高中数学双曲线课件
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人教版高中数学课件：8.4双曲线的几何性质
x a
2 2
y b
2 2
1
渐近线为
x a
y b
0
F1 B2
则它的共轭双曲线方程是:
y b
2 2
x a
2 2
1
渐近线为:
x y
y b
x a
0
X
A1
F’1 显然,它可化为 a b 0 故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; 证明:(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0) 它的共轭双曲线的焦点为F1’(0,c’), F2’(0,-c’), ∵ c a2 b2
x
2
o
B1
A2
F’2
F2
c a b
2
2
∴
c=c'
∴四个焦点 F1 , F2 ,F1 , F2 在同一个圆
y
2
a
2
b 上.
2
问:有相同渐近线的双曲线方 程一定是共轭双曲线吗 ?
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
准
线
c
双曲线图形(1)
Y
x a
2 2
y b
2 2
1
标
准
方
程
范
围
B2
性
对
称
顶 焦
对
点 点
称 轴
F1
A1
A2
F2
X
2 2
y b
2 2
1
渐近线为
x a
y b
0
F1 B2
则它的共轭双曲线方程是:
y b
2 2
x a
2 2
1
渐近线为:
x y
y b
x a
0
X
A1
F’1 显然,它可化为 a b 0 故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; 证明:(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0) 它的共轭双曲线的焦点为F1’(0,c’), F2’(0,-c’), ∵ c a2 b2
x
2
o
B1
A2
F’2
F2
c a b
2
2
∴
c=c'
∴四个焦点 F1 , F2 ,F1 , F2 在同一个圆
y
2
a
2
b 上.
2
问:有相同渐近线的双曲线方 程一定是共轭双曲线吗 ?
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
准
线
c
双曲线图形(1)
Y
x a
2 2
y b
2 2
1
标
准
方
程
范
围
B2
性
对
称
顶 焦
对
点 点
称 轴
F1
A1
A2
F2
X
双曲线及其性质-高考数学复习课件
左支，
且2 a ＝2，解得 a ＝1，又 c ＝3，
则 b 2＝ c 2－ a 2＝8，
2
所以动圆圆心 M 的轨迹方程为 x 2－ ＝1( x ≤－1).
8
2
2
(2)设双曲线 － ＝1的左、右焦点分别为 F 1， F 2， P 为双曲线右支
4
3
上一点， 1 ＝3 2 ，则∠ F 1 PF 2的大小为( C )
2. 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合 ||PF1 | −
|PF2 || = 2a，运用平方的方法，建立与 ｜PF1 ｜·｜PF2 ｜ 的联系.
跟踪训练
1. 已知平面内有两个定点 F 1(－5，0)和 F 2(5，0)，动点 P 满足｜ PF 1｜
－｜ PF 2｜＝6，则动点 P 的轨迹方程是(
双曲线及其性质
[学习要求] 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和
解决实际问题中的作用. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，
以及它的简单几何性质.
内容索引
必备知识
自主梳理
关键能力
重点探究
课时作业
巩固提升
必备知识 自主梳理
[知识梳理]
知识点一 双曲线的定义
满足以下两个条件的点的轨迹是双曲线：
= 2，
又൞ ＝ 2，
解得 a ＝ 2 ， c ＝2， b ＝ 2 ，
2 ＝ 2 − 2 ，
2
2
∴所求方程为 － ＝1.
2
2
考点三
双曲线的几何性质
◉角度(一) 渐近线
例3
2
2
(1)(2021·全国甲卷)点(3，0)到双曲线 － ＝1的一条渐近线的距离
且2 a ＝2，解得 a ＝1，又 c ＝3，
则 b 2＝ c 2－ a 2＝8，
2
所以动圆圆心 M 的轨迹方程为 x 2－ ＝1( x ≤－1).
8
2
2
(2)设双曲线 － ＝1的左、右焦点分别为 F 1， F 2， P 为双曲线右支
4
3
上一点， 1 ＝3 2 ，则∠ F 1 PF 2的大小为( C )
2. 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合 ||PF1 | −
|PF2 || = 2a，运用平方的方法，建立与 ｜PF1 ｜·｜PF2 ｜ 的联系.
