集合之间的关系
第二讲 集合之间的基本关系及其运算
第二讲 集合之间的基本关系及其运算一．知识盘点知识点一：集合间的基本关系注意：1.A B A B B AA B A B A B A B =⇔⊆⊆⎧⊆⎨⊂⇔⊆≠⎩且且2.涉及集合间关系时，不要忘记空集和集合本身的可能性。
3.集合间基本关系必须熟记的3个结论（1）空集是任意一个集合的子集；是任意一个非空集合的真子集，即,().A B B Φ⊆Φ⊂≠Φ(2)任何一个集合是它自身的子集，空集只有一个子集即本身 （3）含有n 个元素的集合的子集的个数是2n 个，非空子集的个数是21n - ；真子集个数是21n - ，非空真子集个数是22n -。
知识点二：集合的基本运算运算 符号语言 Venn 图 运算性质交集{}|A B x x A =∈∈且x B()(),AB A A B B ⊆⊆ (),AA A AB B A ==A B A A B =⇔⊆ A Φ=Φ并集{}|A B x x A x B =∈∈或()(),A A B B A B ⊆⊆ (),A A A A B B A ==,A B B A B A A =⇔⊆Φ=补集{}|U C A x x U x A =∈∉且,U U C U C U =ΦΦ=()(),U U U C C A A A C A U ==()U AC A =Φ()()()U U U C A B C A C B = ()()()U U U C A B C A C B =二．例题精讲Ep1.下列说法正确的是A. 高一（1）班个子比较高的同学可以组成一个集合B. 集合{}2|,x N x x ∈= 则用列举法表示是{}01，UAC. 如果{}264,2,m m ∈++2， 则实数m 组成的集合是{}-22，D. {}{}(){}222||,|x y xy y x x y y x =====解析：A.与集合的确定性不符；B.对；C.与集合的互异性不符；D 。
{}2|x y x R == ,{}{}2||0y y x y y ==≥ ，(){}2,|x y y x = 是二次函数2y x = 的点集Ep2.已知集合A={}2|1log ,kx N x ∈<< 集合A 中至少有三个元素，则A.K>8B.K ≥ 8C.K>16D.K ≥ 16解析：由题设,集A 至少含有2，3，4三个元素，所以2log 4k> ，所以k>16.Ep3.已知集合M={}{}2|,|,x y x R N x x m m M =∈==∈ ,则集合M 、N 的关系是A.M N ⊂B.N M ⊂C.R M C N ⊆D.R N C M ⊆ 解析：[]1,1M =- ，{}|01N x x =≤≤ ，故选B.Ep4.已知集合M={}0,1 ,则满足M N M = 的集合N 的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 解析：M N M =，故N M ⊆ ,故选D.Ep5已知集合{}{}2|1,|1M x x N x ax ==== ,如果N M ⊆ ,则实数a 的取值集合是{}.1A {}.1,1B - {}.0,1C {}.1,0,1D -解析：{}1,1M =- , N M ⊆,故N 的可能：{}{}{},1,1,1,1Φ-- ，故a 的取值集合{}1,0,1-Ep6.已知集合{}{}2|20180,|lg(3)A x x x B x N y x =-+≥=∈=- ，则集合A B 的子集的个数是解析：{}|02018A x x =≤≤ ，{}{}|3-x>00,1,2B x N =∈= ，故{}0,1,2A B = 故子集个数328=A.4B.7C.8D.16Ep7.已知集合{}{}2|2,|M x x x N x x a =<+=> ，如果M N ⊆ ,则实数a 的取值范围是.(,1]A -∞- .(,2]B -∞ .[2,)C +∞ .[1,)D -+∞解析：{}|12M x x =-<< ，M N ⊆，故1a ≥-Ep8.已知集合{}2|30A x N x x *=∈-< 则满足B A ⊆ 的集合B 的个数是 A.2 B.3 C.4 D.8 解析：{}{}|03=12A x N x *=∈<<， ，故选CEp9.已知集合{}{}|12,|13,M x x N x x M N =-<<=≤≤=则.(1,3]A - B.(1,2]- .[1,2)C D.(2,3]解析：选CEp10.如果集合{}{}(1)2|10,|log 0,x A x x B x -=-≤≤=≤则A B={}.|11A x x -≤< {}.|11B x x -<≤ {}.0C {}.