高三数学双曲线复习教案
双曲线
课
题
双曲线备注
三维目标
掌握双曲线的定义和基本性质，能灵活解决双曲线有关应用问题
培养学生数形结合的思想，良好的运算能力
重
点
双曲线的定义和基本性质
难
点
灵活解决双曲线有关应用问题
辨析
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )
(2)方程m
x2
－n
y2
＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( × )
(3)双曲线方程m2
x2
－n2
y2
＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是m2
x2
－n2
y2
＝0，即m
x
±n
y
＝0.( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( √ )
(5)若双曲线a2
x2
－b2
y2
＝1(a>0，b>0)与b2
x2
－a2
y2
＝1(a>0，b>0)
的离心率分别是e1，e2，则1
2
＋2
2
＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ )
考点自测
1．若双曲线a2
x2
－b2
y2
＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )
A. B．5 C. D．2
2．设双曲线a2
x2
－9
y2
＝1 (a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
3．双曲线4x2
－y 2
＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.52 B.54 C.55 D.55
4．已知双曲线C 1：a2x2－b2y2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：4x2－16y2
＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (，0)，则a ＝________，
b ＝________.
5．设双曲线C 的两个焦点为(－，0)，(，0)，一个顶点是(1,0)，则C 的方程为________．
知识梳理
1．双曲线定义
平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程和几何性质
(1)与双曲线a2x2－b2y2
＝1 (a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为a2x2－b2y2
＝t (t ≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为m x2＋n y2
＝1 (mn <0)．
例题选讲
题型一 双曲线的定义及标准方程
例1 (1)与双曲线x 2
－2y 2
＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程为__________．
(2)已知圆C 1：(x ＋3)2
＋y 2
＝1和圆C 2：(x －3)2
＋y 2
＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________．
变式训练 (1)已知双曲线a2x2－b2y2
＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )
A.5x2－20y2＝1
B.20x2－5y2＝1
C.253x2－1003y2＝1
D.1003x2－253y2＝1
(2)设椭圆C 1的离心率为135
，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于
8，则曲线C 2的标准方程为( )
A.42x2－32y2＝1
B.132x2－52y2＝1
C.32x2－42y2＝1
D.132x2－122y2
＝1 题型二 双曲线的几何性质
例2 (1)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：4x2
＋y 2
＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形
AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )
A. B. C.23 D.26
(2)若实数k 满足0<k <9，则曲线25x2－9－k y2＝1与曲线25－k x2
－9y2
＝1的( )
A ．焦距相等
B ．实半轴长相等
C ．虚半轴长相等
D ．离心率相等
变式训练(1)已知双曲线C ：a2x2－b2y2
＝1(a >0，b >0)的离心率为25
，则C 的渐近线方程为( )
A ．y ＝±41
x B ．y ＝±31
x C ．y ＝±21
x
D ．y ＝±x
(2)过双曲线a2x2－b2y2
＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若→FB ＝2→FA
，则此双曲线的离心率为( )
A. B. C ．2 D.
题型三直线与双曲线的位置关系
例3 已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
变式训练已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C左支交于A、B两点，求k 的取值范围；
(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．
高考链接
已知双曲线x2－2
y2
＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？
每日一练
设F1，F2是双曲线C：a2
x2
－b2
y2
＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P 是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________．
后记。
双曲线高中数学教案
双曲线高中数学教案
教学目标：
1. 了解双曲线的定义和性质
2. 能够将双曲线的标准方程转化为一般方程
3. 能够根据给定的信息绘制双曲线的图像
4. 能够求解双曲线的焦点、直线渐近线等相关问题
教学重点：
1. 双曲线的定义
2. 双曲线的图像及性质
3. 双曲线的标准方程及一般方程的转化
4. 双曲线的焦点、渐近线等相关问题
教学过程：
一、导入：
通过展示一个双曲线的图像，引导学生了解什么是双曲线以及其特点。
二、讲解：
1. 双曲线的定义和性质
