2019-2020学年高中数学 第三章 直线与方程 3.1.1 直线的倾斜角与斜率教学设计 新人教A版必修2.doc
高中数学《第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率习题3.1》423PPT课件
全优课堂：
P52 变式训练2 P54 课堂演练2 P56 易错警示 P56 课堂演练1,2
(2)已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1) 和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为____1_或__0_．
解析：l1 的斜率 k1＝1－ 3a－－02＝a.
l2 的斜率 k2＝－2aa－－0－1＝1－a2a.
因为 l1⊥l2，
所以
k1k2＝－1，即
B. 0，π4 ∪ 34π，π
C. 0，π4
D. 0，π4 ∪ π2，π
[解析] (1)因为直线xsin α＋y＋2＝0的斜率k＝－sin α，又 －1≤sin α≤1，所以－1≤k≤1.设直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜 角为θ，所以－1≤tan θ≤1，而θ∈[0，π)，故倾斜角的取值范 围是0，π4∪34π，π.
A1 B1 A2 B2
K1k2=-1
A1A2 B1B2 0
练习
1.直线 3x-y+1=0的倾斜角等于（ B ）
A.
2π
3
C. 5π
6
π
B.
3
D.
π
6
B
2．填空题 (1)若过两点 A(－m,6)，B(1,3m)的直线的斜率为 12，则 m＝ ________. 答案：－2
（2）若直线2x y 2 0与ax 4y 2 0互相垂直，则 a ____
a·1－2a＝－1，解得 a
a＝1.
当 a＝0 时，P(0，－1)，Q(0,0)，这时直线 l2 为 y 轴，A(－2，
0)，B(1,0)，直线 l1 为 x 轴，显然 l1⊥l2.
综上可知，实数 a 的值为 1 或 0.
3.1.1倾斜角与斜率ppt
o
x
思考4
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量呢？
升高量 坡度（比） 前进量
升 高 量
45°
前进量
3 m
坡度越大，楼梯越陡．
3 m
“坡度（比）”是 “倾斜角”的正切值.
y
45°
升 高 量
前进量
o
α
x
二、直线斜率的定义
一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率 (slope).
y
通常用小写字母k表示，即
解析：倾斜角为90° 的直线斜率不存在，故A，C错误；直 线的斜率可以用π＋kα求出，但是直线倾斜角的范围是 0° ≤α<180° ，故D错误．
答案：B
例1
如图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求
直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是 锐角还是钝角. 分析：直接利用公式求解. 解：直线AB的斜率k AB 直线BC的斜率 1 1 2 1 k BC ; 0 (4) 4 2 直线CA的斜率 kCA
k tan ( 90 ).
注意：α= 90 时，k不存在.
o
α
o
x
倾斜角α 不是90°的直线都有斜率.
斜率与倾斜角的对应关系
图示 倾斜角(范 围) 斜率(范围) 0°<α <9 90°<α <180 90 ° α =0° α =___ 0° °
k=0 ____ k>0 ____
不存在
k<0 ____
Q( x2 , y1 )
P 1 ( x1 , y1 )
o
x2
x1
y2 - y1 y2 - y1 所以k = tanα= = 0. x1 - x2 x2 - x1
高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率练习含解析新人教A版必修208192187
对应学生用书P57知识点一直线的倾斜角高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率练习含解析新人教A 版必修2081921871．给出下列命题：①任意一条直线有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x 轴；④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；⑤若α是直线l 的倾斜角，且sinα＝22，则α＝45°． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y 轴，因此①正确，②③错误． ④中α＝0°时sinα＝0，故④错误．⑤中α有可能为135°，故⑤错误．2．已知直线l 过点(m ，1)，(m ＋1，1－tanα)，则( ) A ．α一定是直线l 的倾斜角 B ．α一定不是直线l 的倾斜角 C ．180°－α不一定是直线l 的倾斜角 D ．180°－α一定是直线l 的倾斜角 答案 C解析 设θ为直线l 的倾斜角，则tanθ＝1－tanα－1m ＋1－m ＝－tanα．当α＝0°时，tanθ＝0，此时θ＝0°；当α＝30°时，tanθ＝－33，此时θ＝150°．比较各选项可知选C ．知识点二直线的斜率3．下列叙述不正确的是( )A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B．若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应C．与y轴垂直的直线的斜率为0D．与x轴垂直的直线的斜率不存在答案 B解析每一条直线都有倾斜角且倾斜角唯一，但并不是每一条直线都有斜率；垂直于y 轴的直线的倾斜角为0°，其斜率为0；垂直于x轴的直线的倾斜角为90°，其斜率不存在，故A，C，D正确．4．如图，在平面直角坐标系中有三条直线l1，l2，l3，其对应的斜率分别为k1，k2，k3，则下列选项中正确的是( )A．k3>k1>k2B．k1－k2＞0C．k1·k2＜0D．k3＞k2＞k1答案 D解析由图可知，k1＜0，k2＜0，k3＞0，且k2＞k1，故选D．知识点三斜率公式的应用①A(－2，0)，B(－5，3)；②A(3，2)，B(5，2)；③A(3，－1)，B(3，3)；(2)已知直线l过点A(2，1)，B(m，3)，求直线l的斜率及倾斜角的范围．解(1)①∵A(－2，0)，B(－5，3)，∴k AB＝3－0－5－－2＝3－3＝－1，直线AB的倾斜角为135°．②∵A(3，2)，B(5，2)，∴k AB ＝2－25－3＝0．直线AB 的倾斜角为0°．