9位移计算1
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结构力学课件--5位移计算(1)
MP
EI
NP
EA
k
QP GA
k--为截面形状系数
1.2
10 9
(3) 荷载作用下的位移计算公式
MM P ds NNP ds kQ QP ds
2021/4/9
EI
EA
GA
二、各类结构的位移计算公式
21
（1）梁与刚架
MM P EI
ds
（2）桁架
NNP ds NNP ds NNPl
We =Wi
2021/4/9
§5-2 结构位移计算的一般公式 ——变形体的位移计算
18
d 1 ds ds d ds
R
d ds
K
t1 t2
c2
1
R1
K
c1
ds
ds R2 ds
M
N
Q
外虚功：We 1 Rk ck 内虚功：Wi M N Q ds
1 (RMkck N MQ N)dsQ Rdksck
9
刚体的虚功原理 刚体系处于平衡的必要和充分条件是：
对于任何可能的虚位移，作用于刚体 系的所有外力所做虚功之和为零。
2021/4/9
10
四、虚功原理的两种应用
1）虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的 平衡力状态之间。
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。 直线
A
EA
EA
EA
（3）拱
MM P EI
ds
NNP EA
ds
2021/4/9
图乘§法5是-4V图er乘es法hag位in于移1计92算5年举提例出的，他当 22
时为莫斯科铁路运输学院的学生。
MiMk
结构力学 结构的位移计算
k
F Ndu
Md
F Q 0ds
F RC
只有荷载作用
无支座移动
k F Ndu Md FQ 0ds
由材料力学知
du
FNP d s EA
d
M Pds EI
d s
k FQP d s GA
10
1.2
9
k--为截面形状系数
A A1 [Al为腹板截面积]
FP
X
待分析平衡的力状态
(c)
直线
几点说明：
X C (1) 对静定结构，这里实际用的是刚体
虚设协调的位移状态
虚位移原理，实质上是实际受力状态 的平衡方程，即
由外力虚功总和为零，即：
X F 0
X
P
C
M 0 B
(2) 虚位移与实际力状态无关，故可设
1 x
X P b 0 (3) 求解时关键一步是找出虚位移状态的
计算结构的位移，就必须明确广义力与广义位移的对应关系。常见的对应有
以下几种情况：
基本原则
求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。
A
B
位移方向未知
时无法直接虚
拟单位荷载！
求A点的 水平位移
P=1
m=1 求A截面 的转角
m=1
m=1
求AB两截面 的相对转角
P=1
P=1
求AB两点 的相对位移
位移与约束协调:位移函数在约束处的数值等于约束位移。
§4-2 虚功原理
一、虚功原理的三种形式
1、质点系的虚位移原理
具有理想约束的质点系，其平衡的必要和充分条件是：作用于质点系的主
工程力学第九章杆件变形及结构的位移计算
应的（直线图形）的竖标，再除以杆的弯曲刚度。 应用图乘法计算时，应注意以下几点：
（1）竖标要在直线段弯矩图上取得； （2）每一个面积只对应一条直线段的弯矩图。
当与在杆的同一侧时，两者乘积取正号，反之取 负号。
§9–4 图乘法
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
二次抛物线
§9–4 图乘法
例1:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
(
1 2
l 2
1 2
2 3
Pl 4
B l l 1 Pl 1 l 1 1 Pl) 2 22 4 2223 4
l/2
l/2
Pl2 ( ) 16EI
1
Mi
1/ 2
取 yc的图形必
须是直线,不能是曲
B
1 EI
(1 2
l
Pl 4
1) 2
Pl 2 16 EI
(
)
线或折线.
§9–4 图乘法
q
A
B
1
2
1
MP 图
解:
1 ql2
M图
8
B
1 EI
[(2 3
l
1 8
ql2 )
1] 2
1 ql3 （ ）
24 EI
§9–4图乘法
例2. 试求图示结构B点竖向位移.
