2017-2018年安徽省蚌埠一中高二上学期期中数学试卷及答案(理科)
2017-2018学年安徽省蚌埠一中高二上学期期中数学试卷与解析(理科)
2017-2018学年安徽省蚌埠一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1．（5分）下列命题中正确的是（）（1）在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；（2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；（3）在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；（4）圆柱的任意两条母线相互平行．A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（3）D．（2）（4）2．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．8﹣2πD．3．（5分）如图，用斜二测画法作△ABC水平放置的直观图形得△A1B1C1，其中A1B1=B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，由图形可知在△ABC中，下列四个结论中正确的是（）A．AB=BC=AC B．AD⊥BC C．AC＞AD＞AB D．AC＞AD＞AB=BC4．（5分）长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．25πB．50πC．125πD．都不对5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛6．（5分）已知P，Q，R，S分别是所在正方体或四面体的棱的中点，这四个点不共面的一个图是（）A．B．C．D．7．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（）A．B．C．D．8．（5分）下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④9．（5分）空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有（）A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBC D．平面ADC⊥平面DBC10．（5分）以下命题正确的有（）①⇒b⊥α；②⇒a∥b；③⇒b∥α；④⇒b⊥α．A．①②B．①②③C．②③④D．①②④11．（5分）过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有（）A．4条 B．6条 C．8条 D．12条12．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹为（）A．线段B1CB．线段BC1C．BB1的中点与CC1的中点连成的线段D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13．（5分）已知正方形ABCD的边长是1，对角线AC与BD交于O，将正方形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，并给出下面结论：①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC为正三角形；④cos∠ADC=，则其中的真命题的序号是．14．（5分）三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=AB=AC=1，∠BAC=90°，则PA与底面ABC所成角的大小为．15．（5分）已知=（x，2，﹣1），=（x，x，﹣1）分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，则x的值是．16．（5分）在平行四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD．将△ABD 沿BD折起，使得平ABD⊥面平面BCD，如图所示．若M为AD中点，则二面角M﹣BC﹣D的余弦值为．三、解答题（第17题14分，第18题14分，第19题14分，第20题14分，第21题14分，共5小题70分）17．（14分）如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的AB，BC，CD，DA边的中点，求证：（1）四点E，F，G，H共面；（2）BD∥平面EFGH．18．（14分）如图，A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD 的重心，已知BD=6．（1）判断MN与BD的位置关系；（2）求MN的长．19．（14分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．20．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D 是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．21．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O 是对角线AC与BD的交点．M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求PB的长．2017-2018学年安徽省蚌埠一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1．（5分）下列命题中正确的是（）（1）在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；（2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；（3）在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；（4）圆柱的任意两条母线相互平行．A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（3）D．（2）（4）【解答】解：在（1）中，由于圆柱的母线相互平行且与轴平行，故上、下底面中任两点的连线不一定是母线，故（1）错误；在（2）中，由圆锥母线的定义可知圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线，故（2）是正确；在（3）中，圆台侧面上各个位置的直角梯形的腰称为圆台的母线，故上、下底面中任两点的连线不一定是母线，故（3）错误；在（4）中，由于圆柱的母线相互平行且与轴平行，故④正确．故选：D．2．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．8﹣2πD．【解答】解：三视图复原的几何体是棱长为：2的正方体，除去一个倒放的圆锥，圆锥的高为：2，底面半径为：1；所以几何体的体积是：8﹣=故选：A．3．（5分）如图，用斜二测画法作△ABC水平放置的直观图形得△A1B1C1，其中A1B1=B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，由图形可知在△ABC中，下列四个结论中正确的是（）A．AB=BC=AC B．AD⊥BC C．AC＞AD＞AB D．AC＞AD＞AB=BC【解答】解：根据斜二测画法，把直观图形中的△A1B1C1，还原成原图形，如图所示；AB=2A1B1=B1C1=BC，∴AC＞AD＞AB．故选：C．4．（5分）长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．25πB．50πC．125πD．都不对【解答】解：因为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是确定直径，长方体的对角线为：，所以球的半径为：，所以这个球的表面积是：=50π．故选：B．5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r=8，解得r=，故米堆的体积为××π×（）2×5≈，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴÷1.62≈22，故选：B．6．（5分）已知P，Q，R，S分别是所在正方体或四面体的棱的中点，这四个点不共面的一个图是（）A．B．C．D．【解答】解：在A中，∵P，Q，R，S分别是所在正方体或四面体的棱的中点，∴PS∥QR，∴P，Q，R，S共面，故A错误；在B中，过P，Q，R，S可作一正六边形，如图，故P，Q，R，S四点共面，故B错误；在C中，分别连接PQ，RS，则PQ∥RS，∴P，Q，R，S共面，故C错误；在D中，PS与RQ为异面直线，∴P，Q，R，S四点不共面，故D正确．故选：D．7．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：连结BC1，∵AC∥A1C1，∴∠C1A1B是异面直线A1B与AC所成角（或所成角的补角），∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，∴AB=，，BC 1==，A1C1=1，∴cos∠C1A1B===，∴异面直线A1B与AC所成角的余弦值为．故选：D．8．（5分）下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【解答】解：对图①，构造AB所在的平面，即对角面，可以证明这个对角面与平面MNP，由线面平行的定义可得AB∥平面MNP．对图④，通过证明AB∥PN得到AB∥平面MNP；对于②、③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行；故选：B．9．（5分）空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有（）A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBC D．平面ADC⊥平面DBC【解答】解∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD=B∴AD⊥平面BDC又∵AD在平面ADC内，∴平面ADC⊥平面DBC故选：D．10．（5分）以下命题正确的有（）①⇒b⊥α；②⇒a∥b；③⇒b∥α；④⇒b⊥α．A．①②B．①②③C．②③④D．①②④【解答】解：根据线面垂直的性质可知①正确；根据线面垂直的性质定理可知②正确；对于③，b可能在α内；对于④，b可能平行平面α，故选：A．11．（5分）过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有（）A．4条 B．6条 C．8条 D．12条【解答】解：作出如图的图形，H，G，F，I是相应直线的中点，故符合条件的直线只能出现在平面HGFI中，由此四点可以组成C42=6条直线，故选：B．12．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹为（）A．线段B1CB．线段BC1C．BB1的中点与CC1的中点连成的线段D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段【解答】解：如图，连接AC，AB1，B1C，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有BD1⊥面ACB1，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，∴故点P的轨迹为面ACB1与面BCC1B1的交线段CB1．故选：A．二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13．（5分）已知正方形ABCD的边长是1，对角线AC与BD交于O，将正方形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，并给出下面结论：①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC为正三角形；④cos∠ADC=，则其中的真命题的序号是①③④．【解答】解：由题意，可作出如图的图象，在下图中，由正方形的性质知，CO ⊥BD，AO⊥BD，故可得BD⊥面AOC由此可得出BD⊥AC，∠AOC=60°，故①正确，又由题设条件O是正方形对角线的交点，可得出AO=CO，于是有③△AOC为正三角形，可得③正确；由上证知，CO与面ABD不垂直且CO⊥BD，故AD与CO不垂直，由此知②不正确；由上证知，△AOC是等边三角形，故AC=AO=CO=2，AD=CD=4，所以cos∠ADC==，故④正确由上判断知①③④故答案为：①③④14．（5分）三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=AB=AC=1，∠BAC=90°，则PA与底面ABC所成角的大小为45°．【解答】解：∵AB=AC=1，∠BAC=90°，∴BC=，∵PB=PC=1，∴∠BPC=90°，取BC的中点E，则PE=AE=，∵PA=1，∴∠PEA=90°，则∠PAE=45°，∵E是BC的中点，∴PE⊥BC，AE⊥BC，∴BC⊥平面ABC，则∠PAE是PA与底面ABC所成的角，即PA与底面ABC所成角的大小为45°．故答案为：45°15．（5分）已知=（x，2，﹣1），=（x，x，﹣1）分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，则x的值是﹣1．【解答】解：∵=（x，2，﹣1），=（x，x，﹣1）分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，∴=x2+2x+1=0，解得x=﹣1．故答案为：﹣1．16．（5分）在平行四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD．将△ABD 沿BD折起，使得平ABD⊥面平面BCD，如图所示．若M为AD中点，则二面角M﹣BC﹣D的余弦值为．【解答】解：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．过M作MH⊥BD于H，则H为DB中点，MH⊥面BCD，过H作HN⊥BC于N，连接MN，则∠MNH为二面角M﹣BC﹣D的平面角．在Rt△BCD中，BD=CD=1，CD⊥BD，∴∠DBC=45°，∴又MH=，∴∴故答案为：．三、解答题（第17题14分，第18题14分，第19题14分，第20题14分，第21题14分，共5小题70分）17．（14分）如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的AB，BC，CD，DA边的中点，求证：（1）四点E，F，G，H共面；（2）BD∥平面EFGH．【解答】证明：（1）∵E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的AB，BC，CD，DA 边的中点，∴GH∥AC，EF∥AC，∴GH∥EF，∴四点E，F，G，H共面．（2）∵E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的AB，BC，CD，DA边的中点，∴EH∥BD，∵EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH．∴BD∥平面EFGH．18．（14分）如图，A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD 的重心，已知BD=6．（1）判断MN与BD的位置关系；（2）求MN的长．【解答】解：（1）MN与BD平行．证明如下：如图连结AM、AN分别与BC、CD交于点E、F，由重心定义知E、F分别为中点连结EF．∵E、F分别为BC、CD的中点∴EF∥BD且EF=BD．又M为△ABC重心N为△ACD重心∴AM：ME=AN：NF=2：1．∴MN∥EF且MN=EF．∴MN∥BD（公理4）．（2）∵EF=BD．MN=EF，∴MN=EF=BD=2．19．（14分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．【解答】解：（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥面SBD，所以AC⊥SD．（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，则SD⊥OP，设正方形ABCD的边长为a，则SD=，OD=，则OD2=PD•SD，可得PD==，故可在SP上取一点N，使PN=PD，过N作PC的平行线与SC的交点即为E，连BN．在△BDN中知BN∥PO，又由于NE∥PC，故平面BEN∥面PAC，得BE∥面PAC，由于SN：NP=2：1，故SE：EC=2：1．20．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D 是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD．由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点，又D为BC中点，所以OD为△A1BC中位线，所以A1B∥OD，因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．…（6分）（2）解：由ABC﹣A 1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，故BA，BC，BB1两两垂直．以BA为x轴，以BC为y轴，以BB1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=BC=2AA 1，∠ABC=90°，D是BC的中点，∴可设AA1=1，AB=BC=2，BD=DC=1，∴A（2，0，0），D（0，1，0），C（0，2，0），C1（0，2，1），∴=（﹣2，2，1），，设平面ADC 1的法向量为，则，，∴，∴=（1，2，﹣2），∵平面ADC的法向量，所以二面角C1﹣AD﹣C的余弦值为|cos＜＞|=||=．21．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O 是对角线AC与BD的交点．M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求PB的长．【解答】（1）证明：∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB．∵OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB．∴OM∥平面PAB．（2）证明：∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA．∵AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．（3）解：∵底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴菱形ABCD的面积为S ABCD=AB=2，∵四棱锥P﹣ABCD的高为PA，∴⇒PA=，∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，在Rt△PAB中，PB=．。