|11D x x -≤≤ 解析：{}10||0111x B x x x x ⎧->⎫⎧==≤<⎨⎨⎬-≤⎩⎩⎭，故选D.Ep11.设集合 {}{}2|11,|,,()R A x x B y y x x A A C B =-<<==∈=则{}.|01A x x ≤< {}.|10.B x x -<< {}|01C x x =<< {}.|11D x x -<<解析：{}|01B y y =≤<，则{}|01R C B y y =<≥或y，(){}{}{}|11|01|10R AC B x x y y y x x =-<<<≥=-<<或 选B.Ep12.已知集合{}{}2|11,|20,A x x B x x x =-<<=--<则 )R C A B =（.(1,0]A - .[1,2)B - .[1,2)C .(1,2]D解析：{}|12B x x =-<< ，{}|11R C A x x x =≤-≥或 (){}|12R C A B x x =≤< ，选C.三．总结提高1.题型归类（1）2个集合之间的关系判断（2）已知2个集合之间的关系，求参数问题 （3）求子集或真子集的个数问题 （4）2个有限集之间的运算（5）1个有限集和1个无限集之间的运算 （6）2个无限集之间的运算（7）已知集合的运算结果，求参数问题 2.方法总结（1）判断集合间关系的方法a.化简集合，从表达式中寻找两个集合之间的关系b.用列举法表示集合，从元素中寻找关系c.利用数轴，在数轴上表示出两个集合（集合为数集），比较端点之间的大小关系，从而确定两个集合之间的关系。
集合的关系及其基本运算
集合的关系及其基本运算知识精要1. （1）子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A 。
记作：A B B A ⊇⊆或，A ⊂B 或B ⊃A当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作：A ⊆/B 或B ⊇/A 注：B A ⊆有两种可能：（1）A 是B 的一部分；（2）A 与B 是同一集合。
（2）集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A ＝B 。
（3）真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集。
记作：A B 或B A ，读作A 真包含于B 或B 真包含A 。
注：空集是任何集合的子集。
Φ⊆A空集是任何非空集合的真子集。
Φ A若A ≠Φ，则Φ A任何一个集合是它本身的子集。
A A ⊆易混符号①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系。
如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合。
如Φ⊆{0}。
不能写成Φ＝{0}，Φ∈{0}2. 全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示。
3. 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集），记作A C S ，即C S A ＝},|{A x S x x ∉∈且4. 交集：一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合，叫做A ，B 的交集。
记作A B （读作“A 交B ”），即A B ＝｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝。
集合间的基本关系
集合间的基本关系知识点总结一、子集、真子集、集合相等二、空集1、定义：不含任何元素的集合叫做空集，记作φ.2、性质：空集是任何集合的子集.三、子集个数与元素个数的关系设有限集合A 有n （n 属于*N ）个元素，则其子集的个数是n 2，真子集的个数是12-n ，非空子集的个数是12-n ，非空真子集的个数是22-n .一、知识辨析1、} 3 ,2 ,1 {1⊆...........................................（ ）2、φ和{φ}表示的意义相同...............................（ ）3、} )1 ,0( {} 0 ,1 {} 1 ,0 {==..................................（ ）4、任何集合都有子集和真子集.............................