安徽省合肥一中2016-2017学年高二(下)期中数学试卷(文科)(解析版)
安徽省合肥市第一中学高二数学下学期期中试卷文(含解析)
安徽省合肥市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试卷 文（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若()()221214,,32z m m m m i m R z i =++++-∈=-，则1m =是12z z =的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分又不必要条件 【答案】A考点：复数相等的概念与充要条件.2. 如图是导函数()'y f x =的图象，那么函数()y f x =在下面哪个区间是减函数（ ） A ．()13,x x B ．()24,x x C ．()46,x x D ．()56,x x【答案】B 【解析】试题分析：由导函数的图象可知，当()24,x x x ∈时，()0f x '<，函数()y f x =单调递减，故选B.考点：利用导数判断函数的单调性.3.已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为()4,5，则回归直线的方程（ ） A ． 1.234y x =+ B ． 1.235y x =+C ． 1.230.08y x =+D ．0.08 1.23y x =+ 【答案】C 【解析】试题分析：设回归直线的方程为 1.23y x a =+，因为回归直线必定经过样本中心点()4,5，解得0.08a =，故选C. 考点：回归直线方程.4.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ ）A ．假设,,a b c 不都是偶数B ．假设,,a b c 至多有两个是偶数C ．假设,,a b c 至多有一个是偶数D ．假设,,a b c 都不是偶数 【答案】D考点：命题的否定.5.下列命题中正确的是（ ）A ．函数32y x x x =-+有两个极值点B ．函数348y x x =-有两个极值点 C ．函数3y x =有且只有一个极值点 D ．函数xy e x =-无极值点 【答案】B 【解析】试题分析：A.函数 32y x x x =-+求导得2321y x x '=-+，()224380=--⨯=-<，所以0y '>恒成立，函数单调递增，不存在极值点，A 错误；B. 函数348y x x =-求导得()()2483344y x x x '=-=-+，存在两个变号零点，所以函数348y x x =-有两个极值点，B 正确；C. 函数3y x =求导得230y x '=≥恒成立，所以函数3y x =单调递增，不存在极值点，C 错误；D.函数x y e x =-的导数1xy e '=-，所以令0y '=得0x =，且当0x <时，0y '<，当0x >时，0y '>，也就是说函数xy e x =-在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，所以0x =是一个极小值点，D 错误，故选B. 考点：利用导数判断函数的极值点.6.若直线y m =与33y x x =-的图象有三个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,2- B ．[]2,2- C ．()(),22,-∞-+∞ D ．(][),22,-∞-+∞【答案】A考点：函数极值的应用.7.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为,(1x tt y t =⎧⎨=+⎩为参数，t R ∈），圆C 的参数方程为cos 1,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数，[)0,2θπ∈），则圆心C 到直线l 的距离为（ ） A ．0 B ．2 C 2．22【答案】C 【解析】试题分析：直线l 的普通方程为10x y -+=，圆的直角坐标方程为()2211x y -+=，圆心为()1,0C ，所以圆心C 到直线l 的距离为22d == C. 考点：直线的参数方程与圆的极坐标方程. 8.下面使用类比推理正确的是（ ）A ．直线,,a b c ，若,a b b c ，则a c ，类推出：向量,,a b c ，若,a b b c ，则a cB ．同一平面内，直线,,a b c ，若,a c b c ⊥⊥，则a b ，类推出：空间中，直线,,a b c ，若,a c b c ⊥⊥， 则a bC ．实数,a b ，若方程20x ax b ++=有实数根，则24a b ≥，类推出：复数,a b ，若方程20x ax b ++=有实数根，则24a b ≥D ．由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义. 【答案】D考点：类比推理.9.点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的距离的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．22D 2【答案】D 【解析】试题分析：由题意作图如下，当点P 是曲线2ln y x x =-的切线中与直线平行的直线2y x =-的切点时，距离最近.令()1210y x x x'=-=>得1x =，故切点为()1,1，由点到直线的距离公式得：点P 到直线2y x =-的距离的最小值为1212,2d --==故选D.考点：导数几何意义的应用.10.曲线 3y x =上一点B 处的切线l 交x 轴于点A ，(OAB O ∆是原点）是以A 为顶点的等腰三角形，则切线l 的倾斜角为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．45︒D ．120︒ 【答案】B考点：利用导数研究曲线上某点的切线.【方法点睛】本题主要考查了函数在某点处的切线的求法，属于基础题.解答本题中，明确了点B 是曲线上的点，只需要设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线的斜率，得其方程，从而求得切线与x 轴的交点A 的坐标，根据(0OAB ∆是原点）是以A 为顶点的等腰三角形即OA AB =解出0x 的值，即得出切线的斜率，最后根据斜率与倾斜角的关系tan k α=及倾斜角的范围，得到倾斜角的值. 11.若()f n 为()21n n N*+∈的各位数字之和，如2141197,19717+=++=，则()1417f =，记()()()()()()1211,...,k k f n f n f f f n f f f n k N *+===∈则()20168f =（ ） A ．3 B ．5 C ．8 D ．11 【答案】C【解析】试题分析：由题意可得：()()21864,64165,6511,8811f f =+=+===；211121,1211122,1225,=+=++=()285f ∴=；()23525,25126,268,88f =+=+=∴=；()()24864,64165,6511,8811f f =+=+===，所以()8n f 构成一个周期为3的周期数列，因为20166723=⨯，所以()20168f =()388f =，故选C. 考点：归纳推理．【方法点睛】本题主要考查了归纳推理、函数的周期性及数列的递推公式等，属于基础题.解答本题的关键是结合原题给出的实例读懂题意，尤其是明确递推关系()()()()()()1211,...,k k f n f n f f f n f f f n k N *+===∈的意义，通过列举求出数列的前几项，从而归纳出周期.12.定义在()0,+∞上的可导函数()f x 满足()'f x ()x f x <，且()20f =，则()0f x x>的解集为（ ）A ．()0,2B ．()()0,22,+∞C ．()2,+∞D ．()()0,33,+∞【答案】A考点：利用导数研究函数的单调性及不等式的解法.【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查考生的推理运算能力，及数学转化与化归的思想，属于基础题.本题解答的关键是把题目条件()'f x ()x f x <变形为()'f x ()0x f x -<从而构造函数()()f xg x x=，并判断出()g x 是定义域上是单调递减函数，并求得其零点，不等式的解即()g x 图象位于x 轴下方的x 的取值范围.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.如图，函数()()215g x f x x =+的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+，则()()5'5f f +=．【答案】5- 【解析】试题分析：()()()5553,52,g f f =+=∴=-因为()()25g x f x x ''=+，所以()()255515g f ''=+⨯=-，()53f '=-，()()5'5 5.f f +=-考点：利用导数研究曲线上某点的切线问题.14.已知函数()22ln f x x ax x =-+在其定义域上不单调，则实数a 的取值范围是 ．【答案】()(),44,-∞-+∞考点：利用导数研究函数的单调性.15.二维空间中，圆的—维测度（周长）2l r π=；二维测度（面积）2S r π=；三维空间中，球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度38V r π=，则其四维测度W = ． 【答案】42r π 【解析】考点：类比推理．【方法点睛】本题主要考查类比推理，属于基础题.解答本题的关键是通过题目所给的示例结合类比的规则找到类比的规律，即高维测度对半径的导函数就是低一维的测度.类比推理通常有结论的类比和方法、规律的类比两种情况，本题中属于方法、规律的类比，但不论哪种类比，一般情况下都应得到一个真命题.16.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+.记第n 个k 边形数为()(),3N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数()211,322N n n n =+ 正方形数()2,4N n n = 五边形数()231,522N n n n =+ 六边形数()2,62N n n n =-可以推测(),N n k 的表达式，由此计算()10,24N = ． 【答案】1000 【解析】试题分析：k 边形数中第n 个数的表达式可进行如下变形：三角形数()22113243,32222N n n n n n --=+=+；正方形数()224244,422N n n n n --==+；五边形数()22315245,52222N n n n n n --=+=+；六边形数()226246,6222N n n n n n --=-=+ …．观察上述规律，可归纳第n 个k 边形数为()224,22k k N n k n n --=+，所以()224242410,2410101000.22N --=⨯+⨯=考点：归纳推理【方法点睛】本题主要考查了合情推理中的归纳推理，属于中档题.归纳推理是根据所给事物的部分对象具有某种性质，推测这类事物的所有对象都有这一性质的推理规则.本题解答的关键是观察条件中给出的三角形数、四边形数、五边形数及六边形数的表达式并找到其与,n k 的关系，从而归纳出一般性结论：第n 个k 边形数为()224,22k kN n k n n --=+，代入即可求得()10,24N 的值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知复数()()21312i i z i-++=-，若21z az b i ++=-.（1）求z ；（2）求实数,a b 的值.【答案】（1）1z i =+；（2）3,4a b =-=.考点：复数相等的概念与复数的运算. 18.（本小题满分10分）已知：,,a b c 均为实数，且2222,2,2236a x yb y zc z x πππ=-+=-+=-+，求证：,,a b c中至少有一 个大于0.【答案】证明见解析． 【解析】试题分析：要证明“至少”、“至多”这类问题，通常用反证法，即假设,,a b c 都不大于0，利用不等式的性质可得0a b c ++≤，根据题目所给的条件，结合不等式的性质可推得0a b c ++>，从而与假设矛盾，得证.试题解析：假设,,a b c 都不大于0，即0,0,0a b c ≤≤≤，得0a b c ++≤，而()()()222111330a b c x y z ππ++=-+-+-+-≥->，即0a b c ++>，与0a b c ++≤矛盾，,,a b c ∴中至少有一个大于0. 考点：反证法的应用. 19.（本小题满分12分） 有以下三个不等式：()()()2222214951945++≥⨯+⨯；()()()222226821262812++≥⨯+⨯；()()()222222010102720102107++≥⨯+⨯.请你观察这三个不等式，猜想岀一个一般性的结论，并证明你的结论. 【答案】()()()22222a bcd ac bd ++≥+，证明见解析．考点：归纳推理．20.（本小题满分12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：（1）根据表中数据，问是否有095的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异；”（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.参考数据：(参考公式：()()()()()22n ad bcKa b a d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++).【答案】（1）有095的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）7 10.（2）从5名数学系的学生任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间()()()()()()()()()({1211221231121231132122232131,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a ab a a b a a b a b b a b b a b b a b b a b b a b b b Ω=其中i a 表示喜欢甜品的学生，1,2i =.j b 表示不喜欢甜品的学生，1,2,3j =.Ω由10 个基本事件组成，且这些基本事件出现是等可能的．用A 表示“3 人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则()()()()()(){}112123113212223213123(,,),,,,,,,,,,,,,,,,,A a b b a b b a b b a b b a b b a b b b b b =,A 由7个基本事件组成，因而()710P A =. 考点：相关性检验与古典概型中某事件发生的概率. 21.（本小题满分12分）已知()()()2,1xf x xeg x x a ==-++若12,x x R ∃∈使得()()12f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围. 【答案】1a e≥-．考点：存在性量词与不等式的有解问题．【方法点睛】本题主要考查了存在性量词与不等式的有解问题，属于中档题.含有存在性量词的命题通常转化为有解问题，进一步转化为函数的最值来解答.本题解答的难点是含有两个量词，解答时，先把其中一个函数看成参数，研究另一个的最值，再来解决另一个的最值，从而得到要求参数的不等式，求得其范围. 22.（本小题满分14分） 已知函数()()ln ,xf x kxg x x==. （1）求函数()ln xg x x=的单调区间； （2）若不等式()()f x g x ≥在区间，()0,+∞内恒成立，求实数k 的取值范围； （3）求证：444ln 2ln 3ln 1...(2,,232n n n N e n e*+++<≥∈为自然对数的底数). 【答案】（1）()g x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为(),e +∞；（2）12k e≥；（3）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）求出()g x 的导数，并求出其零点和符号变化情况，即可得到其在()0,+∞上的单调性；（2）不等式()()f x g x ≥即2ln (x)xk h x≥=，利用导数在研究其单调性的基础上，得到其最大值，即得k 的范围；（3）根据要证明不等式的形式，利用（2）的结论可得42ln 112x x e x ≤，根据不等式的性质逐项相加，即可得证.考点：利用导数研究函数的单调性和极值、最值及不等式的证明.【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值，属于中档题.研究函数问题，首先要把握好定义域优先的原则，这是研究单调性时最常见的错误，判断符号可以列表也可以串根来解答；第二问解决含参数的函数的恒成立时，能分离参数的优先考虑分离参数，转化为求定函数的最值问题；证明不等式应先分析要证不等式的形式，考虑其前问的结论间的联系，合理构造，利用不等式的性质合理变形达到证明的目的.。