P
1
Pl
l
EI
B
l EI MP
Mi
l
解:
By
MM P EI
ds
yc
EI
§9–4 图乘法
解:
yc
EI
1 ( 1 Pl l 2 l Pl l l)
ql3 ( 24 EI
)
（1）竖标要在直线段弯矩图上取得； （2）每一个面积只对应一条直线段的弯矩图。
当与在杆的同一侧时，两者乘积取正号，反之取 负号。
§9–4 图乘法
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
二次抛物线
§9–4 图乘法
例1:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
(
1 2
l 2
1 2
2 3
Pl 4
B l l 1 Pl 1 l 1 1 Pl) 2 22 4 2223 4
l/2
l/2
Pl2 ( ) 16EI
1
Mi
1/ 2
取 yc的图形必
须是直线,不能是曲
B
1 EI
(1 2
l
Pl 4
1) 2
Pl 2 16 EI
(
)
线或折线.
§9–4 图乘法
q
A
B
1
2
1
MP 图
解:
1 ql2
M图
8
B
1 EI
[(2 3
l
1 8
ql2 )
1] 2
1 ql3 （ ）
24 EI
§9–4图乘法
例2. 试求图示结构B点竖向位移.
P
1
Pl
l
EI
B
l EI MP
Mi
l
解:
By
MM P EI
ds
yc
EI
§9–4 图乘法
解:
yc
EI
1 ( 1 Pl l 2 l Pl l l)
ql3 ( 24 EI
)
建筑材料力学第四章静定结构的位移计算
建筑材料力学第四章静 定结构的位移计算
2020/8/1
建筑力学
§4-1 概述
一、静定结构的位移
静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制 造误差等因素作用下，结构的某个截面通常会产 生水平线位移、竖向线位移以及角位移。
1. 截面位移
B
C
B
A
刚架受荷载作用
A
C
桁架受荷载作用
建筑力学
AC
B
C'
温度变化
2)上述虚功原理适用于各类结构（静定、超静 定、杆系及非杆系结构），适用于弹性或非 弹性结构。
3)考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。
建筑力学
二、各类结构的位移计算公式
1. 梁和刚架 在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产
生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
(M 单位荷载1作用下的结构内弯矩)
(MP 外荷载作用下的结构内弯矩)
FP1 FP2 12
1、2之位移分别为
、 。然后加 ，则1、2截面产生新的
位移
。
建筑力学
FP1 FP2 12
实功： 虚功：
虚功强调作功的力与位移无关。
建筑力学
§4-2 变形体虚功原理及位移计 算一般公式
一、 变形体虚功原理
定义：设变形体在力系作用下处于平衡状 态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束 条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外 虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的 内虚功Wi ，即W=Wi 。
一、图乘法基本公式
为方便讨论起见，把积分 。
改写成
建筑力学
y
Mk(x) dω=Mkdx
Mk图
A
Bx
x
dx
x0
2020/8/1
建筑力学
§4-1 概述
一、静定结构的位移
静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制 造误差等因素作用下，结构的某个截面通常会产 生水平线位移、竖向线位移以及角位移。
1. 截面位移
B
C
B
A
刚架受荷载作用
A
C
桁架受荷载作用
