安徽省合肥一中19-20学年高二上学期期末数学试卷 (附答案解析)
19-20学年安徽省合肥六中高二上学期期末数学试卷 (含答案解析)
19-20 学年安徽省合肥六中高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 若集合 ==+ 2)}， =< 1}，则 ∩ =A. B. − 2 < < 0} − 2 < < 1}− 2 ≤ < 0} C.D.− 2 ≤ < 1}2. 已知直线 ⊥平面 ，直线 ⊂平面 ，有下列命题：⇒ ⊥ ，⊥ ⇒⇒ ⊥ ⊥ ⇒正确的命题是( )A. B. C. D. ①与 ②③与④②与④①与③3. 若直线 : ++ 6 = 0与直线 : + −+ 5 = 0垂直，则实数 的值是( )a 12B. C. D. A. 2312 124. 已知双曲线 2 −2= 1的一个焦点与抛物线=的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为( )25B. C. D. A. √55= ± 2√5= ± √5= ±√= ± 525. 下列命题错误的是( )A. B. 命题“若 2 < 1，则−1 < < 1”的逆否命题是“若 ≥ 1或 ≤ −1，则 2 ≥ 1”1 < 0，则 ： 1 ≥ 0若 ： pC. D. ∈ ∈ 命题 ；存在 p，使得 2 + + 1 < 0，则；任意 ，使得 2 + + 1 ≥ 00 0 0“2 <2”是“< ”的充分不必要条件6. 在△中，三内角 、 、 成等差数列，则A B C= ( )B. C. D. A. 12√32√22√33+ ≥ 3, 7. 若变量 ， 满足约束条件{x y− ≥ −1,，则 = 的最大值为( ) − ≤ 3,D. A. B. C. 12544 28. 已知 > 0, > 0, + = 2，则 = + 的最小值是(1 4 )B. C. D.4A. 972529. 定义在 R 上的奇函数的值为( )满足 + 4) =，并且当 ∈ [0,1]时，= 2 − 1，则210)B. C. D. A. 35352525− − 10. 如图是三棱锥 − 的三视图，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.B.C.D.11. 函数=+的零点为( )A. C.B. D. −2和 1 (1 , 0)(−2 , 0)和(1 , 0) 112. 若抛物线=，过其焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A ，B 两点，则+的最小值为( )2 A. B. C. D. 693 + 2√23 − 2√2二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 已知数列}满足14. 如图，在四棱锥 −· =− 1， = 2，则 =________．1 2019 中，底面ABC D 是矩形， ⊥底面 ABC D ，M ，N分别为 AB ，PC 的中点， 为______ ．=15. 已知双曲线 C ： 线 B O2 22 2= 1 > 0, > 0)，点 A 、B 在双曲线 C 的左支上，O 为坐标原点，直−与双曲线的右支交于点若直线 AB 与 A M 的斜率分别为 3 和 1，则双曲线的离心率为______．，又16. 函数= 3，则定义域为 ，对任意 x ， ∈+都有______ ．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）=+=+17. △的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知s in( + ) = 8sinA B C a b c 2 2(1)求 cos ； B (2)若 + = 6，△面积为 2，求 ．b18. 已知直线 ： − + 3 = 0被圆 ：( − ) + ( − 2) = 4( > 0)截得的弦长为2 2，求l C 2 2 √ (Ⅰ 的值；(Ⅱ)求过点(3,5)并与圆 相切的切线方程．C 19. + 2是 和 的等差中项．已知数列 }为等比数列， = 4，232 4 (1)求数列 }的通项公式；(2)设=− 1，求数列+ }的前 项和 ．n 220. , )，2, <已知过抛物线 2 => 0)的焦点，斜率为2√2的直线交抛物线于1 1212)两点，且= 9．(1)求该抛物线的方程；为坐标原点， 为抛物线上一点，若⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求 的值．C =+ 21. 如图 1，在直角梯形 中，= 90°， ， = 4， == 2， 为线段 MAB C D AB的中点．将△ (Ⅰ)求证：沿 折起，使平面 ⊥平面 ABC ，得到几何体 −，如图 2 所示．A C ⊥平面 AC D ；− 的余弦值．(Ⅱ)求二面角 −22. 1.设过点2已知椭圆 ： +=2 2 >> 0)的两焦点分别为 ， ，离心率为 的直线 被椭lC 1 2 222圆 截得的线段为 ，当 ⊥ 轴时，RS= 3C (Ⅰ)求椭圆 的标准方程； C (Ⅱ)已知点，证明：当直线 变化时，直线 l 与 TS TR的斜率之和为定值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基知识，考查运算求解能力，是基础题．先分别求出集合A，B，由此能求出∩．解：易知=于是∩=故选A．=+2)}=>−2}，=<0}．−2<<0}．2.答案：D解析：解：∵⊥，∵⊥，⊥，∴，∴⊥，又直线⊂，故有⊥，即①正确；，或⊂，此时l与m可能平行，相交或异面，即②错误；∵⊥，，∴⊥，又⊂，故有⊥，即③正确．∵⊥，⊥，∴又⊂，此时与可能相交可能平行，故④错误；故选：D．本题应逐个判断：①④需用熟知的定理即线线垂直，面面垂直来说明，②③可举出反例来即可．本题考查直线的平行于垂直关系，熟练运用性质定理是解决问题的关键，属基础题．3.答案：A解析：本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．由直线的垂直关系可得⋅1+−1)=0，解方程可得．+5=0垂直，解：∵直线：++6=0与直线:+−12−1)=0，解得=，2∴⋅1+3故选A．4.答案：C本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性 考查，由已知条件求出双曲线的一个焦点为(3,0)，可得 + 5 = 9，求出 = 4，由此能求出双曲线 的渐近线方程． 解：∵抛物线2= ∴双曲线的一个焦点为(3,0)，即 = 3． = 1可得的焦点为(3,0)，2 − 2双曲线 5∴ + 5 = 9， ∴= 4，∴双曲线的渐近线方程为： = ± √5 ．2故选 C ．5.答案：B解析：解：命题“若 2 < 1，则−1 < < 1”的逆否命题是“若 ≥ 1或 ≤ −1，则 2 ≥ 1”，故 A正确； 1< 0，则： 1 ≥ 0或 = −1，故 B 错误．若 p ：命题 p ；存在 ∈ ，使得 2 + + 1 < 0，则；任意 ∈ ，使得 2 + + 1 ≥ 0，故 C 正确；0 0 0⋅1<⋅1由 2 <2，可 得 2 2 ，即 < ，反之，由 < ，不一定有2 <2，如2= 0．22∴“<2”是“< ”的充分不必要条件，故 D 正确．2 故选：B ．直接写出命题的逆否命题判断 A ；写出命题的否定判断 B ；直接写出特称命题的否定判断 C ；由充分 必要条件的判定方法判断 D ．本题考查命题的真假判断与应用，考查了命题的否定和逆否命题，对于选项B 的判断极易出错，是 基础题．6.答案：B本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题．由题意可得+=，结合三角形的内角和可求B，进而可求s inB．解：由题意可得，+=∵++=180°，，∴=60°，故选B．=√3，27.答案：B解析：本题考查线性规划的应用，属于中档题．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．解：作出变量x，y满足约束条件对应的平面区域如图：由目标函数=，可化为=，表示平面区域的点与原点连线的斜率，由图象可知当P位于A时，直线A O的斜率最大．+=3−=−1由解得，=2，1−0所以目标函数的最大值为=故选B．8.答案：A解析：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．利用“乘1法”和基本不等式即可得出．解：∵>0，>0，+=2，14114∴=+=(+2+=1(1+4++)⩾1(5+2√⋅)=9，22224当且仅当=，即=，=时等号成立，33故选A．9.答案：A解析：本题考查奇函数的性质，函数的周期性，以及指数、对数的运算性质的综合应用，属于中档题．由+4)=化简后求出函数的周期，利用奇函数的性质、函数的周期性、对数的运算性质化简和转化解：∵210)，代入已知的解析式由指数的运算性质求值即可．+4)=，则函数的周期是4，，∵2<25<3，25<1，∴0<3−又为奇函数，且当∈[0,1]时，=2−1，故即10)=−3．25故选：A．10.答案：D解析：解：如图所示，该几何体为三棱锥−=2，=1．把此三棱锥补成一个长方体，，⊥底面ABC，，=设该三棱锥外接球的半径为R，则可得2=9，2=22+22+12，∴=．2故选：D．如图所示，该几何体为三棱锥−棱锥补成一个长方体，即可得出该三棱锥外接球的半径．，⊥底面ABC，⊥，==2，=1.把此三本题考查了三棱柱的三视图、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：D解析：本题考查了函数的零点，属于基础题．可以根据解：由=0可以得出答案．=0得+=0，因为>0，所以+2>0，所以=0，解得=1，故选D．12.答案：B解析：解：抛物线的焦点，设直线AB的方程为=+1．=2联立方程组+1，得2−2++1=0．=2 , )，2 , )，则 2 1 162= 1.∴ 2=16设2 2．1 2122 4 412 + 1， =2 + 1 = 4 + 1．由抛物线的性质得 =1 242 14∴+=2+ 1 + 2( 4 + 1) = 3 +2 + 8 ≥3 + 2√2．114 2 42 11故选： ．B设直线方程为 =+ 1，联立方程组得出 ， 两点坐标的关系，根据抛物线的性质得出A B+关于 ， 两点坐标的式子，使用基本不等式得出最小值．A B本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．13.答案：−1解析：本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．利用数列的递推关系式，求出数列的前几项，得到数列的周期，然后求解即可． 解：数列 }满足 = 2，=−1= 1 − 1，1 = 1 可得 ，22= 1 − 1 = −1 ，3412= 1 − 1 = 2，−1…所以数列的周期为 3． 则 === −1．2019 672×3+33故答案为−1．14.答案：√63解析：本题考查点到平面的距离的求法，考查学生的计算能力，点 到平面 A 的距离转化为 到平面EP M N 的距离是关键，属于中档题．P M N 取 的中点 ，连接 ， ，证明 E AE NE ，可得点 到平面 A 的距离等于 到平面 E 的P M N P D P M N 距离，由 = ，可得点 到平面 A的距离．P M N解：取的中点，连接，，如图，E AE NEP D∵四棱锥−中，底面是矩形，，分别为M N，AB P C的中点，AB C D∴∴∴，=，是平行四边形，，∴点到平面的距离等于到平面E的距离，设为，P M N hA P M N=5，△∴中，=23，=5，√√√=1×2√3×√2=√6，2由=，1×√6ℎ=1×1×1×2×2，可得：332∴ℎ=√6．3故答案为：√6．315.答案：2解析：解：设，则直线与双曲线的右支交于点．B O设,)，可得直线AB的斜率为000直线的斜率为；A M022222−2，∴2022===3×1=322222∴=√1故答案为：222=2，本题考查了双曲线的离心率，考查了转化思想，属于中档题．16.答案：1解析：解：∵函数，对任意，∈都有=，x∴∴====3 =1故答案为：1根据函数定义域为，对任意，∈都有=，可把逐步变形，最后x用表示，就可求出的值．本题考查了抽象函数的性质，做题时要善于发现规律．17.答案：解：(1)∵s in()=8sin2，2∴=4(1−，又∵s in2∴16(1−∴cos2=1，cos2=1，−1)=0，2−∴=15.17 =(2)由(1)可知，817∵∴=1⋅=2，2=17，21715∴=−=−2×2×2222217=−15=−2−15=36−17−15=4，22∴=2．解析：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题(1)利用三角形的内角和定理可知=−，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化，结合s in 2 + cos 2 = 1，求出 cosB ，简= (2)由(1)可知，利用面积公式求出 ，再利用余弦定理即可求出 ． ac b8 17 18.