数学笔记(九上 第一章)
初三数学上册第一章知识点归纳
初三数学上册第一章知识点归纳第一章证明一、等腰三角形、定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
2、性质：1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）2等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（“三线合一”）3等腰三角形的两底角的平分线相等。
（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）4等腰三角形底边上的垂直平分线上的点到两条腰的距离相等。
等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半6等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高7等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴3、判定：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
特殊的等腰三角形等边三角形、定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形。
（注意：若三角形三条边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形）。
2、性质：⑴等边三角形的内角都相等，且均为60度。
⑵等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。
⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。
3、判定：⑴三边相等的三角形是等边三角形。
⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。
⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
⑷有两个角等于60度的三角形是等边三角形。
二、直角三角形全等、直角三角形全等的判定有种：（1）、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；（ASA）（2）、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；（SAS）（3）、三边对应相等的两个三角形全等；（SSS）（4）、两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（AAS）（）、斜边及一条直角边对应相等的两个三角形全等；（HL）2、在直角三角形中，如有一个内角等于30&rd;，那么它所对的直角边等于斜边的一半3、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半4垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。
2022年九年级上册数学第一章知识点
九年级上册数学第一章知识点数学不是教出来的，是悟出来的，是自学出来的。
数学不是看会的，是算会的。
学数学最重要的就是解题力量，同时上课要仔细听讲、课后做匹配练习，学会以不变应万变。
下面是我整理的九班级上册数学第一章学问点，仅供参考盼望能够关心到大家。
九班级上册数学第一章学问点什么是实数实数释义：有理数和无理数的统称。
数学上，实数定义为与数轴上的实数，是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。
虚数不是实数。
|a|表示的是a的肯定值。
虚数的定义：在数学中，虚数就是形如a+bxi的数，其中a,b是实数，且b≠0,i² = - 1。
实数性质封闭性实数集对加、减、乘、除(除数不为零)四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为零)仍旧是实数。
有序性实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满意并且只满意下列三个关系之一：ab。
传递性实数大小具有传递性，即若ab，且bc，则有ac。
阿基米德性质实数具有阿基米德性质，即(倒A)a，b∈R ，若a0，则∈正整数n，nab。
稠密性R实数集具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数。
完备性作为度量空间或全都空间，实数集合是个完备空间初三数学重要学问点归纳1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
数学利用旋转性质作图学问点旋转有两条重要性质：(1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;(2)对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。
步骤可分为：①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心;②转：即把直线按要求绕旋转中心转过肯定角度(作旋转角)③截：即在角的另一边截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点;④接：即连接到所连接的各点。
