高三数学双曲线 优质课件
合集下载
双曲线(优秀经典公开课比赛课件).
x2 y2 a2 - b2 =1
,由
{ 题设得
a2+b2=100
a4 =
,
b3
解得a=8,b=6.
∴另一条双曲线方程为
y2 x2 - =1
.
64 36
返回目录
【评析】双曲线
x2 y2 - =1
与
36 64
y2 - x2 =1 是一
64 36
对共轭双曲线，一般形式是
x2 a2
y2 - b2
=±1.
因而本题有另一解法，设双曲线方程为
c <
a
6
2.
∴离心率e=
e a
∈(1,
6 ).
2
返回目录
考点四 双曲线的综合应用
例4 已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F（ 3 ，0），
一条渐近线m：x + y=0，设过点A(-3 ,0)的直线l
的方向向量e=(1,k). 2
2
(1)求双曲线C的方程;
(2)若过原点的直线a ∥ l，且a与l的距离为 ,求k的值;
，
1+k 2
当k＞
2 时，d＞
2
6.
又双曲线C的渐近线为x± 2 y=0，
∴双曲线C的右支在直线b的右下方，
∴双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于 6.
故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离
为 6.
返回目录
证法二：假设双曲线C右支上存在点Q（x0，y0）到
直线l的距离为 6 ，
则
{ |kx0 -y0 +3
由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线l
的距离d1=
b(a-1) a2 +b2
3-2-1双曲线及其标准方程 课件(共67张PPT)
【解析】 距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若 F1，F2 表示双曲线的左、右焦点，且点 P 满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点 P 在右支上；若点 P 满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点 P 在左支上．
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
【解析】 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线 F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
互动 3 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各 条件下点 P 的轨迹是什么图形？
2．关于双曲线应注意的几个问题 (1)双曲线的标准方程与选择的坐标系有关，当且仅当双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形 式．
(2)如图，设 M(x，y)为双曲线上任意一点，若 M 点在双曲线 的右支上，则|MF1|＞|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(0＜2a＜|F1F2|)；若 M 在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a，因 此得|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆不同．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得 （x＋c）2＋y2－ （x－c）2＋y2＝±2a.①
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．② (5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方 程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c， 0)，(c，0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上．这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程．
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
【解析】 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线 F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
互动 3 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各 条件下点 P 的轨迹是什么图形？
2．关于双曲线应注意的几个问题 (1)双曲线的标准方程与选择的坐标系有关，当且仅当双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形 式．
(2)如图，设 M(x，y)为双曲线上任意一点，若 M 点在双曲线 的右支上，则|MF1|＞|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(0＜2a＜|F1F2|)；若 M 在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a，因 此得|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆不同．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得 （x＋c）2＋y2－ （x－c）2＋y2＝±2a.①
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．② (5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方 程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c， 0)，(c，0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上．这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程．
《双曲线方程》课件
解决与双曲线相关的几何问题
双曲线方程在解决与双曲线相关的几何问题中发挥了重要作用，如求双曲线的交点、判断点是否在双曲线上等。
