专题5.7 范围与最值问题-2018年高考数学备考
高考数学总复习专题训练六值、范围、证明问题
专题复习六 最值、范围、证明问题例1．动圆Q 过定点F (0，－1)，且与直线l ：y ＝1相切，椭圆N 的对称轴为坐标轴，O 点为坐标原点，F 是其一个焦点，且点A (0，2)在椭圆N 上．(1)求动圆圆心Q 的轨迹M 的HY 方程和椭圆N 的HY 方程；(2)假设过F 的动直线m 交椭圆N 于B ，C 两点，交轨迹M 于D ，E 两点，设S 1为△ABC 的面积，S 2为△ODE 的面积，令Z ＝S 1S 2，试求Z 的最小值．例2、椭圆C 1：x 216＋y 24＝1，直线l 1：y ＝kx ＋m (m ＞0)与圆C 2：(x －1)2＋y 2＝1相切，且与椭圆C 1交于A ，B 两点．(1)假设线段AB 中点的横坐标为43，求m 的值； (2)过原点O 作l 1的平行线l 2交椭圆于C ，D 两点，设|AB |＝λ|CD |，求λ的最小值．例3、椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为4 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点B (0，m )(m ＞0)的直线l 与椭圆C 相交于E ，F 两点，点B 关于原点的对称点为D ，假设点D 总在以线段EF 为直径的圆内，求m 的取值范围．例4、如图7513所示，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过点F 垂直于x 轴的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为4.(1)求抛物线C 的方程；(2)设M ，N 是抛物线C 上异于原点O 的两个动点，且满足k OM ·k ON ＝k OA ·k OB ，求△OMN 面积的取值范围．例5、经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段，称为该直径的一共轭直径，椭圆的方程为x 24＋y 2＝1. (1)假设一条直径的斜率为13，求该直径的一共轭直径所在的直线方程； (2)如图7514，假设椭圆的两条一共轭直径为AB 和CD ，它们的斜率分别为k 1，k 2，证明：四边形ACBD 的面积为定值．例6、椭圆C 1: x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，P (－2，1)是C 1上一点．(1)求椭圆C 1的方程．(2)设A ，B ，Q 是P 分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB 的直线l 交C 1于C ，D 两点(异于P ，Q 两点)，点C 关于原点的对称点为E .证明：直线PD ，PE 与y 轴围成的三角形是等腰三角形．。
考点40 圆锥曲线中的范围与最值问题-2018版典型高考数学试题解读与变式(解析版)
典型高考数学试题解读与变式2018版考点40 圆锥曲线中的范围与最值问题【考纲要求】应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值． 【命题规律】圆锥曲线中的范围与最值问题在选择题、填空题以及解答题中都会考查，在解答题中出现时难度较大. 【典型高考试题变式】 （一）离心率的范围例1.【2017课标卷】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是（ ）A. )+∞B.C.D. (1,2) 【答案】C【解析】由题意222222111c a e a a a+===+，因为1a >，所以21112a <+<，则1e << C. 【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.【变式1】【2016湖南长沙市月考】设12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，P 在双曲线上，若12120,||||2PF PF PF PF ac ⋅=⋅=(c 为半焦距)，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D 【答案】D【解析】由题意得，12PF F ∆是直角三角形，由勾股定理得()22222121212|||||244||||2|c PF PF PF PF PF PF a ac =+=--=-，∴220c ac a --=，∴210e e --=，∵1e >，∴e =．故选D ．【变式2】已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．(0，2－1) B.)1,22( C.)22,0( D ．(2－1,1)【答案】D【解析】根据正弦定理得|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1，所以由a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1可得a |PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1||PF 2|＝ca ＝e ，所以|PF 1|＝e |PF 2|，又|PF 1|＋|PF 2|＝e |PF 2|＋|PF 2|＝|PF 2|·(e ＋1)＝2a ，则|PF 2|＝2ae ＋1，因为a －c <|PF 2|<a ＋c (不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0，无意义)， 所以a －c <2a e ＋1<a ＋c ，即1－c a <2e ＋1<1＋c a ，所以1－e <2e ＋1<1＋e ，即⎩⎪⎨⎪⎧(1－e )(1＋e )<2，2<(1＋e )2，解得2－1<e <1. （二）参数的范围例2.【2017课标卷】设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是（ ）A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞【答案】A【解析】当03m <<，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则t a n603ab≥=即≥，得01m <≤；当3m >，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603ab≥=≥9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)⋃+∞，选A ． 【名师点睛】本题设置的是一道以椭圆的知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定b a ,的关系，求解时充分借助题设条件 120=∠AMB 转化为360tan =≥ ba，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．【变式1】【2017江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 .【答案】[-【解析】设(),P x y ，由20PA PB ⋅…，易得250x y -+…，由2225050x y x y -+⎧⎨+=⎩…，可得5:5x A y =-⎧⎨=-⎩或1:7x B y =⎧⎨=⎩， 由250x y -+…得P 点在圆左边弧AB上，结合限制条件x -可得点P横坐标的取值范围为⎡⎤-⎣⎦.【变式2】【2016新课标卷】已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )A.()1,3-B.(-C.()0,3D.( 【答案】A【解析】222213x y m n m n-=+-表示双曲线,则()()2230m n m n +->∴223m n m -<<,由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=,其中c 是半焦距 ∴焦距2224c m =⋅=,解得1m =,∴13n -<<,故选A ．【变式2】椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是（ ）A ．[12，34]B ．[38，34]C ．[12，1]D ．[34，1]【答案】B【解析】由椭圆的标准方程，求出左右顶点分别为12(2,0),(2,0)A A -，设000(,)(2)P x y x ≠±，则2200143x y +=……①；而001200,22y y PA PA x x ==+-，则2012204y PA PA x ⋅=-，将①式代入得1234PA PA ⋅=-，2[2,1]PA k ∈--，13214PA k ∴-≤≤--，解得13384PA k ≤≤，故选B. （三）最值例3. 【2017课标卷】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴， 易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性），所以cos AF P AF θ⋅+=，同理1cos P AF θ=-，1cos P BF θ=+，所以22221cos sin P PAB θθ==-. 又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+，2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 而24y x =，即2P =．所以22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24θ== 21616sin 2θ≥，当π4θ=取等号，即AB DE +最小值为16.故选A.【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式、韦达定理是通法，需要重点掌握.考查到最值问题时要能想到用函数方法进行解决和基本不等式.【变式1】【2016年四川卷】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( )B.23D.1【答案】C【解析】设()()22,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则22,2.2p FP pt pt ⎛⎫=-⎪⎝⎭由已知得13FM FP =，22,2362,3p p p x t pt y ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，22,332,3p p x t pt y ⎧=+⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，22112122OM t k t t t ∴==≤=++，()max 2OM k ∴=，故选C. 【变式2】已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则△AFO 与△BFO 面积之和的最小值是（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意，设2(,)A a a ，2(,)B b b ，(0)ab <∴2222OA OB a b ab ab ⋅=+=⇒=-，又∵F 为抛物线2y x =的焦点，∴1(,0)4F ，∴11||24AFO BFO S S b a ∆∆+=⨯⨯-， ∵222||22248b a a b ab ab ab ab -=+-≥--=-=，当且仅当a b =-时，等号成立，∴min ||b a -=min ()4AFO BFO S S ∆∆+=例 4.【2017浙江卷】如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点)2321)(,(<<-x y x P ．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（1）求直线AP 斜率的取值范围； （2）求||||PQ PA ⋅的最大值．【解析】（1）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+， 因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是()1,1-.（2）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标是()224321Q k k x k -++=+.因为)112PA x k ⎫=+=+⎪⎭，)2(1)1Q k k PQ x x -+=-=所以()()311,11PA PQ k k k ⋅=--+-<<， 令()()()311,11f k k k k =--+-<<， 因为()()()2421f k k k '=--+，所以()f k 在区间11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 因此当12k =时，PA PQ ⋅取得最大值2716. 【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3)1)(1()(+--=k k k f 求解||||PQ PA ⋅的最大值．【变式1】【2017山东卷】在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b +=(a >b>0),椭圆C截直线y =1所得线段的长度为（1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,⊙N 的半径 为|NO |. 设D 为AB 的中点,DE ,DF 与⊙N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.【解析】（1）由椭圆的离心率为2，得2222()a a b =-， 又当1y =时，2222a x a b =-，得2222a a b-=，所以224,2a b ==，因此椭圆方程为22142x y +=. （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程2224y kx mx y =+⎧⎨+=⎩， 得222(21)4240k x kmx m +++-=，由0∆>得2242m k <+.（*）且122421km x x k +=+，因此122221my y k +=+， 所以222(,)2121km mD k k -++， 又(0,)N m -，所以222222()()2121km m ND m k k =-++++，整理得2242224(13)(21)m k k ND k ++=+ ， 因为NF m =，所以2422222224(31)831(21)(21)NDk k k k k NF+++==+++. 令283,3t k t =+≥，故21214t k ++=， 所以2221616111(1)2ND t t NFt t=+=++++ .令1y t t =+，所以211y t'=-. 当3t ≥时，0y '>,从而1y t t=+在[3,)+∞上单调递增， 因此1103t t +≥，等号当且仅当3t =时成立，此时0k =，所以22134ND NF≤+=，由（*）得 m <<且0m ≠.