③∵A(3，－1)，B(3，3)；∴直线AB 的倾斜角为90°，斜率不存在． (2)设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α， 当m ＝2时，A(2，1)，B(2，3)．直线AB 的倾斜角为90°，斜率k 不存在； 当m ＞2时，k ＝3－1m －2＝2m －2＞0，此时，直线l 的倾斜角为锐角，即α∈(0°，90°)； 当m ＜2时，k ＝3－1m －2＝2m －2＜0，此时，直线l 的倾斜角为钝角，即α∈(90°，180°)．知识点四三点共线问题6．若A(a ，0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则a ＋b ＝________．答案 －12解析 由题意得b ＋22＝2a ＋2，ab ＋2(a ＋b)＝0，1a ＋1b ＝－12．对应学生用书P58一、选择题1．已知直线l 的倾斜角为β－15°，则下列结论中正确的是( ) A ．0°≤β＜180° B．15°＜β＜180° C ．15°≤β＜180° D．15°≤β＜195° 答案 D解析 因为直线l 的倾斜角为β－15°，所以0°≤β－15°＜180°，即15°≤β＜2．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的BC 边所在直线的斜率是0，则AC ，AB 边所在直线的斜率之和为( )A ．－2 3B ．0C ． 3D ．2 3 答案 B解析 由BC 边所在直线的斜率是0，知直线BC 与x 轴平行，所以直线AC ，AB 的倾斜角互为补角，根据直线斜率的定义，知直线AC ，AB 的斜率之和为0．故选B ．3．若直线l 的斜率为k ，且二次函数y ＝x 2－2kx ＋1的图象与x 轴没有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．(0°，90°) B．(135°，180°)C ．[0°，45°)∪(135°，180°) D．[0°，180°) 答案 C解析 由抛物线y ＝x 2－2kx ＋1与x 轴没有交点，得(－2k)2－4＜0，解得－1<k<1，所以直线l 的倾斜角的取值范围是[0°，45°)∪(135°，180°)，故选C ．4．如果直线l 先沿x 轴负方向平移2个单位长度，再沿y 轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 B解析 设A(a ，b)是直线l 上任意一点，则平移后得点A′(a－2，b ＋2)，于是直线l 的斜率k ＝k AA′＝b ＋2－b a －2－a＝－1．故选B ．5．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l 过点P(1，1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 满足( )A ．k≥34或k≤－4B ．k≥34或k≤－14C ．－4≤k≤34D ．34≤k≤4答案 A解析 如图所示，过点P 作直线PC⊥x 轴交线段AB 于点C ，作出直线PA ，PB ．①直线l 与线段AB 的交点在线段AC(除去点C)上时，直线l 的倾斜角为钝角，斜率的范围是k≤k PA ．②直线l 与线段AB 的交点在线段BC(除去点C)上时，直线l 的倾斜角为锐角，斜率的范围是因为k PA ＝－3－12－1＝－4，k PB ＝－2－1－3－1＝34，所以直线l 的斜率k 满足k≥34或k≤－4．二、填空题6．已知M(2m ，m ＋1)，N(m －2，1)，则当m ＝________时，直线MN 的倾斜角为直角． 答案 －2解析 由题意得，直线MN 的倾斜角为直角，则2m ＝m －2，解得m ＝－2．7．已知点M(5，3)和点N(－3，2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74，则点P 的坐标为________．答案 (1，－5)解析 设P 点坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧y －3x －5＝2，y －2x ＋3＝－74，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－5，即P 点坐标为(1，－5)．8．若经过点P(1－a ，1)和Q(2a ，3)的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13解析 ∵直线PQ 的斜率k ＝3－12a －1－a ＝23a －1，且直线的倾斜角为钝角，∴23a －1<0，解得a<13．三、解答题9．已知点A(1，2)，在坐标轴上有一点P ，使得直线PA 的倾斜角为60 °，求点P 的坐标．解 ①当点P 在x 轴上时，设点P(a ，0)． ∵A(1，2)，∴k PA ＝0－2a －1＝－2a －1．又直线PA 的倾斜角为60 °， ∴－2a －1＝3，解得a ＝1－233， ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0．②当点P 在y 轴上时，设点P(0，b)． 同理可得b ＝2－3， ∴点P 的坐标为(0，2－3)．综上，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0或(0，2－3)．10．已知实数x ，y 满足关系式x ＋2y ＝6，当1≤x≤3且x≠2时，求y －1x －2的取值范围．解y －1x －2的几何意义是过M(x ，y)，N(2，1)两点的直线的斜率．因为点M 在y ＝3－12x 的图象上，且1≤x≤3，所以可设该线段为AB ，其中A1，52，B3，32．由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是－∞，－32∪12，＋∞．。
高中数学第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.1.2
4．已知△ABC 中，A(0，3)、B(2，－1)、E、F 分别 为 AC、BC 的中点，则直线 EF 的斜率为________． 解析：因为 E、F 分别为 AC、BC 的中点， 所以 EF∥AB. 所以 kEF＝kAB 答案：－2 －1－3 ＝ ＝－2. 2－0
5．已知直线 l1 的倾斜角为 45°，直线 l2∥l1，且 l2 过点 A(－2，－1)和 B(3，a)，则 a 的值为________． 解析：因为 l2∥l1，且 l1 的倾斜角为 45°， 所以 kl2＝kl1＝tan 45°＝1， a－（－1） 即 ＝1，所以 a＝4. 3－（－2） 答案：4
2．应用两条直线平行求参数值时，应分斜率存在与 不存在两种情况求解．
