2.1.2线线位置关系
必修2-2.1.2空间两条直线之间的位置关系
β
a
b
α
α
a
思考2：分别在不同平面内的直线是异面直线吗？
2018/10/27
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3
思考1:空间中的直线与直线之间有几种位置关系？它们各有什么特点？ 相交直线: 同一平面内，1个公共点； 共面直线 平行直线: 同一平面内，0个公共点；
异面直线: 不同在任何一个平面内，0个公共点。
2018/10/27
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12
2．异面直线 (1)定义：把不同在__________ 任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． (2)画法：(通常用平面衬托)
2018/10/27
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13
平面内一点与平面外一点连线和这个平面内直线的关系是__________． 答案：相交或异面
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6
知识探究（三）：等角定理
思考5:在平面上，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两 个角的大小有什么关系？
定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. （两角相等：方向相同或相反）
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思考6:如图，在空间中AB// A′B′，AC// A′C′，你能证明∠BAC与 ∠B′A′C′ 相等吗？
A´ C A B C´ B´
2018/10/27
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8
知识探究（四）：异面直线所成的角
b
bˊ
( 0,
o
2
]
aˊ
a
相对倾斜度改变没有？ 没改变
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
目 录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问 题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
2.1.2 空间中直线与直线之间 的位置关系
立交桥
六角螺母
C A
D B
两条直线 既不平行 也不相交
1.理解空间两直线的位置关系，并掌握异面直线的 定义.（重点）
2.掌握平行公理、等角定理及其推论，并会应用它们 去解决简单问题.（重点）
3.理解异面直线所成角的定义，并会求两异面直线所 成的角. （难点）
（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，
那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（ √ ）
2.填空： (1) 空间两条不重合的直线的位置关系有 平行 、
相交 、异面 三种. (2)没有公共点的两条直线可能是 平行 直线，也有 可能是异面直线. (3)和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条 的位置关系是 相交、异面 . (4)过已知直线上一点可以作 无数 条直线与已 知直线垂直.
∠ADC与∠A′D′C′相等， ∠ABC与∠A′B′C′相等.
3. 等角定理 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么
这两个角相等或互
F
E
定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线
分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
三、两条异面直线所成的角
如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点 O，过O点分别作 a、b的平行线 a′和 b′， 则这两 条线所成的锐角θ（或直角），称为异面直线a，b所 成的角.
2.1.2空间两条直线的位置关系设计
《空间两条直线的位置关系》教学设计合作一中 耿利军三维教学目标1．知识与能力：（1）理解异面直线的概念；（2）了解空间中两条直线的三种位置关系，知道异面直线、异面直线的夹角以及直线垂直的概念；2.过程与方法：能正确理解平行公理和等角定理，并会运用进行相关的推理证明。
3．情感、态度、价值观：通过对比空间和平面两直线间的位置关系之间异同和联系，逐步提高将立体图形转为平面图形的能力以及空间想象能力、观察归纳能力、类比推理能力．教学重点 异面直线的概念及异面直线所成的角的概念及异面直线所成的角求法 教学难点 理解异面直线概念，作异面直线所成的角．教学方式 问题引导，操作实验，合作探究，师生互动，计算机辅助教学． 教学过程（一）创设情境 形成概念： 1．提出问题：思考 在平面内，两条不重合的直线之间有几种位置关系? 空间中的两条直线呢？ 课件展示学校生活实例，从图片中抽象出空间中直线的位置关系． 让学生观察长方体中线段A 1B 所在直线与线段CC 1所在直线的位置关系如何？2.让学生根据自己的理解选择合适的异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线。
