2018年高中数学第一章数列1.2等差数列1.2.2第2课时等差数列习题课达标练习北师大版必修520

1.2.2 第2课时等差数列习题课[A基础达标]1．在数列{a n}中，a1＝15，3a n＋1＝3a n－2，则该数列中相邻两项的乘积为负值的项是() A．a21和a22B．a22和a23C．a23和a24 D．a24和a252 2 解析：选C.因为a n＋1＝a n－，所以数列{a n}是等差数列，且公差为－，3 32 1 1所以a n＝15＋(n－1)·(－3 ).因为a23＝，a24＝－，所以a23a24<0.3 32．已知等差数列{a n}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使S n取得最小值的正整数n的值是() A．4或5 B．5或6C．6或7 D．7或8解析：选C.依题意得a5<0，a9>0，且a5＋a9＝0⇒2a1＋12d＝0⇒a1＋6d＝0，即a7＝0，故前6 项与前7项的和相等，且最小．3．已知数列{a n}的通项公式a n＝26－2n，则使其前n项和S n最大的n的值为()A．11或12 B．12C．13 D．12或13解析：选D.因为a n＝26－2n，所以a n－a n－1＝－2，所以数列{a n}为等差数列．又a1＝24，d＝－n（n－1）25 26252，所以S n＝24n＋ 2 ×(－2)＝－n2＋25n＝－(n－2)＋.又n∈N＋，所以当n＝124或13时，S n最大．a n－ 34．数列{a n}满足：a1＝0，a n＋1＝(n∈N＋)，则a2 018＝()3a n＋1A．0 B．－3C. 3 D．32a n－ 3 a1－ 3解析：选B.由a1＝0，a n＋1＝，令n＝1，得a2＝＝－；令n＝2，得a3＝33a n＋1 3a1＋1a2－ 33a2＋1a3－ 3＝3；令n＝3，得a4＝＝0＝a1，所以数列{a n}是周期为3的数列，所以a2 018＝a3×6723a3＋1＋2＝a2＝－3，故选B.5．已知数列{a n}：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，若把该数列的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n}，则b2 018＝()A．0 B．1C．2 D．31解析：选B.将数列1，1，2，3，5，8，13，…的每一项除以4所得的余数分别为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，即新数列{b n}是周期为6的周期数列，所以b2 018＝b336×6＋＝b2＝1.故选B.256．已知数列{a n}满足a n＋1＝a n－，且a1＝5，设{a n}的前n项和为S n，则使得S n取得最大值7的序号n的值为________．5 5 解析：由题意可知数列{a n}的首项为5，公差为－的等差数列，所以a n＝5－(n－1)＝7 740－5n，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n取最大值时，7n＝7或8.答案：7或87．等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，a k＋a4＝0，则k＝________．9（a1＋a9）4（a1＋a4）解析：法一：S9＝S4，即＝，2 2所以9a5＝2(a1＋a4)，即9(1＋4d)＝2(2＋3d)，1所以d＝－，61 1由1－(k－1)＋1＋3·＝0，得k＝10.6 (－6 )法二：S9＝S4，所以a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，所以a7＝0，从而a4＋a10＝2a7＝0，所以k＝10. 答案：108．已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n＝________．解析：由a1＋a3＋a5＝105，得3a3＝105，即a3＝35.由a2＋a4＋a6＝99，得3a4＝99，即a4＝33.所以d＝－2，a n＝a4＋(n－4)×(－2)＝41－2n，则a1＝39.n（a1＋a n）n（39＋41－2n）所以S n＝＝＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400.2 2所以当n＝20时，S n取最大值．答案：209．在等差数列{a n}中，a3＝2，3a2＋2a7＝0，其前n项和为S n.求：(1)等差数列{a n}的通项公式；(2)S n，n为何值时，S n最大．解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，根据题意，得a1＋2d＝2，5a1＋15d＝0，2解得 a 1＝6，d ＝－2.