（ ）5、若a ∈A ，则}{a ⫋A.....................................（ ）6、如果集合A B ⊆，那么若元素a 不属于A ，则必不属于B.....（ ） 二、选择1、已知集合} | {是菱形x x A =，} | {是正方形x x B =，} | {是平行四边形x x C =，那么A ，B ，C 之间的关系是 （ ）A.C B A ⊆⊆B.C A B ⊆⊆C.A ⫋B ⊆CD.C B A ⊆=2、给出下列四个关系式：①R ∈3；②Z ∈Q ；③0∈φ；④φ⊆} 0 {.其中正确的个数是 （ ）A.1B.2C.3D.43、能正确表示集合} 20| {≤≤∈=x R x M 和集合} 0x -| {2=∈=x R x N 关系的Venn 图是 （ ）A B C D4、已知集合} ,2| {Z k k x x A ∈==，} ,4| {Z k k x x B ∈==，则A 与B 之间的关系是（ ） A.A=B B.B ⊇A C.A ⫋B D.B ⫋A5、已知集合} 03| {*＜-∈=x N x A ，则满足条件A B ⊆的集合B 的个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.86、已知集合} 2 ,1 ,0 {⊆A ，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为 （ ） A.6 B.5 C.4 D.37、集合} , {y x 的子集个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.48、在下列选项中，能正确表示集合} 2 ,0 ,2 {-=A 和集合} 02| {2=+=x x x B 关系的是 （ ） A.A=B B.B A ⊇ C.B A ⊆ D.B A =φ 9、集合} 1 ,2 {-=A ，} 1 ,m {2--=m B ，且A=B ，则实数m=（ ） A.2 B.-1 C.2或-1 D.410、已知集合} 0y ,0y |y)(x, {＞＜x x M +=，} 0y ,0|),( {＜＜x y x P =，那么 （ ） A.P ⫋M B.M ⫋P C.M=P D.M ≠P11、下列四个关系：①} , {} , {a b b a ⊆；②φ=} 0 {；③} 0 {∈φ；④} 0 {0∈.其中正确的个数为（ ）A.1B.2C.3D.412、已知φ⫋} 0x | {2=+-a x x ，则实数a 的取值范围是 （ ） A.41＜a B.41≤a C.41≥a D.41＞a 13、设集合} 1 1, {-=A ，集合} 02| {2=+-=b ax x x B ，若B ≠φ，A B ⊆，则有序实数对（a,b ）不能是（ ）A.（-1,1）B.（-1,0）C.（0，-1）D.（1,1） 三、填空14、已知集合} 3, 1, {m A -=，} 4 3, {=B ，若A B ⊆，则实数m= .15、已知集合} ,02| {2R a a ax ax x A ∈=++=，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值构成的集合为 .16、设a ，b ∈R ，集合} ,0 {} 1 , {b a a +=，则a b -= . 四、解决问题17、已知集合} 4 1| {＞或＜x x x A -=，} 3a 2| {+≤≤=x a x B ，若A B ⊆，求实数a 的取值范围.18、已知} 01)1(3| {22=-+++=a x a x x A ，} 0 {=B ，若B A ⊆，求a 的取值范围.19、若集合} 06| {2=-+=x x x M ，} 0))(2(| {=--=a x x x N ，且M N ⊆，求实数a 的值. 提升题 一、选择题1、下面各选项中，两个集合相等的是 （ ）A.} ) 2 ,1 ( {=M ,} ) 1 ,2 ( {=NB.} 2 ,1 {=M ，} ) 2 ,1 ( {=NC.M=φ，} {φ=ND.} 012| {2=+-=x x x M ，} 1 {=N 2、下列关系中正确的是（ ）A .} 1 ,0 {1∈ B.} 1 ,0 {1∉ C.} 1 ,0 {1⊆ D.} 1 ,0 {} 1 {∉ 3、已知集合} 02| {2＜-+∈=x x Z x A ，则集合A 的一个真子集为 （ ） A.} 02| {＜＜x x - B.} 20| {＜＜x x C.} 0 { D.