答案：解：(Ⅰ)依题意可得圆心2)，半径 = 2，||||，= =则圆心到直线 ： −+ 3 = 0的距离 l √12+(−1)2 √22由勾股定理可知 2√2 2，代入化简得 + 1| = 2，解 得 = 1或 = −3，又 > 0，所 以 = 1；+ ( ) = 2 2(Ⅱ)由(Ⅰ)知圆 ： − 1) + − 2) = 4，又(3,5)在圆外，C 2 2 ∴ ①当切线方程的斜率存在时，设方程为 − 5 = − 3)，由圆心到切线的距离 = = 2可解得= 5 ， 切线方程为 ∴−+ 45 = 0，12②当过(3,5)斜率不存在，易知直线 = 3与圆相切， 综合①②可知切线方程为−+ 45 = 0或 = 3．解析：本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力． (Ⅰ)求出圆心2)，半径 = 2，圆心到直线 ： − + 3 = 0的距离，通过勾股定理求解即可． (Ⅱ)判断点与圆的位置关系，通过①当切线方程的斜率存在时，设方程为 − 5 =l− 3)，由圆心到切线的距离 = 求解即可；②当过(3,5)斜率不存在，判断直线 = 3与圆是否相切，推出 结果．19.答案：解：(1)设数列 }的公比为 q ，因为 = 4，所以 =， =3，2 3 4 因为 + 2是 和 的等差中项，所以 + 2) =+ ．3 24 324 即+ 2) = 4 +2，化简得 2−因为公比 ≠ 0，所以 = 2， = 0， 所以 == 4 ⋅ 2 − 1 ==2 ， ∈ ∗)； 2= 22− 1 =− 1)．− 1．2所以+= 2 +前 项和= (2 + 4 + ⋯+ 2 ) + (1 + 3 + ⋯ +− 1)n=+1(1+=22+．22解析：(1)设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得公比，q即可得到所求通项公式；(2)求得=1=221= 1.+=2+1).由数列的分组求和，结2合等差数列和等比数列的求和公式，化简计算可得和．本题考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，以及方程思想和运算能力，属于中档题．20.)，答案：解：(1)直线的方程是=2√2AB2与2=联立，从而有+2=0，2所以+=．124由抛物线定义得=++=+=9，124所以=4，从而抛物线方程是2=．(2)由于=4，则+=0，22即2+4=0，从而=1，=4，12于是=2√2，=4√2，12从而设22)，√2)，,)=(1,2√2)+√,)，则⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√2) 3333=+1,4√2√2)，又2=3，即[2√1)]=+1)，23即1)2=+1，解得=0或=2．解析：本题考查抛物线的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，训练了向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．(1)由题意求得焦点坐标，得到直线方程，和抛物线方程联立，利用弦长公式求得p，则抛物线方程可求；由(1)求出A，B的坐标结合⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(2)=∴⊥平面分)另解：在图1中，可得2，故AC⊥⊥面ABC，面∩面(Ⅱ)建立空间直角坐标系−=22，=√从而2+2=∵面=，⊂面ABC，从而⊥平面AC D如图所示，则√2,0)，√2,0,0)，⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√2,√2,0)，√2)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗分=(√2,0,√2)(8)设⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=为面C D M的法向量，1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅=0即{√+√=0==则{1，解得{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅=0√+√=01令=−1，可得⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,1,1)1又⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,0)为面A C D的一个法向量2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1√33∴cos<⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗>=12==12|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|√312∴二面角−−的余弦值为√3.(12分)3解析：(Ⅰ)要证⊥平面AC D，只需证明BC垂直平面AC D内的两条相交直线AC、O D即可；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的数量积，求二面角−−的余弦值．本题考查直线与平面的存在的判定，二面角的求法，考查逻辑思维能力和空间想象能力，是中档题．22. = 1 答案：解：(Ⅰ)由椭圆的离心率 = ，则 = ，将 = 代入椭圆方程，22 2= 3，解得： = ± ， =由2 = 2 + 2，则= 2， = 3， = 1，√ ∴椭圆的标准方程为 2 +2= 1；43(Ⅱ)证明：当直线 垂直与 轴时，显然直线 与 TS TR的斜率之和为 0， lx 当直线 不垂直与 轴时，设直线 的方程为 = − 1)，, )， , )，l x l 1 122 = − 1)− 12 = 0，整理得：(3 + 2 −2+2+2 −12 = 0， 2+ 2 2 △=− 4(3 +− 12) =+ 1 > 0恒成立，24 22 +=2， =2−12，121222+ =+由， ， 的斜率存在，TR TS 1 21−42−4 由 ， 两点的直线 =R S− 1)，故 = − 1)， = − 1)，1 12 21−4) =1 2 1 则 2)+8]，12 212−4)1 2−4)由 − + ) + 8 = 2 ×2−12− 5 ×2 + 8 = 0，121222∴+ = 0，与 的斜率之和为 0，∴直线 TS TR 综上所述，直线 与 TS TR的斜率之和为为定值，定值为 0．2= 3，且= 2 + 2，即可求得 和 的值，求得椭圆方程；解析：(Ⅰ)由题意可知： = ，2a b (Ⅱ)分类讨论，当直线 不垂直与 轴时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公 l x 式，即可求得+= 0，即可证明直线 TS 与 TR 的斜率之和为定值．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公 式，考查计算能力，属于中档题．解析：本题考查抛物线的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，训练了向量在求解圆锥曲线 问题中的应用，是中档题．(1)由题意求得焦点坐标，得到直线方程，和抛物线方程联立，利用弦长公式求得p ，则抛物线方程 可求；由(1)求出 A ，B 的坐标结合⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，求出 C 的坐标，代入抛物线方程求得 值．(2) =21.2 = =√2，故 A C ⊥取 AC 中点 O 连接 D O ，则 ⊥ ，又面面=，∴⊥又 ⊥，∩ = ，∴⊥平面分)另解：在图 1 中，可得 2，故 AC ⊥⊥面 ABC ，面 ∩面(Ⅱ)建立空间直角坐标系 − = 2 2，= √ 从而 2 +2 =∵面= ， ⊂面 ABC ，从而 ⊥平面 AC D如图所示，则√2, 0)， √2, 0,0)， ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (√2, √2, 0)，√2) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分= (√2, 0, √2)(8 )设⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 为面 C D M 的法向量， 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ = 0即{√ + √ = 0 = =则{ 1 ，解得{ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ = 0 √ + √ = 0 1 令 = −1，可得⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1,1,1) 1又⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0,1,0)为面 A C D 的一个法向量 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1 √3 3 ∴ cos < ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >= 1 2 = = 1 2 | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | √3 1 2∴二面角 −− 的余弦值为√3 . (12分)3解析：(Ⅰ)要证 ⊥平面 AC D ，只需证明 BC 垂直平面 AC D 内的两条相交直线 AC 、O D 即可；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的数量积，求二面角 − − 的余弦值．本题考查直线与平面的存在的判定，二面角的求法，考查逻辑思维能力和空间想象能力，是中档题．22. = 1 答案：解：(Ⅰ)由椭圆的离心率 = ，则 = ，将 = 代入椭圆方程，22 2= 3，解得： = ± ， =由2 = 2 + 2，则= 2， = 3， = 1，√ ∴椭圆的标准方程为 2 +2= 1；43(Ⅱ)证明：当直线 垂直与 轴时，显然直线 与 TS TR的斜率之和为 0， lx 当直线 不垂直与 轴时，设直线 的方程为 = − 1)，, )， , )，l x l 1 122 = − 1)− 12 = 0，整理得：(3 + 2 −2+2+2 −12 = 0， 2+ 2 2 △=− 4(3 +− 12) =+ 1 > 0恒成立，24 22 +=2， =2−12，121222+ =+由， ， 的斜率存在，TR TS 1 21−42−4 由 ， 两点的直线 =R S− 1)，故 = − 1)， = − 1)，1 12 21−4) =1 2 1 则 2)+8]，12 212−4)1 2−4)由 − + ) + 8 = 2 ×2−12− 5 ×2 + 8 = 0，121222∴+ = 0，与 的斜率之和为 0，∴直线 TS TR 综上所述，直线 与 TS TR的斜率之和为为定值，定值为 0．2= 3，且= 2 + 2，即可求得 和 的值，求得椭圆方程；解析：(Ⅰ)由题意可知： = ，2a b (Ⅱ)分类讨论，当直线 不垂直与 轴时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公 l x 式，即可求得+= 0，即可证明直线 TS 与 TR 的斜率之和为定值．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公 式，考查计算能力，属于中档题．。
【精准解析】安徽省合肥市庐阳区合肥六中、淮北一中四校2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题
式判断.
3 m 0
【详解】A.当方程表示椭圆时， m 2 0
，解得： 2 m 3 ，且 m 1 ，
3 m m 2
2
设
A
2,
1 2
1 2
,
3
， B 2,3 ， A B
“﹣2＜m＜3”是方程 x2 y2 1表示椭圆”的必要不充分条件，故正确； 3m m2
B.根据特称命题的否定形式可知 p ： x R ， x2 2x 2 0 ，故错误； C.方程 x2 x m 0 有实根，则 1 4m 0 ，解得： m 1 ，所以“若 m 0 ，则方
D. 命题“若 m2 n2 0 ，则 m 0 且 n 0 ”的否命题是“若 m2 n2 0 ，则 m 0 或
n0” 【答案】B 【解析】 【分析】
-3-
逐一判断选项，A.当方程表示椭圆时，求 m 的范围，再判断是否是必要非充分条件；B.根据
特称命题的否定形式直接判断；C.利用原命题和逆否命题的等价性判断；D.根据否命题的形
从而
1 2x
4 y
1 3
(
1 2x
4 y
)(2x
y)
1 3
5
y 2x
8x y
1 3
5
2
y 2x
8x y
3
，
当且仅当 y 8x 时等号成立，即 y 4x ，又 2x y 3 2x y
解得： x 1 ， y 2 . 2
故选：A
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，意在考查变形和计算能力，属于基础题型.
