张景中的面积方法
初中生数学选读参考书目
初中生数学选读参考书目1.华罗庚专辑《从孙子的神奇妙算谈起》《聪明在于勤奋天才在于积累》2.张景中院士的书《帮你学数学》《漫话数学》《数学家的眼光》《新概念几何》《数学与哲学》《数学杂谈》《从数学教育到教育数学》《少年数学实验》3.数学故事专辑——李毓佩《荒岛历险》《爱克斯探长》《奇妙的数学王国》《非洲历险记》《哪吒大战红孩儿》《小侦探游中国》4.名家精品集萃《数学花园漫游记》——马希文《函数和极限的故事》——张远南《概率和方程的故事》——张远南《图形和逻辑的故事》——张远南《挑战智慧（第一季、第二季）》——张远南5.《走进教育数学系列》《数学不了情》——谈祥柏《数学的神韵》——李尚志《情真意切话数学》——张奠宙6.趣味数学专辑《算得快》——刘后一《数学营养菜》——谈祥柏《登上智力快车》——谈祥柏《故事中的数学》——谈祥柏《好玩的数学》——谈祥柏《牛顿的小屋》——李毓佩《比尔·盖茨的网站》——李毓佩7.《数学奥林匹克小丛书·初中卷》《一次方程与一次不等式》《因式分解技巧》《一元二次方程》《一次函数与二次函数》《数学竞赛中的应用题》《三角形：从全等到相似》《四边形：从分解到组合》《面积与面积方法》《整除、同余与不定方程》《组合趣题》8.《数学奥林匹克小丛书·小学卷》《巧解应用题》《整数问题》《图形问题》《巧算、字谜与逻辑问题》9.其它《怎样解题》——George Polya《数学的发现》——George Polya《数学大师》——Eric Temple Bell 《数学欣赏》——张文俊。
张景中勾股定理证明方法具体过程
张景中勾股定理证明方法具体过程一、引言在数学中，勾股定理是一个基础而重要的定理，它描述了直角三角形中两个直角边的平方和等于斜边的平方。
本文将介绍张景中教授提出的一种勾股定理的证明方法，该方法通过几何构造和代数运算相结合，具有简洁明了的特点。
二、勾股定理的几何构造为了证明勾股定理，我们首先需要进行一系列几何构造。
2.1 构造直角三角形我们在平面直角坐标系中取两个点A和B，其中A点的横坐标为a，纵坐标为b，B点的横坐标为c，纵坐标为0。
连接AB线段，可以得到一个直角三角形ABC，其中∠ABC为直角。
2.2 构造垂直线段以B点为圆心，BC为半径，画一个以BC为直径的圆。
在圆上取一个点D，使得∠BCD为直角。
连接AD线段，将三角形ABC分成两个部分。
2.3 构造相似三角形由于∠BCD为直角，根据相似三角形的性质，三角形ABC与三角形ACD相似。
根据相似三角形的对应边比例关系，我们可以得到以下等式：AC/AB = AD/AC将AB记为a，AC记为b，AD记为c，上述等式可以简化为：b/a = c/b三、代数运算的推导在几何构造的基础上，我们可以进行代数运算的推导，进一步证明勾股定理。
3.1 平方的计算根据勾股定理的表达式，我们可以得到：AB^2 + BC^2 = AC^2将AB记为a，BC记为b，AC记为c，上述等式可以简化为：a^2 + b^2 = c^23.2 代入相似三角形的等式根据几何构造中得到的相似三角形的等式，我们可以将c/b替换成b/a，得到：a^2 + b^2 = (b/a)^2 * b^23.3 化简等式进一步化简上述等式，我们可以得到：a^2 + b^2 = b^2/a^2 * b^23.4 化简为等式继续化简上述等式，我们可以得到：a^2 + b^2 = b^4/a^23.5 化简为乘法关系为了进一步推导，我们将上述等式化简为乘法关系：a^2 * a^2 + b^2 * a^2 = b^43.6 提取公因式根据代数运算的规则，我们可以将上述等式中的公因式提取出来：(a^2 + b^2) * a^2 = b^43.7 化简为平方关系为了进一步推导，我们将上述等式化简为平方关系：[(a^2 + b^2) * a]^2 = b^43.8 化简为等式继续化简上述等式，我们可以得到：(a^2 + b^2) * a = b^23.9 展开等式将上述等式展开，我们可以得到：a^3 + a * b^2 = b^23.10 化简等式继续化简上述等式，我们可以得到：a^3 = b^2 - a * b^23.11 提取公因式根据代数运算的规则，我们可以将上述等式中的公因式提取出来：a^3 = b^2 * (1 - a)3.12 化简为除法关系为了进一步推导，我们将上述等式化简为除法关系：a^3 / b^2 = 1 - a3.13 化简为等式继续化简上述等式，我们可以得到：a^3 / b^2 + a = 13.14 提取公因式根据代数运算的规则，我们可以将上述等式中的公因式提取出来：a(a^2 / b^2 + 1) = 13.15 化简为乘法关系为了进一步推导，我们将上述等式化简为乘法关系：a^2 / b^2 + 1 = 1/a3.16 化简为减法关系继续化简上述等式，我们可以得到：a^2 / b^2 = 1/a - 13.17 提取公因式根据代数运算的规则，我们可以将上述等式中的公因式提取出来：a^2 / b^2 = (1 - a) / a3.18 化简为等式继续化简上述等式，我们可以得到：a^2 / b^2 = b^2 / a^23.19 交换分子和分母为了进一步推导，我们将上述等式中的分子和分母交换位置：(b^2 / a^2) = (a^2 / b^2)3.20 化简为等式继续化简上述等式，我们可以得到：(b/a)^2 = (a/b)^23.21 化简为乘法关系为了进一步推导，我们将上述等式化简为乘法关系：(b/a)^2 * a^2 = (a/b)^2 * a^23.22 化简为等式继续化简上述等式，我们可以得到：b^2 = a^2 * (a/b)^23.23 化简为平方关系为了进一步推导，我们将上述等式化简为平方关系：b^2 = (a * (a/b))^23.24 化简为等式继续化简上述等式，我们可以得到：b^2 = (a^2 / b)^23.25 化简为平方关系为了进一步推导，我们将上述等式化简为平方关系：b^2 * b^2 = (a^2 / b)^2 * b^23.26 化简为等式继续化简上述等式，我们可以得到：b^4 = a^2 * b^23.27 平方的计算根据代数运算的规则，我们可以得到：b^4 = a^2 * b^23.28 平方的计算进一步化简上述等式，我们可以得到：b^4 = b^2 * a^23.29 化简为等式继续化简上述等式，我们可以得到：b^4 = b^2 * a^23.30 提取公因式根据代数运算的规则，我们可以将上述等式中的公因式提取出来：b^2 * (b^2 - a^2) = 03.31 方程的解根据上述等式，我们可以得到两个解：b^2 = 0 或者 b^2 - a^2 = 03.32 解的含义由于直角三角形的边长必须大于0，所以b^2 = 0不符合条件。
三角形“边角边”面积公式
三角形“边角边”面积公式《三角形边角边面积公式》教学设计一、教材分析“正弦”是九义教材九年级教学内容，三角形“边角边”面积公式是现行教材高中内容，但张景中院士“重建三角，一线串通初等数学”，用面积法重新定义正弦，在此基础上推出三角形“边角边”面积公式，两个内容“正弦定义”与“三角形边角边面积公式”共安排在1个课时完成．由已知“边角边”求三角形的面积，引出用面积法定义“正弦”，再用正弦定义推导三角形的面积公式，这是由需要产生理论，再用理论解决实际问题，体现科学研究的过程. 由于两个知识点联系紧密，把它们整合在一个课时，实现教学的高效率，也呈现给学生完整的知识结构，实现“一线串通”.三角形“边角边”面积公式，是把面积、线段长度、角度联系起来的工具，图形的问题可以用计算的方法来解决，体现了“数形结合”的思想，同时，也完善了学生知识的“作图、推理、计算”完整的知识结构体系.二、学情分析知识角度方面. 学生在小学已经对三角形、平行四边形的知识有了初步的认识，多数学生有菱形的日常概念，这是顺利学习本节内容的知识基础，但需要提前用大约10分钟讲授科学概念，让学生明白菱形是特殊的平行四边形，菱形的四边相等.认知角度方面.七年级学生已经学习了整式的运算，有一定的符号化的能力，同时，七年级学生有较强的观察能力，思维活跃，对新事物有强烈的兴趣，这些是顺利完成本节内容的认知基础. 