2. 双曲线的标准方程及一般方程的推导和转化
3. 双曲线的图像及相关参数的含义
三、练习：
1. 练习转化双曲线的标准方程为一般方程
2. 练习绘制双曲线的图像
3. 练习求解双曲线的焦点、渐近线等相关问题
四、总结：
总结本节课所学内容，强化学生对双曲线的理解。
五、作业：
布置相关练习作业以加深学生对双曲线的理解，并要求学生在下节课前完成。
教学反思：
通过本节课的学习，学生能够对双曲线有一个初步的了解，并能够运用所学知识解决相关问题。
在教学中要注意引导学生从图像入手，帮助他们更好地理解双曲线的性质和特点。
高三数学一轮复习-第2讲-双曲线教案
第二讲双曲线一、考情分析解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性 比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形，这对学生能力 的要求较高．“圆锥曲线”是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作 用．本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助 考生培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养 良好的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神，进一步提高学生“应用数学”的水平．二、知识归纳（一）椭圆的定义（1）第一定义：平面内与两个定点 F 1、F 2的距离之差的绝对值等于常数 2a2a | F 1F 2 |的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．特征式： MF 1 MF 2 2a 2a |F 1F 2|． Ｐ注：①若2a | F 1F 2 |，则点的轨迹是以 F 1、F 2为端点的两条射线；Ｆ１Ｆ２②若2a | F 1F 2 |，则这样的点不存在； ③若 MF 1MF 22a2a|F 1F 2 |，则点的轨迹仅是双曲线的一支．（2）第二定义：平面内动点到定点的距离和它到一条定直线l 的距离的 比是常数e1，，那么这个点的轨迹叫做双曲线．其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率．ＰＦ特征式：MF e e 1， Fl ． d M l注：若 F l 时，表示过 F 与l 相交的两条直线（不含点 F ）．（二）双曲线的方程（1）双曲线的标准式方程： x m2yn 2① ② 1 a 0， b 0；（焦点在 x 轴的平行线上，中心在m ，n的双曲线方a2b2程）程）y n2xm 21 a 0， b 0．（焦点在 y 轴的平行线上，中心在m ，n的双曲线方a2 b2（2）双曲线的参数方程：x asec x 2 by 2 1 a 0， b0；2 2①y btanax m 2y n21a0，b 0． ②x m asec y n btana2 b2（3）双曲线的向量式方程： OM OF 1 OM OF 2a 2a |OF OF 2 |．2 1（三）性质：对于双曲线 x a 22 by 21a0，b而言， 2（1）范围及特征关系： xa ；a ．bc2 2 2（2）对称性：图象既关于 y 轴对称，又关于 x 轴对称，也关于原点对称．原点叫双曲线的对称中 心，简称中心． x 轴、 y 轴叫双曲线的对称轴．（3）顶点：双曲线和实轴的交点叫做双曲线的顶点． A (a ，0)，A 2(a ，0)；加两焦点F 1(c ，0)，F 2(c ，0)与 B 1(0，b)，B 20，b 共有六个特殊点． A 1A 2叫双曲线的实轴， B 1B 2叫双曲线的虚轴，长分别为2a 、2b ．a 、b 分别为双曲线的实半轴长和虚半轴长．（4）离心率：双曲线焦距与实轴长之比e c e 1(b)2e1．aa注：双曲线形状与e 的关系：e 1，b0，双曲线的开阔程度越小；e，b，双曲aa线的开阔程度越大．（5）双曲线的准线方程：对于 xa22 by 2 2 1，左准线l ：xa 2；右准线l ：x a 2； 12ccy 2 2bx 2 2 1，下准线l 1：ya2；上准线l 2：y a 2对于．c ac（6）焦准距：焦点到准线的距离 p ca2c 2 2a 2 b（焦参数）．c c c（7）通径：经过焦点且垂直于实轴的弦称之为通径，长度为 2ba2．（8）渐近线：双曲线的渐近线方程是 yb x （令 2 by 2 0即可）．x 2 2a a（9）焦半径公式：焦点在 x 轴上的双曲线的焦半径公式： MF 1a ex 0（左焦半径）； MF 2 a ex 0（右焦半径）；焦点在 y 轴上的双曲线的焦半径公式： MF 1a ey 0（下焦半径）； MF 2 a ey 0（上焦半径）；（规律：左加右减，上减下加．）Ｐ（10）焦点三角形：曲线上的点与焦点连线构成的三角形Ｆ１Ｆ２sin 称焦点三角形； Sb2 cot ； e ．（如何证明？） 2 2sin 2（四）等轴双曲线（1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． （2）性质：①渐近线方程为： y x ；②渐近线互相垂直；③离心率 e 2． （3）方程： x y(0)，当0时交点在 x 轴，当0时焦点在 y 轴上．2 2（五）共轭双曲线 （1）定义：如果双曲线 C 1的实轴是双曲线C 2的虚轴，双曲线的虚轴 C 2是双曲线C 1的实轴，这 两个双曲线称为互为共轭双曲线．（2）求法： x a 22by 2 1x 2by 21；222a（3）性质：若共轭双曲线C 1、C 2的离心率分别为e 1、e 2，则：①1 2 e1 2 1；②e 1 e 22 2；③e 1e 22；④ 1 1 2．e e 21e 12（六）双曲线系方程（焦点在 x 轴的上，中心在原点）（1）共焦点的双曲线系： x ；22y 2 2 10 kck k c注：若k c2，则表示共焦点的椭圆系．（2）共渐进线的双曲线系： x a 2 2 by 20． 2注：若 x a 22 by 2，则表示离心率相同的椭圆系． 2三、精典例析（一）活用定义 例1：定点 A9，2，F 2是双曲线C ：xy 1的焦点，Ｐ是双曲线Ｃ的右支上的动点．2 29 16D HP（1）求 PA PF 2的最小值； A（2）求 PA3 PF 2的最小值． 5Ｆ1Ｆ2 解析：（1）双曲线C ：xy1的离心率为 e5，229 163PA PF 2 PA PF 1 2a PA PF 1 6FA 1 610 26； ，取等号时， P3 5（2） PA3 PF 2 PAPDAH36 5 ，2． 5 21引申： PAPF AP d P 准线 d A准线也适用于椭圆、抛物线． e例2：（1）方程 x 12y12x y 2表示什么曲线？（2）方程x 12y 1 2x y2表示什么曲线？