(完整版)二阶常微分方程的解法及其应用本科毕业设计
二阶常微分方程级数解法
+ De
−ikat
(k ≠ 0)
关于v的偏微分方程称为亥姆霍兹方程。 关于v的偏微分方程称为亥姆霍兹方程。关于亥姆霍兹 亥姆霍兹方程 方程以后讨论。 方程以后讨论。 13
3. 输运方程 三维输运方程为
ut − a2∆u = 0
和对三维波动方程的讨论一样， 和对三维波动方程的讨论一样，设 v v u(r , t ) = T (t )v(r ) 有 T ′ + k 2 a 2T = 0
utt − a ∆u = 0
2
12
分离变数得
v v u(r , t ) = T (t )v(r )
代入方程并分离得
′′ + k 2 a 2T = 0 T ∆v + k v = 0
2
关于T的方程的解为 关于T
T (t ) = C + Dt = 0) (k T = C coskat + D sin kat = Ce
Y (θ , ϕ ) = Θ(θ )Φ (ϕ ) Φ′′ + λΦ = 0 d dΘ 2 sin θ (sin θ ) + [l (l + 1) sin θ − λ ]Θ = 0 dθ dθ
第一个方程加上自然周期条件构成本征值问题， 第一个方程加上自然周期条件构成本征值问题，本征 值为 2
λ = m = 0,1, L) (m
∆v + k v = 0 与三维波动方程比较， 与三维波动方程比较，关于空间部分都是亥姆霍兹方 不同的只是T的方程，这里， 的方程是一阶的， 程，不同的只是T的方程，这里，T的方程是一阶的， 解为
2
T = Ce
−k 2a 2t
14
4. 亥姆霍兹方程 与拉氏方程比较， 与拉氏方程比较，亥姆霍兹方程多了一项 仍采用对拉氏方程的讨论方法。 仍采用对拉氏方程的讨论方法。 (1) 球坐标系 亥姆霍兹方程在球坐标系中的表达式为
第12章 二阶常微分方程级数解法
第十二章 二阶常微分方程级数解法、本征值问题 前几章处理的问题几乎都是使用直角坐标，依据边界条件的不同，有时使用球坐标或柱坐标更为方便，也只有使用恰当的坐标才能使变量进行分离彻底。
下面先介绍标量函数的梯度或矢量函数的散度在球坐标系中和柱坐标系中表示形式。
以1,2,3q q q 表示正交曲线坐标，则有()()()112233,,,,,,q q x y z q q x y z q q x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ()()()123123123,,,,,,x x q q q y y q q q z z q q q =⎧⎪=⎨⎪=⎩因：123123123123123123x x x dx dq dq dq q q q y y y dy dq dq dq q q q z z z dz dq dq dq q q q ⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=++⎪⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎪=++⎨⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩于是由于1q 的微小改变而引起的空间尺度变化()()()()()()22222222221111111x y z ds dx dy dz dq H dq q q q ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎢⎥=++=++= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦同理()()()22222222222222x y z ds dq H dq q q q ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎢⎥=++= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()22222223333333x y z ds dq H dq q q q ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎢⎥=++= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦① 标量函数()1,2,3u q q q 的梯度u ∇的各分量为： ()()()123111222333111,,u u u u u uu u u s H q s H q s H q ∂∂∂∂∂∂∇==∇==∇==∂∂∂∂∂∂ ② 矢量函数的散度()1,2,3A q q q ∇——矢量场中单位体积的通量取由111222333,;,;,q q dq q q dq q q dq +++六个曲面围成的微小六面体 设123,,A A A 分别为A沿1,2,3q q q 增加方向的分量，于是又()()()()1,2,31122331A q q q H dq H dq H dq ∇=()()1111223312233[q dq q A H dq H dq A H dq H dq +-()()()()22233321133211333112231122]q d qq q d q q A H d q H d q A H d q H d q A H d q H d q A H d q H d q+++-+-=()()()1232133121231231A H H A H H A H H H H H q q q ⎡⎤∂∂∂++⎢⎥∂∂∂⎣⎦③()2313121231112223331u u u u u H H H H H H H H H q H q q H q q H q ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∆=∇∇=⋅+⋅+⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos 1sin sin cos sin r x r H y r H r z r H r θϕθϕθϕθθ⎧==⎪==⎨⎪==⎩对于球坐标()()()11sin r u u uu u u rr r θϕθθϕ∂∂∂∇=∇=∇=∂∂∂()()()2221sin sin sin r A r A r A r A r r θϕθθθθϕ⎡⎤∂∂∂∇=++⎢⎥∂∂∂⎣⎦221sin sin sin sin u u uu r r r r r r r r θθθθθϕθϕ⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫∆=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ cos 1sin 1z x H y H r z z H ρϕρϕρϕ==⎧⎪==⎨⎪==⎩对于柱坐标()()()1z u u u u u u zρϕρρϕ∂∂∂∇=∇=∇=∂∂∂ ()()()1z A A A A z ρϕρρρρϕ⎡⎤∂∂∂∇=++⎢⎥∂∂∂⎣⎦11u u u u z z ρρρρρϕρϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫∆=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦§40.1 拉普拉斯方程0u∆=a .