在物理学中的应用
描述光和声的传播路径
在物理学中，双曲线方程可以用来描述光和声波的传播路径，特别是在处理折 射和反射等问题时。
研究行星和卫星的运动轨迹
在天文学中，双曲线方程可以用来描述行星和卫星的逃逸轨道，即它们的运动 轨迹在离开引力场时的轨迹。
几何法
通过几何图形，利用双曲线的性质和定义，求解出未知数。
参数法
引入参数，将双曲线方程化为参数方程，从而求解出未知数。
双曲线方程在实际问题中的应用案例
光学问题
双曲线方程可以用于描述光的反射和折射规律，解决 光学问题。
物理问题
双曲线方程可以用于描述物体的运动轨迹，解决物理 问题。
工程问题
双曲线方程可以用于描述机械运动、振动等现象，解 决工程问题。
与双曲线几何意义的联系与区别
联系
双曲线方程描述了双曲线的几何形状，包括 其分支、焦点和渐近线等。
区别
双曲线方程是代数形式，而双曲线的几何意 义则是直观表现。通过对方程的分析可以得 出双曲线的几何性质，如离心率、实轴和虚 轴等。
05
双曲线方程的扩展知识
双曲线方程的变形与转化
参数方程与直角坐标方程的转换
双曲线方程
• 双曲线方程的概述 • 双曲线方程的推导 • 双曲线方程的应用 • 双曲线方程与其他知识点的联系 • 双曲线方程的扩展知识
01
双曲线方程的概述
双曲线的定义
定义
双曲线是一种特殊的二次曲线，它由 一个固定的点（称为焦点）和一条固 定的直线（称为准线）的距离限制形 成。
描述
双曲线方程在解决与双曲线相关的几何问题中发挥了重要作用，如求双曲线的交点、判断点是否在双曲线上等。
在物理学中的应用
描述光和声的传播路径
在物理学中，双曲线方程可以用来描述光和声波的传播路径，特别是在处理折 射和反射等问题时。
研究行星和卫星的运动轨迹
在天文学中，双曲线方程可以用来描述行星和卫星的逃逸轨道，即它们的运动 轨迹在离开引力场时的轨迹。
几何法
通过几何图形，利用双曲线的性质和定义，求解出未知数。
参数法
引入参数，将双曲线方程化为参数方程，从而求解出未知数。
双曲线方程在实际问题中的应用案例
光学问题
双曲线方程可以用于描述光的反射和折射规律，解决 光学问题。
物理问题
双曲线方程可以用于描述物体的运动轨迹，解决物理 问题。
工程问题
双曲线方程可以用于描述机械运动、振动等现象，解 决工程问题。
与双曲线几何意义的联系与区别
联系
双曲线方程描述了双曲线的几何形状，包括 其分支、焦点和渐近线等。
区别
双曲线方程是代数形式，而双曲线的几何意 义则是直观表现。通过对方程的分析可以得 出双曲线的几何性质，如离心率、实轴和虚 轴等。
05
双曲线方程的扩展知识
双曲线方程的变形与转化
参数方程与直角坐标方程的转换
双曲线方程
• 双曲线方程的概述 • 双曲线方程的推导 • 双曲线方程的应用 • 双曲线方程与其他知识点的联系 • 双曲线方程的扩展知识
01
双曲线方程的概述
双曲线的定义
定义
双曲线是一种特殊的二次曲线，它由 一个固定的点（称为焦点）和一条固 定的直线（称为准线）的距离限制形 成。
描述
双曲线-完整版PPT课件可编辑全文
∴x－32a2＋y2＝a22.
①
又 P 点在双曲线上，得ax22－by22＝1.
②
由①，②消去 y，得
(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0.
当 x＝a 时，P 与 A 重合，不符合题意，舍去．
当 x＝2aa32－＋abb2 2时，满足题意的 P 点存在， 需 x＝2aa32－＋abb2 2＞a， 化简得 a2＞2b2， 即 3a2＞2c2，ac＜ 26. 又 e＞1，∴离心率 e＝ac∈1， 26.
考向三 [149] 双曲线的几何性质
(1)(2014·天津高考)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的一条渐近线平行于直线 l：y＝2x＋10，双曲线的一个
焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为( )
A.x52－2y02 ＝1
B.2x02 －y52＝1
C.32x52－130y02 ＝1
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0， b>0)
图形
范围
x≥a或x≤－a
对称轴： 坐标轴
对称性
对称中心： 原点
y≤－a或y≥a 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
性 顶点 顶点坐标：
顶点坐标：
质
A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1 (0，－a，) A2 (0，a)
————————— [1 个对点练] ——————— 过点2，12能作几条与双曲线x42－y2＝1 有一个公共点的 直线．
【解】 (1)当斜率不存在时，直线方程为 x＝2，显然符 合题意．
高三一轮复习双曲线名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
研究双曲线几何性质时的两个注意点： (1)实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重点; (2)由于 e＝ac是一个比值，故只需根据条件得到关于 a，b，c 的 一个关系式，利用 b2＝c2－a2 消去 b，然后变形即可求 e，并注 意 e>1.
栏目 导引
第八章 平面解析几何
3．(1)(2014·云南省昆明市高三调研测试)已知 F(c，0)是双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的右焦点，若双曲线 C 的渐近线与圆 F： (x－c)2＋y2＝12c2 相切，则双曲线 C 的离心率为____2____； (2)(2012·高考天津卷)已知双曲线 C1：xa22－by22＝1(a>0，b>0)与双 曲线 C2：x42－1y62 ＝1 有相同的渐近线，且 C1 的右焦点为 F( 5， 0)，则 a＝____1____，b＝_____2___．
栏目 导引
第八章 平面解析几何
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为 12，离心率为54； (2)焦距为 26，且经过点 M(0，12)． 【解】(1)设双曲线的标准方程为 xa22－yb22＝1 或ay22－xb22＝1(a>0，b>0)．
栏目 导引
第八章 平面解析几何
由题意知，2b＝12，e＝ca＝54，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲 线的标准方程为6x42－3y62 ＝1 或6y42 －3x62＝1. (2)∵双曲线经过点 M(0，12)，∴M(0，12)为双曲线的一个 顶点， 故焦点在 y 轴上，且 a＝12.
