人教A版高中数学必修五高一(下)第一次月考数学试卷.doc

精心制作仅供参考唐玲出品马鸣风萧萧高中数学学习材料唐玲出品高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共50分）1．（5分）（2012•辽宁）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．176考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：根据等差数列的定义和性质得a1+a11=a4+a8=16，再由S11=运算求得结果．解答：解：∵在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，故选B．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n 项和公式的应用，属于中档题．2．（5分）在△ABC中，A=60°，，则B等于（）A．45°或135°B．135°C．45°D．30°考点：正弦定理．专题：计算题．分析：由A=60°，所给的条件是边及对的角，故考虑利用正弦定理，由正弦定理可得，，可得，结合大边对大角由a＞b 可得A＞B，从而可求B．解答：解：∵A=60°，由正弦定理可得，马鸣风萧萧∴∵a＞b∴A＞B∴B=45°故选：C点评：本题主要考查了在三角形中，所给的条件是边及对的角，可利用正弦定理进行解三角形，但利用正弦定理解三角形时所求的正弦，由正弦求角时会有两角，要注意利用大边对大角的运用．3．（5分）在正整数100至500之间能被11整除的数的个数为（）A．34 B．35 C．36 D．37考点：整除的基本性质．专题：计算题．分析：计算出正整数100至500之间能被11整除的数中，最小的数和最大的数，代入n=（M﹣m）÷a+1（其中M表示满足条件的最大数，m表示满足条件的最小数，a表示除数，n表示满足条件的个数），即可得到答案．解答：解：正整数100至500之间能被11整除的数中最小的是110，最大的495∵（495﹣110）÷11+1=36故正整数100至500之间能被11整除的数的个数为36个故选C点评：本题考查的知识点是整除的基本性质，其中求（Q，P）上能被a整除的数的个数公式n=（M﹣m）÷a+1是解答本题的关键．4．（5分）对在△ABC中，sinA：sinB：sinC=，则最小内角是（）A．60°B．45°C．30°D．都不是考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理化简已知的等式，得到a：b：c的比值，设出a，b及c，判断得到a所对的角为最小角，利用余弦定理求出cosA的值，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答：解：由正弦定理==化简已知的比例式得：a：b：c=2：：（+1），设a=2k，b=k，c=（+1）k，∵a所对的角为A，且a最小，∴A为最小内角，∴cosA===，∴A=45°．故选B点评：此题考查了正弦、余弦定理，比例的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．5．（5分）在△ABC中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则的值为（）精心制作仅供参考唐玲出品精心制作仅供参考唐玲出品A ． 19B ． ﹣14C ． ﹣18D ． ﹣19考点： 向量在几何中的应用． 专题： 计算题．分析： 根据题中已知条件先求出cosB 的值，然后根据向量的求法即可求出答案． 解答： 解：AB=7，BC=5，AC=6所以cosB===，=|AB|•|BC|•cos （π﹣B ）=7×5×（﹣）=﹣19．故选D ．点评： 本题主要考查了向量在几何中的实际应用，考查了学生的计算能力和对向量的综合掌握，属于基础题．6．（5分）在△ABC 中，三边a 、b 、c 与面积S 的关系是S=，则角C 应为（ ）A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ． 90°考点： 余弦定理；正弦定理． 专题： 计算题．分析： 用三角形面积公式表示出S ，利用题设等式建立等式，进而利用余弦定理求得2abcosC=a 2+b 2﹣c 2，进而整理求得sinC 和cosC 的关系进而求得C ．解答：解：由三角形面积公式可知S=absinC ，∵S=，∴absinC=由余弦定理可知2abcosC=a 2+b 2﹣c 2∴sinC=cosC ，即tanC=1， ∴C=45° 故选B点评： 本题主要考查了余弦定理的应用．要能熟练掌握余弦定理公式及其变形公式．7．（5分）已知﹣1，a 1，a 2，8成等差数列，﹣1，b 1，b 2，b 3，﹣4成等比数列，那么的值为（ ）A ． ﹣5B ．5 C ．D ．考点： 等比数列的性质；等差数列的性质． 专题： 计算题．