2017-2018学年安徽省蚌埠二中高二(上)数学期中试卷带解析答案(理科)
2017-2018学年安徽省蚌埠二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）判断圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣2）2=9的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切2．（5分）若直线l经过点P（2，3），且在x轴上的截距的取值范围是（﹣1，3），则其斜率的取值范围是（）A．k＜﹣3或k＞1 B．﹣1＜k＜C．﹣3＜k＜1 D．k3．（5分）下列结论正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线4．（5分）一条光线从点A（2，4）射出，倾斜角为60°角，遇x轴后反射，则反射光线的直线方程为（）A．x﹣y+4﹣2=0 B．x﹣y﹣2﹣4=0 C．x+y+4﹣2=0 D．x+y﹣2﹣4=05．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n6．（5分）若圆x2+y2﹣2ax+3by=0的圆心位于第三象限，那么直线x+ay+b=0一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（5分）已知点P（1，3）与直线l：x+y+1=0，则点P关于直线l的对称点坐标为（）A．（﹣3，﹣1）B．（2，4） C．（﹣4，﹣2）D．（﹣5，﹣3）8．（5分）如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（）A．AC⊥BDB．AC=BDC．AC∥截面PQMND．异面直线PM与BD所成的角为45°9．（5分）已知棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在半球底面上，四个顶点A，B，C，D都在半球面上，则半球体积为（）A．4B．2C．D．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．411．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（）A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条12．（5分）设点P（a，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点Q，使得∠OPQ=60°，则a的取值范围是（）A．[﹣]B．[]C．[]D．[]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）母线长为1的圆锥体，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为．14．（5分）一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为1cm的正方形，则原图形的周长为cm．15．（5分）已知点P是圆C：x2+y2+4x﹣6y﹣3=0上的一点．直线l：3x﹣4y﹣5=0，若点P到直线l的距离为2，则符合题意的点P有个．16．（5分）在平面内，•=•=•=6，若动点P，M满足||=2，=，则||的最小值是．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题10分，第18～22题每题12分）17．（10分）已知两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y﹣4a2﹣2=0．（1）若l1∥l2，求实数a的值；（2）若l1⊥l2，求实数a的值．18．（12分）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离．19．（12分）已知圆M：x2+（y﹣2）2=1，Q是x轴上的点，QA，QB分别切圆M 与A，B两点．（1）若|AB|=，求|MQ|的长度及直线MQ的方程；（2）求证：直线AB恒过定点．20．（12分）已知四边形ABCD与四边形CDEF均为正方形，平面ABCD⊥平面CDEF．（1）求证：ED⊥平面ABCD；（2）求二面角D﹣BE﹣C的大小．21．（12分）如图组合体中，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ABB1A1是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A，B重合一个点．（1）求证：无论点C如何运动，平面A1BC⊥平面A1AC；（2）当C是弧AB的中点时，求四棱锥A1﹣BCC1B1与圆柱的体积比．22．（12分）已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x﹣4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．2017-2018学年安徽省蚌埠二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）判断圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣2）2=9的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2=1的圆心C1为（0，0），半径r1=1，圆C2：（x﹣2）2+（y﹣2）2=9的圆心C2为（2，2），半径r2=3，则有2＜|C1C2|=2＜r1+r2=4，则两圆相交；故选：C．2．（5分）若直线l经过点P（2，3），且在x轴上的截距的取值范围是（﹣1，3），则其斜率的取值范围是（）A．k＜﹣3或k＞1 B．﹣1＜k＜C．﹣3＜k＜1 D．k【解答】解：取直线l与x轴的交点M（﹣1，0），N（3，0）．k PM==1，k PN==﹣3．∵直线l与线段MN相交，∴k＞1或k＜﹣3．故选：A．3．（5分）下列结论正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线【解答】解：A、如图（1）所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，故A错误；B、如图（2）（3）所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥，故B错误；C、若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由过中心和定点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误；D、根据圆锥母线的定义知，故D正确．故选：D．4．（5分）一条光线从点A（2，4）射出，倾斜角为60°角，遇x轴后反射，则反射光线的直线方程为（）A．x﹣y+4﹣2=0 B．x﹣y﹣2﹣4=0 C．x+y+4﹣2=0 D．x+y﹣2﹣4=0【解答】解：∵tan60°=，∴k=tan（180°﹣60°）=﹣，∵点A（2，4）关于x轴的对称点A′（2，﹣4）在反射光线上，设反射光线所在的直线方程y=﹣x+b，∴﹣4=﹣×2+b，解得b=2﹣4，故反射光线所在的直线方程y=﹣x+2﹣4，即x+y+4﹣2=0，故选：C．5．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【解答】解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；B、α，β 垂直于同一个平面γ，故α，β 可能相交，可能平行，故B错误；C、α，β平行于同一条直线m，故α，β 可能相交，可能平行，故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．故选：D．6．（5分）若圆x2+y2﹣2ax+3by=0的圆心位于第三象限，那么直线x+ay+b=0一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵圆x2+y2﹣2ax+3by=0的圆心为（a，﹣）∴圆心位于第三象限，得a＜0且﹣＜0，解得a＜0且b＞0又∵直线x+ay+b=0，在x轴的截距为﹣b＜0，在y轴的截距为﹣＞0∴直线x+ay+b=0经过x轴负半轴一点和y轴正半轴一点由此可得直线经过一、二、三象限，不经过第四象限故选：D．7．（5分）已知点P（1，3）与直线l：x+y+1=0，则点P关于直线l的对称点坐标为（）A．（﹣3，﹣1）B．（2，4） C．（﹣4，﹣2）D．（﹣5，﹣3）【解答】解：设点P关于直线l的对称点坐标为Q（a，b），则+1=0，=1，联立解得a=﹣4，b=﹣2．∴点P关于直线l的对称点坐标为（﹣4，﹣2）．故选：C．8．（5分）如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（）A．AC⊥BDB．AC=BDC．AC∥截面PQMND．异面直线PM与BD所成的角为45°【解答】解：因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，所以PQ∥AC，QM∥BD，由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故C正确；∵PN⊥PQ，∴AC⊥BD．由BD∥PN，∴∠MPN是异面直线PM与BD所成的角，且为45°，D正确；由上面可知：BD∥PN，PQ∥AC．∴，，而AN≠DN，PN=MN，∴BD≠AC．B错误．故选：B．9．（5分）已知棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在半球底面上，四个顶点A，B，C，D都在半球面上，则半球体积为（）A．4B．2C．D．【解答】解：正方体的顶点A、B、C、D在半球的底面内，顶点A1、B1、C1、D1在半球球面上，底面ABCD的中心到上底面顶点的距离就是球的半径=，半球的体积：×π×（）3=2π．故选：B．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．4【解答】解：由已知可得该几何体是一个以主视图为底面的三棱锥，其体积V=×（×2×2）×2=，故选：B．11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（）A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条【解答】解：在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图：故选：D．12．（5分）设点P（a，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点Q，使得∠OPQ=60°，则a的取值范围是（）A．[﹣]B．[]C．[]D．[]【解答】解：由题意画出图形如图：点Q（a，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OPQ=60°，则∠OQP的最大值大于或等于60°时一定存在点P，使得∠OPQ=60°，而当QP与圆相切时∠OQP取得最大值，QP与圆相切时∠OQP取得最大值，此时OP=1，|QP′|=．只有Q′到Q″之间的区域满足|QP|≤，∴x0的取值范围是[﹣，]．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）母线长为1的圆锥体，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为．【解答】解：一个圆锥的母线长为1，它的侧面展开图为半圆，则半圆的弧长为π，即圆锥的底面周长为π，设圆锥的底面半径是r，则得到2πr=π，解得：r=，∴圆锥的高为h=．∴圆锥的体积为：V=πr2h=．故答案为：．14．（5分）一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为1cm的正方形，则原图形的周长为8cm．【解答】解：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y′轴上，可求得其长度为cm，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2 cm，其原来的图形如图所示，则原图形的周长是：2（1+=8cm，故答案为：815．（5分）已知点P是圆C：x2+y2+4x﹣6y﹣3=0上的一点．直线l：3x﹣4y﹣5=0，若点P到直线l的距离为2，则符合题意的点P有2个．【解答】解：∵圆C：x2+y2+4x﹣6y﹣3=0，∴（x+2）2+（y﹣3）2=16，圆心O（﹣2，3），r=4，∴圆心到直线l：3x﹣4y﹣5=0的距离为：d=，∵圆上的点p到直线的距离最近为﹣4=＜2∴点P到直线l的距离为2，则符合题意的点P有2个，故答案为：216．（5分）在平面内，•=•=•=6，若动点P，M满足||=2，=，则||的最小值是2．【解答】解：∵•=•=•=6，∴=0，=0，=0，∴△ABC是等边三角形，设△ABC的边长为a，∴=a2cos60°==6，∴a=2．∵||=2，∴P在以A为圆心，以2为半径的圆上，∵=，∴M是PC的中点，以BC为x轴，以BC的中垂线为y轴建立坐标系，则B（﹣，0），C（，0），A（0，3），设P（2cosθ，3+2sinθ），则M（cosθ+，+sinθ），∴=（+cosθ，+sinθ），∴||2=（+cosθ）2+（+sinθ）2=3cosθ+3sinθ+10=6sin（θ+）+10，∴当sin（θ+）=﹣1时，||2取得最小值4．||的最小值是2；故答案为：2．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题10分，第18～22题每题12分）17．（10分）已知两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y﹣4a2﹣2=0．（1）若l1∥l2，求实数a的值；（2）若l1⊥l2，求实数a的值．【解答】解：（1）由a（a﹣1）﹣2=0，解得a=2或﹣1．经过验证a=﹣1时两条直线重合．∴a=2．（2）a=1时，两条直线方程分别化为：x+2y+6=0，x﹣6=0．此时两条直线不垂直，舍去．a≠1时，由l1⊥l2，则×=﹣1，解得a=．综上可得：a=．18．（12分）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离．【解答】解：方法一（综合法）（1）取OB中点E，连接ME，NE∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD∴MN∥平面OCD（2）∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）作AP⊥CD于P，连接MP∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP∵，∴，，所以AB与MD所成角的大小为．（3）∵AB∥平面OCD，∴点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q，∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，∵，，∴，所以点B到平面OCD的距离为．方法二（向量法）作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系：A（0，0，0），B（1，0，0），，，O（0，0，2），M（0，0，1），（1），，设平面OCD的法向量为n=（x，y，z），则•=0，•=0即取，解得∵•=（，，﹣1）•（0，4，）=0，∴MN∥平面OCD．（2）设AB与MD所成的角为θ，∴，∴，AB与MD所成角的大小为．（3）设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量=（0，4，）上的投影的绝对值，由，得d==所以点B到平面OCD的距离为．19．（12分）已知圆M：x2+（y﹣2）2=1，Q是x轴上的点，QA，QB分别切圆M 与A，B两点．（1）若|AB|=，求|MQ|的长度及直线MQ的方程；（2）求证：直线AB恒过定点．【解答】（1）设直线MQ交直线AB于点P，由于：|AB|=，又|AM|=1，AP ⊥MQ，AM⊥AQ．|MP|=，|AM|2=|MQ||MP|，所以：|MQ|=3．设Q（x，0），而点M（0，2），由，得x=，则Q（，0）或Q（﹣，0）．所以直线MQ的方程为：2x+﹣2=0或2x﹣y=0．（2）设Q（q，0），由几何性质，可知A，B在以QM为直径的圆上，此圆的方程为：x2+y2﹣qx﹣2y=0，AB为两圆的公共弦，两圆方程相减，得qx﹣2y+3=0，即：AB的直线方程为：，过定点（0，）20．（12分）已知四边形ABCD与四边形CDEF均为正方形，平面ABCD⊥平面CDEF．（1）求证：ED⊥平面ABCD；（2）求二面角D﹣BE﹣C的大小．【解答】（1）证明：因为平面ABCD⊥平面CDEF，且平面ABCD∩平面CDEF=CD 又因为四边形CDEF为正方形，所以ED⊥CD因为ED⊂平面CDEF，所以ED⊥平面ABCD（2）解：以D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系D﹣xyz．则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，0，1）．所以平面BDE的法向量为=（﹣1，1，0）．…（5分）设平面BEC的法向量为═（x，y，z）．═（1，0，0），=0，﹣1，1），由令z=1，则=（0，1，1）．…6 分所以cos=∴二面角D﹣BE﹣C的大小为600．21．（12分）如图组合体中，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ABB1A1是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A，B重合一个点．（1）求证：无论点C如何运动，平面A1BC⊥平面A1AC；（2）当C是弧AB的中点时，求四棱锥A1﹣BCC1B1与圆柱的体积比．【解答】解：（I）因为侧面ABB1A1是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A，B重合一个点，所以AC⊥BC（2分）又圆柱母线AA1⊥平面ABC，BC属于平面ABC，所以AA1⊥BC，又AA1∩AC=A，所以BC⊥平面A1AC，因为BC⊂平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面A1AC；（6分）（II）设圆柱的底面半径为r，母线长度为h，当点C是弧的中点时，三角形ABC的面积为r2，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为r2h，三棱锥A1﹣ABC的体积为，四棱锥A1﹣BCC1B1的体积为r2h﹣=，（10分）圆柱的体积为πr2h，四棱锥A1﹣BCC1B1与圆柱的体积比为2：3π．（12分）22．（12分）已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x﹣4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（I）设圆C：（x﹣a）2+y2=R2（a＞0），由题意知，解得a=1或a=，…（3分）又∵S=πR2＜13，∴a=1，∴圆C的标准方程为：（x﹣1）2+y2=4．…（6分）（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），又∵l与圆C相交于不同的两点，联立，消去y得：（1+k2）x2+（6k﹣2）x+6=0，…（9分）∴△=（6k﹣2）2﹣24（1+k2）=3k2﹣6k﹣5＞0，解得或．x 1+x2=，y1+y2=k（x1+x2）+6=，=（x1+x2，y1+y2），，假设∥，则﹣3（x1+x2）=y1+y2，∴，解得，假设不成立．∴不存在这样的直线l．…（13分）第21页（共21页）。