引导学生总结出空间中两条直线的三种位置关系并进行分类：①从有无公共点的角度分类：有且仅有一个公共点-------------相交直线共面直线-----------------相交直线②从是否共面的角度分类没有公共点-------------平行直线异面直线异面直线-----------------平行直线3．异面直线的画法：（二）直观感知，操作确认，灵活运用1．试一试：取一块长方形纸片ABCD ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点， 2．将纸片沿EF 折起，在空间中直线AD 与BC 的位置关系如何 ?A C1C 1A BADCA'C'B'D'bA C EF2．观察：长方体D C B A ABCD ''''-中，A A B B ''//，A A D D ''// ，B B '与D D '什么关系？3．问题：能否再举出生活中与此相关的实例？学生归纳平行的传递性，得出公理4：平行于同一条直线的两条直线相互平行． 思考公理4的作用：判断两条直线平行的依据．4．公理4的应用，引导学生注意空间图形与平面图形之间的联系与区别例1 如图 ，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．探究：在上例题中，若再加条件AC=BD,会是怎样的四边形? （三）类比推广，探究应用1．提出问题：在平面上，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角的大小有什么关系？空间中，结论是否仍然成立？观察: 如图,四棱柱ABCD--A ′B ′C ′D ′ 的底面是平行四边形，∠ADC 与∠A ′D ′C ′, ∠ADC 与∠B ′A ′D ′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何 ?BADC A'C'BA DC A'D'C'学生借助长方体观察，与平面时类比并加以推广得出定理：定理 空间中如果有两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 并能用图形、文字、符号三种数学语言的相互转化：空间中如果有两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．⇒''''B A •AB C A AC //,// B A C CAB '''∠=∠或 180='''∠+∠B A C CAB ．2 已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线b b •a a//,//'' ，把a '与b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角．（或夹角）注意:①异面直线a 与b 所成的角与O 的选取无关;②将空间角转化为平面角 异面直线夹角的求解过程：3．提出问题：由平面中两条直线垂直的定义，能否类比得到异面直线垂直的定义？ 如果两条异面直线所成的角是直角，那么就说这两条直线相互垂直． 记作：b a ⊥． 归纳：异面直线所成角θ的取值范围：︒︒（，4．探究：（1）在长方体D C B A ABCD ''''-中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？ （2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？ （3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？可以提示学生借助教室、课本等实例观察．平面图形的结论，对于立体图形 有些适用，有些 不适用，注意验证.（四）课堂小结1、异面直线的概念及画法。
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【教学目标】（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
【教学重难点】重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
【教学过程】（一）创设情景、导入课题问题1： 在平面几何中，两直线的位置关系如何？ 问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？ 1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出 异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题） （二）讲授新课平行直线：同一平面内，没有公共点；AB 异面的有哪些？3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考： 长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？生：平行。
再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥b=>a ∥cc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例1空间四边形 A BCD 中，E.F.G.H 分别是AB.BC.CD.DA 的中点 求证：四边形EFGH 是平行四边形 证明：连接BD因为EH 是△A BD 的中位线，所以EH ∥BD 且EH=21BD 同理FG ∥BD 且FG=21BD 因为EH ∥FG 且EH=FG所以四边形 EFGH 是平行四边形点评：例2的讲解让学生掌握了公理4的运用变式：在例1中如果加上条件AC=BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？ 4、组织学生思考教材P46的思考题 让学生观察、思考：∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
2.1.2空间中线线、线面、面面的位置关系
求直线BA 所成角的度数。 例2:(1)求直线 1和CC1所成角的度数。 求直线
D 1 A 1 B1
C1
45
C
o
D
A
B
哪些棱所在直线与直线AA 垂直？ 例2:(2)哪些棱所在直线与直线 1垂直？ 哪些棱所在直线与直线
D 1
C1
A 1
B1
D
A
C
B
四、异面直线所成角的求法： 异面直线所成角的求法： 一作(找 、二证、 一作 找)、二证、三求 (1)通过直线平移，作出异面直线 通过直线平移， 通过直线平移 所成的角，把空间问题转化为 所成的角， 平面问题。 平面问题。 (2)利用平面几何知识， 利用平面几何知识， 利用平面几何知识 求出异面直线所成角的大小。 求出异面直线所成角的大小。
空间中线线、线面、面面的位置关系 空间中线线、线面、
复习
公理1: 公理1:如果一条直线上两点在一个平面内，那么 1: 这条直线上的所有的点都在这个平面内(即直线 在平面内). 公理2: 2:过不在同一直线上的三点，有且只有一个 公理2: 平面. 公理3: 3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那 公理3: 么这两个平面有且只有一条过该点的公共直线. 推论1: 推论1:一条直线和直线外一点唯一确定一个平面. 1: 推论2 推论2:两条相交直线唯一确定一个平面. 推论3 推论3:两条平行直线唯一确定一个平面.
