课时跟踪训练14
2022届高三物理一轮复习课时跟踪训练—动量守恒定律中的多过程问题
2022高考一轮复习课时跟踪训练动量守恒定律中的多过程问题一、单项选择题（下列选项中只有一个选项满足题意）1．如图所示，弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为m 的光滑弧形槽静止在光滑水平面上，底部与水平面平滑连接，一个质量也为m 的小球从槽上高h 处由静止开始自由下滑（ ）A ．被弹簧反弹离开弹簧后，小球和槽都做速率不变的直线运动B ．在下滑过程中，小球和槽组成的系统动量守恒C ．在下滑过程中，小球和槽之间的相互作用力对槽不做功D ．被弹簧反弹后，小球能回到槽上高h 处2．如图甲所示，一轻弹簧的两端与质量分别为1m 、2m 的两物块A 、B 相连，静止在水平面上。
弹簧处于原长时，使A 、B 同时获得水平的瞬时速度，从此刻开始计时，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示；这种双弹簧振子模型的v t -图像具有完美的对称性，规定水平向右为正方向，从图像提供的信息可得（ ）A ．0~1s 时间内，弹簧正处于压缩状态B ．水平面不一定光滑，且两物块的质量之比为12:1:1m m =C ．若0时刻B 的动量为5kg m/s ⋅，则3s 时刻弹簧的弹性势能为100JD ．两物块的加速度相等时，速度差达最大值；两物块的速度相同时，弹簧的形变量最大 3．A 、B 两船的质量均为m ，静止在平静的湖面上。
现A 船中质量为3m 的人从A 船跳到B船，再从B船跳回A船……经n次跳跃后，人停在B船上。
不计空气和水的阻力，下列说法正确的是（）A．A、B两船组成的系统动量守恒B．A、B两船和人组成的系统水平方向动量不守恒C．人停在B船上后，A、B两船的速度大小之比为1∶1D．人停在B船上后，A、B两船的速度大小之比为4∶34．如图所示，在光滑水平面上有A、B两辆小车，水平面的左侧有一竖直墙，在小车B上坐着一个小孩，小孩与B车的总质量是A车质量的10倍。
两车开始都处于静止状态，小孩把A车以相对于地面的速度v推出，A车与墙壁碰后仍以原速率返回，小孩接到A车后，又把它以相对于地面的速度v推出。
(共16套)新人教版高中语文必修1(全套)课时跟踪检测 同步练习题附答案汇总
（共16套）新人教版高中语文必修1(全套)课时跟踪检测同步练习题附答案汇总课时跟踪检测（一）沁园春长沙一、语言表达专练1．下列各句中，加点的成语使用有误的两项是( )A．“七一”前夕，市委老党员为了迎接建党九十四周年，精心组织开展了一场特殊的支部活动，他们集体回忆峥嵘岁月．．．．，重温入党誓词。
B．有些风华正茂．．．．的儿童沉迷在网吧里，浪费了时光，荒废了学业，真让人痛惜。
C．聆听着马年新春的激昂鼓点，我们意气风发．．．．，信心百倍，激情满怀。
在“开放＋创新”双轮驱动下，中国大地正飞驰在希望的田野上，前程似锦，活力无限。
D．所谓领军人物，不仅需要有“逆水行舟”的冒险精神，也要有挥斥方遒．．．．的王者霸气，更应是一个团队的战略家和指挥者。
E．登上仰慕已久的泰山，同学们眼界大开，他们一会儿俯瞰脚下的云雾松柏，一会儿举目仰望远处的落日归鸟，指点江山．．．．，心情澎湃。
解析：选BE B项，使用对象不当。
风华正茂：风采才华正盛，形容青年朝气蓬勃、奋发有为的精神面貌。
E项，指点江山：评论国家大事，此处望文生义。
A项，峥嵘岁月：不寻常的日子，形容不平凡的年月。
C项，意气风发：形容精神振奋，气概豪迈。
D项，挥斥方遒：热情奔放，劲头正足。
2．下列各句中，没有语病的一项是( )A．《诗人毛泽东》一书从不同的时间、不同的角度来表现毛泽东诗词的巨大成就，使读者全面了解毛泽东思想艺术。
B．据斯诺登通过英国《卫报》报道表示，他“从未向中俄政府提供情报”，中俄“也没有从其笔记本电脑里提取信息”。
C．近两年来，随着互联网中微博这一交流方式的发展和出现，全球越来越多的政府机构人员纷纷开通微博，及时公布有关信息，提升政府在民众中的形象。
D．“炫通水诗赋朗诵会”在散文诗朗诵《水水水》中拉开了序幕，一首声情并茂的《难离故土》表达了南阳人为南水北调无私奉献、背井离乡的壮举，感人泣下。
解析：选A B项，句式杂糅。
“据……报道”和“斯诺登通过……表示”两种句式杂糅，删去“据”和“报道”。
高一下册语文课时跟踪检测答案
高一下册语文课时跟踪检测答案1、下列词语中，加着重号字的注音正确的一项是（）[单选题] *A、告辞（cí）菱角（léng）B、柔滑（róu）精致（zhì）(正确答案)D、晌午（shàng）吮吸（yǔn）下列词语中，加着重号字的注音不正确的一项是（）[单选题] *2、下列选项中，与加着重号字的注音完全相同的一项是（）[单选题] *A、鲜（xiān）：鲜红新鲜屡见不鲜鲜为人知B、强（qiǎng）：坚强牵强强词夺理博闻强识C、供（gōng）：供给供应提供供不应求(正确答案)D、当（dāng）：当家当代门当户对安步当车3、括号前的字注音正确的是，潭柘（）寺[单选题] *zhêtuózhè(正确答案)zhé4、下列词语中，加着重号字的注音正确的一项是（）[单选题] *A、狭隘（ài）言简意赅（hài）B、笑靥（yǎn）心宽体胖（pán）C、脸颊（jiá）诲人不倦（huǐ）D、酝酿（niàng）一蹴而就（cù）(正确答案)5、22. 下列句子中加双引号成语使用错误的一项是（）[单选题] *A．让绿色生活成为时代文明的标签，需要激发出每个人的环保热情，建设美丽中国，每一个人都不能“袖手旁观”。
B．为了改变交通拥堵的现象，我校组织部分老师担任交通疏导员，交通拥堵的现象“戛然而止”。
(正确答案)C．峰会期间，青岛市主城区道路两侧“张灯结彩”，五颜六色的花卉和绿植景观营造出浓浓的盛会氛围。
D．精明的行销人员，会尽力让所有的行销元素都环环相扣、“天衣无缝”。
6、1老刘庆祝生日，对好友说：“明天是我的生日，特邀请你来贵府一叙，你不会拒绝吧？”他这样表述是得体的。
[判断题] *对(正确答案)错7、8. 下列句子中加双引号成语使用恰当的一项是（）[单选题] *A．为提高全民阅读水平，目前“当务之急”是在社会营造良好的阅读氛围。
2020_2021学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质课时跟踪训练含解析新