在球坐标系中2221sin sin 0sin sin u u ur r r r r r r r θθθθθϕθϕ⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 设()()(),,,u r R r Y θϕθϕ= 则 2s i n s i n 0s i n d R Y R YY r R d r r θθθθθϕθ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭有()222111sin 1sin sin d dR Y Y r l l R dr dr Y θθθθθϕ⎛⎫∂∂∂⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()()()2122,222211011sin 1sin 10sin 1sin sin sin ll Y t r e d dR r l l R R r Cr D dr dr r Y Y d d d l l Y l l d d d θϕθϕθθθθθθθθϕθθϕ+=ΘΦ=⎧⎛⎫-+==+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫∂∂∂ΘΦ⎛⎫⎛⎫⎪+++=++=- ⎪ ⎪ ⎪⎪∂∂∂ΘΦ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩ 欧勒型方程令()()()()()()()2222222cos 220,1,2''0cos cos sin sin 1sin 12101m xm m A m B d d d d m l l x x l l d d dx dx x λθϕπϕλλϕϕϕθθθλθθ==Φ+=Φ⇒==⎧Φ+Φ=Φ=+⎪⎪⇒⎨⎡⎤ΘΘΘ⎛⎫⎡⎤⎪++-Θ--++-Θ= ⎪⎢⎥⎣⎦-⎝⎭⎪⎣⎦⎩令b. 在柱坐标系中()()(),,)(110u z R Z z u u u z z ρϕρϕρρρρρϕρϕ=Φ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()()220,1,2222222''''0cos sin 111''0'''m m A m B m d R dR dz m Z R R R d R d z dz R R Z ϕπϕλλλϕϕϕρρρμρρρρΦ+=Φ==Φ⎧-=⇒Φ+Φ=Φ=+⎪Φ⎪⎨⎪++=⇒+-=-=-⎪⎩()()()()()2222222222210:,0:,00:cosh sinh ,0mm z z z C Dz R E F d R dR z Ce De x x x m R x dx dx d R dR z C z D z h x x x m R x h dx dx μμμρρμμρμμρ-⎧==+=+⎪⎪⎪>=+++-==⎨⎪⎪<=+=-+++==⎪⎩§40.2 波动方程 230tt u a u -∆=令 ()()()()222230cos sin ,0T k a T T t C kat D katu r t T t V r V k V ⎧+=⇒=+=⇒⎨∆+=⎩→ 亥姆霍兹方程§40.3 输运方程 230t u a u -∆=令()()()()2222230,0k a t T k a T T t Ce u r t T t V r V k V -⎧'+==⎪=⇒⎨∆+=⎪⎩→ 亥姆霍兹方程§40.3 亥姆霍兹方程 230V k V ∆+=在球坐标系中： 22222211sin 0sin sin V V V r k Vr r r θθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()()()()222,,,2222211sin 10sin sin 210V r R r Y Y Yl l Y d R dR r r R r l l R dr dr θϕθϕθθθθϕ=⎧∂∂∂⎛⎫+++= ⎪⎪∂∂∂⎪⎝⎭⎨⎪⎡⎤++-+=⎣⎦⎪⎩()()()()()()220,1,222222''0cos sin cos :12101m m A m B m d d mx x x l l l dx dx x ϕπϕλλϕϕϕϕΦ+=Φ==⎧Φ+Φ=Φ=+⎪⎪⇒⎨⎡⎤ΘΘ⎪=--++-Θ=⎢⎥-⎪⎣⎦⎩阶缔合勒让德方程()()22221102x kr R r Y x xd y dy x x x l y dx dx ==⎡⎤⎛⎫−−−−−→++-+=←−−−−− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 球贝塞尔方程 在柱坐标系中：()()()()22,,222110u z R Z z u u u kV zρϕρϕρρρρρϕ=Φ⎛⎫∂∂∂∂+++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭ ()()()()()220,1,22222222''0cos sin 0''000cosh sinh 0m m z z A m B m Z C Dz z z Z Ce De Z C z D z h d R dR x x x m R x k dx dx ϕπϕλμμλϕϕϕμμμμμμρΦ+=Φ==-⎧Φ+Φ=Φ=+⎪⎪==+⎧⎪⎪⎪-=>=+⎨⇒⎨⎪⎪<=+=-⎩⎪⎪⎡⎤++-==+⎪⎣⎦⎩综上所述，对于齐次的波动方程、输运方程、稳定场方程在球、柱坐标系中有如下解的形式： ①0u ∆=()()()()()()()1222221,,cos sin 0,1,21210cos 1ll u r A m B m Cr D m r d d m x x l l x dx dx x θϕπϕθθ+⎧⎛⎫=++Θ= ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎡⎤ΘΘ⎪--++-Θ==⎢⎥⎪-⎣⎦⎩()()()()()()2222222222,,cos sin 0,1,210000cos sin 0m muz uz u z A m B m Z z R m Z C Dz R E F e d R dR Z Ce De x x x m R x u dx dxd R dR Z C mz D mz x x x m R x u dx dx ρϕϕϕρμρρμρμρ-⎧=+=⎪⎧⎪==+=+⎪⎪⎪⎪⇔⎨⎪⎡⎤>=+++-==⎨⎪⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎡⎤<=++++==⎪⎣⎦⎪⎩⎩②()()()22223323cos sin 0tt k a tt T t C kat D kat u a u u V T t V k V u a u T t Ce-=+-∆==∆+=-∆==230V k V ∆+=()()()()()()()()()()()222222222,,cos sin 0,1,21210cos 110,2V r A m B m R r m d d m x x l l x dx dx x d y dy x x x l y x kr Y x xR r dxdx θϕϕϕθθ⎧⎪=+Θ=⎪⎪⎡⎤ΘΘ⎪--++-Θ==⎨⎢⎥-⎣⎦⎪⎪⎡⎤⎛⎫⎪++-+=== ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎩ ()()()()()()222222,,cos sin 0,1,20''000cosh sinh 0uz uz V z A m B m Z z R m z C Dz Z Z z Ce De z C z D zd R dR x x x m R x k dx dx ρϕϕϕρμμμμμρ-⎧⎪=+=⎪==+⎪⎧⎪⎪-=>=+⎨⎨⎪⎪<=+⎩⎪⎪⎪⎡⎤++-==+⎣⎦⎩§41 常点邻域的级数解法用球坐标和柱坐标对齐次波动、输运、稳定场方程进行分离变量，最后问题的症结是l 阶缔合勒让德方程和贝塞尔方程等特殊函数方程。
二阶常系数线性微分方程的解法word版