[变式训练] 根据下列给定的条件，判断直线 l1 与直 线 l2 是否平行． (1)l1 经过点 A(2，1)，B(－3，5)，l2 经过点 C(3，－ 3)，D(8，－7)； (2)l1 平行于 y 轴，l2 经过点 P(0，－2)，Q(0，5)； (3)l1 经过点 E(0，1)，F(－2，－1)，l2 经过点 G(3， 4)，H(2，3)． 5－ 1 －7＋3 4 解：(1)由题意知，k1＝ ＝－ ，k2＝ ＝ 5 －3－2 8－3 －3－1 4 － ，kAC＝ ＝－4， 5 3－2
③l1 经过点 A(－1，2)，B(－3，1)，l2 经过点 M(－1， 4)，N(1，5)． (1)解析：由题意知，k1＝tan 60°＝ 3， k2 ＝ －2 3－ 3 －2－1 ＝ 3，
k1＝k2，所以直线 l1 与直线 l2 平行或重合． 答案：平行或重合
1－ 2 5－4 1 (2)解： ①kl1＝ ＝－1， kl2＝ ＝－ ， kl1≠kl2， 4 2－ 1 －1－3 所以 l1 与 l2 不平行． ②直线 l1 与 l2 均与 x 轴垂直，且横坐标不同，所以 l1 与 l2 平行．
2019-2020学年度最新人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程3-1-1
2019-2020学年度最新人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程3-1-1.1.1倾斜角与斜率学习目标 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．知识点一直线的倾斜角思考1在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？答案不能．思考2在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？答案不同．梳理(1)倾斜角的定义①当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.(3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．知识点二 直线的斜率与倾斜角的关系思考1 在日常生活中，我们常用“升高量前进量”表示“坡度”，图(1)(2)中的坡度相同吗？答案 不同，因为32≠22.思考2 思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？ 答案 存在，图(1)中，坡度＝tan α，图(2)中，坡度＝tan β. 梳理 (1)直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.(2)斜率与倾斜角的对应关系知识点三 过两点的直线的斜率公式直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)．类型一 直线的倾斜角例1 设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A．α＋40°B．α－140°C．140°－αD．当0°≤α<140°时为α＋40°，当140°≤α<180°时为α－140°答案 D解析根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.反思与感悟(1)解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．跟踪训练1已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为．答案60°或120°解析有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.类型二直线的斜率例2经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(－2,3)，D(2，－1)；(3)P (－3,1)，Q (－3,10)．解 (1)存在．直线AB 的斜率k AB ＝5－34－2＝1，即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.(2)存在．直线CD 的斜率k CD ＝－1－32－(－2)＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.(3)不存在．因为x P ＝x Q ＝－3，所以直线PQ 的斜率不存在，倾斜角α＝90°. 反思与感悟 (1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项①运用公式的前提条件是“x 1≠x 2”，即直线不与x 轴垂直，因为当直线与x 轴垂直时，斜率是不存在的；②斜率公式与两点P 1，P 2的先后顺序无关，也就是说公式中的x 1与x 2，y 1与y 2可以同时交换位置．(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.跟踪训练2 如图所示，直线l 1，l 2，l 3都经过点P (3,2)，又l 1，l 2，l 3分别经过点Q 1(－2，－1)，Q 2(4，－2)，Q 3(－3,2)，计算直线l 1，l 2，l 3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．解 设k 1，k 2，k 3分别表示直线l 1，l 2，l 3的斜率． 由于Q 1，Q 2，Q 3的横坐标与P 点的横坐标均不相等，所以k 1＝－1－2－2－3＝35，k 2＝－2－24－3＝－4，k 3＝2－2－3－3＝0.由k 1>0知，直线l 1的倾斜角为锐角；由k 2<0知，直线l 2的倾斜角为钝角；由k 3＝0知，直线l 3的倾斜角为0°.类型三 直线的倾斜角、斜率的应用 命题角度1 三点共线问题例3 如果三点A (2,1)，B (－2，m )，C (6,8)在同一条直线上，求m 的值． 解 k AB ＝m －1－2－2＝1－m 4，k AC ＝8－16－2＝74，∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ， 即1－m 4＝74，∴m ＝－6.反思与感悟 斜率是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的．直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因．跟踪训练3 已知倾斜角为90°的直线经过点A (2m,3)，B (2，－1)，则m 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 由题意可得2m ＝2，解得m ＝1. 命题角度2 数形结合法求倾斜角或斜率范围例4 直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的范围． 