题的关键，然后根据对数的运算性质将问题转化到区间 1, 0 内解决．
10.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑,已知鳖臑 P ABC 的
安徽省合肥市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试卷word版
数学（理科）试卷（满分：150分 考试时间：120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并且用2B 铅笔把对应的准考证号涂黑。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案；不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求.）1.已知A(2，-1)，B(2，3)，则|AB|=： A.4B.C.8D.2.命题“2(0,1),0x x x ∀∈-<”的否定是：A.2000(0,1),0x x x ∃∉-≥ B.2000(0,1),0x x x ∃∈-≥ C.2000(0,1),0x x x ∀∉-<D.2000(0,1),0x x x ∀∈-≥3.如图，棱长为a 的正方体1111ABCD-A B C D 中，M 为BC 中点，则直线1D M 与平面ABCD 所成角 的正切值为： 3525D.124.已知,αβ是两个不同平面，m 为α内的一条直线，则“m βP ”是“αβP ”的： A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知圆22(3)64x y ++=的圆心为M ，设A 为圆上任一点，点N 的坐标为（3，0），线段AN的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是： A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线6.三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为3,2,1，则该三棱锥的外接球的表面积： A.24πB.18π C .10πD.6π7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是：A.πB.2πC.4πD.8π8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF V 是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为：A.221412x y -=B.221124x y -=C.2213x y -=D.2213y x -= 9.设椭圆的两个焦点分别为1F F 2，，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于P 点，若12F PF V 为等腰三角形，则椭圆的离心率是： A.2B.21-C.22-D.21-10.过抛物线2y 8x =的焦点作直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为4，则|AB|=： A.6B.8C.12D.1611.我们把由半椭圆22221(0)x y x a b +=≥与半椭圆22221(0)y x x b c+=<合成的曲线称作“果圆”：（其中222,0a b c a b c =+>>>）如图所示，其中点012,,F F F 是相应椭圆的焦点若012F F F V是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为： 73,1 C.5，3D.5，412.如图，矩形ABCD 的边,2,AB a BC PA ==⊥平面ABCD ，2PA =，当在BC 边上存在点Q ，使PQ QD ⊥时，则实数a 的范围是： A.(0,1] B.(0,2]C.[1,)+∞D.[2,)+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上.） 13.抛物线24y x =的焦点坐标为 ．14.《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之， 深一寸，锯道长一尺，问径几何？”大意为：有个圆柱形木头，埋在墙壁中 （如图所示），不知道其大小，用锯沿着面AB 锯掉裸露在外面的木头，锯 口CD 深1寸，锯道AB 长度为1尺，问这块圆柱形木料的直径是 寸 （注：1尺=10寸）15.如图，E 是棱长为1正方体1111ABCD-A B C D 的棱11C D 上的一点， 且1BD ∥平面1B CE ，则线段CE 的长度为 ． 16.已知点(4,4)A 在抛物线x y 42=上，该抛物线的焦点为F ，过点A 作该抛物线准线的垂线，垂足为E ，则AF E ∠的角平分线所在直线 方程为 （用一般式表示）.三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题应写出文字说明及演算步骤.） 17.（本题满分10分）给定如下两个命题：命题:p “曲线2212x ym+=是焦点在y 轴上的椭圆，其中m 为常数”；命题:q “曲线1122=--m yx 是焦点在x 轴上的双曲线，其中m 为常数”．已知命题“p q ∧”为假命题，命题“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围.18.（本题满分12分）已知圆C 的内接矩形的一条对角线上的两个顶点坐标分别为，(1,2),(3,4)P Q -． （1）求圆C 的方程；（2）求直线l :01843=+-y x 上的点到圆C 上的点的最近距离.19.（本题满分12分）如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，点E 、F 分别是边CD 、CB 的中点，AC 交EF 于点O ，沿EF 将CEF V 翻折到PEF V ，连接PA 、PB 、PD ，得到五棱锥P ABFED -，且10PB =． （1）求证：BD ⊥平面POA ； （2）求四棱锥P BDEF -的体积.20.（本题满分12分）已知动圆过定点(4,0)P ，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8． （1）求动圆圆心C 的轨迹方程；（2）过点(2,0)的直线l 与（1）中的轨迹相交于A ，B 两点求证：OA OB →→⋅是一个定值．21.（本题满分12分）如图，已知正方形ABCD和矩形BDEF所在的平面互相垂直，AC交BD于O点，M为EF的中点，2,1BC BF==．（1）求证：BM∥平面ACE；（2）求二面角B AF C--的大小．22.（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>，过点P(2,1)，且离心率e=32．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l的方程为12y x m=+，直线l与椭圆C交于A，B两点，求PABV面积的最大值．数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.每小题4个选项中，只有1个选 项符合题目要求.）1-5 ABCBB 6-10 DADDC 11-12 AA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上.） 13.1016（，） 14.26 15.2516.240x y -+=三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题应写出文字说明及演算步骤.） 17.解：若命题p 为真命题，则，若命题q 为真命题，则，由题知p 与q 一真一假，若p 真q 假，则，此时无解.若p 假q 真，则，得，综上：实数m 的取值范围是．18.解：（1）由已知可知PQ 为圆C 的直径，故圆心C 的坐标为，圆C 的半径10||21==PQ r ，所以圆C 的方程是：．（2）圆心C 到直线01843=+-y x 的距离是45|181423|=+⨯-⨯=d所以，最近距离为4 —10 19.（1）证明：如图，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，．菱形ABCD 的对角线互相垂直，．．．平面POA ，平面POA ，， 平面POA ．平面POA ． （2）解：设，连接BO ，，为等边三角形．．在中，，在中，．平面BFED ，平面BFED ，平面BFED ．梯形BFED 的面积为，四棱锥的体积．20.解：（1）设圆心为，线段MN 的中点为T ，则4||=MT依题意，得，为动圆圆心C 的轨迹方程.（2）证明：设直线l 的方程为2+=ty x ，由⎩⎨⎧=+=xy ty x 822，得01682=--ty y . ,821t y y =+，21212121)2)(2(y y ty ty y y x x +++=+=21212124)(2y y y y t y y t ++++== -12是一个定值.21.（1）证明：连结EO ，交BD 于O 点，M 为EF 的中点，四边形BMEO 是平行四边形，，又平面ACE ，平面ACE ，平面ACE ．（2）解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴， 建立空间直角坐标系，， ，设平面CAF 的法向量，则，取，得，又平面ABF的法向量，，，二面角的平面角为．22.解：（1）椭圆C：过点，且离心率，可得：，解得，椭圆方程为：；（2）直线l的方程为，设、，联立方程组整理得：，直线与椭圆要有两个交点，所以，即，得，利用弦长公式得：，点P到直线l的距离．．当且仅当，即时S取到最大值，最大值为2．。
安徽省合肥一中19-20学年高二上学期期末数学复习题（附答案解析）
安徽省合肥一中19-20学年高二上学期期末数学复习题（附答案解析）安徽省合肥一中19-20学年高二上学期期末数学复习题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线x+√3y?5=0的倾斜角为()A. B. C. D.2.如图是某一四棱锥的三视图，则这个四棱锥的体积为()A. 4B. 8C. 16D. 203.圆C1：x2+y2=9和圆C2：x2+y2?8x+6y+9=0的位置关系是()A. 相离B. 相交C. 内切D. 外切4.如图所示，在四面体中，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定()A. 在直线DB上B. 在直线AB上C. 在直线CB上D. 都不对5.如图，正棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A. 15B. 25C. 35D. 456.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.若直线l1：x+ay+6=0与l2：(a?2)x+3y+2a=0平行，则l1与l2间的距离为()A. √2B. 8√23C. √3 D. 8√338.已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，则()A. 若平面α不平行于平面β，则l不可能垂直于mB. 若平面α平行于平面β，则l不可能垂直于mC. 若平面α不垂直于平面β，则l不可能平行于mD. 若平面α垂直于平面β，则l不可能平行于m9.已知函数f(x)=1x+1+x?2，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为()A. 3x?4y?1=0B. 3x?4y?5=0C. 5x?4y?7=0D. 5x?4y?3=010.设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为()A. √33B. 13C. 12D. √3611.已知圆O：x2+y2=4，点P为直线x?2y?8=0上的一个动点，过点P向圆O引两条切线PA、PB、A、B为切点，则直线AB恒过点()A. (2,0)B. (√55,?2√52) C. (1,?1) D. (12,?1)12.已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A. 34B. 1 C. 54D. 74二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题“?x∈[2,+∞)，x2≥4”的否定为________．14.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm，圆心角为的扇形，则此圆锥的高为______cm．15.过双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为_______．16.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点P在面对角线AC 上运动，给出下列命题：①D1P//平面A1BC1②D1P⊥BD③平面PDB1⊥平面A1BC1④三棱锥A1?BPC1的体积不变．则其中所以正确的命题的序号是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知直线l方程为(m+2)x?(m+1)y?3m?7=0，m∈R．(Ⅰ)求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标;(Ⅱ)若直线l在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程．18.如图，在四棱锥P?ABCD中，棱PA⊥底面ABCD，且AB⊥BC，AD//BC，PA=AB=BC=2AD=2，E是PC的中点．(1)求证：ED//平面PAB；(2)求三棱锥A?PDE的体积．19.已知函数f(x)=xlnx．(1)求f(x)在(e,f(e))处切线方程；(2)求f(x)最小值；(3)设F(x)=ax2+f′(x)(a≠0)，讨论函数F(x)的单调性．20.如图所示，四棱锥A?BCDE，已知平面BCDE⊥平面ABC，BE⊥EC，BC=6，AB=4√3，∠ABC=30°，且BE=EC．(Ⅰ)求证：AC⊥BE；(Ⅱ)求B到平面ACE的距离．21.已知标准方程下的椭圆E的焦点在x轴上，且经过点M(1,√22)，它的一个焦点恰好与抛物线y2= 4x的焦点重合．椭圆E的上顶点为A，过点N(0,3)的直线交椭圆于B、C两点，连接AB、AC，记直线AB，AC的斜率分别为k1，k2．(1)求椭圆E的标准方程；(2)求k1k2的值．22.已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：1x <1y的充要条件是xy>0．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．根据直线方程求出斜率，利用倾斜角的正切值为斜率，可得结果．解：设直线x+√3y?5=0的倾斜角为θ，θ∈[0,π)，直线化为y=?√33x+5√33，斜率k=tanθ=?√33，∴θ=150°．故选D．2.答案：C解析：解：由三视图我们易判断这个几何体是一个四棱锥，又由侧视图我们易判断四棱锥底面的宽为2，棱锥的高为4由俯视图我们易判断四棱锥的长为6，代入棱锥的体积公式，我们易得V=13×6×2×4=16故选：C由三视图我们易判断这个几何体是四棱锥，由左视图和俯视图我们易该棱锥底面的长和宽，及棱锥的高，代入棱锥体积公式即可得到答案．本题考查的知识点是由三视图求体积，根据三视图确定几何体的形状，及底面边长及棱锥的高是解答本题的关键．3.答案：B解析：本题给出两圆的方程，判断两圆的位置关系，着重考查了圆的标准方程和圆与圆的位置关系等知识，属于基础题．求出两圆的圆心坐标和半径大小，利用两点的距离公式算出两个圆心之间的距离，再比较圆心距与两圆的半径之和、半径之差的大小关系，可得两圆的位置关系．解：∵圆x2+y2?8x+6y+9=0的标准方程为(x?4)2+(y+3)2=16，∴圆x2+y2?8x+6y+9=0的圆心是C2(4,?3)，半径=4．又∵圆x2+y2=9的圆心是C1(0,0)，半径r2=3．∴|C1C2|=5，∵|r1?r2|=1，r1+r2=7，∴|r1?r2|<|OC|<r1+r2，< bdsfid="245" p=""></r1+r2，<> 可得两圆相交．故选B．4.答案：A本题考查两直线的交点在直线上的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平面的基本性质及推论的合理运用．直线EF和GH相交，设交点为M，运用公理2，由此能判断EF 与HG的交点在直线BD上．解：直线EF和GH相交，设交点为M，∵EF?平面ABD，HG?平面CBD，∴M∈平面ABD，且M∈平面CBD，∵平面ABD∩平面BCD=BD，∴M∈BD，∴EF与HG的交点在直线BD上．故选A．5.答案：D解析：本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形A1BC1中用余弦定理求解即可．解.