2017-2018年安徽省蚌埠铁中高二上学期期中数学试卷及参考答案(理科)
2017-2018学年安徽省蚌埠铁中高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（60分）1．（5分）点P在直线m上，m在平面a内可表示为（）A．P∈m，m∈a B．P∈m，m⊂a C．P⊂m，m∈a D．P⊂m，m⊂a 2．（5分）一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（）A．2 B．C．D．3．（5分）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交4．（5分）下列命题中，真命题的个数为（）①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l．A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是（）A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α6．（5分）如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（）A．一条直线不相交 B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交7．（5分）设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β（）A．不存在B．有且只有一对C．有且只有两对D．有无数对8．（5分）直线xsin 30°+ycos 150°+1=0的斜率是（）A．B．C．﹣D．﹣9．（5分）若直线l：y=kx+1（k＜0）与圆C：x2+4x+y2﹣2y+3=0相切，则直线l 与圆D：（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定10．（5分）直线x﹣2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．[﹣2，0）∪（0，2] D．（﹣∞，+∞）11．（5分）已知直线l过点（1，0），且倾斜角为直线l0：x﹣2y﹣2=0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为（）A．4x﹣3y﹣3=0 B．3x﹣4y﹣3=0 C．3x﹣4y﹣4=0 D．4x﹣3y﹣4=012．（5分）已知AC，BD为圆O：x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值为（）A．4 B．4 C．5 D．5二．填空题（20分）13．（5分）若正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为．14．（5分）如图，直三棱柱ABC一A1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为．15．（5分）经过两点A（﹣m，6）、B（1，3m）的直线的斜率是12，则m的值为．16．（5分）已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积，则直线y=（k ﹣1）x+2的倾斜角α=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，F是AB的中点，E 是PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）在PC上求一点G，使FG∥平面AEC，并证明你的结论．18．（12分）如图，S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA=SB=SC．D为斜边AC 的中点．（1）求证：SD⊥平面ABC；（2）若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC．19．（12分）如图，在三棱锥ABCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求三棱锥DABC的体积．20．（12分）已知M（m，n）为圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0上任意一点．（1）求m+2n的最大值；（2）求的最大值和最小值．21．（12分）已知圆O：x2+y2=4和点M（1，a），（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；（2）若，过点M的圆的两条弦AC．BD互相垂直，求AC+BD的最大值．22．（10分）已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．（1）求圆C的方程；（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2017-2018学年安徽省蚌埠铁中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（60分）1．（5分）点P在直线m上，m在平面a内可表示为（）A．P∈m，m∈a B．P∈m，m⊂a C．P⊂m，m∈a D．P⊂m，m⊂a 【解答】解：∵点P在直线m上，m在平面a内，∴P∈m，m⊂a，故选：B．2．（5分）一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（）A．2 B．C．D．【解答】解：将该几何体放入边长为2的正方体中，由三视图可知该四面体为D ﹣BD1C1，由直观图可知，最大的面为BDC1．在正三角形BDC1中，BD=，所以面积S=．故选：D．3．（5分）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交【解答】解：A．l与l1，l2可以相交，如图：∴该选项错误；B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C．l可以和l1，l2都相交，如下图：，∴该选项错误；D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确．故选：D．4．（5分）下列命题中，真命题的个数为（）①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①对：如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；因为不在同一条直线上的3点，确定唯一平面，所以①正确；②对于：两条直线可以确定一个平面；必须是平行或相交直线，异面直线不能确定平面，所以②不正确；③对于：空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；反例：正方体的一个顶点出发的三条侧棱，不满足③，所以③不正确；④对于：若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l．满足平面相交的基本性质，正确；故选：B．5．（5分）若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是（）A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α【解答】解：若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是：通过观察正方体，可知b与α相交或b⊂α或b∥α6．（5分）如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（）A．一条直线不相交 B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交【解答】解：根据线面平行的定义可知直线与平面无交点∵直线a∥平面α，∴直线a与平面α没有公共点从而直线a与平面α内任意一直线都没有公共点，则不相交故选：D．7．（5分）设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β（）A．不存在B．有且只有一对C．有且只有两对D．有无数对【解答】解：任意做过a的平面α，可以作无数个．在b上任取一点M，过M作α的垂线，b与垂线确定的平面β垂直与α．故选：D．8．（5分）直线xsin 30°+ycos 150°+1=0的斜率是（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：直线xsin 30°+ycos 150°+1=0的斜率k==﹣=．故选：A．9．（5分）若直线l：y=kx+1（k＜0）与圆C：x2+4x+y2﹣2y+3=0相切，则直线l 与圆D：（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定【解答】解：圆C：x2+4x+y2﹣2y+3=0，可化为：（x+2）2+（y﹣1）2=2，∵直线l：y=kx+1（k＜0）与圆C：x2+4x+y2﹣2y+3=0相切，∴=（k＜0），∴k=﹣1，∴圆心D（2，0）到直线的距离d==，∴直线l与圆D：（x﹣2）2+y2=3相交，故选：A．10．（5分）直线x﹣2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．[﹣2，0）∪（0，2] D．（﹣∞，+∞）【解答】解：令x=0，可得y=；令y=0，可得x=﹣b，∴，b≠0，解得﹣2≤b≤2，且b≠0．故选：C．11．（5分）已知直线l过点（1，0），且倾斜角为直线l0：x﹣2y﹣2=0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为（）A．4x﹣3y﹣3=0 B．3x﹣4y﹣3=0 C．3x﹣4y﹣4=0 D．4x﹣3y﹣4=0【解答】解：由题意，直线x﹣2y﹣2=0的斜率为k=0.5，倾斜角为α，所以tanα=0.5，过点（1，0）的倾斜角为2α，其斜率为tan2α==，故所求直线方程为：y=（x﹣1），即4x﹣3y﹣4=0．故选：D．12．（5分）已知AC，BD为圆O：x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值为（）A．4 B．4 C．5 D．5【解答】解：设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，则d12+d22=OM2=3．四边形ABCD的面积为：S=AC•BD=•2•2=2•≤4﹣+4﹣=5，当且仅当d12 =d22时取等号，故选：C．二．填空题（20分）13．（5分）若正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为1．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC 中点，∴底面B1DC1的面积：=，A到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A﹣B1DC1的体积为：=1．故答案为：1．14．（5分）如图，直三棱柱ABC一A1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为．【解答】解：以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，由题意A1（1，0，0），B1（0，1，0），D（，0），C1（0，0，0），A（1，0，2），设F（0，1，t），0≤t≤2，=（，0），=（﹣1，1，﹣2），=（0，1，t），∵AB1⊥平面C1DF，∴，∴1﹣2t=0，解得t=．∴线段B1F的长为．故答案为：．15．（5分）经过两点A（﹣m，6）、B（1，3m）的直线的斜率是12，则m的值为﹣2．【解答】解：∵A（﹣m，6）、B（1，3m）的直线的斜率是12，∴k AB==12，∴m=﹣2．故答案为：﹣2．16．（5分）已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积，则直线y=（k﹣1）x+2的倾斜角α=．【解答】解：，当有最大半径时有最大面积，此时k=0，r=1，∴直线方程为y=﹣x+2，设倾斜角为α，则由tanα=﹣1且α∈[0，π）得．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，F是AB的中点，E 是PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）在PC上求一点G，使FG∥平面AEC，并证明你的结论．【解答】解：（1）证明：连接BD，设BD与AC的交点为O，连接EO．因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB．因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC．（2）PC的中点G即为所求的点．证明如下：连接GE，FG，∵E为PD的中点，∴GE CD．又F为AB的中点，且四边形ABCD为矩形，∴FA CD．∴FA GE．∴四边形AFGE为平行四边形，∴FG∥AE．又FG⊄平面AEC，AE⊂平面AEC，∴FG∥平面AEC．18．（12分）如图，S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA=SB=SC．D为斜边AC 的中点．（1）求证：SD⊥平面ABC；（2）若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC．【解答】证明：（1）如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点．∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA=SB，∴SE⊥AB．又SE∩DE=E，∴AB⊥平面SDE．又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD．在△SAC中，SA=SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC．又AC∩AB=A，∴SD⊥平面ABC．（2）由于AB=BC，则BD⊥AC，由（1）可知，SD⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC=D，∴BD⊥平面SAC．19．（12分）如图，在三棱锥ABCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求三棱锥DABC的体积．【解答】解：（1）证明：设BD的中点为O，连接AO，EO，∵AB=AD，∴AO⊥BD．又E为BC的中点，∴EO∥CD．∵CD⊥BD，∴EO⊥BD．又OA∩OE=O，∴BD⊥平面AOE．又AE⊂平面AOE，∴AE⊥BD．（2）由已知得三棱锥DABC与CABD的体积相等．∵CD⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，BD==2．=×BD×=．由已知得S△ABD∴三棱锥CABD的体积V CABD=×CD×S△ABD=．∴三棱锥DABC的体积为．20．（12分）已知M（m，n）为圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0上任意一点．（1）求m+2n的最大值；（2）求的最大值和最小值．【解答】解：（1）因为x2+y2﹣4x﹣14y+45=0的圆心C（2，7），半径r=2，设m+2n=t，将m+2n=t看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d=≤2，解上式得，16﹣2≤t≤16+2，所以所求的最大值为16+2．（2）记点Q（﹣2，3），因为表示直线MQ的斜率k，所以直线MQ的方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0．由直线MQ与圆C有公共点，得≤2．可得2﹣≤k≤2+，所以的最大值为2+，最小值为2﹣．21．（12分）已知圆O：x2+y2=4和点M（1，a），（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；（2）若，过点M的圆的两条弦AC．BD互相垂直，求AC+BD的最大值．【解答】解：（1）由条件知点M在圆O上，∴1+a2=4∴a=±当a=时，点M为（1，），k OM=，此时切线方程为：y﹣=﹣（x﹣1）即：x+y﹣4=0当a=﹣时，点M为（1，﹣），k OM=﹣，此时切线方程为：y+=（x﹣1）即：x﹣y﹣4=0∴所求的切线方程为：x+y﹣4=0或即：x﹣y﹣4=0（2）当AC的斜率为0或不存在时，可求得AC+BD=2（+）当AC的斜率存在且不为0时，设直线AC的方程为y﹣=k（x﹣1），直线BD的方程为y﹣=（x﹣1），由弦长公式l=2可得：AC=2BD=2∵AC2+BD2=4（+）=20∴（AC+BD）2=AC2+BD2+2AC×BD≤2（AC2+BD2）=40故AC+BD≤2即AC+BD的最大值为222．（10分）已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．（1）求圆C的方程；（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x 轴上且在直线l的右上方．设圆心C（a，0），则，解得a=0或a=﹣5（舍）．所以圆C：x2+y2=4．（2）如图，当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB．①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x﹣1），N（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），由，得到：（k2+1）x2﹣2k2x+k2﹣4=0，所以x1+x2=，x1x2=．②若x轴平分∠ANB，k AN=﹣k BN，所以：，整理得：2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0，解得：t=4．所以当点N为（4，0）时，能使得∠ANM=∠BNM总成立．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
