通用版2018年中考数学总复习与圆有关的位置关系试题

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中考数学总复习《与圆有关的位置关系》专项测试卷附答案

中考数学总复习《与圆有关的位置关系》专项测试卷附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【A层·基础过关】1.如图,AB是☉O的切线,A为切点,连接OA,OB,若∠B=20°,则∠AOB的度数为( )A.80°B.70°C.60°D.50°2.如图,点P为☉O外一点,过点P作☉O的切线P A,PB,记切点为A,B,点C为☉O 上一点,连接AC,BC.若∠ACB=62°,则∠APB等于( )A.68°B.64°C.58°D.56°⏜上.已知∠3.如图,点A是☉O外一点,AB,AC分别与☉O相切于点B,C,点D在BDCA=50°,则∠D的度数是.4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以点C为圆心,r为半径作圆,当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时,r的值为.5.如图,以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆,圆心为O,过点A作AE⊥CD的延长线于点E,已知DA平分∠BDE.(1)求证:AE是☉O的切线;(2)若AE=4,CD=6,求☉O的半径和AD的长.【B层·能力提升】6.(2024·包头中考)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,点O在四边形ABCD 内部,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点P,连接OA,OB.若∠AOB=140°,∠BCP=35°,则∠ADC的度数为.7.(2024·凉山州中考)如图,☉M的圆心为M(4,0),半径为2,P是直线y=x+4上的一个动点,过点P作☉M的切线,切点为Q,则PQ的最小值为.8.(2024·盐城中考)如图,点C在以AB为直径的☉O上,过点C作☉O的切线l,过点A作AD⊥l,垂足为D,连接AC,BC.(1)求证:△ABC∽△ACD;(2)若AC=5,CD=4,求☉O的半径.【C层·素养挑战】9.如图,以线段AB为直径作☉O,交射线AC于点C,AD平分∠CAB交☉O于点D,过点D作直线DE⊥AC于点E,交AB的延长线于点F,连接BD并延长交AC于点M.(1)求证:直线DE是☉O的切线;(2)求证:AB=AM;(3)若ME=1,∠F=30°,求BF的长.参考答案【A层·基础过关】1.如图,AB是☉O的切线,A为切点,连接OA,OB,若∠B=20°,则∠AOB的度数为(B)A.80°B.70°C.60°D.50°2.如图,点P为☉O外一点,过点P作☉O的切线P A,PB,记切点为A,B,点C为☉O 上一点,连接AC,BC.若∠ACB=62°,则∠APB等于(D)A.68°B.64°C.58°D.56°⏜上.已知∠3.如图,点A是☉O外一点,AB,AC分别与☉O相切于点B,C,点D在BDCA=50°,则∠D的度数是65°.4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以点C为圆心,r为半径作圆,当所作.的圆与斜边AB所在的直线相切时,r的值为2455.如图,以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆,圆心为O,过点A作AE⊥CD的延长线于点E,已知DA平分∠BDE.(1)求证:AE是☉O的切线;【解析】(1)如图,连接OA∵AE⊥CD∴∠DAE+∠ADE=90°.∵DA平分∠BDE∴∠ADE=∠ADO.又∵OA=OD∴∠OAD=∠ADO∴∠DAE+∠OAD=90°∴OA⊥AE∵OA是☉O的半径∴AE是☉O的切线.(2)若AE=4,CD=6,求☉O的半径和AD的长.【解析】(2)如图,取CD中点F,连接OF由题易得OF⊥CD于点F∴四边形AEFO是矩形.∵CD=6∴DF=FC=3.在Rt△OFD中,OF=AE=4∴OD=√OF2+DF2=√42+32=5,即☉O的半径为5.在Rt△AED中,AE=4,ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2∴AD=√42+22=2√5.【B层·能力提升】6.(2024·包头中考)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,点O在四边形ABCD 内部,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点P,连接OA,OB.若∠AOB=140°,∠BCP=35°,则∠ADC的度数为105°.7.(2024·凉山州中考)如图,☉M的圆心为M(4,0),半径为2,P是直线y=x+4上的一个动点,过点P作☉M的切线,切点为Q,则PQ的最小值为2√7.8.(2024·盐城中考)如图,点C 在以AB 为直径的☉O 上,过点C 作☉O 的切线l ,过点A 作AD ⊥l ,垂足为D ,连接AC ,BC.(1)求证:△ABC ∽△ACD ; 【解析】(1)连接OC ∵l 是☉O 的切线,∴OC ⊥l∵AD ⊥l ,∴OC ∥AD ,∴∠CAD =∠ACO =∠CAB ,∵AB 为☉O 的直径 ∴∠ADC =∠ACB =90° ∴△ABC ∽△ACD ;(2)若AC =5,CD =4,求☉O 的半径. 【解析】(2)∵AC =5,CD =4,∠ADC =90° ∴AD =√AC 2-CD 2=3 ∵△ABC ∽△ACD ,∴AB AC =AC AD∴AB 5=53,∴AB =253,∴☉O 的半径为256.【C 层·素养挑战】9.如图,以线段AB为直径作☉O,交射线AC于点C,AD平分∠CAB交☉O于点D,过点D作直线DE⊥AC于点E,交AB的延长线于点F,连接BD并延长交AC于点M.(1)求证:直线DE是☉O的切线;【解析】(1)连接OD,则OD=OA∴∠ODA=∠OAD∵AD平分∠CAB∴∠OAD=∠DAC∴∠ODA=∠DAC,∴OD∥AC∵DE⊥AC,∴∠ODF=∠AED=90°∵OD是☉O的半径,且DE⊥OD∴直线DE是☉O的切线.(2)求证:AB=AM;【解析】(2)∵线段AB是☉O的直径∴∠ADB=90°,∴∠ADM=180°-∠ADB=90°∴∠M+∠DAM=90°,∠ABM+∠DAB=90°∵∠DAM=∠DAB,∴∠M=∠ABM∴AB=AM.(3)若ME=1,∠F=30°,求BF的长.【解析】(3)∵∠AEF=90°,∠F=30°∴∠BAM=60°,∴△ABM是等边三角形∴∠M=60°,∵∠DEM=90°,ME=1∴∠EDM=30°,∴MD=2ME=2∴BD=MD=2,∵∠BDF=∠EDM=30°∴∠BDF=∠F∴BF=BD=2.。

通用版2018年中考数学总复习专题检测20 与圆有关的位置关系试题新版新人教版

专题检测20 与圆有关的位置关系(时间90分钟满分100分)一、选择题(每小题3分,共36分)1.若☉O的半径为5 cm,点A到圆心O的距离为3 cm,则点A与☉O的位置关系是(A)A.点A在圆内B.点A在圆上C.点A在圆外D.不能确定2.已知半径为5的圆,其圆心到直线的距离是3,此时该直线和圆的位置关系为(C)A.相离B.相切C.相交D.无法确定3.下列命题正确的有(B)①过两点可以作无数个圆;②经过三点一定可以作圆;③任意一个三角形有一个外接圆,而且只有一个外接圆;④任意一个圆有且只有一个内接三角形.A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图,过☉O上一点C作☉O的切线,交☉O直径AB的延长线于点D.若∠D=40°,则∠OAC为(B)A.20°B.25°C.30°D.40°〚导学号92034202〛(第4题图)(第5题图)5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=4 cm,以点C为圆心,以2 cm的长为半径作圆,则☉C与AB的位置关系是(B)A.相离B.相切C.相交D.相切或相交6.如图,☉O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点,PB切☉O于点B,则PB的最小值是(B)A. B. C.3 D.2(第6题图)(第7题图)7.如图,在☉O中,AB为直径,BC为弦,CD为切线,连接OC.若∠BCD=50°,则∠AOC的度数为(C)A.40°B.50°C.80°D.100°8.如图,△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的圆与AB相切,则☉C的半径为(B)A.2.3B.2.4C.2.5D.2.6(第8题图)(第9题图)9.如图,圆O是Rt△ABC的外接圆,∠ACB=90°,∠BAC=25°,过点C作圆O的切线,交AB的延长线于点D,则∠D的度数是(B)A.25°B.40°C.50°D.65°10.如图,在△ABC中,已知∠C=90°,BC=3,AC=4,则它的内切圆半径是(B)A.B.1 C.2 D.11.如图,P是☉O外一点,OP交☉O于点A,OA=AP.甲、乙两人想作一条通过点P与☉O相切的直线,其作法如下.甲:以点A为圆心,AP长为半径画弧,交☉O于点B,则直线BP即为所求.乙:过点A作直线MN⊥OP:以点O为圆心,OP为半径画弧,交射线AM于点B,连接OB,交☉O于点C,直线CP 即为所求.对于甲、乙两人的作法,下列判断正确的是(C)A.甲正确,乙错误B.乙正确,甲错误C.两人都正确D.两人都错误〚导学号92034203〛12.如图,在等边三角形ABC中,点O在边AB上,☉O过点B且分别与边AB,BC相交于D,E两点,F是AC上的点,则下列说法错误的是(C)A.若EF⊥AC,则EF是☉O的切线B.若EF是☉O的切线,则EF⊥ACC.若BE=EC,则AC是☉O的切线D.若BE=EC,则AC是☉O的切线二、填空题(每小题6分,共24分)13.△ABC的内切圆的三个切点分别为D,E,F,∠A=75°,∠B=45°,则圆心角∠EOF=120°.(第13题图)(第14题图)14.如图,若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D,则∠C=45度.15.如图(1),PT与☉O1相切于点T,PB与☉O1相交于A,B两点,可证明△PTA∽△PBT,从而有PT2=PA·PB.请应用以上结论解决下列问题:如图(2),PB,PD分别与☉O2相交于A,B,C,D四点,已知PA=2,PB=7,PC=3,则CD=.图(1)图(2)16.如图,圆心都在x轴正半轴上的半圆O1、半圆O2、…、半圆O n与直线y=x相切,设半圆O1、半圆O2、…、半圆O n的半径分别是r1,r2,…,r n,则当r1=1时,r2 017=32 016.三、解答题(共40分)17.(13分)如图,AB是☉O的切线,B为切点,圆心O在AC上,∠A=30°,D为的中点.(1)求证:AB=BC.(2)试判断四边形BOCD的形状,并说明理由.(1)证明∵AB是☉O的切线,∴∠OBA=90°,∠AOB=90°-30°=60°.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=30°,∴∠OCB=∠A.∴AB=BC.(2)解四边形BOCD为菱形,理由如下:连接OD交BC于点M,∵D是的中点,∴OD垂直平分BC.在Rt△OMC中,∵∠OCM=30°,∴OC=2OM=OD.∴OM=MD.∴四边形BOCD为菱形.〚导学号92034203〛18.(13分)如图,△ABC内接于☉O,BC是☉O的直径,弦AF交BC于点E,延长BC到点D,连接OA,AD,使得∠FAC=∠AOD,∠D=∠BAF.(1)求证:AD是☉O的切线;的半径为5,CE=2,求EF的长.(1)证明∵BC是☉O的直径,∴∠BAC=90°,即∠BAF+∠FAC=90°;∵∠FAC=∠AOD,∠D=∠BAF,是☉O的切线.(2)解∵∠FAC=∠AOD,∠ACO=∠ACO,∴==,即==,解得CA=,AE=.∵CE=2,BC=10,∴BE=8.连接BF,∵∠EAC=∠EBF,∠AEC=∠BEF,∴△CAE∽△FBE,∴=,即=,∴EF=.19.(14分)如图,已知:AB是☉O的直径,点C在☉O上,CD是☉O的切线,AD⊥CD于点D.E是AB延长线上的一点,CE 交☉O于点F,连接OC,AC.(1)求证:AC平分∠DAO.(2)若∠DAO=105°,∠E=30°.①求∠OCE的度数.②若☉O(1)是☉O的切线平分-∠EOC-∠E=180°-105°-30°=45°.如图,过点O作OG⊥CE,可得FG=CG.在Rt△OGC中,OC=2,∠OCE=45°,∴OG=CG=OCsin 45°=2×=2.∴FG=CG=2.在Rt△OGE中,OG=2,∠E=30°,∴EG===2.∴EF=EG-FG=2-2.。