2015-2016年安徽省合肥一中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2015-2016学年安徽省合肥一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若z1=（m2+m+1）+（m2+m﹣4）i，m∈R，z2=3﹣2i，则m=1是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．（5分）如图是导函数y=f′（x）的图象，那么函数y=f（x）在下面哪个区间是减函数（）A．（x1，x3）B．（x2，x4）C．（x4，x6）D．（x5，x6）3．（5分）已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A．B．C．D．=0.08x+1.234．（5分）用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数5．（5分）下列命题中正确的是（）A．函数y=48x﹣x3有两个极值点B．函数y=x3﹣x2+x有两个极值点C．函数y=x3有且只有1个极值点D．函数y=e x﹣x无极值点6．（5分）若直线y=m与y=3x﹣x3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2]C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数，t∈R），圆C的参数方程为，（θ为参数，θ∈[0，2π）），则圆心C到直线l的距离为（）A．0B．2C．D．8．（5分）下面使用类比推理正确的是（）A．直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，类推出：向量，，，若∥，∥，则∥B．同一平面内，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b，类推出：空间中，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥bC．实数a，b，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2≥4b，类推出：复数a，b，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2≥4bD．由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义9．（5分）点P是曲线y=x2﹣1nx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的距离的最小值是（）A．1B．C．2D．210．（5分）曲线y=x3上一点B处的切线l交x轴于点A，△OAB（O是原点）是以A为顶点的等腰三角形，则切线l的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°11．（5分）若f（n）为n2+1（n∈N*）的各位数字之和，如142+1=197，1+9+7=17，则f（14）=17，记f1（n）=f（n），f2=f（f1（n））…f k+1=f k（f（n）），k∈N*则f2016（8）=（）A．3B．5C．8D．1112．（5分）定义在（0，+∞）上的可导函数f（x）满足f′（x）•x＜f（x），且f（2）=0，则＞0的解集为（）A．（0，2）B．（0，2）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．∅二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）如图，函数F（x）=f（x）+x2的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=．14．（5分）已知函数f（x）=2x2﹣ax+lnx在其定义域上不单调，则实数a的取值范围是．15．（5分）二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3；四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，则猜想其四维测度W=．16．（5分）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为．记第n个k边形数为N （n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数，正方形数N（n，4）=n2，五边形数，六边形数N（n，6）=2n2﹣n，…可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知复数，若z2+az+b=1﹣i，（1）求z；（2）求实数a，b的值．18．（10分）已知a，b，c均为实数，且a=x2﹣2y+，b=y2﹣2z+，c=z2﹣2x+，求证：a，b，c中至少有一个大于0．19．（12分）有以下三个不等式：（12+42）（92+52）≥（1×9+4×5）2；（62+82）（22+122）≥（6×2+8×12）2；（202+102）（1022+72）≥（20×102+10×7）2．请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论．20．（12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行抽样调查，调查结果如下表所示（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”（2）已知在被调查的北方学生中有5人是数学系的学生，其中2人喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率？参考公式：K2=，n=a+b+c+d下面的临界表供参考：21．（12分）已知f（x）=xe x，g（x）=﹣（x+1）2+a，若∃x1，x2∈R使得f（x1）≤g（x2）成立，求实数a的取值范围．22．（14分）已知函数f（x）=kx，（1）求函数的单调递增区间；（2）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；（3）求证：．2015-2016学年安徽省合肥一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若z1=（m2+m+1）+（m2+m﹣4）i，m∈R，z2=3﹣2i，则m=1是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：当m=1，则z1=（m2+m+1）+（m2+m﹣4）i=3﹣2）i，此时z1=z2，充分性成立．若z1=z2，则，即，则，即m=1或m=﹣2，此时必要性不成立，故m=1是z1=z2的充分不必要条件，故选：A．2．（5分）如图是导函数y=f′（x）的图象，那么函数y=f（x）在下面哪个区间是减函数（）A．（x1，x3）B．（x2，x4）C．（x4，x6）D．（x5，x6）【解答】解：若函数单调递减，则f′（x）≤0，由图象可知，x∈（x2，x4）时，f′（x）＜0，故选：B．3．（5分）已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A．B．C．D．=0.08x+1.23【解答】解：法一：由回归直线的斜率的估计值为1.23，可排除D由线性回归直线方程样本点的中心为（4，5），将x=4分别代入A、B、C，其值依次为8.92、9.92、5，排除A、B法二：因为回归直线方程一定过样本中心点，将样本点的中心（4，5）分别代入各个选项，只有C满足，故选：C．4．（5分）用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．5．（5分）下列命题中正确的是（）A．函数y=48x﹣x3有两个极值点B．函数y=x3﹣x2+x有两个极值点C．函数y=x3有且只有1个极值点D．函数y=e x﹣x无极值点【解答】解：A．函数y=48x﹣x3的导数y′=48﹣3x2，y′=0，则x=±4，在x=±4处附近导数符号异号，则均为极值点，故A正确；B．函数y=x3﹣x2+x的导数y′=3x2﹣2x+1，判别式△=4﹣12＜0，y′＞0，函数单调递增，故无极值，故B错；C．y=x3的导数y′=3x2≥0，函数单调递增，无极值，故C错；D．函数y=e x﹣x的导数y′=e x﹣1，y′=0，得x=0，在x=0处附近导数左负右正，故为极小值点，故D错．故选：A．6．（5分）若直线y=m与y=3x﹣x3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2]C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解答】解：∵y=3x﹣x3，∴y′=3﹣3x2，令y′=0，得x=±1，∵x∈（﹣∞，﹣1）时，y′＜0；x∈（﹣1，1）时，y′＞0；x∈（1，+∞）时，y′＜0．∴当x=1时，y取极大值2，当x=﹣1时，y取极小值﹣2，∵直线y=m与y=3x﹣x2的图象有三个不同交点∴m的取值范围为﹣2＜m＜2．故选：A．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数，t∈R），圆C的参数方程为，（θ为参数，θ∈[0，2π）），则圆心C到直线l的距离为（）A．0B．2C．D．【解答】解：直线l的参数方程为，（t为参数，t∈R），消去参数化为普通方程：y=x+1，即x﹣y+1=0．圆C的参数方程为，（θ为参数，θ∈[0，2π）），利用平方关系可得普通方程：（x﹣1）2+y2=1，可得圆心C（1，0）．则圆心C到直线l的距离d==，故选：C．8．（5分）下面使用类比推理正确的是（）A．直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，类推出：向量，，，若∥，∥，则∥B．同一平面内，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b，类推出：空间中，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥bC．实数a，b，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2≥4b，类推出：复数a，b，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2≥4bD．由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义【解答】解：对于A，=时，不正确；对于B，空间中，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b或a⊥b或相交，故不正确；对于C，方程x02+ix0+（﹣1±i）=0有实根，但a2≥4b不成立，故C不正确；对于D，由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，正确．故选：D．9．（5分）点P是曲线y=x2﹣1nx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的距离的最小值是（）A．1B．C．2D．2【解答】解：由题意作图如下，当点P是曲线的切线中与直线y=x﹣2平行的直线的切点时，最近；故令y′=2x﹣=1解得，x=1；故点P的坐标为（1，1）；故点P到直线y=x﹣2的最小值为=；故选：B．10．（5分）曲线y=x3上一点B处的切线l交x轴于点A，△OAB（O是原点）是以A为顶点的等腰三角形，则切线l的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°【解答】解：对曲线y=x3求导，得，y′=3x2，设切点B（x0，x03），则B点处的切线斜率为3x02，∴切线l的方程为y﹣x03=3x02（x﹣x0）令y=0，得A（x0，0）∵|OA|=|AB|∴|x0|=解方程得：x04=∴切线l的斜率为3x02=∴切线l的倾斜角为60°故选：C．11．（5分）若f（n）为n2+1（n∈N*）的各位数字之和，如142+1=197，1+9+7=17，则f（14）=17，记f1（n）=f（n），f2=f（f1（n））…f k+1=f k（f（n）），k∈N*则f2016（8）=（）A．3B．5C．8D．11【解答】解：∵82+1=65，∴f1（8）=f（8）=6+5=11，同理，由112+1=122得f2（8）=1+2+2=5；由52+1=26，得f3（8）=2+6=8，可得f4（8）=6+5=11=f1（8），f5（8）=f2（8），…，∴f k+3（8）=f k（8）对任意k∈N*成立又∵2016=3×672，∴f2016（8）=f2013（8）=f2000（8）=…=f3（8）=8．故选：C．12．（5分）定义在（0，+∞）上的可导函数f（x）满足f′（x）•x＜f（x），且f （2）=0，则＞0的解集为（）A．（0，2）B．（0，2）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．∅【解答】解：令g（x）=，∵x•f′（x）＜f（x），∴x•f′（x）﹣f（x）＜0．∴，∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，∵f（2）=0，即g（2）=0．∴g（x）=＞0的解集是0＜x＜2．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）如图，函数F（x）=f（x）+x2的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=﹣5．【解答】解：F（5）=f（5）+5=﹣5+8=3，所以f（5）=﹣2．又F′（x）=f′（x）+x，所以F′（5）=f′（5）+×5=﹣1，解得f′（5）=﹣3，f（5）+f′（5）=﹣5．故答案为：﹣514．（5分）已知函数f（x）=2x2﹣ax+lnx在其定义域上不单调，则实数a的取值范围是（4，+∞）．【解答】解：∵f（x）=2x2﹣ax+lnx，x＞0，∴f′（x）=4x﹣a+=，令g（x）=4x2﹣ax+1，若f（x）在其定义域上不单调，则g（x）在（0，+∞）有解，∴，解得：a＞4，则实数a的取值范围是（4，+∞），故答案为：（4，+∞）．15．（5分）二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3；四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，则猜想其四维测度W=2πr4．【解答】解：∵二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S∴四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W，则W′=V=8πr3；∴W=2πr4；故答案为：2πr416．（5分）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为．记第n个k边形数为N （n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数，正方形数N（n，4）=n2，五边形数，六边形数N（n，6）=2n2﹣n，…可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）=1000．【解答】解：原已知式子可化为：，，，，由归纳推理可得，故=1100﹣100=1000故答案为：1000三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知复数，若z2+az+b=1﹣i，（1）求z；（2）求实数a，b的值．【解答】解：（1），（2）把Z=1+i代入z2+az+b=1﹣i，即（1+i）2+a（1+i）+b=1﹣i，得a+b+（2+a）i=1﹣i．所以解得a=﹣3；b=4所以实数a，b的值分别为﹣3，418．（10分）已知a，b，c均为实数，且a=x2﹣2y+，b=y2﹣2z+，c=z2﹣2x+，求证：a，b，c中至少有一个大于0．【解答】解：反证法：假设a，b，c都小于或等于0，则有a+b+c=（x﹣1）2+（y﹣1）2+（z﹣1）2+π﹣3≤0，而该式显然大于0，矛盾，故假设不正确，故a，b，c中至少有一个大于0．19．（12分）有以下三个不等式：（12+42）（92+52）≥（1×9+4×5）2；（62+82）（22+122）≥（6×2+8×12）2；（202+102）（1022+72）≥（20×102+10×7）2．请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论．【解答】解：结论为：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2．…（5分）证明：（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2﹣（a2c2+b2d2+2abcd）=a2d2+b2c2﹣2abcd=（ac﹣bd）2≥0所以（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2．…（12分）20．（12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行抽样调查，调查结果如下表所示（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”（2）已知在被调查的北方学生中有5人是数学系的学生，其中2人喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率？参考公式：K2=，n=a+b+c+d下面的临界表供参考：【解答】解：（1）所以有95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异．（2）21．（12分）已知f（x）=xe x，g（x）=﹣（x+1）2+a，若∃x1，x2∈R使得f（x1）≤g（x2）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：f'（x）=e x+xe x=（1+x）e x，当x＞﹣1时，f'（x）＞0，函数递增；当x＜﹣1时，f'（x）＜0，函数递减，所以当x=﹣1时，f（x）取得极小值即最小值．函数g（x）的最大值为a，若∃x1，x2∈R使得f（x1）≤g（x2）成立．则有g（x）的最大值大于等于f（x）的最小值，即a≥﹣，故实数a的取值范围为[﹣，+∞）22．（14分）已知函数f（x）=kx，（1）求函数的单调递增区间；（2）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；（3）求证：．【解答】解：（1）∵（x＞0），∴，令g'（x）＞0，得0＜x＜e，故函数的单调递增区间为（0，e）．（2）由，则问题转化为k大于等于h（x）的最大值．又，令．当x在区间（0，+∞）内变化时，h'（x）、h（x）变化情况如下表：），由表知当时，函数h（x）有最大值，且最大值为，因此k≥．（3）由≤，∴＜（x≥2），∴＜．又∵＜=1﹣+++…+=1﹣＜1，∴＜．。
安徽省合肥一中2016-2017学年高二(下)期中数学试卷(文科)