2018年安徽省蚌埠市高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
2017-2018学年安徽省蚌埠市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）对于原命题：“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是（）A．逆命题为“周期函数不是单调函数”B．否命题为“单调函数是周期函数”C．逆否命题为“周期函数是单调函数”D．以上三者都不正确2．（5分）已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（﹣1）+g（1）=2，f（1）+g（﹣1）=4，则g（1）=（）A．4 B．3 C．2 D．13．（5分）设f（x）=x3+log2（x+），则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知函数f（x）=ax3+bsin x+4（a，b∈R），f[lg（log210）]=5，则f[lg （lg2）]=（）A．﹣5 B．﹣1 C．4 D．35．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x ﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内6．（5分）曲线在点M（，0）处的切线的斜率为（）A．B．C．D．7．（5分）对任意实数m，过函数f（x）=x2+mx+1图象上的点（2，f（2））的切线恒过一定点P，则P的坐标为（）A．（0，3） B．（0，﹣3）C．（，0）D．（﹣，0）8．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，若f（x）在区间（﹣1，0）上单调递减，则a2+b2的取值范围（）A．B． C．D．9．（5分）已知sin2（α+γ）=nsin2β，则=（）A． B． C． D．10．（5分）已知△ABC内接于单位圆，则长为sinA、sinB、sinC的三条线段（）A．能构成一个三角形，其面积大于△ABC面积的一半B．能构成一个三角形，其面积等于△ABC面积的一半C．能构成一个三角形，其面积小于△ABC面积的一半D．不一定能构成一个三角形二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）已知A={x|x3+3x2+2x＞0}，B={x|x2+ax+b≤0}且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B={x|x＞﹣2}，则a+b=．12．（5分）若当x∈（0，+∞）时，幂函数y=（m2﹣m﹣1）x﹣m+1为减函数，则m=．13．（5分）若函数f（x）=（x+a）3﹣（x﹣a）38﹣x﹣3a为偶函数，则实数a=．14．（5分）定义在R上奇函数y=f（x），当0≤x＜1时，f（x）=log（x+1），当x≥1时f（x）=1﹣|x﹣3|，则函数g（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为．15．（5分）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+4）=f （x）+f（2）成立，当x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有＞0，给出下列命题：（1）f（2）=0且T=4是函数f（x）的一个周期；（2）直线x=4是函数y=f（x）的一条对称轴；（3）函数y=f（x）在[﹣6，﹣4]上是增函数；（4）函数y=f（x）在[﹣6，6]上有四个零点．其中真命题的序号为（把所有正确命题的序号都填上）三、解答题（共75分）16．（12分）在△ABC中，2sin2﹣cos2C=1，三角形的外接圆半径R=2．（1）求C；（2）求S的最大值．△ABC17．（12分）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜．（1）求tan2α的值；（2）求β的值．18．（12分）已知函数f（x）=x+的定义域为（0，1]．（1）当a=1时，求函数y=f（x）的值域；（2）若函数y=f（x）在定义域上为增函数，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=sin2xcosφ+2cos2xsinφ﹣sinφ（0＜φ＜π）在x=处取得最值．（1）求函数f（x）的最小正周期及φ的值；（2）若数列{x n}是首项与公差均为的等差数列，求f（x1）+f（x2）+…+f（x2012）的值．20．（13分）已知函数f（x）=e ax，过A（a，0）作与y轴平行的直线交函数f（x）于点P，过P作f（x）的切线交x轴于点B，求△APB的面积的最小值．21．（14分）已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（2）求函数f（x）的极值；（3）当a=1时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．2017-2018学年安徽省蚌埠市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）对于原命题：“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是（）A．逆命题为“周期函数不是单调函数”B．否命题为“单调函数是周期函数”C．逆否命题为“周期函数是单调函数”D．以上三者都不正确【解答】解：对于原命题，可理解为：若一个函数是单调函数，则该函数不是周期函数；所以：逆命题，要逆过来说，将假设和结论调换．理解为：若一个函数不是周期函数，则该函数是单调函数；应该是：“不是周期函数的函数，就是单调函数”，A错否命题，就是否定原命题的假设和结论．理解为：若一个函数不单调，则该函数是周期函数；就是：“不单调的函数是周期函数”，B错逆否命题，就是将逆命题的假设和结论都否定．理解为：若一个函数是周期函数，则该函数不单调；应该是：“周期函数不是单调函数”，C错故选：D．2．（5分）已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（﹣1）+g（1）=2，f（1）+g（﹣1）=4，则g（1）=（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，方程f（﹣1）+g（1）=2，f（1）+g（﹣1）=4，化为：﹣f（1）+g（1）=2，f（1）+g（1）=4，两式相加可得2g（1）=6，所以g（1）=3．故选：B．3．（5分）设f（x）=x3+log2（x+），则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：f（x）=x3+log2（x+），f（x）的定义域为R∵f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x）．∴f（x）是奇函数∵f（x）在（0，+∞）上是增函数∴f（x）在R上是增函数a+b≥0可得a≥﹣b∴f（a）≥f（﹣b）=﹣f（b）∴f（a）+f（b）≥0成立若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a≥﹣b∴a+b≥0成立∴a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的充要条件．4．（5分）已知函数f（x）=ax3+bsin x+4（a，b∈R），f[lg（log210）]=5，则f[lg （lg2）]=（）A．﹣5 B．﹣1 C．4 D．3【解答】解：∵lg（log210）+lg（lg2）=lg1=0，∴lg（log210）与lg（lg2）互为相反数则设lg（log210）=m，那么lg（lg2）=﹣m令f（x）=g（x）+4，即g（x）=ax3+bsinx，此函数是一个奇函数，故g（﹣m）=﹣g（m），∴f（m）=g（m）+4=5，g（m）=1∴f（﹣m）=g（﹣m）+4=﹣g（m）+4=3．故选：D．5．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x ﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）=（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）=（b﹣c）（b ﹣a）＜0，f（c）=（c﹣a）（c﹣b）＞0，由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．故选：A．6．（5分）曲线在点M（，0）处的切线的斜率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵∴y'==y'|x==|x==故选：B．7．（5分）对任意实数m，过函数f（x）=x2+mx+1图象上的点（2，f（2））的切线恒过一定点P，则P的坐标为（）A．（0，3） B．（0，﹣3）C．（，0）D．（﹣，0）【解答】解：f（x）=x2+mx+1，f′（x）=2x+m．因为f（2）=2m+5，f′（2）=4+m，所以曲线y=f（x）在x=2处的切线方程为y﹣（2m+5）=（4+m）（x﹣2），即﹣mx+（y﹣4x+3）=0．故切线恒过定点P（0，﹣3）故选：B．8．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，若f（x）在区间（﹣1，0）上单调递减，则a2+b2的取值范围（）A．B． C．D．【解答】解：（1）依题意，f′（x）=3x2+2ax+b≤0，在（﹣1，0）上恒成立．只需要即可，也即，而a2+b2可视为平面区域内的点到原点的距离的平方，由点到直线的距离公式d2==，∴a2+b2的最小值为．则a2+b2的取值范围．故选：C．9．（5分）已知sin2（α+γ）=nsin2β，则=（）A． B． C． D．【解答】解：∵sin2（α+γ）=nsin2β，即：sin[（α+β+γ ）+（α﹣β+γ）]=nsin[（α+β+γ）﹣（α﹣β+γ）]，∴sin（α+β+γ）•cos（α﹣β+γ）+cos（α+β+γ）•sin（α﹣β+γ）=n[sin（α+β+γ）•cos （α﹣β+γ）﹣cos（α+β+γ）•sin（α﹣β+γ），∴（1﹣n）sin（α+β+γ）•cos（α﹣β+γ）=（﹣1﹣n）cos（α+β+γ）•sin（α﹣β+γ），∴tan（α+β+γ）•cot（α﹣β+γ）=，即=，故选：D．10．（5分）已知△ABC内接于单位圆，则长为sinA、sinB、sinC的三条线段（）A．能构成一个三角形，其面积大于△ABC面积的一半B．能构成一个三角形，其面积等于△ABC面积的一半C．能构成一个三角形，其面积小于△ABC面积的一半D．不一定能构成一个三角形【解答】解：设△ABC的三边分别为a，b，c利用正弦定理可得，∴a=2sinA，b=2sinB，c=2sinC∵a，b，c为三角形的三边∴sinA，sinB，sinC也能构成三角形的边，面积为原来三角形面积故选：C．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）已知A={x|x3+3x2+2x＞0}，B={x|x2+ax+b≤0}且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B={x|x＞﹣2}，则a+b=﹣3．【解答】解：∵A={x|x3+3x2+2x＞0}={x|﹣2＜x＜﹣1或x＞0}，设B=[x1，x2]，由A∩B={x|0＜x≤2}，知x2=2，且﹣1≤x1≤0，①由A∪B={x|x＞﹣2}，知﹣2≤x1≤﹣1．②由①②知x1=﹣1，x2=2，∴a=﹣（x1+x2）=﹣1，b=x1x2=﹣2，∴a+b=﹣3．故答案为：﹣3．12．（5分）若当x∈（0，+∞）时，幂函数y=（m2﹣m﹣1）x﹣m+1为减函数，则m=2．【解答】解：∵x∈（0，+∞）时，幂函数y=（m2﹣m﹣1）x﹣m+1为减函数，∴﹣m+1＜0，m2﹣m﹣1=1解得m=2，故答案为：213．（5分）若函数f（x）=（x+a）3﹣（x﹣a）38﹣x﹣3a为偶函数，则实数a=﹣5或2．．【解答】解：∵函数f（x）=（x+a）3a﹣2+a2﹣（x﹣a）38﹣x﹣3a为R上的偶函数∴f（a）=f（﹣a）即2a×3a﹣2+a2=﹣（﹣2a）×38﹣（﹣a）﹣3a即a﹣2+a2=8﹣2a即a2+3a﹣10=0即（a﹣2）（a+5）=0∴a=﹣5或a=2故答案为：﹣5或2．14．（5分）定义在R上奇函数y=f（x），当0≤x＜1时，f（x）=log（x+1），当x≥1时f（x）=1﹣|x﹣3|，则函数g（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为2a﹣1．【解答】解：∵当0≤x＜1时，f（x）=log（x+1），当x≥1时f（x）=1﹣|x ﹣3|，即x∈[0，1）时，f（x）=log（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a（0＜a＜1），与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，中间的一个根满足﹣log（x+1）=a，即x+1=，x=2a﹣1∴所有根的和为2a﹣1．故答案为：2a﹣1．15．（5分）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+4）=f （x）+f（2）成立，当x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有＞0，给出下列命题：（1）f（2）=0且T=4是函数f（x）的一个周期；（2）直线x=4是函数y=f（x）的一条对称轴；（3）函数y=f（x）在[﹣6，﹣4]上是增函数；（4）函数y=f（x）在[﹣6，6]上有四个零点．其中真命题的序号为（1），（2），（4）（把所有正确命题的序号都填上）【解答】解：根据题意，依次分析命题，对于（1），在f（x+4）=f（x）+f（2）中，令x=﹣2可得，f（2）=f（﹣2）+f（2），即f（﹣2）=0，又由函数y=f（x）是R上偶函数，则f（2）=f（﹣2）=0，而f（x+4）=f（x）+f（2），则有f（x+4）=f（x），即f（x）是以4为周期的函数，则（1）正确；对于（2），由（1）可得f（x）是以4为周期的函数，又由函数y=f（x）是R上偶函数，即f（x）的一条对称轴为y轴，即x=0，则直线x=4也是函数y=f（x）的一条对称轴，（2）正确；对于（3），由当x1，x2∈[0，2]，都有＞0，可得f（x）在[0，2]上为单调增函数，又由函数y=f（x）是R上偶函数，则f（x）在[﹣2，0]上为减函数，又由f（x）是以4为周期的函数，则函数y=f（x）在区间[﹣6，﹣4]上为减函数，（3）错误；对于（4），由（1）可得，f（2）=f（﹣2）=0，又由f（x）是以4为周期的函数，则f（﹣6）=f（﹣2）=0，f（4）=f（2）=0，即函数y=f（x）在区间[﹣6，6]上有四个零点，（4）正确；正确的命题为（1），（2），（4）故答案为（1），（2），（4）三、解答题（共75分）16．（12分）在△ABC中，2sin2﹣cos2C=1，三角形的外接圆半径R=2．（1）求C；（2）求S的最大值．△ABC【解答】解：（1）∵在△ABC中，已知2sin2﹣cos2C=1，∴由三角函数公式可得1﹣cos（A+B）﹣cos2C=1，∵A+B+C=π，∴cos（A+B）=﹣cosC，∴2cos2C﹣cosC﹣1=0，解得cosC=1（舍），或cosC=﹣，∵C∈（0，π），∴C=；（2）由正弦定理可得=2R=4，∴c=4sinC=4×=2，由余弦定理可得12=c2=a2+b2﹣2abcosC≥2ab+ab=3ab，当且仅当a=b=2时取等号，∴ab≤4，=absinC≤×4×=．∴S△ABC故△ABC面积的最大值为．17．（12分）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜．（1）求tan2α的值；（2）求β的值．【解答】解：（1）由cosα=，0＜α＜，得sinα==，所以tanα==4，tan2α==﹣．（2）由0＜β＜α＜，cos（α﹣β）=＞0得0＜α﹣β＜，所以sin（α﹣β）==，于是cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=×+×=，所以β=．18．（12分）已知函数f（x）=x+的定义域为（0，1]．（1）当a=1时，求函数y=f（x）的值域；（2）若函数y=f（x）在定义域上为增函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x+，且x≠0，则f′（x）=1﹣=，令f′（x）=0，解得x=，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（，1]时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min=f（）=+=，当x→0时，f（x）→+∞，故函数的值域为[，+∞），（2）∵f（x）=x+的定义域为（0，1]，∴f′（x）=1﹣≥0在（0，1]恒成立，∴a≤2x2在（0，1]恒成立，∵y=2x2在（0，1]单调递增，∴2x2＞0∴a≤0，故a的取值范围为（﹣∞，0]19．（12分）已知函数f（x）=sin2xcosφ+2cos2xsinφ﹣sinφ（0＜φ＜π）在x=处取得最值．（1）求函数f（x）的最小正周期及φ的值；（2）若数列{x n}是首项与公差均为的等差数列，求f（x1）+f（x2）+…+f（x2012）的值．【解答】解：（1）f（x）=sin2xcosφ+2cos2xsinφ﹣sinφ=sin2xcosφ+cos2xsinφ=sin （2x+φ），由已知得π+φ=kπ+，k∈Z，又0＜φ＜π，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+）=cos2x，∴ω=2，则T==π．（2）由已知得x n=，∴f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）=0，又∵y=cos的周期为4，∴f（x1）+f（x2）+…+f（x2011）+f（x2012）=f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）=0．20．（13分）已知函数f（x）=e ax，过A（a，0）作与y轴平行的直线交函数f（x）于点P，过P作f（x）的切线交x轴于点B，求△APB的面积的最小值．【解答】解：∵AP∥y轴，A（a，0），∴P（a，f（a））即（a，），又f（x）=e ax（a＞0）的导数f′（x）=ae ax，∴过P的切线斜率k=a，设B（r，0），则k=a，∴r=a﹣，即B（a﹣，0），AB=a﹣（a﹣）=，∴△APB的面积为S=，导数S′=，由S′=0得a=，当a＞时，S′＞0，当0＜a＜时，S′＜0，∴a=为极小值点，也为最小值点，∴△APB的面积的最小值为=．21．（14分）已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（2）求函数f（x）的极值；（3）当a=1时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．【解答】解：（1）由，得f′（x）=1﹣，∴f′（1）=1﹣，由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，得，即a=e；（2）由f′（x）=1﹣，知若a≤0，则f′（x）＞0，函数f（x）在实数集内为增函数，无极值；若a ＞0，由f′（x ）=1﹣=0，得x=lna ，当x ∈（﹣∞，lna ）时，f′（x ）＜0，当x ∈（lna ，+∞）时，f′（x ）＞0． ∴f （x ）在（﹣∞，lna ）上单调递减，在（lna ，+∞）上单调递增； （3）当a=1时，f （x ）=x ﹣1+，令g （x ）=f （x ）﹣（kx ﹣1）=（1﹣k ）x +，则直线l ：y=kx ﹣1与曲线y=f （x ）没有公共点， 等价于方程g （x ）=0在R 上没有实数解． 假设k ＞1，此时g （0）=1＞0，g （）=﹣1+＜0，又函数g （x ）的图象连续不断，由零点存在定理可知g （x ）=0在R 上至少有一解，与“方程g （x ）=0在R 上没有实数解”矛盾，故k ≤1． 又k=1时，g （x ）=＞0，知方程g （x ）=0在R 上没有实数解．∴k 的最大值为1．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,mna a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。