九年级上册数学第一章笔记
九年级上册数学第一章笔记一、一元二次方程的定义。
1. 基本形式。
- 一元二次方程的一般形式是ax^2+bx + c = 0(a≠0)。
这里的a就像是这个方程的老大，它不能是0哦，要是a = 0了，那ax^2这一项就没了，方程就变成一元一次方程了，那就不是我们现在研究的一元二次方程啦。
- 比如说2x^2+3x - 1 = 0，这里a = 2，b = 3，c=-1。
2. 判断方程是否为一元二次方程。
- 就看它能不能化成ax^2+bx + c = 0(a≠0)这种形式。
- 像x(x + 1)=x^2-1，乍一看好像有点复杂，但是我们把左边展开x^2+x=x^2-1，然后移项得到x+1 = 0，这就不是一元二次方程啦，因为它最后化成了一元一次方程。
二、一元二次方程的解（根）1. 定义。
- 使一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)左右两边相等的未知数的值就是这个方程的解，也叫根。
- 比如说方程x^2-3x + 2 = 0，当x = 1的时候，1^2-3×1 + 2=1 - 3+2 = 0，所以x = 1就是这个方程的一个根；当x = 2时，2^2-3×2+2 = 4 - 6 + 2 = 0，x = 2也是这个方程的根。
2. 检验根的方法。
- 很简单，就是把这个值代入方程，看等式两边是不是相等。
就像上面那个例子，把x = 1和x = 2代入方程x^2-3x + 2 = 0，如果等式成立，那这个值就是方程的根。
三、一元二次方程的解法。
1. 直接开平方法。
- 适用于形如(x + m)^2=n(n≥0)的方程。
- 比如说(x - 3)^2=4，那x - 3=±2，这里要注意是正负两种情况哦。
- 当x - 3 = 2时，x = 5；当x - 3=-2时，x = 1。
就像打开一个盒子，里面的东西可能有两种情况呢。
2. 配方法。
- 对于一般的一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，我们要把它变成完全平方式。
数学笔记九年级上册
数学笔记九年级上册九年级上册数学笔记（人教版）一、一元二次方程。
1. 定义。
- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
2. 解法。
- 直接开平方法。
- 对于方程x^2=p(p≥0)，解得x=±√(p)。
- 例如，方程x^2=9，则x=±3。
- 配方法。
- 步骤：- 把方程化为一般形式ax^2+bx + c = 0(a≠0)。
- 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，即ax^2+bx=-c。
- 二次项系数化为1，x^2+(b)/(a)x =-(c)/(a)。
- 配方，在方程两边加上一次项系数一半的平方，x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=-(c)/(a)+((b)/(2a))^2。
- 写成完全平方式(x +(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}，然后用直接开平方法求解。
- 例如，解方程x^2+6x - 7 = 0。
- 移项得x^2+6x=7。
- 配方，x^2+6x + 9 = 7+9，即(x + 3)^2=16。
- 解得x+3=±4，x_1=1，x_2=-7。
- 公式法。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
- 其中b^2-4ac叫做判别式，记作Δ=b^2-4ac。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
- 当Δ<0时，方程没有实数根。
- 例如，解方程2x^2-5x+3 = 0，这里a = 2，b=-5，c = 3。
- 先计算Δ=(-5)^2-4×2×3=25 - 24 = 1>0。
九年级数学第一章-知识点总结
九年级数学第一章-知识点总结数学是一门抽象而又具有逻辑性的学科，它无处不在，无时不在。
在学习数学的过程中，我们要逐渐掌握各个知识点，并能够熟练运用。
九年级数学第一章是关于函数的学习，下面我将对本章的各个知识点进行总结。
一、函数的概念函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了自变量和因变量之间的关系。
在函数中，自变量的取值唯一对应一个确定的因变量的值。
我们可以用来表达一个函数的形式，函数的定义域、值域以及一些基本的性质。
二、一次函数一次函数是一个常见的函数类型，其定义域为全体实数集。
一次函数的图像是一条直线，可以用y=ax+b的形式来表示。
其中，a称为斜率，b称为截距。
我们可以通过斜率和截距来确定一次函数的性质，比如判断其单调性、奇偶性等。
三、二次函数二次函数是由x的二次多项式表达的函数，其中x的最高次数为2。
它的定义域为全体实数集，图像为抛物线。
二次函数的一般式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数。
我们可以通过二次函数的a值来判断其图像的开口方向，通过判别式b²-4ac来确定其图像与x轴的交点个数。
四、反比例函数反比例函数是由x的分式表达的函数，其中x和y的乘积为一个常数k。
反比例函数的一般式为y=k/x，其中k为常数。
反比例函数的图像是一个双曲线，它有一个特殊的性质，即随着自变量的增大，函数值越来越小，反之亦然。
