2019年高三数学 第15课时 曲线方程和圆(1)复习案 沪教版.doc
函数方程专题之函数方程思想(1)-沪教版(上海)高中数学2019-2020学年高三数学二轮复习教案(
沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学二轮复习函数方程专题之函数与方程思想 教学目标 理解函数思想与方程思想的含义，以及它们之间的联系，能熟练利用函数与方程的思想解题。
知识梳理1．函数与方程思想的含义函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的练习。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，主要依据题意构造恰当的函数或建立相应的方程来解决问题，是历来高考的重点和热点．（1）函数思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题，即善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题．（2）方程思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察、处理问题．（3）方程的思想与函数的思想密切相关：方程0)(=x f 的解就是函数)(x f y =的图像与x 轴的交点的横坐标（零点）；函数)(x f y =也可以看作二元方程0)(=-y x f ；通过方程进行研究，方程a x f =)(有解，当且仅当a 属于函数)(x f 的值域；)(x f y =与)(x g y =的图像的交点问题，就是研究方程)()(x g x f =的实数解的问题，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．2．函数与方程的思想在解题中的应用（1）函数与不等式的相互转化，对函数)(x f y =，当0>y 时，就化为不等式0)(>x f ，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式；（2）数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要；（3）解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论；（4）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切．典例精讲例1．（★★）（1） 已知函数34()log 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则方程1()4f x -=的解x =__ _ __； （2）已知函数21,01()2,10x x x f x x ⎧+≤≤⎪=⎨-≤<⎪⎩，则15()4f -=__ _ __． 评注：（1）1()4f x -=(4)1x f ⇒==（2）设155()()44x f f x -=⇒=，由()f x 的具体定义可看出01x <≤时函数值大于1， 故251142x x +=⇒=。
沪教版高三数学知识点
沪教版高三数学知识点数学是一门精密而又抽象的学科，对于高中生来说，数学知识点的理解和掌握尤为重要。
而沪教版高三数学知识点的学习内容极其丰富而充实，下面我们就来一起探讨一些重要的数学知识点。
一、函数与方程函数与方程是高三数学中最基础、最重要的概念之一。
函数是自变量和因变量之间的一种对应关系，常见的函数有线性函数、平方函数、三次函数等等。
方程则是等式的一种特殊形式，根据方程的类型可以使用不同的方法进行求解，比如线性方程组可以用消元法，二次方程可以用配方法。
二、数列与数列极限数列是数学中有限个数按一定顺序排列成的序列，它是数学中研究一切数量变化规律的基本工具。
数列中最重要的是数列的极限，即数列当n趋于无穷大时的极限值。
通过研究数列的极限可以得到数列的性质和趋势，使我们能够更好地理解数学中的变化规律。
三、导数与微分导数是数学中极为重要的概念，其可用于描述函数的变化率，进而求解函数的最值问题。
微分则是导数所属的一种运算方法，利用微分可以求解函数的极值和函数图像的性质。
导数与微分不仅在高中数学学习中起着重要作用，更是在大学数学和相关科学领域中使用最广泛的数学工具。
四、立体几何与空间向量在几何学的学习中，立体几何是数学中一门重要的分支。
立体几何研究的是三维空间中的图形和其性质。
通过学习立体几何，我们可以了解到各类多面体的性质，掌握空间图形的投影和相似性质。
此外，空间向量也是立体几何中的重要内容，它是空间中向量的推广，可用于解决直线和平面的位置关系问题。
五、概率与统计概率与统计是现代数学中的新兴学科，其独特的方法与思维方式对于我们解决各类实际问题具有重要的指导意义。
学习概率与统计可以使我们更好地理解概率的概念和应用，掌握统计数据的分析和处理方法。
在日常生活中，概率与统计也是我们进行决策和判断的基础。
六、三角函数和平面向量三角函数是高中数学中非常重要的知识点，它们是数学中研究角度与边长关系的基本工具。
三角函数的性质和应用不仅在数学学科中有广泛的应用，更是在物理、工程等学科中也有着重要地位。
高考数学一轮复习例题解析 15.3 圆的标准方程和一般方程 试题
高中数学一轮(y ī l ún)复习资料第十五章 解析几何(ji ě x ī j ǐh é)第三节 圆的HY 方程(f āngch éng)和一般方程A 组1．假设圆x 2＋y 2－2kx ＋2y ＋2＝0(k >0)与两坐标轴无公一共点，那么实数k 的取值范围为________．解析：圆的方程为(x －k )2＋(y ＋1)2＝k 2－1，圆心坐标为(k ，－1)，半径r ＝k 2－1，假设圆与两坐标无公一共点，即⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－1<|k |k 2－1<1，解得1<k < 2. 2．假设圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，那么该圆的HY 方程是________．解析：由题意，设圆心(x 0,1)，∴|4x 0－3|42＋(－3)2＝1，解得x 0＝2或者x 0＝－12(舍)， ∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.3．(2021年调研)D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥02x ＋y ≥0，所确定的平面区域，那么圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________．答案：π4．(2021年高考宁夏、卷改编)圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，那么圆C 2的方程为________________．解析：圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C 2的圆心设为(a ，b )，C 1与C 2关于直线x －y －1＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，圆C 2的半径为1，∴圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.5．(原创题)圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋c ＝0与y 轴交于A 、B 两点，其圆心为P ，假设∠APB ＝90°，那么实数c 的值是________．解析：当∠APB ＝90°时，只需保证圆心到y 轴的间隔 等于半径的22倍．由于圆的HY 方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5－c ，即2＝22×5－c ，解得c ＝－3.6．点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足(mǎnzú)|P A |＝2|PB |.(1)假设(jiǎshè)点P 的轨迹(guǐjì)为曲线C ，求此曲线(qūxiàn)的方程；(2)假设点Q 在直线l ：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公一共点M ，求|QM |的最小值，并求此时直线l 2的方程．