2018年初三数学中考复习圆-与圆有关的位置关系专题复习练习题含答案-学习文档

2019年初三数学中考复习圆-与圆有关的位置关系专题复习练习题1. 在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为a ，⊙A 的半径为2，下列说法中不正确的是( )A ．当a ＜5时，点B 在⊙A 内 B ．当1＜a ＜5时，点B 在⊙A 内C ．当a ＜1时，点B 在⊙A 外D ．当a ＞5时，点B 在⊙A 外2. 在平面直角坐标系中，以点(2，3)为圆心，2为半径的圆必定( )A ．与x 轴相离，与y 轴相切B ．与x 轴，y 轴都相离C ．与x 轴相切，与y 轴相离D ．与x 轴，与y 轴都相切3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙P 的圆心P 的坐标为(－3，0)，将⊙P 沿x 轴正方向平移，使⊙P 与y 轴相切，则平移的距离为( )A ．1B ．1或5C ．3D ．54. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，∠CDB ＝30°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则sin E 的值为( )A.12B.32C.22D.335. 如图，已知以直角梯形ABCD 的腰CD 为直径的半圆O 与梯形上底AD ，下底BC 以及腰AB 均相切，切点分别是点D ，C ，E.若半圆O 的半径为2，梯形的腰AB 为5，则该梯形的周长是( )A ．9B ．10C ．12D ．146. 如图，已知点A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于点B ，OC ＝BC ，AC ＝12OB. 则AB________⊙O 的切线(填“是”或“不是”)．7. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，BC ＝4 cm ，以点C 为圆心，以3 cm 长为半径作圆，则⊙C 与直线AB 的位置关系是________．8. 一只猫观察到一老鼠洞的全部三个出口，它们在同一平面上，但不在同一直线上，这只猫应蹲在___________________________地方，才能最省力地顾及到三个洞口．9. 点O为△ABC的外心，∠BAC＝50°，则∠BOC＝________.10. ⊙O的半径r＝5 cm，圆心到l的距离OM＝4 cm，在直线l上有一点P，且PM ＝3 cm，则点P在⊙O________.11. ⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2－4x＋m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为________．12. 在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝5 cm，AB＝12 cm，以点A为圆心，r为半径画圆，若⊙A与斜边BC只有一个公共点，则r的取值范围为________________．13. 如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点，若两圆的半径分别为3 cm和5 cm，则AB的长为________cm.14. 如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为点D，E，F，已知∠B＝50°，∠C＝60°，连结OE，OF，DE，DF，则∠EDF的度数为________．15. 如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D.连结DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E.求证：DE为⊙O的切线．参考答案：1---5 AABAD6. 是7. 相交8. 以三个出口为顶点的三角形外心9. 100°10. 上11. 412. r ＝6013 cm 或5 cm ＜r ≤12 cm13. 814. 55°15. 证明：连结OD ，图略．∵AB 为⊙O 的直径， ∴BD⊥AC，又BA ＝BC ，∴点D 为AC 的中点，又点O 为AB 的中点，∴OD∥BC，又DE⊥BC，∴DE⊥OD，∴DE 为⊙O 的切线．。

2018中考数学试题分类汇编考点29与园有关的位置关系含解析

考点29 ：与园有关的位置关系一．选择题（共9小题）1．（2018•宜宾）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE 为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（）A．B．C．34 D．10【分析】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN，则MN、PM的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出NP的最小值，再利用PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论．【解答】解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN 取最小值．∵DE=4，四边形DEFG为矩形，∴GF=DE，MN=EF，∴MP=FN=DE=2，∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1，∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．故选：D．2．（2018•泰安）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3 B．4 C．6 D．8【分析】由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．【解答】解：∵PA⊥PB，∴∠APB=90°，∵AO=BO，∴AB=2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ=3、MQ=4，∴OM=5，又∵MP′=2，∴OP′=3，∴AB=2O P′=6，故选：C．3．（2018•滨州）已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=25°，则劣弧的长为（）A．B． C．D．【分析】根据圆周角定理和弧长公式解答即可．【解答】解：如图：连接AO，CO，∵∠ABC=25°，∴∠AOC=50°，∴劣弧的长=，故选：C．4．（2018•自贡）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长为（）A．B．C．D．【分析】延长BO交圆于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R，根据锐角三角函数的定义得BC=R．【解答】解：延长BO交⊙O于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，∴∠CBD=30°，∵BD=2R，∴DC=R，∴BC=R，故选：D．5．（2018•湘西州）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l 与⊙O的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，则直线和圆相切．【解答】解：∵圆心到直线的距离5cm=5cm，∴直线和圆相切．故选：B．6．（2018•徐州）⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（）A．内含B．内切C．相交D．外切【分析】根据两圆圆心距与半径之间的数量关系判断⊙O1与⊙O2的位置关系．【解答】解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，则5﹣2=3，∴⊙O1和⊙O2内切．故选：B．7．（2018•台湾）如图，两圆外切于P点，且通过P点的公切线为L，过P点作两直线，两直线与两圆的交点为A、B、C、D，其位置如图所示，若AP=10，CP=9，则下列角度关系何者正确？（）A．∠PBD＞∠PAC B．∠PBD＜∠PAC C．∠PBD＞∠PDB D．∠PBD＜∠PDB【分析】根据大边对大角，平行线的判定和性质即可判断；【解答】解：如图，∵直线l是公切线∴∠1=∠B，∠2=∠A，∵∠1=∠2，∴∠A=∠B，∴AC∥BD，∴∠C=∠D，∵PA=10，PC=9，∴PA＞PC，∴∠C＞∠A，∴∠D＞∠B．故选：D．8．（2018•内江）已知⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2=4cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．外高B．外切C．相交D．内切【分析】由⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．【解答】解：∵⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，又∵2+3=5，3﹣2=1，1＜4＜5，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交．故选：C．9．（2018•上海）如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（）A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7【分析】作半径AD，根据直角三角形30度角的性质得：OA=4，再确认⊙B与⊙A相切时，OB的长，可得结论．【解答】解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，∴AD⊥OP，∵∠O=30°，AD=2，∴OA=4，当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，∵BC=3，∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，∴OB=OA+AB=4+2+3=9，∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，故选：A．二．填空题（共7小题）10．（2018•临沂）如图．在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是cm．【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据圆的相关知识即可求得△ABC外接圆的直径，本题得以解决．【解答】解：设圆的圆心为点O，能够将△ABC完全覆盖的最小圆是△ABC的外接圆，∵在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm，∴∠BOC=120°，作OD⊥BC于点D，则∠ODB=90°，∠BOD=60°，∴BD=，∠OBD=30°，∴OB=，得OB=，∴2OB=，即△ABC外接圆的直径是cm，故答案为：．11．（2018•内江）已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，则△ABC的外接圆半径= ．【分析】根据题目中的式子可以求得a、b、c的值，从而可以求得△ABC的外接圆半径的长．【解答】解：∵a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，∴（a﹣1﹣4+4）+（b2﹣10b+25）+|c﹣6|=0，∴（﹣2）2+（b﹣5）2+|c﹣6|=0，∴，b﹣5=0，c﹣6=0，解得，a=5，b=5，c=6，∴AC=BC=5，AB=6，作CD⊥AB于点D，则AD=3，CD=4，设△ABC的外接圆的半径为r，则OC=r，OD=4﹣r，OA=r，∴32+（4﹣r）2=r2，解得，r=，故答案为：．12．（2018•黄冈）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，若AD=6，则AC= 2．【分析】连接BD．在Rt△ADB中，求出AB，再在Rt△ACB中求出AC即可解决问题；【解答】解：连接BD．∵AB是直径，∴∠C=∠D=90°，∵∠CAB=60°，AD平分∠CAB，∴∠DAB=30°，∴AB=AD÷cos30°=4，∴AC=AB•cos60°=2，故答案为2．13．（2018•新疆）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部的面积是．【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°，∴阴影部分的面积是=π，故答案为：14．（2018•扬州）如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，则AB= 2．【分析】根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．【解答】解：连接AD、AE、OA、OB，∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴AB=2，故答案为：2．15．（2018•泰安）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O的直径为4．【分析】连接OB，OC，依据△BOC是等腰直角三角形，即可得到BO=CO=BC•cos45°=2，进而得出⊙O的直径为4．【解答】解：如图，连接OB，OC，∵∠A=45°，∴∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，又∵BC=4，∴BO=CO=BC•cos45°=2，∴⊙O的直径为4，故答案为：4．16．（2018•大庆）已知直线y=kx （k ≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m （m ＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O 相交（点O 为坐标原点），则m的取值范围为 m ＜．【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．【解答】解：把点（12，﹣5）代入直线y=kx 得，﹣5=12k ，∴k=﹣；由y=﹣x 平移平移m （m ＞0）个单位后得到的直线l 所对应的函数关系式为y=﹣x+m （m ＞0），设直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，（如下图所示）当x=0时，y=m ；当y=0时，x=m ，∴A （m ，0），B （0，m ），即OA=m ，OB=m ；在Rt △OAB 中，AB=，过点O 作OD ⊥AB 于D ，∵S △ABO =OD•AB=OA•OB，∴OD•=×，∵m ＞0，解得OD=，由直线与圆的位置关系可知＜6，解得m ＜．故答案为：m ＜．三．解答题（共4小题）17．（2018•福建）如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．（1）求证：BG∥CD；（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．【分析】（1）根据等边对等角得：∠PCB=∠PBC，由四点共圆的性质得：∠BAD+∠BCD=180°，从而得：∠BFD=∠PCB=∠PBC，根据平行线的判定得：BC∥DF，可得∠ABC=90°，AC是⊙O的直径，从而得：∠ADC=∠AGB=90°，根据同位角相等可得结论；（2）先证明四边形BCDH是平行四边形，得BC=DH，根据特殊的三角函数值得：∠ACB=60°，∠BAC=30°，所以DH=AC，分两种情况：①当点O在DE的左侧时，如图2，作辅助线，构建直角三角形，由同弧所对的圆周角相等和互余的性质得：∠AMD=∠ABD，则∠ADM=∠BDE，并由DH=OD，可得结论；②当点O在DE的右侧时，如图3，同理作辅助线，同理有∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，得结论．【解答】（1）证明：如图1，∵PC=PB，∴∠PCB=∠PBC，∵四边形ABCD内接于圆，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠PCB=180°，∴∠BAD=∠PCB，∵∠BAD=∠BFD，∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，∴BC∥DF，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ABC=90°，∴AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵BG⊥AD，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB，∴BG∥CD；（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，∴四边形BCDH是平行四边形，∴BC=DH，在Rt△ABC中，∵AB=DH，∴tan∠ACB==，∴∠ACB=60°，∠BAC=30°，∴∠ADB=60°，BC=AC，∴DH=AC，①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90°，∴∠AMD+∠ADM=90°∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠BDE+∠ABD=90°，∵∠AMD=∠ABD，∴∠ADM=∠BDE，∵DH=AC，∴DH=OD，∴∠DOH=∠OHD=80°，∴∠ODH=20°∵∠AOB=60°，∴∠ADM+∠BDE=40°，∴∠BDE=∠ADM=20°，②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．18．（2018•温州）如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在BD上．（1）求证：AE=AB．（2）若∠CAB=90°，cos∠ADB=，BE=2，求BC的长．【分析】（1）由折叠得出∠AED=∠ACD、AE=AC，结合∠ABD=∠AED知∠ABD=∠ACD，从而得出AB=AC，据此得证；（2）作AH⊥BE，由AB=AE且BE=2知BH=EH=1，根据∠ABE=∠AEB=∠ADB知cos∠ABE=cos∠ADB==，据此得AC=AB=3，利用勾股定理可得答案．【解答】解：（1）由折叠的性质可知，△ADE≌△ADC，∴∠AED=∠ACD，AE=AC，∵∠ABD=∠AED，∴∠ABD=∠ACD，∴AB=AC，∴AE=AB；（2）如图，过A作AH⊥BE于点H，∵AB=AE，BE=2，∴BH=EH=1，∵∠ABE=∠AEB=∠ADB，cos∠ADB=，∴cos∠ABE=cos∠ADB=，∴=．∴AC=AB=3，∵∠BAC=90°，AC=AB，∴BC=3．19．（2018•天门）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据斜边上的中线性质得MC=MG=ME，所以∠G=∠1，接着证明∠1+∠2=90°，从而得到∠OCM=90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线；（2）先证明∠G=∠A，再证明∠EMC=∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出CE，再计算出EF，然后计算ME﹣EF即可．【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图，∵GD⊥AO于点D，∴∠G+∠GB D=90°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵M点为GE的中点，∴MC=MG=ME，∴∠G=∠1，∵OB=OC，∴∠B=∠2，∴∠1+∠2=90°，∴∠OCM=90°，∴OC⊥CM，∴CM为⊙O的切线；（2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°，∴∠1=∠5，而∠1=∠G，∠5=∠A，∴∠G=∠A，∵∠4=2∠A，∴∠4=2∠G，而∠EMC=∠G+∠1=2∠G，∴∠EMC=∠4，而∠FEC=∠CEM，∴△EFC∽△ECM，∴==，即==，∴CE=4，EF=，∴MF=ME﹣EF=6﹣=．20．（2018•泰州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出答案；（2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．【解答】解：（1）DE与⊙O相切，理由：连接DO，∵DO=BO，∴∠ODB=∠OBD，∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，∴∠EBD=∠DBO，∴∠EBD=∠BDO，∴DO∥BE，∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠EDO=90°，∴DE与⊙O相切；（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，∴DE=DF=3，∵BE=3，∴BD==6，∵sin∠DBF==，∴∠DBA=30°，∴∠DOF=60°，∴sin60°===，∴DO=2，则FO=，故图中阴影部分的面积为：﹣××3=2π﹣．。