α
l a b
练习
下列命题正确的选项是（ 下列命题正确的选项是（ 4 ）
（1）若直线l上有无数个点不在平面α内，则l / /α . （2）若直线l与平面α 平行，则l与平面α内的任意 一条直线都平行. （3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行， 那么另一条也与这个平面平行. （4）若直线l与平面α 平行，则l与平面α内的任意 一条直线都没有公共点.
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系教案
张喜林制[2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【教学目标】（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
【教学重难点】重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
【教学过程】（一）创设情景、导入课题问题1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）（二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB异面的有哪些？2、教师再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图：3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？生：平行。
再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条共面直线直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例1空间四边形 A BCD 中，E.F.G.H 分别是AB.BC.CD.DA 的中点 求证：四边形EFGH 是平行四边形 证明：连接BD因为EH 是△A BD 的中位线，所以EH ∥BD 且EH=21BD 同理FG ∥BD 且FG=21BD 因为EH ∥FG 且EH=FG所以四边形 EFGH 是平行四边形点评：例2的讲解让学生掌握了公理4的运用变式：在例1中如果加上条件AC=BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？ 4、组织学生思考教材P46的思考题 让学生观察、思考：∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
高中数学 (知识导学+例题解析+达标训练)2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 新人教A版必修
空间中直线与直线之间的位置关系知识导学：（1）理解异面直线的概念、空间中两条直线的位置关系及画法；（2）理解异面直线所成角的定义、X 围及应用，进一步培养空间想象能力．一、基础知识：1、平面的基本性质：2、不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．3、空间两条直线的位置关系：空间两直线{⎧⎪⎨⎪⎩相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;共面直线平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线:不同在任何一个平面内,没有共公点.b a ba αβαO a'b a（1） （2） （3）1A1C 4、异面直线所成的角：已知两条异面直线a与b，经过空间任一点O作直线a’//a，b’//b，直线a’与b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角．异面直线所成的角的X围：(0︒，90]︒．如果两条异面直线所成的角是直角，叫做这两条直线互相垂直．注意：两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形．二、例题解析：例1、在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则：（1）四边形EFGH是__________四边形；（2）若AC=BD，则四边形EFGH是_______；（3）若AC=BD，且AC⊥BD，则四边形EFGH是_______________。
例2、如图，空间四边形ABCD中，AB=CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角．例3、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，（1）与直线A1B异面的棱有（2）与直线CC1垂直的棱有____________________________；（3）直线A1B和CC1的夹角是______度；A1B和B1C的夹角是______度；（4）与直线A1B的夹角为60°的所有面对角线有__________________。
三、达标训练：1、关于异面直线下列说法正确的是（）A．不相交的两条直线是异面直线B．分别在两个平面内的两条直线是异面直线C．没有公共点的两条直线是异面直线D．既不相交也不平行的两条直线是异面直线2、给出三个命题：②若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行；③若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系知识点一 空间两直线的位置关系思考 在同一平面内，两条直线有几种位置关系？观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？答案 平行与相交．教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB 与CD . 梳理 异面直线的概念(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线． (2)异面直线的画法(衬托平面法)如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．(3)判断两直线为异面直线的方法 ①定义法；②两直线既不平行也不相交． (4)空间两条直线的三种位置关系 ①从是否有公共点的角度来分：⎩⎨⎧没有公共点⎩⎪⎨⎪⎧平行异面有且仅有一个公共点——相交②从是否共面的角度来分：⎩⎨⎧在同一平面内⎩⎪⎨⎪⎧平行相交不同在任何一个平面内——异面知识点二 平行公理(公理4)思考 在平面内，直线a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c 则a ∥c .