} {φ 4、集合} 1 ,0 1, {-=A ，A 的子集中含有元素0的子集共有（ ） A.2个 B.4个 C.6个 D.8个5、若P M ⊆，Q M ⊆，} 2 1, ,0 {=P ，} 4 2, ,0 {=Q ，则满足上述条件的集合M 的个数是（ ） A.1 B.2 C.4 D.86、集合} , 3| {N n x x M n ∈==，集合} , 3| {N n n x x N ∈==，则集合M 与集合N 的关系为（ ） A.N M ⊆ B.M N ⊆ C.N M = D.M ⊈N 且N ⊈M7、若A x ∈，A x ∈1，则称A 是伙伴关系集合.集合} 3 ,2 ,31,21 ,0 ,1 {-=M 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ） A.31 B.7 C.3 D.18、已知集合} , 0| {N y a y y A ∈≤=＜，} , 032| {2N x x x x B ∈≤--=，若A ⫋B ，则满足条件的正整数a 所构成集合的子集的个数为（ ） A.2 B.4 C .8 D.16 二、填空9、方程0822=--x x 的解集为A ，方程02=-ax 的解集为B ，若A B ⊆，则实数a 的取值集合为 .10、已知集合} 44 ,4 ,3| {-=m y A ，集合} ,3| {2m y B =，若A B ⊆，则实数m= . 三、解决问题11、已知} 52| {≤≤-=x x A ，} 121| {-≤≤+=m x m x B ，A B ⊆，求m 的取值范围.。
集合之间的关系—集合的相等与包含
集合之间的关系——集合的相等与包含【新课导入】1. 考察下列两组集合，观察它们的元素有何关系.(1) 集合P ={1,2}与集合Q ={}2320x x x -+=；(2) 集合P ={x ︱x 为非负整数}与自然数集N .答：(1) 在第一组集合中，Q ={}2320x x x -+=={1,2}，它与集合P 的元素完全相同；(2) 在第二组集合中，因为集合P ={x ︱x 为非负整数}={0，1，2，3，……}，它与自然数集的元素也 完全相同.可见，相等是集合之间的一种重要关系.2. 再来看看小亮的家庭，他家的成员有爷爷、奶奶、 爸爸、妈妈、姐姐和小亮. 若姐姐和小亮构成一个集 合P ，全家成员构成一个集合Q ， 显然集合P 中的元素都属于集合Q ，那么P 与Q 有怎样的关系呢?很明显，集合P 中的元素也是集合Q 中的元素，也就是集合Q 可以包含集合P .可见，包含也是集合之间的一种重要关系.【双基讲解】1.集合的相等一般地，如果集合A 和集合B 所含的元素完全相同，那么叫做集合A 与集合B 相等，记作A =B ，读作“集合A 等于集合B ”.如果集合A ={1,3,5,7}， 集合B ={3,5,1,7}，那么A 与B 相等吗?2.集合的包含------子集一般地，对于两个集合A 和B ，如果集合A 中的任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作A ⊆B 或B ⊇A ，读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”.在小亮家庭里，明显可以看出：P ⊆Q .3. 集合的包含------真子集一般地，对于两个集合A 和集合B ，如果A ⊆B 并且B 中至少有一个元素不属于A ，,那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作AB , 或B A ，读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”. 在小亮家庭里，P Q 也是成立的.4.文氏图（Ve nn Di A gr A m ）用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图(Venn diagram.).AB 可以表示为【示范例题】例1 已知集合A ={x|x ≤5，x 是正偶数}，集合B ={A ,2}，且 A =B ，求A 的值.解 集合A ={x|x ≤5，x 是正偶数}={2,4}.A =B ，∴A = 4 .例2 已知集合S ={2x ，x+y }与集合T ={2，1}相等 ， 求x ，y 的值.分析：因为集合中的元素，前后顺序交换，仍是这个集合，所以这里必须列出两个二元一次方程组.解 由S = T ，可知 221x x y =⎧⎨+=⎩ 或 212x x y =⎧⎨+=⎩解方程组，得 10x y =⎧⎨=⎩ 或 1232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【巩固练习】1. 