在引入时，已知“边角边”求三角形面积，引起认知冲突，激发兴趣. 在用面积法定义正弦时，让学生感受单位菱形的面积与一个角的对应关系，培养学生抽象概括能力. 在由平行四边形面积推导三角形面积时，培养学生类比的思想. 在练习3题，培养学生分析问题，应用知识解决问题的能力.在拓展练习时，让学生由两个面积公式推新结论，培养学生符号化和发散思维.三、教学目标1. 通过画图演示，理解单位菱形的面积与一个角的对应关系，理解定义的合理性.2. 探索特殊角、同角（或补角）的性质，强化“正弦”概念.3. 已知三角形“边角边”，会求三角形的面积．4. 会用三角形“边角边”，会解决简单的几何问题．5. 通过“数形结合”的探究，培养学生的观察、概括能力，解决问题的能力.四、教学策略与教学方式教师的作用：激发兴趣、引发思考、培养习惯、提炼方法.激发学生参与：问题引发参与、追问调动参与、任务驱使参与、展示激励参与.教学差异体现：为照顾认知差异的同学，在过程中设计了演示动画、抽学号答问、观察与交流等；在过程中设计了口答展示、抢答展示、书写展示与交流等.教材处理：继承、改造、整合、替换、补充.教学方式：学生独立思考、小组合作探究、教师启发引导.教具准备：网络画板课件、三角板、教师平板、学生平板.五、教学重点、难点1．教学重点：（1）理解用“单位菱形”定义正弦的概念的合理性；（2）根据已知“边角边”求三角形面积，用代数法解决简单的几何问题.2．教学难点：（1）理解单位菱形的面积与其中一个角的对应关系；（2）运用三角形“边角边”面积公式解决几何问题.六、教学过程提问：已知“边角边”，你会求三角形的面积吗？归纳：这个长方形面积等于12积和.3.平行四边形面积归纳：这个平行四边形面积等于面积和.归纳：单位菱形的的面积由其中一个角决定定义：单位菱形AEFG 的面积叫做∠分别为30°，60°时，单位菱形（1）A7.练习1题（1）布置学生作业练习1题，巡视，及时了解学生的完成情况；∠∠的根据.（2）追问1=28. 探究平行四边形面积公式9. 问题解决（1）利用正弦的知识探究“问题”的解决办法；（2）总结已知“边角边”，求三角形面积的公式.10.用“边角边”计算三角形面积的三个方法（1）板书：1sin2S AB BC B =?；（2）提问：这个三角形的面积还可以怎么计14．七、板书设计三角形“边角边”面积公式单位正方形面积为1 数形结合Array 的正弦单位菱形AEFG的面积叫做Asin0°=0，sin90°=1；sin180°=0 .八、教学反思重建三角，让学数学更容易，让学生喜欢学数学1．以问题引发疑惑，激发求知欲，导入新课学习应该是有吸引力的，为此设计先已知底和高求三角形的面积，改变条件，已知“边角边”求三角形面积，引发认知冲突，产生疑惑，导入新课，激发学生的探求欲望，使之更符合学生的认知水平.2. 用面积法定义正弦，重建三角（1）用单位菱形的面积来定义正弦，学生看得见，摸得着，形象直观，不依赖相似的知识和线段的比值的概念，难度降低了，学生容易理解，推导正弦的性质也来得快．从教学效果来看，学生都掌握得较好.实践证明，正弦可以在七年级，学习了线段、角以后教学，从此，学生学习三角形、四边形就有了强大的武器，可以进行定量的计算．（2）用单位菱形的面积来定义正弦，锐角、直角、钝角都有了正弦，范围扩大了，方便解决各种三角形的问题，现行初中教材要到九年级，而且只学锐角三角形的正弦，无法解决斜三角形的问题．sin90就是单位正方形的面积，等于1，不像传统定义，用逼近的办法来解释直角三（3）0角形的正弦，表达更严谨了．3．注重学习过程中数学思想方法的渗透本课在探索三角形“边角边”面积公式过程中，渗透了函数、转化、类比、归纳、抽象概括、数形结合等思想.4．数学学习过程的核心体现是“问题解决”从问出发题，用面积法定义正弦，探索解决问题的方法，最后解决问题，得出三角形“边角边”面积公式. 强化在问题解决中落实，学习快乐也从问题解决中获得.老师的所有努力，就是用问题激发兴趣，用问题引发思考，用问题强化数学规范，用问题开发学生的思维潜能.由于我在认识方面的局限及教学能力方面的不足，在这堂课的教学处理中，教学过程中还有许多自己还没发现的问题，恳请在座的张院士、刘涛所长和各位专家批评指正！。
