江苏省盱眙县都梁中学高中数学2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式课堂精练苏教版必修5

江苏省盱眙县都梁中学高中数学 2.3.1 等比数列的概念 2.3.2 等
比数列的通项公式课堂精练 苏教版必修5
1．在等比数列{a n }中，a 2 012＝8a 2 009，则公比q 的值为__________． 2．等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6＝__________.
3．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 52
，a 2＝2，则a 1＝__________. 4．已知{a n }为等比数列，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为5
4，则q 的值为
__________．
5．已知数列{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝20
3，则数列{a n }的通项公式为__________．
6．在等比数列{a n }中，已知a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18，a n ＝1
2，则n ＝__________.
7．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5
a 3＋a 4的值为__________．
8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝15，S 9＝18，在等比数列{b n }中，b 3＝a 3，b 5＝a 5，则b 7的值为__________．
9．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5＞a 2，则a n ＝__________.
10．已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n
(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝__________.
11．已知实数a ，b ，c 成等差数列，a ＋1，b ＋1，c ＋4成等比数列，且a ＋b ＋c ＝15，求a ，b ，c .
12．在数列{a n }中，a 1＝56，a 2＝19
36
，且数列{b n }是公差为－1的等差数列，其中b n ＝
log 2⎝
⎛⎭⎪⎫a n ＋1－a n 3，数列{c n }是公比为13的等比数列，其中c n ＝a n ＋1－a n 2，求数列{a n }的通项公式．
参考答案
1．2 点拨：∵
a 2 012a 2 009
＝q 3
＝8，∴q ＝2. 2．16 点拨：a 2·a 6＝a 42
＝16.
3． 2 点拨：设该数列的公比为q ，由a 3·a 9＝a 62
＝2a 52
，得q 2
＝2. 因为等比数列{a n }的公比为正数， 所以q ＝2，故a 1＝a 2q
＝
22
＝ 2.
4．1
2 点拨：设{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知，a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4
＝2.
由a 4与2a 7的等差中项为54知，a 4＋2a 7＝2×5
4，
即a 7＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2×54－a 4＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2×54－2＝1
4
.
∴q 3
＝a 7a 4＝18，即q ＝12
.
5．a n ＝2×3
3－n
或a n ＝2×3
n －3
点拨：方法一：设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)．
∵a 2＝a 3q
＝2
q
，a 4＝a 3q ＝2q ，
∴2q ＋2q ＝203，解得q 1＝1
3
，q 2＝3. 当q 1＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2×33－n
；
当q 1＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3
，
综上所述，a n ＝2×3
3－n
或a n ＝2×3
n －3
.
方法二：由a 3＝2，得a 2a 4＝4.
又a 2＋a 4＝203，所以a 2，a 4为方程x 2
－203x ＋4＝0的两根，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝23，a 4＝6，
或⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 2＝6，a 4＝2
3.
当a 2＝23时，q ＝3，a n ＝2×3n －3
；
当a 2＝6时，q ＝13
，a n ＝2×33－n
.
所以a n ＝2×3
3－n
或a n ＝2×3
n －3
.
6．9 解法一：设其公比为q ，∵a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18， ∴a 1q 2
＋a 1q 5
＝36，①
a 1q 3＋a 1q 6＝18，②
②除以①得q ＝1
2
.
于是14a 1＋132a 1＝36，∴a 1＝128.而a n ＝a 1q n －1
.
∴12＝128×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1
，∴n ＝9. 解法二：设其公比为q ，∵a 4＋a 7＝a 3q ＋a 6q ＝(a 3＋a 6)q ， ∴q ＝
a 4＋a 7a 3＋a 6＝1836＝1
2
. 而a 3＋a 6＝a 3(1＋q 3
)，∴a 3＝
a 3＋a 61＋q 3＝
36
1＋
1
8
＝32. ∵a n ＝a 3q n －3
，∴12＝32×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －3
，∴n ＝9.
7．
5＋12
点拨：由题意可知，a 3＝a 2＋a 1，将等式两边同除以a 1，得q 2
－q －1＝0.∵q ＞0，∴q ＝
5＋1
2
. 8．4
3
点拨：在等差数列{a n }中， 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
5a 1＋10d ＝15，9a 1＋36d ＝18，得a 3＝3，a 5＝2.
于是b 3＝3，b 5＝2，所以b 7＝b 52b 3＝43
.
9．(－2)
n －1
点拨：∵|a 1|＝1，∴a 1＝1或a 1＝－1.
∵a 5＝－8a 2＝a 2q 3
，∴q 3
＝－8，q ＝－2. 又a 5＞a 2，即a 2q 3
＞a 2，∴a 2＜0.
而a 2＝a 1q ＝a 1·(－2)＜0，∴a 1＝1，∴a n ＝(－2)
n －1
.
10．n 2
点拨：由a 5·a 2n －5＝22n
(n ≥3)，得a n 2
＝22n
. ∵a n ＞0，∴a n ＝2n
.
∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2
.
11．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪
⎧ a ＋b ＋c ＝15，a ＋c ＝2b ，
(a ＋1)(c ＋4)＝(b ＋1)2，
①②③
由①－②得b ＝5，将b ＝5代入②得c ＝10－a ，代入③，整理得a 2
－13a ＋22＝0，解得
a ＝2或a ＝11，故a ＝2，
b ＝5，
c ＝8，或a ＝11，b ＝5，c ＝－1.
经验算，上述两组数符合题意． 12．解：∵a 1＝56，a 2＝19
36，
∴b 1＝log 2⎝
⎛⎭
⎪⎫1936－13×56＝－2，c 1＝1936－12×56＝132
.
∵数列{b n }是公差为－1的等差数列，数列{c n }是公比为1
3
的等比数列，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
b n ＝－2＋(n －1)×(－1)，
c n ＝132×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1
，
即⎩⎪⎨⎪⎧
log 2
⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1
－a n
3＝－2＋(n －1)×(－1)，a n ＋1－a n
2＝132×1
3
n －1
，
整理，得⎩⎪⎨
⎪⎧
a n ＋1
－a n 3＝1
2n ＋1，a
n ＋1
－a n 2＝13
n ＋1，消去a n ＋1，得a n ＝32n －2
3
n ，
∴数列{a n }的通项公式为a n ＝32n －2
3n .。