如图，连接BC1，A1C1，因为AD1//BC1，所以∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=√5a，A1C1=√2a，由余弦定理可得，cos∠A1BC1=BA12+BC12?A1C122BA1·BC1=√5a)2√5a)2√2a)22×√5a×√5a =45，6.答案：B解析：本题考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．根据充分条件和必要条件的定义判断即可．解：“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件，故选B．7.答案：B解析：本题主要考查了两直线平行A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0的条件A1B2?A2B1=0的应用，及两平行线间的距离公式d=21√A2+B2的应用．先由两直线平行可求a得值，再根据两平行线间的距离公式，求出距离d即可．解：由l1//l2得：1a?2=a3≠62a，解得：a=?1，∴l1与l2间的距离d=6?2 322=8√23，故选：B．8.答案：C本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系．根据空间线面平行和线面垂直的判定方法，性质及几何特征，逐一分析四个答案中推理过程及结论的正误，可得答案．解：A中，平面α与平面β相交，由l⊥α，m?β，当m与交线平行或重合时，l⊥m，故A错误；B中，α//β，l⊥α，则l⊥β，由m?β可得：l⊥m，故B错误；C中，平面α不垂直于平面β，则l必与β相交，由m?β得，l与m相交或异面，故C正确；D中，α⊥β，l⊥α，则l?β或l//β，由m?β可得，l与m可能平行，可能异面，也可能相交，故D错误；故选：C．9.答案：B解析：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，求出函数的导数，由导数求出切线斜率，则答案可得．解：∵f(x)=1x+1+x?2，∴f′(x)=?1(x+1)2+1，则f(1)=?12，f′(1)=34，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+12=34即3x?4y?5=0．故选B．10.答案：A解析：本题考查椭圆的定义、简单性质，设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案.解：设|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=√3x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，∴2a=3x，2c=√3x，∴C的离心率为：e=2c2a =√33．故选A．11.答案：D解析：本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直线过定点问题，属于中档题．根据题意设P的坐标为P(8+2m,m)，由切线的性质得点A、B在以OP为直径的圆C上，求出圆C 的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦AB所在的直线方程，再求出直线AB过的定点坐标．解：∵P 是直线x?2y?8=0的任一点，∴设P(8+2m,m)，∵圆x2+y2=4的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，则点A、B在以OP为直径的圆上，即AB是圆O和圆C的公共弦，其中圆心C的坐标是(4+m,m2)，且半径的平方是r2=(4+m)2+m24，∴圆C的方程是[x?(4+m)]2+(y?m2)2=(4+m)2+m24，①又x 2+y 2=4，②，②?①得，(8+2m)x +my ?4=0，即公共弦AB 所在的直线方程是：(8+2m)x +my ?4=0，即m(2x +y)+(8x ?4)=0，由{2x +y =08x ?4=0得x =12，y =?1，∴直线AB 恒过定点(12,?1)，故选：D ．12.答案：C解析：解：由于F 是抛物线y 2=x 的焦点，则F(14,0)，准线方程x =?14，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)∴|AF|+|BF|=x 1+14+x 2+14=3，解得x 1+x 2=52，∴线段AB 的中点横坐标为54．∴线段AB 的中点到y 轴的距离为54．故选：C ．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A ，B 的中点横坐标，即可得到线段AB 的中点到y 轴的距离．本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．13.答案：解析：本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．化成特称命题注意只否定结论．解：∵命题“”为全称命题，∴命题“”的否定是特称命题：“?x∈[2,+∞),x2<4”.故答案为?x∈[2,+∞),x2<4．14.答案：4√23解析：本题考查弧长公式及圆锥的体积公式，可知圆锥的母线长，底面周长即扇形的弧长，由此可以求同底面的半径r，然后求得圆锥的高，进而即可求得结果．解：设此圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，则l=2，，解得r=23，因此，此圆锥的高?=√l2?r2=4√23．故答案为4√23．15.答案：(1,√5)解析：本题考查双曲线的离心率的范围，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是利用渐近线的斜率与离心率的关系，属于中档题．先确定双曲线的渐近线斜率小于2，结合离心率，即可求得双曲线离心率的取值范围．解：由题意过双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)右顶点且斜率为 2 的直线，与该双曲线的右支交于两点，可得双曲线的渐近线斜率ba<2，e>1，∵e=ca =√a2+b2a2<√1+4，∴1<e<√5，< bdsfid="417" p=""></e<√5，<>∴双曲线离心率的取值范围为(1,√5).故答案为(1,√5).16.答案：①③④解析：本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系及体积，突出考查面面平行的判定定理与性质定理，考查面面垂直的判定定理，考查几何体的体积运算，属于较难题．利用面面平行的判定定理与性质定理，面面垂直的判定定理与三棱锥体积轮换公式对①②③④四个选项逐一分析判断即可．解析：解：①，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，D1A//C1B，D1A?平面A1BC1，C1B?平面A1BC1，∴D1A//平面A1BC1，同理可证，D1C//平面A1BC1，D1A∩D1C=D1，∴平面D1AC//平面A1BC1，又D1P?平面D1AC，∴D1P//平面A1BC1，故①正确；②，当点P为AC与BD的交点时，BD⊥平面BDD1，D1P?平面BDD1，这时，D1P⊥BD，除此之外，D1P不与BD垂直，故②错误；③，∵DB1在平面A1B1C1D1上的射影为B1D1，B1D1⊥A1C1(正方形的两条对角线互相垂直)，DB1在平面BB1C1C的射影为B1C，B1C⊥BC1(正方形的两条对角线互相垂直)，由三垂线定理的逆定理可知，B1D⊥A1C1，B1D⊥BC1，A1C1∩BC1=C1，∴B1D⊥平面A1BC1，B1D?平面PDB1，∴平面PDB1⊥平面A1BC1，故③正确；④，设正方体的边长为1，点B到平面A1BC1的距离就是点B到平面A1ACC1的距离，为12BD=√22，S△A1PC1=12A1C1??=12×√2×1=√22，∵V A1?BPC1=V B?A1PC1=13S△A12BD=16×(√22)2=112，为定值，故④正确．故答案为①③④．17.答案：解：(Ⅰ)由直线方程(m+2)x?(m+1)y?3m?7=0，m∈R，整理可得：(x?y?3)m+(2x?y?7)=0对任意m∈R恒成立，则{x?y?3=02x?y?7=0，解得{x=4 y=1,所以直线l恒过定点P(4,1)．(Ⅱ)设直线l在x轴，y轴上的截距均为a，由(Ⅰ)知，直线l过定点P(4,1)．若a=0，则直线l的方程为y=14x，即x?4y=0；若a≠0，则直线l的方程为xa +ya=1，所以4a +1a=1，解得a=5，所以直线l的方程为x5=1，即x+y?5=0，综上，直线l的方程为x+y?5=0或x?4y=0．解析：本题考查直线恒过定点的问题，考查直线的截距式方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(Ⅰ)由直线方程整理可得(x?y?3)m+(2x?y?7)=0，得到{x?y?3=0 2x?y?7=0，即可求出定点P 的坐标；(Ⅱ)根据截距为0和截距不为0进行分类讨论，利用截距式得出直线方程即可．18.答案：证明：(1)取PB中点H，连接AH、EH，∵E，H分别为面PC，PB的中点，∴HE//BC，且HE=12BC，又∵AD//BC，且AD=12BC，∴AD//HE，且AD=HE，∴四边形AHED是平行四边形，∴AH//DE，又AH?平面PAB，又DE?平面PAB，∴DE//平面PAB.…(6分)解：(2)由(1)知，BC⊥PB，∴AD⊥PB，又PB⊥AH，且AH∩AD=A，∴PB⊥平面ADEH，∴PH是三棱锥P?ADE的高，又可知四边形ADEH为矩形，且AD=1，AH=√2，…(9分)∴三棱锥A?PDE的体积：V A?PDE=V P?ADE=13×S△ADE×AH=13×12×S矩形ADEH×AH=13×√22×√2=13.…(12分)解析：(1)取PB中点H，连接AH、EH，推导出四边形AHED是平行四边形，从而AH//DE，由此能证明DE//平面PAB．(2)由BC⊥PB，得AD⊥PB，从而PB⊥平面ADEH，PH是三棱锥P?ADE的高，三棱锥A?PDE的体积：V A?PDE=V P?ADE=13×S△ADE×AH=13×12×S矩形ADEH×AH，由此能求出结果．本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：解：(1)f(x)=xlnx 的导数为f′(x)=1+lnx ，f(x)在点(e,f(e))处的切线斜率为1+1=2，切点为(e,e)，则切线的方程为y ?e =2(x ?e)，即为2x ?y ?e =0； (2)函数的定义域为(0,+∞)，求导函数，可得f′(x)=1+lnx ，令f′(x)=1+lnx =0，可得x =1e ，∴0<1<="" bdsfid="534" p="">e 时，f′(x)<0，x >1e 时，f′(x)>0，∴x =1e 时，函数取得极小值，也是函数的最小值，∴f(x)min =f(1e )=1e ?ln 1e =?1e ；(3)F(x)=ax 2?(a +2)x +f′(x)=ax 2?(a +2)x +1+lnx ，F′(x)=2ax ?a ?2+1x =2ax 2?(a+2)x+1x=(2x?1)(ax?1)x，当a =2时，F′(x)≥0恒成立，函数递增；当a >2时，12>1a ，由F′(x)>0可得x >12或0<1<="" bdsfid="555" p="">a ，由F′(x)<0可得1a <1<="" bdsfid="558" p="">2．可得f(x)在(1a ,12)递减，在(0,1a )，(12,+∞)递增；当0<2时，1<="" bdsfid="565" p=""><2时，1<="" bdsfid="567" p="">2<1<2时，1<="" bdsfid="569" p="">a ，由F′(x)>0可得x >1<2时，1<="" bdsfid="571" p="">a 或0<1<="" bdsfid="572" p=""><2时，1<="" bdsfid="574" p="">2，由F′(x)<0可得1<2时，1<="" bdsfid="576" p="">2<1<="" bdsfid="577" p=""><2时，1<="" bdsfid="579" p="">a ．<2时，1<="" bdsfid="581" p="">可得f(x)在(12,1<2时，1<="" bdsfid="583" p="">a )递减，在(0,1<2时，1<="" bdsfid="585" p="">2)，(1<2时，1<="" bdsfid="587" p="">a ,+∞)递增．<2时，1<="" bdsfid="589" p=""><2时，1<="" bdsfid="591" p="">解析：(1)求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，即可得到所求切线的方程；(2)求得函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f(x)的最小值；<2时，1<="" bdsfid="593" p="">(3)求出函数的导数，并分解因式，讨论a =2，a >2，0<=""><="">20.答案：证明：(Ⅰ)∵四棱锥A ?BCDE ，平面BCDE ⊥平面ABC ，BE ⊥EC ，<="">BC =6，AB =4√3，∠ABC =30°，且BE =EC 中，∴由余弦定理得cos∠ABC =<="">AB 2+BC 2?AC 22×AB×BC<="">=<="">√3<="">2<="">，∴AC =2√3，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴AC ⊥BC ．<="">∵平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE ∩平面ABC =BC ，BC ⊥AC ，∴AC ⊥平面BCDE ，<="">又∵BE ?平面BCDE ，∴AC ⊥BE ．<="">解：(Ⅱ)取BC 中点O ，AB 中点F ，连结OE ，OF ，则OF ⊥平面BCDE ，∵平面BCDE ⊥平面ABC ，BE ⊥EC ，BC =6，AB =4√3，∠ABC =30°，且BE =EC ．<="">∴OE ⊥BC ，∴OE ⊥平面ABC ，<="">以O 为原点，OB 为x 轴，OF 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，B(3,0，0)，A(?3,2√3,0)，C(?3,0，0)，E(0,0，3)，AB =(6,?2√3,0)，AC =(0,?2√3,0)，AE=(3,?2√3,3)，设平面ACE 的法向量n<="">? =(x,y ，z)，则{n ? ?AC<=""> =?2√3y =0n ? ?AE =3x ?2√3y +3z =0，取z =1，得n<="">? =(?1,0，1)，∴B 到平面ACE 的距离为： d =<="">|AB ?????? ?n ?? ||n ?? |<="">=<="">√2<="">=3√2．<=""><="">解析：(Ⅰ)由余弦定理得cos∠ABC =√3<="">2，由勾股定理得AC ⊥BC.再由BC ⊥AC ，得AC ⊥平面BCDE ，<="">由此能证明AC ⊥BE ．<="">(Ⅱ)取BC 中点O ，AB 中点F ，连结OE ，OF ，则OF ⊥平面BCDE ，以O 为原点，OB 为x 轴，OF 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B 到平面ACE 的距离．<="">本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．<="">21.答案：解：(1)设椭圆E 的标准方程为x 2a 2+y 2<="">b 2=1(a >b >0)，抛物线的焦点为(1,0)，<="">所以该椭圆的两个焦点坐标为F 1(?1,0)，F 2(1,0)，<="">根据椭圆的定义有2a =|MF 1|+|MF 2|=2√2，所以椭圆E的标准方程为<="">x 22<="">+y 2=1；………………….(5分)<="">(2)由条件知A(0,1)，直线BC 的斜率存在．<="">设直线BC 的方程为y =kx +3，并代入椭圆方程，得(2k 2+1)x 2+12kx +16=0，且△>0?k 2>4，设点B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，<="">由根与系数的韦达定理得，x 1+x 2=?12k<="">2k 2+1,x 1x 2=16<="">2k 2+1………………….(8分) 则k 1k 2=<="">y 1?1x 1<="">?<="">y 2?1x 2<="">=<="">k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4<="">x 1x 2<="">=1<="">4，<="">即为定值1<="">4.…………….(12分)<=""><="">解析：(1)设椭圆E 的标准方程为x 2a<="">2+<="">y 2b 2<="">=1(a >b >0)，通过抛物线的焦点为(1,0)，转化求解椭圆<="">的a ，b 即可．<="">(2)由条件知A(0,1)，直线BC 的斜率存在．设直线BC 的方程为y =kx +3，并代入椭圆方程，得(2k 2+1)x 2+12kx +16=0，且△>0?k 2>4，<="">设点B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，由根与系数的韦达定理转化求解即可．<="">本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．<="">22.答案：证明：充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1<="">y ．<="">必要性：由1<="">x <1<="">y ，得1<="">x ?1<="">y <0，即y?x<="">xy <0．因为x >y ，所以y ?x <0，所以xy >0．所以1 <="">x <1<="">y 的充要条件是xy >0．<=""><="">解析：本题主要考查充分条件和必要条件的证明，根据充分条件和必要条件的定义即可证明．解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求．<=""><="">。