解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，那么(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2，化简可得(x －5)2＋y 2＝16即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图那么直线l 2是此圆的切线，连结CQ ，那么|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16， 当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，|CQ |＝|5＋3|2＝42， 此时|QM |的最小值为32－16＝4，这样的直线l 2有两条，设满足条件的两个公一共点为M 1，M 2，易证四边形M 1CM 2Q 是正方形，∴l 2的方程是x ＝1或者y ＝－4.B 组1．(2021年质检)圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，那么圆的方程为________________．解析：所求圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，故线段AB 的垂直平分线x ＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x －3y －1＝0上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得圆心坐标为(2,1)，进一步可求得半径为2，所以圆的HY 方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2.2．(2021年调研)假设直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，那么以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是___．解析：∵直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，∴ab ＋ab ＝1，∴ab ＝12，又OA ＝a 2＋b 2，∴以O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积：S ＝π·OA 2＝(a 2＋b 2)π≥2ab ·π＝π，∴面积的最小值为π.3．(2021年高考卷改编(gǎibiān))点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点(yī diǎn)连线的中点轨迹方程是________________．解析(jiě xī)：设圆上任一点(yī diǎn)坐标为(x 0，y 0)，那么x 02＋y 02＝4，连线中点坐标为(x ，y )，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 02＋y 02＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 4．点P (1,4)在圆C ：x 2＋y 2＋2ax －4y ＋b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －3＝0的对称点也在圆C 上，那么a ＝________，b ＝________.解析：点P (1,4)在圆C ：x 2＋y 2＋2ax －4y ＋b ＝0上，所以2a ＋b ＋1＝0，点P 关于直线x＋y－3＝0的对称点也在圆C上，所以圆心(－a,2)在直线x＋y－3＝0上，即－a＋2－3＝0，解得a＝－1，b＝1.5．圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，那么四边形ABCD的面积为___________．解析：由题意知，圆心坐标为(3,4)，半径r＝5，故过点(3,5)的最长弦为AC＝2r＝10，最短弦BD＝252－12＝46，四边形ABCD的面积为20 6.6．过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的两条切线，切点为A、B，那么△ABP的外接圆的方程是____________________．解析：∵圆心为O(0,0)，又∵△ABP的外接圆就是四边形OAPB的外接圆．其直径d＝OP＝25，∴半径r＝ 5.而圆心C为(2,1)，∴外接圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.7．动点P(x，y)满足x2＋y2－|x|－|y|＝0，O为坐标原点，那么PO的取值范围是______．解析：方程x2＋y2－|x|－|y|＝0可化为(|x|－12)2＋(|y|－12)2＝12.所以动点P(x，y)的轨迹如图：为原点和四段圆孤，故PO的取值范围是{0}∪[1， 2 ]．8．(2021年质检)曲线f(x)＝x ln x在点P(1,0)处的切线l与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是____________．解析(jiě xī)：曲线(qūxiàn)f(x)＝x ln x在点P(1,0)处的切线(qiēxiàn)l方程(fāngchéng)为x－y－1＝0，与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为(12，－12)，半径为22，所以方程为(x－12)2＋(y＋12)2＝12.答案：(x－12)2＋(y＋12)2＝129．设实数x 、y 满足x 2＋(y －1)2＝1，假设对满足条件的x 、y ，不等式y x －3＋c ≥0恒成立，那么c 的取值范围是________．解析：由题意，知－c ≤y x －3恒成立，又y x －3＝y －0x －3表示圆上的点与定点(3,0)连线的斜率，范围为[－34，0]，所以－c ≤－34，即c 的取值范围是c ≥34. 10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A (a,0)(a >0)，B (0，a )，C (－4,0)，D (0,4)，设△AOB 的外接圆圆心为E .(1)假设⊙E 与直线CD 相切，务实数a 的值；(2)设点P 在圆E 上，使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，试问这样的⊙E 是否存在，假设存在？求出⊙E 的HY 方程；假设不存在，说明理由．解：(1)直线CD 方程为y ＝x ＋4，圆心E (a 2，a 2)，半径r ＝22a . 由题意得|a 2－a 2＋4|2＝22a ，解得a ＝4. (2)∵|CD |＝(－4)2＋42＝42，∴当△PCD 面积为12时，点P 到直线CD 的间隔 为3 2.又圆心E 到直线CD 间隔 为22(定值)，要使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，只须圆E 半径2a 2＝52，解得a ＝10， 此时，⊙E 的HY 方程为(x －5)2＋(y －5)2＝50.11．在Rt △ABO 中，∠BOA ＝90°，OA ＝8，OB ＝6，点P 为它的内切圆C 上任一点，求点P 到顶点A 、B 、O 间隔 的平方和的最大值和最小值．解：如下(rúxià)图，以O 为原点，OA 所在(suǒzài)直线为x 轴，OB 所在(suǒzài)直线为y 轴，建立(jiànlì)直角坐标系xOy ，那么A (8,0)，B (0,6)，内切圆C 的半径r ＝12(OA ＋OB －AB )＝8＋6－102＝2.∴内切圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4. 设P (x ，y )为圆C 上任一点，点P 到顶点A 、B 、O 的间隔 的平方和为d ，那么d ＝P A 2＋PB 2＋PO 2＝(x －8)2＋y 2＋x 2＋(y －6)2＋x 2＋y 2＝3x 2＋3y 2－16x －12y ＋100＝3[(x －2)2＋(y －2)2]－4x ＋76.∵点P (x ，y )在圆C 上，∴(x －2)2＋(y －2)2＝4.∴d ＝3×4－4x ＋76＝88－4x .∵点P (x ，y )是圆C 上的任意点，∴x ∈[0,4]．