则双曲线xa22－yb22＝1
的离心率
13 e＝____3____．
5．设 F1，F2 是双曲线 x2－2y42 ＝1 的两个焦点，P 是双曲线
栏目 导引
第八章 平面解析几何
3．(1)(2014·云南省昆明市高三调研测试)已知 F(c，0)是双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的右焦点，若双曲线 C 的渐近线与圆 F： (x－c)2＋y2＝12c2 相切，则双曲线 C 的离心率为____2____； (2)(2012·高考天津卷)已知双曲线 C1：xa22－by22＝1(a>0，b>0)与双 曲线 C2：x42－1y62 ＝1 有相同的渐近线，且 C1 的右焦点为 F( 5， 0)，则 a＝____1____，b＝_____2___．
栏目 导引
第八章 平面解析几何
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为 12，离心率为54； (2)焦距为 26，且经过点 M(0，12)． 【解】(1)设双曲线的标准方程为 xa22－yb22＝1 或ay22－xb22＝1(a>0，b>0)．
栏目 导引
第八章 平面解析几何
由题意知，2b＝12，e＝ca＝54，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲 线的标准方程为6x42－3y62 ＝1 或6y42 －3x62＝1. (2)∵双曲线经过点 M(0，12)，∴M(0，12)为双曲线的一个 顶点， 故焦点在 y 轴上，且 a＝12.
则双曲线xa22－yb22＝1
的离心率
13 e＝____3____．
5．设 F1，F2 是双曲线 x2－2y42 ＝1 的两个焦点，P 是双曲线
双曲线的性质PPT优秀课件
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
双曲线及其标准方程ppt课件
C.(0,-5),(0,5)
D.(0,- 7),(0, 7)
双曲线的定义
2
1.设 F1,F2 分别是双曲线 x2-24=1 的左、右焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|, 则△PF1F2 的面积等于 ( )
A.4 2
B.8 3
C.24
D.48
2.已知动点 P(x,y)满足 ( + 2)2 + 2- ( -2)2 + 2=2,则动点 P 的轨迹是 ( )
这两个定点叫做双曲线的焦点. 两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
y
M
F1 o F2 x
如何理解绝对值？若去掉绝对值则图像有何变化？
03 双曲线的标准方程
1. 建系：如图建立直角坐标系xOy，使x轴经 过点F1，F2，并且点O与线段F1F2中点重合.
y M
F1 O F2
x
2.设点:设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数=2a
利用定义求轨迹方程
P P127 习题3.2 第5题
如图,圆O的半径为定长 ,A是圆O外一定点,P是圆上任
意一点,线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当
O
点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?
A Q
P115 习题3.1 第6题 如图,圆O的半径为定长 ,A是圆O内一定点,P是圆上 任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点 Q,当点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?