分析： 由﹣1，a 1，a 2，8成等差数列，利用等差数列的性质列出关于a 1与a 2的两个关系式，联立组成方程组，求出方程组的解得到a 1与a 2的值，再由﹣1，b 1，b 2，b 3，﹣4成等比数列，利用等比数列的性质求出b 12=4，再根据等比数列的性质得到b 12=﹣b 2＞0，可得出b 2小于0，开方求出b 2的值，把a 1，a 2及b 2的值代入所求式子中，化简即可求出值．马鸣风萧萧解答：解：∵﹣1，a1，a2，8成等差数列，∴2a1=﹣1+a2①，2a2=a1+8②，由②得：a1=2a2﹣8，代入①得：2（2a2﹣8）=﹣1+a2，解得：a2=5，∴a1=2a2﹣8=10﹣8=2，又﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，∴b12=﹣b2＞0，即b2＜0，∴b22=（﹣1）×（﹣4）=4，开方得：b2=﹣2，则==﹣5．故选A点评：此题考查了等差数列的性质，以及等比数列的性质，熟练掌握性质是解本题的关键，同时在求b2值时，应先判断得出b2的值小于0，进而开方求出．8．（5分）（2009•广东）已知等比数列{a n}满足a n＞0，n=1，2，…，且a5•a2n﹣5=22n（n≥3），则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=（）A．（n﹣1）2B．n2C．（n+1）2D．n2﹣1考点：等比数列的通项公式；对数的运算性质．专题：计算题；压轴题．分析：先根据a5•a2n﹣5=22n，求得数列{a n}的通项公式，再利用对数的性质求得答案．解答：解：∵a5•a2n﹣5=22n=a n2，a n＞0，∴a n=2n，∴log2a1+log 2a3+…+log2a2n﹣1=log2（a1a3…a2n﹣1）=log221+3+…+（2n﹣1）=log2=n2．故选B．点评：本题主要考查了等比数列的通项公式．属基础题．9．（5分）如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值为（）A．B．0＜k≤12 C．k≥12 D．0＜k≤12或考点：解三角形．专题：计算题；分类讨论．分析：要对三角形解得各种情况进行讨论即：无解、有1个解、有2个解，从中得出恰有一个解时k满足的条件．解答：解：（1）；（2）；（3）；（4）当0＜BC≤AC，即0＜k≤12时，三角形有1个解．综上所述：当时，三角形恰有一个解．故选D点评：本题属于解三角形的题型，主要考查了三角形解个数的问题，重在分情况分类讨论．易错点在于可能漏掉这种情况．精心制作仅供参考唐玲出品精心制作仅供参考唐玲出品10．（5分）锐角三角形△ABC 中，若A=2B ，则下列叙述正确的是（ ） ①sin3B=sinC ；②tan tan =1；③＜B ＜；④∈[，]．A ． ①②B ． ①②③C ．③④ D ．①④考点： 解三角形． 专题： 计算题． 分析：由△ABC 为锐角三角形可得，由A=2B ，可得C=π﹣3B ，代入已知可求的B 的范围，从而可判断③由C=π﹣3B ，利用正弦函数的诱导公式可判断①，利用正切函数的诱导公式可判断② 利用正弦定理可及二倍角公式化简可得，=cosB ，由③中B ∈结合余弦函数的单调性可求范围，从而判断④解答： 解：∵△ABC 中，A=2B ∴C=π﹣（A+B ）=π﹣3B又∵△ABC 为锐角三角形解不等式可得故③正确∴sinC=sin （π﹣3B ）=sin3B 故①正确 tan=tan =1，故②正确==2cosB由可得故④错误故答案为：①②③点评： 本题主要考查了三角形的内角和公式，三角函数的诱导公式，解三角形的基本工具：正弦定理，二倍角的正弦公式及由角的范围求三角函数值的范围，综合的知识点较多，但都是基本运用，要求考生熟练基本公式，灵活运用公式解题．二、填空题（每题5分，共25分）11．（5分）已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9=2a 52，a 2=2，则a 1= ．考点： 等比数列的通项公式．专题： 计算题；等差数列与等比数列． 分析：由a 3a 9=2a 52，结合等比数列的性质可求q ，然后由可求 解答： 解：∵a 3a 9=2a 52，马鸣风萧萧由等比数列的性质可知，∴•a5∵a n＞0∴q=∵a2=2∴=故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式的简单应用，属于基础试题12．（5分）△ABC中，a（sinB﹣sinC）+b（sinC﹣sinA）+c（sinA﹣sinB）=0．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：直接利用正弦定理a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入即可求值解答：解：a（sinB﹣sinC）+b（sinC﹣sinA）+c（sinA﹣sinB）=2RsinAsinB﹣2RsinAsinC+2RsinBsinC﹣2RsinBsinA+2RsinCsinA﹣2RsinCsinB=0故答案为：0点评：本题主要考查了正弦定理a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC的简单应用，属于基础试题13．