第四节 二阶常系数线性微分圆程之阳早格格创做一、二阶常系数线形微分圆程的观念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1)p 、q 均为真数,)(x f 为已知的连绝函数.如果0)(≡x f ,则圆程式 (1)形成0=+'+''qy y p y (2)咱们把圆程(2)喊干二阶常系数齐次线性圆程,把圆程式(1)喊干二阶常系数非齐次线性圆程. 本节咱们将计划其解法.二、二阶常系数齐次线性微分圆程1．解的叠加性定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的二个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任性常数.道明 果为1y 与2y 是圆程(2)的解,所以有 将2211y C y C y +=代进圆程(2)的左边,得=0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是圆程(2)的解.定理1道明齐次线性圆程的解具备叠加性. 叠加起去的解从形式瞅含有21,C C 二个任性常数,但是它纷歧定是圆程式(2)的通解.2.线性相闭、线性无闭的观念设,,,,21n y y y 为定义正在区间I 内的n 个函数,若存留没有齐为整的常数,,,,21n k k k 使恰当正在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称那n 个函数正在区间I 内线性相闭,可则称线性无闭.比圆 x x 22sin ,cos ,1正在真数范畴内是线性相闭的,果为又如2,,1x x 正在所有区间(a,b)内是线性无闭的,果为正在该区间内要使必须0321===k k k .对于二个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相闭,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无闭. 3.二阶常系数齐次微分圆程的解法定理2 如果1y 与2y 是圆程式(2)的二个线性无闭的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任性常数)是圆程式(2)的通解.比圆,0=+''y y 是二阶齐次线性圆程,x y x y cos ,sin 21==是它的二个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无闭, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= (21,C C 是任性常数)是圆程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)战它的各阶导数皆只好一个常数果子, 根据指数函数的那个特性,咱们用rx e y =去试着瞅是可采用适合的常数r ,使rx e y =谦脚圆程(2).将rx e y =供导,得把y y y ''',,代进圆程(2),得果为0≠rx e , 所以惟有 02=++q pr r (3)只消r 谦脚圆程式(3),rx e y =便是圆程式(2)的解.咱们把圆程式(3)喊干圆程式(2)的特性圆程,特性圆程是一个代数圆程,其中r r ,2的系数及常数项恰佳依次是圆程(2)y y y ,,'''的系数.特性圆程(3)的二个根为 2422,1q p p r -±-=, 果此圆程式(2)的通解有下列三种分歧的情形.(1) 当042>-q p 时，21,r r 是二个没有相等的真根.2421q p p r -+-=,2422q p p r ---= xr x r e y e y 2121,==是圆程(2)的二个特解,而且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y ,得圆程(2)的通解为x r x r e C e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是二个相等的真根.221pr r -==,那时只可得到圆程(2)的一个特解x r e y 11=,还需要出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 )2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将222,,y y y '''代进圆程(2), 得 整治,得由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u 果为1r 是特性圆程(3)的二沉根, 所以进而有 0=''u果为咱们只需一个没有为常数的解,无妨与x u =,可得到圆程(2)的另一个解x r xe y 12=.那么,圆程(2)的通解为即 x r e x C C y 1)(21+=. (3) 当042<-q p 时,特性圆程(3)有一对于共轭复根βαβαi r i r -=+=21, (0≠β)于是 x i x i e y e y )(2)(1,βαβα-+==利用欧推公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为 21,y y 之间成共轭闭系,与-1y =x e y y x βαcos )(2121=+, 圆程(2)的解具备叠加性,所以-1y ,-2y 仍旧圆程(2)的解,而且≠==--x x e x e y y x x βββααtan cos sin 12常数,所以圆程(2)的通解为综上所述,供二阶常系数线性齐次圆程通解的步调如下:(1)写出圆程(2)的特性圆程(2)供特性圆程的二个根21,r r(3)根据21,r r 的分歧情形,按下表写出圆程(2)的通解.例1供圆程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给圆程的特性圆程为所供通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 供圆程0222=++S dt dS dt S d 谦脚初初条件2,400-='===t t S S 的特解.解 所给圆程的特性圆程为通解为 t e t C C S -+=)(21将初初条件40==t S 代进,得 41=C ,于是t e t C S -+=)4(2,对于其供导得将初初条件20-='=t S 代进上式,得所供特解为例3供圆程032=-'+''y y y 的通解.解 所给圆程的特性圆程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以本圆程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次圆程的解法1.解的结构定理3 设*y 是圆程(1)的一个特解,Y 是式(1)所对于应的齐次圆程式(2)的通解,则*+=y Y y 是圆程式(1)的通解.道明 把*+=y Y y 代进圆程(1)的左端:=)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+*+=y Y y 使圆程(1)的二端恒等,所以*+=y Y y 是圆程(1)的解.定理4 设二阶非齐次线性圆程(1)的左端)(x f 是几个函数之战,如)()(21x f x f qy y p y +=+'+''(4)而*1y 与*2y 分别是圆程 )(1x f qy y p y =+'+''与)(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 便是圆程(4)的特解, 非齐次线性圆程(1)的特解偶尔可用上述定理去助闲供出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法)()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是闭于x 的一个m 次多项式.圆程(1)的左端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ乘积的导数仍为共一典型函数,果此圆程(1)的特解大概为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数. 把 x e x Q y λ)(=*代进圆程(1)并消去x e λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ(5) 以下分三种分歧的情形,分别计划函数)(x Q 的决定要领:(1) 若λ没有是圆程式(2)的特性圆程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式(5)的二端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :代进(5)式,并比较二端闭于x 共次幂的系数,便得到闭于已知数m b b b ,,,10 的1+m ),,1,0(m i b i =.