故12NF ND≥， 设2EDF θ∠=，则1sin 2NF NDθ=≥，所以θ的最小值为π6，从而EDF ∠的最小值为π3，此时直线l 的斜率是0.综上所述：当0k =，((0,2)m ∈时，EDF ∠取到最小值π3.【数学思想】①数形结合思想． ②分类讨论思想． ③转化与化归思想. 【温馨提示】对于参数的取值范围问题，要能从几何特征的角度去分析参数变化的原因，谁是自变量，定义域是什么，这实际是函数问题，要学会用函数的观点分析这类问题. 【典例试题演练】1. 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞) 【答案】C【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得ba ＞2，∴e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＞1＋4＝ 5.2.【2016新高考调研卷】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的中心为O ，右焦点为F 、右顶点为A ，直线2a x c =与x 轴的交点为K ，则||||FA OK 的最大值为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．1【答案】C【解析】22222||111()||244FA a c ac c e e e OK a ac--===-+=--+≤.故选C. 3.【2016湖南长沙市模拟】抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足0120AFB ∠=. 过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为( ) AB ．1 CD ．2 【答案】A【解析】设,AF a BF b ==，由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+-=++=+- ()222a b a b +⎛⎫≥+- ⎪⎝⎭()234a b =+，22324MN a b AF BF MN AB MN AB +=+=∴≥∴≥. 4.【2016洛阳市模拟】已知点P 在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右支上，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，若2221212PF PF a -=，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．[3,)+∞B ．(2,4]C ．(2,3]D ．(1,3] 【答案】D【解析】因为12||||2PF PF a -=，所以1212||||6,||4,||2PF PF a PF a PF a +===， 又2||PF a c ≥-，所以213a a c e ≥-⇒<≤，选D.5.【2016湖南省郴州市检测】已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,点A 是椭圆M与圆()2224:9C x y m +-=在第一象限的交点, 且点A 到2F 的距离等于13m .若椭圆M 上一动点到点1F 与到点C 的距离之差的最大值为2a m -,则椭圆M 的离心率为（ ） A ．13 B ．12 C．2D【答案】B【解析】设点P 为椭圆M 上的动点，则122||||2||||2(||||)PF PC a PF PC a PF PC -=--=-+．当2,,C P F 三点共线时，1||||PF PC -取得最大值2a m -，此时2||CF m =． 又2||||CA AF m +=，所以点A 是线段2CF 上靠近2F的一个三等分点，所以2()3A c ，代入椭圆方程，得22222()()331c a b +=，即2248199c a +=，解得12c a =，即12e =，故选B ． 6. 设函数321y x x x =+++在点()1,4M 处的切线为l ，双曲线22182x y -=的两条渐近线与l 围成的封闭 图形的区域为P （包括边界），点A 为区域P 内的任一点，已知B ()4,5，O 为坐标原点，则OA OB 的最大值为（ ）A ．2312B ．3C ．2D ．2611【答案】D【解析】因为2321y x x '=++，所以46(1),620l y x x y -=---=：；双曲线22182x y -=的两条渐近线为2x y =±，交点为4242M(,),N(,)11111313-，OA OB 的最大值为向量OA 在向量OB 方向上的投影最大，此时为42264+5.111111OM OB =⨯⨯=选D. 7. 【2016湖南六校联考】已知,A B 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点，不同两点,P Q 在椭圆C 上，且关于x 轴对称，设直线,AP BQ 的斜率分别为,m n ，则当21ln ln 2b a m n a b mn++++取最小值时，椭圆C 的离心率为（ ）A ．3B ．3C ．12D ．2【答案】D【解析】设点00(,)P x y 则2200221x y a b +=，∴22bmn a=，从而21ln ln 2b a m n a b mn ++++22222ln 2b a a b a b b a =+++，设22b x a =，令1()ln (01)2f x x x x =+<<，则max 2211(),()()22x f x f x f x -'==即2212b a =，2b a a b +≥当且仅当2b a a b =即2212b a=取等号，取等号的条件一致，此时222112b e a =-=，∴2e =．故选D ． 8. 已知点M (－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是________．【答案】52【解析】抛物线的准线方程为x ＝－12，当MQ ∥x 轴时，|MQ |－|QF |取得最小值，此时点Q 的纵坐标y ＝2，代入抛物线方程y 2＝2x 得Q 的横坐标x ＝2， 则|QM |－|QF |＝|2＋3|－⎪⎪⎪⎪2＋12＝52. 9.【20117广西柳州市模拟】设双曲线22196x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于A 、B 两点，则22||||AF BF +的最小值等于 ．【答案】16【解析】22211226||||2||2||4||443163b AF BF a AF a BF a AB a a ⨯+=+++=+≥+=⨯+=.10.【2016河南省豫北重点中学联考】已知直线2830mx y m ---=和圆22(3)(6)25x y -++=相交于,A B 两点，当弦AB 最短时，m 的值为 .【答案】16-【解析】2830mx y m ---=化为()2430m x y ---=，故直线过定点()4,3M -， 这个点在圆内.圆心为()3,6O -，3OM k =，故当弦AB 最短时，直线的斜率为13-， 即112,36m m =-=-.11. 【2016安徽合肥质检】存在实数ϕ，使得圆面224x y +≤恰好覆盖函数sin()y x kπϕ=+图象的最高点或最低点共三个，则正数k 的取值范围是___________．【答案】 【解析】由题意，知函数sin()y x kπϕ=+图象的最高点或最低一定在直线1y =±上，则由2214y x y =±⎧⎨+≤⎩，得x ≤≤22T k kππ==，2T T ≤<， 解得正数k的取值范围为． 12.【2016浙江省效实中学期中】已知12F F 、分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 、两点，若1ABF ∆为锐角三角形，则双曲线的离心率e 的取值范围是 ．【答案】1)【解析】在双曲线22221x y a b -=中，当c x =时,2a b y ±=所以A,B 两点的纵坐标分别为,2a b ,2a b - 因为2ABF ∆是锐角三角形，所以，412π<∠F AF ,14tan 2tan 212=<=∠πc a b F AF ，所以1222<-aca c 所以,012,02222<--<--e e a ac c 解得2121+<<-e ， 又因为1>e ，所以∈e 1).13.【2017广东佛山市检测】已知双曲线()2222:10x y C b a a b-=>>的右焦点为F ，O 为坐标原点，若存在直线l 过点F 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，使0OA OB ⋅=，则双曲线离心率的取值范围是 ．e ≤<【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，直线l 的方程为x my c =+(0)a m b≤<， 联立双曲线方程，消去x ，得22222()2b m a y b mcy -+＋40b =，所以2122222b mc y y b m a +=--①，412222b y y b m a=-②． 因为OA OB ⋅＝12120x x y y +=，即22121212()0m y y mc y y c y y ++++=，代入①②整理，得422222222b m b m c c b m -+－2240a c b +=，4222222420b a c a m b c b b-≤=<-． 由4220b a b -≥，得22222()0c a ac --≥，即422430c a c a -+≥，42310e e -+≥，解得e ≥；由42222242b a c a b c b b-<-，得44220b a a c --<，即222422()0c a a a c ---<，42230c a c -<，所以c a <1[2e +∈． 14.【2017河北唐山市期末】已知抛物线()2:20C x py p =>，圆22:1O x y +=.（1）若抛物线C 的焦点F 在圆上，且A 为 C 和圆 O 的一个交点，求AF ；（2）若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于点,M N ，求MN 的最小值及相应p 的值． 【解析】（1）由题意得F (1，0)，从而有C ：x 2＝4y ．解方程组⎩⎨⎧x 2＝4y ，x 2＋y 2＝1，得y A ＝5－2，所以|AF |＝5－1． （2）设M (x 0，y 0)，则切线l ：y ＝x 0p(x －x 0)＋y 0， 整理得x 0x －py －py 0＝0．由|ON |＝1得|py 0|＝x 20＋p 2＝2py 0＋p 2， 所以p ＝2y 0y 20－1且y 20－1＞0， 所以|MN |2＝|OM |2－1＝x 20＋y 20－1＝2py 0＋y 20－1＝4y 20y 20－1＋y 20－1＝4＋4y 20－1＋(y 20－1)≥8，当且仅当y 0＝3时等号成立，所以|MN |的最小值为22，此时p ＝3．15.【2017四川凉山州检测】设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，E 上一点P 到右焦点距离的最小值为1．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(0,2)的直线交椭圆E 于不同的两点A ，B ，求OA OB ⋅的取值范围． 【解析】（1）由题意得12c a =，且1a c -=，∴2a =，1c =， 故2223b a c =-=，∴椭圆的方程为22143x y +=．（2）①当k 不存在时，(0,A ，B ，∴(0,3OA OB ⋅=⋅=-；②当k 存在时，设直线方程为2y kx =+，则有222,1,43y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得22(34)1640k x kx +++=，∴1221634k x x k +=-+，122434x x k=+，（i ） 又12121212(2)(2)OA OB x x y y x x kx kx ⋅=+=+++21212(1)2()4k x x k x x =++++2221322424143434k k k +-=+-+++225334k =-++，（ii ） 2225616(43)0k k ∆=-+>，从而214k >，（iii ） （iii ）代入（ii ）中25133314OA OB ⋅≤-+=+， ∴13(,]4OA OB ⋅∈-∞．。
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解57---概率与统计的创新问题
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解第57讲 概率与统计的创新问题概率与统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性增强，难度加深，主要考查学生的阅读理解能力和数据分析能力．要从已知数表、题干信息中经过阅读分析判断获取关键信息，搞清各数据、各事件间的关系，建立相应的数学模型求解．考点一 概率和数列的综合例1 某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日礼物，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶A 1，A 2，A 3中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶B 1，B 2中的一个．(1)记事件E n ：一次性购买n 个甲系列盲盒后集齐玩偶A 1，A 2，A 3玩偶；事件F n ：一次性购买n 个乙系列盲盒后集齐B 1，B 2玩偶．求概率P (E 5)及P (F 4)；(2)某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为23，购买乙系列的概率为13；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为14，购买乙系列的概率为34，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为12，购买乙系列的概率为12；如此往复，记某人第n 次购买甲系列的概率为Q n . ①求{Q n }的通项公式；②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．解 (1)若一次性购买5个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为35，集齐A 1，A 2，A 3玩偶，则有两种情况：①其中一个玩偶3个，其他两个玩偶各1个，则有C 13C 35A 22种结果； ②其中两个玩偶各2个，另外一个玩偶1个，则有C 13C 15C 24种结果， 故P (E 5)＝C 13C 35A 22＋C 13C 15C 2435＝60＋90243＝150243＝5081； 若一次性购买4个乙系列盲盒，全部为B 1与全部为B 2的概率相等，均为124，故P (F 4)＝1－124－124＝78.(2)①由题可知，Q 1＝23，当n ≥2时，Q n ＝14Q n －1＋12(1－Q n －1)＝12－14Q n －1，则Q n －25＝－14⎝⎛⎭⎫Q n －1－25，Q 1－25＝415， 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫Q n －25是以415为首项，以－14为公比的等比数列．