2.4.2 抛物线的简单几何性质[A 组 学业达标]1．抛物线y 2＝2px (p >0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为( ) A ．4 B ．9 C ．10 D ．18解析：抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p2.由题意可得4＋p2＝9，解得p ＝10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为10. 答案：C2．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( ) A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无穷多条 D ．不存在解析：当斜率不存在时，x 1＋x 2＝2不符合题意． 当斜率存在时，由焦点坐标为(1,0)， 可设直线方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝5，∴k 2＝43，即k ＝±233. 因而这样的直线有且仅有两条． 答案：B3．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |等于( )A ．43B ．8C ．83D ．16解析：由抛物线方程y 2＝8x ，可得准线l ：x ＝－2，焦点F (2,0)，设点A (－2，n )， ∴－3＝n －0－2－2，∴n ＝4 3.∴P 点纵坐标为4 3.由(43)2＝8x ，得x ＝6，∴P 点坐标为(6,43)，∴|PF |＝|PA |＝|6－(－2)|＝8，故选B. 答案：B4．抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0交于两点A 与B ，F 是抛物线的焦点，则|FA |＋|FB |等于( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．7解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|FA |＋|FB |＝x 1＋x 2＋2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，2x ＋y －4＝0得x 2－5x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝5，x 1＋x 2＋2＝7. 答案：D5．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是( ) A ．(2，±22) B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)解析：由题意知F (1,0)，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 204，y 0，则OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 204，y 0，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－y 204，－y 0.由OA →·AF →＝－4得y 0＝±2，∴点A 的坐标为(1，±2)，故选B. 答案：B6．抛物线y 2＝4x 的弦AB ⊥x 轴，若|AB |＝43，则焦点F 到直线AB 的距离为________．解析：由抛物线的方程可知F (1,0)，由|AB |＝43且AB ⊥x 轴得y 2A ＝(23)2＝12，∴x A ＝y 2A4＝3，∴所求距离为3－1＝2. 答案：27．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的横坐标为2，则|AB |＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为抛物线的准线方程为x ＝－1，焦点为F (1,0)，则根据抛物线的定义可知|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，所以|AB |＝x 1＋1＋x 2＋1＝2x M ＋2＝2×2＋2＝6. 答案：68．设A ，B 是抛物线x 2＝4y 上两点，O 为原点，若|OA |＝|OB |，且△AOB 的面积为16，则∠AOB ＝________.解析：由|OA |＝|OB |，知抛物线上点A ，B 关于y 轴对称． 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a ，a 24，B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ，a 24，则S △AOB ＝12·2a ·a 24＝16，解得a ＝4，∴△AOB 为等腰直角三角形，∠AOB ＝90°. 答案：90°9．直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，若|AB |＝8，求直线l 的方程．解析：因为抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)， 若l 与x 轴垂直，则|AB |＝4，不符合题意，所以可设所求直线l 的方程为y ＝k (x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k 2＋4k2. 又AB 过焦点，由抛物线的定义可知|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k 2＋2＝8，所以2k 2＋4k2＝6，解得k ＝±1. 所以所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.10．已知抛物线C ：y ＝2x 2和直线l ：y ＝kx ＋1，O 为坐标原点． (1)求证：l 与C 必有两交点．(2)设l 与C 交于A ，B 两点，且直线OA 和OB 斜率之和为1，求k 的值． 解析：(1)证明：联立抛物线C ：y ＝2x 2和直线l ：y ＝kx ＋1，可得2x 2－kx －1＝0，所以Δ＝k 2＋8>0，所以l 与C 必有两交点．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1x 1＋y 2x 2＝1①，因为y 1＝kx 1＋1，y 2＝kx 2＋1，代入①，得2k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 1＋1x 2＝1②，由(1)可得x 1＋x 2＝12k ，x 1x 2＝－12，代入②得k ＝1.[B 组 能力提升]11．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．3 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，因为AB 中点的横坐标为2，则4k ＋2k 2＝4，即k ＝2或k ＝－1，又由Δ＝16(k ＋2)2－16k 2>0，知k ＝2.答案：C12．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( ) A.12B.22 C.2D ．