进而得到所供圆程的特解为(2) 假如λ特性圆程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式(5)创造, 则)(x Q '必须假如m 次多项式函数,于是令用共样的要领去决定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.(3) 假如λ特性圆程02=++q pr r 的沉根,即,02=++q p λλ02=+p λ.要使(5)式创造,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式，可令用共样的要领去决定)(x Q m 的系数.综上所述,若圆程式(1)中的x m e x P x f λ)()(=,则式(1)的特解为其中)(x Q m 是与)(x P m 共次多项式,k 按λ没有是特性圆程的根,是特性圆程的单根或者是特性圆程的沉根依次与0,1或者2.例4 供圆程x e y y 232-='+''的一个特解.解)(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对于应齐次圆程的特性圆程为 022=+r r ,特性根根为2,021-==r r .λ=-2是特性圆程的单根, 令x e xb y 20-=*,代进本圆程解得故所供特解为 x xe y 223--=* . 例5 供圆程x e x y y )1(2-='-''的通解.解 先供对于应齐次圆程02=+'-''y y y 的通解. 特性圆程为 0122=+-r r , 121==r r齐次圆程的通解为 x e x C C Y )(21+=. 再供所给圆程的特解由于1=λ是特性圆程的二沉根,所以把它代进所给圆程,并约去x e 得比较系数,得于是 x e x x y )216(2-=* 所给圆程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=* 3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数. 此时,圆程式(1)成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+''(7)那种典型的三角函数的导数,仍属共一典型,果此圆程式(7)的特解*y 也应属共一典型,不妨道明式(7)的特解形式为其中b a ,为待定常数.k 为一个整数. 当ω±i 没有是特性圆程02=++q pr r 的根,k 与0; 当ω±i 没有是特性圆程02=++q pr r 的根,k 与1; 例6 供圆程x y y y sin 432=-'+''的一个特解. 解 1=ω，ω±i i ±=没有是特性圆程为0322=-+r r 的根，0=k .果此本圆程的特解形式为 于是 x b x a y cos sin +-=*'将*''*'*y y y ,,代进本圆程，得解得 54,52-=-=b a本圆程的特解为: x x y sin 54cos 52--=* 例7 供圆程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解. 解先供对于应的齐次圆程的通解Y .对于应的齐次圆程的特性圆程为再供非齐次圆程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别供出圆程对于应的左端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则 **+=*21y y y 是本圆程的一个特解. 由于1=λ,ω±i i ±=均没有是特性圆程的根,故特解为代进本圆程,得比较系数,得解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给圆程的一个特解为 所以所供圆程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。
二阶变系数齐次常微分方程的解法及其应用
2011届本科毕业论文二阶变系数齐次常微分方程的解法及其应用所在学院：数学科学学院专业班级：数学07-(4)实验班学生姓名：曼则热古丽．图尔荪指导教师：吐尔洪.艾尔米丁答辩日期：2011年5月11日新疆师范大学教务处目录引言................................................................................................................. 错误！未定义书签。
1 二阶变系数齐次常微分方程的通解及其应用..................................... 错误！未定义书签。
2 二阶变系数齐次方程的两个解法及其应用............................................. 错误！未定义书签。
2.1利用常数变易法解二阶变系数齐次线性微分方程....................... 错误！未定义书签。
2.2未知函数代换................................................................................... 错误！未定义书签。
3二阶变系数线性微分方程的一般求解法及其应用.................................. 错误！未定义书签。
3.1二阶变系数线性微分方程的一般求解法....................................... 错误！未定义书签。
3.2应用................................................................................................... 错误！未定义书签。
4 总结............................................................................................................. 错误！未定义书签。
二阶常微分方程求解公式
二阶常微分方程求解公式二阶常微分方程在数学领域中可是个相当重要的家伙呢！咱们先来说说啥是二阶常微分方程。
简单来讲，就是方程里含有未知函数的二阶导数。
比如说，像 y'' + 2y' + y = 0 这样的式子就是二阶常微分方程。
那求解它的公式是咋来的呢？这可得从数学的“大宝藏”里一点点挖掘。
咱们先来说说线性常系数二阶齐次方程的求解。
它的形式一般是 y'' + py' + qy = 0 ，这里的 p 和 q 是常数。
为了找到解，咱们得先假设一个形式，就像侦探找线索一样。
假设y = e^(rx) ，把它代入方程里，就能得到一个关于 r 的方程 r^2 + pr + q = 0 。
这就是所谓的特征方程。
要是这个特征方程有两个不同的实根 r1 和r2 ，那方程的通解就是 y = C1e^(r1x) + C2e^(r2x) 。
就好比有一天我在给学生们讲这个知识点的时候，有个学生瞪着大眼睛问我：“老师，这咋感觉像变魔术似的，咋就这么假设出来啦？”我笑着告诉他：“这可不是变魔术，这是数学的智慧！你就把它想象成一把神奇的钥匙，能打开方程的秘密之门。
”要是特征方程有两个相等的实根 r ，那通解就变成了 y = (C1 +C2x)e^(rx) 。
再来说说线性常系数二阶非齐次方程，它的形式是 y'' + py' + qy = f(x) 。
求解它的办法呢，就是先求出对应的齐次方程的通解，然后再找一个特解。
找特解的方法有很多种，比如待定系数法。
就像上次我在课堂上出了一道题：y'' - 3y' + 2y = e^x ，让同学们自己试着求解。
有的同学一开始抓耳挠腮，不知道从哪儿下手。
我就一点点引导他们，先求出齐次方程的通解，再根据右边的函数形式设特解。
最后，大家都算出了答案，那种成就感满满的样子，让我特别欣慰。