A.椭圆 C.双曲线的左支
B.双曲线 D.双曲线的右支
双曲线的定义
22
【变式练习】
已知
P
是双曲线
高考数学复习：双曲线的有关问题课件(共19张ppt)
3
于点 M ，由 OMN 为直角三角形，不妨设 OMN 90o， 则 MFO 60o ，又直线 MN 过点 F (2, 0) ，所以
| OM | 2 cos 60 3 ，所以| MN | 3 | OM | 3 。
20:51
布置作业
完成专题八作业2
20:51
3.双曲线的几何性质:求离心率:建立 a, b, c 的齐次方程
(不等式)； 4.求最值：（1）建立方程（不等式），（2）直线的斜率与渐
近线的斜率比较。
20:51
思考一
已知双曲线
C： 的左、右焦点 x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐
近线分别交于
PQ
OF
，得 2
a2 c2 4
c ，即 2a2
c2
，所以
c2 a2
2，
解得 e c 2 .故选 A． a
20:51
题型二 求双曲线的离心率
例 3：设直线 x 3y m 0(m 0) 与双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的两条渐近线分别交于点
A ， B ，若点 P(m,0) 满足| PA|| PB |，则该
解法一：因为 PO = PF ，所以 P 在 OF 的垂直平分线上，
则 P 点横坐标为
6 ，代入 y
2
2 x 得 P( 2
6, 2
3 ) ，所以△PFO 的面积 2
为： 1 6 3 3 2 ．故选 A．
2
24
解法二： 双曲线 C : x2 y2 1的右焦点为 F ( 6, 0) ，渐近线方程为：
于点 M ，由 OMN 为直角三角形，不妨设 OMN 90o， 则 MFO 60o ，又直线 MN 过点 F (2, 0) ，所以
| OM | 2 cos 60 3 ，所以| MN | 3 | OM | 3 。
20:51
布置作业
完成专题八作业2
20:51
3.双曲线的几何性质:求离心率:建立 a, b, c 的齐次方程
(不等式)； 4.求最值：（1）建立方程（不等式），（2）直线的斜率与渐
近线的斜率比较。
20:51
思考一
已知双曲线
C： 的左、右焦点 x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐
近线分别交于
PQ
OF
，得 2
a2 c2 4
c ，即 2a2
c2
，所以
c2 a2
2，
解得 e c 2 .故选 A． a
20:51
题型二 求双曲线的离心率
例 3：设直线 x 3y m 0(m 0) 与双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的两条渐近线分别交于点
A ， B ，若点 P(m,0) 满足| PA|| PB |，则该
解法一：因为 PO = PF ，所以 P 在 OF 的垂直平分线上，
则 P 点横坐标为
6 ，代入 y
2
2 x 得 P( 2
6, 2
3 ) ，所以△PFO 的面积 2
为： 1 6 3 3 2 ．故选 A．
2
24
解法二： 双曲线 C : x2 y2 1的右焦点为 F ( 6, 0) ，渐近线方程为：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
无轨迹。)无外面的绝对值则为半条双曲线， 左-右为右支，上-下为下支等。
一、基本知识概要： 1.双曲线的定义
第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线 l
的距离的比是常数 (e 1) 的动点的轨迹。即点集
P |
PF1 d1
e
1
=
条双曲线。
P |
PF2 d2
e 1
，一个比产生整
2.双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0)
y 2 x 2 1(a 0,b 0) a2 b2
图
形
焦点
性 焦距 质 范围
对称性
F1(- c,0) ，F2( c,0)
F1（0,c)，F2（ o, c)
| F1F2|=2c a2 b2 c2一个Rt
利用共渐近线的双曲线系
x2 y2 k
或
a2 b2
y2
x2
k(k 0) 方程解题，常使解法简捷。
a2 b2
说明：
(4)双曲线的焦半径，当点P在右支（或上支） 上时，为 ex0 a, (ey0 a); 当点P在左支（或下 支）上时，为 (ex0 a),[(ey0 a)]; 利用焦半 径公式，解题简洁明了，注意运用。
| x | a, y R
| y | a, x R
关于x轴，y轴和原点对称
标准方程 图
x 2 y 2 1(a 0, b 0) a2 b2
y 2 x 2 1(a 0,b 0) a2 b2
形
顶点 （-a，0） （a，0） （0，-a）（0，a）
性轴
实轴长2a，虚轴长2b
焦准距 p a 2 , 准线间距= 2a 2 , 焦渐距= b。
c
c
说明：
(1)双曲线的两个定义是解决双曲线的性质问题和求 双曲线方程的两个有力工具，所以要对双曲线的两 个定义有深刻的认识。
(2)双曲线方程中的 a,b, c, e, p 与坐标系无关，只有