蝴蝶定理
蝴蝶定理蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。
由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职815年所给出的证法。
至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。
1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。
这里介绍一种较为简便的初等数学证法。
证明：过圆心O作AD与BC垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM。
SM。
MT。
∵△AMD∽△CMB，且SD=1/2AD, BT=1/2BC，∴DS/BT=DM/BM又∵∠D=∠B∴△MSD∽△MTB，∠MSD=∠MTB∴∠MSX=∠MTY；又∵O，S，X，M与O，T。
Y。
M均是四点共圆，∴∠XOM=∠YOM∵OM⊥PQ∴XM=YM二，如图1，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（o，r）（b ＞r＞0）。
（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；x交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3，y3），H（x4，y4）（y4＞0）。
（Ⅱ）直线y=k求证：k1x1x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。
求证：| OP | = | OQ |。
（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）2．解答：北京教育考试院招生考试办公室专家在公布的《2003年全国普通高等学校招生统一考试试题答案汇编》中给出的参考解答如下：（18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。
观察图片,怎样迅速计算它们的面积？1cm1cm3cm3cm转化一、思维挑战
心
安
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书
一
笔
清
远
，
盈
一
抹
恬
淡
，
浮
华
三
千
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自
己
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人
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，
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中
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爱
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我
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你
可
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说
谁分到的地更大？
在方格纸上数一数，然后填写表格。（一个方格代表1平方米，不满一格按半格计算）
数学归纳法原理：【第二归纳法】【跳跃归纳法】【反向归纳法】