【数学】2017-2018年安徽省蚌埠一中高三(上)期中数学试卷与答案(理科)
2017-2018学年安徽省蚌埠一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，每小题只有一个正确答案，请将答案填写至答题卷的相应位置）1．（5分）已知集合M={x|x2≥x}，N={y|y=3x+1，x∈R}，则M∩N=（）A．{x|x＞1}B．{x|x≥1}C．{x|x≤0或x＞1}D．{x|0≤x≤1}2．（5分）计算：=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i3．（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时为减函数，且f（2）=0，则{x|f（x﹣2）＜0}=（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|0＜x＜2或x＞2} D．{x|0＜x＜2或x＞4}4．（5分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，2a7﹣a8=5，则S11为（）A．110 B．55 C．50 D．不能确定5．（5分）已知p：幂函数y=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上单调递增；q：|m ﹣2|＜1，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不要条件6．（5分）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度7．（5分）设点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上，则z=x2+y2﹣2x+1的最小值为（）A．1 B．C．4 D．8．（5分）函数f（x）=（x﹣1）ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．+1 B．+3 C．+1 D．+310．（5分）设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点F1，F2，若P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x11．（5分）已知函数f′（x）是函数f（x）的导函数，f（1）=，对任意实数都有f（x）﹣f′（x）＞0，则不等式f（x）＜e x﹣2的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，e）C．（1，e） D．（e，+∞）12．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，请将答案直接填写至答题卷的相应位置）13．（5分）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则DX=．14．（5分）设，则（x﹣）6的展开式中的常数项为．15．（5分）已知函数，若正实数a，b满足f（4a）+f（b﹣9）=0，则的最小值为．16．（5分）给出下列命题中①非零向量，满足||=||=||，则与的夹角为30°；②＞0是，的夹角为锐角的充要条件；③若2=则△ABC必定是直角三角形；④△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若=2，且||=||，则向量在向量方向上的投影为．以上命题正确的是（注：把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知p：（x+1）（x﹣5）≤0，q：1﹣m≤x≤1+m（m＞0）（1）若p是q的充分条件，求m范围．（2）若m=5，“p∨q”为真，“p∧q”为假，求x范围．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：PA⊥平面CDM；（Ⅱ）求二面角D﹣MC﹣B的余弦值．19．（12分）某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试．已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响．（Ⅰ）求甲通过自主招生初试的概率；（Ⅱ）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；（Ⅲ）记甲答对试题的个数为X，求X的分布列及数学期望．20．（12分）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．21．（12分）已知椭圆C：的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M、N两点，△MNF2的面积为，椭圆C 的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P（P不与原点O重合），与椭圆C交于A，B两个不同的点，使得，求m的取值范围．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明：（1）（a+b）（a5+b5）≥4；（2）a+b≤2．2017-2018学年安徽省蚌埠一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，每小题只有一个正确答案，请将答案填写至答题卷的相应位置）1．（5分）已知集合M={x|x2≥x}，N={y|y=3x+1，x∈R}，则M∩N=（）A．{x|x＞1}B．{x|x≥1}C．{x|x≤0或x＞1}D．{x|0≤x≤1}【解答】解：由M中不等式变形得：x（x﹣1）≥0，解得：x≤0或x≥1，即M={x|x≤0或x≥1}，由N中y=3x+1＞1，得到N={x|x＞1}，则M∩N={x|x＞1}，故选：A．2．（5分）计算：=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i【解答】解：===2，故选：A．3．（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时为减函数，且f（2）=0，则{x|f（x﹣2）＜0}=（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|0＜x＜2或x＞2} D．{x|0＜x＜2或x＞4}【解答】解：∵f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（2）=0，∴当0＜x＜2时，f（x）＞0，当x＞2时，f（x）＜0，又f（x）是奇函数，∴当x＜﹣2时，f（x）＞0，当﹣2＜x＜0时，f（x）＜0，∵f（x﹣2）＜0，∴x﹣2＞2或﹣2＜x﹣2＜0，解得0＜x＜2或x＞4．故选：D．4．（5分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，2a7﹣a8=5，则S11为（）A．110 B．55 C．50 D．不能确定【解答】解：2a7﹣a8=2（a1+6d）﹣（a1+7d）=a1+5d=a6=5，∴．故选：B．5．（5分）已知p：幂函数y=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上单调递增；q：|m ﹣2|＜1，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不要条件【解答】解：p：幂函数y=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上单调递增；∴m2﹣m﹣1=1，m＞0，解得m=2．q：|m﹣2|＜1，解得1＜m＜3．则p是q的充分不必要条件．故选：A．6．（5分）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：=，故把的图象向左平移个单位，即得函数的图象，即得到函数的图象．故选：C．7．（5分）设点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上，则z=x2+y2﹣2x+1的最小值为（）A．1 B．C．4 D．【解答】解：作出不等式组表对应的平面区域，z=x2+y2﹣2x+1=（x﹣1）2+y2，则z的几何意义是区域内的点到点D（1，0）的距离的平方，由图象知D到直线2x﹣y=0的距离最小，此时d==，故选：D．8．（5分）函数f（x）=（x﹣1）ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：当x＞1时，f（x）=（x﹣1）lnx＞0，故排除C，D，当0＜x＜1时，x﹣1＜0，lnx＜0，∴f（x）=（x﹣1）lnx＞0，故排除B故选：A．9．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．+1 B．+3 C．+1 D．+3【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体的体积为××π×12×3+××××3=+1，故选：A．10．（5分）设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点F1，F2，若P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，设F1（﹣c，0），F2（c，0），则|F1P|=，∵F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三个顶点，∴=2c，∴c2+4b2=4c2，∴c2+4（c2﹣a2）=4c2，∴c2=4a2，即c=2a，b==a，∴双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：B．11．（5分）已知函数f′（x）是函数f（x）的导函数，f（1）=，对任意实数都有f（x）﹣f′（x）＞0，则不等式f（x）＜e x﹣2的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，e）C．（1，e） D．（e，+∞）【解答】解：根据题意，设g（x）=，其导数g′（x）==，又由f（x）对任意实数都满足f（x）﹣f′（x）＞0，则g′（x）＜0，则函数g（x）在R上为减函数，又由f（1）=，则g（1）==，f（x）＜e x﹣2⇒＜⇒g（x）＜g（1），又由函数g（x）在R上为减函数，则g（x）＜g（1）⇒x＞1，即不等式的解集为（1，+∞）；故选：A．12．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），则•（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，故选：B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，请将答案直接填写至答题卷的相应位置）13．（5分）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则DX= 1.96．【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96．故答案为：1.96．14．（5分）设，则（x﹣）6的展开式中的常数项为﹣160．【解答】解：∵=（x3﹣cosx）=（1﹣cos1）﹣（﹣1﹣cos（﹣1））=2，∴（x﹣）6即，∴=（﹣2）r x6﹣2r，令6﹣2r=0，得r=3，∴（x﹣）6的展开式中的常数项为：=﹣160．故答案为：﹣160．15．（5分）已知函数，若正实数a，b满足f（4a）+f（b﹣9）=0，则的最小值为1．【解答】解：根据题意，对于函数，则有=﹣=﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，y=x+sinx的导数为y′=1+cosx≥0，函数y单调递增，又=1﹣在R上递增，则f（x）在R上递增，若正实数a，b满足f（4a）+f（b﹣9）=0，必有4a+b=9，则=（4a+b）（）=（5++）≥（5+4）=1；即的最小值为1；故答案为：1．16．（5分）给出下列命题中①非零向量，满足||=||=||，则与的夹角为30°；②＞0是，的夹角为锐角的充要条件；③若2=则△ABC必定是直角三角形；④△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若=2，且||=||，则向量在向量方向上的投影为．以上命题正确的是①③④（注：把你认为正确的命题的序号都填上）【解答】解：对于①，非零向量，满足||=||=||，则以、为邻边的平行四边形，是夹角为60°的菱形，∴与+的夹角为30°，①正确；对于②，＞0时，，的夹角为锐角，或、同向共线，∴是必要不充分条件，②错误；对于③，2==•﹣•+•=•（﹣）+•=•（﹣）+•=+•∴•=0∴⊥，△ABC是直角三角形，③正确；对于④，如图，取BC边的中点D，连接AD，则：+=2=2，∴O和D重合，O是△ABC外接圆圆心，∴||=；∴∠BAC=90°，∠BOA=120°，∠ABO=30°；又|OA|=|OB|=1，∴||=；∴向量在向量方向上的投影为||cos∠ABO=×cos30°=，④正确；综上，正确的命题是①③④．故答案为：①③④．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知p：（x+1）（x﹣5）≤0，q：1﹣m≤x≤1+m（m＞0）（1）若p是q的充分条件，求m范围．（2）若m=5，“p∨q”为真，“p∧q”为假，求x范围．【解答】解：p：（x+1）（x﹣5）≤0，化为：﹣1≤x≤5．q：1﹣m≤x≤1+m（m＞0）．（1）p是q的充分条件，则，等号不同时成立，解得m≥4．（2）m=5，q：﹣4≤x≤6．“由p∨q”为真，“p∧q”为假，可得p与q必然一真一假．∴，或．解得∅或﹣4≤x≤﹣1或5＜x≤6．∴x的取值范围是[﹣4，﹣1]∪（5，6]．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：PA⊥平面CDM；（Ⅱ）求二面角D﹣MC﹣B的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取DC的中点O，由△PDC是正三角形，有PO⊥DC，又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC建立空间直角坐标系如图，则A（，0，0），P（0，0，），D（0，1，0），B（，2，0），C（0，1，0），∵M为PB中点，∴M（，1，），∴=（，2，），=（），=（0，2，0），∴==0，=0，∴PA⊥DM，PA⊥DC∵DM∩DC=D，∴PA⊥平面DMC．解：（Ⅱ）=（），=（），令平面BMC的法向量=（x，y，z），则，取x=﹣1，得=（﹣1，），由（Ⅰ）知平面CDM的法向量可取，∴cos＜＞===﹣．∴所求二面角D﹣MC﹣B的余弦值为﹣．19．（12分）某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试．已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响．（Ⅰ）求甲通过自主招生初试的概率；（Ⅱ）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；（Ⅲ）记甲答对试题的个数为X，求X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，在这8个试题中甲能答对6个，∴甲通过自主招生初试的概率．…（3分）（Ⅱ）参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试．在这8个试题中乙能答对每个试题的概率为，∴乙通过自主招生初试的概率；∵，∴甲通过自主招生初试的可能性更大．…（7分）（Ⅲ）依题意，X的可能取值为2，3，4，，，，∴X的概率分布列为：∴．…（12分）20．（12分）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得，而b1=2，所以q2+q﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8．由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，{b n}的通项公式为．（Ⅱ）解：设数列{a2n b n}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，有，，上述两式相减，得=．得．所以，数列{a2n b n}的前n项和为（3n﹣4）2n+2+16．21．（12分）已知椭圆C：的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M、N两点，△MNF2的面积为，椭圆C 的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P（P不与原点O重合），与椭圆C交于A，B两个不同的点，使得，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据已知椭圆C的焦距为2c，当y=c时，，由题意△MNF2的面积为，由已知得，∴b2=1，∴a2=4，∴椭圆C的标准方程为=1．﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由得（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4=0，∴，，﹣﹣﹣（6分）由已知得△=4m2k2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，即k2﹣m2+4＞0，由，得﹣x1=3x2，即x1=﹣3x2，∴，﹣﹣﹣（8分）∴，即m2k2+m2﹣k2﹣4=0．当m2=1时，m2k2+m2﹣k2﹣4=0不成立，∴，﹣﹣﹣（10分）∵k2﹣m2+4＞0，∴＞0，即，∴1＜m2＜4，解得﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2．综上所述，m的取值范围为{m|﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2}．﹣﹣﹣（12分）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去t得，即4x+3y﹣2=0．曲线C：，即ρ=2cosθ+2sinθ，又，ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．故曲线C：x2+y2﹣2x﹣2y=0．（Ⅱ）直线l的参数方程为（t为参数）⇒直线l的参数方程为（t′为参数），代入曲线C：x2+y2﹣2x﹣2y=0，消去x，y得t/2+4t′+3=0，由参数t′的几何意义知，．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2．证明： （1）（a +b ）（a 5+b 5）≥4； （2）a +b ≤2．【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a +b ）（a 5+b 5）≥（a•a 5+b•b 5）2=（a 3+b 3）2=4，当且仅当ab 5=ba 5，即a=b=1时取等号； （2）∵a 3+b 3=2，∴（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）=2， ∴（a +b ）[（a +b ）2﹣3ab ]=2， ∴（a +b ）3﹣3ab （a +b ）=2， ∴=ab ，由均值不等式可得：=ab ≤（）2，∴（a +b ）3﹣2≤，∴（a +b ）3≤2，∴a +b ≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xxx x(q)0x则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
最新-安徽省蚌埠二中18—18学年高二数学上学期期中考
蚌埠二中2018—2018学年第一学期期中考试高二数学试题（理科）（试卷分值：150分 考试时间：120分钟 ）注意事项：第Ⅰ卷所有选择题的答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置、第Ⅱ卷的答案做在答题卷的相应位置上，否则不予计分。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1. 设α、β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是 A ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ B ．若//,//,l ααβ则l β⊆ C ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊆ D ．若//,,l ααβ⊥则l β⊥2. 对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与lA ．平行B ．相交C ．垂直D ．异面 3. 在正方体1111ABCD A BC D -中与三条棱1AB AA AD 、、所在直线的距离相等的点 A ．有且只有1个 B ．有且只有2个 C ．有且只有3个 D ．有无数个 4. 已知某一几何体的正(主)视图与侧(左)视图如图，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有A ．①②④ B．②③④ C．①③④ D ．①②③④ 5. 用长宽分别是3π和2π的一张矩形铁片卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面半径是32 D.32或1 6. 已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，.则下列结论不正确．．．的是A. //CD 平面PAFB.CF ⊥平面PADC. //CF 平面PABD.DF ⊥平面PAF 7. 有下列命题：①在空间中，若//,//,OA O A OB O B AOB A O B '''''''∠=∠则； ②直角梯形是平面图形； ③{正四棱柱}⊆{长方体}；④在四面体P ABC -中，PA BC ⊥，PB AC ⊥，则点A 在平面PBC 内的射影恰为PBC ∆的垂心， 其中真命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．48. 在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1:9，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为A ．B ．1:2C ．1:8D ． 1:269．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的表面积为Ａ．1Ｂ．1+C. 4510.已知球O 为棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为A ．6πB ．3π C第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，满分25分)11. 已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长是3，点M N 、分别是棱1AB AA 、的中点，则异面直线MN 与1BC 所成的角是12. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,1,2，则此球的表面积为13. 如下图（左）所示，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1cm ，高为8cm ，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A 点的最短路线的长为______cm .14. 如上图（右）所示，在90C ∠= ，30A ∠= ，BC =，在三角形内ABC ∆中，挖去半圆(圆心O 在边AC 上，半圆分别与BC AB 、相切于点C M 、，与AC 交于点N )，则图中阴影部分绕直线AC 旋转一周所得旋转体的体积为________． 15. 一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P (图1)，如果将容器倒置，水面也恰好过点P (图2)．有下列四个命题：① 正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半；② 将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P ； ③ 实心装饰块的体积与水的体积相等；④ 若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满．其中真命题的代号是________(写出所有真命题的代号)．三、解答题（本大题6小题，满分75分）16．（本题12分）如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，AB 为 圆O 的直径，圆柱的侧面积为16π，2OA =，120AOP ∠=. 试求三棱锥1A APB -的体积.17．（本题12分）在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -中,E 是线段11AC 的中点,AC BD F = . （1）求证:平面1BCE ∥平面1A BD ； （2）求三棱锥1D A BC -的表面积.18．（本题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA AD =，点E 在CD 上移动，试在PD 上找一点F ，使得PE ⊥AF ，并证明你的结论．19．（本题12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，11AA AB ==. （１）求证：1AC ∥平面1AB D ； （２）求点C 到平面1AB D 的距离.20（本题13分）如图，在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是矩形， 侧棱VA ⊥底面ABCD ，E F G 、、分别为VA VB VC 、、的中点． ( 1 ) 求证：平面EFG ∥平面VCD ；( 2 ) 若二面角V BC A --、V DC A --依次为45 、30，1VA =，求直线VB 与平面EFG 所成的角的正弦值．1A 1AFED 1C 1B 1A 1DCBA21．（本题14分）如图，某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作：先在地平面α内作菱形ABCD ，边长为1，60BAD ∠= ，再在α的上侧，分别以ABD ∆与CBD ∆为底面安装上相同的正棱锥P ABD -与Q CBD -，90APB ∠= ．（1）求证：PQ BD ⊥；（2）求二面角P BD Q --的余弦值；（3）求点P 到平面QBD 的距离.蚌埠二中2018-2018学年高二第一学期期中考试数学（理科）参考答案一选择题1.A2.C3.D4.D5.D6.B7.C8. D9.D 10. A 二填空题 11．3π 12. 6π 13. 10 14. 53π 15 . ②④ 三解答题16. （本题12分） （1）由题意1=416S AA ππ=侧，解得14AA =.在AOP ∆中，02,120OA OP AOP ==∠=，所以AP =在BOP ∆中，02,60OB OP BOP ==∠=，所以2BP =1113A APB APB V S AA -∆=⋅ 1124323=⋅⋅⋅=17.（本题12分）(1)证明：连接1A F ，因为111111////AA BB CC AA BB CC ==，， 所以11ACC A 为平行四边形， 因此1111//AC AC AC AC =，， 由于E 是线段11AC 的中点， 所以1//CE FA ，又11//B C A D 所以1BCE ∥平面1A BD .(2)1A BD ∆的正三角形，其面积为21)S ==因为BC ⊥平面11A B BA ，所以1BC A B ⊥，所以1A BC ∆是直角三角形，其面积为22122S a a =⋅=，同理1ACD ∆的面积为2322S S a ==， BCD ∆面积为2412S a =. 所以三棱锥1D A BC -的表面积为2123412S S S S S a +=+++=.18.（本题12分） 证明：F 是PD 的中点∵PA⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD⊥PA ∵ABCD 是矩形，∴CD⊥AD∵PA∩AD＝A ，∴CD⊥平面PAD∵F 是PD 上的点，AF ⊂平面PAD ，∴AF⊥DC ∵PA＝AD ，点F 是PD 的中点，∴AF⊥PD 又CD∩PD＝D ，∴AF⊥平面PDC ∵PE ⊂平面PDC ，∴PE⊥AF.19. （本题12分）（１）证明：连接A 1B ，设A 1B∩AB 1 = E ，连接DE. ∵ABC—A 1B 1C 1是正三棱柱，且AA 1 = AB ，∴四边形A 1ABB 1是正方形，∴E 是A 1B 的中点， 又D 是BC 的中点，∴DE∥A 1C.∵DE ⊂平面AB 1D ，A 1C ⊄平面AB 1D ， ∴A 1C∥平面AB 1D.（２）解：∵平面B 1BCC 1⊥平面ABC ，且AD⊥BC， ∴AD⊥平面B 1BCC 1，又AD ⊂平面AB 1D ， ∴平面B 1BCC 1⊥平面AB 1D.在平面B 1BCC 1内作CH⊥B 1D 交B 1D 的延长线于点H ， 则CH 的长度就是点C 到平面AB 1D 的距离. 由△CDH∽△B 1DB ，得.5511=⋅=D B CD BB CH即点C 到平面AB 1D 的距离是.5520. （本题13分）解： (1)∵E、F 、G 分别为VA 、VB 、BC 的中点， ∴EF∥AB，FG∥VC，又ABCD 是矩形，∴AB∥CD，∴EF∥CD， 又∵EF ⊄平面VCD ，FG ⊄平面VCD ， ∴EF∥平面VCD ，FG∥平面VCD ，又EF∩FG＝F ，∴平面EFG∥平面VCD.(2)∵VA⊥平面ABCD ，CD⊥AD，∴CD⊥VD. 则∠VDA 为二面角V －DC －A 的平面角， ∴∠VDA＝30°.同理∠VBA ＝45°.作AH⊥VD，垂足为H ，由上可知CD⊥平面VAD ，则AH⊥平面VCD. ∵AB∥平面VCD ，∴AH 即为B 到平面VCD 的距离．由(1)知，平面EFG∥平面VCD ，则直线VB 与平面EFG 所成的角等于直线VB 与平面VCD 所成的角，记这个角为θ.∵AH＝VAsin60°＝32VA ，VB ＝2VA ，∴sin θ＝AH VB ＝6421．（本题14分）. （1）由P-ABD ，Q-CBD 是相同正三棱锥，可知△PBD 与△QBD 是全等等腰△．取BD 中点E ，连结PE 、QE ，则BD⊥PE，BD⊥QE．故BD⊥平面PQE ，从而BD⊥PQ． （2）由（1）知∠PEQ 是二面角P-BD-Q 的平面角，作PM⊥平面α，垂足为M ， 作QN⊥平面α，垂足为N ，则PM∥QN，M 、N 分别是正△ABD 与正△BCD 的中心， 从而点A 、M 、E 、N 、C 共线，PM 与QN 确定平面PACQ ，且PMNQ 为矩形． 可得ME ＝NE ＝63，PE ＝QE ＝21，PQ ＝MN ＝33，∴cos∠PEQ＝312222=-+⋅QE PE PQ QE PE （3）由（1）知BD⊥平面PEQ ．设点P 到平面QBD 的距离为h ，则 h h S V Q B D QBDP 12131==⋅⋅∆- ∴ 362)31(1241sin 241312=-=∠==∆-PEQ BD S V PED QBD P ． ∴ 362121=h ．∴ 32=h ．。
2017-2018年安徽省蚌埠市高二上学期期中数学试卷及答案(理科)
2017-2018学年安徽省蚌埠市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）充满气的车轮内胎（不考虑胎壁厚度）可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是（）A．B．C． D．2．（5分）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）A．B．C．D．3．（5分）下列命题中正确的是（）A．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直B．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行C．经过平面外一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．经过平面外一点有且只有一平面与已知平面垂直4．（5分）圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是5，则它的侧面积是（）A．πB．5πC．10πD．20π5．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥的体积为（）A．24 B．16 C．12 D．86．（5分）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行7．（5分）以下四个命题中，正确命题的个数是（）①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1 C．2 D．38．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个结论中正确的是（）A．直线MN与DC1互相垂直B．直线AM与BN互相平行C．直线MN与BC1所成角为90°D．直线MN垂直于平面A1BCD19．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α10．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°11．（5分）已知直线a，b，c及平面α，β，下列条件中，能使a∥b成立的是（）A．a∥α，b⊆α B．a∥α，b∥α C．a∥c，b∥c D．a∥α，α∩β=b12．（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（）A．B．8πC．D．4π二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若长方体的长、宽、高分别为3，4，5，则这个长方体的对角线长为．14．（5分）点P（1，1，﹣2）关于xoy平面的对称点的坐标是．15．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为．16．（5分）下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是三、解答题（共5小题，满分70分）17．（12分）已知=（1，5，﹣1），=（﹣2，3，5）．（1）若（k）∥（﹣3），求k；（2）若（k）⊥（﹣3），求k．18．（14分）已知四棱锥P﹣ABCD如图1所示，其三视图如图2所示，其中正视图和侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形．（1）若E是PD的中点，求证：AE⊥平面PCD；（2）求此四棱锥的表面积．19．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB 中点，过A、N、D三点的平面交PC于M．求证：（1）PD∥平面ANC；（2）M是PC中点．20．（15分）已知四棱锥S﹣ABCD，底面为正方形，SA⊥底面ABCD，AB=AS=a，M，N分别为AB，AS中点．（1）求证：BC⊥平面SAB；（2）求证：MN∥平面SAD；（3）求四棱锥S﹣ABCD的表面积．21．（15分）如图，在四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱VA⊥底面ABCD，E、F、G分别为VA、VB、BC的中点．