焦点坐标，顶点坐标，准线及渐近线方程与坐标系有 关，因此确定一个双曲线的标准方程需要三个条件：
r2 PF2 (ex a) r2 PF2 (ey a)
PF c a min
标准方程 图x 2 Fra biblioteky 2 1(a 0, b 0) a2 b2
y2 a2
x2 b2
1(a 0,b 0)
形
平面几何 性质
离心率
e c (e 1) ， e 大开口大 a
y 2 x 2 1(a 0,b 0) a2 b2
形
焦半径
P在右支上，
r1 PF1 ex a
P在上支上，
r1 PF1 ey a
r2 PF2 ex a
P在左支上，
r1 PF1 (ex a)
r2 PF2 ey a
P在下支上，
r1 PF1 (ey a)
【思维点拨】设方程，消参数。
例7：双曲线的实半轴与虚半轴的长的积为 3 ，
它的两个焦点分别为F1，F2，直线 l 过F2且与直 线F1F2的夹角为 ，且 tan 21 ， l 与线段
两个定形条件 a, b ，一个定位条件，焦点坐标或准
线，渐近线方程。
求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或 轨迹方程法。
说明：
(3)直线和双曲线的位置关系，在二次项系数 不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和 有关公式，求解问题的类型也相同。唯一不 同的是直线与双曲线只有一个公共点时，不 一定相切。
例3．（2002年全国，19）设点P到点M（－1， 0），N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距 离之比为2，求m的取值范围。
【思维点拨】本题考查了双曲线的定义、标准方程等 基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问 题的能力。解决此题的关键是用好双曲线的定义。
例4：已知双曲线
x2 a2
y2
2010届高考数学复习 强化双基系列课件
74《圆锥曲线－双曲线》
一、基本知识概要： 1.双曲线的定义
第一定义：平面内与两个定点 F1, F2 距离的差的 绝对值等于 2a(2a | F1F2 |) 的点的轨迹，即点集
P | PF1 PF2 2a 。( 2a F1F2 为两射线；2 a F1F2
(2) 与双曲线 x 2 y 2 1有公共焦点，且过 16 4
点 (3 2,2) 。
【思维点拨】利用共渐近线的双曲线系方程解题 简捷明了。要善于选择恰当的方程模型。
例2：在双曲线 x2 y 2 1上求一点P，使它到
16 9
左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。
【思维点拨】运用焦半径公式，解题简洁明了。
准线
质渐
近
x a2 c
x y 0 ybx
ab
a
y a2 c
x y 0 yax
ba
b
线
共渐近线的 双曲线系方程
x2 y2 k
a2 b2
y 2 x2 k(k 0) a2 b2
标准方程 图
x 2 y 2 1(a 0, b 0) a2 b2
重点、难点：深刻理解确定双曲线的形状，
大小的几个主要特征量，掌握定义，性质，掌 握直线与双曲线的位置关系。
思维方式：方程的思想，数形结合的思想；
待定系数法，参数思想等。
例1：根据下列条件，求双曲线方程：
(1) 与双曲线 x 2 y 2 1有共同渐近线，且过 点 (3,2 3) ；9 16
【思维点拨】利用第二定义得焦半径，可使问 题容易解决，中垂线过弦AC的中点，中点问题 往往把A、C的坐标代入方程，两式相减、变形， 即可解决问题。
例6．已知双曲线的焦点在轴上，且过点 A(1,0) 和 B(1,0) ，P是双曲线上异于A、B的任一点， 如果ΔAPB的垂心H总在此双曲线上，求双曲线 的标准方程。
b2
1的离心 e 1
2，
左、右焦点分别的为 F1, F2 ，左准线为 l1 ，能否
在双曲线的左支上找到一点P，使得 | PF1 |是P到
l 的距离 d 与 | PF2 | 的等比中项。
【思维点拨】利用定义及假设求出离心率的取 值是关键。
例5．如图，在双曲线的上支有三点，它们与点 F（0，5）的距离成等差数列。 （1）求 y1 y3的值 （2）证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点， 并求此点坐标
一、基本知识概要： 1.双曲线的定义
第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线 l
的距离的比是常数 (e 1) 的动点的轨迹。即点集
P |
PF1 d1
e
1
=
条双曲线。
P |
PF2 d2
e 1
，一个比产生整
2.双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0)
y 2 x 2 1(a 0,b 0) a2 b2
图
形
焦点
性 焦距 质 范围
对称性
F1(- c,0) ，F2( c,0)
F1（0,c)，F2（ o, c)
| F1F2|=2c a2 b2 c2一个Rt
利用共渐近线的双曲线系
x2 y2 k
或
a2 b2
y2
x2
k(k 0) 方程解题，常使解法简捷。
a2 b2
说明：