2016-2017学年安徽省合肥一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数z满足（1+i）z=2﹣i，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列说法错误的是（）A．在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B．在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好C．线性回归方程对应的直线=x+至少经过其样本数据点中的一个点D．在回归分析中，相关指数R2越大，模拟的效果越好3．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据，整理、分析数据得出“吸烟与患肺癌有关”的结论，并有99%的把握认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是（）A．吸烟人患肺癌的概率为99%B．认为“吸烟与患肺癌有关”犯错误的概率不超过1%C．吸烟的人一定会患肺癌D．100个吸烟人大约有99个人患有肺癌4．执行如图所给的程序框图，则运行后输出的结果是（）A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．25．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2=，3=，4=，5=则按照以上规律，若8=具有“穿墙术”，则n=（）A．7 B．35 C．48 D．636．函数y=sinx的图象与函数y=x图象的交点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．37．已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（）A．e B．﹣e C．D．﹣8．关于x的方程x3﹣3x2﹣a=0有三个不同的实数解，则a的取值范围是（）A．（﹣4，0） B．（﹣∞，0）C．（1，+∞） D．（0，1）9．设复数z满足|z﹣3+4i|=|z+3﹣4i|，则复数z在复平面上对应点的轨迹是（）A．圆B．半圆C．直线D．射线10．若函数f（x）=﹣9lnx在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．1＜a≤2 B．a≥4 C．a≤2 D．0＜a≤311．已知x1，x2分别是函数f（x）=x3+ax2+2bx+c的两个极值点，且x1∈（0，1）x2∈（1，2），则的取值范围为（）A．（1，4）B．（，1）C．（，）D．（，1）12．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若对任意实数x，有f（x）＞f'（x），且f（x）+2017为奇函数，则不等式f（x）+2017e x＜0的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞） C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．复数的共轭复数是．14．已知x与y之间的一组数据：x0246y a353a已求得关于y与x的线性回归方程y=1.2x+0.4，则a的值为．15．若点P（a，b）在函数y=﹣x2+3lnx的图象上，点Q（c，d）在函数y=x+2的图象上，则|PQ|的最小值为．16．德国数学家科拉茨1937年提出一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则旅行变换后的第9项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.其中17题10分，18-22每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=﹣ax+b，在点M（1，f（1））处的切线方程为9x+3y﹣10=0，求（1）实数a，b的值；（2）函数f（x）的单调区间以及在区间上的最值．18．某种产品的广告费用支出x（万元）与销售额y（万元）之间有如下的对应数据：x24568y3040605070（1）求回归直线方程；（2）据此估计广告费用为12万元时的销售额约为多少？参考公式：=，=﹣，=x+．19．为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．如图所示茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩．（1）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请画出下面的2×2列联表．（2）判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．甲班乙班合计优秀不优秀合计下面临界值表仅供参考：P（x2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：K2=．20．已知函数．（1）分别求的值，并归纳猜想一般性结论（不要求证明）；（2）求值：．21．某种商品每件进价9元，售价20元，每天可卖出69件．若售价降低，销售量可以增加，且售价降低x（0≤x≤11）元时，每天多卖出的件数与x2+x成正比．已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件．（Ⅰ）试将该商品一天的销售利润表示成x的函数；（Ⅱ）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？22．已知函数f（x）=xlnx，（e=2.718…）．（1）设g（x）=f（x）+x2﹣2（e+1）x+6，①记g（x）的导函数为g'（x），求g'（e）；②若方程g（x）﹣a=0有两个不同实根，求实数a的取值范围；（2）若在上存在一点x0使成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年安徽省合肥一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数z满足（1+i）z=2﹣i，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数z满足（1+i）z=2﹣i，∴（1﹣i）（1+i）z=（1﹣i）（2﹣i），∴2z=1﹣3i，∴z=i．则复数z在复平面内对应的点在第四象限．故选：D．2．下列说法错误的是（）A．在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B．在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好C．线性回归方程对应的直线=x+至少经过其样本数据点中的一个点D．在回归分析中，相关指数R2越大，模拟的效果越好【考点】BS：相关系数．【分析】根据统计分析的观点，对选项中的命题进行分析、判断即可．【解答】解：对于A，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，正确；对于B，残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好，正确；对于C，线性回归方程对应的直线=x+过样本中心点，不一定过样本数据中的点，故C错误；对于D，回归分析中，相关指数R2越大，其模拟的效果就越好，正确．故选：C．3．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据，整理、分析数据得出“吸烟与患肺癌有关”的结论，并有99%的把握认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是（）A．吸烟人患肺癌的概率为99%B．认为“吸烟与患肺癌有关”犯错误的概率不超过1%C．吸烟的人一定会患肺癌D．100个吸烟人大约有99个人患有肺癌【考点】BN：独立性检验的基本思想．【分析】“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，表示有99%的把握认为这个结论成立，与多少个人患肺癌没有关系，得到结论．【解答】解：∵“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，表示有99%的把握认为这个结论成立，与多少个人患肺癌没有关系，只有B选项正确，故选：B．4．执行如图所给的程序框图，则运行后输出的结果是（）A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．2【考点】EF：程序框图．【分析】开始条件s=0，i=1，循环条件i≤6，知道i＞6，循环停止，根据i是奇偶进行计算，从而求解；【解答】解：开始条件：s=0，i=1，（i≤6）i=1，i是奇数，可得s=0+1=1，i=2，i是偶数，可得s=1﹣2=﹣1，i=3，可得s=﹣1+3=2，i=4，s=2﹣4=﹣2，i=5，s=﹣2+5=3，i=6，s=3﹣6=﹣3，i=7，输出s=﹣3，故选B；5．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2=，3=，4=，5=则按照以上规律，若8=具有“穿墙术”，则n=（）A．7 B．35 C．48 D．63【考点】F1：归纳推理．【分析】观察所告诉的式子，找到其中的规律，问题得以解决．【解答】解2=2==，3=3=，4=4=，5=5=则按照以上规律8=，可得n=82﹣1=63，故选：D．6．函数y=sinx的图象与函数y=x图象的交点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】作出函数y=sinx与y=x的图象，利用数形结合进行求解．【解答】解：作出函数y=sinx与y=x的图象如图：则两个图象只有1个交点，故选：B．7．已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（）A．e B．﹣e C．D．﹣【考点】62：导数的几何意义．【分析】欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=lnx，∴y'=，设切点为（m，lnm），得切线的斜率为，所以曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：y﹣lnm=×（x﹣m）．它过原点，∴﹣lnm=﹣1，∴m=e，∴k=．故选C．8．关于x的方程x3﹣3x2﹣a=0有三个不同的实数解，则a的取值范围是（）A．（﹣4，0） B．（﹣∞，0）C．（1，+∞） D．（0，1）【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】构造f（x）=x3﹣3x2﹣a，则f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），可知f（0）=﹣a 为极大值，f（2）=﹣4﹣a为极小值，从而当极大值大于0，极小值小于0时，有三个不等实根，由此可得a的取值范围．【解答】解：假设f（x）=x3﹣3x2﹣a，则f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）∴函数在（﹣∞，0），（2，+∞）上单调增，在（0，2）上单调减∴f（0）=﹣a为极大值，f（2）=﹣4﹣a为极小值当f（0）＞0，f（2）＜0时，即﹣a＞0，﹣4﹣a＜0，即﹣4＜a＜0时，有三个不等实根故选A．9．设复数z满足|z﹣3+4i|=|z+3﹣4i|，则复数z在复平面上对应点的轨迹是（）A．圆B．半圆C．直线D．射线【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】直接利用复数的几何意义，判断选项即可．【解答】解：因为复数z满足|z﹣3+4i|=|z+3﹣4i|，复数z的几何意义是复平面的点到（3，﹣4），（﹣3，4）距离相等的点的轨迹，是两点的中垂线，故选：C．10．若函数f（x）=﹣9lnx在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．1＜a≤2 B．a≥4 C．a≤2 D．0＜a≤3【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】首先求出函数的单调递减区间，然后结合数轴分析求出m的范围即可．【解答】解：∵，∴函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=x﹣，∵x＞0，∴由f′（x）=x﹣＜0，得0＜x＜3．∵函数在区间上单调递减，∴，解得1＜a≤2．故选A．11．已知x1，x2分别是函数f（x）=x3+ax2+2bx+c的两个极值点，且x1∈（0，1）x2∈（1，2），则的取值范围为（）A．（1，4）B．（，1）C．（，）D．（，1）【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域，明确目标函数的几何意义，即可求得结论．【解答】解：求导函数可得f'（x）=x2+ax+2b，依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈（0，1），x2∈（1，2），等价于f'（0）＞0，f'（1）＜0，f'（2）＞0．∴满足条件的（a，b）的平面区域为图中阴影部分，三角形的三个顶点坐标为（﹣1，0），（﹣2，0），（﹣3，1）的取表示（a，b）与点（1，2）连线的斜率，由图可知斜率的最大值为=1，最小值为=，故选：D．12．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若对任意实数x，有f（x）＞f'（x），且f（x）+2017为奇函数，则不等式f（x）+2017e x＜0的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞） C．D．【考点】3L：函数奇偶性的性质；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】令2017g（x）=，（x∈R），从而求导g′（x）＜0，从而可判断y=g（x）单调递减，从而可得到不等式的解集．【解答】解：设2017g（x）=，由f（x）＞f′（x），得：g′（x）=＜0，故函数g（x）在R递减，由f（x）+2017为奇函数，得f（0）=﹣2017，∴g（0）=﹣1，∵f（x）+2017e x＜0，∴＜﹣2017，即g（x）＜g（0），结合函数的单调性得：x＞0，故不等式f（x）+2017e x＜0的解集是（0，+∞）．故选B．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．复数的共轭复数是．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果．【解答】解：复数==，故其共轭复数为，故答案为：．14．已知x与y之间的一组数据：x0246y a353a已求得关于y与x的线性回归方程y=1.2x+0.4，则a的值为2．【考点】BK：线性回归方程．【分析】求出样本中心，代入回归直线方程求解即可．【解答】解：由题意可得：=3，==a+2，可得：a+2=1.2×3+0.4，解得a=2．故答案为：2．15．若点P（a，b）在函数y=﹣x2+3lnx的图象上，点Q（c，d）在函数y=x+2的图象上，则|PQ|的最小值为2．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出与直线y=x+2平行且与曲线y=﹣x2+3lnx相切的直线y=x+m．再求出此两条平行线之间的距离，即可得出结论．【解答】解：设直线y=x+m与曲线y=﹣x2+3lnx相切于P（x0，y0），由函数y=﹣x2+3lnx，∴y′=﹣2x+，令﹣2x0+=1，又x0＞0，解得x0=1．∴y0=﹣1+3ln1=﹣1，可得切点P（1，﹣1）．代入﹣1=1+m，解得m=﹣2．可得与直线y=x+2平行且与曲线y=﹣x2+3lnx相切的直线y=x﹣2．而两条平行线y=x+2与y=x﹣2的距离d=2．故答案为2．16．德国数学家科拉茨1937年提出一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则旅行变换后的第9项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为7．【考点】8B：数列的应用．【分析】利用第9项为1出发，按照规则，逆向逐项即可求出n的所有可能的取值．【解答】解：如果正整数n按照上述规则施行变换后的第9项为1，则变换中的第8项一定是2，则变换中的第7项一定是4，变换中的第6项可能是1，也可能是8；变换中的第5项可能是2，也可是16，变换中的第5项是2时，变换中的第4项是4，变换中的第3项是1或8，变换中的第2项是2或16，变换中的第5项是16时，变换中的第4项是32或5，变换中的第3项是64或10，变换中的第2项是20或3，变换中第2项为2时，第1项为4，变换中第2项为16时，第1项为32或5，变换中第2项为3时，第1项为6，变换中第2项为20时，第1项为40，变换中第2项为21时，第1项为42，变换中第2项为128时，第1项为256，则n的所有可能的取值为4，5，6，32，40，42，256，共7个，故答案为：7．三、解答题（本大题共6小题，共70分.其中17题10分，18-22每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=﹣ax+b，在点M（1，f（1））处的切线方程为9x+3y﹣10=0，求（1）实数a，b的值；（2）函数f（x）的单调区间以及在区间上的最值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出曲线的斜率，切点坐标，求出函数的导数，利用导函数值域斜率的关系，即可求出a，b．（2）求出导函数的符号，判断函数的单调性以及求解闭区间的函数的最值．【解答】解：（1）因为在点M（1，f（1））处的切线方程为9x+3y﹣10=0，所以切线斜率是k=﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣且9×1+3f（1）﹣10=0，求得，即点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又函数，则f′（x）=x2﹣a﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以依题意得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由（1）知所以f′（x）=x2﹣4=（x+2）（x﹣2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令f′（x）=0，解得x=2或x=﹣2当f′（x）＞0⇒x＞2或x＜﹣2；当f′（x）＜0⇒﹣2＜x＜2所以函数f（x）的单调递增区间是（﹣∞，2），（2，+∞）单调递减区间是（﹣2，2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又x∈所以当x变化时，f（x）和f′（x）变化情况如下表：X0（0，2）2（2，3）3f′（x）﹣0+0f（x）4↘极小值↗1所以当x∈时，f（x）max=f（0）=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．某种产品的广告费用支出x（万元）与销售额y（万元）之间有如下的对应数据：x24568y3040605070（1）求回归直线方程；（2）据此估计广告费用为12万元时的销售额约为多少？参考公式：=，=﹣，=x+．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）根据所给的数据先做出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法写出线性回归方程系数的表达式，把样本中心点代入求出a的值，得到线性回归方程．（2）根据所给的变量x的值，把值代入线性回归方程，得到对应的y的值，这里的y 的值是一个预报值．【解答】解：（1）求回归直线方程==5==50b==6.5a=50﹣6.5×5=17.5∴因此回归直线方程为y=6.5x+17.5；（2）当x=12时，预报y的值为y=12×6.5+17.5=95.5万元．