总之，二阶常微分方程的求解公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们掌握了方法，多做练习，就一定能把它拿下！就像爬山一样，虽然过程中可能会遇到陡峭的山坡，但只要坚持往上爬，就能看到美丽的风景。
二阶常微分方程的解法及其应用毕业论文
目录1 引言 ................................ - 4 -2 二阶常系数常微分方程的几种解法.................... - 4 - 2.1 特征方程法........................... - 4 -2.1.1 特征根是两个实根的情形...................... - 5 - 2.1.2 特征根有重根的情形....................... - 5 -2.2 常数变易法........................... - 7 -2.3 拉普拉斯变换法.......................... - 8 -3 常微分方程的简单应用......................... - 9 -3.1 特征方程法........................... - 10 -3.2 常数变易法........................... - 12 -3.3 拉普拉斯变换法.......................... - 13 -4 总结及意义............................. - 14 -参考文献. .......................... - 15 -二阶常微分方程的解法及其应用摘要：本文主要介绍了二阶常系数微分方程的三种解法：特征方程法、常数变异法和拉普拉斯变换法，并着重讨论了特征方程根为实根、复根及重根的情形针对这三种解法的特点，分别将其应用到求解弹簧振子系统的振子的运动方程。
关键词：二阶常微分方程 ; 特征根法；常数变异法；拉普拉斯变换METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION AND ITSAPPLICATIONAbstract:This paper mainly introduces three kinds of solution for order differential equation with constant coefficients: characteristic equation method, the method of variation of constant and Laplasse transform method, and discusses the characteristics of Fang Chenggen is the real root, complex roots and root. According to the characteristics of the three solution, were applied to the equations of motion of vibrator for spring oscillator system.Keywords: second ord er ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform two the1引言数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是数学分析里大部分思想和理论的根源。
9.4.3 二阶线性常系数微分方程的解法
5 t 2
B. 二阶线性常系数非齐次微分方程的通解 二阶线性常系数非齐次微分方程
y'' p y' q y f ( x )
求通解的步骤：
( 3)
( 1 ) 求对应齐次方程 y' ' p y' q y 0 的通解 yc ( x )；
( 2) 求方程 y'' p y' q y f ( x ) 的一个特解 y p ( x )；
A. 二阶线性常系数齐次微分方程的通解 二阶常系数齐次线性方程解法 --特征方程法
二阶线性常系数齐次微分方程
y'' p y' q y 0
分析：不妨设 y e
x
(1)
， 代入 (1) 式，
2 e x p e x qe x 0，
由于 e x 0， 则有
( D1 D2 x Dk x k 1 ) sin x ]
例 2 求下列方程通解 ( 5) (4) ( 3) (1) y 4 y 5 y 0；
解 特征方程 5 44 53 0，
特征根： 0 ( 3 重)， 2 i．
所求通解为
y e 0 x (C 1 C 2 x C 3 x 2 )
x0
2 得 C 2 6．
x
( 3)
y''4 y'5 y 0．
解 特征方程 2 4 5 0， 特征根： 1,2 2 i ． 2x 所以通解为 y e (C1 cos x C 2 sin x )．
利 用特 征值 求 通解 的 法 方， 可 推广 到 注． 一 阶或 高阶 常 系数 齐 线 次 性方 程的 求 解
(整理)二阶常系数线性微分方程的解法版.
第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成0=+'+''qy y p y (2)我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1．解的叠加性定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数.证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有0111=+'+''qy y p y 0222=+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得)()()(221122112211y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解.2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为0sin cos 122≡--x x又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无关.3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解.例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+=( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解.由于指数函数rxe y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,根据指数函数的这个特点,我们用rxe y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rx e y =满足方程(2).将rx e y =求导,得 rx rx e r y re y 2,=''='把y y y ''',,代入方程(2),得0)(2=++rx eq pr r 因为0≠rx e , 所以只有 02=++q pr r (3)只要r 满足方程式(3),rx e y =就是方程式(2)的解.我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是方程(2)y y y ,,'''的系数. 