跟踪训练
1. 已知平面内有两个定点 F 1(－5，0)和 F 2(5，0)，动点 P 满足｜ PF 1｜
－｜ PF 2｜＝6，则动点 P 的轨迹方程是(
双曲线及其性质
[学习要求] 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和
解决实际问题中的作用. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，
以及它的简单几何性质.
内容索引
必备知识
自主梳理
关键能力
重点探究
课时作业
巩固提升
必备知识 自主梳理
[知识梳理]
知识点一 双曲线的定义
满足以下两个条件的点的轨迹是双曲线：
= 2，
又൞ ＝ 2，
解得 a ＝ 2 ， c ＝2， b ＝ 2 ，
2 ＝ 2 − 2 ，
2
2
∴所求方程为 － ＝1.
2
2
考点三
双曲线的几何性质
◉角度(一) 渐近线
例3
2
2
(1)(2021·全国甲卷)点(3，0)到双曲线 － ＝1的一条渐近线的距离
人教版人教课标高中数学选修1-1 双曲线及其标准方程 课件
结 束
16
9
1.
的两种标准方程，并能熟练运用 待定系数法求解曲线的方程.
例题讲评
上 页
下 页
例3 一炮弹在某处爆炸，在 A 处听到爆炸声的时间比在 B 处晚2 s. （ 1 ）爆炸点应在什么样的曲 线上？ F1 （ 2 ）已知 A 、 B 两地相距 800 m，并且此时声速为340 m/s， 求曲线的方程.
双曲线的标准方程：
上 页
形式一： （a>0,b>0） 说明：此方程表示焦点在 x轴上的双曲线 .焦点是 F1(－c,0)、F2(c,0)，这里c2=a2+b2.
下 页
x y 2 1 2 a b
2
2
y x 形式二： a 2 b 2 1 （a>0,b>0） 说明：此方程表示焦点在 y 轴上的双曲线 . F1(0，－c)、F2(0， c)，这里c2=a2+b2.
上 页
a
b
①
因为点P1、P2在双曲线上，所以点P1、P2的坐 标适合方程①.将其分别代入方程①中，得方程 组 ( 4 2 ) 3 1
2 2
下 页
2 2 a b 9 2 ( ) 25 2 42 1 b a
解得：a2=16,b2=9.故所求双曲线的标准方程 2 2 x 为：y 说明：例 2 要求学生熟悉双曲线
4
①
下 页
a
b
因为点P1、P2在双曲线上，所以点P1、P2的坐 标适合方程①.将其分别代入方程①中，得方程 组 ( 4 2 ) 2 3 2
2 1 2 a b 9 2 ( ) 25 2 42 1 b a
结 束
解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设 2 2 y x 所求双曲线的标准方程为： a>0,b>0) 2 (1 2
16
9
1.
的两种标准方程，并能熟练运用 待定系数法求解曲线的方程.
例题讲评
上 页
下 页
例3 一炮弹在某处爆炸，在 A 处听到爆炸声的时间比在 B 处晚2 s. （ 1 ）爆炸点应在什么样的曲 线上？ F1 （ 2 ）已知 A 、 B 两地相距 800 m，并且此时声速为340 m/s， 求曲线的方程.
双曲线的标准方程：
上 页
形式一： （a>0,b>0） 说明：此方程表示焦点在 x轴上的双曲线 .焦点是 F1(－c,0)、F2(c,0)，这里c2=a2+b2.
下 页
x y 2 1 2 a b
2
2
y x 形式二： a 2 b 2 1 （a>0,b>0） 说明：此方程表示焦点在 y 轴上的双曲线 . F1(0，－c)、F2(0， c)，这里c2=a2+b2.