即广告费用为12万元时，销售收入y的值大约是95.5万元．19．为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．如图所示茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩．（1）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请画出下面的2×2列联表．（2）判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．甲班乙班合计优秀不优秀合计下面临界值表仅供参考：P（x2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：K2=．【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（1）由所给数据，结合40，即可补全2×2列联表；（2）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，即可得出结论．【解答】解：（1）甲班乙班合计优秀61420不优秀14620合计202040…（2）K2==6.4＞5.024 …因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．…20．已知函数．（1）分别求的值，并归纳猜想一般性结论（不要求证明）；（2）求值：．【考点】F1：归纳推理．【分析】（1）代值计算即可，并猜想一般的结论，（2）由（1），即可得出结论．【解答】解：（1）∵，∴，同理可得，猜想．（2）∵，又由（1）得，，则=．21．某种商品每件进价9元，售价20元，每天可卖出69件．若售价降低，销售量可以增加，且售价降低x（0≤x≤11）元时，每天多卖出的件数与x2+x成正比．已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件．（Ⅰ）试将该商品一天的销售利润表示成x的函数；（Ⅱ）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；36：函数解析式的求解及常用方法；5D：函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）由题意设出每天多卖出的件数k（x2+x），结合售价降低3元时，一天可多卖出36件求得k的值，然后写出商品一天的销售利润函数；（Ⅱ）利用导数求出函数的极值点，求得极值，比较端点值后得到利润的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设每天多卖出的件数为k（x2+x），∴36=k（32+3），∴k=3．又每件商品的利润为（20﹣9﹣x）元，每天卖出的商品件数为69+3（x2+x）．∴该商品一天的销售利润为f（x）=（11﹣x）=﹣3x3+30x2﹣36x+759（0≤x≤11）．（Ⅱ）由f′（x）=﹣9x2+60x﹣36=﹣3（3x﹣2）（x﹣6）．令f′（x）=0可得或x=6．当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：11 x06（6，11）f′（x）﹣0+0﹣f（x）759↘极小值↗极大值975↘0∴当商品售价为14元时，一天销售利润最大，最大值为975元22．已知函数f（x）=xlnx，（e=2.718…）．（1）设g（x）=f（x）+x2﹣2（e+1）x+6，①记g（x）的导函数为g'（x），求g'（e）；②若方程g（x）﹣a=0有两个不同实根，求实数a的取值范围；（2）若在上存在一点x0使成立，求实数m的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）①求出函数的导数，计算g′（e）的值即可；②求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）问题转化为，令，根据函数的单调性求出m的范围即可．【解答】解：f（x）的定义域（0，+∞），g（x）的定义域为（0，+∞），（1）①g'（x）=lnx+1+2x﹣2e﹣2，∴g'（e）=0；②，∴g'（x）递增，又g'（e）=0，所以g（x）在（0，e）上递减，（e，+∞）递增，又x趋于0的时候，g（x）趋于6；x趋于+∞的时候，g（x）趋于+∞，又g（e）=6﹣e2﹣e，所以a∈（6﹣e2﹣e，6）；（2）由题可得，∴，∴，令，则h（x）在上的最小值小于0，又，①当m+1≥e时，即m≥e﹣1，h（x）在上递减，所以h（e）＜0，解得；②当m+1≤1即m≤0，h（x）在递增，∴h（1）＜0解得m＜﹣2；③当1＜m+1＜e，即0＜m＜e﹣1，此时要求h（1+m）＜0又0＜ln（1+m）＜1，所以0＜mln（1+m）＜m，所以h（1+m）=2+m﹣mln（1+m）＞2，此时h（1+m）＜0不成立，综上m＜﹣2或．2017年6月12日。
安徽省合肥一中高二数学下学期期中考试 文【会员独享】
合肥一中-第二学期期中考试高二数学(文)试卷一.选择题(每小题3分，共30分)1.设2{|1},{|4},P x x Q x x =<=<则P ∩Q=( )(A){|12}x x -<< (B){|31}x x -<<- (C){|14}x x <<- (D){|21}x x -<< 2.已知5cos()13απ-=-, 且α是第四象限的角,则sin(2)απ-=( ) A. 1213-B. 1213C. 1213± D. 5123.函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-π=-0,01),sin()(12x e x x x f x ，若()1f a =,则a 的所有可能值为( )A. 1B. 22,1-C. 22-D.22,1 4. 设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是( )A . a ＞c ＞bB . a ＞b ＞cC . c ＞a ＞bD . b ＞c ＞a 5.函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称 B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫⎪4⎝⎭，对称D ．关于直线x π=3对称 6.函数2()ln f x x x =-的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,)eC ．(,3)eD ．(,)e +∞7.偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是( )A.（13，23） B. ［13，23） C.（12，23） D. ［12，23）8.213sin cos 0,sin 2cos αααα+==+若则( )A.-1B. 103-C. 103D.19.函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为( ) 10. 已知)(x f 是定义在R 上的奇函数,且是周期为2的周期函数, 当x ∈[0,1)时,()21x f x =-,则12(log 6)f 的值为( )A. 52-B.-5C. 12- D. -6 二.填空题(每小题3分,共15分)11.函数()f x ＝x21-的定义域是12.已知函数()sin tan 3f x a x b x =+- (a,b 是常数),若f(-2)=10,则f(2)= 13.地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R=23(lgE-11.4),中国汶川发生了8.0级特大地震,而日本附近海域发生的地震的震级是9.0级,那么日本附近海域地震能量是汶川地震能量的 倍14.函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________15.函数()f x = log (2)a ax - (a>0且a ≠1)在(-∞,1)上是减函数,则a 的取值范围是 三.解答题16. (本小题满分12分) 已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,(1) 求α2tan 的值. （2）求β.17. (本小题满分12分)已知函数()2cos (sin )1,f x x x x x R =+∈． (1)求函数()f x 的单调增区间； (2) 求函数()f x 在区间[,]62ππ上的最小值和最大值．18. (本小题满分11分) 已知函数2()25(1)f x x ax a =-+>(1)若()f x 的定义域与值域均为[1, a ],求a 的值(2)若()f x 在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的12,[1,1]x x a ∈+,总有 12()()4f x f x -≤,求实数a 的取值范围19. (本小题满分10分)商场现有某商品13每件成本110元，如果每件售价，每天可销售40件“十一”期间，商场决定降价促销，根据市场信息，单价每降低3元，每天可多销售 2件(1) 每件售价多少元，商场销售这一商品每天的利润最大?(2) 如果商场决定在这个节日期间15天内售完，在不亏本的前提下，每件售价多少元。
安徽省合肥市数学高二下学期理数期中段考试卷
安徽省合肥市数学高二下学期理数期中段考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二下·曲周期末) 复数，则（）A . 1B .C . 2D .3. （2分）“x>0”是“”成立的（）A . 必要不充分条件B . 充分不必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）过抛物线y2=2px焦点的直线交抛物线于A、B，o为坐标原点，则的值（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高三上·黑龙江期中) 已知某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 2B .C .D .6. （2分） (2017高一下·西华期末) 如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A . 1﹣B . ﹣C .D .7. （2分） (2016高二下·赣州期末) 若（2x+ ）dx=3+ln2且a＞1，则实数a的值是（）A . 2B . 3C . 5D . 68. （2分）(2018·曲靖模拟) 数列中，，，设其前项和为，则（）A .B .C .D .9. （2分）(2020·淮南模拟) 己知与的图象有三个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）“完成一件事需要分成n个步骤，各个步骤分别有m1 ， m2 ，…，mn种方法，则完成这件事有多少种不同的方法？”，要解决上述问题，应用的原理是（）A . 加法原理B . 减法原理C . 乘法原理D . 除法原理11. （2分） (2015高三上·贵阳期末) 已知双曲线与函数y= 的图象交于点P，若函数y= 的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F（﹣2，0），则双曲线的离心率是（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高三上·大同月考) 已知定义在上的可导函数，对于任意实数都有成立，且当时，都有成立，若，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·运城模拟) 若A为不等式组表示的平面区域，则当a从﹣2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为________．14. （1分）二项式的展开式中，常数项等于________ （用数字作答）．15. （1分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=________16. （1分） (2018高一下·宜宾期末) 在正四棱锥中, ,若一个正方体在该正四棱锥内部可以任意转动，则正方体的最大棱长为________．三、解答题 (共6题；共52分)17. （10分）已知f（α）=（1）化简f（α）；（2）若α为第三象限角，且cos（α﹣π）=，求f（α）的值；（3）若α=﹣π，求f（α）的值．18. （10分） (2017高二下·惠来期中) 已知函数f（x）=xlnx（1）求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数在[1，e]上的最小值为，求a的值；（3）若k∈Z，且f（x）+x﹣k（x﹣1）＞0对任意x＞1恒成立，求k的最大值．19. （2分）(2020·新沂模拟) 如图，在三棱锥中，，分别为棱的中点，平面平面 .求证：（1）∥平面；（2）平面平面 .20. （10分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T（分钟）25303540频数（次）20304010（1）求T的分布列与数学期望ET；（2）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．21. （10分）(2020·陕西模拟) 设椭圆C的方程为，O为坐标原点，A为椭团的上顶点，为其右焦点，D是线段的中点，且 .（1）求椭圆C的方程；（2）过坐标原点且斜率为正数的直线交椭圆C于P，Q两点，分别作轴，轴，垂足分别为E，F，连接，并延长交椭圆C于点M，N两点.（ⅰ）判断的形状；（ⅱ）求四边形面积的最大值.22. （10分）在数列中，（1）若，，求数列的通向公式；（2）若，，证明：。
安徽省合肥市第一中学高二数学下学期期中试卷理(含解析)
安徽省合肥市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试卷 理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若()()221214,,32z m m m m i m R z i =++++-∈=-，则1m =是12z z =的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分又不必要条件 【答案】A考点：复数相等的概念与充要条件.2.设()f x 在定义域内可导，其图象如图所示，则导函()'f x 的图象可能是（ ）【答案】B 【解析】试题分析：函数的递减区间对应的()0f x '<，函数的递增区间对应()0f x '>，可知B 选项符合题意.考点：函数的单调性与导数的关系. 3.由曲线y x =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．103 B ．4 C ．163D ．6 【答案】C 【解析】试题分析：由方程组2y y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得4x =，所以面积()3424200211622|323S x dx x x x ⎛⎫⎤=-=-+= ⎪⎦⎝⎭⎰，故选C. 考点：定积分求面积.4.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）A ．假设,,a b c 都是偶数B ．假设,,a b c 都不是偶数C ．假设,,a b c 至多有一个是偶数D ．假设,,a b c 至多有二个都是偶数 【答案】B考点：命题的否定.5.已知函数()32f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）A ．()00,0x R f x ∃∈=B ．函数()y f x =的图象是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间()0,x -∞上单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点，则()0'0f x = 【答案】C 【解析】试题分析：函数()32f x x ax bx c =+++，当x →+∞时，y →+∞，当x →-∞时，y →-∞，如下图，故一定存在0x R ∈，使()00f x =所以A 正确；B.()32222333a a a f x f x x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23a b x ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭332422,273a ab c x ax bx c c +++++=-+323333a a a a f a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()322,227333a ab a a c f x f x f ⎛⎫⎛⎫=-+∴--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()y f x =的图象关于点,33a a f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成中心对称图形，故B 正确；C.若取1,0a b c ==-=a=b ，则()32f x x x x =--，对于()f x 求导得()()()2321311f x x x x x '=--=+-，令()0f x '>得13x <-或1x >，令()0f x '<得113x -<<，所以()f x 在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上递增，1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，()1,+∞上递增，所以01x =是()f x 的极小值点，但()f x 在区间(),1-∞上不单调，故C 错误；由极值点的定义可知，D 正确，故选C.考点：利用导数研究函数的单调性和极值.6.用数学归纳法证明等式，()123...221n n n ++++=+时，由n k =到1n k =+时，等式左边应添加的项是（ ）A ．21k +B ．22k +C ．()()2122k k +++D ．()()12...2k k k +++++ 【答案】C考点：数学归纳法.7.已知函数()f x 在R 上满足()()22288f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是（ ）A ．21y x =-B ．y x =C ．32y x =-D ．23y x =-+ 【答案】A 【解析】试题分析：在()()22288f x f x x x =--+-中，令1x =得()()()1211,11f f f =-∴=，()()2228f x f x x ''=---+,令1x =得()()()1216,12f f f ''=-+∴=，即切线的斜率为2，所以切线的方程为()121y x -=-即21y x =-，故选A.