五、复合函数复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数。
在复合函数中，一个函数的输出值作为另一个函数的输入值，两个函数之间有着清晰的顺序关系。
我们可以通过复合函数来描述更加复杂的数学关系，应用于实际问题的求解中。
六、函数的图像与性质每种函数都有其特定的图像和性质。
根据函数的类型，我们可以判断出函数的单调性、奇偶性、最值等。
通过函数图像的变化，我们可以直观地理解函数的性质，并且可以进行更多的推理和应用。
七、函数的应用函数在现实生活中有着广泛的应用。
比如利用一次函数来描述速度与时间的关系，利用二次函数来建模抛物线的运动，利用反比例函数来计算比例关系等等。
九上数学第一章知识点总结
九上数学第一章知识点总结《九上数学第一章知识点总结》
嘿，同学们！今天咱来唠唠九上数学第一章的那些知识点哈。
先来说说一元二次方程吧，这玩意儿就像是一个神秘的小盒子，里面藏着各种奇妙的东西。
比如说，咱可以通过一些已知条件，像侦探一样去找出那个隐藏的解。
就好比有一次我去买糖果，老板说一袋糖果的价格加上 5 块钱等于 15 块钱，这不就是个简单的一元二次方程嘛，咱就能算出那袋糖果多少钱啦！
还有那个根的判别式，可重要啦！它就像一个裁判，能判断方程有没有解，有几个解。
就像我有次找东西，知道了一些线索，通过这些线索就能判断出能不能找到东西，以及能找到几个。
配方法呢，就像是给方程做个“美容”，让它变得更好看，更好理解。
我记得有次我整理房间，把东西重新摆放一下，让房间看起来更整洁，这和配方法有点像呢。
公式法呢，就像是一个万能钥匙，不管啥样的一元二次方程，都能给它解开。
就像我有把万能钥匙，不管啥样的锁都能打开。
最后说说因式分解法，这可是个厉害的招儿。
把方程像拆积木一样拆开来，找到关键部分。
就像我有次拼积木，先把大的部分拆出来，再慢慢组装。
哎呀呀，这就是九上数学第一章的知识点啦。
大家可得好好记住哦，以后做题就靠它们啦！就像我记住了买糖果的方法，以后买糖果就不会被坑啦！哈哈！希望大家都能把这些知识点掌握得牢牢的，在数学的海洋里畅游无阻哟！。
九年级(上)第一章知识
九年级（上）第一章知识总结一、三角形1、三角形全等的判定方法(1) 公理三边对应相等的两个三角形全等；(SSS)(2) 公理两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；(SAS)(3) 公理两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；(ASA )(4) 定理两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．(AAS)(5) 定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)2、全等三角形的性质（1）公理全等三角形的对应边、对应角相等（2）结论全等三角形对应边上的中线相等、对应边上的高相等、对应角的平分线相等。
3、等腰三角形（1）性质定理等腰三角形的两个底角相等；（简称为“等边对等角”）（2）判定定理有两个角相等的三角形是等腰三角形；（等角对等边）（3）推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(三线合一)符号语言：①∵AB=AC, ∠1=∠2(已知).∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.②∵AB=AC, BD=CD (已知).∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）③∵AB=AC, AD⊥BC(已知).∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）说明：轮换条件∠1=∠2, AD⊥BC,BD=CD,可得三线合一的三种不同形式的运用.（4）与等腰三角形有关知识要点：结论1：等腰三角形两底角的平分线相等结论2：等腰三角形两腰上的中线相等结论3：等腰三角形两腰上的高相等结论4：等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半结论5：等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等结论6：等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高4、等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角是600的等腰三角形是等边三角形A5、直角三角形：（1）定理: 在直角三角形中,如果一个锐角等于300,那么这个锐角所对直角边等于斜边的一半∵∠ACB=900 , ∠A=300 ∴AB BC 21=(2)它的逆命题: 在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于300.∵∠ACB=900, AB BC 21= ∴ ∠A=300(3) 勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.（常应用于计算中） 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形 6、等腰直角三角形的判定：有一个角等于45°的直角三角形是等腰直角三角形 ∵∠ACB=900，∠A=450 ∴△ABC 是等腰直角三角形 7、等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的底角等于45°。