特征方程(3)的两个根为 2422,1q p p r -±-=, 因此方程式(2)的通解有下列三种不同的情形. (1) 当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根. 2421q p p r -+-=,2422q p p r ---= x r x r e y e y 2121,==是方程(2)的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为 x r x r e C e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根. 221p r r -==,这时只能得到方程(2)的一个特解x r e y 11=,还需求出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 )(12x u e y x r =)2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将222,,y y y '''代入方程(2), 得 []0)()2(12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u e x r 整理,得0])()2([12111=+++'++''u q pr r u p r u e x r由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u 因为1r 是特征方程(3)的二重根, 所以02,01121=+=++p r q pr r从而有 0=''u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取x u =,可得到方程(2)的另一个解 x r xe y 12=.那么,方程(2)的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即 xr e x C C y 1)(21+=.(3) 当042<-q p 时,特征方程(3)有一对共轭复根 βαβαi r i r -=+=21, (0≠β)于是 x i x i e y ey )(2)(1,βαβα-+== 利用欧拉公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为)sin (cos )(1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+)sin (cos )(2x i x e e e e y x x i x xi ββαβαβα-=⋅==-- 21,y y 之间成共轭关系,取-1y =x e y y x βαcos )(2121=+, x e y y i y x βαsin )(2121_2=-= 方程(2)的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是方程(2)的解,并且≠==--x x e x e y y x x βββααt a n c o s s i n 12常数,所以方程(2)的通解为 )sin cos (21x C x C e y x ββα+=综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:(1)写出方程(2)的特征方程02=++q pr r(2)求特征方程的两个根21,r r(3)根据21,r r 的不同情形,按下表写出方程(2)的通解.例1求方程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给方程的特征方程为0522=++r ri r i r 21,2121--=+-=所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 求方程0222=++S dt dS dtS d 满足初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解 所给方程的特征方程为0122=++r r121-==r r通解为 te t C C S -+=)(21 将初始条件40==t S 代入,得 41=C ,于是 t e t C S -+=)4(2,对其求导得te t C C S ---=')4(22 将初始条件20-='=t S 代入上式,得 22=C所求特解为te t S -+=)24(例3求方程032=-'+''y y y 的通解.解 所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3 设*y 是方程(1)的一个特解,Y 是式(1)所对应的齐次方程式(2)的通解,则*+=y Y y 是方程式(1)的通解.证明 把*+=y Y y 代入方程(1)的左端:)()()(*++*'+'+*''+''y Y q y Y p y Y=)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+*+=y Y y 使方程(1)的两端恒等,所以*+=y Y y 是方程(1)的解. 定理4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端)(x f 是几个函数之和,如 )()(21x f x f qy y p y +=+'+'' (4) 而*1y 与*2y 分别是方程 )(1x f qy y p y =+'+''与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是方程(4)的特解, 非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法 )()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的一个m 次多项式. 方程(1)的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数xe λ乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程(1)的特解可能为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数.把 x e x Q y λ)(=*x e x Q x Q y λλ)]()(['+=*'x e x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([2''+'+=*''代入方程(1)并消去xe λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ (5) 以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定方法:(1) 若λ不是方程式(2)的特征方程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式(5)的两端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :m m m x b x b x b b x Q ++++= 2210)(代入(5)式,并比较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10 的1+m 个方程.联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i =.从而得到所求方程的特解为x m e x Q y λ)(=*(2) 若λ是特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式(5)成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令)()(x xQ x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.(3) 若λ是特征方程02=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ 02=+p λ.要使(5)式成立,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式，可令)()(2x Q x x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若方程式(1)中的x m e x P x f λ)()(=,则式(1)的特解为x m k e x Q x y λ)(=*其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解.