相似三角形
相似三角形的性质
相似三角形的性质一、引言相似三角形是几何学中的重要概念，广泛运用于日常生活和科学技术领域。
相似三角形的性质揭示了三角形之间的一种特殊关系，即它们的形状相同但大小不同。
本文将对相似三角形的性质进行详细阐述，以便更好地理解这一几何概念。
二、相似三角形的定义1.∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（对应角相等）2.AB/DE=BC/EF=AC/DF（对应边成比例）那么，三角形ABC与三角形DEF是相似的，记作△ABC≌△DEF。
三、相似三角形的性质1.对应角相等相似三角形的一个基本性质是对应角相等。
这意味着如果两个三角形相似，那么它们的每个角都对应相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
2.对应边成比例相似三角形的另一个基本性质是对应边成比例。
这意味着相似三角形的每条边都与另一三角形的对应边成相同的比例。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有AB/DE=BC/EF=AC/DF。
3.对应高的比相等相似三角形的对应高（从顶点到对边的垂线）的比相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有h₁/h₂=k，其中h₁和h₂分别是△ABC和△DEF的对应高，k是相似比。
4.对应中线的比相等相似三角形的对应中线（连接顶点和对边中点的线段）的比相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有m₁/m₂=k，其中m₁和m₂分别是△ABC和△DEF的对应中线，k是相似比。
5.对应角平分线的比相等相似三角形的对应角平分线（将顶点角平分的线段）的比相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有s₁/s₂=k，其中s₁和s₂分别是△ABC和△DEF的对应角平分线，k是相似比。
6.面积比等于相似比的平方相似三角形的面积比等于相似比的平方。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有S₁/S₂=k²，其中S₁和S₂分别是△ABC和△DEF的面积，k是相似比。
四、相似三角形的判定方法1.AA（角角）相似判定法如果两个三角形有两个角分别相等，那么这两个三角形相似。
三角形的相似性知识点
三角形的相似性知识点相似三角形是高中数学中的重要概念，理解和掌握三角形的相似性对于解决与三角形相关的问题非常重要。
本文将介绍三角形相似性的定义、判定方法以及相似三角形的性质。
在学习相似性知识点时，我们需要掌握比例、角度和边长的关系，并且能够应用相似三角形的性质解决实际问题。
一、三角形相似性的定义相似三角形是指具有相同形状但可能不等大的三角形。
正式定义为，如果两个三角形的对应角度相等，那么这两个三角形是相似的。
通常用符号~表示相似关系。
二、相似三角形的判定方法1. AA判定法：如果两个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形是相似的。
2. SSS判定法：如果两个三角形的三个边分别成比例，那么这两个三角形是相似的。
3. SAS判定法：如果两个三角形的一个角相等，另外两个边成比例，那么这两个三角形是相似的。
三、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：相似三角形的对应角都相等。
2. 对应边成比例性质：相似三角形的对应边之间的比值相等。
3. 比例性质：相似三角形的相应边长比例等于相应角度的边长比例。
四、相似三角形的应用相似三角形的性质可以应用于实际问题的解决中，例如测量高楼的高度、影子长度的测量等。
以下是一个例子：假设有一根高塔，在地面上有一杆测量仪器，测量仪器与塔尖的距离为1.5米，同时测量仪器与杆子的投影长度为0.5米。
如果知道测量仪器与塔尖的连线与水平面的夹角为30度，求塔的高度。
解决这个问题可以利用相似三角形的性质。
我们可以将测量仪器与塔尖的连线、杆子和塔的高度组成一个相似三角形。
根据相似三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：(塔的高度) / (杆子的长度) = (测量仪器与塔尖的距离) / (测量仪器与杆子的投影长度)即 h / 0.5 = 1.5 / 0.5解以上比例可得 h = 1.5 米因此，塔的高度为1.5米。