【精品】2018版中考数学：5.3-与圆有关的位置关系(含答案)(1)

§5.3与圆有关的位置关系A 组2018年全国中考题组一、选择题1．(2018·浙江衢州，10，3分)如图，已知等腰△ABC ，AB ＝BC ，以AB 为直径的圆交AC 于点D ，过点D 的⊙O 的切线交BC 于点E ，若CD＝5，CE ＝4，则⊙O 的半径是A ．3B ．4C.256D.258解析连结DB ，OD 易得DE ⊥BC ，△CDE ∽△ABD ，利用对应线段的比相等，可求得直径AB ，再求得半径．答案D2．(2018·湖北宜昌，11，3分)如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O ，三角尺的直角顶点C 落在直尺的10cm 处，铁片与直尺的唯一公共点A 落在直尺的14cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为B ，下列说法错误的是A ．圆形铁片的半径是4cmB ．四边形AOBC 为正方形C ．弧AB 的长度为4πcmD ．扇形OAB 的面积是4πcm 2解析由题意得：BC ，AC 分别是⊙O 的切线，B ，A 为切点，∴OA ⊥CA ，OB ⊥BC .又∵∠C＝90°，OA ＝OB ，∴四边形AOBC 是正方形，∴OA ＝AC ＝4，故A ，B 正确；∴AB ︵的长度为：90·4π180＝2π，故C 错误；S 扇形OAB ＝90·π·42360＝4π，故D 正确．答案C3．(2018·四川泸州，8，3分)如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，若∠C ＝65°，则∠P 的度数为()A ．65°B ．130°C ．50°D ．100°解析∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB ＝2∠C＝130°，则∠P＝360°－(90°＋90°＋130°)＝50°.答案C4．(2018·福建漳州，9，4分)已知⊙P的半径为2，圆心在函数y＝－8x的图象上运动，当⊙P与坐标轴相切于点D时，则符合条件的点D的个数为()A．0B．1C．2D．4解析根据题意可知，当⊙P与y轴相切于点D时，得x＝±2.把x＝±2代入y＝－8x得y＝±4，∴D(0，4)，(0，－4)；当⊙P与x轴相切于点D时，得y＝±2.把y＝±2代入y＝－8x得x＝±4，∴D(4，0)，(－4，0)，∴符合条件的点D的个数为4.答案D二、填空题5．(2018·浙江绍兴，14，5分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB.若PB＝4，则P A的长为________．解析连结CP，延长PB交⊙C于P′，连结P′A，如图．∵CP＝5，CB＝3，PB＝4，∴CB2＋PB2＝CP2，∴△CPB为直角三角形，∠CBP＝90°，∴CB⊥PB，∴PB＝P′B＝4.∵∠C＝90°，∴PB∥AC，而PB ＝AC＝4，∴四边形ACBP为矩形，∴P A＝BC＝3，在Rt△APP′中，∵PA＝3.PP′＝8，∴P′A＝82＋32＝73，∴P A的长为3或73.答案3或73三、解答题6．★(2018·浙江温州，21，10分)如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点C，交半圆于点E，DF切半圆于点F.已知∠AEF＝135°.(1)求证：DF∥AB；(2)若OC＝CE，BF＝22，求DE的长．(1)证明连结OF，∵DF切半圆O于点F，∴DF⊥OF.∵∠AEF＝135°，四边形ABFE为圆内接四边形，∴∠B＝45°.∴∠FOA＝90°，∴AB⊥OF，∴DF∥AB.。

专题复习：与圆有关的位置关系(2018年中考版)

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专题复习：与圆有关的位置关系知识点一、点与圆的位置关系1.设圆O 的半径为r,点P 到圆心的距离为OP=d.则:点P在圆外⇔____；点P 在圆上⇔____;点P 在圆内⇔____。

2。

确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定_____圆.3.三角形的外心：三角形外接圆的圆心,三角形三边的___________的交点.例题解析：例题1、（2017•遂宁)如图，⊙O 的半径为6，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB 、OC ，若∠BAC 与∠BOC 互补，则线段BC 的长为( ）A ．B ．3C ．D ．6例题2、(2018·温州中考)如图,D 是△ABC 的BC 边上一点，连接AD,作△ABD 的外接圆，将△ADC 沿直线AD 折叠，点C 的对应点E 落在圆上。

(1)求证：AE=AB 。

(2)若∠CAB=90°,cos∠ADB= ,BE=2，求BC 的长.【方法指导】三角形外接圆的相关问题（1)三角形的外心是三角形外接圆圆心,也是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等.(2）三角形的外接圆只有一个，即对于给定的三角形,其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数多个知识点二、直线与圆的位置关系1。