解 如图所示．∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，∴45°≤α≤120°.反思与感悟 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解．跟踪训练4 已知A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)．若点D 在线段BC 上(包括端点)移动，求直线AD 的斜率的变化范围． 解 如图所示．当点D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎡⎦⎤17，53.1．对于下列命题：①若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α<180°； ②若k 是直线的斜率，则k ∈R ；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； ④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①②③正确．2．若经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m 等于( ) A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2 答案 A解析 tan 45°＝2－31－m，得m ＝2.3．若三点A (2,3)，B (3,2)，C (12，m )共线，则实数m 的值为 ．答案92解析 设直线AB ，BC 的斜率分别为k AB ，k BC ，则由斜率公式，得k AB ＝3－22－3＝－1，k BC ＝m －212－3＝－25(m －2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k BC ， 即－1＝－25(m －2)，解得m ＝92.4．经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是 ．(其中m ≥1) 答案 (0°，90°]解析 当m ＝1时，倾斜角α＝90°， 当m >1时，tan α＝3－2m －1>0，∴0°<α<90°，故0°<α≤90°.5．已知交于点M (8,6)的四条直线l 1，l 2，l 3，l 4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l 2过点N (5,3)，求这四条直线的倾斜角． 解 l 2的斜率为6－38－5＝1，∴l 2的倾斜角为45°，由题意可得：l 1的倾斜角为22.5°，l 3的倾斜角为67.5°，l 4的倾斜角为90°.直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：课时作业一、选择题1．下列说法中正确的是( )A ．一条直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B ．直线的倾斜角α的取值范围是[0°，180°]C ．和x 轴平行的直线的倾斜角为180°D ．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率 答案 D解析 倾斜角是直线向上方向与x 轴的正方向所成的角，故选项A 不正确；直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°)，故选项B 不正确；当直线与x 轴平行时，倾斜角为0°，故选项C 不正确．2．已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为60°，则直线l 2的倾斜角为( ) A ．60° B ．120° C ．30° D ．150° 答案 D解析 两直线垂直时，它们的倾斜角相差90°，由l 1的倾斜角为60°知，l 2的倾斜角为150°. 3．若直线过坐标平面内两点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 答案 A解析 由题意知k ＝2＋3－24－1＝33，∴直线的倾斜角为30°.4．已知直线l 的斜率的绝对值等于3，则直线l 的倾斜角为( ) A ．60° B ．30° C ．60°或120° D ．30°或150°答案 C解析 由题意知|tan α|＝3， 即tan α＝3或tan α＝－3， ∴直线l 的倾斜角为60°或120°.5．下列各组中，三点能构成三角形的三个顶点的为( ) A ．(1,3)、(5,7)、(10,12)B ．(－1,4)、(2,1)、(－2,5)C ．(0,2)、(2,5)、(3,7)D ．(1，－1)、(3,3)、(5,7)答案 C 解析A 、B 、D 三个选项中三点均共线．6.若图中直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2 答案 D解析 由题图可知，k 1<0，k 2>0，k 3>0， 且l 2比l 3的倾斜角大．∴k 1<k 3<k 2.7．一条直线l 与x 轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( ) A ．αB ．180°－αC ．180°－α或90°－αD ．90°＋α或90°－α答案 D解析 如图所示，当l 方向向上的部分在y 轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l 方向向上的部分在y 轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.8．已知直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是( ) A ．2 B ．1 C.12 D ．0答案 A解析 如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k ∈[0,2]．故直线l 的斜率k 的最大值为2.二、填空题9．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值等于 ． 答案12解析 由于A ，B ，C 三点共线，所以此直线的斜率既可用A ，B 两点的坐标表示，也可用A ，C 两点的坐标表示，于是有22－a ＝2－b 2，由此可得a ＋b ＝12ab ，两边同时除以ab ，得1a ＋1b ＝12.10．已知点A (1,2)，若在坐标轴上有一点P ，使直线PA 的倾斜角为135°，则点P 的坐标为 ． 答案 (3,0)或(0,3)解析 由题意知k PA ＝－1，若P 点在x 轴上，则设P (m,0)，则0－2m －1＝－1，解得m ＝3；若P点在y 轴上，则设P (0，n )，则n －20－1＝－1，解得n ＝3，故P 点的坐标为(3,0)或(0,3)．