上 页
a
b
①
因为点P1、P2在双曲线上，所以点P1、P2的坐 标适合方程①.将其分别代入方程①中，得方程 组 ( 4 2 ) 3 1
2 2
下 页
2 2 a b 9 2 ( ) 25 2 42 1 b a
解得：a2=16,b2=9.故所求双曲线的标准方程 2 2 x 为：y 说明：例 2 要求学生熟悉双曲线
4
①
下 页
a
b
因为点P1、P2在双曲线上，所以点P1、P2的坐 标适合方程①.将其分别代入方程①中，得方程 组 ( 4 2 ) 2 3 2
2 1 2 a b 9 2 ( ) 25 2 42 1 b a
结 束
解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设 2 2 y x 所求双曲线的标准方程为： a>0,b>0) 2 (1 2
高中数学选修2-1人教A版：2.3.1双曲线及其标准方程及其性质课件
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.两条射线
D.一条射线
c
)
跟踪检测
下列方程分别表示什么曲线?
(1)
( x 3) y ( x 3) y 10 椭圆
( 2)
( x 3) y ( x 3) y 5 双曲线的右支
(3)
( x 3) 2 y 2 ( x 3) 2 y 2 4 双曲线
＝2|F2A|，则 cos∠AF2F1＝(
) A
1
1
2
2
A.4 B.3 C. 4 D. 3
焦点三角形基本思路：
1.曲线定义；
2.余弦定理；
3.面积公式.
4.双曲线的焦点三角形面积： S b cot
2
2
双曲线的性质
x2 y2
研究双曲线 2 2 1(a 0, b 0) 的简单几何性质
b
b
共渐近线的双曲线方程
x2 y 2
与 2 2 1有相同渐近线的双曲线方程我
a b
们可以假设为：
2
其中：
2
x
y
2 ( 0，为参数)
2
a
b
为什么可以这样做？
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；
λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
跟踪检测
x2 y 2
求与 1 有相同渐近线，且过点 (3,2
y
顶点是A1 ( a,0)、A2 (a,0)
（2）如图，线段 A1 A2 叫做双曲线
的实轴，它的长为2a，a叫
做实半轴长；线段 B1 B2 叫做
B2
b
o
A1 -a
-b
B.双曲线的一支
C.两条射线
D.一条射线
c
)
跟踪检测
下列方程分别表示什么曲线?
(1)
( x 3) y ( x 3) y 10 椭圆
( 2)
( x 3) y ( x 3) y 5 双曲线的右支
(3)
( x 3) 2 y 2 ( x 3) 2 y 2 4 双曲线
＝2|F2A|，则 cos∠AF2F1＝(
) A
1
1
2
2
A.4 B.3 C. 4 D. 3
焦点三角形基本思路：
1.曲线定义；
2.余弦定理；
3.面积公式.
4.双曲线的焦点三角形面积： S b cot
2
2
双曲线的性质
x2 y2
研究双曲线 2 2 1(a 0, b 0) 的简单几何性质
b
b
共渐近线的双曲线方程
x2 y 2
与 2 2 1有相同渐近线的双曲线方程我
a b
们可以假设为：
2
其中：
2
x
y
2 ( 0，为参数)
2
a
b
为什么可以这样做？
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；
λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
跟踪检测
x2 y 2
求与 1 有相同渐近线，且过点 (3,2
y
顶点是A1 ( a,0)、A2 (a,0)
（2）如图，线段 A1 A2 叫做双曲线
的实轴，它的长为2a，a叫
做实半轴长；线段 B1 B2 叫做
B2
b
o
A1 -a
-b
高中数学课件-拓展视野13 椭圆、双曲线中的二级结论
(2)双曲线ax22－by22＝1(a，b>0)的焦半径公式
|PF1|＝|ex0＋a|，|PF2|＝|ex0－a|，F1，F2 分别为双曲线的左右焦点，P(x0，
y0)为双曲线上任意一点.
3
3.双曲线的渐近线的相关结论 (1)若双曲线的渐近线方程为 y＝±bax(a＞0，b＞0)，即ax±by＝0，则双曲 线的方程可设为ax22－by22＝λ(λ≠0). (2)双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长 b. (3)双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的渐近线 y＝±bax 的斜率 k 与离心率 e 的关系：e＝ 1＋（ba）2＝ 1＋k2.