数学归纳法原理(六种)：【第二归纳法】【跳跃归纳法】【反向归纳法】一行骨牌，如果都充分地靠近在一起（即留有适当间隔），那么只要推倒第一个，这一行骨牌都会倒塌；竖立的梯子，已知第一级属于可到达的范围，并且任何一级都能到达次一级，那么我们就可以确信能到达梯子的任何一级；一串鞭炮一经点燃，就会炸个不停，直到炸完为止；……，日常生活中这样的事例还多着呢！数学归纳法原理设P(n)是与自然数n有关的命题．若(I)命题P(1)成立；(Ⅱ)对所有的自然数k，若P(k)成立，推得P(k+1)也成立.由（I）、(Ⅱ)可知命题P(n)对一切自然数n成立．我们将在“最小数原理”一章中介绍它的证明，运用数学归纳法原理证题的方法，是中学数学中的一个重要的方法，它是一种递推的方法，它与归纳法有着本质的不同．由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，用归纳法可以帮助我们从具体事例中发现一般规律，但是，仅根据一系列有限的特殊事例得出的一般结论的真假性还不能肯定，这就需要采用数学归纳法证明它的正确性．一个与自然数n有关的命题P(n)，常常可以用数学归纳法予以证明，证明的步骤为：(I)验证当n取第1个值no时，命题P(no)成立，这一步称为初始验证步．(Ⅱ)假设当n=k(k∈N，后≥no)时命题P(k)成立，由此推得命题P(k+1)成立．这一步称为归纳论证步．(Ⅲ)下结论，根据(I)、(Ⅱ)或由数学归纳法原理断定，对任何自然数(n≥no)命题 P(n)成立．这一步称为归纳断言步，为了运用好数学归纳法原理，下面从有关注意事项与技巧及运用递推思想解题等几个方面作点介绍．运用数学归纳法证题时应注意的事项与技巧三个步骤缺一不可第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第三步是递推的过程与结论．三步缺一不可．数学归纳法的其他几种形式还有：第二数学归纳法；跳跃数学归纳法；倒推数学归纳法（反向归纳法）；分段数学归纳法二元有限数学归纳法；双向数学归纳法；跷跷板数学归纳法；同步数学归纳法等。
梅涅劳斯(Menelaus)定理的十种证明
梅涅劳斯（Menelaus）定理的十种证明作者：杨春波来源：《中学数学杂志(高中版)》2015年第05期梅涅劳斯定理是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要作用，其具体内容为：设直线l分别与△ABC的三边（或边的延长线）相交于点D、E、F，则有AFFB·BDDC·CEEA=1.直线l与三角形的三边相交，有两种情形：（1）其中两个交点在边上，一个交点在边的延长线上，如图1；（2）三个交点均在边的延长线上，如图2.图1图2梅涅劳斯定理在处理直线形中线段长度比例的计算时，尤为快捷.值得一提的是，其逆定理也成立，可作为三点共线、三线共点等问题的判定方法.下面给出梅涅劳斯定理的十种精彩证明，证明中仅以图1作为示例.证法1平行线法如图3，过点C作CG∥DF交AB于点G，则BDDC=BFFG，CEEA=GFFA，故AFFB·BDDC·CEEA=AFFB·BFFG·GFFA=1.图3图4证法2共边定理法如图4，由共边定理知AFFB·BDDC·CEEA=AEDBED·BEDCED·CEDAED=1.证法3共角定理法如图1，由共角定理知△AEF△BFD=AF·EFFB·DF，BFDCDE=BD·DFDC·DE，CDEAEF=DE·CEEA·EF，三式相乘得1=AF·EFFB·DF·BD·DFDC·DE·DE·CEEA·EF=AFFB·BDDC·CEEA，得证.注共边定理和共角定理源自于张景中院士的面积法[1]，下面是定理的具体内容.共边定理若直线AB和PQ相交于点M（如图5，有4种情形），则有PABQAB=PMQM.图5图6共角定理如图6，若∠ABC和∠XYZ相等或互补，则有ABCXYZ=AB·BCXY·YZ.证法4辅助平面法如图7，过截线l作平面α，设顶点A、B、C到该平面的距离分别为dA、dB、dC，则有AFFB=dAdB，BDDC=dBdC，CEEA=dCdA，三式相乘即得证.图7图8该证明曾在网上被大量转载，被称为令人感动的证明.文[2]中也收录了该证明，并称“上面这种方法恐怕是最帅的一种了.它解决了其他证明方法缺乏对称性的问题，完美展示了几何命题中的对称之美”.