2018年高考理科数学押题卷及答案

2018年高考理科数学押题卷与答案注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共23题。

2. 试卷满分150分，考试时间120分钟。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数1226,2z i z i =+=-．若12,z z 在复平面内对应的点分别为,A B ，线段AB 的中点C 对应的复数为z ，则z =（ ）A ．5 C ．． 2. 已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．8k >B ．8k ≥C ．16k >D ．16k ≥3. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，7825a a -=，则11S 为( ） A. 110 B. 55 C. 50 D. 不能确定4．已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 设实数x ，y 满足约束条件，则当z=ax+by （a ＞0，b ＞0）取得最小值2时，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．26. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（ ）A ．2+．16+C ．8+D ．87. 已知函数()()2sin sin 3f x x x ϕ=+是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数()()sin 22g x x ϕ=+的图象（ ）A.可由()f x 的图象向左平移6π个单位而得到 B.可由()f x 的图象向右平移6π个单位而得到 C.可由()f x 的图象向左平移3π个单位而得到D.可由()f x 的图象向右平移3π个单位而得到8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳 县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值 的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示 程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个 实例，若输入x 的值为2，则输出v 的值为（ ） A.1021- B.102 C. 1031- D. 1039. 一点，则直线OP 与直线AM 所成的角为（ ）A.45B.60C.90D.与点P 的位置有关10．已知变量,x y 满足1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，若目标函数2z x y =+取到最大值a ，则122ax ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ）A ．-144B ．-120C ．-80D ．-6011.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为12,F F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形．若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则12e e ⋅的取值范围是（ ）A ．10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭12．已知函数()1,()ln ,x f x e ax g x x ax a =--=-+若存在0(1,2)x ∈，使得00()()0f x g x <，则实数a 的取值范围为( )A ．21(ln 2,)2e -B ．(ln 2,1)e -C ．[)1,1e -D ． 211,2e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每小题5分，满分20分）13. 已知正实数x ,y 满足2x ＋y ＝2，则2x ＋1y的最小值为_________。

14. 设34log ,32log ,21log 33131===c b a ，则c b a ,,大小关系是_______________。

15. 若525nx dx -=⎰，则()21nx -的二项展开式中2x 的系数为 。

16. 已知()11,A x y ，()22,B x y 是以坐标原点O 为圆心的单位圆上的两点，劣弧 AB 所对的圆心角为α，若 7sin cos 17αα+=，则1212x x y y +=_______________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b 。

（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a 。

18．（本小题满分12分）为备战2018年瑞典乒乓球世界锦标赛，乒乓球队举行公开选拨赛，甲、乙、丙三名选手入围最终单打比赛名单.现甲、乙、丙三人进行队内单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为35，丙胜甲的概率为34，乙胜丙的概率为p ，且各场比赛结果互不影响.若甲获第一名且乙获第三名的概率为110。

（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）设在该次对抗比赛中，丙得分为X ，求X 的分布列和数学期望。

19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是边长为2的等比三角形，过1AC 作平面1ACD平行于1BC ，交AB 于D 点。

（1）求证：CD AB ⊥；（2）若四边形11BCC B 是正方形，且1A D ，求二面角11D AC B --的余弦值。

20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>的上下两个焦点分别为1F ，2F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于M 、N 两点，2MNF ∆，椭圆C 。

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知O 为坐标原点，直线l ：y kx m =+与y 轴交于点P (P 不与原点O 重合)，与椭圆C交于A ，B 两个不同的点，使得3AP PB =，求m 的取值范围。

21.（本小题满分12分）己知函数2(),()sin 2x xf x ae xg x bx π=+=+，直线l 与曲线()y f x =切于点(0,(0))f 且与曲线y=g （x ）切于点(1，g(1))。

(I)求a ，b 的值和直线l 的方程。

(II)证明：()()f x g x >请考生在22、23两题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()235f x x x =-+-。

（1）求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()f x a <的解集不是空集，求实数a 的取值范围。