判断下列两个集合是否相等，并说明理由.(1) 集合A ={}2210x x x ++=和集合B ={}210x x -=；(2) 集合A ={1，2，3，4，6，12}和集合B ={x ∣x 为12的因数}.2. 已知集合A ={0，3}，集合B ={2x-y ，2y-x }，且A =B ，求x ，y 的值.3. 已知集合S ={2x+y ，x-y }与集合T ={3，0}相等，求x ，y 的值.【示范例题】例3 试判断下列各组的两个集合是否具有包含关系，并用符号表示.(1) 集合E ={2，4，6，…}与集合D ={}2,n n k k =∈；(2) 集合A ={…，-4，-2，0，2，4，…}与集合B ={}2,n n k k =∈. 解 (1) 集合E 是正偶数集，而集合D ={}2,n n k k =∈={0，2，4，6，…}是非负偶数集， 0∉E ，但0∈D ，E D ⊆所以.(2) 集合A 是偶数集，对于A 中的任何一个偶数A ，都可以表示成A =21k ，1k ∈Z .可见，必有，a B ∈，所以A B ⊆.对于集合B 中的任何一个元素n ，因为2,n k k =∈，故n 必为偶数，于是B A ⊆.说明：一般地，对于集合A 和B ，如果A B ⊆，同时A B ⊇，那么集合A 和B 是相等的，即A =B .【巩固练习】1. 判断下列结论是否正确，并说明理由.（1）对任何集合A ，必有AA ； （2）若AB ，A A ，则必有A B ； （3）若A B ，BC ，则A C .2. 用符号“⊆”或“⊇”把下列每两个集合连接起来.(1) A ={}21,n n k k =+∈与B ={…，-3，-1，0，1，3，…}(1) C ={}21,n n k k =+∈与B ={…，-3，-1，1，3，…} (3) A 是所有水果组成的集合，B 是油桃、黄桃、蟠桃组成的集合，C 是所有桃子组成的集合.【示范例题】例4 试写出4的正因数的集合A 的所有子集和真子集.解4的正因数是1，2，4 ，∴ A ={1，2，4} .∴A 的子集是 φ， {1}，{2}，{4}，{1,2}，{1,4}，{2,4}，{1，2，4}， ∴A 的子集是 φ， {1}，{2}，{4}，{1,2}，{1,4}，{2,4} .例5 已知集合A ={1}，集合B ={}210x x -=，试用文氏图表示集合A 与B 的关系. 解 210x -=， 1x ∴=± . ∴ B ={1，-1}.A ={1} ，A B .【巩固练习】1. 用真包含符号“”或“”把数集N ，Z ，Q ，R 连接起来.2. 已知区间[1,2] ，（1，2），[1，2)，试用符号表示它们之间的包含关系.3. 已知集合A ={}2230x x x --=和集合B ={}10x x +=，试用文氏图表示集合A 与B 的关系. 六 课堂小结1.集合的相等的概念；2.集合的包含 —— 子集的概念；3.集合的包含 —— 真子集的概念；4.文氏图表示集合的关系 .七 布置作业由老师根据学生的具体情况灵活布置八 教学后记根据上课的具体情况，由老师书写教案编制人：。
1.2集合之间的关系
典型例题
例1：用适当的符号（，， ， 或=）填空.
（1）{, , , }
{ ， }；
（2） { }；
（3）N
Z；
（4）0 ；
（5）{1} =
{x | x-1=0}；
（6）{x|-2<x<3}
{ x|x≥-3 }；
典型例题
例2：写出集合 = {, , }的所有子集,并指出哪些是它的真子集.
（2）该集合的所有真子集个数是 ．
问题：如果一个集合中有 n 个元素,那么它的所有非空子集个数有多少？
它的非空真子集又有多少个？
结论2：如果一个集合中有 n 个元素;
（1）该集合的所有非空子集个数是 − ;
（2）该集合的所有非空真子集个数是 ．
集合M={0,1,3}中,子集个数是 8
{, , }; {, , };
{, , , }
∅, {}
∅; {}; {}; {, }
∅
∅；{}; {};
子集个数
真子集个数
2
=21
1 =21-1
4
=22
3 =22-1
8Байду номын сангаас
=23
7 =23-1
16 =24
15 =24-1
结论1：如果一个集合中有 n 个元素;
（1）该集合的所有子集个数是 ;
练习：判断集合是否为集合的真子集,若是打√， 若不是打×.
（1） = {, , }, = {, , , , , }
(
√
)
（2） = {, , }, = {, , , }
(
×
)
（3） = ∅, = {}.