2解析：由题意可知，抛物线的焦点为(2,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝k (x －2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，y 2＝8x得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，则x 1＋x 2＝4k 2＋8k 2，x 1·x 2＝4.y 1＋y 2＝k (x 1－2)＋k (x 2－2)＝k (x 1＋x 2－4)＝8k ，y 1·y 2＝－8x 1·8x 2＝－16.∴MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2) ＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4 ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4－16－16k＋4＝0，解得k ＝2，故选D. 答案：D13．动圆经过点A (3,0)，且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是________．解析：设动点M (x ，y )，⊙M 与直线l ：x ＝－3的切点为N ，则|MA |＝|MN |，即动点M 到定点A 和定直线l ：x ＝－3的距离相等，所以点M 的轨迹是抛物线，且以A (3,0)为焦点，以直线l ：x ＝－3为准线，所以p ＝6，所以动圆圆心的轨迹方程为y 2＝12x . 答案：y 2＝12x 14．过抛物线y 2＝4x的焦点F 且倾斜角为π4的直线与抛物线交于A ，B 两点，则|FA |·|FB |的值为________． 解析：过抛物线y 2＝4x的焦点F 且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x得x 2－6x ＋1＝0，Δ＝36－4＝32>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1>0，x 2>0，则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，F (1,0)，|FA|·|FB|＝x1－12＋y21·x2－12＋y22＝x21－2x1＋1＋4x1·x22－2x2＋1＋4x2＝x1＋12·x2＋12＝(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝1＋6＋1＝8.答案：815.如图，已知直线与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D(不为原点)．(1)求点D的轨迹方程；(2)若点D的坐标为(2,1)，求p的值．解析：(1)设点A的坐标(x1，y1)，点B的坐标(x2，y2)，点D的坐标(x0，y0)(x0≠0)，由OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0. 由已知，得直线AB的方程为y0y＝－x0x＋x20＋y20.又y21＝2px1，y22＝2px2，y21y22＝(2px1)·(2px2)，则x1x2＝y21y22 4p2，由x1x2＋y1y2＝0得y1y2＋4p2＝0.把y0y＝－x0x＋x20＋y20代入y2＝2px，并消去x得x0y2＋2py0y－2p(x20＋y20)＝0，则y1y2＝－2p x20＋y20x0，代入y1y2＋4p2＝0，得x20＋y20－2px0＝0(x0≠0)，故所求点D 的轨迹方程为x 2＋y 2－2px ＝0(x ≠0)． (2)将x ＝2，y ＝1代入方程x 2＋y 2－2px ＝0中，得p ＝54.16．已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．解析：(1)把P (1,1)代入y 2＝2px 得p ＝12，∴抛物线C 的方程为y 2＝x .∴焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14.(2)证明：设l ：y ＝kx ＋12(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线OP 的方程为y ＝x ，直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x .由题意知A (x 1，x 1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1，x 1y 2x 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得k 2x 2＋(k －1)x ＋14＝0，则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1·x 2＝14k 2.∵y 1＋x 1y 2x 2＝kx 1＋12＋x 1⎝⎛⎭⎪⎪⎫kx 2＋12x 2＝2kx 1＋x 1＋x 22x 2＝2kx 1＋1－kk 22·14k 2x 1＝2kx 1＋(1－k )·2x 1 ＝2x 1，∴y 1＋x 1y 2x 22＝x 1.又M (x 1，y 1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1，x 1y 2x 2， ∴x 1＋x 12＝x 1，∴线段BM 的中点坐标为(x 1，x 1)，与A (x 1，x 1)坐标相同， ∴A 为线段BM 的中点．。
课时跟踪检测(十四) 对数的运算性质及换底公式
课时跟踪检测（十四） 对数的运算性质及换底公式层级一 学业水平达标1．计算2log 63＋log 64的结果是( )A ．2B ．log 62C ．log 63D ．3解析：选A 2log 63＋log 64＝log 69＋log 64＝log 636＝2.2．若a >0，a ≠1，x >y >0，n ∈N *，则下列各式：(1)(log a x )n ＝n log a x ；(2)(log a x )n ＝log a x n ；(3)log a x ＝－log a 1x ； (4)n log a x ＝1n log a x ；(5)log a x n ＝log a n x ，其中正确的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 解析：选A 根据对数的运算性质log a M n ＝n log a M (M >0，a >0，且a ≠1)知(3)与(5)正确．3．若x log 23＝1，则3x ＋9x 的值为( )A ．6B ．3 C.52 D.12解析：选A 由x log 23＝1得3x ＝2，因此9x ＝(3x )2＝4，所以3x ＋9x ＝2＋4＝6，故选A.4．计算⎝⎛⎭⎫12log 64＋log 63(log 312－2log 32)＝( ) A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选B 12log 64＋log 63＝log 6412＋log 63＝log 62＋log 63＝log 66＝1，log 312－2log 32＝log 312－log 34＝log 33＝1，∴⎝⎛⎭⎫12log 64＋log 63·(log 312－2log 32)＝1，故选B.5．