结语：相似三角形的知识点是解决与三角形相关问题的基础，我们通过掌握相似三角形的定义、判定方法以及性质，能够更好地解决实际问题。
三角形的相似定理
三角形的相似定理相似三角形是在几何学中经常遇到的概念，它们有着相似的形状但可能不同的尺寸。
相似性质可以用来解决各种涉及比例和比较长度的几何问题。
在本文中，我们将介绍三角形的相似定理及其应用。
相似三角形的定义相似三角形指的是具有相似形状但不同尺寸的三角形。
两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等，并且对应边长度之间满足一定的比例关系。
AA相似定理AA相似定理是指，如果两个三角形的两个角分别相等（对应角度相等），那么这两个三角形是相似的。
具体而言，如果两个三角形的角度分别是A、B、C和A'、B'、C'，且∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，则可以推断出这两个三角形是相似的。
SAS相似定理SAS相似定理是指，如果两个三角形的一边与另一个相似三角形的两边成比例，并且这两个边夹角相等，那么这两个三角形是相似的。
具体而言，如果两个三角形的边长分别是AB/CD，BC/DE，CA/EA，且∠ABC = ∠CDE，则可以推断出这两个三角形是相似的。
SSS相似定理SSS相似定理是指，如果两个三角形的三边比例相等，则这两个三角形是相似的。
具体而言，如果两个三角形的边长分别是AB/CD，BC/DE，CA/EA，则可以推断出这两个三角形是相似的。
相似三角形的性质与应用相似三角形具有一些重要的性质，可以应用于解决各种几何问题。
1. 对应边的比例如果两个三角形相似，那么它们的对应边的比例是相等的。
例如，如果ΔABC与ΔDEF是相似三角形，那么AB/DE = BC/EF = CA/FD。
2. 高度的比例如果两个三角形相似，那么它们的相应高度也成比例。
例如，如果ΔABC与ΔDEF是相似三角形，那么对应高度h₁/h₂ = AB/DE =BC/EF = CA/FD。
3. 相似三角形的面积比如果两个三角形相似，那么它们的面积之比等于边长之比的平方。
例如，如果ΔABC与ΔDEF是相似三角形，那么S₁/S₂ = （AB/DE）²= （BC/EF）² = （CA/FD）²。
相似三角形的判定方法
相似三角形的判定方法
1、两角分别对应相等的两个三角形相似；
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
3、三边成比例的两个三角形相近；
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似；
5、用一个三角形的两边回去比另一个三角形与之相对应当的两边，分别对应成比例，如果三组对应边较之都相同，则三角形相近。
方法一:定理法，即平行于三角形一边的直线和其他俩边（或他的延长线）相交，所
截得的三角形与原三角形相似，俗话来讲就是一个大的三角形包含一个小的三角形，小的
三角形两边延长就成为了大三角形的两边；
方法二:俩角对应成正比的三角形相近，俗语来说先找出这两个三角形的对应边，间
接找到三角形三组对应角有俩组与成正比则相近；
方法三:两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，俗话来讲:先找到各对应边对应角，一一对应后会很方便。
两边对应成比例:两组对应边之比相等，即按同一种比法相比。
夹
角相等:即所成比例的两边之间的那个角相等；
方法四:三边对应成比例，俗语来说:如上均先找出对应边对应角，将其一一对应。
三边对应成比例:就是三组对应边之比相等，比法均一致；
认定五:只适用于于直角三角形:直角边和斜边对应成比例则这俩个三角形相近，俗语
来说俗语来说:某种程度上直角三角形一个直角边和一个斜边对应成比例也同时代表着另
外一个直角边也对应成比例。
三角形相似(含方法步骤)
.相似三角形及相似条件1.【基础知识】1-1三角对应相等，三边对应成比例的三角形，叫相似三角形 1-2判定定理：定理1.两个角对应相等的两个三角形相似 定理2.三边对应成比例的两个三角形相似定理3.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似1-3相似性质：相似三角形对应高的比，对应角的角平分线的比对应边的比周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方2. 【知识应用】题目要直接证明相似，边成比例或求边的比值，周长，面积的比值 方法：2-1.从问题中找出要证明的两个三角形，若没有则需作辅助线构造三角形2-2.