建筑力学
AC
B
C'
温度变化
2)上述虚功原理适用于各类结构（静定、超静 定、杆系及非杆系结构），适用于弹性或非 弹性结构。
3)考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。
建筑力学
二、各类结构的位移计算公式
1. 梁和刚架 在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产
生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
(M 单位荷载1作用下的结构内弯矩)
(MP 外荷载作用下的结构内弯矩)
FP1 FP2 12
1、2之位移分别为
、 。然后加 ，则1、2截面产生新的
位移
。
建筑力学
FP1 FP2 12
实功： 虚功：
虚功强调作功的力与位移无关。
建筑力学
§4-2 变形体虚功原理及位移计 算一般公式
一、 变形体虚功原理
定义：设变形体在力系作用下处于平衡状 态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束 条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外 虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的 内虚功Wi ，即W=Wi 。
一、图乘法基本公式
为方便讨论起见，把积分 。
改写成
建筑力学
y
Mk(x) dω=Mkdx
Mk图
A
Bx
x
dx
x0
结构力学 位移法典型方程、计算举例
r11 B r12 CH
r21 B r22 CH R2
满足此方程，就消去了施加的2个约束
即，
r11 B r12 CH R1P 0 r21 B r22 CH R2 P 0
4）弯矩图的作法----消去最先附加的刚臂 P R1P R2P + MP图 R2
r
j 1
n
ij
Zj
，为消去该处的约束力，令： R iP
r
j 1
n
ij
Z j =0 即可。写成方程组的形式为：
r11 Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r Z r Z r Z R 0 21 1 22 2 2n n 2P rn1 Z1 rn 2 Z 2 rnn Z n RnP 0
R1P
R2P
+ +
r11 R A
1
r21R 2A
MP图 +
r12 B
r22 B
或
P
qL2/12
PL/8
4i
2i
q
R1P
R2P
+ A•
r11 8i r21 2i
2i
M 1图
MP图
4i
+
B•
4i r22 11i 2i r12 2i 3i 2i
M 2图
M M P M 1 A M 2 B
叠加右侧2个图，意味着结点B转动 及结点C侧移都发生。
叠加后B处的转角和C处的位移
分别为：B CH 则两处的约 束力必为R1，R2
r12 CH
r21 B r22 CH R2
满足此方程，就消去了施加的2个约束
即，
r11 B r12 CH R1P 0 r21 B r22 CH R2 P 0
4）弯矩图的作法----消去最先附加的刚臂 P R1P R2P + MP图 R2
r
j 1
n
ij
Zj
，为消去该处的约束力，令： R iP
r
j 1
n
ij
Z j =0 即可。写成方程组的形式为：
r11 Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r Z r Z r Z R 0 21 1 22 2 2n n 2P rn1 Z1 rn 2 Z 2 rnn Z n RnP 0
R1P
R2P
+ +
r11 R A
1
r21R 2A
MP图 +
r12 B
r22 B
或
P
qL2/12
PL/8
4i
2i
q
R1P
R2P
+ A•
r11 8i r21 2i
2i
M 1图
MP图
4i
+
B•
4i r22 11i 2i r12 2i 3i 2i
M 2图
M M P M 1 A M 2 B
