7、专题二-闭区间上连续函数的性质和微积分中值定理

7、专题二-闭区间上连续函数的性质和微积分中值定理
考研数学专题讲义二
闭区间上连续函数的性质和微积分中值定理
闭区间上连续函数的性质和微积分中值定理在考研中具有比较特殊的地位，他是考研中得分率较低的题目，而且常常考的是证明的大题，对我们来说，要求较高。

所以我们必须要把每个定理都认真掌握，并熟知他们各自的使用条件，以此来将其各个击破。

一、要点分析：
（一）闭区间上连续函数的性质 1、有界性定理
设)(x f 在[]b a ,上连续，则)
0()(>≤M M x f 。

2、最值定理
设)(x f 在[]b a ,上连续，则M x f m ≤≤)(，其中M m ,分别是
)
(x f 的最小值和最大值。

3、零点定理（常用）
设)(x f 在[]b a ,上连续，当0)()(<⋅b f a f ，则),(b a ∈∃ξ使得
)(=ξf 。

4、介值定理（较常用）
设)(x f 在[]b a ,上连续，B )(,)(==b f A a f ，C 是介于B 和A 的一个值，则),(b a ∈∃ξ使得C )(=ξf 5、介值定理的推论（常用）
设)(x f 在[]b a ,上连续，M m ,分别是)(x f 的最小值和最大值M C ≤≤m ，则[]b a ,∈∃ξ使得C )(=ξf （二）微分中值定理 6、费马引理（证明）
设)(x f 在)(0
x U 有定义，且在0
x x =处可导，若)(0
x U x ∈∀，
有)()(0
x f x f ≤或)()(0
x f x f ≥，那么0)(0
='x f 。

7、罗尔定理（证明）（常用）
设)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，那么),(b a ∈∃ξ使得0)(='ξf 。

8、拉格朗日中值定理（证明）（常用） 设)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，那么),(b a ∈∃ξ使得))(()()(a b f a f b f -'=-ξ成立。

9、柯西中值定理（证明）（常用） 设
)
(x f 及)(x F 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，且
)(),,(≠∈∀x F b a x ，那么),(b a ∈∃ξ使得)
()
()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=--成立。

10、泰勒（Taylor ）中值定理（较常用） 设)(x f 在)(0
x U 的某个开区间),(b a 内具有直到)1(+n 阶
导数，则),(b a ∈∃ξ使得
()(1)21
0000000()
()()()()()()()()()2!
!(1)!
n n n n f x f x f f x f x f x x x x x x x x x n n ξ++'''=+-+-+
+-+-+（三）积分中值定理 11、积分中值定理
设
)
(x f 在[]b a ,上连续，则至少[]b a ,∈∃ξ使得))(()(a b f dx x f b a
-=⎰ξ成立。

12、加强型积分中值定理（用时需证明）（常用）
设
)
(x f 在[]b a ,上连续，则至少)
,(b a ∈∃ξ使得
))(()(a b f dx x f b a -=⎰ξ成立。

二、方法归纳
证明时我们从结果入手来，一般来说含导数时我们用6、7、8、9、10，含积分我们用11、12，若两者都不含我们就用1、2、3、4、5。

其实常用的只有3、（4）、5、7、8、9、（10）、11而已，并且，常常我们可以根据结果区间的开闭来进一步选择我们所用的方法，这样我们就可以更好的筛选定理来证明。

（一）闭区间上连续函数的性质
条件只有)(x f 在[]b a ,上连续，
（1）结论式子中两边同时含有关于ξ的式子：首先想到零点定理;
（2）结论式子中含一个)(ξf 且),(b a ∈ξ：首先想到介值定理;
（3）结论式子中含[]b a ,∈ξ：首先想到用介值定理的推论.
平均值法则：
)
(x f 在[]b a ,上连续，
()()()()123n f x f x f x f x nK +++
+=，则[]b a ,∈∃ξ使得()K f ξ=其
中1
2
n a x x
x b
<<<
<<。

（利用介值定理的推论证明）
1、设()x f 在[]1,0上连续，且()(),11,00==f f 证明对()1,0∈∃c 有
()c
c f -=1。

2、设()x f 在[]1,0上连续且非负，()()010==f f ，求证[]
1,0∈∃ξ使得()()ξξf l f =+，其中10<<l 3、设()x f 在[]b a ,上连续，1
2
n a x x
x b
<<<
<<，()3≥n 则
()
n x x ,1∈∃ξ使得()()()()()
1
2
3
n f x f x f x f x f n ξ+++
+=成立
4、设()
x f 在[]b a ,上连续，证明[]
b a .∈∃ξ使得
()()()
ξf b f a f 523=+成立
5、设
()
x f 在[]b a ,上连续，0,>∀q p ，证明[]b a .∈∃ξ有
()()()()ξf q p b qf a pf +=+
（二）微分中值定理
我们可以看到：罗尔定理→拉格朗日中值定
理→柯西中值定理，是从特殊到一般的关系，当三种不知如何选择时我们一般以罗尔定理为中心来论证。

（1）费马引理：
6、证明费马引理
7、（达布定理）设()x f 在[]b a ,上可导，且()()b f c a f '<<'，则),(b a ∈∃ξ使得c f =')(ξ
（2）罗尔定理：
8、证明罗尔定理
9、设
()
x f 在[]3,0上连续，在()3,0内可导，且()()()3
210=++f f f ，()13=f 试证明()3,0∈∃ξ使得()0='ξf
辅助函数的构造： 逐项还原：
10、（I ）证明拉格朗日中值定理：设)(x f 在[]b a ,上连续，在
)
,(b a 内可导，那么
)
,(b a ∈∃ξ使得
)
)(()()(a b f a f b f -'=-ξ成立。

（II ）若)(x f 在0=x 处连续，在),0(δ内可导)0(>δ，且A x f x ='+
→)(lim 0证明)0(+
'f 存在，且A f ='+
)0(
组合还原：
11、设)(,)(x g x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，证明),(b a ∈∃ξ使得⎰⎰=b
a
dx x f g dx x g f ξ
ξ
ξξ)()()()(。

12、设)(x f 在[]π,0上连续，在),0(π内可导，证明
)
,(b a ∈∃ξ使得ξξξcot )()(f f -='
同加减因子、同乘除因子后组合还原： 1、0
)()(=+'x f x f λ，两边同乘
x
e λ ，得
)()(0)()(x f e x x f e x f e x x
x λλλϕλ=⇒=+'
2、
)()(=+'x kf x f x ，两边同乘
1
-k x ，得
)()(0)()(1
x f x x x f kx x f x k
k k =⇒=+'-ϕ
注意：上式正负号可以变化，λ可以推广位一个函数 13、设
()
x f 在[]1,0上连续，在()1,0内可导，且。