其实，何必要在空间中作一个辅助平面呢，且看单墫先生在文[3]中给出的精彩证明.证法5垂线法如图8，分别自A、B、C向l作垂线，设垂线段的长度分别为p、q、r，则AFFB=pq，BDDC=qr，CEEA=rp，三式相乘即得证.证法6正弦定理法在△AEF、△BDF、△CDE中，由正弦定理得AFFB·BDDC·CEEA=AFEA·BDFB·CEDC=sin∠AEFsin∠AFE·sin∠BFDsin∠FDB·sin∠ED Csin∠CED，因∠AEF=∠CED，∠BFD+∠AFE=180°，∠EDC=∠FDB，故上式右端乘积为1，得证.证法7向量法设AF=λFB，BD=μCD，CE=γEA，即证λμγ=1.DE=DC+CE=1μ-1CB+γγ+1CA=1μ-1AB-（1μ-1+γγ+1）AC；EF=AF-AE=λλ+1AB-1γ+1AC.由D、E、F三点共线，知DE与EF共线，故1μ-1·1γ+1=λλ+1（1μ-1+γγ+1），整理即λμγ=1.证法8坐标法设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且AF=λFB，BD=μDC，CE=γEA，则F（x1+λx21+λ，y1+λy21+λ），D（x2+μx31+μ，y2+μy31+μ），E（x3+γx11+γ，y3+γy11+γ）.设直线l的方程为ax+by+c=0，代入点F的坐标，即ax1+λx21+λ+by1+λy21+λ+c=0，解得λ=-ax1+by1+cax2+by2+c，同理有μ=-ax2+by2+cax3+by3+c，γ=-ax3+by3+cax1+by1+c，于是λμγ=-1，即AFFB·BDDC·CEEA=1.这样的坐标法并没有建立坐标系，而是直接设出点的坐标，运算过程对称、简洁！证法9质点法[4]设（1+r）F=A+rB，（1+s）E=A+sC，两式相减消去点A得（1+r）F-（1+s）E=rB-sC，此式表明FE与BC交于一点，即（r-s）D=rB-sC，于是AFFB·BDDC·CEEA=r·sr·1s=1.质点法直接让几何学里最基本的元素——点参与运算，稍微修改就可得向量证法：在△ABC所在平面内任取一点O，设AF=rFB，AE=sEC，则有（1+r）OF=OA+rOB，（1+s）OE=OA+sOC，两式相减得（1+r）OF-（1+s）OE=rOB-sOC，又FE与BC交于点D，故有rOB-sOC=（r-s）OD，则BD=srCD，于是AFFB·BDDC·CEEA=r·sr·1s=1.以上过程中点O是任意的，并不起实质性作用，完全可以省略不写，用一个字母表示向量，这就是质点几何了.质点法的最新研究成果是建立了能处理希尔伯特交点类命题的仿射几何机器证明算法MPM（Mass-Point-Method），并编写了Maple程序，验算了几百个非平凡命题，不仅效率高，程序自动生成的证明也有可读性，这一工作是广州大学邹宇博士在张景中院士的指导下完成的.最后给出梅涅劳斯定理的机器证明，算作第十种证法.证法10机器证明Points（A，B，C）；Mratio（D，B，C，r1）；Mratio（E，C，A，r2）；Inter（F，D，E，A，B）；ratioproduct3（A，F，F，B，B，D，D，C，C，E，E，A）A，B，C（1+r1）D=B+r1 C（1+r2）E=C+r2 AF=（A B）∩（D E）D-r1（1+r2）E[]1+r1=-r1r2 A1+r1+B1+r1F=r1r2 A-1+r1 r2-B[]-1+r1 r2A-F=-F-B[]r1 r2B-D=r1（D-C）C-E=r2（E-A）[AF][BD][CE][][FB][DC][EA]=-1参考文献[1]彭翕成，张景中.仁者无敌面积法[M].上海：上海教育出版社，20116.[2]顾森.思考的乐趣：Matrix67数学笔记[M].北京：人民邮电出版社，20127.[3]单墫.平面几何中的小花[M].上海：华东师范大学出版社，20113.[4]彭翕成.向量、复数与质点[M].合肥：中国科学技术大学出版社，20145.[5]张景中，彭翕成.绕来绕去的向量法[M].北京：科学出版社，20109.。