∴当x ＝0时，d max ＝88；当x ＝4时，d min ＝72.12．(2021年高考卷)在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .(1)务实数b 的取值范围；(2)求圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．解：(1)显然b ≠0.否那么，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与两个坐标轴只有两个交点(0,0)，(－2,0)，这与题设不符．由b ≠0知，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与y 轴有一个非原点的交点(0，b )，故它与x 轴必有两个交点，从而方程x 2＋2x ＋b ＝0有两个不相等的实数根，因此方程的判别式4－4b >0，即b <1.所以(suǒyǐ)b 的取值范围(fànwéi)是(－∞，0)∪(0,1)．(2)由方程(fāngchéng)x 2＋2x ＋b ＝0，得x ＝－1±1－b .于是(yúshì)，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与坐标轴的交点是(－1－1－b ，0)，(－1＋1－b ，0)，(0，b )．设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因圆C 过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C 的方程，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ (－1－1－b )2＋D (－1－1－b )＋F ＝0，(－1＋1－b )2＋D (－1＋1－b )＋F ＝0，b 2＋Eb ＋F ＝0.解上述方程组，因b ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－(b ＋1)，F ＝b .所以，圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.(3)圆C 过定点．证明如下：假设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0不依赖于b )，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为x 02＋y 02＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0.(*)为使(*)式对所有满足b <1(b ≠0)的b 都成立，必须有1－y 0＝0，结合(*)式得x 02＋y 02＋2x 0－y 0＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝1，或者⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝1.经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆C 上， 因此，圆C 过定点． 内容总结。
高三一轮复习圆与方程复习课 ppt课件
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2021/3/30
圆系方程 x 2 y 2 D 1 x E 1 y F 1 0 x 2 y 2 D 2 x E 2 y F 2 0
过两圆的交点的圆的方程：
x 2 y 2 D 1 x E 1 y F 1(x 2 y 2 D 2 x E 2 y F 2 ) 0 ( 1 )
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交于P、Q两点， （1）当 | P Q | 最短时，求直线 l 的方程； （2）当OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程。
(1)2xy50
yP
C
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Q
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2021/3/30
练习：
1、已知圆O：x2+y2=9及点C(2,1)，过点C的直线 l 与圆O
交于P、Q两点， （1）当 | P Q | 最短时，求直线 l 的方程； （2）当OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程。
(1)2xy50
yP
C
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(2 )x y 3 0 或 7 x y 1 5 0
Q
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2021/3/30
练习：
2 、 点 P 在 直 线 2 x+y+10=0 上 ， PA、PB 与 圆 O ： x2+y2=9 分 别 相 切 于 A、B 两 点 ， 求 四 边 形 PAOB 面
积的最小值. 3 1 1
2021/3/30
圆系方程 x2y2Dx Ey F 0
axbyc0
过直线与圆的交点的圆的方程：
x 2 y 2 D x E y F ( a x b y c ) 0
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题型一：求圆的方程
2021/3/30
例 1 根据下列条件，求圆的方程： (1)经过 P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在 x 轴上截得的弦 长等于 6； (2)圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 l：x＋y－1＝0 相切于 点 P(3，－2)．
沪教版高中数学12.2 圆的方程(1)
沪教版高中数学12.2 圆的方程（1）一、选择题（本大题共17小题，共85.0分）1. 已知三点A (1,0)，B(0,√3)，C(2,√3)则ΔABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A. 53B. √213C. 2√53D. 43 2. 圆心为(1,2)且过原点的圆的方程是( )A. (x −1)2+(y −2)2=2B. (x +1)2+(y +2)2=2C. (x −1)2+(y −2)2=5D. (x +1)2+(y +2)2=53. 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，又AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为( ) A. √2 B. √22 C. 3√32 D. 2√24. 一条光线从点(−2,−3)射出，经y 轴反射与圆(x +3)2+(y −2)2=1相切，则反射光线所在的直线的斜率为( )．A. −53或−35B. −32或−32C. −54或−45D. −43或−34 5. 平行于直线2x +y +1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是( )．A. 2x +y +5=0或2x +y −5=0B. 2x +y +√5=0或2x +y −√5=0C. 2x −y +5=0或2x −y −5=0D. 2x −y +√5=0或2x −y −√5=06. 若直线(1+a)x +y +1=0与圆x 2+y 2−2x =0相切，则a 的值为( )A. −1，1B. −2，2C. 1D. −17. 已知直线l:x +ay −1=0(a ∈R)是圆C:x 2+y 2−4x −2y +1=0的对称轴.过点A(−4,a)作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB =( )A. 2B. 4√2C. 6D. 2√108. 圆心为(2,0)的圆C 与圆x 2+y 2+4x −6y +4=0相外切，则C 的方程为( )A. x 2+y 2+4x +2=0B. x 2+y 2−4x +2=0C. x 2+y 2+4x =0D. x 2+y 2−4x =09. 