（5分）设a n=﹣n2+10n+11，则数列{a n}从首项到第10或11项的和最大．考点：数列的函数特性；等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：解不等式a n≥0，得1≤n≤11且a11=0．由此讨论数列{a n}各项的符号，可得{a n}从首项到第10项的和与首项到第11和相等，达到最大值．解答：解：∵a n=﹣n2+10n+11，∴解不等式a n≥0，即﹣n2+10n+11≥0，得﹣1≤n≤11∵n∈N+，∴1≤n≤11，可得从a1，a2，…a10的值都是非负数，a11=0，而从n≥12时，a n＜0因此，数列{a n}从首项到第10项的和与首项到第11和相等，达到最大值．故答案为：10或11点评：本题给出数列的通项公式，求它的前n项和达到最大值时项数n的值．着重考查了一元二次不等式的解法和数列的函数特性等知识，属于基础题．14．（5分）在数列{a n}中，a1=1，n∈N+，则是这个数列的第6项．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：根据题中已知题意将a1=1代入题中公式中分别求出a2、a3…的值即可知道当n=6时a6=．精心制作仅供参考唐玲出品精心制作仅供参考唐玲出品解答：解：在数列{an}中a 1=1，n ∈N +，a 2==，a 3==，a 4==，a 5===，a 6==，∴是这个数列的第6项，故答案为6．点评： 本题主要考查了数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．15．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，B=30°，△ABC 的面积为，则b=．考点： 数列与三角函数的综合． 专题： 计算题．分析： 由a ，b ，c 成等差数列可得2b=a+c 结合B=30°而要求b 故不能采用正弦定理而采用余弦定理即cosB==再利用面积公式可得然后代入化简即可求值．解答： 解：∵a ，b ，c 成等差数列∴2b=a+c ①又∵△ABC 的面积为 ∴②∴ac=6马鸣风萧萧又∵cosB==③∴由①②③知=∴=又∵b＞0∴b=故答案为：点评：本题主要考查了求解三角形．求b可利用余弦定理还是利用正弦定理关键是要分析题中所获得的条件：2b=a+c ，ac=6而这两个条件在正弦定理中是体现不出来的故采用余弦定理，同时在求解的过程中用到了配方变形这一技巧！三、解答题（共75分）16．（12分）（2009•湖北）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且．（1）确定角C的大小；（2）若，且△ABC的面积为，求a+b的值．考点：余弦定理的应用；正弦定理．专题：计算题．分析：（1）通过正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC的值，进而求得C．（2）先利用面积公式求得ab的值，进而利用余弦定理求得a2+b2﹣ab，最后联立变形求得a+b的值．解答：解：（1）由及正弦定理得：，∵sinA≠0，∴在锐角△ABC中，．（2）∵，，由面积公式得，即ab=6①由余弦定理得，即a2+b2﹣ab=7②由②变形得（a+b）2=25，故a+b=5．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．对于这两个定理的基本公式和变形公式应熟练记忆，并能灵活运用．17．（2010•重庆）已知{a n}是首项为19，公差为﹣4的等差数列，S n为{a n}的前n项和．（Ⅰ）求通项a n及S n；（Ⅱ）设{b n﹣a n}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n．考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；数列递推式．精心制作仅供参考唐玲出品专题：计算题．分析：（Ⅰ）先根据等差数列的通项公式和求和公式求得a n和S n．（Ⅱ）根据等比数列的通项公式求得{b n﹣a n}的通项公式，根据（1）中的a n求得b n，可知数列{b n}是由等差数列和等比数列构成，进而根据等差数列和等比数列的求和公式求得T n．解答：解：（Ⅰ）∵{a n}是首项为19，公差为﹣4的等差数列∴a n=19﹣4（n﹣1）=﹣4n+23．．∵{a n}是首项为19，公差为﹣4的等差数列其和为（Ⅱ）由题意{b n﹣a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴b n﹣a n=2n﹣1，所以b n=a n+2n﹣1=2n﹣1﹣4n+23∴T n=S n+1+2+22+…+2n﹣1=﹣2n2+21n+2n﹣1点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．