数学归纳法原理：【第二归纳法】【跳跃归纳法】【反向归纳法】
数学归纳法原理(六种)：【第二归纳法】【跳跃归纳法】【反向归纳法】一行骨牌，如果都充分地靠近在一起（即留有适当间隔），那么只要推倒第一个，这一行骨牌都会倒塌；竖立的梯子，已知第一级属于可到达的范围，并且任何一级都能到达次一级，那么我们就可以确信能到达梯子的任何一级；一串鞭炮一经点燃，就会炸个不停，直到炸完为止；……，日常生活中这样的事例还多着呢！数学归纳法原理设P(n)是与自然数n有关的命题．若(I)命题P(1)成立；(Ⅱ)对所有的自然数k，若P(k)成立，推得P(k+1)也成立.由（I）、(Ⅱ)可知命题P(n)对一切自然数n成立．我们将在“最小数原理”一章中介绍它的证明，运用数学归纳法原理证题的方法，是中学数学中的一个重要的方法，它是一种递推的方法，它与归纳法有着本质的不同．由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，用归纳法可以帮助我们从具体事例中发现一般规律，但是，仅根据一系列有限的特殊事例得出的一般结论的真假性还不能肯定，这就需要采用数学归纳法证明它的正确性．一个与自然数n有关的命题P(n)，常常可以用数学归纳法予以证明，证明的步骤为：(I)验证当n取第1个值no时，命题P(no)成立，这一步称为初始验证步．(Ⅱ)假设当n=k(k∈N，后≥no)时命题P(k)成立，由此推得命题P(k+1)成立．这一步称为归纳论证步．(Ⅲ)下结论，根据(I)、(Ⅱ)或由数学归纳法原理断定，对任何自然数(n≥no)命题 P(n)成立．这一步称为归纳断言步，为了运用好数学归纳法原理，下面从有关注意事项与技巧及运用递推思想解题等几个方面作点介绍．运用数学归纳法证题时应注意的事项与技巧三个步骤缺一不可第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第三步是递推的过程与结论．三步缺一不可．数学归纳法的其他几种形式还有：第二数学归纳法；跳跃数学归纳法；倒推数学归纳法（反向归纳法）；分段数学归纳法二元有限数学归纳法；双向数学归纳法；跷跷板数学归纳法；同步数学归纳法等。
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．
注意 ： 了应用 共角 比例定理时 不易 出错 ， 为 我们 约 定： 书写时把相等角或互补角 的顶点写在 三角形 第一顶 点的位 置． 共边三角形和共角三角形 在图形 中是普遍存在的 ，
Ｃ
Ｄ
这就 使得共边 比例定理 和共角 比例定理有 了广泛 的用
武之地．
图１
条中线交 于一点 ，该点 分 中线 为２
价 于 —Ｅ． Ａ —Ｐ ～ Ｂ — Ｄ＂ Ｃ ，、 ・ Ｖ Ｐ — Ｐ Ｐ Ｐ ｌ… 毕 ’ ｌ● Ｅ Ｐ Ｆ＂ Ｐ Ｄ ‘＝ ’ 址广
，
． 广
Ｐ ・Ｂ Ｐ Ｐ Ｐ Ｐ Ｄ Ｐ Ｅ・ Ｃ Ｆ・ Ａ
一
理 就行 了 ． 三 个 比和 为 １ ．
证明时共边 比例定理和共 角比例定理可 以灵活运用． 例５ 四边形Ａ Ｄ ． 设 ｃ 相对 的顶点Ａ， 和 ， 与不在四 Ｃ Ｄ
例２如图６ ＡＡ Ｃ ． ， Ｂ 内任一点Ｐ Ａ 于Ｄ， ，胶 ｃ 胶 ｃ 边形的边或其延长线 上的一点 Ａ 琏 结而成的四条直线 ， 与对角 于Ｅ， 嘲 于删 ＋ ＋ ｃ 线Ｂ Ｄ和ＡＣ 它们 的延 长线依 Ａ 或 证明 ： 设法 把线段 的 比换成 三角形面积 的 比， 这里
Ａ
由此基本命题可得两个基本定
理： 共边比例定理和共角 比例定理．
应用举例 ．
Ａ
例１ ． 如图５设 ＡＡ Ｃ ， Ｂ 的两条 中
Ｃ
１ ． 共边比例定理 若直线唧 直
绷 跤 如 测 ： ．
图２
线 Ｄ Ｅ 和曰 交于 求证Ａ ２ ． Ｍ＝ＭＤ 证 明： 先把待证 结 Ｍ＝ ＭＤ ２ Ｂ 化成线段 比的形枷 －． ２
两个基本概念是共边三角形和共角三角形．
日 日
２ ． 比例定理 共角
＝ Ｓ ． ￣ＬＡ＋
如 图４ 若在 △ 曰 和△ ， ｃ
＝８ 。 ，ｑ ｌ０ 贝 ＝
