2012届高三步步高大一轮复习课件：12.4离散型随机变量及其分布列

0.4 0.3 0.2 0.1 0.3 0.4 0.2 0.1 0.3 0.3 0.2 0.2
300 元的人数为 X，求 X 的分布列； (4)求至少有两人的消费额大于 300 元的概率．
解
(1)P1＝(0.3)2×0.6＋2×0.3×0.7×0.4＝0.222；
(2)消费总额为 1 500 元的概率是： 0.1×0.1×0.2＝ 0.002；消费总额为 1 400 元的概率是：(0.1)2×0.2＋ 2×(0.2)2×0.1＝0.010， 消费总额为 1 300 元的概率是：(0.1)2×0.3＋ 0.3×0.1×0.2＋0.1×0.4×0.2＋0.23＋2×0.22×0.1＝ 0.033.所以消费总额大于或等于 1 300 元的概率是 P2 ＝0.045；
为随机变量 X 的概率分布列，具有性质： ①pi ≥ 0 ， i ＝ 1,2 ，„， n ；②p1 ＋ p2 ＋„＋ pi ＋„概率等 于它取这个范围内各个值的概率之和.
2．如果随机变量 X 的分布列为 其中 0<p<1，q＝1－p， 则称离散型随机变 3．超几何分布列 在含有 M 件次品的 N 件产品中， 任取 n 件， 其中恰有 X 件次品，则事件 {X＝ k} 发生的概率为： P(X＝ k) ＝ n－ k Ck MCN－M (k＝0,1,2，„，m)，其中 m＝min{M，n}，且 Cn N n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，则称分布列 X „ 0 1 m n－ 0 1 n－ 1 m n－ m C0 · C C C C － － M N M M N M MCN－M „ P Cn Cn Cn N N N X P 1 p 0 q
2．离散型随机变量的分布列的作用 对于随机变量 X 的研究，需要了解随机变 量将取哪些值以及取这些值或取某一集合 内的值的概率，对于离散型随机变量，它 的分布列正是指出了随机变量 X 的取值范 围以及取这些值的概率．
基础自测 1．设随机变量 X 的分布列如下： X 1 2 3 4 P 1 1 1 6 3 6 p
(3)由于按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分， 所 以当计分介于 20 分～40 分时，X 的取值为 3 或 4，所以所求概率为 2 3 13 P＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝ ＋ ＝ . 15 10 30 探究提高 在解决概率分布问题时要逐渐将问
题回归到分布列上来， 这样所求的概率就可由分 布列中相应取值的概率累加得到．
5．设随机变量 X 的概率分布列如表所示： X 0 1 2 1 1 P a 3 6 F(x)＝P(X≤x)，则当 x 的取值范围是[1,2) 5 D. 6 1 解 析 由 分 布 列 的 性 质 知 a ＝ ， F(x) ＝ 2 1 P(X≤x) (x∈[1,2))＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝ ＋ 2 1 5 ＝ .故选 D. 3 6 时，F(x)等于( D ) 1 1 1 A. B. C. 3 6 2
探究提高
对于服从某些特殊分布的随机变
量，其分布列可以直接应用公式给出．超几何 分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽 到的某类个体的个数．
变式训练 2 一个盒子中装有 16 个白球和 4 个黑 球，从中任意取出 3 个，设 X 表示其中黑球 的个数，求 X 的分布列．
解 X 的可能取值为 0,1,2,3， 3 1 2 C0 C 28 C 8 4 16 4C16 P(X＝0)＝ 3 ＝ ；P(X＝1)＝ 3 ＝ ； C20 57 C20 19 1 0 C2 8 C3 1 4C16 4C16 P(X＝2)＝ 3 ＝ ；P(X＝3)＝ 3 ＝ . C20 95 C20 285 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 3 28 8 8 1 P 57 19 95 285
思维启迪
(1)是古典概型； (2)关键是确定 X
的所有可能取值； (3)计分介于 20 分到 40 分之 间的概率等于 X＝3 与 X＝4 的概率之和．
解 (1)方法一 “一次取出的 3 个小球上的数
字 互 不 相 同 ” 的 事 件 记 为 A ， 则 P(A) ＝ 1 1 1 C3 C 2 5 2C2C2 ＝ . 3 C10 3 方法二 “一次取出的 3 个小球上的数字互不 相同”的事件记为 A，“一次取出的 3 个小球 上有两个数字相同”的事件记为 B，则事件 A 2 1 C1 C 1 5 2C8 和事件 B 是互斥事件． 因为 P(B)＝ ＝ ， C3 3 10 1 2 所以 P(A)＝1－P(B)＝1－ ＝ . 3 3
量 X 服从参数为 p 的 两点分布 .