解 )(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r . λ=-2是特征方程的单根, 令x e xb y 20-=*,代入原方程解得230-=b 故所求特解为 x xe y 223--=* . 例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解 先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解.特征方程为 0122=+-r r , 121==r r齐次方程的通解为 x e x C C Y )(21+=.再求所给方程的特解1)(,1-==x x P m λ由于1=λ是特征方程的二重根,所以x e b ax x y )(2+=*把它代入所给方程,并约去xe 得 126-=+x b ax比较系数,得61=a 21-=b 于是 x e x x y )216(2-=* 所给方程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=* 3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数.此时,方程式(1)成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' (7)这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式(7)的特解*y 也应属同一类型,可以证明式(7)的特解形式为)sin cos (x b x a x y k ωω+=*其中b a ,为待定常数.k 为一个整数.当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取0;当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取1;例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解.解 1=ω，ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根，0=k .因此原方程的特解形式为x b x a y sin cos +=* 于是 x b x a y cos sin +-=*'x b x a y sin cos --=*''将*''*'*y y y ,,代入原方程，得⎩⎨⎧=--=+-442024b a b a解得 54,52-=-=b a原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=*例7 求方程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解.解 先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为 0322=--r r3,121=-=r rx x e C e C Y 321+=-再求非齐次方程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则 **+=*21y y y 是原方程的一个特解.由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征方程的根,故特解为)sin cos (21x c x b ae y y y x ++=+=***代入原方程,得x e x c b x c b ae x x sin sin )42(cos )24(4=-++--比较系数,得14=-a 024=+c b 142=-c b解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给方程的一个特解为 x x e y x s i n 51c o s 10141-+-=* 所以所求方程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。
对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。
作者签名：日期：毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解**学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。
有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。
学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。
保密的论文（设计）在解密后适用本规定。
作者签名：指导教师签名：日期：日期：注意事项1.设计（论文）的内容包括：1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作）2）原创性声明3）中文摘要（300字左右）、关键词4）外文摘要、关键词5）目次页（附件不统一编入）6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论7）参考文献8）致谢9）附录（对论文支持必要时）2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。
3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。
4.文字、图表要求：1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范。
图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印4）图表应绘制于无格子的页面上5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档5.装订顺序1）设计（论文）2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订3）其它目录1 引言 .....................................................................................................................................2 二阶常系数常微分方程的几种解法 .........................................................................2.1特征方程法....................................................................................................................2.1.1 特征根是两个实根的情形 ..................................................................................2.1.2 特征根有重根的情形............................................................................................2.2常数变易法....................................................................................................................2.3拉普拉斯变换法 ..........................................................................................................3 