所以Q n －25＝415×⎝⎛⎭⎫－14n －1， 即Q n ＝25＋415×⎝⎛⎭⎫－14n －1. ②因为每天购买盲盒的100人都已购买过很多次，所以对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可看作n →＋∞，所以其购买甲系列的概率近似于25，假设用ξ表示一天中购买甲系列盲盒的人数， 则ξ～B ⎝⎛⎭⎫100，25， 所以E (ξ)＝100×25＝40，即购买甲系列盲盒的人数的均值为40，所以礼品店应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个．规律方法 本题的关键是通过审题，找到第n 次购买与前一次购买之间的联系，从而找到数列的递推关系．跟踪演练1 (2022·青岛模拟)规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回地任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则该轮记为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量X ，求X 的分布列和均值；(2)为验证抽球试验成功的概率不超过12，有1 000名数学爱好者独立地进行该抽球试验，记t 表示成功时抽球试验的轮次数，y 表示对应的人数，部分统计数据如下：求y 关于t 的经验回归方程y ^＝b ^t＋a ^，并预测成功的总人数(精确到1)；(3)证明：122＋⎝⎛⎭⎫1－122132＋⎝⎛⎭⎫1－122⎝⎛⎭⎫1－132142＋…＋⎝⎛⎭⎫1－122⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－1n 21(n ＋1)2<12. 附：经验回归方程系数：b ^＝∑i ＝1n x i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x ；参考数据：∑i ＝15x 2i ＝1.46，x ＝0.46，x 2＝0.212(其中x i＝1t i ，x ＝15∑i ＝15x i )． (1)解 由题知，X 的取值可能为1,2,3， 所以P (X ＝1)＝⎝⎛⎭⎫1C 122＝14； P (X ＝2)＝⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1C 122⎝⎛⎭⎫1C 132＝112；P (X ＝3)＝⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1C 122⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1C 132＝23， 所以X 的分布列为所以E (X )＝1×14＋2×112＋3×23＝3＋2＋2412＝2912.(2)解 令x i ＝1t i，则y ^＝b ^x ＋a ^，由题知∑i ＝15x i y i ＝315，y ＝90，所以b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y ∑i ＝15x 2i －5x2＝315－5×0.46×901.46－5×0.212＝1080.4＝270，所以a ^＝90－270×0.46＝－34.2，y ^＝270x －34.2，故所求的经验回归方程为y ^＝270t－34.2， 所以估计t ＝6时，y ≈11； 估计t ＝7时，y ≈4； 估计t ≥8时，y <0，预测成功的总人数为450＋11＋4＝465. (3)证明 由题知，在前n 轮就成功的概率为P ＝122＋⎝⎛⎭⎫1－122132＋⎝⎛⎭⎫1－122⎝⎛⎭⎫1－132142＋…＋⎝⎛⎭⎫1－122⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－1n 21(n ＋1)2，又因为在前n 轮没有成功的概率为 1－P ＝⎝⎛⎭⎫1－122×⎝⎛⎭⎫1－132×…×⎣⎡⎦⎤1－1(n ＋1)2 ＝⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1＋12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1＋13×…×⎝⎛⎭⎫1－1n ×⎝⎛⎭⎫1＋1n ×⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1×⎝⎛⎭⎫1＋1n ＋1 ＝12×32×23×43×…×n －1n ×n ＋1n ×n n ＋1×n ＋2n ＋1＝n ＋22n ＋2＝12(2n ＋2)＋12n ＋2＝12＋12n ＋2>12， 故122＋⎝⎛⎭⎫1－122132＋⎝⎛⎭⎫1－122⎝⎛⎭⎫1－132142＋…＋⎝⎛⎭⎫1－122⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－1n 21(n ＋1)2<12.考点二 概率和函数的综合例2(2022·九江模拟)瑞昌剪纸被列入第二批国家级非物质文化遗产名录．为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖”.5轮比赛中，至少获得4次“巧手奖”的同学将进入决赛．某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各5幅，其中有4幅规定作品和3幅创意作品符合入选标准．(1)从这10幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率；(2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率．经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了110，以获得“巧手奖”的次数均值为参考，试预测该同学能否进入决赛？ 解 (1)由题可知，所有可能的情况如下， ①规定作品入选1幅，创意作品入选2幅的概率P 1＝C 14C 23C 11C 25C 25＝325，②规定作品入选2幅，创意作品入选1幅的概率P 2＝C 24C 13C 12C 25C 25＝925，③规定作品入选2幅，创意作品入选2幅的概率P 3＝C 24C 23C 25C 25＝950，故所求概率P ＝325＋925＋950＝3350.(2)设强化训练后，规定作品入选的概率为p 1，创意作品入选的概率为p 2， 则p 1＋p 2＝45＋35＋110＝32，由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为P ＝C 12p 1(1－p 1)·C 22p 22＋C 22p 21·C 12p 2(1－p 2)＋C 22p 21·C 22p 22＝2p 1p 2(p 1＋p 2)－3(p 1p 2)2＝3p 1p 2－3(p 1p 2)2， ∵p 1＋p 2＝32，且p 1≥45，p 2≥35，即32－p 2≥45，32－p 1≥35， 即p 2≤710，p 1≤910，故可得45≤p 1≤910，35≤p 2≤710，p 1p 2＝p 1⎝⎛⎭⎫32－p 1＝－⎝⎛⎭⎫p 1－342＋916， ∴p 1p 2∈⎣⎡⎦⎤2750，1425， 令p 1p 2＝t ，则P (t )＝－3t 2＋3t ＝－3⎝⎛⎭⎫t －122＋34在⎣⎡⎦⎤2750，1425上单调递减， ∴P (t )≤P ⎝⎛⎭⎫2750＝－3×⎝⎛⎭⎫2502＋34<34.∵该同学在5轮比赛中获得“巧手奖”的次数X ～B (5，P )， ∴E (X )＝5P <5×34＝154<4，故该同学没有希望进入决赛．易错提醒 构造函数求最值时，要注意变量的选取，以及变量自身的隐含条件对变量范围的限制． 跟踪演练2 (2022·新余模拟)学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为12；参加“四人赛”活动(每天两局)时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p ，13.李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动(每天两局)，各局比赛互不影响． (1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X 的分布列和均值；(2)设李明在这5天的“四人赛”活动(每天两局)中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为f (p )．求p 为何值时，f (p )取得最大值． 解 (1)X 可取5,6,7,8,9,10， P (X ＝5)＝C 05×⎝⎛⎭⎫125＝132， P (X ＝6)＝C 15×12×⎝⎛⎭⎫124＝532， P (X ＝7)＝C 25×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫123＝516， P (X ＝8)＝C 35×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫122＝516， P (X ＝9)＝C 45×⎝⎛⎭⎫124×12＝532，P (X ＝10)＝C 55×⎝⎛⎭⎫125＝132， 分布列为所以E (X )＝5×132＋6×532＋7×516＋8×516＋9×532＋10×132＝7.5(分)．(2)设一天得分不低于3分为事件A ，则P (A )＝1－(1－p )⎝⎛⎭⎫1－13＝1－23(1－p )＝2p ＋13， 则恰有3天每天得分不低于3分的概率f (p )＝C 35⎝⎛⎭⎫2p ＋133·⎝⎛⎭⎫1－2p ＋132＝40243(2p ＋1)3(1－p )2,0<p <1， 则f ′(p )＝40243×6(2p ＋1)2(1－p )2－40243×2(2p ＋1)3(1－p )＝40243(2p ＋1)2(1－p )(4－10p )，当0<p <25时，f ′(p )>0；当25<p <1时，f ′(p )<0， 所以函数f (p )在⎝⎛⎭⎫0，25上单调递增，在⎝⎛⎭⎫25，1上单调递减， 所以当p ＝25时，f (p )取得最大值．专题强化练1．(2022·湖北八市联考)2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3∶2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战6∶5惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有12的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和均值；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n 次传球之前球在甲脚下的概率为p n ，易知p 1＝1，p 2＝0. ①试证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫p n －14为等比数列；②设第n 次传球之前，球在乙脚下的概率为q n ，比较p 10与q 10的大小． (1)解 依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为p ＝13×13×3×12＝16，门将在前三次扑出点球的个数X 可能的取值为0,1,2,3，易知X ～B ⎝⎛⎭⎫3，16， P (X ＝k )＝C k 3×⎝⎛⎭⎫16k ×⎝⎛⎭⎫563－k ，k ＝0,1,2,3. 则X 的分布列为E (X )＝3×16＝12.(2)①证明 第n 次传球之前球在甲脚下的概率为p n ，则当n ≥2时，第(n －1)次传球之前，球在甲脚下的概率为p n －1，第(n －1)次传球之前，球不在甲脚下的概率为1－p n －1，则p n ＝p n －1·0＋(1－p n －1)·13＝－13p n －1＋13，从而p n －14＝－13⎝⎛⎭⎫p n －1－14， 又p 1－14＝34，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫p n －14是以34为首项，－13为公比的等比数列．②解 由①可知p n ＝34⎝⎛⎭⎫－13n －1＋14， p 10＝34×⎝⎛⎭⎫－139＋14<14， q 10＝13(1－p 10)>14，故p 10<q 10.2．某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱．(1)已知该网络购物平台近5年“双十一”购物节当天成交额如下表：求成交额y (百亿元)与时间变量x (记2018年为x ＝1，2019年为x ＝2，…依此类推)的经验回归方程，并预测2023年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元)；(2)在2023年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台上分别参加A ，B 两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在A ，B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为p ，q ，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X . ①求X 的分布列及E (X )；②已知每个订单由k (k ≥2，k ∈N *)件商品W 构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品W 总数量为Y ，假设p ＝7sin πk 4k －πk 2，q ＝sinπk4k，求E (Y )取最大值时正整数k 的值．附：经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .解 (1)由已知可得x ＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y ＝9＋12＋17＋21＋275＝17.2，∑i ＝15x i y i ＝1×9＋2×12＋3×17＋4×21＋5×27＝303， ∑i ＝15x 2i ＝12＋22＋32＋42＋52＝55， 所以b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝303－5×3×17.255－5×32＝4510＝4.5， 所以a ^＝y －b ^x ＝17.2－4.5×3＝3.7，所以y ^＝b ^x ＋a ^＝4.5x ＋3.7，当x ＝6时，y ^＝4.5×6＋3.7＝30.7(百亿元)，所以预测2023年该平台“双十一”购物节当天的成交额为30.7百亿元．(2)①由题意知，X 的可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝(1－p )(1－q )＝1－p －q ＋pq ，P (X ＝1)＝(1－p )q ＋(1－q )p ＝p ＋q －2pq ，P (X ＝2)＝pq ，所以X 的分布列为E (X )＝p ＋q －2pq ＋2pq ＝p ＋q .②因为Y ＝kX ，所以E (Y )＝kE (X )＝k (p ＋q )＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫7sin πk 4k －πk 2＋sin πk 4k ＝2sin πk －πk， 令t ＝1k ∈⎝⎛⎦⎤0，12，设f (t )＝2sin πt －πt ，则E (Y )＝f (t )， 因为f ′(t )＝2πcos πt －π＝2π⎝⎛⎭⎫cos πt －12，且πt ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，所以当t ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，f ′(t )>0，所以f (t )在区间⎝⎛⎭⎫0，13上单调递增；当t ∈⎝⎛⎭⎫13，12时，f ′(t )<0，所以f (t )在区间⎝⎛⎭⎫13，12上单调递减，所以当t ＝13，即k ＝3时，f (t )取得最大值，且f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫13＝3－π3(百亿元)， 所以E (Y )取最大值时，k 的值为3.。