若直线(1+a)x +y −1=0与圆x 2+y 2+4x =0相切，则a 的值为( )A. 1或−1B. 14或−14C. 1D. −1410.已知圆的方程为x2+y2−2x=0，则圆心坐标为()A. (0,1)B. (0,−1)C. (1,0)D. (−1,0)11.曲线x2+y2+4x−4y=0关于()A. 直线x=4对称B. 直线x+y=0对称C. 直线x−y=0对称D. 直线(−4,4)对称12.圆x2+y2−4x−2y+4=0上的点到直线x−y=2的距离最大值是()D. 1+2√2A. 2B. 1+√2C. 1+√2213.已知直线l过圆x2+(y−3)2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是()A. x+y−2=0B. x−y+2=0C. x+y−3=0D. x−y+3=014.过点(3,1)作圆(x−1)2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A. 2x+y−3=0B. 2x−y−3=0C. 4x−y−3=0D. 4x+y−3=015.直线3x+4y=b与圆x2+y2−2x−2y+1=0相切，则b的值是()A. −2或12B. 2或−12C. −2或−12D. 2或1216.圆x2+y2+2x−2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a=()A. 4B. −4C. 2D. −217.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于()A. 4B. 4√2C. 8D. 8√2二、填空题（本大题共9小题，共45.0分）18.在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx−y−2m−1=0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．19.若过点P(2,3)作圆M:x2−2x+y2=0的切线l，则直线的方程为_______________．20.圆心为(3,−4)，半径为√5的圆的标准方程为_______．21.在平面直角坐标系xoy中，直线mx−y−3m−2=0(m∈R)被圆(x−2)2+(y+1)2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．22.已知直线y=x+a和直线y=x+b将单位圆x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=______ ．23.圆心在直线x−2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2√3，则圆C的标准方程为_______．24.如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|=2.则圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________．25.若直线3x−4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB=1200(O为坐标原点)，则r=．26.若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y=1相切，则圆C的方程是________________．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）27.如图，ΑΒ切☉O于点Β，直线AO交☉O于D，Ε两点，ΒC⊥DΕ，垂足为C．(1)证明：∠CΒD=∠DΒΑ．(2)若ΑD=3DC，ΒC=√2，求☉O的直径．28.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l:y=2x−4，设圆C的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x−1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．29.如图，为了保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O．正东方向170m处(OC为河岸)，tan∠BCO=43(1)求新桥BC的长；(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？30. 已知过点A(0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x −2)2+(y −3)2=1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12，其中O 为坐标原点，求MN ．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查两点间的距离公式，利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．解：因为△ABC 外接圆的圆心在直线BC 垂直平分线上，即直线x =1上，可设圆心P(1,p)，由PA =PB 得|p|= √1+(p − √3 )2， 解得p =2√33， 因此圆心坐标为P (1,2√33)，所以圆心到原点的距离|OP|=√1+(2√33)2=√213故选B ．2.答案：C解析：本题考查圆的标准方程，考查两点间距离公式的应用，是基础题．由题意求出圆的半径，代入圆的标准方程得答案．解：由题意可知，圆的半径为r =√12+22=√5．∴圆心为(1,2)且过原点的圆的方程是(x −1)2+(y −2)2=5．故选C ．3.答案：A解析：解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，又AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得|AC|=√2，并且B ，D 在以BC 为直径的圆上，显然|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为圆的直径，√2． 故选：A ．利用已知条件分析判断然后求解BD 的最大值．本题考查向量在几何中的应用，向量的模的最大值的求法，考查数形结合以及转化思想的应用． 4.答案：D解析：本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．点A(−2,−3)关于y 轴的对称点为A′(2,−3)，可设反射光线所在直线的方程为：y +3=k(x −2)，利用直线与圆相切的性质即可得出．解：点A(−2,−3)关于y 轴的对称点为A′(2,−3)，故可设反射光线所在直线的方程为：y +3=k(x −2)，化为kx −y −2k −3=0．∵反射光线与圆(x +3)2+(y −2)2=1相切，∴圆心(−3,2)到直线的距离d =√k 2+1=1，化为24k 2+50k +24=0，∴k =−43或−34． 故选D .5.答案：A解析：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线平行的关系以及直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．利用直线平行的关系，设切线方程为2x +y +b =0，利用直线和圆相切的等价条件进行求解即可，属于基础题．解：设所求直线方程为2x +y +b =0，=√5，所以b=±5，所以√5所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y−5=0故选A．6.答案：D解析：本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．把圆的方程化为标准形式，根据圆心到直线(1+a)x+y+1=0的距离等于半径，求得a的值．解：x2+y2−2x=0即(x−1)2+y2=1，表示以(1,0)为圆心、半径等于1的圆，∴圆心到直线(1+a)x+y+1=0的距离d=，√(a+1)2+1∵直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2−2x=0相切，∴d==1，√(a+1)2+1解得a=−1．