2023-2024学年安徽省合肥一中高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2023-2024一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是()A. B. C. D.120。
2.平面的法向量，平面的法向量，已知，则等于.()A. B. C.3 D.设3.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，若：三角形数1，3，6，10，⋯,正方形数1，4，9，16，⋯等等．如图所示为正五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第4项为()A.16B.17C.18D.224.在处的切线方程是()A. B. C. D.5.函数的单调减区间是()A. B. C. D.6.已知点P、Q分别为圆：与圆：上的任意一点，则IPQ的取值范围为()A. B.C. D.7.若正三棱柱的所有棱长都相等，D是的中点，则直线AD与平面所成角的正弦值为()A. B. C. D.8.过双曲线的右顶点A作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，若，则双曲线的离心率是()A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若方程所表示的曲线为C，则下列命题正确的是()A.若C为椭圆，则B.若C为双曲线，则或t<1C.曲线C可能是圆D.若C为焦点在y轴上的椭圆，则1＜t＜210.下列说法正确的有()A.直线过定点B.过点作圆的切线l，则l的方程为2-w-4=0C.圆上存在两个点到直线的距离为2D.若圆：与圆：有唯一公切线，则m=2511.如表所示的数阵成为“森德拉姆素数筛”，由孟加拉过学者森德拉姆于1934年创立．表中每行每列的数都成等差数列，且第n行从左至右各数与第n列从上至下各数对应相等，则下列结论正确的是() 234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…71319253137……………………A.第10行第10列的数是99B.数字69不在数表中C.偶数行的数都是奇数D.数字86在数表中共出现4次12.如图所示，在棱长为1的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是()A.B1C/MNB.若p为直线上的动点，则为定值C.点A到平面的距离为D.过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年人教A版安徽省合肥六中、阜阳一中、淮北一中四校联考高二第一学期期末数学理科试卷 解析版
2019-2020学年第一学期高二（上）期末数学理科试卷一、选择题（本题共12小题）1．已知集合A＝{x|1＜2x≤4}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|1＜x≤2} C．{x|0＜x≤2} D．{x|0＜x＜2} 2．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，下列四个命题中是真命题的是（）A．若α∥β，则l⊥m B．若l⊥m，则α∥βC．若α⊥β，则l∥m D．若l⊥m，则α⊥β3．若直线l1：2x+ay+6＝0与直线l2：（a﹣4）x+ay+5＝0垂直，则实数a的值是（）A．2 B．﹣2或4 C．﹣4 D．﹣4或24．已知椭圆E：与双曲线C：（a＞0，b＞0）有相同的焦点，则双曲线C的渐近线方程为（）A．B．C．D．5．下列结论中错误的是（）A．“﹣2＜m＜3”是方程表示椭圆”的必要不充分条件B．命题p：∃x0∈R，使得x02+2x0+2≤0的否定￢p：∀x∈R，x2+2x+2≤0C．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m＝0有实根”的逆否命题是真命题D．命题“若m2+n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”6．△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c若a＝6，b＝2，B，A，C成等差数列，则B＝（）A．B．C．或D．7．设变量x，y满足约束条件，则z＝4x+3y的最大值是（）A．7 B．8 C．9 D．108．已知x＞0，y＞0，4x•2y＝8，则的最小值是（）A．3 B．C．D．99．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x﹣2）＝f（x+2），且x∈（﹣1，0）时，f（x）＝2x+，则f（log220）＝（）A．﹣1 B．C．1 D．﹣10．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，已知鳖臑P﹣ABC 的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的外接球的表面积为（单位：cm2）（）A．41πB．16πC．25πD．64π11．已知函数f（x）＝x2+（m﹣2）x﹣m，g（x）＝，且函数y＝f（x﹣2）是偶函数，若函数y＝g（log2（x2+4））+k•﹣9恰好有三个零点，则该函数的零点是（）A．﹣1，0，1 B．﹣2，0，2 C．﹣2，0，1 D．﹣1，0，2 12．若直线y＝kx﹣2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且|AF|，3，|BF|成等差数列，则k＝（）A．±1 B．1﹣C．1±D．1+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应位置上．13．已知数列{a n}中，a1＝，a n＝1﹣（n≥2），则a2020的值是14．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，DM⊥PA，PA＝PD＝AB＝4，M为BC中点．则点M到平面PBD的距离是．15．设A、B分别为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P是双曲线上不同于A、B的一点，直线AP、BP的斜率分别为m、n，则当取最小值时，双曲线的离心率为．16．设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）若对任意x∈（0，m]，都有，则m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝4﹣4cos B．（1）求；（2）若△ABC的面积为2，求△ABC周长的最小值．18．已知圆C经过点A（2，﹣1），和直线x+y＝1相切，且圆心在直线y＝﹣2x上．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l经过（2，0）点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．19．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5＝28，a4+2是a3，a5的等差中项（1）求数列{a n}通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．20．已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B （x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|＝9．（1）求该抛物线的方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝+λ，求λ的值．21．如图①，在直角梯形ABCD中，AD＝1，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图②所示的几何体．（1）求证：AB⊥平面ADC；（2）若AC与平面ABD所成角的正切值为，求二面角B﹣AD﹣E的余弦值．22．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P，△PF1F2内切圆的半径为，设过点F2的直线l与被椭圆C截得的线段为RS，当l⊥x轴时，|RS|＝3．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点M（0，m），（﹣b＜m＜b），过点M的任一直线与椭圆C相交于两点A、B，y 轴上是否存在点N（0，n）使∠ANM＝∠BNM恒成立？若存在，判断m、n应满足关系；若不存在，说明理由．（3）在（2）条件下m＝1时，求△ABN面积的最大值．参考答案一、选择题（本题共12小题）1．已知集合A＝{x|1＜2x≤4}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|1＜x≤2} C．{x|0＜x≤2} D．{x|0＜x＜2} 【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|1＜2x≤4}＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}＝{x|x＞1}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．故选：B．2．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，下列四个命题中是真命题的是（）A．若α∥β，则l⊥m B．若l⊥m，则α∥βC．若α⊥β，则l∥m D．若l⊥m，则α⊥β【分析】利用直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断，成立的证明，不成立的可举出反例．解：∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又∵m⊂β，∴l⊥m，故A为真命题．若l⊥m，l⊥α，则m∥α或m⊂α，又∵m⊂β，∴α与β可能平行也可能相交，故B 为假命题．若α⊥β，l⊥α，l可能平行β，也可能在β内，又由m⊂β，则l与m可能平行，可能相交，也可能异面，故C为假命题；若l⊥m，l⊥α，则m∥α或m⊂α，又由m⊂β，则α与β可能平行，可能相交，位置不确定，故D为假命题故选：A．3．若直线l1：2x+ay+6＝0与直线l2：（a﹣4）x+ay+5＝0垂直，则实数a的值是（）A．2 B．﹣2或4 C．﹣4 D．﹣4或2【分析】利用直线垂直的性质求解．解：由直线垂直的条件可知，2（a﹣4）+a•a＝0，解可得，a＝﹣4或a＝2．故选：D．4．已知椭圆E：与双曲线C：（a＞0，b＞0）有相同的焦点，则双曲线C的渐近线方程为（）A．B．C．D．【分析】利用已知条件求出a，然后求解双曲线的渐近线方程即可．解：椭圆E的焦点为（±3，0）．故a2＝32﹣5＝4．双曲线C：，双曲线C的渐近线方程为．故选：D．5．下列结论中错误的是（）A．“﹣2＜m＜3”是方程表示椭圆”的必要不充分条件B．命题p：∃x0∈R，使得x02+2x0+2≤0的否定￢p：∀x∈R，x2+2x+2≤0C．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m＝0有实根”的逆否命题是真命题D．命题“若m2+n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”【分析】由方程表示椭圆求出m的范围判断A；写出特称命题的否定判断B；由原命题与其逆否命题共真假判断C；写出原命题的否命题判断D．解：若方程表示椭圆，则，即﹣2＜m＜3且m．∴“﹣2＜m＜3”是方程表示椭圆”的必要不充分条件，故A正确；命题p：∃x0∈R，使得x02+2x0+2≤0的否定￢p：∀x∈R，x2+2x+2＞0，故B错误；当m＞0时，△＝1+4m＞0，∴命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m＝0有实根”是真命题，其逆否命题是真命题，故C正确；命题“若m2+n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”，故D正确．∴错误的结论是B．故选：B．6．△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c若a＝6，b＝2，B，A，C成等差数列，则B＝（）A．B．C．或D．【分析】由B，A，C成等差数列，利用三角形内角和定理求出A的值，再利用正弦定理求出sin B和B的值．解：△ABC中，由B，A，C成等差数列，则2A＝B+C＝π﹣A，解得A＝；所以sin B＝＝＝，又a＞b，所以B为锐角．所以B＝．故选：A．7．设变量x，y满足约束条件，则z＝4x+3y的最大值是（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义利用数形结合即可得到结论．解：由约束条件作出其所确定的平面区域（阴影部分），平移直线z＝4x+3y，由图象可知当直线z＝4x+3y经过点A时，目标函数z＝4x+3y取得最大值，由，解得，即A（），即z＝4××3＝9，故z的最大值为9．故选：C．8．已知x＞0，y＞0，4x•2y＝8，则的最小值是（）A．3 B．C．D．9【分析】由已知结合指数运算性质可得2x+y＝3，从而，展开后利用基本不等式可得解解：∵x＞0，y＞0，4x•2y＝8，∴2x+y＝3，∴＝≥，当且仅当，即，y＝1时取等号，∴的最小值为3．故选：A．9．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x﹣2）＝f（x+2），且x∈（﹣1，0）时，f（x）＝2x+，则f（log220）＝（）A．﹣1 B．C．1 D．﹣【分析】由已知得函数f（x）为奇函数，函数f（x）为周期为4是周期函数，4＜log220＜5，f（log220）＝﹣f（log2），由f（log2）＝1，能求出f（log220）＝﹣1．解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数又∵f（x﹣2）＝f（x+2）∴函数f（x）为周期为4是周期函数又∵log232＞log220＞log216∴4＜log220＜5∴f（log220）＝f（log220﹣4）＝f（log2）＝﹣f（﹣log2）＝﹣f（log2）又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）＝2x+，∴f（log2）＝1故f（log220）＝﹣1．故选：A．10．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，已知鳖臑P﹣ABC 的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的外接球的表面积为（单位：cm2）（）A．41πB．16πC．25πD．64π【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的外接球的半径和表面积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA⊥底面ABC．则BC⊥PC．放入长方体，求长方体外接球即可，设外接球的半径为R，所以（2R）2＝42+42+32＝41，所以S＝4πR2＝41π．故选：A．11．已知函数f（x）＝x2+（m﹣2）x﹣m，g（x）＝，且函数y＝f（x﹣2）是偶函数，若函数y＝g（log2（x2+4））+k•﹣9恰好有三个零点，则该函数的零点是（）A．﹣1，0，1 B．﹣2，0，2 C．﹣2，0，1 D．