11．若经过点A (1－t,1＋t )和点B (3,2t )的直线的倾斜角为钝角，则实数t 的取值范围是 ． 答案 (－2,1)解析 由题意知，k AB ＝2t －(1＋t )3－(1－t )＝t －1t ＋2.因为直线的倾斜角为钝角， 所以k AB ＝t －1t ＋2<0，解得－2<t <1.12．若直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R)两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为 ． 答案 [0°，45°]∪(90°，180°)解析 直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1. 若l 的倾斜角为α，则tan α≤1.又∵α∈[0°，180°)，当0≤tan α≤1时，0°≤α≤45°；当tan α<0时，90°<α<180°.∴α∈[0°，45°]∪(90°，180°)．三、解答题13．已知坐标平面内两点M (m ＋3,2m ＋5)，N (m －2,1)．(1)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？(2)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？(3)直线MN 的倾斜角可能为直角吗？解 (1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0，即k ＝2m ＋5－1m ＋3－(m －2)＝2m ＋45>0， 解得m >－2.(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，即k ＝2m ＋5－1m ＋3－(m －2)＝2m ＋45<0， 解得m <－2.(3)当直线MN 垂直于x 轴时直线的倾斜角为直角，此时m ＋3＝m －2，此方程无解，故直线MN 的倾斜角不可能为直角．四、探究与拓展14．已知坐标平面内三点A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1)．若D 为△ABC 的边AB 上一动点，则直线CD 的斜率k 的取值范围为( )A ．[33，3] B ．[0，33]∪[3，＋∞) C ．[33，＋∞) D ．[3，＋∞)答案 A15．已知坐标平面内三点P (3，－1)，M (6,2)，N (－3，3)，直线l 过点P .若直线l 与线段MN相交，求直线l的倾斜角的取值范围．解考虑临界状态，令直线PM的倾斜角为α1，直线PN的倾斜角为α2，，由题意知tan α1＝1，tan α2＝－33故直线PM的倾斜角为45°，直线PN的倾斜角为150°，根据倾斜角的定义知符合条件的直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤150°.。
高中数学 第03章 直线与方程 .1.1 倾斜角与斜率试题
3。
1.1 倾斜角与斜率一、直线的倾斜角 1．直线的确定在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的几何要素是:已知直线上的一点和这条直线的方向，二者缺一不可.2．直线倾斜角的概念当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.倾斜角与倾斜程度平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角α，且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等。
因此，我们可用倾斜角α表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度.3．倾斜角的取值范围当直线l 与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围是 .如下图:1l 的倾斜角为0°，2l 的倾斜角为锐角，3l 的倾斜角为直角,4l 的倾斜角为钝角。
二、直线的斜率 1．斜率的定义我们把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k 表示，即tan k α=.注：倾斜角是90°的直线没有斜率. 2．斜率与倾斜角之间的关系当直线的倾斜角α=0°时，斜率k =0，直线与x 轴 ； 当0°<α〈90°时,斜率k 〉0，且k 值增大,倾斜角随着 ； 当α=90°时,斜率k （此时直线是存在的，直线与x 轴垂直); 当90°<α<180°时，斜率k 〈0，且k 值增大，倾斜角也随着 . 3．直线的倾斜程度(1）倾斜角α不是90°的直线都有斜率,倾斜角不同，直线的斜率也不同.因此,我们可以用 表示直线的倾斜程度.(2）直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量,斜率侧重于代数角度,倾斜角侧重于几何角度. 三、过两点的直线的斜率公式 1．公式经过两点11122212(,),(,)()P x y P x y x x ≠的直线的斜率公式为 。
2．公式的推导如图（1)，(2)，设直线12PP 的倾斜角为α(α≠90°)，当直线12PP 的方向(即从1P 指向2P 的方向）向上时,过点1P 作x 轴的平行线，过点2P 作y 轴的平行线，两条直线相交于点Q ，于是点Q 的坐标为21(,)x y .如图（1），当α为锐角时，121212,,QPP x x y y α=∠<<。
高中数学 第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角与斜率一、考纲要求1、学习目标:知识与技能：正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．理解直线的倾斜角的唯一性.掌握直线的倾斜角与斜率的关系.过程与方法：理解直线的斜率的存在性.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．情感态度与价值观：通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．2、学习重、难点学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用.学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围.学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用.