已知log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 等于( )A.92 B ．9C ．18D ．27解析：选B ∵log 34·log 48·log 8m ＝lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝lg m lg 3＝2，∴lg m ＝2lg 3，∴m ＝9. 6．计算(log 43＋log 83)·lg 2lg 3的结果为________． 解析：原式＝⎝⎛⎭⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8·lg 2lg 3＝⎝⎛⎭⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2·lg 2lg 3＝5lg 36lg 2·lg 2lg 3＝56. 答案：567．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 98用a ，b 表示为________．解析：log 98＝lg 8lg 9＝3lg 22lg 3＝3a 2b. 答案：3a 2b8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，3x ，x <0.则f (f (－2))等于________． 解析：f (－2)＝3－2＝19. ∴f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝log 33－2＝－2. 答案：－29．计算：(1)lg 5·lg 20－lg 2·lg 50－lg 25；(2)lg 14－2lg 76＋12lg 49－lg 72＋8lg 1； (3)(log 25＋log 40.2)(log 52＋log 250.5)．解：(1)原式＝(1＋lg 2)lg 5－(1＋lg 5)lg 2－2lg 5＝－lg 5－lg 2＝－1.(2)原式＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 6＋lg 7－lg 72＝lg 2＋2lg 6－lg 72＝0.(3)原式＝⎝⎛⎭⎫lg 5lg 2＋lg 0.2lg 4⎝⎛⎭⎫lg 2lg 5＋lg 0.5lg 25＝(2lg 5＋lg 0.2)(2lg 2＋lg 0.5)4lg 2·lg 5 ＝lg 5·lg 24lg 2·lg 5＝14.10．已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 3645.解：法一：∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－a . 法二：∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b .于是log 3645＝log 18(9×5)log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b 2－a . 层级二 应试能力达标1．若log 5 13·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( ) A ．9 B.19 C ．25 D.125解析：选D 由换底公式，得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg x lg 6＝2，lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125. 2．若lg x －lg y ＝t ，则lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y 23＝( ) A ．3t B.32t C ．t D.t 2解析：选A lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y 23＝3lg x 2－3lg y 2＝3lg x y ＝3(lg x －lg y )＝3t . 3．若a ≠b ，且log a b ＝log b a ，则ab 的值为( )A ．1B ．2 C.14D ．4 解析：选A ∵log a b ＝log b a ，∴lg b lg a ＝lg a lg b，∴(lg b )2＝(lg a )2. ∵a ≠b ，∴lg a ＝－lg b ，∴lg a ＝lg 1b，∴ab ＝1. 4．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N 最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)( )A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093 解析：选D 由已知得，lg M N ＝lg M －lg N ≈361×lg 3－80×lg 10≈361×0.48－80＝93.28＝lg 1093.28.故与M N 最接近的是1093. 5．计算：2lg 2＋lg 32＋lg 0.36＋2lg 2＝________. 解析：原式＝2lg 2＋lg 32＋lg 36－2＋2lg 2＝2lg 2＋lg 34lg 2＋2lg 3＝12. 答案：126．若log 5(6－1)＋log 2(2＋1)＝a ，则log 5(6＋1)＋log 2(2－1)的值为________． 解析：log 5(6＋1)＋log 2(2－1)＝log 556－1＋log 212＋1＝1－[log 5(6－1)＋log 2(2＋1)]＝1－a .答案：1－a7．已知log a c 和log b c 是方程x 2－3x ＋1＝0的两个根，求log a b c 的值(其中a ＞b ＞1，c ＞1)．解：log a c ＝1log c a ，log b c ＝1log c b， 据题意：1log c a ＋1log c b ＝3，1log c a ·1log c b＝1， 即log c a ＋log c b ＝3log c a ·log c b .log c a ·log c b ＝1，∴log c a ＋log c b ＝3，∴log a b c ＝1log c a b＝1log c a －log c b＝1(log c a ＋log c b )2－4log c a log c b ＝19－4＝55.8．若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值． 解：原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0.设t ＝lg x ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0，∴t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝12. 又∵a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，∴t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12. ∴lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )·⎝⎛⎭⎫lg b lg a ＋lg a lg b ＝(lg a ＋lg b )·(lg b )2＋(lg a )2lg a ·lg b＝(lg a ＋lg b )·(lg a ＋lg b )2－2lg a ·lg b lg a ·lg b＝2×22－2×1212＝12，即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.。