故选D．7.答案：C解析：本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，属于基础题．根据圆的性质以及直线与圆的位置关系求即可．解：由题意知圆C的标准方程为(x−2)2+(y−1)2=4，故半径r=2．因为直线l是圆C的对称轴，即过圆心C(2,1)，所以2+a−1=0，解得a=−1，所以A(−4,−1)，CA=√(2+4)2+(1+1)2=2√10，则AB=√CA2−r2=√40−4=6．故选C．8.答案：D解析：本题考查了圆与圆的位置关系，属于中档题．根据两圆关系求出圆C的半径，从而得出圆C的方程．解：圆x2+y2+4x−6y+4=0，(x+2)2+(y−3)2=9的圆心为M(−2,3)，半径为r=3，CM=√(2+2)2+(−3)2=5，∴圆C的半径为5−3=2，∴圆C的标准方程为：(x−2)2+y2=4，即x2+y2−4x=0．故选D．9.答案：D解析：解：圆x2+y2+4x=0的圆心坐标为(−2,0)，半径r=2∵直线(1+a)x+y−1=0与圆x2+y2+4x=0相切，∴圆心到直线的距离等于半径即√(1+a)2+1=2，解得a=−14，故选：D．由圆的标准方程求出圆心坐标和半径，根据圆的切线的性质，圆心到直线的距离等于半径，就可求出a的值．本题主要考查了圆的切线的几何性质，以及点到圆的距离公式的应用．考查转化思想的应用．10.答案：C解析：解：圆的方程x2+y2−2x=0可化为(x−1)2+y2=1，∴圆心坐标为(1,0)故选：C．将圆的方程化为标准方程，即可得到圆心坐标．本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于基础题．11.答案：B解析：解：曲线x2+y2+4x−4y=0化为：(x+2)2+(y−2)2=8，圆的圆心坐标(−2,2)．由于(−2,2)满足直线x+y=0，所以曲线x2+y2+4x−4y=0关于直线x+y=0对称．故选：B．求出圆的圆心坐标，即可判断选项．本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，圆的对称性问题，基本知识的考查．12.答案：C解析：解：把圆的方程化为标准方程得：(x−2)2+(y−1)2=1，所以圆心坐标为(2,1)，圆的半径r=1，所以圆心到直线x−y=2的距离d=√2=√22，则圆上的点到直线x−y=2的距离最大值为d+r=√22+1．故选：C．把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，求出d+r即为所求的距离最大值．本题主要考查直线与圆的位置关系，当考查圆上的点到直线的距离问题，基本思路是：先求出圆心到直线的距离，最大值时，再加上半径，最小值时，再减去半径．13.答案：D解析：本题考查圆的标准方程，直线垂直的条件，以及直线的点斜式方程、一般式方程，考查了学生的计算能力，求出圆心及直线l的斜率是解题的关键．解：由题意得，圆x2+(y−3)2=4的圆心为(0,3)，又直线l与直线x+y+1=0垂直，所以直线l的斜率是1，则直线l的方程是：y−3=x−0，即x−y+3=0．故选D．14.答案：A解析：本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，属于基础题．由题意判断出切点(1,1)代入选项排除B、D，推出另一个切线斜率，得到选项即可．解：因为过点(3,1)作圆(x−1)2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为(1,1)，显然B、D选项不过(1,1)，B、D不满足题意；另一个切点的坐标在(1,1)的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选：A．15.答案：D解析：本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，是基础题．由圆的方程求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得b值．解：由圆x2+y2−2x−2y+1=0，得(x−1)2+(y−1)2=1，得圆心坐标为(1,1)，半径为1，∵直线3x+4y−b=0与圆(x−1)2+(y−1)2=1相切，∴圆心(1,1)到直线3x+4y−b=0的距离等于圆的半径，即√32+42= |7−b|5=1，解得：b=2或b=12．故选D．16.答案：B解析：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值．解：圆x2+y2+2x−2y+a=0即(x+1)2+(y−1)2=2−a，故弦心距d=√2=√2．再由弦长公式可得：2−a=2+4，∴a=−4．故选B．17.答案：C解析：本题考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题，圆在第一象限内，设圆心的坐标为(a,a)，则有|a|=√(a−4)2+(a−1)2，解方程求得a值，代入两点间的距离公式可求得两圆心的距离|C1C2|的值．解：∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等．设两圆的圆心坐标分别为(a,a)，(b,b)，则有(4−a)2+(1−a)2=a2，(4−b)2+(1−b)2=b2，即a，b为方程(4−x)2+(1−x)2=x2的两个根，整理得x2−10x+17=0，∴a+b=10，ab=17．∵(a−b)2=(a+b)2−4ab=100−4×17=32，∴|C1C2|=√(a−b)2+(a−b)2=√32×2=8．18.答案：(x−1)2+y2=2解析：求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解：由题意得r=√m2+1=√m2+1=√m2+2m+1m2+1=√1+2mm2+1≤√1+2m2|m|≤√2，当且仅当m=1时等号成立，故此时的圆的标准方程为(x−1)2+y2=2．19.答案：4x−3y+1=0或x−2=0解析：本题考查直线和圆的位置关系，属于基础题．过点P(2,3)斜率不存在的直线x=2与圆相切，过点P(2,3)斜率存在时，设切线方程为y−3=k(x−2)，即kx−y−2k+3=0，y因为与圆相切，所以|−k+3|√1+k2=1，解出k即可．解：圆(x−1)2+y2=1的圆心为C(1,0)，半径为1，过点P(2,3)斜率不存在的直线x=2与圆相切，过点P(2,3)斜率存在时，设切线方程为y−3=k(x−2)，即kx−y−2k+3=0，y因为与圆相切，所以|−k+3|√1+k2=1，得k=43，所以方程为43x−y+13=0即4x−3y+1=0，综上：直线的方程为4x−3y+1=0或x−2=0．故答案为4x−3y+1=0或x−2=0．20.答案：(x−3)2+(y+4)2=5解析：本题考查已知圆心和半径求圆的标准方程，属于基础题．由已知得到圆心与半径，即可求出圆的标准方程．解：因为圆心为(3,−4)，半径为√5，所以圆的标准方程为(x−3)2+(y+4)2=5．故答案为(x−3)2+(y+4)2=5．21.答案：2√2解析：本题考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系，求出已知圆的圆心为C(2,−1)，半径r =2.利用点到直线的距离公式，算出点C 到直线直线l 的距离d ，由垂径定理加以计算，可得直线mx −y −3m −2=0被圆截得的弦长．解：圆(x −2)2+(y +1)2=4的圆心为C(2,−1)，半径r =2，又因为直线mx −y −3m −2=0过定点A(3,−2)，且定点在圆内，当过定点A(3,−2)的直线mx −y −3m −2=0与圆心垂直时，弦长最短，所以|AC |=√(3−2)2+(−2+1)2=√2，∴根据垂径定理，得直线mx −y −3m −2=0被圆(x −2)2+(y +1)2=4截得的弦长的最小值为2√r 2−|AC |2=2√4−2=2√2．故答案为2√2．22.答案：2解析：本题考查了点到直线的距离，和直线和圆的位置关系，由题意可得，圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的14，即√2=√2=cos45°，由此求得a 2+b 2的值． 解：由题意可得，圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的14， ∴√2=√2=cos45°，∴a 2+b 2=2， 故答案为2．