ｃ中 ，
有一条公共边 的两个三角形称为共边三角形．例如 图１ 中ＡＡ肋 和 ＡＡ Ｃ △ 曰 和ＡＡ 嘟 是共边三角形． Ｂ 、 ｃ ｃ 有一组角对应相等或互补的两个 三角形称为共角三 角形 ．例 如 图 １ 中ＡＡ Ｃ ＡＡ Ｄ （ Ｂ 与 Ｂ 共 ） △ Ｃ 、 Ｂ与
Ｄ
图
ห้องสมุดไป่ตู้
Ｃ
再把 线段 的 比变成 三角 形 面积 的 比．连接 叩 ， 即
Ａ
Ｑ
一
垒丝一 Ａ — ＡＢＣ － ￣ －
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．
一
，
— ＭＤ 。 —ＡＤＢ 。 ￣－ ＡＢＣ。 ‘ Ｅ —ＩＡ
图３
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评 论 ： 个 结 论 就 是 三 角 形 三 这
后 ， 就 致 力 于 面积 方 法和 教 材 改 革 的研 究 ， 取 得 了丰 厚 的 成 果 ． 们 说 ， 术 问题 可 以 自由 讨 论 ， 他 并 我 学 自然 是 仁 者 见
仁， 智者见智． 我们刊登王敬赓教授介绍张景 中面积法一文 ， 与一 线的老 师们共 同探讨． 愿
张 景 中 的 面 积 方 法
Ｃ
可以有很 多种不 同的选择 ， 选择哪一组还要求使之满足
次交于点Ｅ， 和， Ｈ， Ｇ ， 则有： ・
． ．
丝 ： １
．
由 一
与ｌ 比．回想用 欧氏方法证 明这 之
用 张 氏 方 法 只 需 一 个 共 边 比例 定 ８
Ｄ Ｃ
评论 ：上述塞瓦定 理是平面 几何 中一个 著名的定
个 结 论 时需 要 用 到 好 几 个 定 理 ， 而
图６
理 ， 明起来 并不简单 ， 用张氏面积方法 却非常简单． 证 但
教师所编 ）基本承袭 了欧氏几何 原始体 系． 了上世 纪５ 年代 ， ， 到 ０ 我们 的 中学课本 开始使 用扩 大化 的公 理体 系． ２ 从 ０
世纪八九十年代开始， 国 ３代一些很有名的数学 家又开始 了新的平面几何改造计 划． 比较 大的有 东北师大校 我 ＂ － 影响
长史宁 中教授 、 美籍华人 几何学家项武义先生 ， 以及下文介绍的 中科 院院士张景 中先生的平 面几何改造思想． 张景 中先生的面积方 法， 开端 于１７ 年． ９ ４ 当时他在 中学教数 学， 发现学 生很喜欢他 用面积 法讲几何和三 角． 以 这
王敬赓 （ 京 师 范 大 学 数 学 科 学 学 院 北 京 １ ０ ７ ） 北 ０ ８ ５
注意 ： 共边 比例定 理共 有 四种可能 的情形 ， 如图３ ， 对于在平 面几何 中有关线段 比或者 能转化成 线段 比的证 明题 ，张景 中院士 给 出 了一 个简 捷 的证 明方 应用时后两种情形常常不容易想到． 法—— 面积证法． 其基本 思想是把 两条线段 比转化 为两 个三角形 的面积 比 ， 过计算 面积使 问题 得证 ． 用 通 这里 到两个基本概念和两个基本定理．
ＡＡ Ｄ（ Ｃ ＬＡＣ 与 厶 ４ Ｄ 补 ） 是 共角 三 角 形． Ｂ Ｃ互 都
Ａ： Ａ’ Ｃ Ｃ’ Ｃ， Ａ＝ Ａ Ｃ
图４
为了书写简单 ， 我们约定 ＡＡ Ｃ Ｂ
的面积ｓ ｄ 后仍用△ 曰 表示． △ ｃ 基本命 题 如 图２设 ＡＡ Ｃ ， Ｂ 的 曰 边上有一点 ， ｃ 如果肋 ： 曰 ， 日 Ａ ｃ则 ＡＡ Ｍ＝ ＡＡＢ ， ＡＡ Ｍ ＝ Ｍ Ｂ Ａ Ｃ 即丽 Ｂ 丽 Ｂ
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”镪蛋晤面圃圈Ｉ ：
编者按 ： 自西学东渐 以来， 国的平面几何教 学就使 用过 多种公理体 系． 我 如上世 纪二三十年代 。 逢 当时的一些 恰
大数学 家， 如希 尔伯特刚刚为欧 氏几何补充 了完整的公理体 系． ， 国的一些著名数 学 家及 数学教育 家， 于是 我 如傅仲 孙先 生便接 受 了这种公理 体 系， 养 了一大批 栋 梁． 来 ， 国又普遍使 用３ 几何（ 培 后 我 ｓ 由三位 姓氏 以ｓ 头的美国数学 开