若条件中出现角相等或平行线，垂线的，优先考虑用定理1 2-3.若条件中出现边长或边的比，则考虑定理2和定理32-4再根据所选定的定理，看还差什么条件，到已知中去找或者到图形中去找隐含条件，如对顶角，公共角，直角，公共边等从而证明出相似注意：1.写对应边比例式时，要遵循“横纵一致原则”即，横向看所有处在分子位置的边必须是属于同一个三角形，处在分母位置的边亦然，纵向看分子分母必须是一组对应边 2.在证明边成比例时，如果按步骤2-1仍然无法找到符合的三角形，则一般情况考虑用两组相似三角形，找出一个比例中间量，利用中间量证明边成比例 3.【综合应用】题目问边长3-1.看已知边和要求边同时出现在哪些三角形中，从而确定出相似的两个三角形 3-2.根据【知识应用】的方法，证明相似3-3利用对应边的比例关系，列出等式，解出所求注意：列比例关系时，一定要是对应边，再者等式两边比的先后顺序也要一致 【基础训练】1. 对应角___________，对应边_____________的三角形，叫做相似三角形.2. 如果~'''A B C A B C ∆∆，对应边6,''3,AB cm A B cm ==那么A B C ∆与'''A B C ∆的相似比为________；'''A B C ∆与A B C ∆的相似比为__________________3. A B C ∆的各边长之比为2：5：6，与其相似的另一个'''A B C ∆的最大边为18,cm 那么它的最小边为___________.4. 两个相似三角形的面积比为4：3，则相似比为_____________.5. ~''',ABC A B C ∆∆A B C ∆的三边长分别为3、4、5，'''A B C ∆的最大边长为15，则'''A B C S ∆=________.6. 下列说法正确的个数是（ ） ① 相似三角形的对应角相等，对应边相等. ② 三角形全等是相似的特殊情况；③ 全等三角形是相似比等于1的相似三角形..0A .1B .2C .3D7. A B C ∆的三边长为3：4：5，与它相似的'''A B C ∆的最短边长为6，则'''A B C ∆的周长是（ ）.12A .18B .24C .36D8.两个相似多边形的相似比是2：3，它们的面积之差是302,cm 那么它们的面积之和为（ ）2.74A cm 2.76B c m 2.78C c m 2.80D c m9.下列说法错误的是（ ）.A 两个全等的三角形一定相似 .B 两个直角三角形一定相似.C 两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例 .D 相似的两个三角形不一定全等10. ~''',ABC A B C ∆∆如果0055,100,A B ∠=∠=则'C ∠的度数等于（ ）.A 055 .B 0100 .C 025 .D 030【典型例题】例1.①已知~,ABC ACD ∆∆且5,4,AD BD ==则A C D ∆与A B C ∆的相似比是________. ②在R t A B C ∆中，D 是A C 的中点，D E 垂直于斜边,AB 点E 为垂足，则~,ABC ADE ∆∆若10,4,AB AE ==则AD =___________.1题图 2题图 3题图 4题图③如图所示，G 为A B C ∆的重心，作//D G A C 交B C 于,D 作//E G A B 交B C 于,E 则G D E ∆的面积与A C B ∆的面积比为___________.④ 如图所示，在A B C ∆中，//,DE BC 且分A B C ∆为面积相等的两个部分，则:D E B C =_. ⑤如果111~,ABC A B C ∆∆且相似比为2,3111222~A B C A B C ∆∆且相似比为5,4则A B C ∆与222A B C ∆的相似比是（ ） 5.6A 6.5B 5.6C 或658.15D例2.如图所示，已知~,4,2,ACP ABC AC AP ∆∆==求A B 的长.例3、①一个三角形的三边长分别为5，12和13，与其相似的三角形的最大边长为39，那么较大三角形的周长是多少？两个三角形的周长比是多少？②已知一个三角形框架，其边长分别为4，5，6，现在要做一个与其相似的三角形框架，已知现有一根长为2的木条，则其他两根木条应取多长？例4.已知，边长为2的正三角形,//,:1:4,BC D ABC ABC D E BC S S ∆∆=求C E 的长.例5.如图，在A B C ∆中，,AB AC =B D 为腰A C 上的高.求证：212C D C A B C ⋅=例 6.