23.答案：(x −2)2+(y −1)2=4解析：此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式.根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．由圆心在直线x−2y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y 轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．解：设圆心为(2t,t)，半径为r=|2t|，∵圆C截x轴所得弦的长为2√3，∴t2+3=4t2，∴t=±1，∵圆C与y轴的正半轴相切，∴t=−1不符合题意，舍去，故t=1，2t=2，∴(x−2)2+(y−1)2=4．故答案为(x−2)2+(y−1)2=4．24.答案：−1−√2解析：本题考查圆的标准方程，考查圆的切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．由题意，得B(0,1+√2)求出圆C在点B处切线方程，令y=0可得圆C在点B处切线在x轴上的截距．解：由题意，圆的半径为√2，圆心坐标为(1,√2)，∴圆C的标准方程为(x−1)2+(y−√2)2=2；所以B(0,1+√2)，∴圆C在点B处切线方程为(0−1)(x−1)+(1+√2−√2)(y−√2)=2，令y=0可得x=−1−√2.故答案为−1−√2．25.答案：2解析：本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中分析出圆心(0,0)到直线3x −4y +5=0的距离d =12r 是解答的关键．解：若直线3x −4y +5=0与圆x 2+y 2=r 2(r >0)交于A 、B 两点，O 为坐标原点， 且∠AOB =120°，则圆心(0,0)到直线3x −4y +5=0的距离d =rcos60°=12r ， 即√32+42=12r ，解得r =2，故答案为2．26.答案：(x −2)2+(y + 32 )2= 25 4解析：本题考查圆的标准方程的求法，列出方程组是解题的关键，考查计算能力．解：设圆的圆心坐标(a,b)，半径为r ，因为圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y =1相切，所以 {a 2+b 2=r 2 (a −4)2+b 2=r 2|b −1|=r，解得 {a =2 b =− 32 r = 52 ， 所求圆的方程为：(x −2)2+(y + 32 )2= 25 4．故答案为(x −2)2+(y + 32 )2= 25 4． 27.答案：(1)证明：∵DE 是⊙O 的直径，则∠BED +∠EDB =90°，∵BC ⊥DE ，∴∠CBD +∠EDB =90°，即∠CBD =∠BED ，∵AB 切⊙O 于点B ，∴∠DBA =∠BED ，即∠CBD =∠DBA ；(2)解：由(1)知BD 平分∠CBA ，则BA BC =AD CD =3，∵BC =√2，∴AB =3√2，AC =√AB 2−BC 2=4，则AD =3，由切割线定理得AB 2=AD ⋅AE ，即AE =AB 2AD =6，故DE =AE −AD =3，即可⊙O 的直径为3．解析：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键．(1)根据直径的性质即可证明：∠CBD =∠DBA ；(2)结合割线定理进行求解即可求⊙O 的直径．28.答案：解：(1)联立得：{y =x −1y =2x −4，解得：{x =3y =2,∴圆心C(3,2)，若k 不存在，不合题意；若k 存在，设切线为：y =kx +3，可得圆心到切线的距离d =r ， 即√1+k 2=1，解得：k =0或k =−34，则所求切线为y =3或y =−34x +3；(2)设点M(x,y)，由MA =2MO ，知：√x 2+(y −3)2=2√x 2+y 2，化简得：x2+(y+1)2=4，∴点M的轨迹为以(0,−1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，C(a,2a−4)，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=√a2+(2a−3)2，∴1≤√a2+(2a−3)2≤3，解得：0≤a≤12．5解析：本题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．(1)联立直线l与直线y=x−1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；(2)设M(x,y)，由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以(0,−1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．29.答案：解：(1)如图，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，∴∠ABF=∠BCE，∴tan∠ABF=tan∠BCO=4．3设AF=4x(m)，则BF=3x(m)．∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，∴OE=AF=4x(m)，EF=AO=60(m)，∴BE=(3x+60)m．∵tan∠BCO=43，∴CE=34BE=(94x+45)(m)．∴OC=(4x+94x+45)(m)．∴4x+94x+45=170，解得：x=20．∴BE=120m，CE=90m，则BC=150m；(2)如图，设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，∵∠POM=∠PQC=90°，∴∠PMO=∠BCO．设OM=xm，则OP=43xm，PM=53xm.∴PC=(43x+170)m，PQ=(1615x+136)m.设⊙M半径为R，∴R=MQ=(1615x+136−53x)m=(136−35x)m.∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，则R−AM≥80，R−OM≥80，∴136−35x−(60−x)≥80，136−35x−x≥80．解得：10≤x ≤35．∴当且仅当x =10时R 取到最大值．∴OM =10m 时，保护区面积最大．解析：本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(1)在四边形AOCB 中，过B 作BE ⊥OC 于E ，过A 作AF ⊥BE 于F ，设出AF ，然后通过解直角三角形列式求解BE ，进一步得到CE ，然后由勾股定理得答案；(2)设BC 与⊙M 切于Q ，延长QM 、CO 交于P ，设OM =xm ，把PC 、PQ 用含有x 的代数式表示，再结合古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m 列式求得x 的范围，得到x 取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大．30.答案：解：(1)由题意可得，直线l 的斜率存在，设过点A(0,1)的直线方程：y =kx +1，即：kx −y +1=0．由已知可得圆C 的圆心C 的坐标(2,3)，半径R =1． 故由√k 2+1<1， 故4−√73<k <4+√73．(2)设M(x 1,y 1)；N(x 2,y 2)，由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y =kx +1，代入圆C 的方程(x −2)2+(y −3)2=1， 可得(1+k 2)x 2−4(k +1)x +7=0，∴x 1+x 2=4(1+k)1+k 2，x 1⋅x 2=71+k 2，∴y 1⋅y 2=(kx 1+1)(kx 2+1)=k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1 =71+k 2⋅k 2+k ⋅4(1+k)1+k 2+1=12k 2+4k+11+k 2，由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=12k 2+4k+81+k 2=12，解得k =1， 故直线l 的方程为y =x +1，即x −y +1=0．圆心C 在直线l 上，MN 长即为圆的直径．所以MN =2．解析：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．(1)由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围．(2)由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解．。