集合与集合的4种关系
集合与集合的4种关系在集合论中，集合之间可以有不同类型的关系。
这些关系可以用来描述集合的交集、并集、补集以及包含关系。
下面将依次介绍这4种关系。
1. 交集（Intersection）两个集合的交集表示它们所共有的元素集合。
用符号表示为A∩B。
例如，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B={2,3}。
2. 并集（Union）两个集合的并集表示它们所有的元素集合。
用符号表示为A∪B。
例如，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B={1,2,3,4}。
3. 补集（Complement）对于一个给定的全集U和一个集合A，A在U中的补集表示U中所有不属于A的元素的集合。
用符号表示为Ac。
例如，如果全集为U={1,2,3,4,5}，A={2,3}，则A的补集为Ac={1,4,5}。
4. 包含关系（Inclusion）集合A包含于集合B表示A中的所有元素都属于B。
用符号表示为AB。
例如，A={1,2}，B={1,2,3}，则AB。
另外，还有两个有关集合的关系：相等关系和真包含关系。
相等关系（Equality）两个集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。
用符号表示为A=B。
例如，A={1,2,3}，B={3,2,1}，则A=B。
真包含关系（Proper Inclusion）集合A真包含于集合B，当且仅当A包含于B并且A不等于B。
用符号表示为AB。
例如，A={1,2}，B={1,2,3}，则AB。
注意，这里的“”符号不同于“”，它表示的是真包含关系。
在实际应用中，理解和使用集合及其关系是很重要的。
例如，在数据库中，可以使用集合的关系来描述表间的关联；在数据分析中，可以使用交集和并集等集合运算来计算数据的交叉和联合等等。
1.1.2集合之间的基本关系讲义
第二讲 集合之间的基本关系【知识点】1.子集.对于集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就 说这两个集合是包含关系，集合A 为集合B 的子集。
记作()A B B A ⊆⊇或 读作A 含于B2.维恩图.用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图3.集合相等.集合A 与集合B 中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A 与集合B 相等，即A =B4.真子集.如果集合B 是集合A 的子集，并且集合A 中至少有一个元素不属于集合B ，那么把集合B 叫做集合A 的真子集．表示记作BA (或A B)， 读作“A 真包含B ”（或“B 真包含于A ”）． 5.空集.我们把不含任何元素的集合叫作空集.空集是任何集合的子集，且是任何非空集合的真子集.【知识点透析】1.集合的关系问题，有同学容易忽视空集这个特殊的集合，导致错解。
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
2.集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用。
【例题精讲】1.用符号“⊆”、“⊇”、“∈”或“∉”填空：(1) {},,,a b c d {},a b ；(2) ∅ {}1,2,3；(3) N Q ； (4) 0 R ； (5) d {},,a b c ； (6) {}|35x x << {}|06x x <． 2. 写出集合｛a ，b ｝的所有子集，3. 说出下列每对集合之间的关系．（1）A ＝｛1，2，3，4，｝，B ＝｛3，4｝．（2）P ＝｛x ｜x 2＝1｝，Q ＝｛-1，1｝． AB（3）N ，N*．4.求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示．A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，B ＝｛x ｜x 是菱形｝，C ＝｛x ｜x 是矩形｝，D ＝｛x ｜x 是正方形｝． 判断集合{}2A x x ==与集合{}240B x x =-=的关系．5.判断集合A 与B 是否相等？(1) A ={0}，B = ∅；(2) A ={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B ={x| x =2m+1 ,m ∈Z } ；(3) A ={x| x =2m-1 ,m ∈Z }，B ={x| x =2m+1 ,m ∈Z }．4.下列各式中，正确的是（ ）Ａ．}4|{32≤⊆x x Ｂ．}4|{32≤∈x x Ｃ．}32{⊂≠}3|{≤x x Ｄ．}4|{}32{≤∈x x5.已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ2－１＝０｝，Ｂ＝｛－１，１｝，则Ａ、Ｂ之间的关系为___________________．6.已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．7.选用适当的符号“”或“”填空： (1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}；(2){2}_ _ {x | |x |=2}； (3){1} _∅．