高中语文必修二课时跟踪检测答案
高中语文必修二课时跟踪检测答案1、1“冠者五六人”一句中的冠者指成年男子。
古代男子20岁举行束发带帽的仪式叫行冠礼，表示已经成年。
[判断题] *对(正确答案)错2、下列词语中，加着重号字的注音不正确的一项是（）[单选题] *A、爱而不见（xiàn）B、搔首踟蹰（zhī）(正确答案)C、静女其娈（luán）D、彤管有炜（wěi）3、下列有关《红楼梦》的说明，正确的一项是( ) [单选题] *A.《红楼梦》中长着“两弯似蹙非蹙罥烟眉，一双似喜非喜含情目”的是王熙凤，该人最擅弄权术，例如毒设相思局、弄权铁槛寺、逼死尤二姐、破坏宝黛婚姻，最后落了个“机关算尽太聪明，反误了卿卿性命”的悲剧下场。
B.《红楼梦》中贾府的“四春”分别是：孤独的贾元春、精明的贾迎春、懦弱的贾探春、孤僻的贾惜春，取“原应叹息”之意。
C.“花谢花飞飞满天，红消香断有谁怜？……一朝春尽红颜老，花落人亡两不知！”这首诗出自《红楼梦》中人物林黛玉之手。
(正确答案)D.《红楼梦》中表明贾府收入主要书回的情节在第二十五回“乌庄头交租”一事上，表明贾府“排场费用，又不肯讲究省俭”的主要情节是“可卿丧仪”和“元春省亲”两件事。
4、1李白，字太白，号青莲居士，被后人称为“诗圣”。
[判断题] *对(正确答案)错5、1鲁迅，原名周树人，字豫才，浙江绍兴人，我国著名文学家、思想家、民主战士。
[判断题] *对错(正确答案)6、下列说法中正确的一项是( ) [单选题] *A.贾氏宗族的长房是荣国府，次房是宁国府。
《红楼梦》主要写荣国府的事。
太虚幻境中有两句判词说：“漫言不肖皆荣出，造衅开端实在宁”，说明宁府的罪孽超过荣府。
B.《红楼梦》中的“金陵十二钗”指的是林黛玉、薛宝钗、元春、迎春、探春、惜春、史湘云、王熙凤、妙玉、秦可卿、香菱、李纨。
C.宝玉梦游太虚幻境时，警幻仙姑带他游历了太虚幻境，并品了千红一窟茶，饮了万艳同杯酒，看了“薄命司”的册子，听了12 支名叫《红楼梦》的曲子。
2021_2022学年新教材高中化学课时跟踪检测(十四)物质的量浓度(含解析)新人教版必修第一册
课时跟踪检测〔十四〕物质的量浓度A 级—学业水平考试达标练1．以下有关0.2 mol·L －1BaCl 2溶液的说法不正确的选项是( ) A ．500 mL 溶液中Cl －浓度为0.2 mol·L －1B ．500 mL 溶液中Ba 2＋浓度为0.2 mol·L －1C ．500 mL 溶液中Cl －N AD ．500 mL 溶液中Ba 2＋和Cl －N A解析：选A 0.2 mol·L －1BaCl 2溶液中Cl －的物质的量浓度为0.4 mol·L －1，与溶液的体积无关，A 错误；0.2 mol·L －1BaCl 2溶液中Ba 2＋的物质的量浓度为0.2 mol·L －1，与溶液的体积无关，B 正确；N ＝nN A ＝cVN A ＝0.2 mol·L －1×0.5 L×2×N A N A ，C 正确；N ＝nN A ＝cVN A ＝0.2 mol·L －1×0.5 L×3×N A N A ，D 正确。
2．在100 mL 的溶液中溶有0.1 mol NaCl 和0.1 mol MgCl 2，此溶液中Cl －的物质的量浓度为( )A ．3 mol·L －1B ．2 mol·L －1C ．0.3 mol·L －1D ．0.2 mol·L －1解析：选A n (Cl －)＝0.1 mol ＋2×0.1 mol ＝0.3 mol ，c (Cl －)＝0.3 mol 0.1 L ＝3 mol·L －1。
3．设N A 为阿伏加德罗常数的值。
以下关于0.2 mol·L －1硝酸钡溶液的说法不正确的选项是( )A ．1 L N AB ．1 L N A 个NO －3N A 个NO －3D ．1 000 mL 溶液中Ba 2＋浓度为0.2 mol·L －1解析：选B 1 L N A 个NO －3，B 项错误。
2020-2021学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词课时跟踪训练（含解析
全称量词与存在量词[A 组 学业达标]1．下列命题中为全称命题的是( ) A ．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 B ．矩形都有外接圆C ．存在一个实数与它的相反数的和为0D ．0没有倒数解析：命题“矩形都有外接圆”可改写为“每一个矩形都有外接圆”，是全称命题．故选B. 答案：B2．下列命题中为特称命题的是( ) A ．所有的整数都是有理数 B ．三角形的内角和都是180° C ．有些三角形是等腰三角形 D ．正方形都是菱形解析：A ，B ，D 为全称命题，而C 含有存在量词“有些”，故为特称命题． 答案：C3．命题“∃x 0∈R,2x 0<12或x 20>x 0”的否定是( )A ．∃x 0∈R,2x 0≥12或x 20≤x 0B ．∀x ∈R,2x ≥12或x 2≤xC ．∀x ∈R,2x ≥12且x 2≤xD ．∃x 0∈R,2x 0≥12且x 20≤x 0解析：原命题为特称命题，其否定为全称命题，应选C. 答案：C4．下列四个命题中的真命题为( ) A ．若sin A ＝sin B ，则A ＝B B ．∀x ∈R ，都有x 2＋1>0 C ．若lg x 2＝0，则x ＝1 D ．∃x 0∈Z ，使1<4x 0<3解析：A 中，若sin A ＝sin B ，不一定有A ＝B ，故A 为假命题，B 显然是真命题；C 中，若lg x 2＝0，则x 2＝1，解得x ＝±1，故C 为假命题；D 中，解1<4x <3得14<x <34，故不存在这样的x ∈Z ，故D 为假命题． 答案：B5．命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5D ．a ≤5解析：当该命题是真命题时，只需a ≥(x 2)max ，x ∈[1,2]．因为y ＝x 2在[1,2]上的最大值是4，所以a ≥4.因为a ≥4⇒/ a ≥5，a ≥5⇒a ≥4，故选C. 答案：C6．