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3 典型例题解析
梳理了本章所学的知识点，包括基本概念、定理和公式 等。
4 练习题与答案
梳理了本章所学的知识点，包括基本概念、定理和公式 等。
下章展望
内容概述
简要介绍了下一章的主要内容和学习 目标。
新知识点提示
提前预告下一章将会学习的新知识点 ，帮助学生提前预习。
学习建议
针对下一章的学习内容，给出了一些 学习方法和建议。
证明四边形ABCD是平行四边 形，已知AB平行于CD，AD平 行于BC。
计算圆锥体的表面积，已知底 面半径为3cm，高为5cm。
函数经典例题
总结词
通过函数图象和性质的分析， 帮助学生掌握函数的解题技巧
。
例题1
求函数 $f(x) = x^2 - 2x$ 在区 间 [0,3] 的最大值和最小值。
例题2
数列与不等式答案及解析
利用三角函数性质解决实际问题的方法和 步骤，如测量、航海等问题的解决方案和 解析。
给出数列的通项公式和前n项和的求解方法 ，以及解决不等式问题的方法和步骤。
06总结与展望Biblioteka 本章总结1 知识点回顾
梳理了本章所学的知识点，包括基本概念、定理和公式 等。
2 学习重点与难点
梳理了本章所学的知识点，包括基本概念、定理和公式 等。
函数与导数
求函数的导数，判断函数的单调性，并解决 相关问题。
数列与不等式
求解数列的通项公式和前n项和，以及解决 不等式问题。
答案与解析
集合与命题答案及解析
函数与导数答案及解析
详细解释每个命题的真假，并给出理由。
给出每个函数的导数，解释单调性，并解 决相关问题的方法和步骤。
三角函数与解三角形答案及解析
沪教版(上海)高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习直线与圆的方程系列之直线的综合应用-5
沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习直线与圆的方程系列之直线的综合应用-5教学目标1、掌握直线方程的四种形式，直线的方向向量和法向量；2、掌握直线的倾斜角和斜率3、掌握两直线的位置关系及其判断方法，两直线夹角公式4、掌握点到直线的距离公式，两平行直线的距离公式，知识梳理直线方程的几种形式⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨--⎪⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪--⎪⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩点方向式方程直线的方程点法向式方程一般式方程直线的倾斜角（定义、取值范围、与斜率的关系）直线的倾斜角和斜率直线的斜率直线的点斜式方程坐标平面上的直线平行两直线的位置关系重合相交两直线的夹角点到直线的距离公式点到直线的距离两平行线间的距离 典例精讲例1.（★★）不论m 为何值,直线(m －1)x －y+2m+1=0恒过定点（ ）A 、(1,12-) B 、(－2,0) C 、(-2,3) D 、(2,3) 【答案】：将直线的方程整理成关于m 的一元一次方程：(2)10m x x y +--+=所以202103x x x y y +==-⎧⎧⇒⎨⎨--+==⎩⎩选C例 2.（★★）过点(2,1)P 作直线l 交x 轴、y 轴正方向于A 、B ，求使AOB ∆的面积最小时的直线l 的方程。
【答案】：解法一：设所求直线方程为1x y a b +=，则由直线l 过点(2,1)P ，得211(00)a b a b +=>>， 即2a b a =-，由0b >，得2a > 所以11222AOB a S ab a a ∆==⋅- 221442(2)22a a a a -+==⋅-- 14(2)22a a =++- 14[(2)4]22a a =-++-14]42≥= 当且仅当422a a -=-，即42a b ==，时，AOB S ∆取得最小值为4 此时所求直线方程为142x y +=，即240x y +-= 解法二：设所求直线方程为1x y a b +=，则由直线l 过点(2,1)P ，得211(00)a b a b +=>>，21a b +≥Q 1≥Q 8ab ≥，142AOB S ab ∆=≥ 当且仅当21a b=，即42a b ==，时，AOB S ∆取得最小值为4 此时所求直线方程为142x y +=，即240x y +-=例3.（★★）已知两点A （－1，2）、B （m ，3）（1）求直线AB 的斜率k 与倾斜角α；（2）求直线AB 的方程；（3）已知实数m ∈［－33－1，3－1］，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 【答案】：（1）当m =－1时，直线AB 的斜率不存在，倾斜角α＝2π． 当m ≠－1时，k ＝11+m ， 当m ＞－1时，α＝arctan 11+m ， 当m ＜－1时，α＝π＋arctan 11+m ． （2）当m =－1时，AB ：x =－1，当m ≠1时，AB ：y －2=11+m （x +1）． （3）①当m =－1时，α＝2π； ②当m ≠－1时， ∵k ＝11+m ∈（－∞，－3］∪［33，＋∞）， ∴α∈［6π，2π）∪（2π，3π2］ 故综合①、②得，直线AB 的倾斜角α∈［6π，3π2］ 例4.（★★）求满足下列条件的直线l 的方程⑴在y 轴上的截距为3-，且它与两坐标轴围成的三角形面积为6 ⑵与直线240x y -+=的夹角为045，且焦点在x 轴上 【答案】：⑴设直线的方程为13x y a +=-，由题意得1362a ⋅⋅-=，4a ∴=± 当4a =时，直线l 的方程为143x y +=-即34120x y --= 当4a =-时，直线l 的方程为143x y +=--即34120x y ++= ⑵直线240x y -+=交x 轴于点（2,0-），可设l 的方程为(2)y k x =+由两直线夹角公式有02tan 4512k k -=+，13k ∴=或k =- ∴l 的方程为1(2)3y x =+或3(2)y x =-+， 即320x y -+=或360x y ++=课堂检测1.（★★）若直线l 的方程为：(1)(1)310k x k y k ++--+=，则不管k 的值怎么变化，直线l 必过的定点坐标是_______________.【答案】：将直线的方程整理成关于m 的一元一次方程：(3)10k x y x y +-+-+=所以301102x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，所以定点(1,2) 2.（★★）一条直线经过点P （3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程：（1）倾斜角是直线x －4y +3=0的倾斜角的2倍；（2）与x 、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，且△AOB 的面积最小（O 为坐标原点）【答案】：（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则θ＝2α，且tan α＝41，tan θ＝tan2α＝158， 从而方程为8x －15y +6=0（2）设直线方程为a x ＋by ＝1，a ＞0，b ＞0， 代入P （3，2），得a3＋b 2＝1≥2ab 6，得ab ≥24， 从而S △AOB ＝21ab ≥12， 此时a 3＝b 2，∴k ＝－ab 2 ∴方程为2x +3y －12=0 3.（★★）求与直线12347012560l x y l x y --=-+=：，：夹角相等，且过点(4,5)的直线l 的方程。
高三数学(沪教版)教材知识点梳理