x 1 2y1 2 解析：（1）设 Px ，y，则原方程等价于： 2，x y2 2 即： P x ，y 到定点 A 1，1的距离与它到定直线l ：x y 2 0的距离之比为32，故原方程表示以定点 A 1，1为焦点，以定直线l ：x y 20为准线的双曲线．（2）∵ A1，1l ：xy 2 0，∴原方程表示过定点 A 1，1，与定直线l ：x y 2 0相交的直线 x 1与 y1．例3：一炮弹在某处爆炸，在A 处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s ． （1）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知A 、B 两地相距800m ，并且此时声速为340m/ s ，求曲线的方程．分析：解应用题的关键是建立数学模型根据本题设和结论，注意到在A 处听到爆炸声的时间比B 处晚2s,这里声速取同一个值解析：（1）由声速及A 、B 两处听到爆炸声的时间差，可知A 、B 两处与爆炸点的距离的差，因此 爆炸点应位于以A 、B 为焦点的双曲线上．∵爆炸点离A 处比离B 处更远，∴爆炸点应在靠近B 处的一支上．（2）建立直角坐标系 xoy （如图），设爆炸点P 的坐标为 P(x ，y)，则：yPA PB 340 2 680，即 a340，P ∵ AB800，∴ c400，b 2 c 2 a244400，OxBAx2y 2 故所求双曲线的方程为：1x0．115600 44400 点评：利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置．如果再增设一个观测点C ，利用B 、C(或A 、C)两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置．这 是双曲线的一个重要应用，强化学生“应用数学”的意识．思考：如果A 、B 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上．（爆炸点应在线段ＡＢ 的中垂线上）x 2 y2例4：方程k 表示什么曲线？25k k9解析：（1）当k 0时，表示焦点在 y 轴上的双曲线；（2）当k 0时，表示两条相交直线 y 3 x ； 5（3）当0 k 9时，表示焦点在 x 轴上的双曲线； （4）当9k25时，表示椭圆型曲线，①若9k 17时，表示焦点在 x 轴上的椭圆；②若k 17时，表示圆 x ③若17k25时，表示焦点在 y 轴上的椭圆；（5）当k 25时，表示焦点在 y 轴上的双曲线．y 2 2136； （二）活用性质例5：（1）（05湖南卷）已知双曲线 x a 22 by 21 a 0， b 0的右焦点为F ，右准线与一条渐近23a2线交于点A ，△OAF的面积为 （O 为原点），则两条渐近线的夹角为．2（2）（05福建卷）已知F 1、F 2是双曲线 2by 1(a0,b 0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正x 2 2a2三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是．解析：（1）∵右焦点为 F c ，0，右准线 xa ，渐近线 ybx ，2caa 2ab ，c ，S 1 cab c 1 ab ，∴ A c 2 2∵△OAF的面积为 a2，∴ 3ab e2，2 故两条渐近线的夹角为．3（2）运用正三角形的特性知：边MF 1的中点坐标是c ，3 c ，则：2 223 c 2 2c 2∵ 14a 4 8a 2 b2c 4e 4 8e 210，a 2 c a2 2∴e24 2 3e 31．例6：双曲线的渐进线方程为 y 3 x ，求双曲线的离心率． 4解析：设 x24y 2 0，169 （1）当0时，a （2）当0时，a 2 2 16， b 9，c2 25，∴ e5 ； 4 9， b 16，c2 25，∴ e 5；3 故双曲线的离心率是 e 5 或 e 5．4 35的焦点，且sin B A 1 C cos ，求点C 的轨迹方程．2 2 2 例7：ABC 中， A 、B 是 x2 5y 2解析：∵ x 2 5y25x y221，∴ A 2，0、B 2，0，AB 4．5∵sin B A 1cos C 2sin B Acos B A C B A ，2 cos cos2 2 2 2 2 2∴sin B sin A 1sinC AC BC 1 AB 2，2 2故点C 的轨迹方程是 x2y1 x1．23（三）焦半径公式及焦点三角形例8：已知双曲线的左右两焦点分别为 F 1、F 2，点M 是双曲线上不重合于顶点的一点，点P 为MF 1F 2的内心，证明：点P 在 x 轴上的射影是双曲线的顶点．解析：（1）若点M 在双曲线右支上，过P 作PN 垂直 F 1F 2 于点N ，设右顶点为Ａ，则：NF 1 MF 1F 1F 2 MF 22c 2a ca ， Ｍ 2 2ＰNF 2 MF 2F 1F 2 MF 1 2a 2c ca ，Ｆ1 ＡＦ222∵ F 1 Ac a ，AF 2 a c ，∴右顶点Ａ与点N 重合．故点P 在 x 轴上的射影就是双曲线的右顶点．（2）若点M 在双曲线左支上，同理可证，点P 在 x 轴上的射影是双曲线的左顶点．例9：已知双曲线的左右两焦点分别为 F 1、F 2 ，点M 是双曲线右支上不重合于顶点的一点，设MF 1F 2，MF 2F 1 ，若 sin1cos 1．sin1cos3（1）求双曲线的离心率；（2）如果动点M 的坐标为x, y，且 4x2 2 5xy 4y2有最小值15时，求双曲线的方程． tansin 1cos sin 1cos 讲解：（1）如果对三角公式较为熟悉，不难发现：2． tan 2所以，要求双曲线的离心率，只需考虑如何用a 、b 、c 、e 来表达 tan tan2 即可．2法1：设双曲线的实轴长为2a ，焦距为 2c ，点P 为MF 1F 2的内心，过P 作PN 垂直 F 1F 2 于点N ，则：tan 2PN ，tanPN，NF 1 NF 2Ｍ 2 P又 NF 1MF 1F 1F 2 MF 22c 2a ca ，N2 2Ｆ2OＦ2NF 2 MF 2F 1F 2 MF 1 2a 2c ca ，22tan∴ sin 1cos 12＝ NF 2 c a e 1， NF 1 c a e 13 sin1costan 2∴ e 2．法2：直接利用正、余弦定理也可得出结论．tan2 1 sinsin sin cos cos sin tan2 2 2 2 2 2 2esin sin cos cos2．sinsin tan22 2 2 2 221 tan2（2）∵ e 2b 23a 2，∴M 的坐标x, y适合方程3x 2 y 23a ，2∵ 4x2 5xy4y223x 2 y 2 xy 2 5y 22 5xy15．（等号当且仅当 x5 y 5 42时取得）．