且有偏导数x f '和y f '例3 求下列函数的偏导数z x ∂∂和z y∂∂（1）33z x y xy =+； （2）z = （3）(1)yz xy =+ 例4 设2222()x y xyz x y e+=+，求z x ∂∂和z y∂∂ 例5 设(,)yz f xy x=，其中f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂（4）求全微分的方法:例1 求下列函数的全微分 （1）arctany z xy x=+； （2）(1)yz xy =+； （3）32ln()u x y z =++ 例2 求函数zy u x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在点(1,1,2)处的全微分例3 设22(cos )(1sin 2)ax x y dx by x x y dy -+++为某一函数(,)f x y 的全微分，则常数（ ） （A ）1,1a b =-=； （B ）2,2a b ==-（C ）3,3a b ==- （D ）4,4a b =-=[提示：由xyf ''和yx f ''都连续，从而xy yx f f ''''=，可求出,a b 之值] （5）求隐函数的偏导数的方法:例1 设函数(,)z z x y =是由方程：sin z xyz =确定的隐函数，求z x ∂∂和zy∂∂。
例2 设函数(,)z z x y =是由方程：2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，验证1z z x y∂∂+=∂∂ 例3 设函数()z f u =，其中(,)u u x y =是由方程：()()x yu u p t dt ϕ=+⎰确定的二元函数，且(),()f u u ϕ都是可微函数，(),()p t u ϕ'连续，()1u ϕ'≠，求()()z z p y p x x y∂∂+∂∂（6）讨论二元函数的极值与最值例1 设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在(1,1)-处取得极值，试求常数a ，并确定极值的类型。
例2 设(,)z z x y =是由方程2226102180x xy y yz z -+--+=所确定的函数，求(,)z z x y =的极值点和极值。
例3 求函数32u x y z =在条件x y z a ++=（其中,,,a x y z +∈R ）下的极大值。
例4 设某工厂生产A 和B 两种产品，产量分别为x 和y （单位：千件），利润函数为22(,)46162L x y x y x y =--++-已知生产这两种产品时，每千件产品均消耗某种原料2000kg ，现有该原料12000kg ，问如何安排生产才能使总利润最大？最大利润是多少？【解】由题意，问题可转化为求利润函数22(,)46162L x y x y x y =--++-在条件： 2000200012000x y +≤ 即 6x y +≤ 下的条件极值，当6x y +<时，解方程组2608160x yL x L y =-+=⎧⎪⎨=-+=⎪⎩，得唯一驻点(3,2)，此时，22(3,2)34263162233L =--⨯+⨯+⨯-=（万元） 当6x y +=时，作Lagrange 函数22(,)46162(6)F x y x y x y x y λ=--++-++- 解方程组260816060x y F x F y F x y λλλ⎧=-++=⎪=-++=⎨⎪=+-=⎩得 3.8x =， 2.2y =，即得驻点(3.8,2.2)，此时22(3.8,2.2) 3.84 2.26 3.816 2.2222.2L =--⨯+⨯+⨯-=（万元）显然，(,)L x y 存在最大值，故生产A 产品3千件，B 产品2千件时能使总利润最大，最大利润为33万元第八章： 二重积分（1）求二重积分的方法：例1 利用二重积分的几何意义，求下列二重积分的值 （1）D ，其中222{(,),}D x y x y R =+≤（2）(4Ddxdy -⎰⎰，其中22{(,),4}D x y x y =+≤【解】例2 计算下列二重积分 （1）2D yx dxdy -⎰⎰，其中{(,),01,01}D x y x y =≤≤≤≤（2）2yDxe dxdy -⎰⎰，其中D 是曲线24y x =和29y x =在第一象限所围成的区域 例3 计算下列二重积分 （1）22ln(1)Dx y dxdy ++⎰⎰，其中22{(,),1,0}D x y x y x =+≤≥ （2）D，其中22{(,),24}D x y x x y =≤+≤（2）交换二重积分的积分顺序的方法 例4 交换下列二次积分的积分顺序 （1）10(,)dy f x y dx ⎰； （2）2121(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy +⎰⎰⎰⎰第九章： 无穷级数（1）判断数项级数收敛的方法：例1 判别下列级数是否收敛：（1）12(1)2n nn ∞=+-∑； （2）1n e ∞=∑ （3）22tan2nn n π∞=∑例2 判别下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？（1）11(1)n pn n -∞=-∑； （2）1(1)nn ∞=-∑； （3）111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑ 例3 若级数21nn a∞=∑收敛，问1nn a n∞=∑是否收敛？是绝对收敛还是条件收敛？例4 设级数1nn b∞=∑，1nn c∞=∑都收敛，且n n n b a c ≤≤(1)n ≥，证明1nn a∞=∑也收敛。
例5 下列命题正确的是（A ）若1nn u∞=∑收敛，则1nn u∞=∑也收敛；（B ）若1nn u∞=∑收敛，则21nn u∞=∑也收敛；（C ）若1n n u ∞=∑收敛，则lim 0n n nu →∞=； （D ）若1n n u ∞=∑收敛且lim 1nn nu v →∞=，则1n n v ∞=∑未必收敛。