叠加右侧2个图，意味着结点B转动 及结点C侧移都发生。
叠加后B处的转角和C处的位移
分别为：B CH 则两处的约 束力必为R1，R2
r12 CH
01-结构力学 位移法知识点小结
第8章 位移法（知识点小结）一、杆端内力正负号规定（图8-1）杆端弯矩AB M 、BA M ：以绕杆端顺时针为正，逆时针为负；对结点或支座而言，截面弯矩以逆时针为正。
杆端剪力SAB F 、SBA F ：以绕微段隔离体顺时针转动者为正，反之为负。
结点转角（杆端转角）A θ、B θ：顺时针转动为正。
两端垂直杆轴的相对线位移AB ∆：以使杆件顺时针转动为正，反之为负。
图8-1 杆端内力及杆端位移的正负号规定二、等截面直杆的转角位移方程—位移法计算的基础1、由杆端位移求杆端力——形常数考虑三种不同情况：两端固定直杆、一端固定另一端铰支的直杆及一端固定另一端滑动支承的直杆。
由杆端位移求杆端内力的公式（刚度方程），如表8-1所示，这里/i EI l =。
由杆端位移求出杆端弯矩后，杆端剪力可由平衡条件求出。
表8-1中，杆端内力是根据图示方向的位移方向求得的，当计算某一结构时，应根据其杆件所受的实际位移方向，判断其杆端内力的正负号及受拉侧。
2、由荷载求固定内力——载常数对三种等截面直杆，在荷载作用、温度改变作用下的杆端弯矩和剪力，称为固端弯矩和固端剪力（载常数）。
常见荷载作用下的载常数可查表所得。
3、等截面直杆的转角位移方程对等截面直杆，既有已知荷载作用，又有已知的杆端位移，可根据叠加原理，写出其杆端力的一般表达式，这即为等截面直杆的转角位移方程。
三、位移法的基本未知量包括独立的结点角位移和独立的结点线位移。
独立的结点角位移数目等于刚结点（包括组合结点、弹性抗转弹簧）的数目。
结点线位移的数目可通过增设支杆法（或铰化体系法）来确定。
铰化体系法就是将原结构中所有刚结点和固定支座均改为铰结点形成铰接体系，此铰接体系的自由度数就是原结构的独立结点线位移数。
然后分析该铰接体系的几何组成：如果它是几何不变的，说明结构无结点线位移；相反，如果铰接体系是几何可变的，再看最少需要增设几根附加支杆才能确保体系成为几何不变，或者说使此铰接体系成为几何不变而需添加的最少支杆数就等于原结构的独立结点线位移数目。
位移法知识讲解
第8章 位移法
§8-1 形常数与载常数 §8-2 位移法Ⅰ—直接平衡法 §8-3 位移法Ⅱ—典型方程法 §8-4 对称性利用 §8-5 支座位移和温度变化时的计算 §8-8 小结
8-1 形常数与载常数
基本构件
形常数 三类基本构件由于杆端单位位移所引起的杆端弯矩和剪力.
载常数 三类基本构件在荷载作用下的杆端弯矩和剪力
8-2位移法Ⅰ——直接平衡法
q=20kN/m
A 4I0 4m
B 5I0 3I0 E
5m
C 4I0 D 3I0
F 4m
4m 6m
MCB 2iBC 1 4iBC 2 MCFB 21 42 41.7
MCD 3iCD 2 3 2
MBE 4iBE 1 3 1
MEB 2iEB 1 1.5 1
MCF 4iCF 2 2 2
将系数和自由项代入方程，解得
35.5
1 3.24 / i 2 0.534 / i
2.9
13
2.1
（4）利用叠加原理，做弯矩图
M图
6.5
1
8-3 位移法Ⅱ——典型方程法
【例题】 试做图示刚架的弯矩图。
FP FP iEI1=∞ i
i EI1=∞i
ll
1 2
基本结构
解 （1）选择基本结构 （2）建立位移法方程
EI
EI
Δ1
Δ2
4m
4m
2m 2m
解 （1）选择基本结构
（2）建立位移法方程 k11 1 k12 2 F1P 0 k21 1 k22 2 F2P 0
基本结构
8-3 位移法Ⅱ——典型方程法
(3)求系数和自由项，解方程
k11 1 1 4i
k21
§8-1 形常数与载常数 §8-2 位移法Ⅰ—直接平衡法 §8-3 位移法Ⅱ—典型方程法 §8-4 对称性利用 §8-5 支座位移和温度变化时的计算 §8-8 小结
8-1 形常数与载常数
基本构件
形常数 三类基本构件由于杆端单位位移所引起的杆端弯矩和剪力.