考点：导数的几何意义.8.下面使用类比推理正确的是（ ）A ．直线,,a b c ，若,a b b c ，则a c ，类推出：向量,,a b c ，若,a b b c ，则a cB ．同一平面内，直线,,a b c ，若,a c b c ⊥⊥，则a b ，类推出：空间中，直线,,a b c ，若,a c b c ⊥⊥， 则a bC ．实数,a b ，若方程20x ax b ++=有实数根，则24a b ≥，类推出：复数,a b ，若方程20x ax b ++=有实数根，则24a b ≥D ．以点()0,0为圆心，r 为半径的圆的方程为222x y r +=，类推出：以点()0,0,0为球心，r 为半径的球的方程为2222x y z r ++= 【答案】D考点：类比推理．9.点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的距离的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．22D 2【答案】D考点：导数几何意义的应用.10.012317345620...C C C C C +++++的值为（ ）A ．321CB ．320C C ．420C D ．421C【答案】D 【解析】 试题分析：0123170123171231734562044562055620.........C C C C C C C C C C C C C C +++++=+++++=++++ 231717466202121...C C C C C =+++==，故选D.考点：二项式系数的性质.【方法点睛】本题主要考查了二项式系数的性质，属于基础题.解答本题的关键是根据题中各二项式系数上标和下标的特征找到解题的突破口，容易发现各二项式系数的下标和上标都是依次加1，如果把03C 用04C 代替就可以利用性质111m m m n n n C C C ++++=从前面开始逐步合并，最终得到1721C ，再利用性质m n m n n C C -=得到421C .11.若()f n 为()21n n N *+∈的各位数字之和，如2141197,19717+=++=，则()1417f =，记()()()()()()1211,...,k k f n f n f f f n f f f n k N *+===∈则()20168f =（ ） A ．3 B ．5 C ．8 D ．11 【答案】C考点：归纳推理【方法点睛】本题主要考查了归纳推理、函数的周期性及数列的递推公式等，属于基础题.解答本题的关键是结合原题给出的实例读懂题意，尤其是明确递推关系()()()()()()1211,...,k k f n f n f f f n f f f n k N *+===∈的意义，通过列举求出数列的前几项，从而归纳出周期.12.若函数()y f x =对任意,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭满足()()'cos sin 0f x x f x x +>，则下列不等式成立的是（ ） A34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B34f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()023f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．()04f π⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：设()(),cos f x g x x=则()()()2cos sin cos f x x f x x g x x '+'=，由题意可知()0g x '>，所以()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以34g g ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即34cos cos 34f f ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A. 考点：利用导数研究函数的单调性.【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性问题，属于中档题.解答本题的关键是根据题目的条件合理构造函数()(),cos f x g x x=从而利用题目的条件()()'cos sin 0f x x f x x +>判断函数的()g x 的单调性，然后结合选项逐个进行判断，解答这类问题时，同学们应把握好涉及到导数的问题主要是利用导数的符号，如何利用已知条件构造函数是解题的突破口.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.由1,2,3,4可以组成 个没有重复数字的正整数． 【答案】64考点：分类计数原理与排列.14.已知 13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，把数列{}n a 的各项排成如下的三角形： 1a2a 3a 4a5a 6a 7a 8a 9a ……记(),A s t 表示第s 行的第t 个数，则()11,12A = ．【答案】11213⎛⎫⎪⎝⎭【解析】试题分析：观察数表可以发现每行的项数构成以1为首项，2为公差的等差数列，所以前10行共有13519100++++=项， ()11,12A 表示数表的第11行的第12个数，所以为数列{}n a 的第112项，由通项公式可知()112112111,123A a ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 考点：归纳推理及等差数列的通项公式和前n 项和公式.15.二维空间中，圆的—维测度（周长）2l r π=；二维测度（面积）2S r π=；一维空间中球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度38V r π=，则其四维测度W = ． 【答案】42r π考点：类比推理．【方法点睛】本题主要考查类比推理，属于基础题.解答本题的关键是通过题目所给的示例结合类比的规则找到类比的规律，即高维测度对半径的导函数就是低一维的测度.类比推理通常有结论的类比和方法、规律的类比两种情况，本题中属于方法、规律的类比，但不论哪种类比，一般情况下都应得到一个真命题.16.已知()3269,f x x x x abc a b c =-+-<<，且()()()0f a f b f c ===，现给出如下结论：①()()010f f >；②()()010f f <；③()()030f f >；④()()030f f <其中正确结论的序号是 ． 【答案】②③考点：函数的零点及函数、方程与不等式的综合应用.【方法点睛】本题主要考查了函数的零点、极值点及函数、方程、不等式知识的综合应用，综合性较强，属于难题.本题解答的关键根据题目条件()()()0f a f b f c ===确定,,a b c 的范围，这也是本题解答的难点，解答的突破口是依据零点表示出()f x 的表达式，根据系数对应相等，得到,,a b c 的关系来进行消元，利用不等式的知识求出a 的范围，问题就容易解决了. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）设复数()()22lg 2146z m m m m i =+-+--，求实数m 为何值时？ （1）z 是实数；（2）z 对应的点位于复平面的第二象限. 【答案】（1）3m =；（2）51m -<<-- 【解析】试题分析：（1）要使z 是实数，应满足对数的真数大于零且虚部等于零；（2）z 对应的点位于复平面的第二象限应满足实部小于零即“真数大于零且小于1”，同时虚部大于零，列出不等式组即可求得实数m 的取值范围.试题解析：（1）226032140m m m m m ⎧--=⎪⇒=⎨+->⎪⎩（舍去2-）.（2）()2222lg 2140021416060m m m m m m m m ⎧+-<⎧<+-<⎪⎪⇒⎨⎨-->⎪-->⎩⎪⎩222214*********2360m m m m m m m m m m m ⎧⎧+-><-->-+⎪⎪⇒+-<⇒-<<⎨⎨⎪⎪<->-->⎩⎩或51m ⇒-<<-考点：复数的相关概念. 18.（本小题满分12分） （1）已知02x π<<，证明：sin tan x x x <<；（2）求证：函数()sin xf x x=在()0,x π∈上为减函数. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.考点：利用导数研究函数的单调性和最值并证明不等式. 19.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意n N *∈都有：()21n n n S a S -=.（1）求123,,S S S ；（2）猜想n S 的表达式并证明. 【答案】（1）123123,,234S S S ===；（2）猜想1n nS n =+，证明见解析.考点：归纳猜想及数学归纳法证明恒等式. 20.（本小题满分12分）在数列{}n a 中，已知1122,1nn n a a a a +==+. （1）证明数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：()113niii a a =-<∑.【答案】（1）221nn n a =-；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）把递推关系121n n n a a a +=+变形，利用等比数列的定义证明11111n na a +--是常数即可，根据证明的结论，求出数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项公式，整理即可得到数列{}n a 的通项公式；（2）对数列(){}1n n a a -的通项公式放缩()()22121in n na a -=<-()()22122nn n--，采用裂项法求出放缩后数列的前n 项和，即可得证.考点：等比数列的定义、通项公式及数列的裂项法求和. 21.（本小题满分12分）已知向量()()(),ln ,1,,(xm e x k n f x m n k =+=为常数，e 是自然对数的底数)，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直，()()'xF x xe f x =.（1）求k 的值及()F x 的单调区间；（2）已知函数()22(g x x ax a =-+为正实数), 若对任意[]20,1x ∈，总存在()10,x ∈+∞，使得()()21g x F x <，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1k =，()F x 的增区间为210,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，减区间为21e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（2）2101a e <<+.（2）对任意[]20,1x ∈，总存在()10,x ∈+∞，使得()()()()21max max ,g x F x g x F x <∴<由 （1）知，当21x e =时，()F x 取得最大值22111F e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于()22g x x ax =-+，其对称轴为x a =当01a <≤时，()()222max 1,1g x g a a a e ==∴<+，从而01a <≤，当1a >时，()()2max1121,211g x g a a e ==-∴-<+，从而2111a e <<+ 时，综上可知：2101a e<<+.考点：导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、给定区间上的最值及不等式的恒成立和有解等.【方法点睛】本题考查了根据导数的几何意义求过函数图象上某点的切线，利用导数研究函数的单调性及在给定区间上的最值问题，考查了分类讨论及转化的数学思想，属于难题.本题解答的难点是第（2）问中对条件“对任意[]20,1x ∈，总存在()10,x ∈+∞，使得()()21g x F x <”的处理，解答时应逐个分析，把问题转化为求函数()g x 和()F x 在给定区间上的最大值问题，结合二次函数和导数知识最终把问题转化为关于参数a 的不等式来求解. 22.（本小题满分12分） 已知函数()ln x f x x =的图象为曲线C ，函数()12g x ax b =+的图象为直线l . （1）当2,3a b ==-时，求()()()F x f x g x =-的最大值； （2）设直线l 与曲线C 的交点横坐标分别为12,x x ，且12x x ≠，求证：()()12122x x g x x ++>.【答案】（1）()max 2F x =；（2）证明见解析.（2））不妨设12x x <要证()()12122x x g x x ++>，只需证()()1212122x x a x x b ⎡⎤+++>⎢⎥⎣⎦，只需证考点：利用导数研究函数的单调性、最值及分析法、综合法等.【方法点睛】本题考查了利用导数在研究函数的单调性、最值中的应用及分析法、综合法等数学证明方法，考查考生的运算求解能力，推理论证能力及转化与化归等数学思想和方法，对考生的数学思维要求较高，有一定的探索性，综合性强，难点大，是高考压轴题中的常见题型.本题解答的难点是第（2）通过分析、变形及题中两个函数解析的特征把要证明的不等式变形得到新函数()11ln1x x G x x x=+-，通过研究求新函数单调性，得其最值达到证明的目的，这也是这类问题最常见的处理策略.。
2016-2017年安徽师大附中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2016-2017学年安徽师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（3分）下列语句不是命题的是（）A．﹣3＞4B．0.3是整数C．a＞3D．4是3的约数2．（3分）若复数z满足，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．（3分）已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B．C．D．4．（3分）已知：，，类比上述等式，则：a+t＝（）A．70B．68C．69D．715．（3分）“直线x﹣y﹣k＝0与圆（x﹣1）2+y2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是（）A．﹣1＜k＜3B．﹣1≤k≤3C．0＜k＜3D．k＜﹣1或k＞3 6．（3分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）的值等于（）A．2B．﹣2C．D．7．（3分）已知变量x，y的一组观测数据如表所示：据此得到的回归方程为＝x+，若＝7.9，则x每增加1个单位，y的预测值就（）A．增加1.4个单位B．减少1.4个单位C．增加1.2个单位D．减少1.2个单位8．（3分）若函数f（x）＝x2﹣在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．[1，+∞）B．[1，）C．[1，+2）D．9．（3分）已知命题“∀x∈R，x2﹣2ax+3≥0”是假命题，则实数a的取值范围为（）A．B．或C．D．10．（3分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）11．（3分）已知；，则f（n+1）﹣f（n）＝（）A．B．C．D．12．（3分）对二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．﹣1是f（x）的零点B．1是f（x）的极值点C．3是f（x）的极值D．点（2，8）在曲线y＝f（x）上二、填空题：本大题共4小题：每题4分，共16分．13．（4分）复数i（1+i）的虚部为．14．（4分）在研究吸烟与患有肺病的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患有肺病有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则有以下说法：①在100个吸烟者中至少有99个人患有肺病；②若1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺病；③在100个吸烟者中一定有患肺病的人；④在100个吸烟者中可能没有一个患肺病的人．你认为正确的说法是．（填上你认为正确的所有说法的序号）15．（4分）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是．16．（4分）如图是函数f（x）＝x3+bx2+cx+d的大致图象，则＝．三、解答题：本大题共5小题：共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（8分）已知p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0；q：实数x 满足．（1）若a＝1，且p，q均正确，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（8分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①②③④是刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形的个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣，设第n个图案包含f（n）个小正方形．（1）求出f（5）的值；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并根据你的关系式求出f（n）的解析式．19．（8分）已知函数f（x）＝kx3﹣3x2+1（k≥0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的极小值大于0，求k的取值范围．20．（12分）地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险常识越来越引起人们的重视．某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况，从高一年级和高二年级各选取100名同学进行紧急避险常识知识竞赛．下图1和图2分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到的频率分布直方图．（Ⅰ）分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”？附：．临界值表：21．（12分）已知函数f（x）＝2x3﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y ＝f（x）相切？