解三角形中的最值、范围问题--高考数学【解析版】
专题25 解三角形中的最值、范围问题近几年高考对解三角形问题考查，大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.与平面几何相结合的问题，要注重几何图形的特点的利用.由于新教材将正弦定理、余弦定理列入平面向量的应用，与平面向量相结合的命题将会出现.另外，“结构不良问题”作为实验，给予考生充分的选择空间，充分考查学生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象．同时，也增大了解题的难度.【重点知识回眸】（一） 余弦定理变形应用：变式()()2221cos a b c bc A =+-+在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值（二）三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇒<其中由cos cos A B A B >⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sin A B A B >⇔>仅在一个三角形内有效.（三）解三角形中处理不等关系的几种方法 1．三角形中的最值、范围问题的解题策略和步骤（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值） （2）利用均值不等式求得最值 （3）①定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围．②构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示．③求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0＜A ＜π，b －c ＜a ＜b ＋c ，三角形中大边对大角等．【典型考题解析】热点一 三角形角(函数值)相关的最值(范围)问题【典例1】（2021·山西·祁县中学高三阶段练习（理））在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sin a c B =，则tan A 的最大值为（ ） A ．1 B ．32C ．43D ．54【答案】C【分析】先由正弦定理化简得111tan tan C B+=，结合基本不等式求得tan tan 4B C ≥，再由正切和角公式求解即可.【详解】在ABC 中，sin a c B =，所以sin sin sin A C B =，又()sin sin A B C =+，整理得：sin cos cos sin sin sin B C B C B C +=，又sin sin 0B C ≠，得到111tan tan C B+=，因为角A 、B 、C 为锐角，故tan A 、tan B 、tan C 均为正数， 故112tan tan B C≥整理得tan tan 4B C ≥，当且仅当tan tan 2B C ==时等号成立，此时tan tan tan tan 1tan tan()11tan tan 1tan tan 1tan tan B C B CA B C B C B C B C+⋅=-+=-=-=---⋅，当tan tan B C 取最小值时，1tan tan B C 取最大值，11tan tan B C-取最小值，故111tan tan B C-⋅的最大值为43，即当tan tan 2B C ==时，tan A 的最大值为43．故选：C ．【典例2】（2021·河南·高三开学考试（文））ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin tan sin sin A A B C =，则cos A 的最小值为________. 【答案】23【分析】先根据题目条件和正弦定理得到2cos a A bc=，结合cos A 的余弦定理表达式，得到,,a b c 的关系，利用此关系求cos A 的最小值.【详解】由条件可知，2sin cos sin sin A A B C=，由正弦定理得2cos a A bc =，由余弦定理得，2222cos 2b c a a A bc bc +-==，化简可得2223a b c =+.所以222222223cos 2333b c b c b c bc A bc bc bc ++-+==≥=，当且仅当b c =时取得等号，cos A 取得最小值23. 故答案为：23【典例3】（2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 30b A a =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围． 【答案】（I ）3B π=；（II ）3132⎤+⎥⎝⎦ 【解析】 【分析】（I ）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B 的大小；（II ）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围. 【详解】 （I ）[方法一]：余弦定理由2sin 3b A a =，得222233sin 4a a A b ==⎝⎭，即22231cos 4a A b -=．结合余弦定222cos 2b c a A bc +-=，∴2222223124b c a a bc b ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即224442222222242223b c b c a b c b a c a a c ----++=, 即444222222220a b c a c a b b c +++--=, 即44422222222222a b c a c a b b c a c +++--=,即()()22222a c b ac +-=,∵ABC 为锐角三角形，∴2220a c b +->， ∴222a c b ac +-=，所以2221cos 22a c b B ac +-==，又B 为ABC 的一个内角，故3B π=．[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由2sin 3b A a =，结合正弦定理可得：32sin sin 3,sin B A A B =∴=ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）[方法一]：余弦定理基本不等式 因为3B π=，并利用余弦定理整理得222b a c ac =+-，即223()ac a c b =+-．结合22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得2a c b +≤． 由临界状态（不妨取2A π=）可知3a cb+= 而ABC 为锐角三角形，所以3a cb+> 由余弦定理得2222221cos cos cos 222b c a a b c A B C bc ab+-+-++=++， 222b a c ac =+-，代入化简得1cos cos cos 12a c A B C b +⎛⎫++=+⎪⎝⎭ 故cos cos cos A B C ++的取值范围是3132⎤+⎥⎝⎦．[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质 结合(1)的结论有： 12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭131cos cos 22A A A =-+311cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则3sin 6A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，1313sin 622A π⎤+⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是3132⎤+⎥⎝⎦.【整体点评】（I ）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得222a c b ac +-=，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II ）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解. 【总结提升】求角(函数值)的最值(范围)问题一般先将边转化为角表示，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为一个角的一个三角函数表示，然后求解． 热点二 三角形边(周长)相关的最值(范围)【典例4】（2018·北京·高考真题（文））若ABC 2223)a c b +-,且∠C 为钝角，则∠B =_________；ca的取值范围是_________. 【答案】 60 (2,)+∞ 【解析】 【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得tan 3B =3B π∠=；再利用()sin sin C A B =+，将问题转化为求函数()f A 的取值范围问题. 【详解】)22231sin 2ABC S a c b ac B ∆=+-=， 22223a c b ac +-∴=cos 3B =sin 3,cos 3B B B π∴∠=，则231sin cos sin sin 311322sin sin sin tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+， C ∴∠为钝角，,036B A ππ∠=∴<∠<，)31tan ,3,tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭，故()2,ca∈+∞.故答案为3π，()2,+∞. 【典例5】（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =________． 31##3-【解析】 【分析】设220CD BD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解.【详解】设220CD BD m ==>，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++， 在ACD △中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++-++-===-+++++++ ()44233211m m ≥=-+⋅+， 当且仅当311m m +=+即31m =时，等号成立， 所以当ACAB取最小值时，31m =. 31.【典例6】（2018·江苏·高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【答案】9 【解析】 【详解】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c =++=，因此11444(4)()5529,c a c a a c a c a c a c a c+=++=++≥+⋅当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.【典例7】（2020·全国·高考真题（理））ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ． （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值. 【答案】（1）23π；（2）33+ 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）方法一：利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果. 【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅229AC AB AC AB =++⋅=， 即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：3AC AB +≤AC AB =时取等号），ABC ∴周长323L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为33+[方法二]：正弦化角（通性通法） 设,66ππαα=+=-B C ，则66ππα-<<，根据正弦定理可知23sin sin sin a b cA B C===23(sin sin )b c B C +=+23sin sin 66ππαα⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦233α=≤当且仅当0α=，即6B C π==时，等号成立．此时ABC 周长的最大值为33+ [方法三]：余弦与三角换元结合在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由余弦定理得229b c bc =++，即2213924⎛⎫++= ⎪⎝⎭b c c ．令13sin ,20,223b c c θπθθ⎧+=⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩，得3sin 3b c θθ+==23236πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭6C π=时，max ()23b c +=所以ABC 周长的最大值为323+ 【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.【典例8】（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c+的最小值． 【答案】(1)π6；(2)425． 