三种位置关系:_____、_____、_____.2。

2018年中考数学试题分类汇编知识点34 与圆有关的位置关系

知识点34 与圆有关的位置关系一、选择题1. （2018四川泸州，10题，3分）在平面直角坐标系内，以原点O 为原心，1为半径作圆，点P 在直线y =+上运动，过点P 作该圆的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为（）【答案】D【解析】由题可知，B （-2,0），C （0，32），P 为直线上一点，过P 作圆O 的切线PA ，连接AO ，则在Rt △PAO 中，AO=1，由勾股定理可得22AO PO PA -=，要想使PA 最小，要求PO 最小，所以过点O 作OP ⊥BC 于点P ，此时PO=3，PA=2【知识点】一次函数，圆的切线，勾股定理2. （2018四川内江，7，3）已知⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为2cm ，圆心距O 1O 2＝4cm ，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【答案】C【解析】解：∵3－2＜O 1O 2＜3＋2，∴⊙O 1与⊙O 2的位置关系是相交．故选择C ．【知识点】圆与圆的位置关系3. （2018江苏无锡，8，3分）如图，矩形ABCD 中，G 是BC 的中点，过A 、D 、G 三点的O 与边AB 、CD 分别交于点E 、F.给出下列说法：(1)AC 与BD 的交点是O 的圆心；(2)AF 与DE 的交点是O 的圆心；(3)BC 与O相切.其中正确说法的个数是（） A.0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【思路分析】利用圆周角定理的推理确定O的圆心，进而判定(1)、(2)的正确性；连接OG，通过证明OG⊥BC 说明BC与O相切.【解题过程】∵矩形ABCD中，∴∠A=∠D=90°，∴AF与DE都是O的直径，AC与BD不是O的直径，∴AF与DE的交点是O的圆心，AC与BD的交点不是O的圆心，∴(1)错误、(2)正确.连接AF、OG，则点O为AF的中点，∵G是BC的中点，∴OG是梯形FABC的中位线，∴OG∥AB，∵AB⊥BC，∴OG⊥BC，∴BC与O相切.∴(3)正确.综上所述，正确结论有两个.【知识点】矩形的性质、圆周角定理的推论、梯形中位线的判定与性质、圆的切线的判定4.（2018·重庆B卷，10，4）如图，△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD＝23，则线段CD的长是（）A．2 B．32D【答案】B．【解析】如下图，连接OD，则由AD切⊙O于点D，得OD⊥AC．∵在Rt△AOD中，∠A＝30°，AD＝，tan A＝ODAD，∴OD＝AD•，tanA＝tan30°＝3＝2．∴AO＝2OD＝4，AB＝OA＋OB＝6．∵∠AOD＝90°－∠A＝60°，∴∠ABD＝12∠AOD＝30°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD＝60°．∴∠C＝90°＝∠ADO．∴OD∥BC．∴AD AODC OB=42=．∴DC．【知识点】圆圆的切线相似三角形5. （2018山东烟台，10，3分）如图四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD 的延长线上，则∠CDE的度数是（）A．56° B．62° C．68° D．78°【答案】Ｃ【解析】∵点I是△ABC的内心，∴AI、CI是△ABC的角平分线，∴∠AIC=90°+12∠B=124°，∴∠B=68°．∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDE=∠B＝68°，故选C．【知识点】三角形内心；圆内接四边形的性质；6.（2018四川省德阳市，题号9，分值：3）已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（）A.2B.1C.D.第9题答图【答案】B.【解析】如图，设△ABC的边长为a，由正三角形的面积公式得S△ABC=，∴==，解得a=2或-2（舍），∴BC=2.∵∠BAC=60°，BO=CO，∴∠BOC=120°，则∠BCO=30°.∵OH⊥BC，∴BH=BC=1，在Rt△BOH中，BO=BH÷cos30°=，所以圆的半径r=.则OF=.如图，正六边形内接于圆，且半径为，可知∠EOF=60°，在△EOF中，OE=OF，OD⊥EF，∴∠EOD=30°.在Rt△DOE中，OD=OF·cos30°=×=1.所以边心距为1.【知识点】正多边形和圆1. （2018湖北鄂州，8，3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，AC是⊙O的直径，OP 与AB 相交于点D ，连接BC ．下列结论：①∠APB ＝2∠BAC ；②OP ∥BC ；③若tanC ＝3，则OP ＝5BC ；④AC 2＝4OD ·OP ．其中正确的个数为（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A ．【思路分析】利用切线长定理证明Rt △APO ≌Rt △BPO ，再利用同角的余角相等，可证得∠AOP ＝∠C ，得到OP ∥BC ，∠APB ＝2∠BAC ，故①②正确；利用勾股定理和∠AOP ＝∠C ，可证得OP ＝()1122310101010522OA OA OA AC BC BC +====，故③正确；利用两角对应相等的两个三角形相似的判定定理证明△ABC ∽△PAO ，再通过等量代换可证得AC 2＝4OD ·OP ，故④正确．【解析】解：A 选项，设OP 与⊙O 交于点E ，∵ PA 、PB 是⊙O 的切线，∴PA ＝PB ，∠PAO ＝∠PBO ＝90°，则在Rt △APO和Rt △BPO 中，∵OA OBAP BP ==⎧⎨⎩，∴Rt △APO ≌Rt △BPO （HL ），∴∠APB ＝2∠APO ＝2∠BPO ，∠AOE ＝∠BOE ，∴∠AOP ＝∠C ，∴OP ∥BC ，故②正确；∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，∴∠BAC ＋∠C ＝90°，∵∠PAO ＝90°，∴∠APO ＋∠AOP ＝90°，即∠C ＋∠APO ＝90°，∴∠APO ＝∠BAC ， ∴∠APB ＝2∠APO ＝2∠BAC ，故①正确；∵tanC ＝3，∴tan ∠AOP ＝3，则在Rt △ABC 中，3AB BC=，则AB ＝3BC ，故AC ＝()22310BC BCBC +=，在Rt △BPO 中，3AP AO=，则AP ＝3OA ，故OP ＝()1122310101010522OA OA OA AC BC BC +====，故③正确；∵OA ＝OC ，OP ∥BC ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ＝12BC ，BC ＝2OD ，在△ABC 和△P AO 中，∵∠OAP ＝∠ABC ＝90°，∠AOP ＝∠C ，∴△ABC ∽△PAO ，∴AC BC OP OA =，∴212AC OD OP AC =，∴4AC OD OP AC =，∴AC 2＝4OD ·OP ，故④正确．故选A ．【知识点】切线长定理；相似三角形的性质和判定；中位线定理；勾股定理；平形线的判定定理；全等三角形的判定定理2. （2018·重庆A 卷，9，4）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 与⊙O 相切于点D ，过点B 作PD 的垂线交PD 的延长线于点C ．若⊙O 的半径为4，BC ＝6，则PA 的长为（） A ．4 B ．3．3 D ．2.5 【答案】A ．【解析】如下图，连接OD ．ODCA P∵PC 切⊙O 于点D ， ∴OD ⊥PC ． ∵⊙O 的半径为4， ∴PO ＝PA ＋4，PB ＝PA ＋8． ∵OD ⊥PC ，BC ⊥PD ， ∴OD ∥BC ．∴△POD∽△PBC．∴OD POBC PB=，即4468PAPA+=+，解得PA＝4．故选A．【知识点】圆；直线与圆的位置关系；切线的性质；相似三角形的判定与3. （2018河北省，15，2）如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．4.5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】设△ABC的AB边上的高为h，△MNI的MN边上的高为r，周长为a，则△ABC的内切圆半径为r．∴△ABC的面积＝AB·h＝（AB＋BC＋AC）·r．∴4h＝9r．∴．∵△MNI∽△ABC，∴【知识点】三角形的内心，三角形相似4. （2018湖北宜昌，12，3分）如图，直线AB是O的切线，C为切点，//OD AB交O于点D，点E在O 上，连接OC EC ED,,，则CED∠的度数为( )(第12题图)A．30° B．35° C.40° D．45°【答案】D【解析】∵直线AB 是O 的切线，C 为切点，∴∠OCB =90°，∵//OD AB ，∴∠COD =90°，∴∠CED =45°，故选择D.【知识点】圆的切线，圆心角，圆周角，平行线的性质.5. （2018广东省深圳市，10，3分）如图，一把直尺，80°的直角三角板和光盘如图摆放，A 为60︒角与直尺交点，3AB =,则光盘的直径是( )A ．3B ． 33． 6 D ．63【答案】D ．【思路分析】由切线长定理定理可得，∠CAO ＝∠OAB ，从而求出∠BAO 的度数，再在Rt △OAB 中，用60°角的正切即可求出半径的长．【解析】解：如图，设圆心为点O ，设另一个切点为点C ，连接OA 、OB 、OC ，则由切线长定理可得，∠CAO ＝∠OAB ＝12（180°－60°）＝60°，则在Rt △OAB 中，tan ∠BAO ＝OB AB，即tan 6033OB =︒=解得OB ＝33故直径为63．故选D ．【知识点】切线的性质；切线长定理；锐角三角函数6.（2018湖北荆门，9，3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，()4,0A ，()0,3B ，()4,3C ，I 是ABC ∆的内心，将ABC ∆绕原点逆时针旋转90后，I 的对应点I '的坐标为（）A ．()2,3-B ．()3,2- C.()3,2- D ．()2,3- 【答案】A.【解析】∵I 是△ABC 的内心，()4,0A ，()0,3B ，()4,3C ， ∴I 的坐标为（3，2），∴将ABC ∆绕原点逆时针旋转90后，I 的对应点I ′的坐标为（-2，3）. 故选A.【知识点】三角形的内心，作图-旋转变换7. （2018山东省泰安市，9，3）如图，BM 与O 相切于点B ，若140MBA ∠=，则ACB ∠的度数为（）A ．40B ．50C ．60D ．70【答案】A【解析】（1）根据圆的切线性质可知：∠OBM=90°从而求得∠ABO=50°；（2）连接OA 、OB ，可求得∠AOB 的度数；（3）根据圆周角性质定理可得结论. 解：连接OA 、OB ， ∵BM 与O 相切 ∴∠OBM=90°∵140MBA ∠= ∴∠ABO=50° ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO =50° ∴∠AO B=80° ∴ACB ∠=40【知识点】圆的切线的性质，圆周角性质定理，等腰三角形性质二、填空题1. （2018四川内江，24，6）已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足a ＋2b ＋｜c －6｜＋28＝1a -10b ，则△ABC的外接圆半径＝．【答案】258【思路分析】将已知a ＋2b ＋｜c －6｜＋28＝1a -10b 进行分组，配成完全平方式，利用平方数，绝对值的非负性求出a ，b ，c 的值，从而确定三角形的形状，然后求出外接圆半径．【解题过程】解：原式整理得：2b －10b ＋25＋a －1－1a -4＋｜c －6｜＝0，()25b -＋(21a -－1a -＋4＋｜c －6｜＝0，()25b -＋)212a -＋｜c －6｜＝0，∵()25b -≥0，)212a -≥0，｜c －6｜≥0，∴b ＝5，c ＝6，a ＝5，∴△ABC 为等腰三角形．如图所示，作CD ⊥AB ，设O 为外接圆的圆心，则OA ＝OC ＝R ，∵AC ＝BC ＝5，AB ＝6，∴AD ＝BD ＝3，∴CD 22AC AD -4，∴OD ＝CD －OC ＝4－R ，在Rt △AOD 中，2R ＝23＋()24R-，解得R＝258．BCODA【知识点】完全平方公式；绝对值；勾股定理；等腰三角形外接圆；2. （2018安徽省，12，5分）如图,菱形ABOC的AB，AC分别与⊙O相切于点D,E若点D是AB的中点,则∠DOE【答案】60°【解析】连接OA，根据菱形的性质得到△AOB是等边三角形，根据切线的性质求出∠AOD，同理计算即可．解：连接OA，∵四边形ABOC是菱形，∴BA=BO，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD ⊥AB ， ∴∠AOD=12∠AOB=30°，同理，∠AOE=30°，∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°，故答案为：60．【知识点】切线的性质；菱形的性质．3. （2018湖南岳阳，16，4分）.如图，以AB 为直径的O 与CE 相切于点C ，CE 交AB 的延长线于点E ，直径18AB =，30A ∠=，弦CD AB ⊥，垂足为点F ，连接AC ，OC ，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①BC BD =；②扇形OBC 的面积为274π；③OCF OEC ∆∆；④若点P 为线段OA 上一动点，则AP OP ⋅有最大值20.25.【答案】①③④.【解析】解：∵AB 是⊙O 的直径，且CD ⊥AB ， ∴BC BD =，故①正确； ∵∠A=30°， ∴∠COB=60°， ∴扇形OBC=ππ227)2(360602=AB ··，故②错误； ∵CE 是⊙O 的切线， ∴∠OCE=90°，∴∠OCD=∠OFC ，∠EOC=∠COF ， ∴OCFOEC ∆∆，故③正确；设AP=x ，则OP=9-x ，∴AP ·OP=x (9-x )=-x 2+9x =481)29(2+-x -， ∴当x =29时，AP ·OP 的最大值为481=20.25，故④正确. 故答案为①③④.【知识点】垂径定理，扇形面积计算公式，相似三角形的判定，二次函数的性质4. （2018江苏连云港，第14题，3分）如图，AB 是⊙O 的弦，点C 在过点B 的切线上，且OC ⊥OA ，OC 交AB于点P ，已知∠OAB =22°，则∠OCB =__________°. 【答案】44【解析】解：连接OB .∵OA =OB ，∴∠OBA =∠OAB =22°，∴∠AOB =136°，∵OC ⊥OA ，∴∠AOC =90°，∴∠COB =46°，∵CB 是⊙O 的切线，∴∠OBC =90°，∴∠OCB =90°－46°=44°，故答案为：44°.【知识点】切线的性质；直角三角形的性质5. （2018江苏泰州，16，3分）如图，△ABC 中，∠ACB =90°，sin A =513，AC =12，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△A′B′C ，P 为线段A′B′上的动点，以点P 为圆心、PA '长为半径作⊙P ，当⊙P 与△ABC 的边相切时，⊙P 的半径为 . 【答案】15625或10213【解析】设⊙P的半径为r，∵∠ACB=90°，∴BCAB=sin A=513，222BC AC AB+=，∵AC=12，∴BC=5，AB=13，由旋转得∠A′CB′=∠ACB=90°，∠A′=∠A，A′C= AC=12，B′C= BC=5，A′B′=AB=13，∴∠A′CB=180°，∴A′、C、B′三点共线，∵点P到直线BC的距离小于半径P′A，∴⊙P与直线BC始终相交，过点P作PD⊥AC于点D，则∠B′DP=∠B′CA′=90°，∵∠DB′P=∠CB′A′，∴△B′DP∽△B′CA′，∴PD PBA C A B'='''，∴13 1213 PD r-=，∴12(13)12121313rPD r-==-，当⊙P与AC边相切时，PD=PA′，∴121213r r-=，∴15625r=，延长A′B′交AB于点E，∵∠A＋∠B=90°，∠A′=∠A，∴∠A′＋∠B=90°，∴∠A′EB=90°，同上得122041313A E A B''==，当⊙P与AB边相切时，A′E=2PA′，∴10213r=，综上所述，⊙P的半径为15625或10213.【知识点】锐角三角函数，直线与圆的位置关系6.（2018山东威海，16，3分）在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为______．【答案】135°【解析】连接CE，∵∠ADC＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝90°；∵⊙E内切于△ADC，∴∠EAC＋∠ECA＝45°，∴∠AEC＝135°；∵△AE≌△EB，∴∠AEB＝∠AEC＝135°．【知识点】三角形的内切圆、全等三角形的判定与性质7. （2018四川省宜宾市，13，3分）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1,若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，S= .(结果保留根号）【答案】23【解析】如图：根据题意可知OH=1,∠BOC=60°，∴△OBC为等边三角形，∴BHOHtan∠BOH，∴BH=33,∴S=12×33×1×1233【知识点】正多边形的计算；解直角三角形8. （2018浙江湖州，14，4）如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是．【答案】70°【解析】∵⊙O内切于△ABC，∴OB平分∠ABC．∵∠ABC＝40°，∴∠OBD＝20°．∴∠BOD＝70°．故填70°. 【知识点】三角形的内切圆，切线长定理9.（2018宁波市，17题，4分）如图，正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连结PM,以点P为圆心,PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为___________M DAB CP【答案】3或【解析】解：(1)当⊙P与DC相切时，如图（1）所示，设BP=x，则PC=8-x;∵DC于圆相切，∴PC=PM又∵M是AB中点∴BM=4在Rt△BMP中，根据勾股定理可得∵BM2+BP2=MP2∴x2+42=(8-x)2∴解得：x=3∴BP=3(2)如图（2）所有当⊙P与DA相切时过点P作PE⊥AD,交AD与点E∵⊙P与DA相切与点E∴EP=MP=8在Rt△BMP中，根据勾股定理可得∵BM2+BP2=MP2MDAB CPMDAB CP（第17题图）图1∴BP=综上所述：BP 的值为3或【知识点】切线的判定、勾股定理10. （2018浙江温州，16，5）.小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形.图2中留个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形，若PQ 所在的直线经过点M ，PB=5cm ，小正六边形的面积为4932cm 2，则该圆的半径为 cm.【答案】8【思路分析】设小正六边形的中心为O 连接OP,OA,OB,OC,OD ，连接CP 得两个等边三角形，利用小正六边形的面积得小正六边形的边长为337所以得OP=7，在△OPB 中解三角形得到OB=8所以圆的半径为8 【解题过程】设小正六边形的中心为O,连接OP,OB,OC,OD ，连接CP 得两个等边三角形，利用小正六边形的面积为6个小等边三角形得设小正六边形的边长为x,所以每个小等边三角形的面积为243x ，得32494362=⨯x ，得x=337所以再利用四边形OCPD 为菱形得OP=73337=⨯，在△OPB 中解三角形，过点P 作PH ⊥OB 因为∠OBP=60°∠HPB=30°得到BH=2521=BP ,PH=235,所以在△OPH 中利用勾股定理得OH=211,所以OB=8所以圆的半径为8图2【知识点】圆的内接正六边形的性质，正六边形的面积，解三角形，菱形的性质和判定，等边三角形的判定和性质。