﹣1，0，2【分析】（1）由函数y＝f（x﹣2）是偶函数，得出y＝f（x）关于直线x＝﹣2对称，求出m，即可求出g（x）的解析式；（2）为偶函数，恰好有三个零点，可得x＝0为其零点，代入求出k的值，令进而求出该函数的零点．解：函数y＝f（x﹣2）是偶函数，所以f（﹣x﹣2）＝f（x﹣2）∴y＝f（x）关于关于直线x＝﹣2对称，∴，∴m＝6∴f（x）＝x2+4x﹣6，∴；设，∵h（﹣x）＝h（x），∴h（x）为偶函数，恰好有三个零点，故必有一个零点为0，∴h（0）＝g（2）+k﹣9＝k﹣6＝0，k＝6，令，则整理得，t2﹣5t+6＝0，解得t＝2或t＝3，当t＝2时，x＝0；当t＝3时，，∴x＝±2，∴所求函数的零点为﹣2，0，2．故选：B．12．若直线y＝kx﹣2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且|AF|，3，|BF|成等差数列，则k＝（）A．±1 B．1﹣C．1±D．1+【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2）．由得k2x2﹣4（k+2）x+4＝0，由韦达定理得x1+x2＝，因为直线y＝kx﹣2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，所以△＞0即k＞﹣1，由抛物线的性质可知|AF|＝x1+＝x1+2，＝x2+2，再结合条件有x1+x2＝2，进而得而出答案．解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．由消去y，得k2x2﹣4（k+2）x+4＝0，故△＝16（k+2）2﹣16k2＝64（1+k）＞0，解得k＞﹣1，且x1+x2＝．由|AF|＝x1++2，且|AF|，3，|BF|成等差数列，得x1+2+x2+2＝6，得x1+x2＝2，所以＝2，解得k＝1±又k＞﹣1，故k＝1+，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应位置上．13．已知数列{a n}中，a1＝，a n＝1﹣（n≥2），则a2020的值是【分析】利用数列的递推关系式求出数列的前几项，得到数列的周期，然后求解即可．解：数列{a n}中，a1＝，a n＝1﹣（n≥2），可得a2＝﹣3；a3＝；a4＝；所以数列的周期为3，a2020＝a673×3+1＝a1＝．故答案为：．14．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，DM⊥PA，PA＝PD＝AB＝4，M为BC中点．则点M到平面PBD的距离是．【分析】由题意得DM⊥AD，DM⊥PA，且PA∩AD＝A，可得DM⊥平面PAD，故而平面PAD ⊥平面ABCD；根据V M﹣PBD＝V P﹣BDM即可求出M到平面PBD的距离．解：∵四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，∴△BCD是等边三角形，又M是BC的中点，∴DM⊥BC，又BC∥AD，∴DM⊥AD，又DM⊥PA，PA∩AD＝A，∴DM⊥平面PAD，又DM⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．取AD的中点H，连接PH，BH，∵PA＝PD＝AB＝4，AB＝BD＝AD＝4，∴PH⊥AD，且，由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PH⊥平面ABCD，故PH⊥BH，∴，又PD＝BD＝4，∴，设M到平面PBD的距离为h，则．又，∴，解得．∴点M到平面PBD的距离为．故答案为：．15．设A、B分别为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P是双曲线上不同于A、B的一点，直线AP、BP的斜率分别为m、n，则当取最小值时，双曲线的离心率为．【分析】先根据点的关系确定mn，再根据基本不等式确定最小值，最后根据最小值取法确定双曲线的离心率．解：设P（x1，y1），则，因此＝，当且仅当时取等号．所以离心率是．故答案为：．16．设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）若对任意x∈（0，m]，都有，则m的取值范围是．【分析】因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），分段求解析式，可得结论解：∵f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1）．∵x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）；∴x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）；当x∈（0，1]时，；当x∈（1，2]时，，由解得，若对任意x∈（0，m]，都有，则．所以m的取值范围是，故答案为：（0，]．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝4﹣4cos B．（1）求；（2）若△ABC的面积为2，求△ABC周长的最小值．【分析】（1）由三角形内角和定理与二倍角余弦、正弦公式，和同角的三角函数关系，即可求得tan的值；（2）由tan的值，利用半角公式求出cos B、sin B的值，再根据三角形面积公式和余弦定理以及基本不等式，即可求得△ABC周长的最小值．解：（1）△ABC中，sin（A+C）＝4﹣4cos B，由A+B+C＝π，及二倍角余弦公式可得sin（π﹣B）＝4（1﹣cos B），即sin B＝8sin2；所以，所以；（2）由，得cos B＝＝＝＝，所以B∈（0，），所以sin B＝＝＝，所以；又S△ABC＝2，所以；由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2ac cos B，所以，（当且仅当a＝c时取等号）；所以，即△ABC周长的最小值为+．18．已知圆C经过点A（2，﹣1），和直线x+y＝1相切，且圆心在直线y＝﹣2x上．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l经过（2，0）点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．【分析】（1）利用圆心到直线的距离，求出a，然后求解圆的半径，得到圆的方程．（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），利用，解得k＝，然后求解直线方程．解：（1）设圆心的坐标为C（a，﹣2a），则＝．化简，得a2﹣2a+1＝0，解得a＝1．所以C点坐标为（1，﹣2），半径r＝|AC|＝＝．故圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝2．（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k＝0由题意得，解得k＝，则直线l的方程为y＝（x﹣2）．综上所述，直线l的方程为x＝2或3x﹣4y﹣6＝0．19．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5＝28，a4+2是a3，a5的等差中项（1）求数列{a n}通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．【分析】（1）由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，进而得到所求通项公式；（2）求得，由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．解：（1）由a4+2是a3，a5的等差中项得a3+a5＝2a4+4，所以a3+a4+a5＝3a4+4＝28，解得a4＝8，由a3+a5＝20得，因为q＞1，所以q＝2．所以；（2）记，则，所以＝．20．已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B （x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|＝9．（1）求该抛物线的方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝+λ，求λ的值．【分析】（1）由题意求得焦点坐标，得到直线方程，和抛物线方程联立，利用弦长公式求得p，则抛物线方程可求；（2）由（1）求出A，B的坐标结合＝+λ，求出C的坐标，代入抛物线方程求得λ值．解：（1）依题意可知抛物线的焦点坐标为（，0），故直线AB的方程为y＝2x﹣p，联立，可得4x2﹣5px+p2＝0．∵x1＜x2，p＞0，△＝25p2﹣16p2＝9p2＞0，解得，x2＝p．∴经过抛物线焦点的弦|AB|＝x1+x2+p＝p＝9，解得p＝4．∴抛物线方程为y2＝8x；（2）由（1）知，x1＝1，x2＝4，代入直线y＝2x﹣4，可求得，，即A（1，﹣2），B（4，4），∴＝+λ＝（1，﹣2）+λ（4，4）＝（4λ+1，4λ﹣2），∴C（4λ+1，4λ﹣2），∵C点在抛物线上，故，解得：λ＝0或λ＝2．21．如图①，在直角梯形ABCD中，AD＝1，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图②所示的几何体．（1）求证：AB⊥平面ADC；（2）若AC与平面ABD所成角的正切值为，求二面角B﹣AD﹣E的余弦值．【分析】（1）利用平面ABD⊥平面BCD，结合BD⊥DC，推出DC⊥平面ABD．得到DC⊥AB，结合AD⊥AB，且即可证明AB⊥平面ADC．（2）说明∠DAC为AC与平面ABD所成角．以O为坐标原点OB，OG，OA分别为x、y、z 轴非负半轴建立空间直角坐标系如图所示，求出面ABD法向量，面DAE法向量，面角B ﹣AD﹣E是锐角，利用空间向量的数量积求解所求二面角的余弦值即可．【解答】（1）证明：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BD⊥DC，DC ⊂平面BCD，所以DC⊥平面ABD．因为AB⊂平面ABD，所以DC⊥AB，又因为AD⊥AB，且DC∩AD＝D，所以AB⊥平面ADC．（2）解：由（1）知DC⊥平面ABD，所以∠DAC为AC与平面ABD所成角．依题意得tan∠DAC＝＝，因为AD＝1，所以CD＝，设AB＝x（x＞0），则BD＝，因为△ABD∽△DCB，所以＝，即，解得x＝，故AB＝，BD＝2．过A作AO⊥BD于O，则AO⊥平面BDC，过O作OG∥DC交BC于G，以O为坐标原点OB，OG，OA分别为x、y、z轴非负半轴建立空间直角坐标系如图所示面ABD法向量可取，DO＝，OA＝D（，0，0）A（0，0，），，，所以，设面DAE法向量为则取，．又二面角B﹣AD﹣E是锐角，所以所求二面角的余弦值为．22．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P，△PF1F2内切圆的半径为，设过点F2的直线l与被椭圆C截得的线段为RS，当l⊥x轴时，|RS|＝3．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点M（0，m），（﹣b＜m＜b），过点M的任一直线与椭圆C相交于两点A、B，y 轴上是否存在点N（0，n）使∠ANM＝∠BNM恒成立？若存在，判断m、n应满足关系；若不存在，说明理由．（3）在（2）条件下m＝1时，求△ABN面积的最大值．【分析】（1）由内切圆的性质，推出离心率，将x＝c代入+＝1，转化求解a＝2，b＝，得到椭圆C的标准方程．（2）①当AB⊥x轴时，可知∠ANM＝∠BNM＝0，②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx+m．联立方程消去y得，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理求解k AN+k BN＝＝0．对任意k∈R恒成立．得到mn＝3且m≠0．m＝0时由（*）式知不存在点N符合题意，推出结果．（3）由（2）得n＝3M（0，1）、N（0，3）设直线AB的方程为y＝kx+1．由⇒（3+4k2）x2+8kx﹣8＝0设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及三角形的面积公式，利用基本不等式求解最值即可．解：（1）由内切圆的性质，得×2c×b＝×（2a+2c）×，得＝．将x＝c代入+＝1，得y＝±，所以＝3．又a2＝b2+c2，所以a＝2，b＝，故椭圆C的标准方程为+＝1．（2）①当AB⊥x轴时，可知∠ANM＝∠BNM＝0，②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx+m．联立方程消去y得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0．（，）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1x2＝．假设存在N（0，n）则k AN+k BN＝＝＝＝0．（*），对任意k∈R恒成立．所以mn＝3且m≠0．m＝0时由（*）式知不存在点N符合题意，综上：m＝0时不存在，时存在点N（0，n）．mn＝3．（3）由（2）得n＝3M（0，1）、N（0，3）设直线AB的方程为y＝kx+1．由⇒（3+4k2）x2+8kx﹣8＝0设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1x2＝．＝，令t＝2k2+1，则t≥1，，当且仅当t＝1，k＝0时取的最大值．所以△ABN面积的最大值为．。
合肥一中2019-2020学年第一学期高二年级段一考试理科-试题卷 (最终稿)
合肥一中2019-2020学年第一学期高二年级段一考试数学（理）试卷满分：150分时长：120分钟命题人：谷留明审题人：陶金美一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1.如图所示,观察四个几何体，其中判断正确的是()A.是棱台B.是圆台C.不是棱柱D.是棱锥2.下列说法正确的是()A.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分称为棱台B.空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等C.通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线D.相等的角在直观图中对应的角仍相等3.用n m ,表示两条不同的直线，用βα，表示两个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若//,m n n ⊂α，则α//m B.若//,,m n αβ⊂α⊂β，//m n则C.若//,//m n αα，则nm //D.若m 不平行于α，且m ⊄α，则α内不存在与m 平行的直线 4.如图，点O 为正方体''''ABCD A B C D -的中心，点E 为面''B BCC 的中心，点F 为''B C 的中点，则空间四边形'D OEF 在该正方体各个面上的投影不可能是() A. B. C. D.5.中国古代数学名著《九章算术 商功》中记载了一种名为“堑堵”的几何体：“邪解立方，得二堑堵.邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.”“堑堵”其实就是底面为直角三角形的直棱柱.已知某“堑堵”的正视图和俯视图如右图所示，则该“堑堵”的左视图的面积为（）A.182 B.183 C.186 D.27226.如图，一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为3m ，一只小虫从圆锥底面圆周上的点P 出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P ，若该小虫爬行的最短路程为33m ，则圆锥底面圆的半径等于（）A.43m B.32m C.1m D.2m7.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，下列结论：①//AB EF ；②CD MN ⊥；③MN 与AB 是异面直线；④BF 与CD 成60 角,其中正确的是()A.①③ B.②③ C.②④D.③④8.正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，,,M N P 分别是棱11111,,A D A A C D 的中点,则过,,M N P 三点的平面截正方体所得截面的面积为（）A.3 B.33 C.32 D.3329.直三棱柱111ABC A B C -中，90,BAC ∠= 12,2AB AC AA ===，则异面直线1AC 与1CB 所成角的余弦值为()A.33- B.33 C.36- D.3610.一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图均为腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体体积为（）A.12B.16C.6D.611.