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A BA B=++化成()cos sin A B B +=，再结合π02B <<，即可求出； （2）由（1）知，π2C B =+，π22A B =-，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c +化成2224cos 5cos B B +-，然后利用基本不等式即可解出． (1) 因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B B A B B B ===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=， 而π02B <<，所以π6B =；(2)由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<， 而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-． 所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B+++-==()2222222cos11cos 24cos 5285425cos cos B BB BB-+-==+-≥=． 当且仅当22cos B =222a b c +的最小值为425．【规律方法】求边(周长)的最值(范围)问题一般通过三角中的正、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解，有时也可将角转化为边，利用均值不等式或函数最值求解． 热点三 求三角形面积的最值(范围)【典例9】（2023·山西大同·高三阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2b A a c =+，且2b =，则ABC 面积的最大值为___________. 3133【分析】利用余弦定理进行角化边后，结合基本不等式，三角形面积公式求解.【详解】由余弦定理，2cos 2b A a c =+可化为222222b c a b a c bc +-⋅=+，整理可得2224c a ac b ++==，由余弦定理2221cos 22a cb B ac +-==-，又(0,)B π∈，故23B π=，根据基本不等式22423a c ac ac ac ac =++≥+=，23a c ==取得等号，故133sin 243ABC S ac B ac ==≤，即ABC 面积的最大值为33. 故答案为：33. 【典例10】（2022·全国·高三专题练习）已知A ，B ，C 分别是椭圆22143x y +=上的三个动点，则ABC 面积最大值为_____________. 【答案】92##4.5【分析】作变换'2'3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=，A B C '''是圆的内接三角形，圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，则ABC A B C S bS a'''=，求出A B C S '''，代入即可得出答案. 【详解】作变换'2''3x x y y y =⎧⎪⎨==⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=， A B C '''是圆的内接三角形，设A B C '''的半径为R ，设,,A B C '''所对应边长为,,a b c '''，所以 211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22A B C Sa b C R A R B C R A B C ''''''''''==⋅⋅⋅=⋅⋅'' 32sin sin sin 23A B C R ++⎛⎫≤ ⎝''⎪⎭'，当且仅当3A B C π===时取等， 因为sin y x =在()0,π上为凸函数，则sin sin sin sin 33A B C A B C ''''+'+≤'++，3332222sin sin sin 3322sin 2sin 3334A B C A B C A B C SR R R R π'''++++⎛⎫'⎛⎫⎛⎫=≤==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''''，当且仅当3A B C π===时取等， 所以圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，因此2333343344A B C S R '''==⨯=，又因为ABC A B C S b S a '''=， ∴393322ABC A B C b SS a'''==⨯=. 故答案为：92.【典例11】（2019·全国·高考真题（理））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 【答案】(1) 3B π=;(2)33(). 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABCSac B =⋅，又根据正弦定理和1c =得到ABCS 关于C 的函数，由于ABC 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABCS C 的值域.【详解】 (1)根据题意sin sin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sinsin 2A CB +=． 0<B π<，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A C B π++=，而根据题意A B C π++=，故2A CB π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=， 故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 33sin sin sin 222sin sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅22sincos cos sin 3321231333(sin cos )sin 3tan 38tan C CC C C ππππ--= 又因3,tan 62C C ππ<<>331338tan C << 33ABCS <<. 故ABCS的取值范围是33(【典例12】（2021·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，)sin 3cos b C a b C =-.(1)求角B 的大小；(2)若点D 满足=a AD cDC ，且||23BD =ABC 面积的最小值. 【答案】(1)π3B = (2)43【分析】（1）由正弦定理把边化为角，再结合三角恒等变换即可求解；（2）由题意得||||=a DC c AD ，进而利用三角面积可转化1sin ||21||sin 2⋅⋅⋅∠===⋅⋅⋅∠△△BCD ABD BC BD DBC DC S BC S AB AD AB BD ABD ，从而有sin sin ∠=∠DBC ABD ，再由面积公式与基本不等式求解即可（1）因为()sin 3cos b C a b C =-，所以()sin sin 3sin sin cos B C A B C =-. 因为sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以sin sin 3(sin cos cos sin sin cos )3cos sin =+-=B C B C B C B C B C . 因为sin 0C ≠， 所以tan 3B =. 又因为0πB <<， 所以π3B =.（2）因为=a AD cDC ， 所以点D 在线段AC 上，且||||=a DC c AD . 因为1sin ||21||sin 2⋅⋅⋅∠===⋅⋅⋅∠△△BCDABDBC BD DBC DC S BC S AB AD AB BD ABD ， 所以sin sin ∠=∠DBC ABD ， 即BD 为ABC ∠的角平分线. 由（1）得π3B =， 所以π6ABD CBD ∠=∠=. 由ABC ABD BCD S S S =+△△△，得1π1π1πsin sin sin 232626ac a BD c BD =⋅+⋅，即2()4=+≥ac a c ac ，得16≥ac ，当且仅当a c =时，等号成立，11sin 16sin 432323=≥⨯=△ABC S ac ππ.故ABC 面积的最小值为43. 【规律方法】求三角形面积的最值(范围)的两种思路(1)将三角形面积表示为边或角的函数，再根据条件求范围．(2)若已知三角形的一个内角(不妨设为A)，及其对边，则可根据余弦定理，利用基本不等式求bc 的最值从而求出三角形面积的最值．【精选精练】一、单选题1．（2022·上海市松江一中高三阶段练习）在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，B 是A 、C 的等差中项，则a c +与2b 的大小关系是（ ）A ．2a c b +>B ．2a c b +<C ．2a c b +≥D ．2a c b +≤【答案】D【分析】根据等差中项的性质及内角和的性质求出B ，再由余弦定理及基本不等式计算可得.【详解】解：依题意，在ABC 中B 是A 、C 的等差中项，所以2A+C =B ， 又A C B π++=，所以3B π=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-()22222233a c ac a c ac ac a c ac =+-=++-=+-，又22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c =时取等号，所以2332a c ac +⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，所以()()()222213324a c a c ac a c a c +⎛⎫+-≥+-=+ ⎪⎝⎭，即()2214b ac ≥+，即()224b a c ≥+，所以2a c b +≤； 故选：D2．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知ABC 的内角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ， 内角A 的角平分线交边BC 于D 点， 且 4=AD ．若(2)cos cos 0b c A a C ++=， 则ABC 面积的最小值是（ ） A ．16 B ．3C ．64 D ．643【答案】B【分析】利用正弦定理及诱导公式可得23A π=，然后利用三角形面积公式及基本不等式即得. 【详解】∵(2)cos cos 0b c A a C ++=， ∴2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C ++=， 即()2sin cos sin 2sin cos sin 0B A C A B A B ++=+=， 又()0,B π∈，sin 0B >，∴2cos 10A +=，即1cos 2A =-，又()0,A π∈，∴23A π=， 由题可知ABCABDACDS SS=+，4=AD ，所以1211sin4sin 4sin 232323bc c b πππ=⨯+⨯，即()4bc b c =+， 又()48bc b c bc =+≥，即64bc ≥， 当且仅当b c =取等号，所以1213sin 641632322ABCSbc π=≥⨯⨯=. 故选：B.3．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））在等腰ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则ABC 的面积的最大值是（ ） A ．6 B ．12C ．18D ．24【答案】A【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得ABC 面积的最大值． 【详解】设2AB AC m ==，2BC n =，由于ADB CDB π∠=-∠，在ABD △和BCD △中应用余弦定理可得：2222949466m m m n m m+-+-=-，整理可得：2292m n =-，结合勾股定理可得ABC 的面积：22222111()2434222S BC AC BC n m n n n =⨯-=⨯⨯-=- 222243(43)62n n n n +-=-≤⨯=，当且仅当22n =时等号成立． 则ABC 面积的最大值为6． 故选：A.4．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒ ，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a c + 的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．7【答案】B【分析】根据三角形面积可得到111a c +=，将4a c +变为11(4)()a c a c++，展开后利用基本不等式，即可求得答案.【详解】由题意得111sin120sin 60sin60222ac a c =+ ，即ac a c =+ ，得111a c+=，得 114(4)()a c a c a c +=++45c a a c =++≥425459c aa c⋅+=+=， 当且仅当4c aa c=，即23c a ==时，取等号， 故选：B ． 二、多选题5．（2020·全国·高三专题练习）如图，ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为),,3cos cos 2sin a b c a C c A b B +=，且3CAB π∠=.若D 是ABC 外一点，1,3DC AD ==，则下列说法中正确的是（ ）A ．ABC 的内角3B π= B ．ABC 的内角3C π=C ．四边形ABCD 533 D ．四边形ABCD 面积无最大值 【答案】AB【分析】根据正弦定理进行边化角求角B ，从而判断选项A ，B 正确；把四边形ABCD 的面积表示成ADC ∠的三角函数，从而根据三角函数求最值 【详解】因为()3cos cos 2sin a C c A b B +=，所以由正弦定理，得()23sin cos sin cos 2sin A C C A B +=，所以()23sin 2sin A C B +=，又因为A B C π++=，所以()sin sin A C B +=，所以23sin 2sin B B = 因为sin 0,B ≠所以3sin 2B =， 又因为3CAB π∠=，所以20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以3B π=，所以3C A B ππ=--=，因此A ，B 正确；四边形ABCD 面积等于231sin 42ABC ACDS SAC AD DC ADC +=+⋅⋅∠()22312cos sin 42AD DC AD DC ADC AD DC ADC =⨯+-⋅⋅∠+⋅⋅∠ ()31916cos 3sin 42ADC ADC =⨯+-⋅∠+⨯∠ 533sin 23ADC π⎛⎫=+∠- ⎪⎝⎭， 所以当32ADC ππ∠-=即sin 13ADC π⎛⎫∠-= ⎪⎝⎭时，ABCACDSS+取最大值5332+， 所以四边形ABCD 面积的最大值为5332+， 因此C ，D 错误 故选：AB6．