中考数学压轴题考点训练圆的有关位置关系试题及答案解析

中考数学压轴题考点训练圆的有关位置关系【考点 1】点与圆的位置关系【例1】（2018·浙江中考真题）用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（）A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆心上D．点在圆上或圆内【答案】D【解析】【分析】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．【解答】用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点应该在圆内或者圆上.故选 D.【点评】考查反证法以及点和圆的位置关系，解题的关键是掌握点和圆的位置关系.【变式1-1】（2016·湖北中考真题）在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形为边长均相等），现计划修建一座以O为圆心，O A为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（）A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F 【答案】A【解析】试题分析：根据圆与直线的位置关系可得：点 E、F、G 在圆内，点 H 在圆外.考点：点与圆的位置关系【变式1-2】（2017·山东中考真题）如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有 3 个在圆内，则 r 的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：给各点标上字母，如图所示． AB= =，AC=AD==，AE==，AF==，AG=AM=AN==5，∴时，以 A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个在圆内．故选 B．考点：点与圆的位置关系；勾股定理；推理填空题．【考点 2】直线与圆的位置关系【例 2】（2018·黑龙江中考真题）已知直线 y=kx （k ≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移 m （m ＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为 6 的⊙O 相交（点 O 为坐标原点），则 m 的取值范围为_．【答案】0<m ＜ 132 【解析】【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．【详解】把点（12，﹣5）代入直线 y=kx 得，﹣5=12k ，∴k=﹣ 5 ；12 由 y=﹣ 5 x 平移 m （m ＞0）个单位后得到的直线 l 所对应的函数关系式为 y=﹣ 5 x+m （m 12 12＞0），设直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 、B ，（如图所示）当 x=0 时，y=m ；当 y=0 时，x=12 m ， 5 ∴A （ 12 m ，0），B （0，m ），5 即 OA= 12 m ，OB=m ，5在 Rt△OAB 中，过点 O 作 OD⊥AB 于 D ，∵S △ABO = 1 OD•AB= 1 OA•OB，= 13 m ， 5 2 2∴ 1 OD• 13 m = 1 × 12 m×m，2 5 2 5∵m＞0，解得 OD= 12 m，13由直线与圆的位置关系可知12 m ＜6，解得 m＜13 ，13 2故答案为 0<m＜13 .2【点睛】本题考查了直线的平移、直线与圆的位置关系等，能用含 m 的式子表示出原点到平移后的直线的距离是解题的关键.本题有一定的难度，利用数形结合思想进行解答比较直观明了.【变式2-1】（2019·广东中考真题）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P 可作⊙O 的切线条数为（）A．0 条B．1 条C．2 条D．无数条【答案】C【解析】【分析】首先判断点与圆的关系，然后再分析 P 可作⊙O 的切线条数即可解答.【详解】解：因为点 P 到 O 的距离为 2，大于半径 1，所以点 P 在圆外，所以，过点 P 可作⊙O 的切线有 2 条；故选 C.13 13 12 2 +182 13 AC 2 + CD 2 【点睛】本题考查了点与圆的关系、切线的定义，熟练掌握是解题的关键.【变式 2-2】（2019·浙江中考真题）如图， Rt ∆ABC 中， ∠C = 90︒ ， AC = 12，点 D 在边 BC 上，CD = 5 ，BD = 13 .点 P 是线段 AD 上一动点，当半径为 6 的圆 P 与∆ABC 的一边相切时，AP 的长为 .【答案】13 或3 2 【解析】【分析】根据勾股定理得到 AB == 6 ， AD == 13，当⊙P 于 BC 相切时，点 P 到 BC 的距离=6，过 P 作 PH⊥BC 于 H ，则 PH=6，当⊙P 于 AB 相切时，点 P 到 AB 的距离=6，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】∵在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BD+CD=18，∴ AB = = 6 ，在 Rt△ADC 中，∠C=90°，AC=12，CD=5，∴ AD = = 13，当⊙P 于 BC 相切时，点 P 到 BC 的距离=6，过 P 作 PH⊥BC 于 H ，则 PH=6，122 +182 AC 2 + CD 26 13 13∵∠C=90°，∴AC⊥BC，∴PH∥AC，∴△DPH∽△DAC，∴ PD ＝ PH ，DA AC ∴PD = 6 ， 13 12 ∴PD=6.5，∴AP=6.5；当⊙P 于 AB 相切时，点 P 到 AB 的距离=6，过 P 作 PG⊥AB 于 G ，则 PG=6，∵AD=BD=13，∴∠PAG=∠B，∵∠AGP=∠C=90°，∴△AGP∽△BCA，∴ AP ＝ PG ，AB AC ∴ AP = 6 ， 12∴AP=3 ，13 13 ∵CD=5＜6，∴半径为 6 的⊙P 不与△ABC 的 AC 边相切，综上所述，AP 的长为 6.5 或 3 ，故答案为 6.5 或 3 ．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练正确切线的性质是解题的关键．【考点 3】切线的判定与性质的应用【例 3】（2019·湖北中考真题）如图， ∆ABC 中， AB = AC ，以 AC 为直径的⊙ O 交 BC 于点D ，点E 为C 延长线上一点，且∠CDE = 1 ∠BAC ．2（1）求证： DE 是⊙ O 的切线；（2）若 AB = 3BD , CE = 2 ，求⊙ O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）7【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ADC = 90 ，按照等腰三角形的性质和已知的2 倍角关系，证明 ∠ODE 为直角即可；（2）通过证得∆CDE ~ ∆DAE ，根据相似三角形的性质即可求得．【详解】（1）如图，连接OD, AD ，AC 是直径，∴∠ADC = 90︒，∴AD ⊥BC ，AB =AC ，∴∠CAD =∠BAD =1∠BAC ，2∠CDE =1∠BAC ．2∴∠CDE =∠CAD，OA =OD ，∴∠CAD =∠ADO ，∠ADO +∠ODC = 90︒，∴∠ODC +∠CDE = 90︒∴∠QDF = 90︒又 OD 是⊙ O 的半径∴DE 是⊙ O 的切线；（2） AB =AC, AD ⊥BC ，∴BD =CD ，2 2x AB =3BD ，∴AC = 3DC ，设DC =x ，则AC = 3x ，∴AD = = 2 2x，∠CDE =∠CAD, ∠DEC =∠AED ，∴∆CDE'~ ∆DAE ，∴CE=DC=DE ，即 2 =x=DE DE AD AE DE 3x + 2∴DE = 4 2, x =14 ，3∴AC = 3x = 14 ，∴⊙ O 的半径为7 ．【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形．【变式3-1】（2019·辽宁中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以 AD 为直径的⊙O 与边 BC 相切于点 E，与边 AC 相交于点 G，且AG ＝EG ，连接 GO 并延长交⊙O 于点 F，连接 BF．（1）求证：①AO＝AG．②BF 是⊙O 的切线．（2）若 BD＝6，求图形中阴影部分的面积．AC2 - DC2【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）S 阴影＝27 3- 6π．2【解析】【分析】（1）①先利用切线的性质判断出∠ACB＝∠OEB，再用平行线结合弧相等判断出∠AOG＝∠AGO，即可得出结论；②先判断出△AOG 是等边三角形，进而得出∠BOF＝∠AOG＝60°，进而判断出∠EOB＝60°，得出△OFB≌△OEB，得出∠OFB＝90°，即可得出结论；（2）先判断出∠ABC＝30°，进而得出 OB＝2BE，建立方程 6+r＝2r，继而求出 AG＝6，AB＝18，AC＝9，CG＝3，再判断出△OGE 是等边三角形，得出 GE＝OE＝6，进而利用根据勾股定理求出 CE＝3【详解】，即可得出结论．解：（1）证明：①如图 1，连接 OE，∵⊙O 与 BC 相切于点 E，∴∠OEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠OEB，∴AC∥OE，∴∠GOE＝∠AGO，3∵AG ＝EG，∴∠AOG＝∠GOE，∴∠AOG＝∠AGO，∴AO＝AG；②由①知，AO＝AG，∵AO＝OG，∴∠AO＝OG＝AG，∴△AOG 是等边三角形，∴∠AGO＝∠AOG＝∠A＝60°，∴∠BOF＝∠AOG＝60°，由①知，∠GOE＝∠AOG＝60°，∴∠EOB＝180°﹣∠AOG﹣∠GOE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠FOB＝∠EOB，∵OF＝OE，OB＝OB，∴△O FB≌△OE B（SAS），∴∠OFB＝∠OEB＝90°，∴OF⊥BF，∵OF 是⊙O 的半径，∴BF 是⊙O 的切线；（2）如图 2，连接 GE，62 - 32 3 3 27 3∵∠A＝60°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，∴OB＝2BE ，设⊙O 的半径为 r ，∵OB＝OD+BD ，∴6+r＝2r ，∴r＝6，∴AG＝OA ＝6，AB ＝2r+BD ＝18，∴AC＝ 1 AB ＝9，∴CG＝AC ﹣AG ＝3，2由（1）知，∠EOB＝60°，∵OG＝OE ，∴△OGE 是等边三角形，∴GE＝OE ＝6，根据勾股定理得，CE= = 3 ，∴S ＝S ﹣S ＝ 1 （6+3）× - 60π• 62 = - π．阴影【点睛】梯形 GCEO 扇形 OGE 2 3 6 360 2 此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质和判定，勾股定理，含 30 度角的直角三角形的性 GE 2 - CG 2质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形和扇形的面积公式，判断出⊙O 的半径是解本题的关键．【变式3-2】（2019·湖北中考真题）如图，在Rt ABC 中，∠ACB＝90︒，D 为AB的中点，以CD 为直径O 的分别交AC，BC 于点E，F 两点，过点F 作FG ⊥AB 于点G .(1)试判断FG 与O 的位置关系，并说明理由．(2)若AC＝3，CD＝2.5 求FG 的长．【答案】（1）FG与【解析】【分析】O相切，理由见解析；（2）FG=6.5(1)如图，连接OF ，根据直角三角形的性质得到CD＝BD ，得到∠DBC＝∠DCB ，根据等腰三角形的性质得到∠OFC＝∠OCF ，得到∠OFC＝∠DBC ，推出∠OFG＝90︒，于是得到结论；(2)连接DF ，根据勾股定理得到BC =据三角函数的定义即可得到结论．【详解】= 4，根据圆周角定理得到∠DFC＝90︒，根（1）相FG与O 切，理由：如图，连接OF ，AB2 -AC2∠ACB ＝90︒，D 为 AB 的中点，∴CD ＝BD∴∠DBC ＝∠DCBOF ＝OC∴∠OFC ＝∠OCF∴∠OFC ＝∠DBC∴OF / / DB∴∠OFG + ∠DGF ＝180︒，FG ⊥ AB∴∠DGF ＝90︒，∴∠OFG ＝90︒∴ F G 与 O 相切；(2)连接 D F ，CD ＝2.5∴ AB ＝2CD ＝5BC == 4CD 为 O 的直径，∴∠DFC ＝90︒，∴ FD ⊥ BCDB ＝DC∴ BF = 1 BC = 22sin ∠ABC = AC = FG ABFB即 3 = FG ，5 2 ∴ FG =6 .5【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式 3-2】（2019·甘肃中考真题）如图，在 Rt ∆ABC 中， ∠C ＝90︒ ，以 BC 为直径的⊙ O 交 AB 于点 D ，切线 DE 交 AC 于点 E ．（1）求证： ∠A ＝∠ADE ；（2）若 AD ＝8，DE ＝5 ，求 BC 的长．【答案】（1）见解析；（2） BC = 152【解析】【分析】（1）只要证明∠A+∠B=90°，∠ADE+∠B=90°即可解决问题；（2）首先证明 AC=2DE=10，在 Rt△ADC 中，DC=6，设 BD=x ，在 Rt△BDC 中，BC 2=x 2+62，在 Rt △A BC 中，BC 2=（x+8）2-102，可得 x 2+62=（x+8）2-102，解方程即可解决问题．【详解】（1）证明：连接OD ，DE 是切线，∴∠ODE＝90︒，∴∠ADE +∠BDO＝90︒，∠ACB＝90︒，∴∠A +∠B＝90︒，OD＝OB ，∴∠B＝∠BDO ，∴∠ADE＝∠A．（2）解：连接CD ．∠ADE＝∠A，∴AE＝DE ，BC 是⊙ O 的直径，∠ACB＝90︒，∴EC 是⊙ O 的切线，∴ED＝EC ，∴AE＝EC ，DE＝5，∴AC＝2DE＝10 ，在Rt∆ADC 中，DC＝6 ，设 BD ＝x ，在 Rt ∆BDC 中， BC 2＝x 2 + 62 ，在 Rt ∆ABC 中， BC 2＝（x + 8）2﹣102 ，∴ x 2 + 62＝（x + 8）2﹣102 ，解得 x = 9， 2∴ BC =【点睛】= 15 2 本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【考点 4】三角形的内切圆与切线长定理【例 4】（2019·江苏中考真题）如图，PA 、PB 是 O 的切线，A 、B 为切点，点 C 、D 在⊙O 上．