5
(2)若 P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2 分别为双曲 线的左、右焦点，则 S△PF1F2＝ b2θ，其中 θ 为∠F1PF2.
tan2
6
典例 (1)双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±2x，则该双
曲线的离心率为( D )
35
A.5
B. 5
5 C. 2
13
尝试训练 2 已知双曲线1x62 －y92＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，若在 双曲线的右支上有一个点 P，满足|PF1|＝3|PF2|，则点 P 的横坐标为 ________.
设点 P 的横坐标为 x0，由双曲线焦半径公式有 |PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝ex0－a， 结合条件|PF1|＝3|PF2|， 则 ex0＋a＝3(ex0－a)， 又 a＝4，c＝5，可得 e＝54，所以 x0＝352. 答案：352
的双曲线方程是( D ) A1x82 －1y22 ＝1
B.1x22 －1y82 ＝1
C.1y82 －1x22 ＝1
苏教版 高中数学选择性必修第一册 双曲线的几何性质-离心率 课件2
焦点在x轴上
：x2
a2
y2 b2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
(a
0，b 0)．
焦 点 在 y轴 上 ： y
a
2 2
x2 b2
1
(a
0，b
0)．
双曲线的标准方程的特点：
（1）左边是两个分式的平方差，右边是1；
（2）三个参数a、b、c满足 c²=a²＋ b²；
（3）系数为正的项的分母是a²，系数为负的项的分母就是 b²；
解 设 F1(c，0)，将 x＝c 代入双曲线的方程得ac22－by22＝1，那么 y＝±ba2. 由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°， 知|PF1|＝|F1F2|， 所以ba2＝2c，所以 b2＝2ac， 所以c2－2ac－a2＝0， 所以ac2－2×ac－1＝0， 即e2－2e－1＝0， 所以 e＝1＋ 2或 e＝1－ 2(舍去)，
1.已知双曲线ax22－y52＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于
A.31414
B.342
√C.32
D.43
解析 由题意知 a2＋5＝9，解得 a＝2，e＝ac＝32.
2.设双曲线ax22－by22＝1(0<a<b)的半焦距为 c，直线 l 过(a，0)，(0，b)两点，已知 原点到直线 l 的距离为 43c，求双曲线的离心率.
,
3 2
c
，
将点N的坐标代入双曲线方程得 c2 - 3c2 ＝1， 4a2 4b2
整理得b2c2-3a2c2＝4a2b2. ∵ b2＝c2-a2，∴ c4-a2c2-3a2c2＝4a2c2-4a4， 整理得e4-8e2+4＝0，求得e2＝4±2 3 .
北师大版高中数学选择性必修第一册2.2.1 双曲线及其标准方程课件
D．8
答案：B
解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则ቐ
m − n = 2，
2 2
2
= m2 + n2 − 2mn cos ∠F1 PF2 .
m2 − 2mn + n2 = 4，
∴ቊ
m2 − mn + n2 = 8.
∴mn＝4，即|PF1|·|PF2|＝4.
故选B.
x2
(2)设点P在双曲线
9
y2
的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的情势．
(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程
求解．
方法归纳
求双曲线的标准方程的方法一般为待定系数法，求解步骤如下：
1．根据已知条件设出双曲线的标准方程；
2．利用已知条件确定a，b或a2，b2，注意双曲线定义的应用；
3．确定双曲线的标准方程．
B．k<－3
D．k>－2
答案：A
解析：由题意知ቊ
k + 3 > 0，
解得－3<k<－2.故选A.
k + 2 < 0，
题型四 双曲线中的焦点三角形问题
例4 (1)已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P
在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(
)
A．2
B．4
C．6
− ＝1上，F1 ，F2 为双曲线的两个焦点，且
16
|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于________．
答案：22
解析：由题意知|F1F2|＝2 9 + 16＝10，||PF2|－|PF1||＝6，又|PF1|∶|PF2|＝1∶3，
答案：B
解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则ቐ
m − n = 2，
2 2
2
= m2 + n2 − 2mn cos ∠F1 PF2 .
m2 − 2mn + n2 = 4，
∴ቊ
m2 − mn + n2 = 8.
∴mn＝4，即|PF1|·|PF2|＝4.