学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围.二、自主学习阅读教材P82-86完成下面问题并填空知识点一：直线的倾斜角【提出问题】在平面直角坐标系中，直线l经过点P.问题1: 直线l的位置能够确定吗？问题2: 过点P可以作与l相交的直线多少条？问题3:上述问题中的所有直线有什么区别？【导入新知】1.定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准,叫做直线l的倾斜角．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α=.2.范围：倾斜角α的取值范围是 .特别：当时，称直线l与x 轴垂直.知识点二：直线的斜率【提出问题】日常生活中，常用坡度（=升高量坡度前进量）表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度3222>问题1:对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？问题2: 如材料里描述的坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？问题3:通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？【导入新知】1.定义：一条直线的倾斜角α (α≠90°)的值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k = . ①当直线l 与x 轴平行或重合时, α= , k = ; ②当直线l 与x 轴垂直时, α= , k . 2. 直线的斜率公式:①已知直线的倾斜角α,则k=②经过两个定点 P 1(x 1,y 1) , P 2(x 2,y 2) 的直线：若x 1≠x 2，则直线P 1P 2 的斜率存在，k= 若x 1＝x 2，则直线P 1P 2的斜率3. 斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的 . 三、考点突破例1⑴若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成030角，则直线的倾斜角为（ ） A. 030 B. 060 C. 0030或150 D. 0060或120⑵下列说法中，正确的是（ ）A.直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为αtanB. 直线的斜率为αtan ，则此直线的倾斜角为αC.若直线的倾斜角为α，则sin 0α>D.任意直线都有倾斜角α，且090α≠时，斜率为αtan 变式训练1. 直线l 经过第二、四象限，则此直线l 的倾斜角范围是（ ）A. 00[0,90)B. 0[90,180) C. 0(90,180) D. 00(0,180)2.设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转045，得到直线1l ，则直线1l 的倾斜角为（ ）A. 045α+B. 0135α-C. 0135α-D.当000135α≤<时为045α+，当00135180α≤<时为0135α-例2 ⑴已知过两点(4,),(2,3)A y B -的直线的倾斜角为0135，则y = ⑵已知过(3,1),(,2)A B m -的直线的斜率为1，则m 的值为 ⑶过点(2,),(,4)P m Q m -的直线的斜率为1，则m 的值为 变式训练3.若直线过点(1,2),(4,2+，则此直线的倾斜角是（ ） A. 030 B. 045 C. 060 D. 090例3 已知实数,x y 满足28y x =-+，且23x ≤≤，求yx的最大值与最小值.变式训练4.点(,)M x y 在函数28y x =-+的图像上，当[2,5]x ∈时，求11y x ++的取值范围.四、考点巩固1.关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是（ ） A.任一直线都有倾斜角，都存在斜率。
新人教A版必修2高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率
3．斜率公式
直线经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率 k＝yx22－－yx11(其 中 x1≠x2)．
1．判一判．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意一条直线都有倾斜角．( ) (2)任意一条直线都有斜率．( ) (3)经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线．( ) 【答案】(1)√ (2)× (3)×
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求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求 角． (2) 两 点 注 意 ： ① 当 直 线 与 x 轴 平 行 或 重 合 时 ， 倾 斜 角 为 0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°；②注意直线倾斜角的 取值范围是0°≤α＜180°.
1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成 的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )
2．直线的斜率
定义
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的_正__切__值___叫 做这条直线的斜率，记为k，即k＝__t_a_n_α___.
取值 范围
当α＝0°时，____k＝__0__；当0°<α<90°时，__k_<_0__ ；当90°<α<180°时，_不__存__在___；当α＝90°时， 斜率____k_>_0__.
A．α B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α 【答案】D
【解析】如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角 为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α. 故选D.
直线的斜率公式
【例2】 在△ABC中，已知A(1，－1)，B(1,1)，C(3，－ 1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是 锐角还是钝角或直角.