常微分方程的简单应用 ................................................................................................3.1 特征方程法 ..................................................................................................................3.2 常数变易法 ..................................................................................................................3.3 拉普拉斯变换法 .........................................................................................................4 总结及意义.......................................................................................................................参考文献 ................................................................................................................................二阶常微分方程的解法及其应用摘要：本文主要介绍了二阶常系数微分方程的三种解法：特征方程法、常数变异法和拉普拉斯变换法，并着重讨论了特征方程根为实根、复根及重根的情形。
针对这三种解法的特点，分别将其应用到求解弹簧振子系统的振子的运动方程。
关键词：二阶常微分方程;特征根法；常数变异法；拉普拉斯变换METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION AND ITSAPPLICATIONAbstract:This paper mainly introduces three kinds of solution for two order differential equation with constant coefficients: the characteristic equation method, the method of variation of constant and Laplasse transform method, and discusses the characteristics of Fang Chenggen is the real root, complex roots and root. According to the characteristics of the three solution, were applied to the equations of motion of vibrator for spring oscillator system.Keywords:second ord er ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform1 引言数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是数学分析里大部分思想和理论的根源。
人所共知，常微分方程从它产生的那天起，就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程技术问题的强有力工具。
常微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着进一步发展的活力，主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。
常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
二阶常系数常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位，在工程技术及力学和物理学中都有十分广泛的应用。
关于它的解结构己有十分完美的结论，但其求解方法却各有不同，因此.二阶常系数线性微分方程的求解方法成为常微分方程研究的热点问题之一。
而本文正是在这一背景下对于二阶常系数常微分方程的解法和应用做出研究。
2 二阶常系数常微分方程的几种解法通常来说，纵观二阶常系数常微分方程的解法来看，其中比较有代表性的是特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种解法，因为篇幅和个人能力有限，本文则选取这三种具备代表性的解法进行分析。
2.1特征方程法所谓特征方程，实际上就是为研究相应的数学对象而引入的一些等式，它因研究对象的不同而不同，包括数列特征方程，矩阵特征方程，微分方程特征方程，积分方程特征方程等等。
求微分方程的通解.解 特征方程的根,(1)若这是两个不等实根,则该方程有两个实值解,故通解为（为任意常数）.(2)若这两个根相等,则该方程有二重根,因此方程的通解具有形状（为任意常数）.(3)若这两个根为共轭复根,则该方程的通解具有形状（为任意常数）.数学的许多公式与定理都需要证明,下面本文给出上面前两个解答的理论依据.2.1.1 特征根是两个实根的情形设是上面特征方程的两个不相等的实根,从而相应的方程有如下两个解,我们指出这两个解在上线性无关,从而它们能够组成方程的基本解组.事实上,这时 121212()121211()t tt t t e e w t e e e λλλλλλλλλλ+==,而最后一个行列式是著名的范德蒙德（Vandermonde ）行列式,它等于.由于假设,故此行列式不等于零,从而,于是线性无关,这就是所要证明的.而此方程的通解可表示为（其中为任意数）.如果特征方程有复根,则因方程的系数是实常数,复根将成对共轭出现.设是一特征根,则也是特征根,因而与这对共轭复根对应的,方程有两个复值解()(cos sin )i t t e e t i t αβαββ+=+, .根据定理可知,复值解的实部和虚部也是方程的解.这样一来,对应于特征方程的一对共轭复根,我们可求的方程的两个实值解.2.1.2 特征根有重根的情形设特征方程有重根则众所周知'(1)111()()()0,k F F F λλλ-==== ,先设,即特征方程有因子,于是,也就是特征方程的形状为 ,而对应的方程[]11110n n n n n n d x d x L x a a a x dt dt---≡++++= 变为1110n k n k n k d y d y a a dx dx---+++= . 易见它有个解1, ,而且它们是线性无关的.这样一来,特征方程的重零根就对应方程的个线性无关的解1,.如果这个重根,我们作变量变换,注意到11()()()(1)2(2)111(1)()2!t t m m m m m m m m x ye e y m y y y λλλλλ---⎡⎤==++++⎢⎥⎣⎦，可得 []1111111()n n tt t n n n d y d y L ye b b y e L y e dt dt λλλ--⎡⎤=+++=⎣⎦ , 于是对应方程化为[]11110n n n n n d y d y L y b b y dt dt--=+++= , 其中仍为常数,而相应的特征方程为111()0n n n n G b b b μμμμ--≡++++= , 直接计算易得1111()()()11()()t t t t t F e L e L e e G e μλμλλμλμμλμ+++⎡⎤⎡⎤+===⎣⎦⎣⎦, 因此,从而，,这样,问题就化为前面讨论过的情形了.2.2常数变易法常数变易法是求解微分方程的一种很重要的方法,常应用于一阶线性微分方程的求解。