8.设集合{}0,1,2M =,试写出M 的所有子集，和真子集9.已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ2－２ｘ－３＝０｝，Ｂ＝｛ｘ｜a ｘ－１＝０｝，若Ｂ⊂≠Ａ，求a 的值所组成 的集合Ｍ．10.已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．11.下列四个集合中，表示空集的是（ ）A.｛０｝B.},,|),{(22R y R x x y y x ∈∈-=C.},,5|||{N x Z x x x ∉∈=D.},0232|{2N x x x x ∈=-+12．已知集合，，那么（ ） （A ）（B ） （C ） （D ） 13．设，，若，则实数的取值范围是（ ） （A ）（B ） （C ） （D ）【课堂练习】（一）集合与集合关系的理解 1.已知集合X 满足{}{}X X 求所有满足条件的集合,5,4,3,2,12,1⊆⊆.2.已知集合,,312,,61⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z n n x x Z z m m x x M ,612{+==p x x P }Z p ∈，则M,N,P 满足的关系是:3.已知集合{}{},,3,2,1A x x B A ⊆==求集合B.（二）空集的理解4.下列集合中：(1){0};(2{}{};)4(;)3(;,0,12φφR n x n x x ∈<+=(){}0,0)5(,是空集的为：（ ）（三）由集合之间的基本关系球参数5.若{}02=-a x x {}31<<-x x ，则a 的取值范围是（ ）6.已知集合{},01=-=ax x A 集合{},0322=--=x x x B 若A B ，求a 的值.（四）证明两集合相等.7.集合{},,12Z n n x x X ∈-=={},,14Z k k y y Y ∈±==试证明：X=Y.（五）集合与函数的综合8.设集合{}{}R x R a a x a x x B R x x x x A ∈∈=-+++=∈=+=,,01)1(2,,04222，若,A B ⊆求实数a的取值范围.9.若集合{}{}01,062=+==-+=mx x B x x x A ，且BA ，求m 的值.（六）提升拓展10.若不等式1<x 成立时，不等式[][]0)4()1(<+-+-a x a x 也成立，求a 的取值范围.【教学反思】。
集合间的关系
集合间的关系什么是集合间的关系？集合间的关系指的是两个或多个集合之间的关系。
在数学中，集合间的关系是一种可以描述不同集合之间联系的方式。
它可以用来表示集合间的相互影响，或者说集合间的特征性质的抽象概念。
一般来说，集合间的关系可以有四种：包含关系、相等关系、并集关系和交集关系。
1、包含关系(Containment Relationship)是指一个集合A包含另一个集合B时就形成了包含关系，即A⊂B。
如果A=B，则称两个集合相等。
此外，如果A⊂B，而B⊂A，则A=B。
2、相等关系(Equality Relationship)，当两个集合的元素完全相同时，则这两个集合就成为相等关系。
即A=B。
3、并集关系(Union Relationship)，当两个集合中的元素都可以找到时，则称两个集合形成并集关系，即A∪B。
4、交集关系(Intersection Relationship)，当两个集合中的元素都具有相同的特征时，则称两个集合形成交集关系，即A∩B。
上述四种关系是集合间关系的基本形式，但实际上，集合间的关系可以根据不同情况而发生变化。
例如，可以把集合A看作是集合B的子集，此时A⊆B，也就是A的元素都可以在B中找到。
也可以把集合A看作是集合B的超集，此时A⊇B，也就是B的元素都可以在A中找到。
此外，集合间的关系还可以根据不同的集合进行划分，例如有序集合、无序集合、离散集合、连续集合等。
最后，除了上述四种基本关系外，还有一些更复杂的关系，如偏序关系、拓扑关系、伴随关系、概率关系等。
它们可以用来描述两个或多个集合之间的更复杂的关系。
综上所述，集合间的关系可以用来描述不同集合之间的相互影响，或者说集合间的特征性质的抽象概念。
它可以有四种基本关系：包含关系、相等关系、并集关系和交集关系。
此外，还有一些更复杂的关系，如偏序关系、拓扑关系、伴随关系、概率关系等。
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，
如果命题 " p( x) q( x)" 和命题 " q( x) p( x)"
都是正确的命题，可表示为： 读作：等价于
" p( x) q( x)"
若p( x) q( x),则A B, 反之， 如果A B，则p( x) q( x).
例3判断下列集合A与B的关系 （1）A={x|x是12 的约数} B={x|x是36的约数} （2）A={|x›3} B={x|x›5} （3）A={x|x是矩形} B={x|x是有一个角为直角的平行四边形} 解： （1）x是12 的约数 x是36的约数 A B. (2)因为 (3)因为x是矩形 x是有一个角为直角的平行四边形
A B.
课本P13练习A、练习B
概念：
一般地，如果两个集合的元素完全 相同，那么就说这两个集合相等．
表示：
集合A等于集合B，记作A=B.