（1）求证：平面EFG∥平面VCD；（2）当二面角V﹣BC﹣A、V﹣DC﹣A分别为45°、30°时，VA=1，求直线VB与平面EFG所成的角．2017-2018学年安徽省蚌埠市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）充满气的车轮内胎（不考虑胎壁厚度）可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是（）A．B．C． D．【解答】解：根据题意，可得A、D项中的图形，在旋转一周后构成的图形是球，不符合题意．当B、C项中的图象围绕圆外的一条铅垂线旋转时，可以构成环柱面，即车轮胎的形状，但是由于题中不考虑胎壁厚度，所以B项不符合题意，因此可得只有C项是正确的．故选：C．2．（5分）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）A．B．C．D．【解答】解：根据斜二测画法知，平行于x轴的线段长度不变，平行于y的线段变为原来的，∵O′C′=1，O′A′=，∴OC=O′C′=1，OA=2O′A′=2；由此得出原来的图形是A．故选：A．3．（5分）下列命题中正确的是（）A．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直B．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行C．经过平面外一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．经过平面外一点有且只有一平面与已知平面垂直【解答】解：对于A，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线平行，与两直线交于一点矛盾，故正确；对于B，经过平面外一点有无数条直线与已知平面平行，它们在该平面的一个平行平面内，故错；对于C，经过平面外一点有无数条直线与已知直线垂直，它们在该直线的一个垂面内，故错；对于D，经过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直，故错；故选：A．4．（5分）圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是5，则它的侧面积是（）A．πB．5πC．10πD．20π【解答】解：∵圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是5，∴圆柱的母线长为，底面圆的直径为，∴圆柱的侧面积S=π××=5π．故选：B．5．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥的体积为（）A．24 B．16 C．12 D．8【解答】解：由题意可知几何体为如图所示的四棱锥：棱锥的底面是边长为：2，3的矩形，棱锥的高为4，四棱锥的体积为：=8．故选：D．6．（5分）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【解答】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C 正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选：C．7．（5分）以下四个命题中，正确命题的个数是（）①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性，若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c可能异面④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上，空间四边形的四个定点就不共面．故选：B．8．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个结论中正确的是（）A．直线MN与DC 1互相垂直B．直线AM与BN互相平行C．直线MN与BC1所成角为90°D．直线MN垂直于平面A1BCD1【解答】解：在A中：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C 的中点，∴MN∥D1C，在B中：∵D1C⊥DC1，∴直线MN与DC1互相垂直，故A正确；取DD1中点E，连结AE，则BN∥AE，由AE∩AM=A，得直线AM与BN相交，故B错误；在C中：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则M（0，1，2），N（0，2，1），B（2，2，0），C1（0，2，2），=（0，1，﹣1），=（﹣2，0，2），cos＜＞===﹣，∴直线MN与BC1所成角为60°，故C错误；在D中：∵=（0，1，﹣1），A1（2，0，2），=（0，2，﹣2），∴∥，∵MN⊄平面A1BCD1，A1B⊂平面A1BCD1，∴MN∥平面A1BCD1，故D错误．故选：A．9．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α【解答】解：对于A，由n∥α可知存在直线m⊂α，故当m为α内与n垂直的直线时，显然m⊥n，m⊂α，故A错误；对于B，设α∩β=a，则当m为α内与a平行的直线时，m∥β，m⊂α，故B错误；对于C，m⊥β，n⊥β，得到m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，故C正确；对于D，设α∩β=a，则当m为β内与a平行的直线时，m∥α，故D错误．故选：C．10．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则A1（2，0，2），M（0，1，0），D（0，0，0），N（0，2，1），=（﹣2，1，﹣2），=（0，2，1），设异面直线A1M与DN所成角为θ，则cosθ==0，∴θ=90°．∴异面直线A1M与DN所成角的大小为90°．故选：D．11．（5分）已知直线a，b，c及平面α，β，下列条件中，能使a∥b成立的是（）A．a∥α，b⊆α B．a∥α，b∥α C．a∥c，b∥c D．a∥α，α∩β=b【解答】解：由直线a，b，c及平面α，β，知：在A中，a∥α，b⊆α，则a与b平行或异面，故A错误；在B中，a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故B错误；在C中，a∥c，b∥c，由平行公理得a∥b，故C正确；在D中，a∥α，α∩β=b，则a与b平行或异面，故D错误．故选：C．12．（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（）A．B．8πC．D．4π【解答】解：球的截面圆的半径为：π=πr2，r=1球的半径为：R=所以球的表面积：4πR2=4π×=8π故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若长方体的长、宽、高分别为3，4，5，则这个长方体的对角线长为．【解答】解：∵长方体的长、宽、高分别为3，4，5，∴长方体的对角线长为=故答案为：14．（5分）点P（1，1，﹣2）关于xoy平面的对称点的坐标是（1，1，2）．【解答】解：点P（1，1，﹣2）关于xoy平面的对称点，纵横坐标不变，竖坐标变为相反数，即所求的坐标（1，1，2），故答案为：（1，1，2）．15．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为90°．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0），=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），设异面直线A1E与GF所成角为θ，cosθ=|cos＜＞|==0，∴异面直线A1E与GF所成角为90°．故答案为：90°．16．（5分）下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是①④【解答】解：①连结BC，则平面ABC∥平面MNP，所以AB∥平面MNP．所以①正确．②取底面正方形对角线的中点O，则ON∥AB，所以AB与面PMN相交，不平行，所以②不合适．③AB与面PMN相交，不平行，所以③不合适．④因为AB∥NP，所以AB∥平面MNP．所以④正确．故答案为：①④．三、解答题（共5小题，满分70分）17．（12分）已知=（1，5，﹣1），=（﹣2，3，5）．（1）若（k）∥（﹣3），求k；（2）若（k）⊥（﹣3），求k．【解答】解：因为=（1，5，﹣1），=（﹣2，3，5）．∴（1）k=（k﹣2，5k+3，﹣k+5），﹣3=（7，﹣4，﹣16），由（k）∥（﹣3），得到，解得k=；（2）若（k）⊥（﹣3），则7（k﹣2）﹣4（5k+3）﹣16（5﹣k）=0，解得k=．18．（14分）已知四棱锥P﹣ABCD如图1所示，其三视图如图2所示，其中正视图和侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形．（1）若E是PD的中点，求证：AE⊥平面PCD；（2）求此四棱锥的表面积．【解答】解：（1）证明：由三视图可知，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA，∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD，又PA∩AD=A，PA⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面PAD，∵AE⊂平面PAD，∴AE⊥CD，又△PAD是等腰直角三角形，E为PD的中点，∴AE⊥PD，又PD∩CD=D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD．…（7分）（2）解：由题意可知，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，其面积S ABCD=2×2=4，高h=2，∴四棱锥P﹣ABCD的表面积S=2×2+×2×2+×2×2+×2×2+×2×2=8+4．…（13分）19．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB 中点，过A、N、D三点的平面交PC于M．求证：（1）PD∥平面ANC；（2）M是PC中点．【解答】证明：（1）连结BD，AC，设AC∩BD=O，连结NO，∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，在△PBD中，N是PB的中点，∴PD∥NO，又NO⊂平面ANC，PD⊄平面ANC，∴PD∥平面ANC．（2）∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵BC⊄平面ADMN，AD⊂平面ADMN，∴BC∥平面ADMN．∵平面PBC∩平面ADMN=MN，∴BC∥MN，又N是PB的中点，∴M是PC的中点．20．（15分）已知四棱锥S﹣ABCD，底面为正方形，SA⊥底面ABCD，AB=AS=a，M，N分别为AB，AS中点．（1）求证：BC⊥平面SAB；（2）求证：MN∥平面SAD；（3）求四棱锥S﹣ABCD的表面积．【解答】解：（1）证明：∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥AB，SA⊥AD，SA⊥BC，又∵BC⊥AB，SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB；（2）证明：取SD中点P，连接MN、NP、PA，则NP=CD，且NP∥CD，又∵AM=CD，且AM∥CD，∴NP=AM，NP∥AM，∴AMNP是平行四边形，∴MN∥AP，∵AP⊂平面SAD，MN⊄平面SAD∴MN∥平面SAD；（3）解：∵BC⊥平面SAB，∴BC⊥SB，同理，CD⊥SD，∴△SAB≌△SAD，△SBC≌△SCD，又∵SB=a，∴S表面积=2S△SAB+2S△SBC+S ABCD=2×a2+2×a•a+a2=（2+）a2．21．（15分）如图，在四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱VA⊥底面ABCD，E、F、G分别为VA、VB、BC的中点．（1）求证：平面EFG∥平面VCD；（2）当二面角V﹣BC﹣A、V﹣DC﹣A分别为45°、30°时，VA=1，求直线VB与平面EFG所成的角．【解答】解：（1）∵E、F、G分别为VA、VB、BC的中点，∴EF∥AB，FG∥VC，又ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴EF∥CD，又∵EF⊄平面VCD，FG⊄平面VCD∴EF∥平面VCD，FG∥平面VCD，又EF∩FG=F，∴平面EFG∥平面VCD．…（4分）（2）∵VA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥VD．则∠VDA为二面角V﹣DC﹣A的平面角，∠VDA=30°．同理∠VBA=45°．…（7分）作AH⊥VD，垂足为H，由上可知CD⊥平面VAD，则AH⊥平面VCD．∵AB∥平面VCD，∴AH即为B到平面VCD的距离．由（1）知，平面EFG∥平面VCD，则直线VB与平面EFG所成的角等于直线VB与平面VCD所成的角，记这个角为θ．∵AH=VA•sin60°=VAVB=VA∴sinθ==…（11分）故直线VB 与平面EFG 所成的角arcsin …（12分）赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；xyBCAO2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则14S S+=．ls4s3s2s13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
(优辅资源)安徽省蚌埠市第二中学高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
蚌埠二中2017—2018学年度高二第一学期期中考试数学（理科）试题（试卷分值：150分 考试时间：120分钟 ）注意事项：第Ⅰ卷所有选择题的答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置，第Ⅱ卷的答案必须用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡的相应位置上，否则不予计分。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.判断圆1:221=+y x C 与圆9)2()2(:222=-+-y x C 的位置关系是A ．相离 B.外切 C. 相交 D. 内切2.若直线l 经过点)3,2(P ，且在x 轴上的截距的取值范围是)3,1(-，则其斜率的取值范围是 A ． 1k 3>-<或k B. 311<<-k C. 13<<-k D. 311>-<k k 或 3.以下结论正确的是A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥B. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥D. 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线4.一条光线从点)4,2(A 射出，倾斜角为60角，遇x 轴后反射，则反射光线的直线方程为 A ．03243=-+-y x B. 03423=---y x C. 03243=-++y x D. 03423=---+y y x5.已知n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，则下列命题正确的是 A ．若,//,//ααn m 则n m // B. 若γβγα⊥⊥,则βα// C. 若,//,//βαm m 则βα// D. 若,,αα⊥⊥n m 则n m //6. 若圆03222=+-+by ax y x 的圆心位于第三象限，那么直线0=++b ay x 一定不经过A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7. 已知点)3,1(P 与直线01:=++y x l ，则点P 关于直线l 的对称点坐标为 A.1,3(--） B. )4,2( C. )2,4(-- D. )3,5(--8. 如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则下列命题中，错误的为A ．BD AC ⊥B ．BD AC =C. PQMN //截面ACD. 异面直线BD 与PM 所成的角为 459. 已知棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -的一个面1111D C B A 在半球底面上，四个顶点D C B A ,,,都在半球面上，则半球体积为A.π34B.π32 C. π3 D.33π 10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱椎的三视图，则该三棱锥的体积为 A ．32 B. 34C. 38D. 4第10题图11. 在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为棱11,CC AA 的中点，则在空间中与三条直线CD EF D A ,,11都相交的直线有A ．无数条B ． ３条 Ｃ．１条 Ｄ． 0条12.设点)1,(a P ，若在圆1:22=+y x O 上存在点Q ，使得60=∠OPQ ，则a 的取值范围是 A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-33,33 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,23 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21 D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,31 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.母线长为1的圆锥体，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为______________ 14.一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为cm 1的正方形，则原图形的周长为________________cm15.已知P 点是圆0364x C 22=--++y x y ：上的一点，直线05-4y -3x :l =。