（只需写出结论）2016-2017学年安徽师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（3分）下列语句不是命题的是（）A．﹣3＞4B．0.3是整数C．a＞3D．4是3的约数【解答】解：A，B，D都是表示判断一件事情，C无法判断，故选：C．2．（3分）若复数z满足，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【解答】解：由，得z＝i（1﹣i）＝1+i．故选：B．3．（3分）已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由导数的图象可得，导函数f′（x）的值在[﹣1，0]上的逐渐增大，故函数f（x）在[﹣1，0]上增长速度逐渐变大，故函数f（x）的图象是下凹型的．导函数f′（x）的值在[0，1]上的逐渐减小，故函数f（x）在[0，1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，故选：B．4．（3分）已知：，，类比上述等式，则：a+t＝（）A．70B．68C．69D．71【解答】解：观察下列等式：，照此规律，第7个等式中：a＝8，t＝82﹣1＝63a+t＝71．故选：D．5．（3分）“直线x﹣y﹣k＝0与圆（x﹣1）2+y2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是（）A．﹣1＜k＜3B．﹣1≤k≤3C．0＜k＜3D．k＜﹣1或k＞3【解答】解：联立直线与圆的方程得：，消去y得：2x2+（﹣2k﹣2）x+k2﹣1＝0，由题意得：△＝（﹣2k﹣2）2﹣8（k2﹣1）＞0，变形得：（k﹣3）（k+1）＜0，解得：﹣1＜k＜3，∵0＜k＜3是﹣1＜k＜3的一个真子集，∴直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是0＜k＜3．故选：C．6．（3分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）的值等于（）A．2B．﹣2C．D．【解答】解：∵f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，∴f′（x）＝2x+3f′（2）+，令x＝2，则f′（2）＝4+3f′（2）+，即2f′（2）＝﹣，∴f′（2）＝﹣．故选：D．7．（3分）已知变量x，y的一组观测数据如表所示：据此得到的回归方程为＝x+，若＝7.9，则x每增加1个单位，y的预测值就（）A．增加1.4个单位B．减少1.4个单位C．增加1.2个单位D．减少1.2个单位【解答】解：由表格得＝5，＝0.9，∵回归直线方程为＝bx+7.9，过样本中心，∴5b+7.9＝0.9，即b＝﹣，则方程为＝﹣x+7.9，则x每增加1个单位，y的预测值就减少1.4个单位，故选：B．8．（3分）若函数f（x）＝x2﹣在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．[1，+∞）B．[1，）C．[1，+2）D．【解答】解：∵f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2x﹣＝，f′（x）＞0得，x＞；f′（x）＜0得，0＜x＜；∵函数f（x）定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，∴0≤k﹣1＜＜k+1，∴1≤k＜．故选：B．9．（3分）已知命题“∀x∈R，x2﹣2ax+3≥0”是假命题，则实数a的取值范围为（）A．B．或C．D．【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2﹣2ax+3≥0”是假命题，∴命题“∃x∈R，x2﹣2ax+3＜0”是真命题，故△＝4a2﹣12＞0，解得：或，故选：B．10．（3分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【解答】解：设g（x）＝，则g（x）的导数为：g′（x）＝，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）＝为减函数，又∵g（﹣x）＝＝＝＝g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）＝＝0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．11．（3分）已知；，则f（n+1）﹣f（n）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴f（n+1）﹣f（n）＝，故选：D．12．（3分）对二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．﹣1是f（x）的零点B．1是f（x）的极值点C．3是f（x）的极值D．点（2，8）在曲线y＝f（x）上【解答】解：可采取排除法．若A错，则B，C，D正确．即有f（x）＝ax2+bx+c的导数为f′（x）＝2ax+b，即有f′（1）＝0，即2a+b＝0，①又f（1）＝3，即a+b+c＝3②，又f（2）＝8，即4a+2b+c＝8，③由①②③解得，a＝5，b＝﹣10，c＝8．符合a为非零整数．若B错，则A，C，D正确，则有a﹣b+c＝0，且4a+2b+c＝8，且＝3，解得a∈∅，不成立；若C错，则A，B，D正确，则有a﹣b+c＝0，且2a+b＝0，且4a+2b+c＝8，解得a＝﹣不为非零整数，不成立；若D错，则A，B，C正确，则有a﹣b+c＝0，且2a+b＝0，且＝3，解得a＝﹣不为非零整数，不成立．故选：A．二、填空题：本大题共4小题：每题4分，共16分．13．（4分）复数i（1+i）的虚部为1．【解答】解：复数i（1+i）＝﹣1+i．复数的虚部为：1．故答案为：1．14．（4分）在研究吸烟与患有肺病的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患有肺病有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则有以下说法：①在100个吸烟者中至少有99个人患有肺病；②若1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺病；③在100个吸烟者中一定有患肺病的人；④在100个吸烟者中可能没有一个患肺病的人．你认为正确的说法是②④．（填上你认为正确的所有说法的序号）【解答】解：独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中的确定性是存在差异的．①在100个吸烟者中至少有99个人患有肺病，显然错误；②若1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺病，根据统计，是正确的；③在100个吸烟者中一定有患肺病的人，显然错误；④在100个吸烟者中可能没有一个患肺病的人，也有可能，故正确．故答案为②④．15．（4分）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是存在一个能被2整除的数不是偶数．【解答】解：命题“所有能被2整除的数都是偶数”是一个全称命题．其否定一定是一个特称命题，结合全称命题的否定方法，我们易得，命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是：存在一个能被2整除的数不是偶数．故答案为：存在一个能被2整除的数不是偶数．16．（4分）如图是函数f（x）＝x3+bx2+cx+d的大致图象，则＝．【解答】解：由图象知f（x）＝0的根为0，1，2，∴d＝0．∴f（x）＝x3+bx2+cx＝x（x2+bx+c）＝0．∴x2+bx+c＝0的两个根为1和2．∴b＝﹣3，c＝2．∴f（x）＝x3﹣3x2+2x．∴f′（x）＝3x2﹣6x+2．∵x1，x2为3x2﹣6x+2＝0的两根，∴．∴．故填：．三、解答题：本大题共5小题：共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（8分）已知p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0；q：实数x 满足．（1）若a＝1，且p，q均正确，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1，（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得1＜x＜3，由解得2＜x≤3，∵p，q均正确，∴2＜x＜3，故实数x的取值范围为（2，3），（2）∵￢p是￢q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，∵p为a＜x＜3a，∴，解得1＜a≤2，故实数a的取值范围（1，2]．18．（8分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①②③④是刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形的个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣，设第n个图案包含f（n）个小正方形．（1）求出f（5）的值；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并根据你的关系式求出f（n）的解析式．【解答】解：（1）∵f（1）＝1，f（2）＝5，f（3）＝13，f（4）＝25，∴f（2）﹣f（1）＝4＝4×1．f（3）﹣f（2）＝8＝4×2，f（4）﹣f（3）＝12＝4×3，f（5）﹣f（4）＝16＝4×4∴f（5）＝25+4×4＝41．（2）由上式规律得出f（n+1）﹣f（n）＝4n．∴f（2）﹣f（1）＝4×1，f（3）﹣f（2）＝4×2，f（4）﹣f（3）＝4×3，…f（n﹣1）﹣f（n﹣2）＝4•（n﹣2），f（n）﹣f（n﹣1）＝4•（n﹣1）∴f（n）﹣f（1）＝4[1+2+…+（n﹣2）+（n﹣1）]＝2（n﹣1）•n，∴f（n）＝2n2﹣2n+1．19．（8分）已知函数f（x）＝kx3﹣3x2+1（k≥0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的极小值大于0，求k的取值范围．【解答】解：（I）当k＝0时，f（x）＝﹣3x2+1∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，0]，单调减区间[0，+∞）．当k＞0时，f'（x）＝3kx2﹣6x＝3kx（x﹣）∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，0]，[，+∞），单调减区间为[0，]．（II）当k＝0时，函数f（x）不存在最小值．当k＞0时，依题意f（）＝﹣+1＞0，即k2＞4，由条件k＞0，所以k的取值范围为（2，+∞）20．（12分）地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险常识越来越引起人们的重视．某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况，从高一年级和高二年级各选取100名同学进行紧急避险常识知识竞赛．下图1和图2分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到的频率分布直方图．（Ⅰ）分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”？附：．临界值表： 【解答】解：（Ⅰ）七年级学生竞赛平均成绩（45×30+55×40+65×20+75×10）÷100＝56（分），八年级学生竞赛平均成绩（45×15+55×35+65×35+75×15）÷100＝60（分）． …（6分） （Ⅱ）…（8分） ∴，∴有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”． 21．（12分）已知函数f （x ）＝2x 3﹣3x ． （Ⅰ）求f （x ）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P （1，t ）存在3条直线与曲线y ＝f （x ）相切，求t 的取值范围； （Ⅲ）问过点A （﹣1，2），B （2，10），C （0，2）分别存在几条直线与曲线y ＝f （x ）相切？（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）由f （x ）＝2x 3﹣3x 得f ′（x ）＝6x 2﹣3，令f′（x）＝0得，x＝﹣或x＝，∵f（﹣2）＝﹣10，f（﹣）＝，f（）＝﹣，f（1）＝﹣1，∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y＝f（x）相切于点（x0，y0），则y0＝2﹣3x0，且切线斜率为k＝6﹣3，∴切线方程为y﹣y0＝（6﹣3）（x﹣x0），∴t﹣y0＝（6﹣3）（1﹣x0），即4﹣6+t+3＝0，设g（x）＝4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）＝12x2﹣12x＝12x（x﹣1），∴g（x）与g′（x）变化情况如下：∴g（0）＝t+3是g（x）的极大值，g（1）＝t+1是g（x）的极小值．当g（0）＝t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1]和（1，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（1）＝t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）＝t﹣7＜0，g（2）＝t+11＞0，∴g（x）分别在区间[﹣1，0），[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上单调，故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上恰有1个零点．综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）．（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线y＝f（x）相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线y＝f（x）相切．。
2016-2017年安徽省淮北一中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2016-2017学年安徽省淮北一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）2．（5分）已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）3．（5分）计算=（）A．﹣1B．i C．﹣i D．14．（5分）若抛物线y2=2px（p＞0）上的点A（x0，）到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于（）A．B．1C．D．25．（5分）若m∈R，则“log6m=﹣1”是“直线l1：x+2my﹣1=0与l2：（3m﹣1）x﹣my﹣1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）在利用最小二乘法求回归方程时，用到了如表中的5组数据，则表格a中的值为（）A．68B．70C．75D．727．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a2017=（）A．2016B．2017C．4032D．40348．（5分）如图是某个几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的直径为（）A．2B．C．D．9．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣c）2+y2=4a2截得弦长为2b（其中c为双曲线的半焦距），则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．11．（5分）将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A ．B．C ．﹣D ．﹣12．（5分）若函数f（x）=ae x﹣x﹣2a有两个零点，则实数a的取值范围是（）A ．B．C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分.）13．（5分）命题∀x∈R，x2﹣x+3＞0的否定是．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，△ABC的面积为4，则c=．15．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg．在不超过600个工时的条件下，求生产产品A、产品B的利润之和的最大值．16．（5分）设函数f（x）=x3+（+2）x2﹣2x，（x＞0），若对于任意的t∈[1，2]，函数f（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，则m的取值范围是为．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1=2，且2a1，a3，3a2成等差数列．（Ⅰ）求等比数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=11﹣2log2a n，求数列{b n}的前n项和T n的最大值．18．（12分）根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．19．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．20．（10分）已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|P A|的最大值与最小值．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交椭圆于A，B两点，△ABF1的周长为8，且△AF1F2的面积的最大时，△AF1F2为正三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）若是椭圆C经过原点的弦，MN∥AB，求证：为定值．22．（12分）设函数f（x）=alnx+，其中a为常数．（Ⅰ）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．