3a223x 2y22x5y3x2214∴ a25,b 15，双曲线的方程为： x 2y 1．25 15（四）焦点弦：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦．例10：过双曲线 xy1的左焦点Ｆ1作倾斜角为的弦ＡＢ，求 AB 及F 2AB 的周长．22 36解析：设 A x 1，y 1，Bx 2，y 2，则：Ｂ3y x 2A8x 2 4x 13 0， 2 x 2y 13Ｆ1ＯＦ2显然，0，且 x 1 x 2 1，x 1x 213 8 ， 2 法1： AB 1k2x 1 x 2 3． 法2： ABBF 1 AF 112x 2 12x 1 12x 2 12x 1 2 2x 1 x 23．F 2AB 的周长为：3AF 2BF 2 312x 1 12x 2 312x 112x 232x 2x 133 3．引申：设两交点 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则： （1）当双曲线焦点在 x 轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关： ①过左焦点与左支交于两点时，此时， kb ， AB AF 1 BF 1 2a e(x 1x 2)；a②过左焦点与左、右两支交于两点时，此时， kb ， AB AF 1 BF 1 2a e(x 1 x 2)；a③过右焦点与右支交于两点时，此时， kb ， AB AF 1BF 1 2a e(x 1x 2)；a④过左焦点与左、右两支交于两点时，此时， kb ， AB AF 1 BF 1 2a e(x 1x 2)．a（2）当双曲线焦点在 y 轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关． （五）中点弦 例11：双曲线C ：x2y21上是否存在被点 B 1，1平分的弦？2解析：显然，点 B 1，1在双曲线外，若存在被点 B1，1平分的弦MN ，则弦的斜率必存在．设 Mx 1，y 1，Nx 2，y 2，则：2x 1 2 y 122 2y 1 y 22x 1 x 2 k2，故l ：y 1 2 x 1；x 1x 2 y 1y 22x 22 y22y 12x 1 2x24x3 0，8 0，2 x 2 y 12故双曲线C ：x2y2 1上不存在被点 B1，1平分的弦．2引申：（1）若点 B 在双曲线内，则以点 B 为中点的弦必存在；（2）若点 B 在双曲线外，则以点 B 为中点的弦可能存在，也可能不存在． （六）直线与双曲线相交问题例12：(05重庆卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为2，0，右顶点为，3 0．（1）求双曲线C 的方程； （2）若直线l ：y kx 2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA OB2 (O 为原点)，求k 的取值范围．解析：（1）设双曲线方程为 x a 22 by 2 1a 0， b0，则： 2∵ a3， c 2，a 2 b 2 2 2 ，∴ b 21，故双曲线C 的方程为 x2y21．3y kx 2 （2）设 A(x A ，y A )，B(x B ，y B )，则：(13k )x2 26 2kx 9 0，x 2y 123 ∵直线l ： y kx 2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，∴13k20 k(6 2k) 36(13k )36(1k )2 2 2 2 1且k 21，3 6 2k 2，x A x B 9且 x A x B 13k 13k2∵OA OB2，∴ x A x By A y B 2，∵ x A x By A y Bx A x B(kx A2)(kx B2) (k 2 1)x A x B2k(x A x B )21) 9 22k 1632kk 22 33kk213k27 1(k 2∴ 3k3k27 2 3k 1 3k29 0 1k 23，2 2 1 31 k21，∴3故k 的取值范围为(1，3)( 3，1)． 33Ｌ1 例13：（05北京卷）如图，直线l 1：ykxk与直线 l 2：y kx 之间的阴影区域（不含边界）记为W ，其左半W 2W 1Ｏ部分记为W 1，右半部分记为W 2．Ｌ2 （I ）分别用不等式组表示W 1和W 2； （II ）若区域W 中的动点 Px ，y到l 1、l 2的距离之积等于d 2，求点P 的轨迹C 的方程；（III ）设不过原点O 的直线l 与（II ）中的曲线C 相交于M 1，M 2两点，且与l 1，l 2分别交于M 3、 M 4两点．求证：△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心重合．解析：（I ）W 1 x ，y kx y kx ，x 0，W 2 x ，y kx ykx ，x 0； （II ）∵直线l 1：kx y 0，直线l 2：kx y 0，∴ | kxy || kx y |d | k2 x 2 y 12 | d2，22k21 k12k ∵ P x ，y W ，∴k 2x 2 y 20，k 2 x 2 y 12d 2 k 2 x 2 y 22(k 2 1)d20．∴ k 2∴动点P 的轨迹C 的方程为k2xy 2 (k2 1)d2 0；（III ）分为以下两种情形分别加以证明；①当直线l 与 x 轴垂直时，可设直线l 的方程为l ：xa a 0，由于直线l 、曲线C 关于 x 轴 对称，且l 1与l 2关于 x 轴对称，于是M 1M 2、M 3M 4的中点坐标都为a ，0，所以△OM 1M 2、△OM 3M 4的重心坐2标都为a ，0，即它们的重心重合；3②当直线l 1与 x 轴不垂直时，设直线l 的方程为l ：ymxnn，则：k2 x 2 y (k 1)d2 2 2(ky mx nm )x 2mnx n k d d0，2 2 2 2 2 2 2 ∵直线l 与曲线C 有两个不同交点，∴k 2 m 2 且(2mn) 2 4(k 2 m 2 )(n 2 k 2 d 2 d 2 ) 0，2mn 设 M 1x 1，y 1，M 2 x 2，y 2 ，则： x 1 x 2设 M 3x 3，y 3，M 4 x 4，y 4 ，则：， y 1 y 2 m(x 1 x 2)2n ， k 2 m 2 y kx n y kx y mx n n x 4 y mx n x 3； k m k m 2mn ∴ x 3x 4 x 1 x 2， k 2 m 2 ∴ y 3 y 4 m x 3 x 42n m x 1 x 22n y 1 y 2，故△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心重合．四、课后反思 ．。
高三数学专题复习 椭圆双曲线与抛物线教案高三全册数学教案
∴方程组的解
不妨设A，B.