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2017-2018学年安徽省蚌埠一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1．（5分）下列命题中正确的是（）（1）在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；（2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；（3）在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；（4）圆柱的任意两条母线相互平行．A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（3）D．（2）（4）2．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．8﹣2πD．3．（5分）如图，用斜二测画法作△ABC水平放置的直观图形得△A1B1C1，其中A1B1=B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，由图形可知在△ABC中，下列四个结论中正确的是（）A．AB=BC=AC B．AD⊥BC C．AC＞AD＞AB D．AC＞AD＞AB=BC4．（5分）长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．25πB．50πC．125πD．都不对5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛6．（5分）已知P，Q，R，S分别是所在正方体或四面体的棱的中点，这四个点不共面的一个图是（）A．B．C．D．7．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（）A．B．C．D．8．（5分）下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④9．（5分）空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有（）A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBC D．平面ADC⊥平面DBC10．（5分）以下命题正确的有（）①⇒b⊥α；②⇒a∥b；③⇒b∥α；④⇒b⊥α．A．①②B．①②③C．②③④D．①②④11．（5分）过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有（）A．4条 B．6条 C．8条 D．12条12．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹为（）A．线段B1CB．线段BC1C．BB1的中点与CC1的中点连成的线段D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13．（5分）已知正方形ABCD的边长是1，对角线AC与BD交于O，将正方形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，并给出下面结论：①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC为正三角形；④cos∠ADC=，则其中的真命题的序号是．14．（5分）三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=AB=AC=1，∠BAC=90°，则PA与底面ABC所成角的大小为．15．（5分）已知=（x，2，﹣1），=（x，x，﹣1）分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，则x的值是．16．（5分）在平行四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD．将△ABD 沿BD折起，使得平ABD⊥面平面BCD，如图所示．若M为AD中点，则二面角M﹣BC﹣D的余弦值为．三、解答题（第17题14分，第18题14分，第19题14分，第20题14分，第21题14分，共5小题70分）17．（14分）如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的AB，BC，CD，DA边的中点，求证：（1）四点E，F，G，H共面；（2）BD∥平面EFGH．18．（14分）如图，A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD 的重心，已知BD=6．（1）判断MN与BD的位置关系；（2）求MN的长．19．（14分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．20．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D 是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．21．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O 是对角线AC与BD的交点．M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求PB的长．2017-2018学年安徽省蚌埠一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1．（5分）下列命题中正确的是（）（1）在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；（2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；（3）在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；（4）圆柱的任意两条母线相互平行．A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（3）D．（2）（4）【解答】解：在（1）中，由于圆柱的母线相互平行且与轴平行，故上、下底面中任两点的连线不一定是母线，故（1）错误；在（2）中，由圆锥母线的定义可知圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线，故（2）是正确；在（3）中，圆台侧面上各个位置的直角梯形的腰称为圆台的母线，故上、下底面中任两点的连线不一定是母线，故（3）错误；在（4）中，由于圆柱的母线相互平行且与轴平行，故④正确．故选：D．2．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．8﹣2πD．【解答】解：三视图复原的几何体是棱长为：2的正方体，除去一个倒放的圆锥，圆锥的高为：2，底面半径为：1；所以几何体的体积是：8﹣=故选：A．3．（5分）如图，用斜二测画法作△ABC水平放置的直观图形得△A1B1C1，其中A1B1=B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，由图形可知在△ABC中，下列四个结论中正确的是（）A．AB=BC=AC B．AD⊥BC C．AC＞AD＞AB D．AC＞AD＞AB=BC【解答】解：根据斜二测画法，把直观图形中的△A1B1C1，还原成原图形，如图所示；AB=2A1B1=B1C1=BC，∴AC＞AD＞AB．故选：C．4．（5分）长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．25πB．50πC．125πD．都不对【解答】解：因为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是确定直径，长方体的对角线为：，所以球的半径为：，所以这个球的表面积是：=50π．故选：B．5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r=8，解得r=，故米堆的体积为××π×（）2×5≈，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴÷1.62≈22，故选：B．6．（5分）已知P，Q，R，S分别是所在正方体或四面体的棱的中点，这四个点不共面的一个图是（）A．B．C．D．【解答】解：在A中，∵P，Q，R，S分别是所在正方体或四面体的棱的中点，∴PS∥QR，∴P，Q，R，S共面，故A错误；在B中，过P，Q，R，S可作一正六边形，如图，故P，Q，R，S四点共面，故B错误；在C中，分别连接PQ，RS，则PQ∥RS，∴P，Q，R，S共面，故C错误；在D中，PS与RQ为异面直线，∴P，Q，R，S四点不共面，故D正确．故选：D．7．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：连结BC1，∵AC∥A1C1，∴∠C1A1B是异面直线A1B与AC所成角（或所成角的补角），∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，∴AB=，，BC 1==，A1C1=1，∴cos∠C1A1B===，∴异面直线A1B与AC所成角的余弦值为．故选：D．8．（5分）下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【解答】解：对图①，构造AB所在的平面，即对角面，可以证明这个对角面与平面MNP，由线面平行的定义可得AB∥平面MNP．对图④，通过证明AB∥PN得到AB∥平面MNP；对于②、③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行；故选：B．9．（5分）空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有（）A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBC D．平面ADC⊥平面DBC【解答】解∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD=B∴AD⊥平面BDC又∵AD在平面ADC内，∴平面ADC⊥平面DBC故选：D．10．（5分）以下命题正确的有（）①⇒b⊥α；②⇒a∥b；③⇒b∥α；④⇒b⊥α．A．①②B．①②③C．②③④D．①②④【解答】解：根据线面垂直的性质可知①正确；根据线面垂直的性质定理可知②正确；对于③，b可能在α内；对于④，b可能平行平面α，故选：A．11．（5分）过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有（）A．4条 B．6条 C．8条 D．12条【解答】解：作出如图的图形，H，G，F，I是相应直线的中点，故符合条件的直线只能出现在平面HGFI中，由此四点可以组成C42=6条直线，故选：B．12．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹为（）A．线段B1CB．线段BC1C．BB1的中点与CC1的中点连成的线段D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段【解答】解：如图，连接AC，AB1，B1C，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有BD1⊥面ACB1，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，∴故点P的轨迹为面ACB1与面BCC1B1的交线段CB1．故选：A．二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13．（5分）已知正方形ABCD的边长是1，对角线AC与BD交于O，将正方形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，并给出下面结论：①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC为正三角形；④cos∠ADC=，则其中的真命题的序号是①③④．【解答】解：由题意，可作出如图的图象，在下图中，由正方形的性质知，CO ⊥BD，AO⊥BD，故可得BD⊥面AOC由此可得出BD⊥AC，∠AOC=60°，故①正确，又由题设条件O是正方形对角线的交点，可得出AO=CO，于是有③△AOC为正三角形，可得③正确；由上证知，CO与面ABD不垂直且CO⊥BD，故AD与CO不垂直，由此知②不正确；由上证知，△AOC是等边三角形，故AC=AO=CO=2，AD=CD=4，所以cos∠ADC==，故④正确由上判断知①③④故答案为：①③④14．（5分）三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=AB=AC=1，∠BAC=90°，则PA与底面ABC所成角的大小为45°．【解答】解：∵AB=AC=1，∠BAC=90°，∴BC=，∵PB=PC=1，∴∠BPC=90°，取BC的中点E，则PE=AE=，∵PA=1，∴∠PEA=90°，则∠PAE=45°，∵E是BC的中点，∴PE⊥BC，AE⊥BC，∴BC⊥平面ABC，则∠PAE是PA与底面ABC所成的角，即PA与底面ABC所成角的大小为45°．故答案为：45°15．（5分）已知=（x，2，﹣1），=（x，x，﹣1）分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，则x的值是﹣1．【解答】解：∵=（x，2，﹣1），=（x，x，﹣1）分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，∴=x2+2x+1=0，解得x=﹣1．故答案为：﹣1．16．（5分）在平行四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD．将△ABD 沿BD折起，使得平ABD⊥面平面BCD，如图所示．若M为AD中点，则二面角M﹣BC﹣D的余弦值为．【解答】解：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．过M作MH⊥BD于H，则H为DB中点，MH⊥面BCD，过H作HN⊥BC于N，连接MN，则∠MNH为二面角M﹣BC﹣D的平面角．在Rt△BCD中，BD=CD=1，CD⊥BD，∴∠DBC=45°，∴又MH=，∴∴故答案为：．三、解答题（第17题14分，第18题14分，第19题14分，第20题14分，第21题14分，共5小题70分）17．（14分）如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的AB，BC，CD，DA边的中点，求证：（1）四点E，F，G，H共面；（2）BD∥平面EFGH．【解答】证明：（1）∵E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的AB，BC，CD，DA 边的中点，∴GH∥AC，EF∥AC，∴GH∥EF，∴四点E，F，G，H共面．（2）∵E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的AB，BC，CD，DA边的中点，∴EH∥BD，∵EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH．∴BD∥平面EFGH．18．（14分）如图，A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD 的重心，已知BD=6．（1）判断MN与BD的位置关系；（2）求MN的长．【解答】解：（1）MN与BD平行．证明如下：如图连结AM、AN分别与BC、CD交于点E、F，由重心定义知E、F分别为中点连结EF．∵E、F分别为BC、CD的中点∴EF∥BD且EF=BD．又M为△ABC重心N为△ACD重心∴AM：ME=AN：NF=2：1．∴MN∥EF且MN=EF．∴MN∥BD（公理4）．（2）∵EF=BD．MN=EF，∴MN=EF=BD=2．19．（14分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．【解答】解：（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥面SBD，所以AC⊥SD．（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，则SD⊥OP，设正方形ABCD的边长为a，则SD=，OD=，则OD2=PD•SD，可得PD==，故可在SP上取一点N，使PN=PD，过N作PC的平行线与SC的交点即为E，连BN．在△BDN中知BN∥PO，又由于NE∥PC，故平面BEN∥面PAC，得BE∥面PAC，由于SN：NP=2：1，故SE：EC=2：1．20．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D 是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD．由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点，又D为BC中点，所以OD为△A1BC中位线，所以A1B∥OD，因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．…（6分）（2）解：由ABC﹣A 1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，故BA，BC，BB1两两垂直．以BA为x轴，以BC为y轴，以BB1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中点，∴可设AA1=1，AB=BC=2，BD=DC=1，∴A（2，0，0），D（0，1，0），C（0，2，0），C1（0，2，1），∴=（﹣2，2，1），，设平面ADC 1的法向量为，则，，∴，∴=（1，2，﹣2），∵平面ADC的法向量，所以二面角C1﹣AD﹣C的余弦值为|cos＜＞|=||=．21．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O 是对角线AC与BD的交点．M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求PB的长．【解答】（1）证明：∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB．∵OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB．∴OM∥平面PAB．（2）证明：∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA．∵AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．（3）解：∵底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴菱形ABCD的面积为S ABCD=AB=2，∵四棱锥P﹣ABCD的高为PA，∴⇒PA=，∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，在Rt△PAB中，PB=．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。