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2019-2020学年高中数学 第三章 直线与方程 3.1.1 直线的倾斜角与斜率教学设计 新人教A 版必修2一、内容及其解析“直线的倾斜角与斜率”是人教版数学必修2第三章第一节的内容，是高中解析几何内容的开始。
这节课学习的内容是直线在平面直角坐标系下的倾斜角和斜率。
其核心内容是直线倾斜角的概念和斜率的求法，理解它的关键是在平面直角坐标系中直线向上的方向与X 轴正方向所成的角和角的正切值。
之前学生已经学过一次函数的图像和平面中两点可以确定一条直线，这节内容就是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。
通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。
直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。
二、目标及其解析目标定位：1、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念. 2、会求出直线的倾斜角和直线的斜率 3、掌握过两点的直线的斜率公式。
目标解析：1、正确理解直线的倾斜角是指理解平面直角坐标系中以X 轴为基准，直线与X 轴相交时，X 轴正方向与直线向上的方向的角；理解斜率概念是指直线的斜率就是直线倾斜角的正切值。
2、会求出直线倾斜角是指已知直线的斜率求出其对应倾斜角，会求直线斜率是指知道直线的倾斜角会求出其对应直线的斜率。
3、掌握过两点的直线的斜率公式就是要熟练应用经过P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)两点的直线的斜率公式k = （x 1≠x 2）三、问题诊断与分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是对直线的倾斜角的概念及范围理解时会不糊不清 和当直线的倾斜角是钝角时的求值会困难，产生这两个问题的原因是对倾斜角的概念理解不透彻和没有从定义上认真正理解和对新公式tan(180)tan αα-=-。
的运用还不灵活。
要解决这一困难，就要让学生从开始就认真的从定义上理解倾斜角的概念和多用公式tan(180)tan αα-=-。
其中理解倾斜角的关键是理解当直线与X 职轴相交时倾斜角的概念是怎么定义的当直线不与X 轴相交时又是怎么定义的。
理解公式的tan(180)tan αα-=-。
的关键是多用该阶段只要求学生会用就行。
四、教学支持条件分析本节课打算用多媒体进行教学，因为多媒体的教学更容易刻画直线在直线坐标系中的位置，直观明了。
是学生更容易理解，并且多媒体教学的课容量大，大大提高了课堂的效率 五、教学设计情景引入：初中时我们知道确定一条直线的方法是：两点确定一条直线。
我们知道一次函数的图像在直角坐标系中画出来就是一条直线，那么在直角坐标系中除了两点确定一条直线外还有其他的方法吗？这就是我们本节课研究的主要内容问题一：在平面直角坐标系中怎么定义直线的倾斜角和斜率？(设计意图：以大问题的形式呈现本节课要学的内容然后理解这两个概念。
)问题1：在平面直角坐标系中过一点P能确定几条直线？观察并思考这些直线有什么共同点和不同点呢？师生活动1：教师提问，学生动手画直角坐标系并过P作图观察并思考结论：如图，过点P在直角坐标系中可以作出无数条直线。
这些直线的主要的共同点是都过点P，不同点是这些直线与X轴的倾斜程度不同由此可以定义直线的倾斜角直线倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.并且当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为00。
如图α为直线l的倾斜角直线l的倾斜角分别为：锐角、直角、钝角、0角。
由直线倾斜角的定义可知：直线倾斜角的范围是0≤α＜180故理解倾斜角的概念需要注意两点：1.直线倾斜角的定义包括两部分（1）当直线l与x轴相交时，定义它向上的方向与x轴正方向所成的角叫倾斜角，包括锐角、直角、钝角。
（2）当直线与x轴平行或重合时规定倾斜角为02.在平面直角坐标系中，一条直线对应唯一的一个倾斜角，倾斜程度相同的直线，倾斜角相等。
倾斜程度不同的直线他们的倾斜角不同。
故我们用倾斜角刻画直线的倾斜程度。
问题2：探究在平面直角坐标系中怎么确定直线的位置？师生活动：1.已知直线过点P能确定直线的位置吗？结论：不能，如图点P的直线可以是无数条因为直线可以任意饶点P转动2.已知直线的倾斜角是45时，能确定直线的位置吗？结论：不能，如图因为直线可以平行移动3.当直线过定点p并已知它倾斜角是45，能确定直线的位置吗？能确定，直线过定点p，并且倾斜角是45，因此这条直线不能转动和平移了。
如图：由此可知：确定直线的方法除了两点可以确定一条直线外还有已知一点和一个倾斜角例1：如图所示，直线l的倾斜角是多少度（）A ．45B 135C 0D . 不存在变式训练：已知一条直线在第一象限过一点M ，其倾斜角是30，作出这条直线问题二：什么是斜率？（设计意图：提出问题，以大问题的形式引出要学的内容）问题1：日常生活中我们描述人走的快慢、汽车行驶的快慢都是用速率来表示的，也就是用路程与时间的比来表示的；我们又如何刻画山坡的坡面的倾斜程度呢？ 学生思考并进行讨论学习结论：如图一个山坡的坡度可近似看做一个直角三角形 如果我们以前进量所在的直线为x 轴，点o 为原点建平面直角坐标系，α就是直线的倾斜角，也就是说我们可以用倾斜角α的正切值来刻画直线的倾斜程度.坡度（比）=升高量/前进量即坡度就是倾斜角α的正切值，这个正切值我们称为直线的斜率， 因此直线斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率 斜率通常用小写的字母k 表示，所以k=tan α（α≠90，α=90正切值不存在） 当直线的倾斜角α=45时，斜率k=tan 45=1，当α=tan135时，k=tan135 因初中学习锐角正切值的计算，因此可以直接给出公式当α为锐角时t a n (180)t aαα-=-。