2016-2017学年安徽省淮北一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）【解答】解：M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N={x|﹣1＜x＜1}，故选：B．2．（5分）已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），则向量==（﹣7，﹣4）；故选：A．3．（5分）计算=（）A．﹣1B．i C．﹣i D．1【解答】解：=．故选：B．4．（5分）若抛物线y2=2px（p＞0）上的点A（x0，）到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于（）A．B．1C．D．2【解答】解：由题意，3x0=x0+，∴x0=，∴=2，∵p＞0，∴p=2，故选：D．5．（5分）若m∈R，则“log6m=﹣1”是“直线l1：x+2my﹣1=0与l2：（3m﹣1）x﹣my﹣1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由log6m=﹣1得m=，若l1：x+2my﹣1=0与l2：（3m﹣1）x﹣my﹣1=0平行，则直线斜率相等或斜率不存在，解得m=0或m=，则“log6m=﹣1”是“直线l1：x+2my﹣1=0与l2：（3m﹣1）x﹣my﹣1=0平行”的充分不必要条件，故选：A．6．（5分）在利用最小二乘法求回归方程时，用到了如表中的5组数据，则表格a中的值为（）A．68B．70C．75D．72【解答】解：由题意可得=（10+20+30+40+50）=30，=（62+a+75+81+89），因为回归直线方程，过样本点的中心点，所以（a+307）=0.67×30+54.9，解得a=68故选：A．7．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a2017=（）A．2016B．2017C．4032D．4034【解答】解：∵，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为：，∴=…==1，∴a n=n．则a2017=2017．故选：B．8．（5分）如图是某个几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的直径为（）A．2B．C．D．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体如图：四棱锥S﹣BCDE，是正方体的一部分，正方体的棱长为2；所以几何体外接球为正方体外接球，该几何体外接球的直径为2．故选：D．9．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣c）2+y2=4a2截得弦长为2b（其中c为双曲线的半焦距），则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx+ay=0，圆（x﹣c）2+y2=4a2的圆心到双曲线的渐近线的距离为：，∵渐近线被圆（x﹣c）2+y2=4a2截得的弦长为：2b，∴b2+b2=4a2，∴b2=2a2，即c2=3a2，∴e=．故选：B．10．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．11．（5分）将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，k∈z，∴φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣），由题意x∈[0，]，得2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]∴函数y=sin（2x﹣）在区间[0，]的最小值为﹣．故选：D．12．（5分）若函数f（x）=ae x﹣x﹣2a有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）【解答】解：函数f（x）=ae x﹣x﹣2a的导函数f′（x）=ae x﹣1，当a≤0时，f′（x）≤0恒成立，函数f（x）在R上单调，不可能有两个零点；当a＞0时，令f′（x）=0，得x=ln，函数在（﹣∞，ln）递减，在（ln，+∞）递增，所以f（x）的最小值为f（ln）=1﹣ln﹣2a=1+lna﹣2a，令g（a）=1+lna﹣2a，（a＞0），g′（a）=，a，g（a）递增，a 递减，∴．∴f（x）的最小值为f（ln）＜0，函数f（x）=ae x﹣x﹣2a有两个零点；综上实数a的取值范围是：（0，+∞），故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分.）13．（5分）命题∀x∈R，x2﹣x+3＞0的否定是∃x∈R，x2﹣x+3≤0．【解答】解：原命题为：∀x∈R，x2﹣x+3＞0∵原命题为全称命题∴其否定为存在性命题，且不等号须改变∴原命题的否定为：∃x∈R，x2﹣x+3≤0故答案为：∃x∈R，x2﹣x+3≤014．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，△ABC的面积为4，则c=6．【解答】解：由，∴ab=c，sin C==．∴=×=4，解得c=6．故答案为：6．15．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg．在不超过600个工时的条件下，求生产产品A、产品B的利润之和的最大值．【解答】解：设A、B两种产品的产量分别为x，y件，利润之和为z，约束条件是，由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分，生产产品A、产品B的利润之和为z，目标函数是z=2100x+900y，可得y=﹣x+z，截距最大时z最大．结合图象可知，z=2100x+900y经过点（60，100）处取得最大值，此时z=2100×60+900×100=216000元，故生产产品A、产品B的利润之和的最大值216000元．16．（5分）设函数f（x）=x3+（+2）x2﹣2x，（x＞0），若对于任意的t∈[1，2]，函数f（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，则m的取值范围是为．【解答】解：f（x）=x3+（+2）x2﹣2x，∴f′（x）=3x2+（m+4）x﹣2，∵f（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且f′（0）=﹣2，∴，由题意得：对于任意的t∈[1，2]，f′（t）＜0恒成立，∴，∴﹣＜m＜﹣9，故答案为：．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1=2，且2a1，a3，3a2成等差数列．（Ⅰ）求等比数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=11﹣2log2a n，求数列{b n}的前n项和T n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，a n＞0因为2a1，a3，3a2成等差数列，所以2a1+3a2=2a3，即，所以2q2﹣3q﹣2=0，解得q=2或（舍去），又a1=2，所以数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由题意得，b n=11﹣2log2a n=11﹣2n，则b1=9，且b n+1﹣b n=﹣2，故数列{b n}是首项为9，公差为﹣2的等差数列，所以=﹣（n﹣5）2+25，所以当n=5时，T n的最大值为25．18．（12分）根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．【解答】解：（1）设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A1，A2，A3，PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B1，B2．所以5天任取2天的情况有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共10种．…（4分）其中符合条件的有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共6种．…（6分）所以所求的概率P==．…（8分）（2）①由第四组的频率为：0.1得：25a=0.1，解得：a=0.004②去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5（微克/立方米）．…（10分）因为42.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．…（12分）19．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴AC⊥BE，则AC⊥平面BED，∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面BED；解：（Ⅱ）设AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，得AG=GC=x，GB=GD=，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥BG，则△EBG为直角三角形，∴EG=AC=AG=x，则BE==x，∵三棱锥E﹣ACD的体积V===，解得x=2，即AB=2，∵∠ABC=120°，∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC cos ABC=4+4﹣2×=12，即AC=，在三个直角三角形EBA，EBD，EBC中，斜边AE=EC=ED，∵AE⊥EC，∴△EAC为等腰三角形，则AE2+EC2=AC2=12，即2AE2=12，∴AE2=6，则AE=，∴从而得AE=EC=ED=，∴△EAC的面积S==3，在等腰三角形EAD中，过E作EF⊥AD于F，则AE=，AF==，则EF=，∴△EAD的面积和△ECD的面积均为S==，故该三棱锥的侧面积为3+2．20．（10分）已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|P A|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|P A|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|P A|取得最小值，最小值为．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交椭圆于A，B两点，△ABF1的周长为8，且△AF1F2的面积的最大时，△AF1F2为正三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）若是椭圆C经过原点的弦，MN∥AB，求证：为定值．【解答】解：（1）由已知A，B在椭圆上，可得|AF1|+|AF2|=|BF1|=|BF2|=2a，又△ABF1的周长为8，所以|AF1|+|AF2|+|BF1|=|BF2|=4a=8，即a=2，由椭圆的对称性可得，△AF1F2为正三角形当且仅当A为椭圆短轴顶点，则a=2c，即c=1，b2=a2﹣c2=3，则椭圆C的方程为+=1；（2）证明：若直线l的斜率不存在，即l：x=1，求得|AB|=3，|MN|=2，可得=4；若直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），代入椭圆方程+=1，可得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，有x1+x2=，x1x2=，|AB|=•=，由y=kx代入椭圆方程，可得x=±，|MN|=2•=4，即有=4．综上可得为定值4．22．（12分）设函数f（x）=alnx+，其中a为常数．（Ⅰ）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．【解答】解：，（Ⅰ）当a=0时，，f′（1）=，f（1）=0∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（x﹣1）．（Ⅱ）（1）当a≥0时，由x＞0知f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）当a＜0时，令f′（x）＞0，则＞0，整理得，ax2+（2a+2）x+a ＞0，令f′（x）＜0，则＜0，整理得，ax2+（2a+2）x+a＜0．以下考虑函数g（x）=ax2+（2a+2）x+a，g（0）=a＜0.，对称轴方程．①当a≤﹣时，△≤0，∴g（x）＜0恒成立．（x＞0）②当﹣＜a＜0时，此时，对称轴方程＞0，∴g（x）=0的两根都为正根，计算得当0＜x＜时，g（x）＜0；当＜x＜时，g（x）＞0．当x＞时，g（x）＜0．综合（1）（2）可知，当a≤﹣时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当﹣＜a＜0时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，）单调递增，在（，+∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．。
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2016-2017学年安徽省合肥一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数z满足（1+i）z=2﹣i，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列说法错误的是（）A．在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B．在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好C．线性回归方程对应的直线=x+至少经过其样本数据点中的一个点D．在回归分析中，相关指数R2越大，模拟的效果越好3．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据，整理、分析数据得出“吸烟与患肺癌有关”的结论，并有99%的把握认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是（）A．吸烟人患肺癌的概率为99%B．认为“吸烟与患肺癌有关”犯错误的概率不超过1%C．吸烟的人一定会患肺癌D．100个吸烟人大约有99个人患有肺癌4．执行如图所给的程序框图，则运行后输出的结果是（）A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．25．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2=，3=，4=，5=则按照以上规律，若8=具有“穿墙术”，则n=（）A．7 B．35 C．48 D．636．函数y=sinx的图象与函数y=x图象的交点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．37．已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（）A．e B．﹣e C．D．﹣8．关于x的方程x3﹣3x2﹣a=0有三个不同的实数解，则a的取值范围是（）A．（﹣4，0）B．（﹣∞，0）C．（1，+∞）D．（0，1）9．设复数z满足|z﹣3+4i|=|z+3﹣4i|，则复数z在复平面上对应点的轨迹是（）A．圆B．半圆C．直线D．射线10．若函数f（x）=﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．1＜a≤2 B．a≥4 C．a≤2 D．0＜a≤311．已知x1，x2分别是函数f（x）=x3+ax2+2bx+c的两个极值点，且x1∈（0，1）x2∈（1，2），则的取值范围为（）A．（1，4） B．（，1）C．（，）D．（，1）12．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若对任意实数x，有f（x）＞f'（x），且f（x）+2017为奇函数，则不等式f（x）+2017e x＜0的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．复数的共轭复数是．14．已知x与y之间的一组数据：已求得关于y与x的线性回归方程y=1.2x+0.4，则a的值为．15．若点P（a，b）在函数y=﹣x2+3lnx的图象上，点Q（c，d）在函数y=x+2的图象上，则|PQ|的最小值为．16．德国数学家科拉茨1937年提出一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则旅行变换后的第9项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.其中17题10分，18-22每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=﹣ax+b，在点M（1，f（1））处的切线方程为9x+3y ﹣10=0，求（1）实数a，b的值；（2）函数f（x）的单调区间以及在区间[0，3]上的最值．18．某种产品的广告费用支出x（万元）与销售额y（万元）之间有如下的对应数据：（1）求回归直线方程；（2）据此估计广告费用为12万元时的销售额约为多少？参考公式：=，=﹣，=x+．19．为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．如图所示茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩．（1）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请画出下面的2×2列联表．（2）判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．下面临界值表仅供参考：参考公式：K2=．20．已知函数．（1）分别求的值，并归纳猜想一般性结论（不要求证明）；（2）求值：．21．某种商品每件进价9元，售价20元，每天可卖出69件．若售价降低，销售量可以增加，且售价降低x（0≤x≤11）元时，每天多卖出的件数与x2+x成正比．已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件．（Ⅰ）试将该商品一天的销售利润表示成x的函数；（Ⅱ）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？22．已知函数f（x）=xlnx，（e=2.718…）．