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号) ①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”，是全称命题；④是特称命题． 答案：①②③ ④7．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定是綈p ：____________，它是________命题(填“真”或“假”)．解析：∵x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4≥0恒成立，∴命题p 是假命题． 答案：特称命题 假 ∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≥0 真8．若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋(1－a )x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意可知，Δ＝(1－a )2－4＝(a －3)(a ＋1)>0，解得a <－1或a >3. 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞) 9．判断下列命题的真假，并说明理由． (1)∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>23；(2)∃x 0∈R 使sin x 0＋cos x 0＝2； (3)∀x ，y ∈N ，都有(x －y )∈N ； (4)∃x 0，y 0∈Z ，使2x 0＋y 0＝3.解析：(1)x 2－x ＋1>23⇔x 2－x ＋13>0，由于Δ＝1－4×13＝－13<0，∴不等式x 2－x ＋1>23的解集是R ，∴该命题是真命题．(2)∵sin x 0＋cos x 0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π4，∴－2≤sin x 0＋cos x 0≤2<2， ∴该命题是假命题．(3)当x ＝2，y ＝4时，x －y ＝－2∉N ，所以该命题是假命题． (4)当x 0＝0，y 0＝3时，2x 0＋y 0＝3，所以该命题是真命题．10．已知命题p ：∀a ∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a ＋π3的周期不大于4π.(1)写出綈p ；(2)当綈p 是假命题时，求实数b 的最大值．解析：(1)綈p ：∃a 0∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a 0＋π3的周期大于4π. (2)因为綈p 是假命题，所以p 是真命题，所以∀a ∈(0，b ]，2π1a≤4π恒成立，解得a ≤2，所以b ≤2，所以实数b 的最大值是2.[B 组 能力提升]11．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x 0∈R ，x 30＝1－x 20.则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧q C ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )解析：由20＝30知，p 为假命题；令h (x )＝x 3＋x 2－1，则h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，∴方程x 3＋x 2－1＝0在(0,1)内有解，∴q 为真命题，∴p ∧q ，p ∧(綈q )，(綈p )∧(綈q )均为假命题，(綈p )∧q 为真命题，故选B. 答案：B12．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)解析：当a ＝0时，不等式恒成立； 当a ≠0时，要使不等式恒成立， 则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4.综上，0≤a ≤4，则命题p ：0≤a ≤4， 所以綈p ：a <0或a >4. 答案：D13．命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋4≤0”的否定为______________．解析：根据命题的否定的概念，可得命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋4≤0”的否定为“∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋4>0”．答案：∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋4>014．已知f (x )＝x 2，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．解析：因为当x 1∈[－1,3]时，f (x 1)∈[0,9]；当x 2∈[0,2]时，g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－m ，1－m .由题意知只需14－m ≤0，即符合题意，即m ≥14.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 15．若“∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1<0成立”是假命题，求实数λ的取值范围．解析：若“∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1<0成立”是假命题，则∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 2－λx ＋1≥0成立等价于∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，λ≤2x 2＋1x ＝2x ＋1x ，2x ＋1x ≥22x ·1x＝22，当且仅当x ＝22∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时等号成立，所以λ的取值范围为(－∞，22]． 16．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x”；命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋4x 0＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，求实数a 的取值范围．解析：若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0,1]，a ≥e x，得a ≥e；由∃x 0∈R ，使x 20＋4x 0＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e≤a ≤4.则实数a 的取值范围为[e,4]．。