设点M的坐标为(x，y)，那么A＝，B＝(x，y＋c)．由y＝(x－c)，得c＝x－y.
于是A＝，
B＝(x，x)，由A·B＝－2，得
·x＋·x＝－2，
化简得18x2－16xy－15＝0.
将y＝代入c＝x－y，得c＝>0，
所以x>0.
因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x>0)．
[探究提升](1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，假设能预先知道轨迹为何种圆锥曲线，那么可考虑用定义法求解或者者用待定系数法求解；否那么利用直接法或者者代入法．(2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，要注意字母的取值范围．
【变式训练3】(2021·高考)如图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p＞0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．
当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.
(1)求p的值；
(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．
解(1)因为抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y′＝，且切线AM的斜率为－. ∴切点A，切线AM：y＝－(x＋1)＋.
因为点M(1－，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是
y0＝－(2－)＋＝－，
y0＝－＝－.
由①②得p＝2.
(2)设N(x，y)，A，B(x2，)，x1≠x2，由N为线段AB中点知
x＝，
y＝.
切线MA、MB的方程为
y＝(x－x1)＋.。
高三数学 第十二章 圆锥曲线—双曲线1 复习教案
第四节双曲线一、复习目标：1、了解双曲线的定义、标准方程，会运用定义和会求双曲线的标准方程，能通过方程研究双曲线的几何性质；2、 双曲线的几何元素与参数c b a ,,之间的转换 二、重难点:运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法研究双曲线的性质，把握几何元素转换成参数c b a ,,的关系三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。
学生阅读复资P121页教师讲解，增强目标意识及参与意识。
（二）、知识梳理，方法定位（学生完成复资P122页填空题，教师准对问题讲评） 1. 双曲线的定义 （1）第一定义：当21212||F F a PF PF >=-时, P 的轨迹为双曲线;当21212||F F a PF PF <=-时, P 的轨迹不存在;当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线（2）双曲线的第二义:（双曲线上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.解析：平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (1>e )的点的轨迹为双曲线2. 双曲线的标准方程与几何性质与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程为：)0(2222≠=-λλb y a x 与双曲线12222=-b y a x 共轭的双曲线为22221y x b a -=等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±= ，离心率为2=e ；3.双曲线2222x b y a -＝１的参数方程为：⎩⎨⎧==ϕϕtan sec b y a x （ϕ为参数）。
4.重难点问题探析:运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法研究双曲线的性质，把握几何元素转换成参数c b a ,,的关系 （1）.注意定义中“陷阱” 问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为 点拨：一要注意是否满足212F F a >，二要注意是一支还是两支∴>=-10621PF PF P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116922>=-x y x（2）.注意焦点的位置问题2：双曲线的渐近线为xy 23±=，则离心率为 点拨：当焦点在x 轴上时，23=a b ，213=e ；当焦点在y 轴上时，23=b a ，313=e （三）、基础巩固导练1. 以椭圆221169144x y +=的右焦点为圆心，且与双曲线221916x y -=的渐近线相切的圆的方程是（A ）221090x y x +-+= （B ）221090x y x +--= （C ）221090x y x +++= （D ）221090x y x ++-= [解析]椭圆与双曲线共焦点，焦点到渐近线的距离为b ，选A2. (08山东)已知双曲线的两个焦点为1(0)F、20)F ，M 是此双曲线上的一点，且满足120MF MF ⋅=，12||||2MF MF ⋅=，则该双曲线的方程是 （ ）A ．2219x y -=B ．2219y x -= C ．22137x y -= D ．22173x y -= [解析]由 12||||2MF MF ⋅=和402221=+PF PF 得6||21=-PF PF ，选A3.两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是5且,b a >则双曲线12222=-b y a x 的离心率为( )A ．53B ．414C ．54 D ．415[解析] 414,5=∴==c b a ，选B4.（09浙江理）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A 2 B 3 C 5 D 10答案：C【解析】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，则有22222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭，因222,4,5AB BC a b e =∴=∴= 5.（09江西卷文）设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为（ ）。
高三数学一轮复习精品教案3：双曲线教学设计
第6课时 双曲线1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单性质． 2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．『梳理自测』一、双曲线的概念(教材改编)已知点F 1(－4，0)和F 2(4，0)，一曲线上的动点P 到F 1，F 2距离之差为6，该曲线方程是________．『答案』x 29－y 27＝1(x≥3)◆此题主要考查了以下内容：平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c ＞0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P ＝{M||MF 1|－|MF 2||＝2a}，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a ＞0，c ＞0； (1)当2a ＜2c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝2c 时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a ＞2c 时，P 点不存在． 二、双曲线标准方程及性质1．(教材改编)双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )A ．32B ．42C ．3 3D ．432．双曲线y 2－x 2＝2的渐近线方程是( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x3．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( )A .31414B .324 C .32 D .434．