（2022·云南·高三阶段练习）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，13AA =，点M 满足12A M MA =，点P 在底面ABCD 的边界及其内部运动，且满足4AMP π∠≤，则下列结论正确的是（ ）A ．点P 所在区域面积为4πB ．线段1PC 17C ．有且仅有一个点P 使得1MP PC ⊥D ．四面体11P A CD -的体积取值范围为[6,8]【答案】AD【分析】A 选项，由1MA AP ==时，MP 与底面ABCD 的所成角4πθ=求解判断； B 选项，若PC 取最小值时，则线段1PC 长度最小，由A ，P ，C 三点共线求解判断； C 选项，由点P 与点F 重合，由点P 与点E 重合，利用余弦定理求解判断；，D 选项，由点P 位于AE 上时，此时点P 到平面11A CD 的距离最大，当P与点F 重合时，此时点P 到平面11A CD 的距离最小求解判断. 【详解】如图所示：A 选项，当1MA AP ==时，MP 与底面ABCD 的所成角4πθ=，故点P 所在区域为以A 为圆心，1为半径的圆在正方形ABCD 内部部分（包含边界弧长），即圆的14，面积为211144π⨯=π，A 正确；B 选项，当PC 取最小值时，线段1PC 长度最小，由三角形两边之和大于第三边可知：当A ，P ，C 三点共线时，PC 取得最小值，即min ||421PC =-，则221min (421)34282PC =-+=-，B 错误； C 选项，不妨点P 与点F 重合，此时2221134PC FB BC C C =++=，由余弦定理得：1cos MFC ∠=22211123436022234MF C F C M MF C F +-+-==⋅⨯⨯，则12MFC π∠=，同理可得：12MEC π∠=，故多于一个点P 使得1MP PC ⊥，C 错误；D 选项，当点P 位于AE 上时，此时点P 到平面11A CD 的距离最大，最大距离341255AH ⨯==，此时四面体11P A CD -的体积为11111124583325A CD S AH ⋅=⨯⨯⨯⨯=△，当P 与点F 重合时，此时点P 到平面11A CD 的距离最小，最小距离为FK ，因为BFK BAH ∽△△，所以34FK AH =，所以最小体积为3864⨯=，故四面体11P A CD -的体积取值范围为[]6,8 ，D 正确， 故选：AD ． 三、填空题7．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin sin 2B Cb a B +=，2a =△ABC 周长的最大值为________．【答案】32【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换可得3A π=，再根据余弦定理与基本不等式求解周长最大值即可.【详解】由正弦定理，sin sin 2B C b a B +=即sin sin sin sin 22A B A B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又sin 0B ≠，故sin sin 22A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即cossin 2AA =. 由二倍角公式有cos2sin cos 222A A A =，因为0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故cos 02A ≠，所以1sin 22A =，所以26A π=，即3A π=.由余弦定理22222cos 3b c bc π=+-，结合基本不等式有()()2222332b c b c bc b c +⎛⎫=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，即()2124b c +≤，()28b c +≤，故22b c +≤，当且仅当2b c ==时取等号. 故△ABC 周长的最大值为a b c ++的最大值为22232+=. 故答案为：328．（2021·江西南昌·高三阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足2224,4c c a b ==+， 则ABC 的面积取得最大值时，cos C =______．【答案】33434-【分析】根据余弦定理结合同角三角函数的关系可得sin C ，进而表达出ABCS ，结合基本不等式求解ABCS的最值，进而求得cos C 即可.【详解】由余弦定理，()222222243cos 222a b a b a b c b C ab ab a+-++-===-，又()0,C π∈，故2222349sin 1cos 122b a b C C a a -⎛⎫=-=--=⎪⎝⎭，故 2222114949sin 2224ABCa b b a b Sab C ab a --===. 又222416a b c +==，故()2222416496425564254420ABCb b b b b b b S----===222564258405b b +-≤=，当且仅当22256425b b =-，即425b =时取等号. 此时2322721642525a =-⨯=，即4175a =. 故ABC 的面积取得最大值时，42333345cos 23441725b C a ⨯=-=-=-⨯. 故答案为：33434-【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方9．（2021·河南·高三开学考试（理））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin tan sin sin A A B C =，则sin A 的最大值为________，此时cos B =________． 【答案】5366【分析】由已知条件结合正余弦定理可得2223b c a +=，再利用余弦定理结合基本不等式可求出cos A 的最小值，从而可求出sin A 的最大值，则可求出cos2B ，再利用二倍角公式可求出cos B . 【详解】由条件可知，2sin cos sin sin AA B C=，由正弦定理得2cos a A bc =，由余弦定理得，2222cos 2b c a a A bc bc+-==，则2223a b c =+． 所以222222223cos 2333b c b c b c bc A bc bc bc ++-+==≥=， 当且仅当b c =时取得等号，cos A 取得最小值23． 因为()0,A π∈， 所以25sin 1cos 3A A =-≤，当且仅当b c =时取得等号， 故sin A 的最大值为53． 此时B C =，所以2cos2cos()cos 3B A A π=-=-=-，所以222cos 13B -=-，因为角B 为锐角， 所以6cos 6B =． 故答案为：53，66 10．（2022·全国·高三专题练习）ABC 的外接圆半径为1，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若cos cos 3a B b A +=0CA CB ⋅<，则C ∠=________；32a b +的最大值为_________【答案】23π27 【分析】由余弦定理求得c ，由向量数量积可得C 为锐角，再由正弦定理结合外接圆半径可求得C ，用正弦定理把32a b +表示为A 的三角函数，利用两角和与差的正弦公式变形化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质得最大值．【详解】222222cos cos 322a c b c b a a B b A a b c ac cb+-+-+=⋅+⋅==,又22sin c R C ==，所以3sin 2C =， 0CA CB ⋅<，所以C 是钝角，所以23C π=， 由2sin sin a bA B==得2sin a A =，2sin b B =， 326sin 4sin 6sin 4sin()3a b A B A A π+=+=+-316sin 4(cos sin )4sin 23cos 22A A A A A =+-=+2327(sin cos )77A A =+， 设2cos 7ϕ=，3sin 7ϕ=（ϕ为锐角），则3227sin()a b A ϕ+=+，由23C π=得03A π<<，31sin 27ϕ=>，ϕ为锐角，则62ππϕ<<， 所以2A πϕ=-时，32a b +取得最大值27．故答案为：23π；27． 四、解答题11．（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）在ABC 中，4tan ,3CAB D ∠=为BC 上一点，32=AD(1)若D 为BC 的中点，32BC =ABC 的面积；(2)若45DAB ∠=︒，求ABC 的面积的最小值. 【答案】(1)9 (2)92【分析】（1）根据中线向量公式可得,b c 关系，结合余弦定理可求452bc =，从而可求面积. （2）根据不同三角形的面积关系可得34355b c bc +=，利用基本不等式可求bc 的最小值，从而可求面积的最小值. （1）因为D 为BC 的中点，所以()12AD AB AC =+， ()222124AD AB AC AB AC ∴=++⋅. 记角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 因为4tan 3A =，故A 为锐角，所以43sin ,cos 55CAB CAB ∠∠==， 则221318245c b bc ⎛⎫=++⋅ ⎪⎝⎭. 又由余弦定理得：2231825c b bc =+-⋅两式联立解得：452bc =，所以11454sin 92225ABCS bc CAB ∠==⨯⨯=. （2）445,tan 3DAB A ∠==，()41113tan tan ,sin 475213CAD CAB DAB CAD ∠∠∠∠-∴=-===+， 1132sin 32sin 22ABCCAD BADSSSb CADc DAB ∠∠=+=⋅+⋅ 1sin 2bc CAB ∠=， 即34355b c bc +=， 即34345323,5554b c bc b c bc +=≥⋅≥（当且仅当153,22b c ==时取得最小值）所以114549sin 22452ABCSbc CAB ∠=≥⨯⨯=.12．（2022·广东广州·高三开学考试）在ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2a b b c +=.(1)求证：2C B =； (2)求4cos a bb B+的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)43【分析】（1）由已知及余弦定理可推出2cos b a b C =-,利用正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式化简可得()sin sin B C B =-，即可证明结论； （2）利用（1）的结论将4cos a b b B +边化角，结合三角恒等变换可得43=4cos cos cos a b B b B B++，由基本不等式可求得答案. （1）证明：在ABC 中，由已知及余弦定理，得()2222cos a b b c a b ab C +==+-，即2cos b a b C =-,由正弦定理，得sin sin 2sin cos B A B C =-，又()πA B C =-+， 故()sin sin 2sin cos sin cos cos sin 2sin cos B B C B C B C B C B C =+-=+-cos sin sin cos B C B C =-()sin C B =-.∵()0sin sin B C B <=-，∴0πC B C <-<<, ∵()πB C B C +-=<，∴B C B =-，故2C B =. （2）由（1）2C B =得()30,πB C B +=∈，∴π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（1）()12cos a b C =+，2C B =得()2522cos 1452cos 52cos 2cos cos cos cos B a b C B b B B B B+-+++===334cos 24cos 43cos cos B B B B =+≥⋅=， 当且仅当ππ0,63B ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时等号成立， 所以当π6B =时，4cos a bb B+的最小值为43.13．（2022·广东·高三开学考试）已知锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对边为a 、b 、c ，tan tan 33B C ++=(1)求角A ；(2)若4a =，求b c +的取值范围． 【答案】(1)π3A = (2)(43,8⎤⎦【分析】（1）利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得；（2）利用正弦定理将边化角，再转化为关于B 的三角函数，根据B 的取值范围及正弦函数的性质计算可得. （1）解：因为tan tan 33tan tan B C B C++=，所以tan tan 33tan tan B C B C ++=，所以tan tan 3(tan tan 1)B C B C +=-，从而tan tan 31tan tan B CB C +=--， 即tan()3B C +=-，所以tan 3A =，因为(0,π)A ∈，所以π3A =． （2）解：因为4a =，π3A =，由正弦定理，有83sin sin sin 3b c a B C A ===所以83sin 3b B =，83832π833143sin sin cos sin 4cos sin 3333223c C B B B B B ⎛⎫⎛⎫==-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以π43sin 4cos 8sin 6b c B B B ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，又因为ABC 为锐角三角形，所以π022ππ032B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，即ππ62B <<，所以ππ2π363B <+<，所以3πsin 126B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，从而b c +的取值范围为(43,8⎤⎦． 14．（2022·河南·高三开学考试（文））已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 所对的边，且()()sin sin sin sin a c b A C B c B +--+=(1)求角A 的大小；(2)若23a =ABC 面积的最大值.【答案】(1)3π； (2)33.