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课时跟踪训练(十四)一、选择题1．(2016·山东德州期末)已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝3，则函数f (x )的图象在x ＝－1处的切线方程为( )A ．y ＝3x ＋5B ．y ＝3x －5C ．y ＝－3x ＋5D ．y ＝－3x －5[解析] 函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2的导数为f ′(x )＝3ax 2＋6x . ∵f ′(－1)＝3，∴3a －6＝3.解得a ＝3，∴f (x )＝3x 3＋3x 2＋2， ∴f (－1)＝－3＋3＋2＝2.∴函数f (x )的图象在x ＝－1处的切线方程为y －2＝3(x ＋1)，即y ＝3x ＋5.故选A.[答案] A2．(2016·安徽合肥一六八中学月考)在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A ．(0，0)B ．(2，4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 [解析] ∵y ′＝2x ，设切点为(a ，a 2)，∴y ′＝2a ，即切线的斜率为2a ，∴2a ＝tan45°＝1.解得a ＝12，∴在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.故选D.[答案] D3．(2016·湛江调研)曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23D ．1[解析] y ′|x ＝0＝(－2e －2x )|x ＝0＝－2，故曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线方程为y ＝－2x ＋2，易得切线与直线y ＝0和y ＝x 的交点分别为(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，故围成的三角形的面积为12×1×23＝13.故选A. [答案] A4．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1 B.12 C ．－2D ．2[解析] ∵y ′＝－sin 2x －（1＋cos x ）·cos xsin 2x ＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′|x ＝π2＝－1，由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1.故选A. [答案] A5．(2016·西安期中检测)过点(1，－1)且与曲线y ＝x 3－2x 相切的切线方程为( )A ．x －y －2＝0，或5x ＋4y －1＝0B ．x －y －2＝0C ．x －y ＋2＝0D ．x －y －2＝0，或4x ＋5y ＋1＝0[解析] 设切点坐标为(x 0，y 0)，y 0＝x 30－2x 0，则曲线在(x 0，y 0)处的切线斜率为y ′＝3x 20－2，当x 0＝1时斜率为1，切线方程为x －y－2＝0，当x 0≠1时，过(1，－1)点的切线的斜率为x 30－2x 0＋1x 0－1＝x 20＋x 0－1＝3x 20－2，解得x 0＝－12，其斜率为－54，切线方程为5x ＋4y －1＝0，所以A 正确．[答案] A6．(2016·厦门质量检查)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215[解析] ∵函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，∴f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′， ∴f ′(0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝84＝212.故选C. [答案] C7．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( )A ．x ＋4y －2＝0B ．x －4y ＋2＝0C ．4x ＋2y －1＝0D ．4x －2y －1＝0[解析] y ′＝－e x（e x ＋1）2＝－1e x ＋1e x ＋2，因为e x >0，所以e x＋1e x≥2e x ×1e x ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，则e x ＋1ex ＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1e x ＋2≥－14当(x ＝0时取等号)．当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x－0)，即x ＋4y －2＝0.故选A.[答案] A8．(2016·广东实验中学第二次段考)已知函数f (x )＝e x －mx ＋1的图象是曲线C ，若曲线C 不存在与直线y ＝e x 垂直的切线，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1e [解析] 函数f (x )＝e x －mx ＋1的导数为f ′(x )＝e x －m . 设切点为(s ，t )，则切线的斜率为e s －m .若曲线C 不存在与直线y ＝e x 垂直的切线，则关于s 的方程e s－m ＝－1e 无实数解．由e s >0，得m －1e ≤0，解得m ≤1e .故选D.[答案] D9．(2016·宁夏育才中学月考)点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上的任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A ．1 B.32 C.52D. 2[解析] 由y ＝x 2－ln x ，得y ′＝2x －1x ＝2x 2－1x ，由y ′>0，得x >22，由y ′<0，得0<x <22.∴y ＝x 2－ln x 在(0，22)上单调递减，在(22，＋∞)上单调递增．令y ′＝1，则x ＝1，故曲线y ＝x 2－ln x 斜率为1的切线的切点横坐标x ＝1，纵坐标为y ＝1.故切线方程为x －y ＝0.其与y＝x －2的两平行线间的距离d ＝|0＋2|2＝2为所求．故选D.[答案] D10．(2016·四川卷)设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝错误!