所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝－2n ＋8. n （n －1）7 2 49 (2)由第一问可知 S n ＝6n ＋·(－2)＝－n 2＋7n ＝－＋ .2(n －2 )4因为 S 3＝－9＋21＝12，S 4＝－16＋28＝12， 所以当 n ＝3或 n ＝4时，S n 最大．10．已知数列{a n }的通项公式 a n ＝31－3n ，求数列{|a n |}的前 n 项和 H n . 解：设{a n }的前 n 项和为 S n . 3 59由 a n ＝31－3n 可得 S n ＝－ n 2＋ n .2 2 31由 a n ≥0，解出 n ≤ ≈10.3.3 3 59 当n ≤10 时，H n ＝S n ＝－ n 2＋ n ；2 23 59当 n ≥11 时，H n ＝2S 10－S n ＝ n 2－ n ＋290.2 23 59－ n 2＋ n ，n ≤ 10， 2 2 3 59所以 H n ＝{n ＋290，n ≥ 11.)n 2－22[B 能力提升]11．设等差数列{a n }满足 3a 8＝5a 13，且 a 1>0，则前 n 项和 S n 中最大的是( ) A ．S 10 B ．S 11 C ．S 20D ．S 2139解 析：选 C.设等差数列{a n }的公差为 d ，由 3a 8＝5a 13，即 3(a 1＋7d )＝5(a 1＋12d )，得 a 1＝－2 39 41d >0，所以 d <0，则 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－ d ＋(n －1)d .由 a n <0，得 n > ＝20.5，即从第 21项2 2 开始为负数，故 S 20最大．12．“等和数列”的定义：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数， 那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且 a 1＝ 2，公和为 5，那么 a 18的值为________．解析：由题意可得 a n ＋a n ＋1＝5，所以 a n ＋1＋a n ＋2＝5.所以 a n ＋2－a n ＝0.因为 a 1＝2，所以 a 2＝ 5－a 1＝3.所以当 n 为偶数时，a n ＝3；当 n 为奇数时，a n ＝2.所以 a 18＝3. 答案：313．设等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，已知 a 3＝12，且 S 12>0，S 13<0.(1)求公差d的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．3解：(1)因为 a 3＝12，所以 a 1＝12－2d ， 因为 S 12>0，S 13<0，12a 1＋66d > 0，24＋7d > 0，所以{13a 1＋78d < 0，)即{3＋d < 0， )24 所以－ <d <－3.7 (2)因为 S 12>0，S 13<0，a 1＋a 12 > 0，a 6＋a 7 > 0，所以{a 1＋a13 < 0，)所以{a7 < 0，)所以 a 6>0，又由第一问知 d <0.所以数列前 6项为正，从第 7项起为负． 所以数列前 6项和最大．14．(选做题)在等差数列{a n }中，a 16＋a 17＋a 18＝a 9＝－18，其前 n 项和为 S n ， (1)求 S n 的最小值，并求出 S n 取最小值时 n 的值； (2)求 T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.解：(1)因为 a 16＋a 17＋a 18＝a 9＝－18， a 17－a 9 3所以 a 17＝－6.又 a 9＝－18，所以 d ＝ ＝ .17－9 2 3 63 首项 a 1＝a 9－8d ＝－30.所以 a n ＝ n － .2 2 a n ≤ 0，若前 n 项和 S n 最小，则{a n＋1 ≥0，)3n 63－ ≤ 0， 2 2即{≥ 0，)所以 n ＝20或 21. 3 63 （n ＋1）－ 2 2这表明：当 n ＝20或 21时，S n 取最小值．最小值为 S 20＝S 21＝－315. 3 63(2)由 a n ＝ n － ≤0⇒n ≤21.2 23所以当 n ≤21 时，T n ＝－S n ＝ (41n －n 2)，4 当 n >21时，T n ＝－a 1－a 2－…－a 21＋a 22＋…＋a n 3＝S n －2S 21＝ (n 2－41n )＋630.43（41n －n 2），n ≤ 21， 4故 T n ＝{（n 2－41n ）＋630，n > 21.)344。