该结论在空间中是否成立？ 答案 成立．梳理平行公理的内容(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(2)符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a∥bb∥c⇒a∥c.知识点三等角定理思考观察图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答案从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.梳理空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补．知识点四异面直线所成的角思考在长方体A1B1C1D1—ABCD中，BC1∥AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？答案相等．梳理定义前提两条异面直线a，b作法经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b结论我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°.特殊情况当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.类型一异面直线的判断例1如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS是异面直线的是()答案 C解析本题容易错选A或B或D.不能严格根据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断，仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择．A，B中，PQ∥RS，D中，PQ和RS 相交．故选C.反思与感悟判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行．只要既不相交，也不平行，就是异面直线．跟踪训练1如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH 这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？解还原的正方体如图所示，是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.类型二公理4及等角定理的应用例2已知E，E′分别是正方体ABCD－A′B′C′D′的棱AD，A′D′的中点．(1)求证：四边形BB′E′E为平行四边形；(2)求证：∠BEC＝∠B′E′C′.证明(1)如图所示，因为E，E′分别是AD，A′D′的中点，所以AE∥A′E′，且AE＝A′E′.所以四边形AEE′A′是平行四边形．所以AA′∥EE′，且AA′＝EE′.又因为AA′∥BB′，且AA′＝BB′，所以EE′∥BB′，且EE′＝BB′.所以四边形BEE ′B ′是平行四边形．(2)由(1)知，四边形BB ′E ′E 为平行四边形，所以BE ∥B ′E ′. 同理可证CE ∥ C ′E ′.又∠BEC 与∠B ′E ′C ′的两边方向相同， 所以∠BEC ＝∠B ′E ′C ′. 引申探究本例2中取C ′D ′的中点G ′，求证四边形ACG ′E ′为梯形． 证明 连接A ′C ′.∵E ′，G ′分别为A ′D ′，C ′D ′的中点， ∴E ′G ′綊12A ′C ′.∵AA ′綊CC ′，∴四边形ACC ′A ′是平行四边形， ∴A ′C ′綊AC ，∴E ′G ′綊12AC ，∴四边形ACG ′E ′是梯形． 反思与感悟 (1)公理4的作用公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法． (2)剖析“等角定理”①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等． ②如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补．③如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相反，那么这两个角相等． 跟踪训练2 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是AB ，BB 1，BC 的中点．求证：△EFG ∽△C 1DA 1.证明 如图，连接B 1C .因为G ，F 分别为BC ，BB 1的中点， 所以GF 綊12B 1C .又ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体， 所以CD 綊AB ，A 1B 1綊AB ， 由公理4知CD 綊A 1B 1，所以四边形A 1B 1CD 为平行四边形， 所以A 1D 綊B 1C .又B 1C ∥FG ， 由公理4知A 1D ∥FG .同理可证：A 1C 1∥EG ，DC 1∥EF .又∠DA 1C 1与∠EGF ，∠A 1DC 1与∠EFG ，∠DC 1A 1与∠GEF 的两边分别对应平行且均为锐角，所以∠DA 1C 1＝∠EGF ，∠A 1DC 1＝∠EFG ，∠DC 1A 1＝∠GEF . 所以△EFG ∽△C 1DA 1. 类型三 求异面直线所成的角例3 空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，且AB 与CD 所成锐角为30°，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 与AB 所成角的大小．解 如图所示，取AC 的中点G ，连接EG ，FG ，则EG 綊12AB ，GF 綊12CD ，由AB ＝CD 知EG ＝FG ，从而可知∠GEF 为EF 与AB 所成角，∠EGF 或其补角为AB 与CD 所成角． ∵AB 与CD 所成角为30°， ∴∠EGF ＝30°或150°，由EG ＝FG 知△EFG 为等腰三角形， 当∠EGF ＝30°时，∠GEF ＝75°， 当∠EGF ＝150°时，∠GEF ＝15°，故EF 与AB 所成角的大小为15°或75°.反思与感悟 求两条异面直线所成的角的一般步骤(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角． (2)计算角：求角度，常利用三角形．