图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(0，2)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)[解析] 设P 1(x 1，ln x 1)，P 2(x 2，－ln x 2)(不妨设x 1>1，0<x 2<1)，则由导数的几何意义易得切线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝1x 1，k 2＝－1x 2.由已知得k 1k 2＝－1，所以x 1x 2＝1.所以x 2＝1x 1.所以切线l 1的方程分别为y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，切线l 2的方程为y＋ln x 2＝－1x 2(x －x 2)，即y －ln x 1＝－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 1.分别令x ＝0得A (0，－1＋ln x 1)，B (0，1＋ln x 1)．又l 1与l 2的交点为P ⎝⎛⎭⎪⎫2x 11＋x 21，ln x 1＋1－x 211＋x 21. ∵x 1>1，∴S △P AB ＝12|y A －y B |·|x P |＝2x 11＋x 21<1＋x 211＋x 21＝1. ∴0<S △P AB <1，故选A. [答案] A 二、填空题11．(2016·山西四校联考)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为 ．[解析] f (x )的定义域为(0，＋∞)， 又由f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）x >0， 解得－1<x <0或x >2，所以f ′(x )>0的解集为(2，＋∞)． [答案] (2，＋∞)12．(2016·广东广州二模)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a 的取值范围是 ．[解析] 由题意得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， 当x ＝a 3时，f ′(x )取到最大值a 23. ∴a 23<1，解得－3<a < 3. [答案] －3<a < 313．(2016·安徽合肥一六八中学段考)已知三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则f ′(－3)f (1)＝ ．[解析] 由三次函数的图象可知，x ＝2是函数f (x )的极大值点，x ＝－1是极小值点，即2，－1是f ′(x )＝0的两个根．∵f (x )＝ax 3＋b x 2＋cx ＋d ，∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0，得2＋(－1)＝－2b 3a ＝1，－1×2＝c3a ＝－2，∴c ＝－6a ，2b ＝－3a ，∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝3ax 2－3ax －6a ＝3a (x －2)(x ＋1)． 则f ′(－3)f ′(1)＝3a （－3－2）×（－3＋1）3a （1－2）×（1＋1）＝－5×（－2）－2＝－5.[答案] －5 三、解答题14．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．[解] (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2， 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12|－6x 0||2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.15．已知函数f (x )＝x 3－x(1)求曲线y ＝f (x )过点(1，0)的切线方程；(2)若过x 轴上的点(a ，0)可以作曲线y ＝f (x )的三条切线，求a 的取值范围．[解] (1)函数f (x )的导数f ′(x )＝3x 2－1，曲线y ＝f (x )在点M (t ，f (t ))处的切线方程为y －f (t )＝f ′(t )(x －t )，即y ＝(3t 2－1)x －2t 3.该直线过点(1，0)，则2t 3－3t 2＋1＝0，解得t ＝1或t ＝－12，代入y ＝(3t 2－1)x －2t 3，得切线方程为y ＝2x －2或y ＝－14x ＋14.(2)如果切线过点(a ，0)，则存在t ，使0＝(3t 2－1)a －2t 3成立．若过点(a ，0)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则方程2t 3－3at 2＋a ＝0有三个相异的实根．记g (t )＝2t 3－3at 2＋a ，则g ′(t )＝6t 2－6at ＝6t (t －a )．当a >0时，函数g (t )的极大值为g (0)＝a ，极小值为g (a )＝－a 3＋a ，要使方程g (t )＝0有三个相异实根，则a >0且－a 3＋a <0，即a >1；当a ＝0时，函数g (t )单调递增，方程g (t )＝0不可能有三个实根； 当a <0时，函数g (t )的极大值为g (a )＝－a 3＋a ，极小值为g (0)＝a ，要使方程g (t )＝0有三个相异实根，则a <0且－a 3＋a >0，即a <－1.综上所述，a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．16．设L 为曲线C ：y ＝ln xx 在点(1，0)处的切线． (1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线L 的下方． [解] (1)设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2.所以f ′(1)＝1.所以L 的方程为y ＝x －1.(2)证明：令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )>0(∀x >0，x ≠1)．g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln xx 2. 当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0，故g (x )单调递减； 当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )单调递增． 所以，g (x )>g (1)＝0(∀x >0，x ≠1)． 所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．。