【分析】（1）由正弦定理化角为边，再利用余弦定理及特殊角的三角函数即得；（2）由余弦定理表示出,a b 关系，再由基本不等式得出ab 的最大值，从而可得面积最大值；或利用正弦定理边角互化，然后利用三角恒等变换及三角函数的性质即得． （1）在ABC 中，由题意及正弦定理得()()a c b a c b bc +--+=， 整理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， 因为0A π<<， 所以3A π=；（2）方法一：由（1）知，3A π=，又23a =，所以22122b c bc bc bc bc =+--=，所以12bc ，当且仅当23b c ==时，等号成立， 所以()max 113sin 1233222ABC Sbc A ==⨯⨯=； 方法二：由（1）知，3A π=，又23a =，所以由正弦定理，知234sin sin sin sin3a b c A B C π====， 所以4sin ,4sin b B c C ==， 所以13sin 8sin sin 43sin sin 22ABCSbc A B C B C ==⨯=， 又因为23B C π+=， 所以23143sin sin 43sin sin 43sin cos sin 322B C B B B B B π⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31cos223sin222B B ⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭23sin 236B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因为23B C π+=，所以270,23666B B ππππ<<-<-<，所以当262B ππ-=，即3B π=时，ABC 的面积取得最大值，最大值为33.15．（2022·上海·模拟预测）在如图所示的五边形中，620AD BC AB ===，，O 为AB 中点，曲线CMD 上任一点到O 距离相等，角120DAB ABC ∠=∠=︒，P ，Q 关于OM 对称；(1)若点P 与点C 重合，求POB ∠的大小； (2)求五边形MQABP 面积S 的最大值， 【答案】(1)33arcsin 14(2)2874【分析】（1）利用余弦定理求出OC ，再利用正弦定理即可得出答案； （2）根据题意可得,QOMPOMAOQBOPS SSS==，则()2AOQQOMMQABP S SS=+五边形，设QOM POM α∠=∠=，则2AOQ BOP πα∠=∠=-，根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得出答案.(1)解：若点P 与点C 重合，连接OC ，10,6,120OB BC BP ABC ===∠=︒，在OBP 中，2222cos 1003660196OC OB BP OB BP OBP =+-⋅∠=++=， 所以14OC =， 因为sin sin BC OCPOB OBP=∠∠，所以36sin 332sin 1414BC OBPPOB OC ⨯⋅∠∠===， 所以33arcsin14POB ∠=；(2)解：连接,,,QA PB OQ OP ，因为曲线CMD 上任一点到O 距离相等， 所以14OP OQ OM OC ====， 因为P ，Q 关于OM 对称， 所以,QOMPOMAOQBOPSSSS==，设QOM POM α∠=∠=，则2AOQ BOP πα∠=∠=-，则()2AOQQOMMQABP S SS=+五边形112sin sin 222OQ OA OQ OM παα⎡⎤⎛⎫=⋅⋅-+⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦196sin 140cos αα=+()2874sin αϕ=+，其中5tan 7ϕ=， 当()sin 1αϕ+=时，MQABP S 五边形取得最大值2874， 所以五边形MQABP 面积S 的最大值为2874.16．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）在平面四边形ABCD 中，30CBD ∠=，4BC =，23BD = (1)若ABD △为等边三角形，求ACD △的面积． (2)若60BAD ∠=，求AC 的最大值． 【答案】(1)3 (2)232+【分析】（1）利用余弦定理求出CD 的长，结合勾股定理可知90BDC ∠=，进而可求得ADC ∠的大小，利用三角形的面积公式可求得ACD △的面积；（2）设()0120ADB αα∠=<<，利用正弦定理可得出AD ，利用余弦定理可得出2AC 关于α的表达式，利用三角恒等变换结合正弦型函数的基本性质可求得AC 的最大值. （1）解：在BCD △中，由余弦定理，得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅⋅∠． 即231612242342CD =+-⨯⨯⨯=，所以2CD =， 所以222BD CD BC +=，因此90BDC ∠=，因为ABD △为等边三角形，所以60ADB ∠=，23AD BD ==，所以150ADC ∠=．所以111sin 2323222ACD S AD CD ADC =⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△.（2）解：设()0120ADB αα∠=<<，则120ABD α∠=-， 在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD BDABD BAD=∠∠，即()23sin60sin 120AD α=-，所以()4sin 120AD α=-． 在ACD △中，由余弦定理，得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠， ()()()224sin 120424sin 1202cos 90AC ααα⎡⎤=-+-⨯-⨯⨯+⎣⎦ 231314cos sin 16cos sin sin 483sin2162222αααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 0120α<<，则02240α<<，故当290α=时，即当45α=时，2AC 取到最大值8316+，即AC 的最大值为232+.17．（2023·河北·高三阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4b =，在 ①()(sin sin )(sin sin )b c B C A C a +-=-，②cos2()3cos 1A C B ++= 两个条件中任选一个完成以下问题： (1)求B ；(2)若D 在AC 上，且BD AC ⊥，求BD 的最大值． 【答案】(1)π3B = (2)23【分析】（1）选①，利用正弦定理得到222a c b ac +-=，再利用余弦定理求出π3B =；选②：利用诱导公式和二倍角公式得到1cos 2B =，从而求出π3B =；（2）法一：利用余弦定理得到2216a c ac =+-，利用基本不等式求出16ac ≤，求出面积的最大值，从而求出BD 的最大值；法二：利用正弦定理ABC 外接圆的直径，进而利用正弦定理表示面积，利用三角函数的有界性求出面积最大值，进而求出BD 的最大值. (1)若选①，由正弦定理得，()()()b c b c a c a +-=- 即222b c a ac -=-，即222a c b ac +-= ∴2221cos 222a cb ac B ac ac +-===， ∵(0,π)B ∈，∴π3B =， 若选②,∵cos 2()3cos cos 2(π)3cos cos 23cos 1A C B B B B B ++=-+=+=， ∴22cos 13cos 1B B -+=，即22cos 3cos 20B B +-=， 即cos 2B =-（舍）或1cos 2B =， ∵(0,π)B ∈，∴π3B =， (2)∵BD AC ⊥，BD 为AC 边上的高，当面积最大时，高取得最大值 法一：由余弦定理得，22222162cos b a c ac B a c ac ==+-=+-， 由重要不等式得162ac ac ac ≥-=， 当且仅当a c =时取等， 所以1sin 432ABC S ac B =≤△ 所以AC 边上的高的最大值为432312b = 法二：由正弦定理得ABC 外接圆的直径为832sin 3b R B ==， 利用正弦定理表示面积得：118383sin sin sin sin 2233ABC S ac B A C B ==⋅△ 1838332π1632πsin sin sin sin 2332333A A A A ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
高考数学一轮复习三角函数与解三角形中的最值(范围)问题
，∵函数f（x）＝cos（2x＋φ）（0＜φ＜π）在区间
π π
− ,
6 6
上单调递
π
− ≥ 0,
π
π
π
2π
减，∴ − + , + ⊆[0，π]，即ቐ 3π
解得 ≤φ≤ .令f（x）＝cos
3
3
3
3
+ ≤ π,
3
π
π π
（2x＋φ）＝0，则2x＋φ＝ ＋kπ（k∈Z），即x＝ － ＋ （k∈Z），又函数f
4
解：（2）f（x）＝－
1 2 5
sin−
＋ ＋a.
2
4
17
, 5
4 ⇒൝4
()max ≤
由题意得ቐ
()min ≥ 1
17
,
4 ⇒2≤a≤3，
+ ≤
−1 ≥ 1
即实数a的取值范围是[2，3].
三角形中的最值（范围）问题
考向1 利用三角函数的性质求最值（范围）
【例4】 △ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
重难专攻（四）
三角函数与解
三角形中的最值（范围）问题
三角函数与解三角形中的最值（范围）问题是高考的热点，主要涉及：
（1）三角函数式的最值（范围）问题；（2）利用三角函数性质求某些量的最
值（范围）；（3）三角形中的最值（范围）（周长、面积等），其求解方法多
样，一般常用方法有：（1）利用三角函数的单调性（正、余弦函数的有界性）
3
3
答案
3
3
－
3
3
2
1+ 2
，
｜解题技法｜
sin+
21 平面向量中最值、范围问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板含解析
【高考地位】平面向量中的最值和范围问题,是一个热点问题，也是难点问题,这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围,如:向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题. 【方法点评】方法一 利用基本不等式求平面向量的最值使用情景：一般平面向量求最值问题解题模板:第一步 利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系；第二步 运用基本不等式求其最值问题; 第三步 得出结论。
例1.已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点,且20OA aOB bOC --=，则221a ba b b+++的最小值是___________ 【答案】222例2 如右图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,N M 两点，且,AM x AB AN y AC ==，则2x y +的最小值为( ）A ．2B ．13C ．3223+ D ．34【答案】C【变式演练1】如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM x AB AN y AC ==,则x y +的最小值为( ）A ．2B ．13C ．43D ．34【答案】CMNA BGQ考点：向量共线，基本不等式求最值【变式演练2】已知点A（1, 1)，B(4,0），C（2，2）．平面区域D由所有满足AP AB ACλμ=+(1≤≤a，1≤≤b）的点P（x，y)组成的区域．若区域D的面积为8,则a+b的最小值为．【答案】4考点:1、平面向量的线性运算；2、基本不等式． 【变式演练3】平行四边形ABCD 中，60,1,2,BAD AB AD P ∠===为平行四边形内一点,且22AP =，若),(R AD AB AP ∈+=μλμλ,则2u λ+的最大值为 ． 6【解析】试题分析：对),(R AD AB AP ∈+=μλμλ两边平方可得()()22AP AB AD λμ=+可化为222222APAB AB AD ADλλμμ=+⋅⋅+,据已知条件可得22122λμ=+≥,即λμ≤，又()22212223λλμ=++=+≤，则λ+≤. 考点：向量的数量积运算；基本不等式方法二 利用向量的数量积m n m n ⋅≤求最值或取值范围使用情景：涉及数量积求平面向量最值问题解题模板：第一步 运用向量的加减法用已知向量表示未知向量；第二步 运用向量的数量积的性质求解； 第三步 得出结论。
最值问题在高考数学中的应用
最值问题在高考数学中的应用数学作为一门重要的学科，是每一个考生必考的科目之一。
数学具有数学思维、推理能力和分析问题的能力等方面的优点，而其中一个最重要的应用便是解决最值问题。
最值问题在高考数学中占有很大的比重，特别是在求解方程、理解概率、求极值等相关问题时，都需要依靠最值问题的思路和方法进行解答。
一、最值问题的定义和特点最值问题顾名思义就是寻找某一条件下的最大值或最小值。
通常，最值问题中的数值是通过对所考虑的变量的取值范围进行限定实现的。
在这样的限定条件下，我们根据相关数学方法以及常识可以找到遵从这些条件下的最大或最小值。
最值问题有如下几个特点：1. 最值问题在高考数学中经常出现，其解答大部分涉及到关于极值的相关知识；2. 最值问题的解答通常依赖于所考虑的变量的范围，因此需要指定变量的取值范围；3. 最值问题可以通过求导、构造函数、求根式以及直接列出等方式来解答；4. 最值问题解答过程中要考虑上下界问题，也就是要考虑最值是否存在。
二、最值问题的具体应用最值问题在高考数学中的应用比较广泛，其中的高频题目主要包括：1. 求函数的最大值和最小值：这是初一时学过的范畴，需要将函数导数设为0，然后求出x的值，最后进行替换得到最大或最小值。
2. 求解几何中的极值问题：例如求最大或最小的矩形面积等。
3. 求概率问题中的最值：例如求解最小的样本空间、最大概率等。
4. 求解优化问题时的最值：例如求解最小化成本、最大化收益、最大化效益等。
以上这些问题相对来讲是数学考试中最为常见的应用场景。
三、最值问题的解答方法在高考数学中，最值问题的解答方法有多样的，主要从以下几个方面来进行介绍：1. 利用几何问题解答：在某些情况下，我们可以用几何问题来解答最值问题。
例如：求圆心到三角形三个顶点中距离之和最小的点。
我们可以将三个点连成三条直线，然后找到三条直线的交点就是圆心，并取三角形顶点的距离之和中最小的一个。
2. 直接列式解答：最值问题通常采用利用求导的方法来解决，在某些情况下我们可以直接列出方程，然后对方程进行求解。
高考数学解析几何增分策略：最值与范围、证明问题
＝1的左、右焦点分别是F1，F2，
椭圆上有不同的三点A，B，C，且BF2⊥Ox，|F2A|，|F2B|，
|F2C|成等差数列．
(1)求弦AC的中点M的横坐标；
(2)设弦AC的垂直平分线的方程为y＝kx＋m(k≠0)，求m的
取值范围．
[思维流程]
[解] (1)由题意可得，F2(4,0)，|F2B|＝95. 设A(x1，y1)，C(x2，y2)， 由|F2A|＝a－ex1，得|F2A|＝5－45x1. 同理：|F2C|＝5－45x2. 因为|F2A|，|F2B|，|F2C|成等差数列， 所以5－45x1＋5－45x2＝2×95， 由此有x1＋x2＝8， 所以弦AC的中点的横坐标x＝4.