①如图，梯形A B C D 中，0//,90,A B D C B E ∠=为B C 上一点，且,A E E D ⊥若12,BC =7,:1:2,DC BE EC ==求A B 的长.②已知如图，在梯形A B C D 中，0//,90,7,2,3,AD BC A AB AD BC ∠====在线段A B 上是否存在点P ，使得以,,P A D 为顶点的三角形与以,,P B C 为顶点的三角形相似？若不存在，说明理由；若存在，求出这样的P 点有几个，并计算出A P 的长度.例7.如图所示，在A B C ∆中，090,6C AC ∠==厘米，8B C =厘米，斜边10A B =厘米，点P 从点B 出发，沿B C 向点C 以2厘米秒的速度移动，点Q 从点C 出发，沿C A 向点A以1厘米秒的速度移动，如果,P Q 分别从,B C 同时出发.（1）经过多少秒时，~;CPQ CBA ∆∆（2）经过多少秒时，以,,C P Q 为顶点的三角形与A B C ∆相似.例8.如图，一个边长为3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形顶点B 重合，另两个顶点分别在正方形的两条边,AD DC 上，那么这个正方形的面积是___平方厘米.【课堂练习】1、如果~,ABC FDE ∆∆则A ∠=_________,C ∠=_______，A B B C=___________.2、如图，~,10,13,8,ABC DCA AB BC AC ∆∆===则AD =_____,D C =______.3、如图A D 是A B C ∆的角平分线，,,12,20,BE AD CF AD CF BE ⊥⊥==64,AB AC +=则A B =_______.2题 3题4、直角三角形斜边上的高分斜边为3:2两段，斜边上的高为6,cm 则斜边上的中线长为____.5、已知~''',ABC A B C ∆∆且:''1:1,AB A B =则A B C ∆和'''A B C ∆的关系是________.6、已知~,ABC DEF ∆∆且3,2A B D E=则这两个三角形对应中线之比为________，面积之比为__________.7、在A B C ∆中，12,8,AB cm AC cm ==点,D E 分别在,AB AC 上，如果AD E ∆与A B C ∆能够相似，且4A D cm =时，则A E =______________cm .8、E 是平行四边形A B C D 的B C 边上一点，A E 交B D 于,F 且:4:5,BE EC =求B F F D和A F F E的值.9、在锐角A B C ∆中，F 是A C 上一点，且1,2A F G F C=是B F 中点，连结A G 并延长，交B C与.E （1）求B E E C的值。
相似三角形的判定公式
相似三角形的判定公式
相似三角形的判定公式为：AA(角角)、SAS(边角边)、SSS(边边边)、HL等等。
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
相似三角形判定定理
1.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。
)(AA)
2.如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
)(SAS)
3.如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
)(SSS)
4.两三角形三边对应平行，则两三角形相似。
(简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。
)
5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
(简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
)(HL)
6.如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似(相似比为1：1)(简叙为：全等三角形相似)。
相似三角形的五种判定方法SSA
相似三角形的五种判定方法SSASSA是根据两条边加上它们之间的夹角来判断三角形是否相似的方法。
如果两个三角形的两条边加上它们之间的夹角相等，则这两个三角形是相似的，即满足SSA。
例如，两个三角形A的两边长分别为4 cm、6 cm，它们之间的夹角为60°；而三角形B的两边长也分别为4 cm、6 cm，它们之间的夹角也为60°，则A和B是相似的三角形。
第二种判定方法：SAS(Side-Angle-Side)SAS是根据一条边的长度及它两旁角的大小来判断三角形是否相似的方法。