属基础题．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．考点：数列递推式；等比关系的确定．专题：综合题．分析：（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．解答：解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2，①则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②①﹣②得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n﹣1，所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，所以．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．19．航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m，速度为180km（千米）/h（小时），飞机先看到山顶的俯角为15°，经过420s（秒）后又看到山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度（取，）．精心制作仅供参考唐玲出品马鸣风萧萧考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；应用题．分析：先求AB的长，在△ABC中，可求BC的长，进而由于CD⊥AD，所以CD=BCsin∠CBD，故可得山顶的海拔高度．解答：解：∵∠A=15°∠DBC=45°∴∠ACB=30°，…（1分）AB=180km（千米）/h（小时）×420s（秒）=21000（m ）…（3分）∴在△ABC中，…（4分）∴（求AC也可）…（7分）∵CD⊥AD，∴CD=BCsin∠CBD=BC×sin45°=×==10500（1.7﹣1）=7350 …（9分）山顶的海拔高度=10000﹣7350=2650（米）…（10分）点评：本题以实际问题为载体，考查正弦定理的运用，关键是理解俯角的概念，属于基础题．20．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）如果，，求实数m的取值范围．考点：余弦定理；二倍角的余弦；余弦函数的定义域和值域．专题：计算题；解三角形．精心制作仅供参考唐玲出品精心制作仅供参考唐玲出品 分析：（1）由余弦定理可求，cosC=，结合C 的范围可求C （2）由（1）可得，A+B=，然后利用二倍角公式对m 进行化简，然后把A ，B 的关系代入m ，结合已知A 的范围及正弦函数的性质可求m 的范围解答： 解：（1）∵由余弦定理可得，cosC== ∵0＜C ＜π∴（2）由（1）可得，A+B=∵=cosA ﹣sinB ==﹣sinB ==∵∴∴∴∴∴ 点评： 本题主要考查了余弦定理及和差角的三角函数、二倍角公式等在三角化简中的应用，正弦函数的性质的灵活应用是求解问题的关键21．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n •S n ﹣1=0（n ≥2），a 1=．（1）求证：{}是等差数列；（2）求a n 表达式；马鸣风萧萧（3）若b n=2（1﹣n）a n（n≥2），求证：b22+b32+…+b n2＜1．考点：数列递推式；等差关系的确定；数列的求和．专题：计算题；证明题．分析：（1）根据题中已知条件化简可得出Sn与S n﹣1的关系，再求出S1 的值即可证明{}是等差数列；（2）根据（1）中求得的S n与S n﹣1的关系先求出数列{}的通项公式，然后分别讨论n=1和n≥2时a n的表达式；（3）根据（2）中求得的a n的表达式即可求出bn的表达式，然后将bn的表达式代入b22+b32+…+b n2中，利用缩放法即可证明b22+b32+…+b n2＜1．解答：解（1）∵﹣a n=2S n S n﹣1，∴﹣S n+S n﹣1=2S n S n﹣1（n≥2）S n≠0，∴﹣=2，又==2，∴{}是以2为首项，公差为2的等差数列．（2）由（1）=2+（n﹣1）2=2n，∴S n=当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣n=1时，a1=S1=，∴a n=；（3）由（2）知b n=2（1﹣n）a n=∴b22+b32+…+b n2=++…+＜++…+=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣＜1．点评：本题主要考查了数列的递推公式以及等差数列的基本性质，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．。