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________． 『答案』1.D 2.A 3.C 4.－14◆此题主要考查了以下内容： 标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) 图形性质范围 x≥a 或x≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴；坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线 y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞) 其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴 线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a 、b 、c 的关系 c 2＝a 2＋b 2(c ＞a ＞0，c ＞b ＞0) 『指点迷津』1．一条规律根据方程中x 2与y 2的系数的正负来确定实轴与虚轴的位置，即焦点在实轴上． 2．两种方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a 、2b 或2c ，从而求出a 2、b 2，写出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点是在x 轴上还是在y 轴上，设出标准方程，再由条件确定a 2、b 2的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．3．三个关注点——双曲线几何性质的关注点 双曲线的几何性质从以下三点关注： (1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点； (2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)，两渐近线；(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形，双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．考向一 双曲线的定义及标准方程(1)(2014·陕西师大附中模拟)设过双曲线x 2－y 2＝9左焦点F 1的直线交双曲线的左支于点P ，Q ，F 2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则△F 2PQ 的周长为( )A ．19B ．26C ．43D ．50(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．『审题视点』 (1)利用双曲线定义|PF 2|－|QF 2|＝2a 及三角形周长的计算求解． (2)已知双曲线的焦点及离心率求双曲线方程． 『典例精讲』 (1)如图，由双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 2|－|PF 1|＝2a ，|QF 2|－|QF 1|＝2a ，将两式相加得|PF 2|＋|QF 2|－|PQ|＝4a ， ∴△F 2PQ 的周长为|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ| ＝4a ＋|PQ|＋|PQ|＝4×3＋2×7＝26.(2)椭圆x 216＋y 29＝1的焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，离心率为e ＝74.由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，因此a 2＋b 2＝7. 又双曲线的离心率e ＝a 2＋b 2a ＝7a ，所以7a ＝274，所以a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为x 24－y 23＝1. 『答案』 (1)B (2)x 24－y 23＝1『类题通法』 (1)涉及到双曲线上的点到焦点的距离问题时，经常考虑双曲线的定义． (2)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y 2n ＝1(mn ＞0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)，这种形式在解题时更简便；(3)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；(4)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值．1．根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．『解析』(1)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，将点(－3，23)代入得λ＝14，∴所求双曲线方程为x 29－y 216＝14，即x 294－y 24＝1. (2)设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1，将点(32，2)代入得k ＝4(k ＝－14舍去)． ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.考向二 双曲线的性质及应用(1)(2014·哈尔滨模拟)已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1→·PF 2→＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A ．2B .7C .13D .15『审题视点』 (1)利用PF 1→ ·PF 2→＝0及e ＝54转化为a ，b 的方程组．(2)利用双曲线定义及余弦定理求a 与c 的关系． 『典例精讲』 (1)由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1→⊥PF 2→，设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ，不妨设m ＞n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，c a ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝5， ∴b ＝3，∴a ＋b ＝7，故选C . (2)如图，由双曲线定义得，|BF 1|－|BF 2|＝|AF 2|－|AF 1|＝2a ，因为△ABF 2是正三角形，所以|BF 2|＝|AF 2|＝|AB|，因此|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，且∠F 1AF 2＝120°，在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋2×2a×4a×12＝28a 2，所以e ＝7，故选B .『答案』 (1)C (2)B『类题通法』 (1)求双曲线的离心率，就是求c 与a 的比值，一般不需要具体求出a ，c 的值，只需列出关于a ，b ，c 的方程或不等式解决即可．(2)双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．2．(2014·济南模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为________．『解析』如图所示，不妨设F 为右焦点，过F 作FP 垂直于一条渐近线，垂足为P ，过P 作PM ⊥OF 于M.由已知得M 为OF 的中点，由射影定理知|PF|2＝|FM||FO|，又F(c ，0)，渐近线方程为bx －ay ＝0，∴|PF|＝bcb 2＋a 2＝b ，∴b 2＝c 2·c ，即2b 2＝c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＝b 2，∴e ＝c a＝1＋b 2a2＝ 2.『答案』2考向三 直线与双曲线的综合应用已知双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a ＞0)与l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B ，l与y 轴交于点P ，若PA →＝512PB →，则a ＝________．