如果两个三角形有一条边的长度及它两旁夹角的大小相等，则这两个三角形是相似的，即满足SAS。
例如，两个三角形A的边长分别为2 cm、4 cm，它们的夹角分别为60°和30°；而三角形B的边长也分别为2 cm、4 cm，它们的夹角也分别为60°和30°，则A和B是相似的三角形。
第三种判定方法：AAA(Angle-Angle-Angle)AAA是根据三角形的三个内角的大小来判断三角形是否相似的方法。
如果两个三角形的三内角大小相等，则这两个三角形是相似的，即满足AAA。
例如，三角形A的角的大小分别为30°、60°、90°；而三角形B的角的大小也分别为30°、60°、90°，则A和B是相似的三角形。
第四种判定方法：AAS(Angle-Angle-Side)AAS是根据两个内角的大小加上它们之间一条边的长度来判断三角形是否相似的方法。
如果两个三角形有两个内角的大小及它们之间一条边长度相等，则这两个三角形是相似的，即满足AAS。
例如，两个三角形A的角分别为30°、60°，它们之间一条边长度为3 cm；而三角形B的角分别为30°、60°，它们之间一条边长度也为3 cm，则A和B是相似的三角形。
相似三角形完整版PPT课件
强调逻辑推理的严密性和条理性，培养学 生分析问题和解决问题的能力。
分析法证明
从结论出发，逆向分析， 寻找使结论成立的条件。
通过分析已知条件和结论 之间的关系，找到证明相 似三角形的关键步骤。
培养学生的逆向思维能力 和分析问题的能力。
构造法证明
相似三角形在几何变换中的应用
在平移、旋转、轴对称等几何变换中，相似三角形可以保持其形状不变，因此具有一些重要的应用。例 如，在建筑设计、地图制作等领域中，常常需要利用相似三角形进行比例缩放和形状保持。
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04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
性质
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等。
判定方法
预备定理
SSS相似
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似。
SAS相似
AA相似
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
在证明两个三角形相似时，要严 格按照相似三角形的判定定理进
行推导，避免出现逻辑错误。
拓展延伸：更高阶相似性质探讨
相似多边形
对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似。相似多边形具有与相似三角形类似的性质。
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相似三角形
●比例线段
两条线段长度的比，叫做两条线段的比
对于四条线段a、b、c、d，如果a:b=c:d，那么a、b、c、d，叫做比例线段，简称比例线段。
这时，线段a、d是比例外项，线段b、c是比例内项。
【例1】若1、2、3、d成比例线段，则d=____________
●比例的性质
1.基本性质：a/b=c/d←→ad=b c (b*d≠0)
2.反比性质：a/b=c/d←→b/a=d/c (a*b*c*d≠0)
3.更比性质：a/b=c/d←→a/c=b/d (a*b*c*d≠0)
4.合比性质：a/b=c/d←→(a+b)/b=(c+d)/d (b*d≠0)
5.分比性质：a/b=c/d←→(a-b)/b=(c-d)/d (b*d≠0)
6.等比性质：
a₁/b₁=a₂/b₂=a₃/b₃=…=a n/b n=k→(a1+a2+…+a n)/(b1+b2+…+b n) (其中k为正整数，且b1+b2+…+b n≠0,b₁·b₂·…·b n≠0)
●黄金分割点
如图，点P把线段AB分为两部分，如果PB/AP=AP/AB，那么称线段AB 被点P黄金分割，点P为线段AB的黄金分割点，AP与AB（或PB与AP）的比值（√5-1）/2成为黄金分割数（简称黄金数），在应用时常取它的近似值0.618 。
（一般来说，一条线段的黄金分割点有两个）
A P B
【例2】如图，P为线段AB的黄金分割点（PB>PA），四边形AMNB、四边形PBFE都为正方形，且面积分别为S₁、S₂。
四边形APHM、四边形APEQ 都为矩形，且面积分别为S3、S4.下列说法正确的是（）
A．S
2=(√5-1)/2 *S1 Q F B．S2=S3