故选B.
x2
(2)设点P在双曲线
9
y2
的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的情势．
(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程
求解．
方法归纳
求双曲线的标准方程的方法一般为待定系数法，求解步骤如下：
1．根据已知条件设出双曲线的标准方程；
2．利用已知条件确定a，b或a2，b2，注意双曲线定义的应用；
3．确定双曲线的标准方程．
B．k<－3
D．k>－2
答案：A
解析：由题意知ቊ
k + 3 > 0，
解得－3<k<－2.故选A.
k + 2 < 0，
题型四 双曲线中的焦点三角形问题
例4 (1)已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P
在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(
)
A．2
B．4
C．6
− ＝1上，F1 ，F2 为双曲线的两个焦点，且
16
|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于________．
答案：22
解析：由题意知|F1F2|＝2 9 + 16＝10，||PF2|－|PF1||＝6，又|PF1|∶|PF2|＝1∶3，
高中数学课件-2 5 双曲线性质L——等轴、共轭、三角形问题
a sin
例3：已知双曲线两渐近线 夹角为60， 求双曲线离心率
焦点三角形
1S
b2
tan
2
2PF1 PF2 最小，P在顶点处
焦半径(以P在右支上为例 ) PF1 ex0 a PF2 ex0 a
性质： 1c相同，渐近线相同
2 1 1 1
e12 e22
求 x2 a2
y2 b2
1的共轭双曲线
只需将标准方程中的“ ”变为“-”
例2：已知双曲线 x2 y2 1与 y2 x2 1，
9 16
16 9
下列说法正确的是（）
A 有公共顶点
B有公共焦点
C 有公共渐近线 D有相同离心率
练：已知双曲线E与双曲线 x2 y2 1有共同的渐近线， 16 9
且过点A 2 3,3 .若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，
虚轴为实轴.试求双曲线M的标准方程
基础三角形
c
b
a
ab
cLeabharlann 双曲线方程：x2 a2y2 b2
1
渐近线方程： y b x a
e c 1
a cos
a
b
a b
双曲线方程：y 2 a2
x2 b2
1
渐近线方程： y a x b
e c 1
2.3 双曲线的性质
一、等轴双曲线
定义：虚轴和实轴等长的双曲线
性质：1渐近线方程： y x
2渐近线互相垂直
3离心率e 2
方程可以设为 : x2 y2 0
例1：已知焦点在x轴上的等轴双曲线的焦点到渐近线的 距离是 2，求该双曲线方程
二、共轭双曲线 定义：以已知双曲线的 实轴为虚轴，
虚轴为实轴的双曲线
例3：已知双曲线两渐近线 夹角为60， 求双曲线离心率
焦点三角形
1S
b2
tan
2
2PF1 PF2 最小，P在顶点处
焦半径(以P在右支上为例 ) PF1 ex0 a PF2 ex0 a
性质： 1c相同，渐近线相同
2 1 1 1
e12 e22
求 x2 a2
y2 b2
1的共轭双曲线
只需将标准方程中的“ ”变为“-”
例2：已知双曲线 x2 y2 1与 y2 x2 1，
9 16
16 9
下列说法正确的是（）
A 有公共顶点
B有公共焦点
C 有公共渐近线 D有相同离心率
练：已知双曲线E与双曲线 x2 y2 1有共同的渐近线， 16 9
且过点A 2 3,3 .若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，
虚轴为实轴.试求双曲线M的标准方程
基础三角形
c
b
a
ab
cLeabharlann 双曲线方程：x2 a2y2 b2
1
渐近线方程： y b x a
e c 1
a cos
a
b
a b
双曲线方程：y 2 a2
x2 b2
1
渐近线方程： y a x b
e c 1
2.3 双曲线的性质
一、等轴双曲线
定义：虚轴和实轴等长的双曲线
性质：1渐近线方程： y x
2渐近线互相垂直
3离心率e 2
方程可以设为 : x2 y2 0
例1：已知焦点在x轴上的等轴双曲线的焦点到渐近线的 距离是 2，求该双曲线方程
二、共轭双曲线 定义：以已知双曲线的 实轴为虚轴，
虚轴为实轴的双曲线