已知某几何体的一条棱的长为m ,该棱在正视图中的投影长为6，在侧视图与俯视图中的投影长为a 与b ，且2a b +=，则m 的最小值为()A. B.142 D.212.已知三棱锥S ABC -中1SA SB SC ===，AB AC ==，BC =接球的表面积为()A．3πB．5πC．6π二、选择题（共4小题，每题5分，共20分）13.的正方形,则原平面四边形的面积为．14.平面//α平面β，点,A C ∈α，点,B D ∈β，直线AB ，CD 相交于点P ，已知8=AP ，9=BP ，16,CP =则=CD ．15.已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，其侧面积恰等于两底面积之和，则该正四棱台的高为．16.正四棱锥P ABCD -中，1B 为PB 的中点，1D 为PD 的中点，则棱锥11A B CD -和P ABCD -体积的比值是．三、解答题（共6小题，共70分）17.（本题10分）如图,四边形ABCD 中， 90=∠DAB 135ADC ∠= ，,5=AB 22=CD ,2=AD ,求四边形ABCD 绕直线AD 旋转一周所成几何体的表面积.18.（本题12分）如图,直三棱柱111C B A ABC -中,4,5,4,31====AA AB BC AC ,点E D ,分别为11,B A AB 的中点.（1）求证:CD B E AC 11//平面平面;（2）求异面直线1AC 与C B 1所成角的余弦值.19.（本题12分）在空间四边形ABCD 中,H ,G 分别是CD AD ,的中点,F E ,分别边BC AB ,上的点,且41==CB CF AB AE ;求证：(1)点H G F E ,,,四点共面；(2)直线FG BD EH ,,相交于同一点．20.（本题12分）如图,四棱锥ABCD P -中,ABCD PD 底面⊥,且底面ABCD 为平行四边形,若1,2,60===∠AD AB DAB (1)求证：BD PA ⊥；(2)若 45=∠PCD ,求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.21.（本题12分）如图,已知四边形ABCD 是平行四边形,点P 是平面ABCD 外一点,M 是PC 的中点,在DM 上取一点G ,过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .(1)求证：PDM AP 平面//.（2）若G 为DM 中点，求证：41=PA GH .22.（本题12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，ABCD PA 平面⊥,4==AD PA ,2=AB .以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N .求:(1)三棱锥ACM D -的体积;（2）点N 到平面ACM 的距离.。
2019-2020学年安徽省合肥一中高二(上)段考数学试卷(文科)(一)+答案解析(附后)
2019-2020学年安徽省合肥一中高二（上）段考数学试卷（文科）（一）一、单选题（本大题共12小题，共60分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )A. 是棱台B. 是圆台C. 是棱锥D. 不是棱柱2.下列关于圆锥的说法中，错误的是( )A. 圆锥的轴截面是等腰三角形B. 圆锥的侧面展开图是扇形C. 以直角三角形一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥D. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥可以得到圆台3.已知正的边长为a，那么的平面直观图的面积为( )A. B. C. D.4.在正方体中O为底面ABCD的中心，E为的中点，则异面直线与EO所成角的正弦值为( )A. B. C. D.5.中国古代数学名著《九章算术》中记载了一种名为“堑堵”的几何体：“邪解立方，得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．”“堑堵”其实就是底面为直角三角形的直棱柱．已知某“堑堵”的正视图和俯视图如下图所示则“堑堵”的左视图的面积( )A. B. C. D.6.已知，是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面，平行的是( )A. m，n是平面内两条直线，且，B. m，n是两条异面直线，，，且，C. 面内不共线的三点到的距离相等D. 面，都垂直于平面7.，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A.， B. ，C. ，，共面D. ，，共点，，共面8.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. 2B.C.D.9.已知三棱锥的顶点都在半径为的球面上，，，，则三棱锥体积的最大值为( )A. B. 1 C. D.10.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①；②；③MN与AB是异面直线；④BF与CD成角，其中正确的是( )A. ①③B. ②③C. ②④D. ③④11.已知正方体，P为棱的动点，Q为棱的中点，设直线m为平面BDP与平面的交线，以下关系中正确的是( )A.B. 平面C.D.平面12.如图，在四面体ABCD，，，，F分别是AD，BC中点．若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为( )A.B.C. 3D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.某圆台的正视图是上底与腰长均为2，下底边为4的等腰梯形，则此圆台的表面积为______. 14.如图，在棱长为的正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，则点G到平面的距离为______.15.已知球O与棱长为4的正四面体的各面都相切，则球O的体积______.16.如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面ABCD，且，，，点M为PC中点，若PD上存在一点N使得平面ACN，则PN长度为______.三、解答题（本大题共6小题，共70分。
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安徽省合肥一中19-20学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是( )A. 若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线B. 若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线C. 已知α、β互相平行，m 、n 互相平行，若m//α，则n//βD. 若m 、n 在平面α内的射影互相平行，则m 、n 互相平行2. 已知直线l 1:mx +y −1=0，直线l 2:(m −2)x +my −1=0，则“l 1⊥l 2”是“m =1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 一条光线从点(−2,−3)射出，经y 轴反射后与圆(x +3)2+(y −2)2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A. −53或−35B. −32 或−23C. −54或−45D. −43或−344. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2m 2+4+y 23=1(m ∈R)的离心率的取值范围为( )A. (0,12]B. (√22,1) C. [12,1) D. (13,12]5. 若某正三棱柱各棱长均为2，则该棱柱的外接球表面积为( )A. 8πB. 16πC.16π3D.28π36. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 4B. 143 C. 163 D. 67.如图所示，点F是抛物线y2=8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2=8x和圆(x−2)2+y2=16为实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB周长的取值范围为()A. (6,10)B. (8,12)C. ［6，8］D. ［8，12］8.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P，Q，R分别为棱AA1，BC，C1D1的中点，经过P，Q，R三点的平面为α，平面α被此正方体所截得截面图形的面积为()．A. 3√3B. 6√2C. √32D. √29.如图过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程为()A. y2=32x B. y2=9x C. y2=92x D. y2=3x10.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长都相等，它的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，棱柱的体积为2√3，则这个三棱柱的表面积为()A. 2√3B. 12C. 2√3+12D. 2√3+611.如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知▵A′ED是▵ADE绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是()A. 动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B. 恒有平面A′GF⊥平面BCEDC. 三棱锥A′−EFD的体积有最大值D. 异面直线A′E与BD不可能垂直12.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=8x的准线分别交于M，N两点，A为双曲线的右顶点，若双曲线的离心率为2，且△AMN为正三角形，则双曲线的方程为()A. x28−y224=1 B. x216−y248=1 C. x224−y272=1 D. x264−y2192=1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.直线3x−4y+5=0关于点M(2,−3)对称的直线的方程为__________________________．14.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，则AE与D1F所成的角为________．15.已知直线l1：4x−3y+6=0和直线l2：x=−1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是____________．16.若F1，F2是椭圆C：x28+y24=1的两个焦点，则在椭圆C上满足PF1⊥PF2的点P的个数是________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(1)求与椭圆x216+y29=1有相同的焦点，且经过点(4,3)的椭圆的标准方程．(2)求与双曲线x24−y29=1有相同的渐近线，且焦距为2√13的双曲线的标准方程．18.在如图所示的几何体中，侧面CDEF为正方形，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=2BC，∠ABC=60°，且平面CDEF⊥平面ABCD．(1)求BC与平面EAC所成角的正弦值；(2)求证：线段ED上不存在点Q，使得平面EAC⊥平面QBC．19.已知圆心在y轴上的圆C经过点S(√3,3)，截直线y=5所得弦长为2√3，直线l:ax+y+2a=0．(1)求圆C的方程；(2)若直线l与圆C相交于A、B两点，当a为何值时，ΔABC的面积最大．20.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB=2，E为PC中点．求二面角E−BD−P的余弦值．21.已知椭圆C：x22+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，下顶点为A，点P是椭圆上任一点，⊙M是以PF2为直径的圆．(Ⅰ)当⊙M的面积为π8时，求PA所在直线的方程；(Ⅱ)当⊙M与直线AF1相切时，求⊙M的方程；(Ⅲ)求证：⊙M总与某个定圆相切．22.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，过点(−12,√144)，且离心率为√22.过点(√2,−√2)的直线l与椭圆C交于M,N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P为椭圆C的右顶点，探究：k PM+k PN是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．(其中k PN，k PN分别是直线PM，PN的斜率)．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查了空间线线、线面、面面位置关系，属于基础题．根据线线、线面平行的性质逐一进行分析即可．解：对于A，平行于同一平面的两条直线可能相交，也可能平行，也可能异面，故错；对于B，垂直于同一平面的两条直线一定平行，故正确；对于C，α、β互相平行，m、n互相平行，若m//α，则n//β或n⊂β，故错；对于D，m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行或异面，故错，故选：B．2.答案：B解析：解：直线l1：mx+y−1=0，直线l2：(m−2)x+my−1=0，若“l1⊥l2”，则m(m−2)+m=0，解得m=0或m=1，故“l1⊥l2”是“m=1”的必要不充分条件，故选：B．利用两条直线相互垂直的充要条件求出m的值，再根据充分必要条件的定义即可得出．本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：D解析：本题考查圆的切线方程，属于中档题目．先求出点(−2,−3)关于y轴的对称点，再由反射光线过点(2,−3)且与圆相切求出即可．解：圆(x+3)2+(y−2)2=1的圆心为(−3,2)，半径r=1．作出点(−2,−3)关于y 轴的对称点(2,−3)．由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点(2,−3)．设反射光线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y −(−3)=k(x −2)， 即kx −y −2k −3=0.由反射光线与圆相切可得|k(−3)−2−2k−3|√1+k 2=1，即|5k +5|=√1+k 2，整理得12k 2+25k +12=0， 即(3k +4)(4k +3)=0，解得k =−43或k =−34.故选D ．4.答案：C解析：本题考查的知识要点：椭圆的标准方程的应用，椭圆的离心率的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．直接利用椭圆的方程和椭圆的离心率的应用求出结果． 解：直角坐标系xOy 中，椭圆x 2m 2+4+y 23=1(m ∈R)，所以e 2=c 2a2=m 2+4−3m 2+4=1−3m 2+4<1，当m =0时，e min2=14． 故14≤e 2<1，整理得12≤e <1． 故选C ．5.答案：D解析：本题考查了三棱柱外接球，难度不大．连接上下底面中心O″O′，其中点O 即为外接球球心，在Rt △OO′A 中可得R ，进而得面积． 解：如图，球心O到下底面的距离OO′=22=1，AO′=23×√3=23√3，∴其外接球的半径R=√AO′2+OO′2=√73，∴其外接球的表面积为4πR2=283π，故选：D．6.答案：D解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为五面体，其体积可由一个长方体的体积与一个直三棱柱的体积作和求解．即V=2×2×1+12×2×1×2=6．故选：D．由三视图还原原几何体，可知原几何体为五面体，由一个长方体的体积与一个直三棱柱的体积作和求得该几何体的体积．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．7.答案：B解析：本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定B点横坐标的范围是关键．