由2 3 6<t<2，得14<k2<12，∴|AB|＝
1＋k2·2
2· 1－2k2 1＋2k2
＝2 1＋22k22＋1＋12k2－1. 令u＝1＋12k2，则u∈12，23，∴|AB|＝2 2u2＋u－1∈0，235.
∴|AB|的取值范围为0，23 5.
题型三 证明问题 圆锥曲线中的证明问题是高考的热点内容之一，常见的有 位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方 面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线 等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法 证明，但有时也会用到反证法.
解：(1)依题意可设圆C方程为x2＋y2＝b2， ∵圆C与直线x－y＋ 2＝0相切，∴b＝ 12＋| 2－| 12＝1， ∴a2－c2＝1，由ac＝ 22，解得a＝ 2， ∴椭圆C的方程为x22＋y2＝1.
(2)证明：依题意可知直线l斜率存在，设l方程为y＝k(x－2)，代 入x22＋y2＝1，整理得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0， ∵l与椭圆有两个交点，∴Δ＞0，即2k2－1＜0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AF，BF的斜率分别为k1，k2，则 x1＋x2＝1＋8k22k2，x1x2＝81k＋2－2k22.
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1．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，过点(),0A m -、(),0(0)B m m >分别作两平行直线1l 、2l ， 1l 与椭圆C 相交于M 、N 两点， 2l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且当直线2l 过右焦点和上顶点时，四边形MNQP 的面积为163. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若四边形MNQP 是菱形，求正数m 的取值范围.【答案】(1) 22142x y +=;(2) ⎫+∞⎪⎪⎣⎭.试题解析：（Ⅰ）22222e a b c =⇒==，椭圆方程可以化为22222x y c +=， 直线2l 过右焦点和上顶点时，方程可以设为y x c =-+，联立得：243403Q x cx x c -=⇒=，所以四边形MNQP 的面积为24162233c c c ⋅=⇒=， 所以椭圆方程为： 22142x y +=； （Ⅱ）依题意可以分别设12,l l 的方程为： ,x ky m x ky m =-=+，由椭圆的对称性得： MN PQ =，所以MNQP 是平行四边形，所以MNQP 是菱形，等价于MQ NP ⊥，即OM ON ⊥，将直线1l 的方程代入椭圆方程得到： ()2222240k y kmy m +-+-=， 由()()22222204424024k m k mm k >⇒-+->⇒<+，设()()1122,,,M x y N x y ，由12120OM ON x x y y ⊥⇒+=，得到： ()()()()2212121212010ky m ky m y y k y y km y y m --+=⇒+-++=，从而： ()2222222421022m k m k m k k -+⋅-+=++，化简得： 22344m k =+， 所以22234,3{2, 2m m m m ≥<+>解得3m ≥，所以正数m的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎣⎭． 2．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，，分别为左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为8.（1）求椭圆的方程； （2）设过点的直线交椭圆于不同两点，.为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）由，整理得.根据判别式大于零得，由，求出代入椭圆方程化简得，再利用弦长公式及可得，综上可得结果. 试题解析：（1）∵，∴.又∵，∴，∴，∴椭圆的方程是.（2）设，，，的方程为，由，整理得.由，得.∵，，∴，则，.化简，得，则，，∴. ②由①，得，联立②，解得.∴或，即.3．在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，圆的方程为，动圆与圆内切且与圆外切.(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)已知与为平面内的两个定点，过点的直线与轨迹交于,两点，求四边形面积的最大值.【答案】(1) (2)6【解析】试题分析：（1）由椭圆定义得到动圆圆心的轨迹的方程；（2）设的方程为，联立可得，通过根与系数的关系表示弦长进而得到四边形面积的表达式，利用换元法及均值不等式求最值即可. 试题解析：(1)设动圆的半径为，由题意知从而有，故轨迹为以为焦点，长轴长为4的椭圆，并去 除点，从而轨迹的方程为.点到直线的距离为，点到直线的距离为，从而四边形的面积令，有，函数在上单调递增，有，故，即四边形面积的最大值为.4．已知()()121,0,1,0F F -，曲线1C 上任意一点M 满足21MF MF -=；曲线2C 上的点N 在y 轴的右边且N 到2F 的距离与它到y 轴的距离的差为1．（1）求12,C C 的方程；（2）过1F 的直线l 与1C 相交于点,A B ，直线22,AF BF 分别与2C 相交于点,C D 和,E F ．的取值范围．【答案】（1）1C 的方程为221(0)2x y x -=<， 2C 的方程为24(0)y x x =>．（2）[)36,40【解析】试题分析：（1）由已知，根据双曲线的定义可得1a c b ==⇒=，从而可得1C 的方程，用直接法可求得2C 的方程；（2）直线l 的方程为21(01)x ky k =-≤<，直线与曲线联立，根据韦达定理，用k 表示，进而可得结果.试题解析：（1）由题意可知点M 的轨迹是以12,F F 为焦点，为实轴长的双曲线的左支，故有1a c b ==⇒=， ∴1C 的方程为221(0)2x y x -=<，设(),(0)N x y x >1x =，化简得24(0)y x x =>，即2C 的方程为24(0)y x x =>．设22,AF BF 的斜率分别为12,k k ，则有11111222221212y y k x ky y y k x ky ⎧==⎪--⎪⎨⎪==⎪--⎩，∴121212112211226k k k k k k y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2212121211114·28k k k k k y y y y ⎛⎫=-++=- ⎪⎝⎭， 直线2AF 的方程为()11y k x =-，代入24y x =有()2222111240k x k x k -++=，设()()3344,,,C x y D x y ，则有342142x x k +=+， ∴()()222212221141112441CD CF DF x x x x k k ⎛⎫=+=+++=++=+=+ ⎪⎝⎭，同理22141EF k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∴][()()22222222212121211111161116116369169CD EF k k k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++=++-=+-=+ ⎪⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()[)24936,40k =+∈．5．如图，已知抛物线2y x =，点()11A ，， ()42B -，，抛物线上的点()P x y ， (1)y >，直线AP 与x 轴相交于点Q ，记PAB ， QAB 的面积分别是1S ， 2S.（1）若AP PB ⊥，求点P 的纵坐标； （2）求125S S -的最小值.【答案】（1）12y +=；（2）24-.【解析】试题分析：（1）由斜率公式可得2111111AP y y k x y y --===--+， 2221442AP y y k x y y ++===---.由AP BP ⊥，得11112AP BP k k y y ⋅=⋅=-+-即210y y --=，得12y =；（2）设直线AP ： ()11y k x -=-，则110Q k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，联立()211{ y k x y x -=-=，消去x 得210ky y k -+-=，则1P k y k -=， 211k k P k k ⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，由弦长公式及点到直线距离公式可得212151531532422222S S AP d AQ d AP AQ d k ⎛⎫⎛⎫-=-=-==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用二次函数的性质可得结果.试题解析：（1）因为2111111AP y y k x y y --===--+， 2221442AP y y k x y y ++===---. 由AP BP ⊥，得11112AP BP k k y y ⋅=⋅=-+-即210y y --=，得y =1111QAQk⎫=-=--⎪⎭k=点B到直线AP的距离d==31k+=.所以12151552222S S AP d AQ d AP AQ d⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭2311122kkk+-=()2312512kkk k-⎛⎫=-⋅+⎪⎝⎭2237612k kk⎛⎫--+= ⎪⎝⎭2313242k⎛⎫=--⎪⎝⎭故当13k=时，125S S-有最小值24-.方法2：设()2P t t，（1t>），则11APkt=+，所以直线AQ：()1111y xt-=-+，则()0Q t-，.又直线AB：20x y+-=，AB=则点P到直线AB的距离为21d==点Q到直线AB的距离为2d==所以()212121552S S AB d d-=-=()232242t=--.故当2t=时，125S S-有最小值24-.6．已知为抛物线的焦点，点为其上一点，与关于轴对称，直线与抛物线交于异于的两点，，.（1）求抛物线的标准方程和点的坐标；（2）判断是否存在这样的直线，使得的面积最小.若存在，求出直线的方程和面积的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）最小值，此时直线的方程为，由此能求出当时有最小值，此时直线方程为. 试题解析：（1）由题意知，故抛物线方程为∵∴∴（2）由题意知直线的斜率不为0，则可设直线的方程为联立方程组设两个交点，由又∵∴的面积∴当时有最小值，此时直线的方程为.。