，对于这个公式要求会用就行，后面的学习将会进一步推导，因此tan135=tan(18045)tan 45-=-=—1问题2：探究当α在0度到90度变化时，斜率是如何变化的？当α在90度到180度范围变化时，倾斜角的变化又如何？下面请同学们计算：当直线斜率是以下角时，直线斜率是多少？α=0304560=120135150α、、、，、、 由公式可计算得k=tan 0=0、k=3tan303=、k=45tan =1、k=603tan =k=tan1203=tan(180-60)=-tan60=-k=tan135tan(18045)tan 451=-=-=- k=3tan150tan(18030)tan303=-=-=-可以利用计算器计算当α由锐角无限接近90度时k 值是向正无穷靠近的并且正值，即当α在0度到90度变化时随着倾斜角的增大斜率增大，而当α由钝角无效接近90度时，k 值是无限向负无穷靠近的并且为负值。
即当α在90度到180度范围变化时，随着倾斜角的增大斜率增大。
由此可知： 当α为锐角时，斜率k=tan α>0 当α为钝角时，斜率k=tan α<0当α为直角时，tan α不存在，所以斜率k 也就不存在当α=0时，斜率k=tan 0=0反过来当直线的斜率k>0时，直线的倾斜角为锐角 当直线的斜率k<0时，直线的倾斜角为钝角 当直线的斜率k=0时，直线的倾斜角为0度角 当直线的斜率k 不存在时，直线的倾斜角为直角例2：已知一条直线与X 轴平行，则这条直线的斜率k 的值是（）A.0 B 不存在变式训练：正三角形ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，求出三条边所在直线的倾斜角和斜率解：因为BC 与x 轴重合所以 BC 边所在直线的倾斜角为0 故tan00BC k == 因为ABC ∠=60所以AB 边所在的直线的倾斜角为60 故 tan603AB k ==因为60ACB ∠= 所以120ACX ∠=所以AC 边所在的直线多的倾斜角为120 所以tan120tan(12060)tan603AC k ==-=-=-问题三：已知直线上的两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），且直线P 1P 2与x 轴不垂直，即x 1≠x 2，直线P 1P 2的斜率是什么？【设计意图】：让学生“应用斜率等于倾斜角的正切值”这一知识点推导出过两点的直线的斜率公式，同时加深学生对斜率概念的理解。
师生活动：下图中P 1P 2的水平距离是多少，垂直距离是多少？怎样表示的正切？（2）（1）小结：两点间斜率的计算公式2121y y k x x -=-（x 1≠x 2）。
例3、已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略)分析: 已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k 的值; 而当k = tan α<0时, 倾斜角α是钝角; 而当k = tan α>0时, 倾斜角α是锐角; 而当k = tan α=0时, 倾斜角α是0°.略解: 直线AB 的斜率k AB =1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角; 直线BC 的斜率k BC =-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角; 直线CA 的斜率k CA =1>0, 所以它的倾斜角α是锐角. 变式练习：求经过下列两点直线的倾斜角。
（1）、 A （2，1），B （3，1）； （2）、 C （2，1），D （2，6） 六、课堂小结1、倾斜角的定义及范围定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.并且当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为00。
范围是0≤α＜1802、斜率的定义和求法定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率 求法：90α≠时，k= tan α 90α=时斜率不存在 3、两点间斜率的计算公式2121y y k x x -=-（x 1≠x 2）。
七、目标检测1.判断下列说法是否正确（1）在坐标系中，每条直线都有倾斜角 （2）在坐标系中，每条直线都有斜率 （3）一条直线与x 轴的夹角就是直线的倾斜角 （4）一条直线的倾斜角越大它的斜率越大（5两条直线的倾斜角相等，他们的斜率也相等 （6）两条直线的斜率相等，他们的倾斜角相等 2.已知直线的斜率，求它们的倾斜角 （1）k =（2）k （3）1k =-八、配餐作业A 组1、 已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1) α＝0°；（2）α＝60°；(3) α＝90°；（４）α＝43π2、若直线l 过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线l 的斜率为 ,倾斜角为3、已知两点A (x ,－2),B (3,0),并且直线AB 的斜率为21，则x = 。