载常数 三类基本构件在荷载作用下的杆端弯矩和剪力
8-2位移法Ⅰ——直接平衡法
q=20kN/m
A 4I0 4m
B 5I0 3I0 E
5m
C 4I0 D 3I0
F 4m
4m 6m
MCB 2iBC 1 4iBC 2 MCFB 21 42 41.7
MCD 3iCD 2 3 2
MBE 4iBE 1 3 1
MEB 2iEB 1 1.5 1
MCF 4iCF 2 2 2
将系数和自由项代入方程，解得
35.5
1 3.24 / i 2 0.534 / i
2.9
13
2.1
（4）利用叠加原理，做弯矩图
M图
6.5
1
8-3 位移法Ⅱ——典型方程法
【例题】 试做图示刚架的弯矩图。
FP FP iEI1=∞ i
i EI1=∞i
ll
1 2
基本结构
解 （1）选择基本结构 （2）建立位移法方程
EI
EI
Δ1
Δ2
4m
4m
2m 2m
解 （1）选择基本结构
（2）建立位移法方程 k11 1 k12 2 F1P 0 k21 1 k22 2 F2P 0
基本结构
8-3 位移法Ⅱ——典型方程法
(3)求系数和自由项，解方程
k11 1 1 4i
k21
结构力学-结构位移计算(1)新
δWe =Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds +Σ [FPxδu+FPyδv+Mδθ] i =Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ +Mδθ]ds = δWi
以上结论与材料物理性质及具体结构无关， 以上结论与材料物理性质及具体结构无关， 因此， 因此，虚功原理虚功方程既适用于一切线性结 构，也适用于一切非线性结构。
A
(a)
B a
b
FP C
解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相 去掉 端约束并代以反力 ， 应的虚位移状态如图(b)、 应的虚位移状态如图 、(c)
(b)
FP X
(c)
直线
∆C
∆X
待分析平衡的力状态
虚设协调的位移状态
由外力虚功总和为零， 由外力虚功总和为零，即：
X ⋅ ∆X + F ⋅ ∆C = 0 P b X ⋅ ∆X + FP ⋅ ∆X = 0 a b 计算 的计算:
取微段,其受力如下 取微段 其受力如下
变形可看成有如下几部分
微段受力
微段拉伸
微段剪切
微段扭转
微段弯曲
对于直杆体系，由于变形互不耦连， 对于直杆体系，由于变形互不耦连，所以 δWi =Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds
杆系结构虚功方程
根据上述推证， 根据上述推证，可得杆系结构虚功方程如下
（虚）力状态
注意： 注意： 体系； （1）属同一体系；或两状态中的变形体 ） 同一体系 系只要外形相同，而材料、截面尺寸及约 系只要外形相同，而材料、截面尺寸及约 可以不同。 束可以不同。 （2）均为可能状态。即位移应满足变形 ）均为可能状态。即位移应满足变形 协调条件；力状态应满足平衡条件 平衡条件。 协调条件；力状态应满足平衡条件。 完全无关； （3）位移状态与力状态完全无关； ）位移状态与力状态完全无关
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虚设位移—虚位移原理求静定结构内力。 虚设力系—虚力原理求刚体体系的位移。
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
X X
P P C a RC b
X ?
X
A
B
P
X X P P 0
几何关系：
或设 X 1 相应的
b X X P X 0 a
P b X a
b X P a
P b a
b X P a
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
三、虚力原理
——虚设力系求刚体体系位移
已知 c1
c1
C A a b P=1 A C B a b B
求
b R1 a
设虚力状态
?