(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．跟踪训练3 在空间四边形ABCD 中，两条对边AB ＝CD ＝3，E ，F 分别是另外两条对边AD ，BC 上的点，且AE ED ＝BF FC ＝12，EF ＝5，求AB 和CD 所成角的大小．解 如图，连接BD ，过点E 作AB 的平行线交BD 于O ，连接OF .因为EO ∥AB ， 所以BO OD ＝AE ED ＝12，EO AB ＝DE DA ＝23. 又因为AB ＝3，所以EO ＝2. 又BF FC ＝12，所以BO OD ＝BF FC， 所以OF ∥DC ，所以OE 与OF 所成的角即为AB 和CD 的成的角，OF DC ＝BF BC ＝13.因为DC ＝3，所以OF ＝1.在△OEF 中，OE 2＋OF 2＝5，EF 2＝(5)2＝5， 所以OE 2＋OF 2＝EF 2，∠EOF ＝90°， 所以AB 和CD 所成的角为90°.1．空间两条互相平行的直线指的是( ) A ．在空间没有公共点的两条直线 B ．分别在两个平面内的两条直线C ．在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线D ．在同一平面内且没有公共点的两条直线 答案 D解析 由平行直线的定义可得．2．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′为()A．130°B．50°C．130°或50°D．不能确定答案 C解析根据定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.3．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面答案 D解析画出图形，得到结论．如图(1)，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是相交关系．如图(2)，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是异面关系．综上可知，应选D.4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面解析(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1綊BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．5．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．解(1)如图所示，连接AC，AB1.由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，∴AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°.(2)如图所示，连接BD.由(1)知AC∥A1C1，∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°.1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．作异面直线所成的角．可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．课时作业一、选择题1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A．异面或平行B．异面或相交C．异面D．相交、平行或异面答案 D解析异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，a、b异面，直线c的位置可如图所示．2．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形()A．全等B．不相似C．仅有一个角相等D．相似答案 D解析由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.3．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行答案 C解析若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾，故选C.4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A．空间四边形B．矩形C．菱形D．正方形答案 B解析如图，易证四边形EFGH为平行四边形．又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC.又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．5．如图是无盖正方体纸盒的平面展开图，则直线AB，CD在原正方体中的位置关系是()A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成60°角答案 D解析如图，连接AC，得正三角形ABC，∴AB，CD在原正方体中相交成60°角．6.如图所示，已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定正确的是()A．l与AD平行B．l与AB异面C．l与CD所成角为30°D．l与BD垂直答案 B解析由l与AB既不平行也不相交，故l与AB一定互为异面直线．7．下列四个结论中假命题的个数是()①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．④如图甲，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面；当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．8．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C解析如图，连接BC1，A1C1.∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角．在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°.故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.9.如图，在三棱锥D—ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF 和AC 所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 B解析 如图所示，取BC 的中点G ，连接FG ，EG .