九年级上第一章数学知识点
九年级上第一章数学知识点数学是一门让人爱恨交织的学科。
对于一些学生来说，数学是令人胆战心惊的难题迷宫，而对于一些学生来说，数学是一种迷人的艺术。
无论你是属于哪一类，掌握好九年级上册第一章的数学知识点，对你的学习和未来发展都将有着积极的影响。
首先，让我们来回顾一下最基本的一些数学知识。
在九年级上册第一章中，我们将学习整数的加减、乘除运算。
这是我们从小学开始学习的基础运算，但在这一章中，我们将进一步深入学习这些运算的规律和性质。
了解整数运算的规则以及对应的计算方法，不仅能够帮助我们更快更准确地进行计算，还能够培养我们的逻辑思维和解决实际问题的能力。
其次，我们将学习到有理数的概念和性质。
有理数包括整数和分数，而分数又可以分为正分数、负分数和零。
了解有理数的概念并能够进行有理数的运算，对于我们理解实数的概念以及在实际生活中运用数学，有着非常重要的作用。
有理数的大小比较和绝对值的计算是我们在这一章中需要掌握的重点内容。
通过练习和熟练掌握这些知识，我们可以更好地理解实际问题中的数学关系并能够准确解决问题。
此外，在这一章中，我们还将学习到平方根和立方根的概念。
平方根表示一个数的平方等于该数的开方数，而立方根则表示一个数的立方等于该数的开方数。
通过学习平方根和立方根的性质以及计算方法，我们可以更好地理解数的性质，并能够在实际问题中应用这些知识。
例如，当我们需要计算一个正方体的体积或者一个球体的表面积时，我们就需要使用到立方根的知识。
另外，九年级上册第一章还要求我们掌握表格和图表的解读和制作。
在现代社会中，数据分析和信息处理已经成为人们生活和工作中不可或缺的一部分。
掌握好表格和图表的解读和制作方法，对于我们理解和应用数据，以及进行科学研究和工程设计都非常重要。
因此，在这一章的学习中，我们要注重培养自己的数据分析和信息处理能力，掌握好表格和图表的解读和制作技巧。
最后，九年级上册第一章还涉及到一些数学思维方法和证明技巧。
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第一章直角三角形的边角关系
第一节从梯子的倾斜程度谈起
一、三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切、余切都是∠A的三角函数，可以表示边的比值与角的关系。
1、在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比也随之确定，这个比叫∠A的正切，记作tanA
①tanA=∠A的对边/∠A的邻边
②∠A是坡角
③tanA的值越大，梯子越陡
2、在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的邻边与对边的比也随之确定，这个比叫∠A的余切，记作cotA
①cotA=∠A的邻边/∠A的对边
3、在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比也随之确定，这个比叫∠A的正弦，记作sinA
①sinA=∠A的对边/斜边
②（sinA）²= sin²A
③∠A为锐角时，0< sinA<1
④sinA的值越大，梯子越陡
4、在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的邻边与斜边的比也随之确定，这个比叫∠A的余弦，记作cosA
①cosA=∠A的邻边/斜边
②（cosA）²= cos²A
③∠A为锐角时，0< cosA<1
④cosA的值越小，梯子越陡
5、求面积：
①S平行四边形ABCD=AB*BC*sinB
②S三角形ABC=1/2*AB*BC*sinB
图一
图②
6、规律：
①∠A+∠B=90°→
{
②同一个角的正切和余切互为倒数：tanA*cotA=1
③sin²A+ cos²B=1
第二节30°45°60°角的三角函数值
sinA sin∠ABC sin∠1 sinβ
3、例题：
①sinA=2/5，求∠A的取值范围
解：∵sinA=2/5=0.4 ∴1°＜∠A＜30°
②2sin（γ-20°）=1，求γ的度数
解：∵2sin（γ-20°）=1
sin（γ-20°）=1/2
∴γ-20°=30°
∴γ=50°
③
（1）tanA≤√3,求∠A的度数
解：∵tanA≤√3
tanA≤tan60°
∴∠A≤60°
（2）cosA≤√3/2，求∠A的度数
解：∵cosA≤√3/2
cosA≤cos30°
∴30°≤∠A＜90°
第四节船有触礁的危险吗
1、有一条公共边的Rt△
图一图二
方法一：①从固定（A）点向动点(BC所在直线)做垂直
②设和已知线段共线的线段（BC、CD）为x，
③在两个Rt△中分别表示公共边
④列方程：公共边=公共边
⑤换算、比较、结论
方法二：①从固定（A）点向动点(BC所在直线)做垂直
②设公共边为x
③在两个Rt△中分别表示共线的边（BC、CD）
④列方程：BC+CD=BD
⑤换算、比较、结论
第五节测量物体的高度
1、测物体MN的高度
图一图二
①：（1）γ
（2）测AN的距离
（3）测AC的高度
（4）通过以上3步，就可以知道被测物体的高度
结论：MN=a+tanγ*b
②（1）γ，β
（2）测移动距离AB距离
（3）测AC的高度
（4）通过以上3步，就可以知道被测物体的高度
结论：MN= a +（b* tanβ* tanγ/ tanβ- tanβ）
EM= b* tanβ* tanγ/ tanβ- tanβ。