若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝_°．【答案】219【解析】【分析】连接 AB ，根据切线的性质得到 PA ＝PB ，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA＝ 12（180°−102°）＝39°，由圆内接四边形的性质得到∠DAB＋∠C＝180°，于是得到结论．【详解】解：连接 AB ，∵PA、PB 是⊙O 的切线，62 + ⎛ 9 ⎫2 ⎝ 2 ⎭ ⎪∴PA＝PB，∵∠P＝102°，∴∠PAB＝∠PBA＝1 （180°−102°）＝39°，2∵∠DAB＋∠C＝180°，∴∠PAD＋∠C＝∠PAB＋∠DAB＋∠C＝180°＋39°＝219°，故答案为：219°．【点睛】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式4-1】（2019·山西中考真题）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：莱昂哈德·欧拉(L e o n h a r d E u l e r)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr.如图 1，⊙O 和⊙I 分别是△ABC 的外接圆和内切圆，⊙I 与 AB 相切分于点 F，设⊙O 的半径为 R，⊙I 的半径为 r，外心 O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心 I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离 OI＝d，则有 d2＝R2﹣2Rr．下面是该定理的证明过程（部分）：延长 AI 交⊙O 于点 D，过点 I 作⊙O 的直径 MN，连接 DM，AN.∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，5 ∴△MDI∽△ANI，∴IM = ID ， IA IN ∴ IA ⋅ ID = IM ⋅ IN ①，如图 2，在图 1(隐去 MD ，AN)的基础上作⊙O 的直径 DE ，连接 BE ，BD ，BI ，IF ，∵DE 是⊙O 的直径，∴∠DBE=90°，∵⊙I 与 AB 相切于点 F ，∴∠AFI=90°，∴∠DBE=∠IFA，∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，∴△AIF∽△EDB，∴IA = IF ，∴ IA ⋅ BD = DE ⋅ IF ②， DE BD 任务：(1)观察发现： IM = R + d ， IN =(用含 R ，d 的代数式表示)；(2)请判断 BD 和 ID 的数量关系，并说明理由；(3)请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；(4)应用：若△ABC 的外接圆的半径为 5cm ，内切圆的半径为 2cm ，则△ABC 的外心与内心之间的距离为 cm.【答案】(1)R-d ；(2)BD=ID ，理由见解析；(3)见解析；(4) .【解析】【分析】(1)直接观察可得；(2)由三角形内心的性质可得∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，由圆周角定理可得∠DBC=∠CAD，再根据三角形外角的性质即可求得∠BID=∠DBI，继而可证得 BD=ID；(3)应用(1)(2)结论即可；(4)直接代入结论进行计算即可．【详解】(1)∵O、I、N 三点共线，∴OI+IN＝ON，∴I N＝ON﹣OI＝R﹣d，故答案为：R﹣d；(2)BD=ID，理由如下：∵点 I 是△ABC 的内心，∴∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，∵∠DBC=∠CAD，∠BID=∠BAD+∠ABI，∠DBI=∠DBC+∠CBI，∴∠BID=∠DBI，∴BD=ID；(3)由(2)知：BD=ID，又IA⋅ID =IM ⋅IN ，IA ⋅BD =DE ⋅IF ，∴DE·IF=IM·IN，∴ 2Rr = (R +d )(R -d )，∴ R2 -d 2 = 2Rr55∴ d 2 =R2 - 2Rr ；(4)由(3)知：d 2 =R2 - 2Rr ，把 R=5，r=2 代入得：d 2 = 52 - 2 ⨯ 5⨯ 2 = 5 ，∵d>0，∴d =，故答案为：.【点睛】本题是圆综合题，主要考查了三角形外接圆、外心和内切圆、内心，圆周角性质，角平分线定义，三角形外角性质等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键.【变式4-2】（2018·湖南中考真题）如图，在△A BC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE 交 BA 的延长线于点 E，BC=8，AD=3．（1）求 CE 的长；（2）求证：△ABC 为等腰三角形．（3）求△ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离．【答案】（1）CE=6；（2）证明见解析；（3）△A BC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离为5 ．2【解析】【分析】（1）证明 AD 为△BCE 的中位线得到 CE=2AD=6；（2）过 B 点作 AC 的平行线，并与 AD 的延长线交于点 F，证明△ACD≌△FBD，从而得到AC=BF，∠CAD=∠BFD，再结合∠BAD=∠CAD，得到 BA=BF，等量代换后即可证得结论；（3）如图，连接 BP、BQ、CQ，先利用勾股定理计算出 AB=5，设⊙P 的半径为 R，⊙Q 的半径为 r，在Rt△PBD 中利用勾股定理得到（R-3）2+42=R2，解得 R= 25 ，则 PD= 7 ，再利用6 6面积法求出 r= 4 ，即 QD= 4 ，然后计算 PD+QD 即可．3 3【详解】（1）解：∵AD 是边 BC 上的中线，∴BD=CD，∵CE∥AD，∴AD 为△BCE 的中位线，∴CE=2AD=6；（2）证明：过 B 点作 AC 的平行线，并与 AD 的延长线交于点 F，则∠ACD=∠FBD, ∠ADC=∠FDB，又∵BD=CD，∴△ACD≌△FBD，∴AC=BF，∠CAD=∠BFD，又∵∠BAD=∠CAD，∴∠BAD=∠BFD，∴BA=BF,∴AB=AC,∴△ABC 为等腰三角形．32 42（3）如图，连接 BP 、BQ 、CQ ，在 Rt△ABD 中，AB= =5，设⊙P 的半径为 R ，⊙Q 的半径为 r ，在 Rt △PBD 中，（R-3）2+42=R 2，解得 R=25 ， 6∴PD=PA -AD= 25 -3= 7 ，6 6 ∵S △ABQ +S △BCQ +S △ACQ =S △ABC ，∴ 1 ×r×5+ 1 ×r×8+ 1 ×r×5= 1 ×3×8，解得 r= 4 ，2 2 2 23 即 QD=4 ，3 ∴PQ=PD+QD= 7 +4 =5 ．6 3 2 答：△ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离为 5 ．2点睛：本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆．【变式4-3】（2019·湖南中考真题）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为 A、B，PO交 AB 于点 C，PO 的延长线交圆 O 于点 D，下列结论不一定成立的是( )A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APDC．AB⊥PD D．AB 平分 PD【答案】D【解析】【分析】先根据切线长定理得到 PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA 时，AB 平分 PD，由此可判断 D 不一定成立．【详解】∵PA，PB 是⊙O 的切线，∴PA＝PB，所以 A 成立；∠BPD＝∠APD，所以 B 成立；∴AB⊥PD，所以 C 成立；∵PA，PB 是⊙O 的切线，∴AB⊥PD，且 AC＝BC，只有当AD∥PB，BD∥PA 时，AB 平分 PD，所以 D 不一定成立，故选 D．【点睛】本题考查了切线长定理，垂径定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.一、单选题1．（2019·浙江中考真题）如图，等边三角形ABC 的边长为8，以BC上一点O 为圆心的圆分别与边AB ，AC 相切，则O 的半径为（）A．2【答案】A【解析】【分析】B．3 C．4 D．4 -连接AO ，OE ，根据等边三角形的性质及含30°的直角三角形的性质即可求解.【详解】设O 与AC 的切点为E ，连接AO ，OE ，∵等边三角形ABC 的边长为 8，∴ AC = 8，∠C =∠BAC = 60︒，∵圆分别与边AB ，AC 相切，∴ ∠BAO =∠CAO =1∠BAC = 30︒，2∴ ∠AOC = 90︒，3 33 3 ∴ OC = 1 AC = 4， 2∵ OE ⊥ AC ，∴ OE =3 OC = 2 ， 2∴ O 的半径为2 ，故选：A ．【点睛】此题主要考查圆的半径，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.2．（2019·黑龙江中考真题）如图，PA . PB 分别与O 相切于 A . B 两点，点C 为 O 上一点，连接 AC . BC ，若∠P = 50︒ ，则∠ACB 的度数为（）.A ． 60︒；B ． 75︒；C ． 70︒；D ． 65︒.【答案】D【解析】【分析】连接OA . OB ，由切线的性质可知∠OAP = ∠OBP = 90︒，由四边形内角和可求出∠AOB 的度数，根据圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）可知∠ACB 的度数.【详解】解：连接OA. O B ，∵PA . PB 分别与O 相切于A .B 两点，∴ OA ⊥PA，OB ⊥PB ，∴ ∠OAP =∠OBP = 90︒，∴ ∠AOB = 180︒-∠P = 180︒- 50︒= 130︒，∴ ∠ACB =1 ∠AOB =1 ⨯130︒= 65︒．2 2故选：D．【点睛】本题主要考查了圆的切线性质及圆周角定理，灵活应用切线性质及圆周角定理是解题的关键. 3．（2019·辽宁中考真题）如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点 A，若∠A=25°，则∠C的度数是( )A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】D【解析】【分析】连接 OB，CB 与⊙O 相切于点 B，得到∠OBC=90°，根据条件得到∠COB 的度数，然后用三角形内角和求出∠C 的度数即可．【详解】解：如图：连接 OB，∵OB=OA，∴∠A=∠OBA，∵∠A=25°，∴∠COB=∠A+∠OBA=2∠A=2×25°=50°，∵AB 与⊙O 相切于点 B，∴∠OBC=90°，∴∠C=90°-∠BOC=90°-50°=40°．故选：D．【点睛】本题考查的是切线的性质及三角形内角和定理，先求出∠COB 的度数，然后在三角形中求出∠C 的度数．正确作出辅助线是解题的关键．4．（2019·江苏中考真题）如图，AB为O的切线，切点为A ，连接AO、BO，BO与O交于点C ，延长BO 与O 交于点D ，连接AD ，若∠ABO = 36o ，则∠ADC 的度数为( )A．54o B．36o C．32o D．27o【答案】D【解析】【分析】由切线性质得到∠AOB ，再由等腰三角形性质得到∠OAD =∠ODA，然后用三角形外角性质得出∠ADC【详解】切线性质得到∠BAO = 90o∴∠AOB = 90o - 36o = 54oQ OD =OA∴∠OAD =∠ODAQ ∠AOB =∠OAD +∠ODA∴∠ADC =∠ADO = 27o故选 D【点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键5．（2019·江苏中考真题）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC=CB．若∠C =110︒，则∠ABC 的度数等于（）A．55︒B．60︒C．65︒D．70︒【答案】A【解析】【分析】连接 AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠A CB、∠CAB，计算即可．【详解】连接 AC，∵四边形 ABCD 是半圆的内接四边形，∴∠DAB=180°-∠C=70°，∵ DC CB ，∴∠CAB= 1 ∠DAB=35°，2∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°-∠CAB=55°，故选 A．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6．（2019·浙江中考真题）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径 OC=1，∠ABC=30°，切线 PA 交 OC 延长线于点 P，则 PA 的长为（）2 3 3 A ．2B ．【答案】B【解析】【分析】C ．D ． 12连接 OA ，由圆周角定理可求出∠AOC=60°，再根据∠AOC 的正切即可求出 PA 的值.【详解】连接 OA ，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵PA 是圆的切线，∴∠PAO=90°，∵tan∠AOC = PA ,OA∴PA= tan60°×1= .故选 B.【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出∠AOC=60°是解答本题的关键.7．（2019·湖南中考真题）如图，边长为2 的等边 ABC 的内切圆的半径为( )33A ．1B ．【答案】A【解析】【分析】C ．2D ． 2连接 AO 、CO ，CO 的延长线交 AB 于 H ，如图，利用内心的性质得 CH 平分∠BCA，AO平分∠BAC，再根据等边三角形的性质得∠CAB=60°，CH⊥AB，则∠OAH=30°，AH=BH= 1 2AB=3，然后利用正切的定义计算出 OH 即可．