图示法：
B
A
知识拓展
若 A B 且 B A ，则 A=B. 反之：
若A=B,习
例4 判断集合A={x||x|=2}与集合B x | x 2 4 0 的关系 . 解：因为 A={x||x|=2}={-2，2}
解：在同一个数轴上作出这两个集合，观察图形
可知集合B是集合A的真子集，即 B A.
A
B
-1 0 1 2 3 4
5 6 7
*创设情景 兴趣导入
问题：
设集合A={x|x2-1=0}，B ={-1,1}，请观察 这两个集合，并说说这两个集合有什么关 系呢？
集合A与集合B的 元素完全相同
集合的相等
图示法：可用两个封闭曲线的内部表示集
合B是集合A的子集关系。
A
B
维（Venn）恩图
B
A
知识拓展:
由子集的定义可知，
任意一个集合A都是它本身的子集，即 A A .
规定：空集是任意一个集合的子集，即
例1 用符号“ ”、“ ”、“ ”、 “ ”填空。
{a,b} （1）{a,b,c,d} _______ {1,2,3} _______ （2）
分析: 集合 M中有3个元素，可以分别列出空集、含1个 元素的集合、含2个元素的集合、含3个元素的集合．
解: M的所有子集为
除集合
外，所有集合都是集合
的真子集．
写集合的子集 一定遵守”不 重不漏“原则
练： 写出A={1，2，3}的所有 子集和真子集。
*巩固知识 典型例题 例3 设集合A={x|x>0},B={x|1≤x≤5},指出 集合A与集合B之间的关系.
第一章 集合
§1.2.1 集合之间的关系
*复习回顾
1．集合 由某些确定的对象组成的整体． 元素 组成集合的对象． 2．元素与集合之间有属于或不属于的关系． 3．常用数集以及字母表示 4．集合的表示法 (1)列举法：一一列举,写在花括号内,逗号隔开. (2)描述法：花括号,竖线，集合的代表元素，元 素的取值范围，元素所具有的特征性质．
Q （3）N_______ （4）0_______R （5）d_______{a,b,c} {x|0≤x<6} （6）{x|3<x<5} _______
分析：“ 而“
”和“ ”是用来表示元素与集合之间关系的符号．首先要
”和“ ”是用来表示集合与集合之间关系的符号；
分清楚对象，然后再根据关系，正确选用符号．
*动脑思考 探索新知
观察集合B={1，2，3，4，5}和集合 A={1，2，3}，请问集合A和集合B之间有什 么关系？
集合A的元素都是集合B的元素,所以 A B ;然而
集合B的元素不都是集合A的元素，例如，4和5是
集合B的元素，但都不是集合A的元素。
真子集
如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至 少有一个元素不属于集合A，那么把集合A叫做
集合B的真子集．记作A B ( 或 B A), 读作 A
真包含于B （或“B真包含A”）
图示法：
A B
知识拓展:
♦ 空集是任何非空集合的真子集．
♦对于集合A、B、C，如果A B,B C, 则 A C.
*巩固知识 典型例题
"填空. 例2选用适当的符号“ " 或“
*创设情景 兴趣导入
1．设B表示我班全体学生的集合，A表示我
班全体男学生的集合，那么，集合A与集合B
之间存在什么关系呢？ 2．自然数集N与整数集Z之间存在什么关系
呢？
子集
定义：一般地，如果集合A的元素都是集
合B的元素，那么把集合A叫做集合B的子集， 记作 A B 或B A ,读作“A包含于B” （或B包含A）
(1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}； (2){2}_ _ {x| |x|=2}； 真子集符号是用来表 (3){1} _． 示集合与集合之间关
系的符号，前边还有 哪些符号也是用来表 示集合与集合之间关 系的呢？
*巩固知识 典型例题
例3 设集合 ，试写出M的所有子集， 并指出其中真子集.
2
B x | x 4 0={-2，2}
所以 A=B.
*创设情景 兴趣导入
已知
提问：(1)Q和R什么关系？ (2)Q和R的特征性质有什么关系？
析
：
(1) Q R (2) “如果
x 是有理数，则 x 是实数” 是真命题 x 是有理数 x是实数
读作：“推出”
集合关系与其特征性质之间的关系