C．S3=（√5-1）/2 *S4 B D．S4=（√5-1）/2 *S1
N 平行线分线段成比例
成比例。
边于原三角形的三边对应成比例。
平行于三角形的第三边。
侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
1
(反之依然)
，AD/BD=
（反之依然）
3°、 D L 当L在AB、AC的反向延长线上时
E A 已知DE//BC,则AB/AD=CA/AE,AD/BD=
AE/EC,AD/AB=AE/AC=DE/BC
B C
【例3】
1)已知AD/DB=AE/EC=1,证明：DE//BC A
D E
2)已知DE//BC，AD/DB=1，证明：AE/EC=1
B C
如图，如果L1//L2//L3,则AB/BC=DE/EF, A D L1
AB/AC=DE/DF,BC/AC=EF/DF B E L2
C F L3
(此图同然) A D
E B
F C
●相似三角形的性质
对应角相等，对应中线、高线、角平分线成比例
周长比等于相似比，面积、表面积比等于相似比的平方，体积等于相似比的立方
相似具有传递性
全等是一种相似
●相似三角形的定义
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形
两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）●相似三角形的预备定理
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似。
（A、8字模型）
●相似三角形的判定定理
1）两角对应相等，两个三角形相似（AA）
2）两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似（SAS）
3）三边对应成比例，两个三角形相似（SSS）
4）斜边和直角边对应成比例，两个三角形相似（HL）
相似三角形的基本模型
1）A、8字模型 A F E
E F A
B C B C
如图，EF//BC则△AEF∽△ABC,AE/AB=AF/AC=EF/BC
2）反A模型 A
如图，若∠AED=∠B，则△AED∽△ABC，
于是有AE/AB=AD/AC=DE/BC , D E
即AE·AC=AD·AB
B C
特别地，当E与C重合时，有AC2=AD·AB A
D
B C
3）反8模型 A D 如图，若∠A=∠D，则△OAB∽△ODC，
于是有AO/DO=BO/CO=AB/CD, O
即AO·OC=BO·OD B
C
4）内接矩形问题
如图，已知四边形DEFG是△
内接矩形，则有：
△ADG∽△ABC，△ADN∽△DBE
△ABN，△AGN∽△GCF∽△ACM
特别地，当∠BAC=90°时，有△ADG∽△EBD∽△FGC∽△ABC.
相似三角形的经典模型
1
如图，若EF//BC,则有EN/NF=BM/MC.
A F N E
A
E N F
B M
C B M C
2）三平行模型（两“A”-“8”字）
如图，已知AB//EF//CD，若AB=a，CD=b，EF=c，则有1/c=1/a+1/b.
A C
E
B F D
3）射影定理（双垂直模型）
如图，在Rt△ABC中∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，则有射影定理：
AB²=BD·BC，AC²=CD·CB，AD²=BD·CD
证明：∵AB⊥AC，AD⊥BC
∴△ABD∽△CAD∽△CBA
∴BD/AD=AD/CD AD²=BD·CD
同理得：AB²=BD·BC，AC²=CD·BC
进一步可得：AB²/AC²=(BD·BC)/(CD·BC)=BD/CD=S△ABD/S△ACD 双垂直模型中，已知任意两条边长都可以求出其他边的长度。
A
B D C
4）角平分线模型
ABC中，∠BAC的角平分线交对边BC于点则有：AB/AC=BD/CD
A
B D C
ABC中，∠BAC的外角平分线交对边BC的延长线于点D，则有AB/AC=BD/CD
A
B C D
5)三垂直模型
对于①，由AB⊥BC，AE⊥BD，CD⊥BD，则△ABE∽△BDC，
AE/BD=AB/BC=BE/CD（②③同理）
特别地，对于③，当点E时BC中点时，有△ABE∽△ECD∽△AED.
6）一线三等角模型
如图，∠CAP=∠CPD=∠PBD，则△CAP∽△PBD，CA/PB=AP/BD=PC/DP.
特别地，当P是AB中点时，有△CAP∽△PBD∽△CPD（倒推也可得中点）7）旋转型相似
由一点发出四条线段对应成比例：AB/AD=AC/AE.
两对相似三角形：△ABC∽△ADE和△ABD∽△ACE.。