解：抛物线的准线l：x=−2，焦点F(2,0)，由抛物线定义可得|AF|=x A+2，圆(x−2)2+y2=16的圆心为(2,0)，半径为4，∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+2+(x B−x A)+4=6+x B，由抛物线y2=8x及圆(x−2)2+y2=16可得交点的横坐标为2，∴x B∈(2,6)，∴6+x B∈(8,12)，故选B．8.答案：A解析：本题考查了空间中的平行关系与平面公理的应用问题，是基础题．根据题意，取正方体ABCD−A1B1C1D1棱AB、A1D1、CC1的中点M、N、L，连接MP，NP、NR、RL，MQ，LQ得出六边形PMQLRN是所得的截面，求出该六边形的面积即可．解：取正方体ABCD−A1B1C1D1棱AB、A1D1、CC1的中点M、N、L，连接MP，NP、NR、RL，MQ，LQ则六边形PMQLRN是过P，Q，R三点的平面截正方体所得的截面，该六边形是正六边形，其边长为RN=12A1C1=√2，其面积为6×12×(√2)2×√32=3√3．故选A．9.答案：D解析：解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD//FG，∴1p =23求得p=32，因此抛物线方程为y2=3x．故选D．分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BD//FG，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得．本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握．10.答案：C解析：解：一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2√3，x3=2√3，设高为：x，所以√34解得：x=2，)x2=2√3+12，故这个三棱柱的表面积为：(3+√32故选：C通过正三棱柱的体积，求出正三棱柱的高，棱长，进而可得答案．本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，简单几何体的三视图，方程思想，难度中档．11.答案：D解析：本题考查了空间线线、线面的位置关系及锥体体积，考查了空间想象能力，属于中档题．解：∵A′D=A′E，△ABC是正三角形，∴A′在平面ABC上的射影在线段AF上，故A正确；由A知，平面A′GF一定过平面BCED的垂线，∴恒有平面A′GF⊥平面BCED，故B正确；三棱锥A′−FED的底面积是定值，体积由高即A′到底面的距离决定，当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′−FED的体积有最大值，故C正确；当(A′E)2+EF2=(A′F)2时，异面直线A′E与BD垂直，故D错误．故选D．12.答案：B解析：本题考查双曲线和抛物线的综合应用．求解这类问题关键是结合两个曲线的位置关系，找到它们对应的几何量，属于中档题．由双曲线的离心率公式及a ，b ，c 的关系，利用三角形是正三角形，转化求解a ，b ，推出双曲线方程．解：由e =c a =√a 2+b 2a =√1+b 2a 2=2， 可得b a =√3．由{y =±√3x x =−2，求得M(−2,2√3)，N(−2,−2√3)， △AMN 为正三角形，可得2√3a+2=√33，解得a =4.可得b =4√3， 可得双曲线方程：x 216−y 248=1．故选：B ． 13.答案：3x −4y −41=0解析：本题主要考查直线关于点对称的问题，属于基础题．设直线l ：3x −4y +5=0关于点M(2,−3)对称的直线l ′上点的坐标为N(x,y)，则N(x,y)关于点M(2,−3)对称点为N ′(4−x,−6−y)，将N ′(4−x,−6−y)代入直线l 方程化简即可得解． 解：设直线l ：3x −4y +5=0关于点M(2,−3)对称的直线l ′上点的坐标为N(x,y)，∴N(x,y)关于点M(2,−3)对称点为N ′(4−x,−6−y)，∴N ′(4−x,−6−y)在直线l ：3x −4y +5=0上，代入直线方程得直线l′的方程为3(4−x)−4(−6−y}+5=0,化简得3x −4y −41=0．故答案为3x −4y −41=0．14.答案：π2本题考查异面直线所成角，属基础题，难度不大．以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，令棱长为2，标出各点的坐标，用向量的夹角公式即可求得．解：设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1棱长为2，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：，则A(2,0，0)，E(2,2，1)D 1(0，0，2)，F(0,1，0)，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1)，D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−2)，设异面直线AE 与D 1F 所成角为θ，则cosθ=|cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√5⋅√5=0． ∵θ∈(0,π2], ∴θ=π2故答案为π2． 15.答案：2解析：解：设抛物线上的一点P 的坐标为(a 2,2a)，则P 到直线l 2：x =−1的距离d 2=a 2+1； P 到直线l 1：4x −3y +6=0的距离d 1=|4a 2−6a+6|5， 则d 1+d 2=4a 2−6a+65+a 2+1=9a 2−6a+115， 当a =13时，P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为2故答案为216.答案：2本题考查椭圆的几何意义的应用和圆的定义，根据椭圆的几何性质可知∠F1PF2最大时的位置是P点在短轴端点，据此求解即可．解：满足PF1⊥PF2的点P在以原点为圆心，c为半径的圆上，由x28+y24=1，得a=2√2，b=2，c=2．∵b=c=2，∴以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆有2个交点．∴PF1⊥PF2的点P的个数为2．故答案为2．17.答案：解：(1)由所求椭圆与椭圆x216+y29=1有相同的焦点，设椭圆方程x216+λ+y29+λ=1(λ>−9)，由(4,3)在椭圆上得1616+λ+99+λ=1⇒λ=12，则椭圆方程为x228+y221=1；(2)由双曲线x24−y29=1有相同的渐近线，设所求双曲线的方程为x24λ−y29λ=1(λ≠0)，由题意可得c2=4|λ|+9|λ|=13，解得λ=±1．即有双曲线的方程为x24−y29=1或y29−x24=1．解析：本题考查相同焦点的椭圆方程的求法，以及相同渐近线方程的双曲线方程的求法，注意运用待定系数法，考查运算能力，属于中档题．(1)由题意可设椭圆方程x216+λ+y29+λ=1(λ>−9)，代入(4,3)，解方程可得λ，进而得到所求椭圆方程；(2)由题意可设所求双曲线的方程为x24λ−y29λ=1(λ≠0)，由焦距可得4|λ|+9|λ|=13，解方程即可得到所求双曲线的方程．18.答案：(Ⅰ)证明：∵AB=2BC，∠ABC=60°，在△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcos60°=3BC2，∴AC 2+BC 2=4BC 2=AB 2，∴∠ACB =90°．∴AC ⊥BC ．又∵AC ⊥FB ，FB ∩BC =B ，∴AC ⊥平面FBC ．(Ⅱ)线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ．证明如下：因为AC ⊥平面FBC ，所以AC ⊥FC ．因为CD ⊥FC ，所以FC ⊥平面ABCD ．所以CA ，CF ，CB 两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系C −xyz ．在等腰梯形ABCD 中，可得 CB =CD ．设BC =1，所以C(0,0,0),A(√3,0,0),B(0,1,0)，D(√32,−12,0),E(√32,−12,1)． 所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−12,1)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,0),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)． 设平面EAC 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以{√32x −12y +z =0√3x =0取z =1，得n⃗ =(0,2，1)． 假设线段ED 上存在点Q ，设Q(√32,−12,t)(0≤t ≤1)，所以CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−12,t)． 设平面QBC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b ，c)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 所以{b =0√32a −12b +tc =0取c =1，得m ⃗⃗⃗ =(−√3,0,1)． 要使平面EAC ⊥平面QBC ，只需m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0， 即 −√3t ×0+0×2+1×1=0，此方程无解．所以线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ．解析：(I)利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得AC ⊥BC ，再利用已知AC ⊥FB 和线面垂直的判定定理即可证明；(II)通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量是否垂直即可．本题综合考查了线面、面面垂直的判定定理与性质定理、通过距离空间直角坐标系利用两个平面的法向量解决面面垂直等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力． 19.答案：解：(1)设圆C 的方程为：x 2+(y −b)2=r 2，把(√3,3)代入得3+(3−b)2=r 2，…………………………①又∵圆C 截直线y =5所得弦长为2√3∴(b −5)2+3=r 2…………………………②联立①②解得b =4，r =2∴圆C 方程为：x 2+(y −4)2=4；(2)圆心C 到直线l ：ax +y +2a =0的距离d =√a 2+1， ∴|AB|=2√4−d 2，由S =12|AB|d =d ⋅√4−d 2≤d 2+4−d 22=2，此时d =√4−d 2即d =√2时等号成立，解得a =−7或a =−1，△ABC 的面积最大，所以直线方程为：7x −y +14=0或x −y +2=0．解析：(1)设出圆的方程，根据已知条件得到两个关于参数的等式联立求解即可；(2)先求出点到直线的距离，根据弦长，半径以及圆心到直线之间的距离之间的关系，求出三角形的底边以及高，再借助于基本不等式即可求出结论．本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题．20.答案：解：以点D 为坐标原点，分别以直线DA ，DC ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0，0)，P(0,0，2)，B(2,2，0)，E(0,1，1)，DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，1)． 设平面BDE 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y =0n⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y +z =0，令z =1，得y =−1，x =1.∴平面BDE 的一个法向量为n ⃗ =(1,−1,1)． 又∵C(0,2，0)，A(2,0，0)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，且AC ⊥平面PDB ， ∴平面PDB 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(1,−1,0)．设二面角E −BD −P 的平面角为α，则cosα=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√3⋅√2=√63．∴二面角E −BD −P 的余弦值为√63．解析：以点D 为坐标原点，分别以直线DA ，DC ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由此能求出二面角E −BD −P 的余弦值．本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 21.答案：解：(Ⅰ)易得F 1(−1,0)，F 2(1,0)，A(0,−1)，设点P(x 1,y 1)，则PF 22=(x 1−1)2+y 12=(x 1−1)2+1−x 122=12(x 1−2)2， 所以PF 2=√2−√22x 1 又⊙M 的面积为π8，∴π8=π8(x 1−2)2， 解得x 1=1，∴P(1,√22)或(1,−√22)， ∴PA 所在直线方程为y =(1+√22)x −1或y =(1−√22)x −1 (Ⅱ)因为直线AF 1的方程为x +y +1=0，且M(x 1+12,y 12)到直线AF 1的距离为|x 1+12+y 12+1|√2=√22−√24x 1化简得y 1=−1−2x 1，联立方程组{y 1=−1−2x 1x 122+y 12=1， 解得x 1=0或x 1=−89∴当x 1=0时，可得M(12,−12)，∴⊙M 的方程为(x −12)2+(y +12)2=12； 当x 1=−89时，可得M(118,718)，∴⊙M 的方程为(x −118)2+(y −718)2=169162(Ⅲ)⊙M 始终和以原点为圆心，半径为r 1=√2(长半轴)的圆(记作⊙O)相切 证明：因为OM =√(x 1+1)24+y 124=√(x 1+1)24+14−x 128=√22+√24x 1， 又⊙M 的半径r 2=MF 2=√22−√24x 1， ∴OM =r 1−r 2，∴⊙M 和⊙O 相内切．解析：(Ⅰ)根据椭圆方程求得焦点，顶点的坐标，设出点P 的坐标，进而表示出|PF 2|的长度进而根据圆M 的面积求得x 1，求得P 的坐标，则PA 所在的直线方程可得．(Ⅱ)根据点M 到直线AF 1的距离求得x 1和y 1的关系式，进而与椭圆方程联立求得x 1，进而求得M 的坐标则圆的方程可得．(Ⅲ)首先表示出OM 的长度，以及圆M 的半径，进而求得OM =r 1−r 2，推断出⊙M 和以原点为圆心，半径为r 1=√2(长半轴)的圆相内切．22.答案：解：(1)由题意得：{ 14a 2+1416b 2=1e =c a =√22a 2=b 2+c 2，解得：a 2=2，b 2=1． 所以椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1．(2)①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为：x =√2，与椭圆C 交于一点，不符合题意，舍去； ②若直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为：y +√2=k(x −√2)，即：kx −y −√2k −√2=0．联立{x 22+y 2=1kx −y −√2k −√2=0得：(1+2k 2)x 2−(4√2k 2+4√2k)x +4k 2+8k +2=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，P(√2,0)，所以{x 1+x 2=4√2k 2+4√2k 1+2k 2x 1x 2=4k 2+8k+21+2k 2， k PM =1x −√2k PN =2x −√2，∴k PM +k PM =1x 1−√22x 2−√2=1√2k √2)(x 2√2)2√2k √2)(x 1√2)(x 1−√2)(x 2−√2)=2k √2(x 12x x −√2(x +x )+2=1．所以k PM +k PN 为定值，该定值为1．解析：本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了计算能力，变形化简能力．(1)根据椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(−12,√144)，且离心率为√22，列方程组，求解即可；(2)设出直线的方程y+√2=k(x−√2)，联立{x22+y2=1kx−y−√2k−√2=0得：(1+2k2)x2−(4√2k2+4√2k)x+4k2+8k+2=0，计算x1+x2，x1x2,k PM+k PN代入计算即可.。