为超几何分布列．
[难点正本
疑点清源]
1．随机变量的本质 (1)所谓随机变量，就是试验结果和实数之 间的一个对应关系，这与函数概念本质上 是相同的，只不过在函数概念中，函数 f(x) 的自变量是实数 x，而在随机变量的概念 中，随机变量 X 的自变量是试验结果． (2)随机变量具有如下特点：其一，在试验 之前不能断言随机变量取什么值，即具有 随机性；其二，在大量重复试验中能按一 定统计规律取实数值的变量，即存在统计 规律性．
(3)P(X＝0)＝0.7×0.7×0.6＝0.294， P(X＝1)＝0.3×0.7×0.6×2＋0.7×0.7×0.4＝0.448， P(X＝2)＝0.3×0.3×0.6＋0.3×0.7×0.4×2＝0.222， P(X＝3)＝0.3×0.3×0.4＝0.036. 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 3 0.036 P 0.294 0.448 0.222
3．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取 一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球， 又记下它的颜色，写出这两次取出白球数 η 的 分布列为______________．
η 的所有可能值为 0,1,2. 1 C1 1 1C1 P(η＝0)＝ 1 1＝ ， C2C2 4 1 C1 1 1C1×2 P(η＝1)＝ 1 1 ＝ ， C2C2 2 1 C1 C 1 1 1 P(η＝2)＝ 1 1＝ .∴η 的分布列为 C2C2 4 η 0 1 2 1 1 1 P 4 2 4 答案 η 0 1 2 1 1 1 P 4 2 4 解析
k Pξ＝5 ＝ak
解
所给分布列为 ξ P 1 5 a 2 5 2a 3 5 3a 4 5 4a 1 5a
1 (1)由 a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得 a＝ . 15 3 3 4 (2)P ξ≥5 ＝P ξ＝5 ＋P ξ＝5＋P(ξ＝1) 1 3 2 2 4 3 4 5 4 ＝ ＋ ＋ ＝ .(或 Pξ≥5＝1－Pξ≤5＝1－15＋15＝ )． 15 15 15 5 5 1 7 1 2 3 (3)因为 <ξ< ，只有 ξ＝ ， ， 时满足， 10 10 5 5 5 1 7 1 2 3 故 P10<ξ<10＝Pξ＝5＋Pξ＝5＋Pξ＝5 1 2 3 2 ＝ ＋ ＋ ＝ . 15 15 15 5
4．抛掷 2 颗骰子，所得点数之和记为 X，那 么 X＝4 表示的随机试验结果是( D ) A．2 颗都是 4 点 B．1 颗是 1 点，另 1 颗是 3 点 C．2 颗都是 2 点 D．1 颗是 1 点，另 1 颗是 3 点，或者 2 颗 都是 2 点
解析 由于抛掷 1 颗骰子，可能出现的点数是 1,2,3,4,5,6 这 6 种情况之一， 而 X 表示抛掷 2 颗 骰子所得到的点数之和，所以 X＝4＝1＋3＝2 ＋2 表示的随机试验结果是：1 颗是 1 点，另 1 颗是 3 点，或者 2 颗都是 2 点，故选 D.
§ 12.4 离散型随机变量及其分布列 基础知识 自主学习
要点梳理 1．离散型随机变量的分布列 (1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表 示，那么这样的变量叫做 随机变量 ；按一定 次序一一列出，这样的随机变量叫
离散型随机变量 .
(2)设离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1， x2，„，xn，X 取每一个值 xi(i＝1,2，„，n) 的概率 P(X＝xi)＝pi，则称表 X x1 P p1 x2 „ xi „ xn p2 „ pi „ pn
(2)随机变量 X 的可能取值为 2,3,4,5， 取相应值 C3 1 4 的概率分别为 P(X＝2)＝ 3 ＝ ， C10 30 2 1 C1 C2 2 2C4 2C4 P(X＝3)＝ 3 ＋ 3 ＝ ， C10 C10 15 2 1 C1 C2 3 2C6 2C6 P(X＝4)＝ 3 ＋ 3 ＝ ， C10 C10 10 2 1 C1 C2 8 2C8 2C8 P(X＝5)＝ 3 ＋ 3 ＝ . C10 C10 15 ∴随机变量 X 的分布列为 X 2 3 4 5 1 2 3 8 P 30 15 10 15
1 i 则 p＝________. 3
解析
由分布列的性质知： 所有概率之和为 1， 1 所以 p＝ . 3
i 2．已知随机变量 X 的分布列为 P(X＝i)＝ (i 2a
1 ＝1,2,3)，则 P(X＝2)＝________. 3
1 2 3 解析 由分布列的性质知 ＋ ＋ ＝1， 2a 2a 2a 2 1 ∴a＝3，∴P(X＝2)＝ ＝ . 2a 3
探究提高 在含有未知数的概率分布列的问 题中，要根据概率分布列的两个性质列出方程 和不等式组成的混合组求解未知数．
变式训练 1 设随机变量 ξ 的分布列 (k＝1，2,3,4,5)． (1)求常数 a 的值； 3 (2)求 Pξ≥5 ； 1 7 (3)求 P10<ξ<10 .
变式训练 3 为应对金融危机，刺激消费，某市给市民 发放旅游消费券，由抽样调查预计老、中、青三类 市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其 概率如下表： 某天恰好有持有这种消费 券的老年人、中年人、青年 人各一人到该旅游景点，(1) 求这三人恰有两人消费额 大于 300 元的概率； (2) 求这三人消费总额大于 或等于 1 300 元的概率； (3) 设这三人中消费额大于 老 年 中 年 青 年 200 300 400 500 元 元 元 元