『审题视点』 联立方程组，利用P 、A 、B 坐标之间的关系，建立a 的方程． 『典例精讲』 因为双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点，故知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两组不同的实数解，消去y 并整理，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－a 2≠0，4a 4＋8a 2（1－a 2）＞0， 解得0＜a ＜2且a≠1. 设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)， 由一元二次方程根与系数的关系， 得x 1＋x 2＝2a 2a 2－1，①x 1x 2＝2a 2a 2－1，②又P(0，1)，由PA →＝512PB →，得(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，从而x 1＝512x 2，③由①③，解得⎩⎨⎧x 1＝517·2a 2a 2－1，x 2＝1217·2a 2a 2－1代入②，得517×1217×⎝⎛⎭⎫2a 2a 2－12＝2a 2a 2－1， 即2a 2a 2－1＝28960，解得a ＝1713，⎝⎛⎭⎫a ＝－1713舍去. 『答案』1713『类题通法』 (1)判断直线l 与双曲线E 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入双曲线E 的方程F(x ，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0F （x ，y ）＝0，消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0.由此转化为两点坐标的关系．(2)特殊情况考虑与渐近线平行的直线与双曲线的位置关系，数形结合求解．3．已知点A(－2，0)，点B(2，0)，且动点P 满足|PA|－|PB|＝2，则动点P 的轨迹与直线y ＝k(x －2)有两个交点的充要条件为k ∈________．『解析』由已知得动点P 的轨迹为一双曲线的右支且2a ＝2，c ＝2，则b ＝c 2－a 2＝1，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 2＝1(x ＞0)，其一条渐近线方程为y ＝x.若P 点的轨迹与直线y ＝k(x －2)有两个交点，则需k ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．『答案』(－∞，－1)∪(1，＋∞)双曲线与渐近线的关系不清致误(2014·浙江温州适应性测试)已知F 1，F 2为双曲线Ax 2－By 2＝1的焦点，其顶点是线段F 1F 2的三等分点，则其渐近线的方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝±24x C ．y ＝±x D ．y ＝±22x 或y ＝±24x 『正解』 依题意c ＝3a ，∴c 2＝9a 2.又c 2＝a 2＋b 2， ∴b 2a 2＝8，b a ＝22，a b ＝24.故选D . 『答案』 D『易错点』 (1)默认为双曲线焦点在x 轴其渐近线为y ＝±ba x ，而错选为A .(2)把双曲线认为等轴双曲线而错选为C .(3)把a ，b ，c 的关系与椭圆c 2＝a 2－b 2混淆致错．『警示』 (1)对于方程x 2a 2－y 2b 2＝1来说，求渐近线方程就相当于求ba的值，但要分焦点的位置是在x 轴还是在y 轴上，此题没有给出焦点的位置，其渐近线斜率有四种情况．(2)渐近线为y ＝±b a x 所对应的双曲线为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．当λ＞0时，表示焦点在x 轴上，当λ＜0时，焦点在y 轴上．1．(2013·高考福建卷)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A .25B .45C .255D .455『解析』选C .求出双曲线的顶点和渐近线，再利用距离公式求解．双曲线的渐近线为直线y ＝±12x ，即x±2y ＝0，顶点为(±2，0)，∴所求距离为d ＝|±2±0|5＝255.2．(2013·高考广东卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3，0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A .x 24－y 25＝1B .x 24－y 25＝1 C .x 22－y 25＝1 D .x 22－y 25＝1 『解析』选B .求双曲线的标准方程需要确定焦点位置及参数a ，b 的值．右焦点为F(3，0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上；c ＝3.又离心率为c a ＝32，故a＝2，b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x 24－y 25＝1，选B .3．(2013·高考北京卷)双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( ) A ．m ＞12 B ．m≥1C ．m ＞1D ．m ＞2『解析』选C .用m 表示出双曲线的离心率，并根据离心率大于2建立关于m 的不等式求解．∵双曲线x 2－y 2m＝1的离心率e ＝1＋m ， 又∵e ＞2，∴1＋m ＞2，∴m ＞1.4．(2013·高考湖北卷)已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等『解析』选D .先根据θ的范围，确定双曲线方程的类型，判断焦点所在的坐标轴，然后分析双曲线C 1和C 2的实轴长、虚轴长、焦距、离心率是否相等．双曲线C 1的焦点在x 轴上，a ＝cos θ，b ＝sin θ，c ＝1，因此离心率e 1＝1cos θ；双曲线C 2的焦点在y 轴上，由于0<θ<π4，所以a ＝sin θ，b ＝sin θtan θ，c ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ，因此离心率e 2＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin θ＝sin θ1＋tan 2θsin θ＝1cos θ .故两条双曲线的实轴长、虚轴长、焦距都不相等，离心率相等。
高三数学教案：双曲线复习教案
高三数学教案：双曲线复习教案欢迎来到高三数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。
因此小编在此为您编辑了此文：高三数学教案：双曲线复习教案希望能为您的提供到帮助。
本文题目：高三数学教案：双曲线复习教案【考纲要求】了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，知道它的简单性质。
【自学质疑】1.双曲线的轴在轴上，轴在轴上，实轴长等于，虚轴长等于，焦距等于，顶点坐标是，焦点坐标是，渐近线方程是，离心率，若点是双曲线上的点，则，。
2.又曲线的左支上一点到左焦点的距离是7，则这点到双曲线的右焦点的距离是3.经过两点的双曲线的标准方程是。
4.双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于。
5.与双曲线有公共的渐近线，且经过点的双曲线的方程为【例题精讲】1.双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，求该双曲线的方程。
2.已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，那么之积是与点位置无关的定值，试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明。
3.设双曲线的半焦距为，直线过两点，已知原点到直线的距离为，求双曲线的离心率。
【矫正巩固】1.双曲线上一点到一个焦点的距离为，则它到另一个焦点的距离为。
2.与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是。
3.若双曲线上一点到它的右焦点的距离是，则点到轴的距离是4.过双曲线的左焦点的直线交双曲线于两点，若。
则这样的直线一共有条。
【迁移应用】1. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的2倍，则该双曲线的离心率2. 已知双曲线的焦点为，点在双曲线上，且，则点到轴的距离为。