R1 a P b 0
虚功方程
1 R1 c1 0
Rk ck
定出方向。
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
例1、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生 相对转角d，试求A点在i－i方向的 i 位移 。
m
B d
A
m
M 1sin a
1 m M d 0
a
B
a
d
A
i
m
a
M
B
a
1
虚功方程：
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
第 五 章
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
§5-1
应用虚功原理求刚体体系的位移
一、结构位移计算概述
计算位移的目的： （1）刚度验算， （2）超静定结构分析的基础 产生位移的原因：（1）荷载 （2）温度变化、材料胀缩
（3）支座沉降、制造误差
第五章 虚功原理与结构位移计算
d ( M N Q )ds
( M N Q )ds
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
适用范围与特点：
( M N Q )ds Rk ck
1） 适于小变形，可用叠加原理。
2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。
N P P sin QP P cos
P
3）位移公式为
N sin Q cos
如 h <1 R ds=Rdθ 10
DQ 1 < DM 400 DN DM
m
M d
A
a
a
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生 相对剪位移d，试求A点在i－I 方向的位移Q 。
Q 1 sin
1 Q Q d 0
i
B
d
A
Q
i
B A Q 1
Q Q d
Q
A
第五章 虚功原理与结构位移计算
1.5
N
NN Pl EA
3.81Pl E c Ac
0.5
NP
N
l
A
Ac
钢 筋 砼
AD 4.74P 1.58 0.263 l
l DC 4.42P 1.58 0.263 Ac 0 0.088l0.75Ac 0 DE 0.95P
CE
1.50P
钢
AE EG
4.50P 3.00P
NN Pl C EA
10
A
k--为截面形状系数
(3) 荷载作用下的位移计算公式
9
A 1
MM P NN P kQ QP ds ds ds EI EA GA
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
二、各类结构的位移计算公式
（1）梁与刚架
MM P ds EI （2）桁架
（3）拱
结构力学
钢筋混凝土结构G≈0.4E 例3：求图示曲杆（1/4圆弧） ds 矩形截面,k=1.2,I/A=h2/122 DQ EI 1 æh ö 顶点的竖向位移Δ。 =k = ç DM GAR2 θ 4 èR ø 解：1）虚拟单位荷载 2 dθ 1 h DN I 虚拟荷载 = 2）实际荷载 DM AR2 12 R M R sin M P PR sin
结构力学
c c
t1
t 2 t1
AV
BV
广义位移
位移计算虽是几何问题， 但是用虚功原理解决最方便
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
二、虚功原理
荷载由零增大到P1，其作用点的位移也由零
增大到Δ11，对线弹性体系P与Δ成正比。
P1
Δ11
P2
dT 元功： P d
T11 dT
1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点
的位移在力作用方向上的分量 2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所 作用的截面的转角β。
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
3）若广义力是等值、反向的一对力P
T P A P B P( A B ) P
这里Δ是与广义力相应的广义 位移。表示AB两点间距的改变， 即AB两点的相对位移。 P A P 4）若广义力是一对等值、反 向的力偶 m 这里Δ是与广义力相应的广 义位移。 表示AB两截面的相对转角。
0.278l As 0 0 0.63Pl 1.13Pl 1.50 0.278l 3 As 0.50Pl 2 As E s As E s As E s As 1.50 0.222l 3.81 1.13 C 2 Pl A E A E s s c c
第五章 虚功原理与结构位移计算
M Q N Md Q d Nd
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
§5-2 结构位移计算的一般公式
——变形体的位移计算
推导位移计算公式的两种途径 1)由变形体虚功原理来推导； 2)由刚体虚功原理来推导－局部到整体。
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
一、局部变形时的位移计算公式
d M N Q Md Nd Q d
或
d ( M N Q )ds
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
二、结构位移计算的一般公式
i
i
d ( M N Q )ds
一根杆件各个微段变形引起的位移总和： 如果结构由多个杆件组成，则整个结构 变形引起某点的位移为： 若结构的支座还有位移，则总的位移为： ( M N Q )ds Rk ck
1、实功与虚功 虚功是力在其它原因产生的位移上 作的功。如T12，如力与位移同向，
虚功为正，反向时，虚功为负。
产生位移的原因 ΔKj 位移发生的位置