（1）设g（x）=f（x）+x2﹣2（e+1）x+6，①记g（x）的导函数为g'（x），求g'（e）；②若方程g（x）﹣a=0有两个不同实根，求实数a的取值范围；（2）若在[1，e]上存在一点x0使成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年安徽省合肥一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数z满足（1+i）z=2﹣i，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数z满足（1+i）z=2﹣i，∴（1﹣i）（1+i）z=（1﹣i）（2﹣i），∴2z=1﹣3i，∴z=i．则复数z在复平面内对应的点在第四象限．故选：D．2．下列说法错误的是（）A．在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B．在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好C．线性回归方程对应的直线=x+至少经过其样本数据点中的一个点D．在回归分析中，相关指数R2越大，模拟的效果越好【考点】BS：相关系数．【分析】根据统计分析的观点，对选项中的命题进行分析、判断即可．【解答】解：对于A，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，正确；对于B，残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好，正确；对于C，线性回归方程对应的直线=x+过样本中心点，不一定过样本数据中的点，故C错误；对于D，回归分析中，相关指数R2越大，其模拟的效果就越好，正确．故选：C．3．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据，整理、分析数据得出“吸烟与患肺癌有关”的结论，并有99%的把握认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是（）A．吸烟人患肺癌的概率为99%B．认为“吸烟与患肺癌有关”犯错误的概率不超过1%C．吸烟的人一定会患肺癌D．100个吸烟人大约有99个人患有肺癌【考点】BN：独立性检验的基本思想．【分析】“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，表示有99%的把握认为这个结论成立，与多少个人患肺癌没有关系，得到结论．【解答】解：∵“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，表示有99%的把握认为这个结论成立，与多少个人患肺癌没有关系，只有B选项正确，故选：B．4．执行如图所给的程序框图，则运行后输出的结果是（）A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．2【考点】EF：程序框图．【分析】开始条件s=0，i=1，循环条件i≤6，知道i＞6，循环停止，根据i是奇偶进行计算，从而求解；【解答】解：开始条件：s=0，i=1，（i≤6）i=1，i是奇数，可得s=0+1=1，i=2，i是偶数，可得s=1﹣2=﹣1，i=3，可得s=﹣1+3=2，i=4，s=2﹣4=﹣2，i=5，s=﹣2+5=3，i=6，s=3﹣6=﹣3，i=7，输出s=﹣3，故选B；5．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2=，3=，4=，5=则按照以上规律，若8=具有“穿墙术”，则n=（）A．7 B．35 C．48 D．63【考点】F1：归纳推理．【分析】观察所告诉的式子，找到其中的规律，问题得以解决．【解答】解2=2==，3=3=，4=4=，5=5=则按照以上规律8=，可得n=82﹣1=63，故选：D．6．函数y=sinx的图象与函数y=x图象的交点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】作出函数y=sinx与y=x的图象，利用数形结合进行求解．【解答】解：作出函数y=sinx与y=x的图象如图：则两个图象只有1个交点，故选：B．7．已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（）A．e B．﹣e C．D．﹣【考点】62：导数的几何意义．【分析】欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=lnx，∴y'=，设切点为（m，lnm），得切线的斜率为，所以曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：y﹣lnm=×（x﹣m）．它过原点，∴﹣lnm=﹣1，∴m=e，∴k=．故选C．8．关于x的方程x3﹣3x2﹣a=0有三个不同的实数解，则a的取值范围是（）A．（﹣4，0）B．（﹣∞，0）C．（1，+∞）D．（0，1）【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】构造f（x）=x3﹣3x2﹣a，则f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），可知f（0）=﹣a为极大值，f（2）=﹣4﹣a为极小值，从而当极大值大于0，极小值小于0时，有三个不等实根，由此可得a的取值范围．【解答】解：假设f（x）=x3﹣3x2﹣a，则f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）∴函数在（﹣∞，0），（2，+∞）上单调增，在（0，2）上单调减∴f（0）=﹣a为极大值，f（2）=﹣4﹣a为极小值当f（0）＞0，f（2）＜0时，即﹣a＞0，﹣4﹣a＜0，即﹣4＜a＜0时，有三个不等实根故选A．9．设复数z满足|z﹣3+4i|=|z+3﹣4i|，则复数z在复平面上对应点的轨迹是（）A．圆B．半圆C．直线D．射线【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】直接利用复数的几何意义，判断选项即可．【解答】解：因为复数z满足|z﹣3+4i|=|z+3﹣4i|，复数z的几何意义是复平面的点到（3，﹣4），（﹣3，4）距离相等的点的轨迹，是两点的中垂线，故选：C．10．若函数f（x）=﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．1＜a≤2 B．a≥4 C．a≤2 D．0＜a≤3【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】首先求出函数的单调递减区间，然后结合数轴分析求出m的范围即可．【解答】解：∵，∴函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=x﹣，∵x＞0，∴由f′（x）=x﹣＜0，得0＜x＜3．∵函数在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，∴，解得1＜a≤2．故选A．11．已知x1，x2分别是函数f（x）=x3+ax2+2bx+c的两个极值点，且x1∈（0，1）x2∈（1，2），则的取值范围为（）A．（1，4） B．（，1）C．（，）D．（，1）【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域，明确目标函数的几何意义，即可求得结论．【解答】解：求导函数可得f'（x）=x2+ax+2b，依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈（0，1），x2∈（1，2），等价于f'（0）＞0，f'（1）＜0，f'（2）＞0．∴满足条件的（a，b）的平面区域为图中阴影部分，三角形的三个顶点坐标为（﹣1，0），（﹣2，0），（﹣3，1）的取表示（a，b）与点（1，2）连线的斜率，由图可知斜率的最大值为=1，最小值为=，故选：D．12．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若对任意实数x，有f（x）＞f'（x），且f（x）+2017为奇函数，则不等式f（x）+2017e x＜0的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．D．【考点】3L：函数奇偶性的性质；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】令2017g（x）=，（x∈R），从而求导g′（x）＜0，从而可判断y=g （x）单调递减，从而可得到不等式的解集．【解答】解：设2017g（x）=，由f（x）＞f′（x），得：g′（x）=＜0，故函数g（x）在R递减，由f（x）+2017为奇函数，得f（0）=﹣2017，∴g（0）=﹣1，∵f（x）+2017e x＜0，∴＜﹣2017，即g（x）＜g（0），结合函数的单调性得：x＞0，故不等式f（x）+2017e x＜0的解集是（0，+∞）．故选B．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．复数的共轭复数是．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果．【解答】解：复数==，故其共轭复数为，故答案为：．14．已知x与y之间的一组数据：已求得关于y与x的线性回归方程y=1.2x+0.4，则a的值为2．【考点】BK：线性回归方程．【分析】求出样本中心，代入回归直线方程求解即可．【解答】解：由题意可得：=3，==a+2，可得：a+2=1.2×3+0.4，解得a=2．故答案为：2．15．若点P（a，b）在函数y=﹣x2+3lnx的图象上，点Q（c，d）在函数y=x+2的图象上，则|PQ|的最小值为2．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出与直线y=x+2平行且与曲线y=﹣x2+3lnx相切的直线y=x+m．再求出此两条平行线之间的距离，即可得出结论．【解答】解：设直线y=x+m与曲线y=﹣x2+3lnx相切于P（x0，y0），由函数y=﹣x2+3lnx，∴y′=﹣2x+，令﹣2x0+=1，又x0＞0，解得x0=1．∴y0=﹣1+3ln1=﹣1，可得切点P（1，﹣1）．代入﹣1=1+m，解得m=﹣2．可得与直线y=x+2平行且与曲线y=﹣x2+3lnx相切的直线y=x﹣2．而两条平行线y=x+2与y=x﹣2的距离d=2．故答案为2．16．德国数学家科拉茨1937年提出一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则旅行变换后的第9项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为7．【考点】8B：数列的应用．【分析】利用第9项为1出发，按照规则，逆向逐项即可求出n的所有可能的取值．【解答】解：如果正整数n按照上述规则施行变换后的第9项为1，则变换中的第8项一定是2，则变换中的第7项一定是4，变换中的第6项可能是1，也可能是8；变换中的第5项可能是2，也可是16，变换中的第5项是2时，变换中的第4项是4，变换中的第3项是1或8，变换中的第2项是2或16，变换中的第5项是16时，变换中的第4项是32或5，变换中的第3项是64或10，变换中的第2项是20或3，变换中第2项为2时，第1项为4，变换中第2项为16时，第1项为32或5，变换中第2项为3时，第1项为6，变换中第2项为20时，第1项为40，变换中第2项为21时，第1项为42，变换中第2项为128时，第1项为256，则n的所有可能的取值为4，5，6，32，40，42，256，共7个，故答案为：7．三、解答题（本大题共6小题，共70分.其中17题10分，18-22每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=﹣ax+b，在点M（1，f（1））处的切线方程为9x+3y ﹣10=0，求（1）实数a，b的值；（2）函数f（x）的单调区间以及在区间[0，3]上的最值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出曲线的斜率，切点坐标，求出函数的导数，利用导函数值域斜率的关系，即可求出a，b．（2）求出导函数的符号，判断函数的单调性以及求解闭区间的函数的最值．【解答】解：（1）因为在点M（1，f（1））处的切线方程为9x+3y﹣10=0，所以切线斜率是k=﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣且9×1+3f（1）﹣10=0，求得，即点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又函数，则f′（x）=x2﹣a﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以依题意得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由（1）知所以f′（x）=x2﹣4=（x+2）（x﹣2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令f′（x）=0，解得x=2或x=﹣2当f′（x）＞0⇒x＞2或x＜﹣2；当f′（x）＜0⇒﹣2＜x＜2所以函数f（x）的单调递增区间是（﹣∞，2），（2，+∞）单调递减区间是（﹣2，2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又x∈[0，3]所以当x变化时，f（x）和f′（x）变化情况如下表：所以当x∈[0，3]时，f（x）max=f（0）=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．某种产品的广告费用支出x（万元）与销售额y（万元）之间有如下的对应数据：（1）求回归直线方程；（2）据此估计广告费用为12万元时的销售额约为多少？参考公式：=，=﹣，=x+．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）根据所给的数据先做出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法写出线性回归方程系数的表达式，把样本中心点代入求出a的值，得到线性回归方程．（2）根据所给的变量x的值，把值代入线性回归方程，得到对应的y的值，这里的y的值是一个预报值．【解答】解：（1）求回归直线方程==5==50b==6.5a=50﹣6.5×5=17.5∴因此回归直线方程为y=6.5x+17.5；（2）当x=12时，预报y的值为y=12×6.5+17.5=95.5万元．即广告费用为12万元时，销售收入y的值大约是95.5万元．19．为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．如图所示茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩．（1）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请画出下面的2×2列联表．（2）判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．下面临界值表仅供参考：参考公式：K2=．【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（1）由所给数据，结合40，即可补全2×2列联表；（2）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，即可得出结论．【解答】解：（1）…（2）K2==6.4＞5.024 …因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．…20．已知函数．（1）分别求的值，并归纳猜想一般性结论（不要求证明）；（2）求值：．【考点】F1：归纳推理．【分析】（1）代值计算即可，并猜想一般的结论，（2）由（1），即可得出结论．【解答】解：（1）∵，∴，同理可得，猜想．（2）∵，又由（1）得，，则=．21．某种商品每件进价9元，售价20元，每天可卖出69件．若售价降低，销售量可以增加，且售价降低x（0≤x≤11）元时，每天多卖出的件数与x2+x成正比．已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件．（Ⅰ）试将该商品一天的销售利润表示成x的函数；（Ⅱ）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；36：函数解析式的求解及常用方法；5D：函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）由题意设出每天多卖出的件数k（x2+x），结合售价降低3元时，一天可多卖出36件求得k的值，然后写出商品一天的销售利润函数；（Ⅱ）利用导数求出函数的极值点，求得极值，比较端点值后得到利润的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设每天多卖出的件数为k（x2+x），∴36=k（32+3），∴k=3．又每件商品的利润为（20﹣9﹣x）元，每天卖出的商品件数为69+3（x2+x）．∴该商品一天的销售利润为f（x）=（11﹣x）[69+3（x2+x）]=﹣3x3+30x2﹣36x+759（0≤x≤11）．（Ⅱ）由f′（x）=﹣9x2+60x﹣36=﹣3（3x﹣2）（x﹣6）．令f′（x）=0可得或x=6．当x 变化时，f′（x ）、f （x ）的变化情况如下表：∴当商品售价为14元时，一天销售利润最大，最大值为975元22．已知函数f （x ）=xlnx ，（e=2.718…）． （1）设g （x ）=f （x ）+x 2﹣2（e +1）x +6， ①记g （x ）的导函数为g'（x ），求g'（e ）；②若方程g （x ）﹣a=0有两个不同实根，求实数a 的取值范围； （2）若在[1，e ]上存在一点x 0使成立，求实数m 的取值范围．【考点】6E ：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）①求出函数的导数，计算g′（e）的值即可；②求出函数的导数，根据函数的单调性求出a 的范围即可； （2）问题转化为，令，根据函数的单调性求出m 的范围即可．【解答】解：f （x ）的定义域（0，+∞），g （x ）的定义域为（0，+∞）， （1）①g'（x ）=lnx +1+2x ﹣2e ﹣2，∴g'（e ）=0； ②，∴g'（x ）递增，又g'（e ）=0，所以g （x ）在（0，e ）上递减，（e ，+∞）递增， 又x 趋于0的时候，g （x ）趋于6； x 趋于+∞的时候，g （x ）趋于+∞，又g （e ）=6﹣e 2﹣e ，所以a ∈（6﹣e 2﹣e ，6）； （2）由题可得，∴，∴，令，则h（x）在[1，e]上的最小值小于0，又，①当m+1≥e时，即m≥e﹣1，h（x）在[1，e]上递减，所以h（e）＜0，解得；②当m+1≤1即m≤0，h（x）在[1，e]递增，∴h（1）＜0解得m＜﹣2；③当1＜m+1＜e，即0＜m＜e﹣1，此时要求h（1+m）＜0又0＜ln（1+m）＜1，所以0＜mln（1+m）＜m，所以h（1+m）=2+m﹣mln（1+m）＞2，此时h（1+m）＜0不成立，综上m＜﹣2或．2017年6月12日。