∵E ，F 分别是为CD ，AB 的中点， ∴FG ∥AC ，EG ∥BD ， 且FG ＝12AC ，EG ＝12BD .又∵AC ＝BD ，∴FG ＝EG ，∴∠EFG 为EF 与AC 所成的角或其补角． ∵AC ⊥BD ，∴FG ⊥EG ，∴∠FGE ＝90°， ∴△EFG 为等腰直角三角形，∴∠EFG ＝45°，即EF 与AC 所成的角为45°. 二、填空题10．如图所示，在三棱锥P －ABC 的六条棱所在的直线中，异面直线共有______对．答案 3解析 P A 与BC ，PB 与AC ，PC 与AB 互为异面直线．∴共3对．11．如图，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________．答案 ②④解析 (1)中HG ∥MN ，(3)中GM ∥HN 且GM ≠HN ，所以直线HG 与MN 必相交． 12．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， (1)AC 与DD 1所成的角为________； (2)AC 与D 1C 1所成的角为________．答案 (1)90° (2)45°解析 (1)DD 1和AC 是异面直线，因为AA 1∥DD 1，所以∠A 1AC 为DD 1和AC 所成的角．因为AA 1⊥AC ，所以∠A 1AC ＝90°，所以DD 1和AC 所成的角是90°.(2)因为DC ∥D 1C 1，所以∠ACD 是AC 和D 1C 1所成的角．又∠ACD ＝45°，所以AC 和D 1C 1所成的角是45°. 三、解答题13．如图，在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，EF ＝3，求AD 与BC 所成角的大小．解 如图，取BD 的中点G ，连接GE ，GF .因为BE ＝EA ，BG ＝GD ， 所以GE ∥AD ，GE ＝12AD ＝1.因为DF ＝FC ，DG ＝GB ， 所以GF ∥BC ，GF ＝12BC ＝1.所以∠EGF (或其补角)是异面直线AD 与BC 所成的角． 在△GEF 中，GE ＝1，GF ＝1，EF ＝3(如图)，取EF 的中点O ，连接GO ， 则GO ⊥EF ，EO ＝12EF ＝32.所以sin ∠EGO ＝EO EG ＝32，所以∠EGO ＝60°，所以∠EGF ＝2∠EGO ＝120°，所以异面直线AD 与BC 所成的角是180°－120°＝60°. 四、探究与拓展14．在如图所示的正方体中，M ，N 分别为棱BC 和CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．90°D ．60° 答案 D解析 连接AD 1，D 1C ，BC 1.因为M ，N 分别为BC 和CC 1的中点，所以C 1B ∥MN ，又C 1B ∥AD 1，所以AD 1∥MN ，所以∠D 1AC 即为异面直线AC 和MN 所成的角．又△D 1AC 是等边三角形，所以∠D 1AC ＝60°，即异面直线AC 和MN 所成的角为60°.15.如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC 綊12AD ，BE綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)判断C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ (1)证明 由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解 由BE 綊12AF ，G 为F A 的中点知，BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面． 又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面。
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异面角的范围是：
[0,90]
练习：
如图，已知长方体ABCD-A‘B’C‘D’中， AB=1，AD=1，AA’= 3 。 （1）BC和A’C’所成的角是多少度？ （2）AA’和BC’所成的角是多少度？
45° 30°
练习
P48
练习2
D1
C1
A1
45
A B
C
D1
C1 B1
A1
第47页的探究题
位置关系 相交
只有一个 没有 没有
公共点个 数
是否共面
共面 共面 不共面
平行
异面
公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行。
C
C1
B A
A1
B1
练习 P48
（1）长方体中和AA’平行的棱共有几条？ 分别为？
D' C'
A' D A
B' C
B
P45 例2
观察下列角的关系
定理：如果一个角的两边和另一个角的两边 分别平行并且方向相同，则这两个角相等。
A B D E F
C
动画
定理：如果一个角的两边和另一个角的两边 分别平行并且方向相反，则这两个角互补。
A B D F E
C
练习P58
(2).如果OA//O ’ A’，OB//O’B’，那么 相等或互补 ∠AOB和∠A’O’B’___________.
南海万泉河立交桥
如何确定两条异面直线的夹角？
两条异面直线所成的角（夹角）
经过空间任一点分别作两条直线的平行 线，这两条平行线所成的锐角(或直角)
b
b'
O
a'
a
大小只与它们的位置有关，而与点O位置无关。
两条异面直线所成的角（夹角）
b
O
a'
a
O点常常取在一条直线上
两条异面直线垂直。
两条异面直线所成的角为直角
b
a
a'
O
记作：a b
2.1.2空间直线与直线之间的关系
请举例说明公里2 的两个推论
两条平行直线共面; 两条相交直线共面.
D' C'
A' D A
B' C
B
螺母中存在很多线线关系
e a
f b
c d
南海万泉河立交桥
这两条直线共面吗？
异面直线
任何 不同在_______一个平面内的两条直线叫 做异面直线。
m
m
l
和例题3
D
60
B
C
A
l
常用一个或两个平面衬托
在如图所示的正方体中，指出哪些 棱所在的直线与直线BA1是异面直线？
D1
C1
A1
B1
D
A
C
B
已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1 上的点，那么MN与AB所在的直线相交吗？ NhomakorabeaD1
M
C1
A1
B1
N
D
A
C
B
空间两条直线的位置关系有且只有三种
平行直线 共面直线 相交直线 异面直线