【详解】设∆ABC 的内心为 O ，连接 AO 、BO ，CO 的延长线交 AB 于 H ，如图，∵ ∆ABC 为等边三角形，∴CH 平分∠BCA ，AO 平分∠BAC ，∵ ∆ABC 为等边三角形，∴ ∠CAB = 60︒ ， CH ⊥ AB ，∴ ∠OAH = 30︒ ， AH = BH = 1 AB = 3 ，2 在Rt ∆AOH 中，∵ tan ∠OAH =OH = tan 30 ︒ ， AH∴ OH =3 ⨯ = 1， 3即∆ABC 内切圆的半径为1．故选 A ．3 3【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质．8．（2019·山东中考真题）如图,O 的直径A B =2,点D 在A B 的延长线上,D C 与O 相切于点 C ,连接A C .若∠A =30°,则C D 长为()A． 1 B ． 3 3 【答案】D【解析】【分析】C ． 2 3D ． 3先连接 BC ，OC ，由于 AB 是直径，可知∠BCA=90°，而∠A=30°，易求∠CBA ，又 DC 是切线，利用弦切角定理可知∠DCB=∠A=30°，再利用三角形外角性质可求∠D ，再由切线的性质可得∠BCD =∠A=30°，∠O CD=90°，易得 OD ，由勾股定理可得 CD ．【详解】如图所示，连接 BC ，OC ，3 322 -12 3∵AB 是直径,∴∠BCA=90°，又∵∠A=30°，∴∠CBA=90°−30°=60°，∵DC 是切线，∴∠BCD=∠A=30°,∠OCD=90°，∴∠D=∠CBA−∠BCD=60°−30°=30°，∵AB=2，∴OC=1，∴OD=2，故选 D.【点睛】= = ，考核知识点：切线性质定理.作好辅助线是关键.9．（2019·重庆中考真题）如图，A B 是⊙O 的直径，A C 是⊙O 的切线，A 为切点，若∠C = 40︒ ，则Ð B 的度数为（）OD 2 - OC 2A．60︒B．50︒C．40︒D．30︒【答案】B【解析】【分析】由题意可得，根据直角三角形两锐角互余可求∠A B C＝50°．【详解】解：∵A C是⊙O的切线，∴ AB ⊥AC ，且∠C = 40︒，∴ ∠ABC = 50︒，故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形两锐角互余，熟练运用切线的性质是本题的关键．10．（2019·云南中考真题）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且 AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形 AEOF)的面积是( )A．4 B．6.25 C．7.5 D．9【答案】A【解析】【分析】先利用勾股定理判断△ABC 为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形 AEOF 为正方形，设⊙O 的半径为 r，利用面积法求出 r 的值即可求得答案.【详解】∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC 为直角三角形，且∠BAC=90°，∵⊙O 为△ABC 内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且 AE=AF，∴四边形 AEOF 为正方形，设⊙O 的半径为 r，∴OE=OF=r，∴S 四边形 AEOF=r²，连接 AO，BO，CO，∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，∴ 1 ( AB +AC +BC)r =1 AB ⋅AC ，2 2∴r=2，∴S 四边形 AEOF=r²=4，故选 A.【点睛】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键.11．（2019·湖北中考真题）如图，AD是圆O 的直径，BC是弦，四边形OBCD 是平行四边形，AC 与OB 相交于点P ，下列结论错误的是（）A．AP = 2OP【答案】A【解析】【分析】B．CD = 2OP C．OB ⊥AC D．AC 平分OB利用圆周角定理得到∠ACD＝90°，再根据平行四边形的性质得到CD∥OB，CD＝0B，则可求出∠A＝30°，在Rt△AOP 中利用含 30 度的直角三角形三边的关系，可对 A 选项进行判断；利用OP∥CD，CD⊥AC 可对 C 选项进行判断；利用垂径可判断 OP 为△ACD 的中位线，则 CD＝20P，原式可対 B 选项进行判断；同时得到 OB＝2OP，则可对 D 选项进行判断.【详解】解：∵ AD 为直径，∴ ∠ACD = 90 ，∵四边形OBCD 为平行四边形，∴ CD / /OB ，CD =OB ，在Rt∆ACD 中，sin A =CD =1 ，∴ ∠A = 30 ，AD 2在Rt∆AOP 中，AP = 3OP ，所以 A 选项的结论错误；∵ OP / /CD ，CD ⊥AC ，∴ OP ⊥AC ，所以 C 选项的结论正确；∴ AP =CP ，∴ OP 为∆ACD 的中位线，∴ CD = 2OP ，所以 B 选项的结论正确；∴ OB = 2OP ，∴ AC 平分OB ，所以 D 选项的结论正确．故选：A．【点睛】此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了垂径定理和平行四边形的性质.12．（2019·甘肃中考真题）如图，四边形ABCD 是菱形，O经过点A 、C 、D ，与BC相交于点E ，连接AC 、AE ．若∠D = 80︒，则∠EAC 的度数为( )A．20︒B．25︒C．30° D．35︒【答案】C【解析】【分析】()由菱形的性质求出∠ACB=50°，由边形AECD是圆内接四边形可求出∠AEB=80°，然后利用三角形外角的性质即可求出∠EAC 的度数.【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∠D = 80︒，∴ ∠ACB =1 ∠DCB =1 180︒-∠D = 50︒，2 2∵四边形AECD 是圆内接四边形，∴ ∠AEB =∠D = 80︒，∴ ∠EAC =∠AEB -∠ACE = 30︒，故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质，圆内接四边形的性质，三角形外角的性质. 圆内接四边形的性：①圆内接四边形的对角互补，②圆内接四边形的外角等于它的内对角，③圆内接四边形对边乘积的和，等于对角线的乘积.13．（2019·四川中考真题）如图，等腰∆ABC 的内切圆⊙O 与AB，BC，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且AB =AC = 5，BC = 6 ，则DE 的长是( )A．3 1010 【答案】D 【解析】B．3 105C．3 55D．6 55【分析】如图，连接OA、OE 、OB ，OB 交DE 于H ，先证明点A 、O 、E 共线，即AE ⊥BC ，从而可得BE =CE = 3，在Rt∆ABE 中，利用勾股定理求出 AE 长，再由切线长定理求得 BD 长，进而得 AD 长，设⊙ O 的半径为r ，则OD =OE =r ，AO = 4 -r ，在Rt∆AOD 中，利用勾股定理求得r =3 ，在Rt∆BOE 中，求得OB= 3 5 ，再证明 OB 垂直平2 2分DE ，利用面积法可得1 HE ⋅OB =1 OE ⋅BE ，求得 HE 长即可求得答案.2 2【详解】连接OA、OE 、OB ，OB 交DE 于H ，如图，等腰∆ABC 的内切圆⊙ O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F∴OA 平分∠BAC ，OE ⊥BC ，AB =AC ，∴AO ⊥BC ，∴点A 、O 、E 共线，即AE ⊥BC ，∴BE =CE = 3，OD ⊥AB ，BE =BD ，在Rt∆ABE 中， BD =BE =3，∴AD = 2 ，AE = = 4，设⊙ O 的半径为r ，则OD =OE =r ，AO = 4 -r ，在Rt∆AOD 中，r 2 + 22 = (4 -r)2 ，解得r =3 ，2在Rt∆BOE 中，OB = 32+(3）2=35，2 252 - 323 56 553BE =BD ，OE = OD ，∴OB 垂直平分DE ，∴DH =EH ，OB ⊥DE ，1HE ⋅OB =1OE ⋅BE ，2 23⨯3∴HE =OE ⋅BE= 2 =，OB 3 5 52∴DE = 2EH =，故选 D．【点睛】本题考查了三角形的内切圆，三角形的内心，等腰三角形的性质，勾股定理，面积法等，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键.14．（2019·广西中考真题）如图，在∆ABC 中，O 是AB边上的点，以O 为圆心，OB 为半径的O 与AC 相切于点D ，BD 平分∠ABC ，AD = 3OD ，AB =12，CD 的长是（）A．2【答案】AB．2 C．3D．43 33 【解析】【分析】由切线的性质得出 AC ⊥ OD求出∠A ＝30︒，证出∠ODB ＝∠CBD，得出OD //BC ，得出∠C ＝∠ADO ＝90︒ ，由直角三角形的性质得出∠ABC ＝60︒，BC ＝ 1AB ＝6，AC ＝ 23BC ＝6 ，得出∠CBD ＝30︒【详解】，再由直角三角形的性质即可得出结果．解：∵ O 与 AC 相切于点 D ，∴ AC ⊥ OD ， ∴∠ADO ＝90︒， AD ＝ 3OD ，∴tanA ＝ OD ＝ 3，AD 3∴∠A ＝30︒， BD 平分∠ABC ， ∴∠OBD ＝∠CBD ，OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ， ∴∠ODB ＝∠CBD ， ∴OD / / BC ，∴∠C ＝∠ADO ＝90︒，∴∠ABC ＝60︒，BC ＝ 1AB ＝6，AC ＝23BC ＝6 3，∴∠CBD ＝30︒，∴CD ＝ 3 BC ＝ 3⨯ 6＝2 3；3 3故选A ．【点睛】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握圆的切线和直角三角形的性质，证出OD / / BC 是解题的2关键．15．（2019·湖北中考真题）如图， AB 是 O 的直径， M 、 N 是弧 AB （异于 A 、 B ）上两点，C 是弧MN 上一动点，∠ACB 的角平分线交 O 于点 D ，∠BAC 的平分线交CD 于点 E ．当点C 从点M 运动到点 N 时，则C 、 E 两点的运动路径长的比是（）A ．B ．πC ． 3D ． 5222【答案】A【解析】【分析】连接 BE ，由题意可得点 E 是△ABC 的内心，由此可得∠AEB＝135°，为定值，确定出点 E 的运动轨迹是是弓形 AB 上的圆弧，此圆弧所在圆的圆心在 AB 的中垂线上，根据题意过圆心 O 作直径 CD ，则 CD⊥AB，在 CD 的延长线上，作 DF ＝DA ，则可判定 A 、E 、B 、F 四点共圆，继而得出 DE ＝DA ＝DF ，点 D 为弓形 AB 所在圆的圆心，设⊙O 的半径为 R ，求出点 C的运动路径长为πR ，DA ＝求得答案.【详解】连结 BE ，R ，进而求出点 E 的运动路径为弧 AEB ，弧长为 2 πR ，即可2∵点 E 是∠ACB 与∠CAB 的交点，∴点 E 是△ABC 的内心，22∴BE 平分∠ABC，∵AB 为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠AEB＝180°－1 (∠CAB+∠CBA)＝135°，为定值，AD =BD ，∴点 E 的轨迹是弓形 AB 上的圆弧，∴此圆弧的圆心一定在弦 AB 的中垂线上，∵ AD =BD ，∴AD=BD，如下图，过圆心 O 作直径 CD，则CD⊥AB，∠BDO＝∠ADO＝45°，在 CD 的延长线上，作 DF＝DA，则∠AFB＝45°，即∠AFB+∠AEB＝180°，∴A、E、B、F 四点共圆，∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°，∴DE＝DA＝DF，∴点 D 为弓形 AB 所在圆的圆心，设⊙O 的半径为 R，2 2则点 C 的运动路径长为：πR ，DA ＝ R ，点 E 的运动路径为弧 AEB，弧长为：90π⨯2R =2πR ，πRC 、E 两点的运动路径长比为： 2 πR 2 180 2= ，故选 A.【点睛】本题考查了点的运动路径，涉及了三角形的内心，圆周角定理，四点共圆，弧长公式等，综合性较强，正确分析出点 E 运动的路径是解题的关键.16．（2019·广西中考真题）如图，在Rt ∆ABC 中， ∠C = 90︒ ， AC = 4 ， BC = 3，点O 是A B 的三等分点，半圆O 与A C 相切，M ，N 分别是B C 与半圆弧上的动点，则M N 的最小值和最大值之和是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】【分析】设⊙O与A C相切于点D，连接O D，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段O P最短，P F最小值为OP -OF ，当N在A B边上时，M与B重合时，M N经过圆心，经过圆心的弦最长，根据图形与圆的性质即可求解.【详解】如图，设⊙O与A C相切于点D，连接O D，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段O P最短，P F最小值为OP -OF ，∵ AC = 4 ，BC = 3，∴ AB = 5∵ ∠OPB = 90︒，∴OP AC∵点O是A B的三等分点，∴O B =2 ⨯ 5 =10 ，OP =OB =2 ，3 3AC AB 3∴ OP =8 ，3∵⊙O与A C相切于点D，∴ OD ⊥AC ，∴ OD‖BC ，∴ OD =OA =1 ，BC AB 3∴ OD = 1，∴M N最小值为OP-OF=8-1=5，3 3如图，当N在A B边上时，M与B重合时，M N经过圆心，经过圆心的弦最长，M N最大值=10+1=13，3 35+13=6 ,3 3∴M N长的最大值与最小值的和是6．故选B．【点睛】此题主要考查圆与三角形的性质，解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质. 17．（2019·四川中考真题）如图，∠EOF 的顶点O是边长为2的等边∆ABC 的重心，∠EOF的两边与∆ABC 的边交于E，F，∠EOF=120︒，则∠EOF 与∆ABC 的边所围成阴影部分的面积是（）A．32【答案】C【解析】【分析】B．2 35C．33D．34连接OB 、OC ，过点O作ON ⊥BC ，垂足为N，由点O是等边三角形ABC 的内心可以得到。