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
2、广义力与广义位移
作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因 素，称为广义力S。与位移有关的因素，称为广义 位移Δ。广义力与广义位移的关系是：它们的乘 积是虚功。即：T=SΔ
关于公式普遍性的讨论：
（1）变形类型：轴向变形、剪切变形、 弯曲变形。 （2）变形原因：荷载与非荷载。 （3）结构类型：各种杆件结构。 （4）材料种类：各种变形固体材料。
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
( M N Q )ds Rk ck
位移计算公式也是变形体 虚功原理一种表达式。
基本思路： 在刚性杆中，取微段ds设为变形体，
d
ds
分析局部变形所引起的位移。
i
ds ds d ds
d
R
d
i
R
d
d
d
1 （1）三种变形： R
第五章 虚功原理与结构位移计算 d
ds
i
ds
ds d
结构力学 ds
d
R
d
R
d
d
d
i
1
（2）微段两端相对位移：
( M N Q )ds Rk ck
M .N .Q .Rk 表达式;
(3) 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
§5-3 荷载作用下的位移计算
研究对象：静定结构、线性弹性材料。
( M N Q )ds
T m A m B m( A B ) m
ΔA m
t t
B β
P
ΔB Δ
B m
m A A Δ
B
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
§3-8 刚体体系的虚功原理
计算静定结构内力的另一个普遍方 法—虚功原理，它等价于平衡方程。 一、虚功原理
设体系上作用任意的平衡力系，又设体系 发生符合约束的无限小刚体体系位移，则主 动力在位移上所作的虚功总和恒等于零。 两种应用:
c
2l 3
D
B
l
l
3
1 D
A
B
C
1 3
A B
2 3
C D
1
1 2l
2 l
3 2l
所得正号表 明位移方向与 假设的单位力 方向一致。
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
求 解 步 骤
（1）沿所求位移方向加单位力， 求出虚反力；
（2）建立虚功方程
1 Rk ck 0
（3）解方程得
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
K
K
ds ds d
t1 t2
c2
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
X X
P P C a RC b
X ?
X
A
B
P
X X P P 0
几何关系：
或设 X 1 相应的
b X X P X 0 a
P b X a
b X P a
P b a
b X P a
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
三、虚力原理
——虚设力系求刚体体系位移
已知 c1
c1
C A a b P=1 A C B a b B
求
b R1 a
设虚力状态
?
R1 a P b 0
虚功方程
1 R1 c1 0
Rk ck
定出方向。
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
例1、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生 相对转角d，试求A点在i－i方向的 i 位移 。
m
B d
A
m
M 1sin a
1 m M d 0
a
B
a
d
A
i
m
a
M
B
a
1
虚功方程：
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
第 五 章
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
§5-1
应用虚功原理求刚体体系的位移
一、结构位移计算概述
计算位移的目的： （1）刚度验算， （2）超静定结构分析的基础 产生位移的原因：（1）荷载 （2）温度变化、材料胀缩
（3）支座沉降、制造误差
第五章 虚功原理与结构位移计算
d ( M N Q )ds
( M N Q )ds
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
适用范围与特点：
( M N Q )ds Rk ck
1） 适于小变形，可用叠加原理。
2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。
N P P sin QP P cos
P
3）位移公式为
N sin Q cos
如 h <1 R ds=Rdθ 10
DQ 1 < DM 400 DN DM
m
M d
A
a
a
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生 相对剪位移d，试求A点在i－I 方向的位移Q 。
Q 1 sin
1 Q Q d 0
i
B
d
A
Q
i
B A Q 1
Q Q d
Q
A
第五章 虚功原理与结构位移计算
1.5
N
NN Pl EA
3.81Pl E c Ac
0.5
NP
N
l
A
Ac
钢 筋 砼
AD 4.74P 1.58 0.263 l
l DC 4.42P 1.58 0.263 Ac 0 0.088l0.75Ac 0 DE 0.95P
CE
1.50P
钢
AE EG
4.50P 3.00P
NN Pl C EA
10
A
k--为截面形状系数
(3) 荷载作用下的位移计算公式
9
A 1
MM P NN P kQ QP ds ds ds EI EA GA