高三数学知识点梳理第14章空间直线与平面1、内容要目：平面的概念及其表示方法，平面的基本性质，用“斜二测”方法画简单的直观图，简单几何体的截面，空间直线与直线的位置关系，平行公理，等角定理，异面直线的概念，异面直线所成的角，空间直线与平面的位置关系，空间平面与平面的位置关系。
2、基本要求：掌握画空间图形的基本技能，培养空间想象能力，理解异面直线所成角的概念，会画简单图形中的异面直线所成角的大小。
3、重难点：平面的基本性质和平行线的传递性，空间直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系及其各种表示法，用反证法证明两条直线是异面直线，运用平面的基本性质进行说理证明问题。
观图中的长度分别是0.5cm、1cm、1cm.2、祖恒定理：用一组平行线去截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积相等，则这两空间图形的体积必然相等。
3、多面体和旋转体共同性质和度量公式：4、设几何体的底面周长为c （有两个不同底面时，周长分别记为21c c ，），母线或斜高长为'h .(1) 圆柱和直棱柱的表面积分别为圆柱S ='22ch c +π，=直S 'ch +地面面积2⨯(2) 圆锥和正棱锥的表面积分别为=圆锥S 2'2ch c +π，'21ch S =正+底面面积 (3) 半径为r 的球的表面积为=球S 24r π. 5、球面距离：通过球面上两点的大圆劣弧的弧长。
第16章 排列组合和二项式定理1、乘法原理：如果完成一件事需要n 个步骤，第1步有1m 种不同的方法，第2步有2m 种不同的方法，……，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N Λ21=种不同的方法。
2、加法原理：如果完成一件事有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=Λ21种不同的方法。
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2019年高三数学 第15课时 曲线方程和圆（1）复习案 沪教版 知识导学
轨迹方程的求法，圆的定义和性质，直线与圆的关系
例题导讲
例1、一动点到定点F （4，0）的距离，与它到定直线l ：x=6的距离相等，求此动点的轨迹方程。
例2、已知定点A （6，0）。
B 是曲线x 2+（y ﹣1）2
=1上的动点，延长BA 到P ，使|PA|=|AB|，求动点P 的轨迹方程。
例3、求方程x ﹣1=2)1(1--y 的曲线。
例4、已知直线2x ﹣y+k=0与曲线x 2+y 2
﹣2x=0，问：是否存在这样的实数k 使直线与曲线有两个不同交点，且两交点横坐标之和为2？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由。
习题导练
1．方程y=a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c 的曲线过原点的条件是 。
2．到两坐标轴距离的积为2 的动点轨迹方程是 。
3．线段AB 两端点分别在x 轴、y 轴上，且|AB|=2m ，则AB 中点P 的轨迹方程为 。
4．直角三角形ABC 中，A （﹣2，0）、B （2，0），则直角顶点C 的轨迹方程为 。
5．若直线y=kx+1与曲线x 2+y 2+x ﹣ky=0的两个交点的横坐标之和恰好为零，则k= 。
6．下列方程中表示相同曲线的是
（ ） A ．y=x 与log y x=1
B ．log y x=1与y=sin （arcsinx ）
C ．|y|=|x|与x 2=y 2
D ．y=x 与y=x
x 2
7．曲线y=1+24x -（﹣2≤x≤2）与直线y=k （x ﹣2）+4有两个交点时，实数k 的取值范围是
（ ） A ．(125,43] B ．(125,+∞) C ．(31，43] D ．(0，12
5)
8．已知点M （x ，y ）运动时，它到点A （﹣2，0）与点BB （2，0）的距离之比是3：5，求点M 的轨迹。
9．已知两个点A （﹣4，0）、B （4，0）。
动点P 与两定点A 、B 的连线PA 、PB 的斜率乘积为﹣4
1，求动点P 的轨迹方程。
10．动点P 到两定点A （﹣a ，0）、B （a ，0）（a>0）距离之比为|PA|：|PB|=2：1。
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）点P 在什么位置时，△PAB 的面积最大？
例题导讲
例1、已知实数x 、y 满足x 2+y 2﹣4y+3=0，求：（1）x 2+y 2的最大值；（2）
x
y 的范围；（3）x+2y 的最小值。
例2、根据下列条件求圆的方程：
（1）圆心在原点，且圆周被直线3x+4y+15=0分成1：2两部分 （2）与两平行线l 1：x ﹣2y-1=0、l 2：x ﹣2y+9=0均相切，且圆心在直线3x+2y+1=0上
（3）过点A （4，﹣1），且与已知圆x 2+y 2+2x ﹣6y+5=0相切于点B （1，2）的圆的方程
例3、设圆满足：
（1）截y 轴所得弦长为2；
（2）被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1，在满足条件（1）（2）的所有圆中，求圆心到直线l ：x ﹣2y=0的距离最小的圆的方程
习题导练
1．将圆C ：x 2+y 2+2x ﹣4y=0向右平移1个单位，向下平移2个单位，平移后，得到圆C’，则圆C’圆心坐标为 。
2．△ABC 中，点A （6，0），点B （﹣6，0），顶点C 在圆x 2+y 2=36上移动，则△ABC 的重心的轨迹方程为 。
3．圆心C （﹣1，2），且过点A （4，﹣3）的圆的方程为 。
4．圆（x ﹣1）2+（y+3）2=16关于直线x+y+1=0对称的圆的方程是 。
5．方程|x|﹣1=21y 表示的曲线是 （ ）
A．一条直线B．两条射线C．一个圆D．两个半圆
6．方程x2+y2+2ax﹣2ay=0表示的圆（）
A．关于直线y=x对称B．关于直线y=﹣x对称
C．其圆心在x轴上且过原点D．其圆心在y轴上且过原点
7．求经过点A（5，2）、B（3，2）且圆心在直线2x﹣y﹣3=0上的圆的方程。
8．已知△ABC的三边所在直线分别为l
1：x+7=0、l
2
：3x﹣4y﹣19=0、l
3
：4x+3y﹣17=0，
求这个三角形的外接圆的方程。
9．求与y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为27的圆的方程。
10．两直线l
1、l
2
分别绕点A（﹣a，0）、B（a，0）旋转，且在y轴上的截距分别为b
1
、
b 2，当b
1
·b
2
为常数a2（a≠0）时求两直线交点的轨迹方程。
11．过⊙O：x2+y2=4与y轴正半轴的交点A作圆的切线l，点M是l上任一点，过M作⊙O 的另一切线，切点为Q，求当点M在直线l上移动时，△MAQ的垂心的轨迹方程。
第15课时 曲线方程和圆(一)
例1 ()245y x =-- 例2 ()()22
1211x y -++=
例3 ()()()221111x y x -+-=≥
习题导练
1．0a b c -+=
2．xy=2或xy=-2
3．222x y m +=
4．()2240x y y +=≠
5．16．C
7．A
8. 22221780x y x +++=
9. ()22
4160x y y +=≠ 10.（1）222331030x y ax a +-+=；（2）54,33P a a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，S 的最大值为243a
例1.（1）9（2）(),-∞⋃
∞（3）4⎡⎣ 例2.（1）2236x y +=（2）22511548x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭（3）()()22315x y -+-= 例3. ()()22112x y -+-=，()()22
112x y +++= 例4.m= 9或-1
五习题导练二
1．（0,0）
2. ()2240x y y +=≠
3. ()()22
1250x y ++-=
4. ()()222216x y -++=
5.D
6.B
7. ()()224510x y -+-=
8. 221451010x y x y ++--=
9. ()()22319x y -+-=或()()22319x y +++= 10. ()2220x y a y +=≠
11. ()()22240x y x +-=≠。