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专题20与圆有关的位置关系
A组基础巩固
1.(2017海南临高二中模拟,12,3分)已知☉O的半径是4,OP=3,则点P与☉O的位置关系是(A)
A.点P在圆内
B.点P在圆上
C.点P在圆外
D.不能确定
2.(2017山东聊城阳谷一模,7,3分)已知等腰三角形的腰长为6 cm,底边长为4 cm,以等腰三角形的顶角的顶点为圆心5 cm为半径画圆,那么该圆与底边的位置关系是(A)
A.相离
B.相切
C.相交
D.不能确定
3.
(2016云南曲靖一模,7,3分)如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于点A,B,CD切☉O于点E且分别交PA,PB于点C,D,若PA=4,则△PCD的周长为(C)
A.5
B.7
C.8
D.10
4.(2016湖南株洲十五中月考,16,3分)Rt△ABC中两条直角边分别为6 cm,8 cm,则外接圆半径为5 cm.
5.
(2016江西临川一模,10)如图,已知△ABC内接于☉O,BC是☉O的直径,MN与☉O相切,切点为A,若∠MAB=30°,则∠B=60°.
6.(2017山东滨州邹平模拟,23,10分)已知直线l与☉O,AB是☉O的直径,AD⊥l于点D.
(1)如图①,当直线l与☉O相切于点C时,求证:AC平分∠DAB;
(2)如图②,当直线l与☉O相交于点E,F时,求证:∠DAE=∠BAF.
图①
图②
证明略.
〚导学号92034086〛
B组能力提升
1.(2017山东临沂模拟,11,3分)以点P(1,2)为圆心,r为半径画圆,与坐标轴恰好有三个交点,则r 应满足(A)
A.r=2或
B.r=2
C.r=
D.2≤r≤
2.(2017天津西青期末,17,3分)如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的☉P的圆心P的坐标为(-3,0),将☉P沿x轴正方向平移,使☉P与y轴相切,则平移的距离为1或5.〚导学号92034087〛
C组综合创新
(2017甘肃庆阳长庆期末,10,13分)如图,已知AB是☉O的直径,AD切☉O于点A,点C是的中点,则下列结论:①OC∥AE;②EC=BC;③∠DAE=∠ABE;④AC⊥OE,其中正确的有(C)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个。