3. 双曲线的焦距为4. 已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则5. 设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为 .6. 已知圆。
以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为。
[精品]新高三高考数学一轮复习12.2双曲线优质课教案
12.2双曲线【知识网络】1．掌握双曲线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． 2．了解双曲线简单应用． 3．进一步体会数形结合思想． 【典型例题】[例1]（1）双曲线的两条准线间的距离等于半焦距，则其离心率为（ ）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．２ Ｄ．３（2）已知方程11222=-+-k y k x 的图象是双曲线，那么k 的取值范围是（ ）Ａ．K ＜１ Ｂ．K ＞２ Ｃ．K ＜１或k ＞２ Ｄ．１＜k ＜２（3）已知双曲线 x 2a 2 － y 2b2 = 1 (a ＞0,b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且∣PF 1∣=4∣PF 2∣,则此双曲线的离心率e 的最大值为 （ ） A ．43B ．53C ．２D ．73（4）若双曲线离心率为2，则它的两条渐近线的夹角等于 ． （5）经过点)38,10(M ，渐近线方程为x y 31±=的双曲线的方程为 ．[例2] 在△ABC 中，BC 固定，顶点A 移动．设|BC|=m ，当三个角Ａ，Ｂ，Ｃ有满足条件|sinC －sinB|=12 sinA 时，求顶点的轨迹方程．[例3] 已知双曲线C :12222=-b y a x (0,0)a b >>，B 是右顶点,F 是右焦点, 点A 在x 轴正半轴上，且满足 OA OB OF ||、||、||成等比数列,过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ． （1）求证：FP PA OP PA ⋅=⋅；（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D 、E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围．[例4]已知动点P 与双曲线x 2－y 2=1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值，且cos∠F 1PF 2的最小值为－31。
（1）求动点P 的轨迹方程;（2）设M （0,－1），若斜率为k(k≠0)的直线与P 的轨迹交于不同的两点A 、B ，试求k 的取值范围，使|MA|=|MB|；（3）若直线l :y=x+m 与P 的轨迹交于不同的两点A 、B ，且3=AB ，M （0，－1），求M 到直线l 的距离。
双曲线辅导教案(高考数学一轮复习)
(1)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线
平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 25－y 2
20＝1 B.x 220－y 2
5＝1 C.3x 225－3y 2
100＝1
D.3x 2100－3y 2
25＝1
(2)设椭圆C 1的离心率为5
13，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( ) A.x 242－y 2
32＝1 B.x 2132－y 2
52＝1 C.x 232－y 2
42＝1
D.x 2132－y 2
122＝1
题型二 双曲线的几何性质
例2 (1)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2
＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.32 D.6
2
(2)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 2
9＝1的( )
A ．焦距相等
B ．实半轴长相等
C ．虚半轴长相等
D ．离心率相等 思维升华 (1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e 的关系式求e 或e 的范围；另一种是建立a ，b ，c 的齐次关系式，将b 用a ，e 表示，令两边同除以a 或。
高考数学总复习考点双曲线教案
2019届高考数学总复习考点双曲线教案【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了2019届高考数学总复习考点双曲线教案，希望能给大家带来帮助!高三数学理科复习40-----双曲线【考纲要求】了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，知道它的简单性质。
【自学质疑】1.双曲线的轴在轴上，轴在轴上，实轴长等于，虚轴长等于，焦距等于，顶点坐标是，焦点坐标是，渐近线方程是，离心率，若点是双曲线上的点，则，。
2.又曲线的左支上一点到左焦点的距离是7，则这点到双曲线的右焦点的距离是3.经过两点的双曲线的标准方程是。
4.双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于。
5.与双曲线有公共的渐近线，且经过点的双曲线的方程为【例题精讲】1.双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，求该双曲线的方程。
2.已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，那么之积是与点位置无关的定值，试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明。
3.设双曲线的半焦距为，直线过两点，已知原点到直线的距离为，求双曲线的离心率。
【矫正巩固】1.双曲线上一点到一个焦点的距离为，则它到另一个焦点的距离为。
2.与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是。
3.若双曲线上一点到它的右焦点的距离是，则点到轴的距离是4.过双曲线的左焦点的直线交双曲线于两点，若。
则这样的直线一共有条。
【迁移应用】1. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的2倍，则该双曲线的离心率2. 已知双曲线的焦点为，点在双曲线上，且，则点到轴的距离为。
3. 双曲线的焦距为4. 已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则5. 设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为.要练说，得练看。
看与说是统一的，看不准就难以说得好。
练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。
高中数学双曲线优质教案
高中数学双曲线优质教案
年级：高中
课题：双曲线
教学目标：
1. 掌握双曲线的定义和性质；
2. 熟练掌握双曲线的标准方程和重要公式；
3. 能够运用双曲线的性质解决实际问题。
教学重点与难点：
重点：双曲线的定义和性质、标准方程、焦点、渐近线等重点知识点。
难点：双曲线的焦点和渐近线的理解与应用。
教学准备：
1. 教材《高中数学》；
2. 教学课件；
3. 黑板和彩色粉笔；
4. 相关练习题。
教学过程：
一、导入（5分钟）
通过展示双曲线的图像或相关现实生活中的例子引入双曲线的概念，并引出双曲线的定义和性质。
二、讲解（15分钟）
1. 讲解双曲线的定义、标准方程和性质；
2. 讲解双曲线的焦点、渐近线等重要知识点。
三、练习（20分钟）
根据教学内容设计一些练习题，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识，同时引导学生掌握解题方法。
四、拓展（10分钟）
引导学生从现实生活中找出双曲线的应用场景，让学生探讨双曲线在现实中的应用，并引导学生深入了解双曲线的更多性质。
五、作业布置（5分钟）
布置相关作业，让学生进行巩固练习。
教学反思：
通过该课，学生应该掌握双曲线的基本概念、性质和计算方法，能够应用所学知识解决相关问题。
同时，老师应该关注学生对双曲线性质的理解深度和应用能力，及时进行个别辅导和指导。