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l 过点P 且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=-，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点；（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若||AB =l 的倾斜角α的值．参考答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A2.C3.B4.A5.D6.C7.A8.D9.C 10.B 11.C 12.A 二、填空题（每小题5分，满分20分）13. 9 2 14. a ＞b ＞c 15.180 16.817-；三、解答题 （本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2a cos C －c ＝2b ，由正弦定理得 2sin A cos C －sin C ＝2sin B ， …2分2sin A cos C －sin C ＝2sin(A ＋C ) ＝２sin A cos C ＋2cos A sin C ， ∴－sin C ＝2cos A sinC ，∵sin C ≠0，∴cos A ＝－ 12，而A ∈(0, π)，∴A ＝2π3. …6分（Ⅱ）在△ABD 中，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝BDsin A∴ sin ∠ADB ＝AB sin A BD ＝ 22，∴ ∠ADB ＝π4， …9分∴∠ABC ＝π6，∠ACB ＝π6，AC ＝AB ＝ 2由余弦定理， BC ＝AB 2+AC 22AB ACcosA ＝ 6. …12分18.（本小题满分12分）（Ⅰ）由已知，甲获第一名且乙获第三名的概率为110. 即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙概率为110， …………2分 ∴311(1)5410p ⨯⨯-=， ∴13p =. …………6分 （Ⅱ）依题意丙得分X 可以为0,3,6,丙胜甲的概率为34，丙胜乙的概率为23…………7分111(0)4312P X ==⨯=,31125(3)434312P X ==⨯+⨯=,326(6)4312P X ==⨯= …………10分∴15617()0361212124E X =⨯+⨯+⨯=. …………12分19．（本小题满分12分）（1）证明见解析；（2（1）证：连结1AC ，设1AC 与1AC 相交于点E ， 连接DE ，则E 为1AC 中点，∵1//BC 平面1ACD ，DE =平面1ACD 平面1ABC ， ∴1//DE BC ，∴D 为AB 的中点， 又∵ABC ∆是等边三角形，∴CD AB ⊥，（2）因为222115AD A A AD +==，所以1A A AD ⊥， 又1B B BC ⊥，11//B B A A ，所以1A A BC ⊥，又AD BC B = ，所以1A A ⊥平面ABC ， 设BC 的中点为O ，11B C 的中点为1O ，以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，1OO 所在的直线为y 轴，OA 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -.则111(1,0,0),((1,2,0)2C AD B-，即113((2,2,0)2CD CA CB===，设平面1DAC的法向量为1111(,,)n x y z=，由111n CDn CA⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111113220x zx y⎧=⎪⎨⎪+=⎩，令11x=，得1(1,1,n=，设平面11ACB的法向量为2222(,,)n x y z=，由2121n CAn CB⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2222220220x yx y⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，令21x=，得2(1,n=-，∴121212cos,||||n nn nn n⋅<>===，故所求二面角的余弦值是35.20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）根据已知椭圆C的焦距为2c，当y c=时，2122||||bMN x xa=-=，由题意2MNF∆的面积为21212||||||2b cF F MN c MNa===由已知得ca=21b=，∴24a=，∴椭圆C的标准方程为2214yx+=．-------------4分（Ⅱ）设11(,)A x y，22(,)B x y，由22,440,y kx mx y=+⎧⎨+-=⎩得222(4)240k x mkx m+++-=，∴12224kmx x k -+=+，212244m x x k -=+， -----------6分 由已知得222244(4)(4)0m k k m ∆=-+->，即2240k m -+>，由3AP PB =，得123x x -=，即123x x =-，∴212123()40x x x x ++=，------------8分 ∴222222124(4)0(4)4k m m k k -+=++，即222240m k m k +--=． 当21m =时，222240m k m k +--=不成立，∴22241m k m -=-，------------10分∵2240k m -+>，∴2224401m m m --+>-，即222(4)01m m m ->-， ∴214m <<，解得21m -<<-或12m <<．综上所述，m 的取值范围为{}|2112m m m -<<-<<或-------------12分 21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）f (x )＝a e x＋2x ，g (x )＝ 2cos x 2＋b ，f (0)＝a ，f (0)＝a ，g (1)＝1＋b ，g (1)＝b ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线为y ＝ax ＋a ， 曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线为y ＝b (x －1)＋1＋b ，即y ＝bx ＋1．依题意，有a ＝b ＝1，直线l 方程为y ＝x ＋1． …4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知f (x )＝e x ＋x 2，g (x )＝sinx2＋x ．…5分设F (x )＝f (x )－(x ＋1)＝e x＋x 2－x －1，则F (x )＝e x＋2x －1， 当x ∈(－∞，0)时，F (x )＜F (0)＝0； 当x ∈(0，＋∞)时，F (x )＞F (0)＝0．F (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增，故F (x )≥F (0)＝0．…8分设G (x )＝x ＋1－g (x )＝1－sinx 2， 则G (x )≥0，当且仅当x ＝4k ＋1（k ∈Z ）时等号成立．…10分由上可知，f (x )≥x ＋1≥g (x )，且两个等号不同时成立，因此f (x )＞g (x )． …12分请考生在22、23两题中任选一题作答。