(4)双曲线的焦半径，当点P在右支（或上支） 上时，为 ex0 a, (ey0 a); 当点P在左支（或下 支）上时，为 (ex0 a),[(ey0 a)]; 利用焦半 径公式，解题简洁明了，注意运用。
| x | a, y R
| y | a, x R
关于x轴，y轴和原点对称
标准方程 图
x 2 y 2 1(a 0, b 0) a2 b2
y 2 x 2 1(a 0,b 0) a2 b2
形
顶点 （-a，0） （a，0） （0，-a）（0，a）
性轴
实轴长2a，虚轴长2b
焦准距 p a 2 , 准线间距= 2a 2 , 焦渐距= b。
c
c
说明：
(1)双曲线的两个定义是解决双曲线的性质问题和求 双曲线方程的两个有力工具，所以要对双曲线的两 个定义有深刻的认识。
(2)双曲线方程中的 a,b, c, e, p 与坐标系无关，只有
焦点坐标，顶点坐标，准线及渐近线方程与坐标系有 关，因此确定一个双曲线的标准方程需要三个条件：
r2 PF2 (ex a) r2 PF2 (ey a)
PF c a min
标准方程 图x 2 Fra biblioteky 2 1(a 0, b 0) a2 b2
y2 a2
x2 b2
1(a 0,b 0)
形
平面几何 性质
离心率
e c (e 1) ， e 大开口大 a
y 2 x 2 1(a 0,b 0) a2 b2
形
焦半径
P在右支上，
r1 PF1 ex a
P在上支上，
r1 PF1 ey a
r2 PF2 ex a
P在左支上，
r1 PF1 (ex a)
r2 PF2 ey a
P在下支上，
r1 PF1 (ey a)
【思维点拨】设方程，消参数。
例7：双曲线的实半轴与虚半轴的长的积为 3 ，
它的两个焦点分别为F1，F2，直线 l 过F2且与直 线F1F2的夹角为 ，且 tan 21 ， l 与线段
两个定形条件 a, b ，一个定位条件，焦点坐标或准
线，渐近线方程。
求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或 轨迹方程法。
说明：
(3)直线和双曲线的位置关系，在二次项系数 不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和 有关公式，求解问题的类型也相同。唯一不 同的是直线与双曲线只有一个公共点时，不 一定相切。
例3．（2002年全国，19）设点P到点M（－1， 0），N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距 离之比为2，求m的取值范围。
【思维点拨】本题考查了双曲线的定义、标准方程等 基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问 题的能力。解决此题的关键是用好双曲线的定义。
例4：已知双曲线
x2 a2
y2
2010届高考数学复习 强化双基系列课件
74《圆锥曲线－双曲线》
一、基本知识概要： 1.双曲线的定义
第一定义：平面内与两个定点 F1, F2 距离的差的 绝对值等于 2a(2a | F1F2 |) 的点的轨迹，即点集
P | PF1 PF2 2a 。( 2a F1F2 为两射线；2 a F1F2
(2) 与双曲线 x 2 y 2 1有公共焦点，且过 16 4
点 (3 2,2) 。
【思维点拨】利用共渐近线的双曲线系方程解题 简捷明了。要善于选择恰当的方程模型。
例2：在双曲线 x2 y 2 1上求一点P，使它到
16 9
左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。
【思维点拨】运用焦半径公式，解题简洁明了。
准线
质渐
近
x a2 c
x y 0 ybx
ab
a
y a2 c
x y 0 yax
ba
b
线
共渐近线的 双曲线系方程
x2 y2 k
a2 b2
y 2 x2 k(k 0) a2 b2
标准方程 图
x 2 y 2 1(a 0, b 0) a2 b2
重点、难点：深刻理解确定双曲线的形状，
大小的几个主要特征量，掌握定义，性质，掌 握直线与双曲线的位置关系。
思维方式：方程的思想，数形结合的思想；
待定系数法，参数思想等。
例1：根据下列条件，求双曲线方程：
(1) 与双曲线 x 2 y 2 1有共同渐近线，且过 点 (3,2 3) ；9 16
【思维点拨】利用第二定义得焦半径，可使问 题容易解决，中垂线过弦AC的中点，中点问题 往往把A、C的坐标代入方程，两式相减、变形， 即可解决问题。
例6．已知双曲线的焦点在轴上，且过点 A(1,0) 和 B(1,0) ，P是双曲线上异于A、B的任一点， 如果ΔAPB的垂心H总在此双曲线上，求双曲线 的标准方程。
b2
1的离心 e 1
2，
左、右焦点分别的为 F1, F2 ，左准线为 l1 ，能否
在双曲线的左支上找到一点P，使得 | PF1 |是P到
l 的距离 d 与 | PF2 | 的等比中项。
【思维点拨】利用定义及假设求出离心率的取 值是关键。
例5．如图，在双曲线的上支有三点，它们与点 F（0，5）的距离成等差数列。 （1）求 y1 y3的值 （2）证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点， 并求此点坐标