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
二、各类结构的位移计算公式
（1）梁与刚架
MM P ds EI （2）桁架
（3）拱
结构力学
钢筋混凝土结构G≈0.4E 例3：求图示曲杆（1/4圆弧） ds 矩形截面,k=1.2,I/A=h2/122 DQ EI 1 æh ö 顶点的竖向位移Δ。 =k = ç DM GAR2 θ 4 èR ø 解：1）虚拟单位荷载 2 dθ 1 h DN I 虚拟荷载 = 2）实际荷载 DM AR2 12 R M R sin M P PR sin
结构力学
c c
t1
t 2 t1
AV
BV
广义位移
位移计算虽是几何问题， 但是用虚功原理解决最方便
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
二、虚功原理
荷载由零增大到P1，其作用点的位移也由零
增大到Δ11，对线弹性体系P与Δ成正比。
P1
Δ11
P2
dT 元功： P d
T11 dT
1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点
的位移在力作用方向上的分量 2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所 作用的截面的转角β。
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
3）若广义力是等值、反向的一对力P
T P A P B P( A B ) P
这里Δ是与广义力相应的广义 位移。表示AB两点间距的改变， 即AB两点的相对位移。 P A P 4）若广义力是一对等值、反 向的力偶 m 这里Δ是与广义力相应的广 义位移。 表示AB两截面的相对转角。
0.278l As 0 0 0.63Pl 1.13Pl 1.50 0.278l 3 As 0.50Pl 2 As E s As E s As E s As 1.50 0.222l 3.81 1.13 C 2 Pl A E A E s s c c
第五章 虚功原理与结构位移计算
M Q N Md Q d Nd
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
§5-2 结构位移计算的一般公式
——变形体的位移计算
推导位移计算公式的两种途径 1)由变形体虚功原理来推导； 2)由刚体虚功原理来推导－局部到整体。
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
一、局部变形时的位移计算公式
d M N Q Md Nd Q d
或
d ( M N Q )ds
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
二、结构位移计算的一般公式
i
i
d ( M N Q )ds
一根杆件各个微段变形引起的位移总和： 如果结构由多个杆件组成，则整个结构 变形引起某点的位移为： 若结构的支座还有位移，则总的位移为： ( M N Q )ds Rk ck
1、实功与虚功 虚功是力在其它原因产生的位移上 作的功。如T12，如力与位移同向，
虚功为正，反向时，虚功为负。
产生位移的原因 ΔKj 位移发生的位置
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
2、广义力与广义位移
作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因 素，称为广义力S。与位移有关的因素，称为广义 位移Δ。广义力与广义位移的关系是：它们的乘 积是虚功。即：T=SΔ
关于公式普遍性的讨论：
（1）变形类型：轴向变形、剪切变形、 弯曲变形。 （2）变形原因：荷载与非荷载。 （3）结构类型：各种杆件结构。 （4）材料种类：各种变形固体材料。
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
( M N Q )ds Rk ck
位移计算公式也是变形体 虚功原理一种表达式。
基本思路： 在刚性杆中，取微段ds设为变形体，
d
ds
分析局部变形所引起的位移。
i
ds ds d ds
d
R
d
i
R
d
d
d
1 （1）三种变形： R
第五章 虚功原理与结构位移计算 d
ds
i
ds
ds d
结构力学 ds
d
R
d
R
d
d
d
i
1
（2）微段两端相对位移：
( M N Q )ds Rk ck
M .N .Q .Rk 表达式;
(3) 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
§5-3 荷载作用下的位移计算
研究对象：静定结构、线性弹性材料。
( M N Q )ds
T m A m B m( A B ) m
ΔA m
t t
B β
P
ΔB Δ
B m
m A A Δ
B
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
§3-8 刚体体系的虚功原理
计算静定结构内力的另一个普遍方 法—虚功原理，它等价于平衡方程。 一、虚功原理
设体系上作用任意的平衡力系，又设体系 发生符合约束的无限小刚体体系位移，则主 动力在位移上所作的虚功总和恒等于零。 两种应用:
c
2l 3
D
B
l
l
3
1 D
A
B
C
1 3
A B
2 3
C D
1
1 2l
2 l
3 2l
所得正号表 明位移方向与 假设的单位力 方向一致。
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
求 解 步 骤
（1）沿所求位移方向加单位力， 求出虚反力；
（2）建立虚功方程
1 Rk ck 0
（3）解方程得
第五章 虚功原理与结构位移计算
结构力学
K
K
ds ds d
t1 t2
c2