2012届高三上学期期中考试(数学文)

白鹭洲中学2012届高三上学期期中考试数学（文）试题命题人：数学备课组一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}2,1=A ,则满足{}3,2,1=B A 的集合B 的个数是 （ ）A ．1B ．3C ．4D ．82．已知函数)(x f 中，0)1(=f ，且对任意正整数x 满足x x f x f 2)()1(+=+，则=)2012(f ( )A ．20112010⨯B ．22011C ．20122011⨯D ．220123．已知等比数列}{n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差，则87109a a a a ++=( ) A ．21+B ．21-C ．223+D ．223-4．若)4sin(2cos παα-=－22，则ααsin cos +的值为（ ） A ． －27 B ．－21 C ．21 D ．27 5．已知32011sin 2012)(x x x f +=，且)1,1(-∈x ，若0)1()1(2<-+-a f a f ， 则a 的取值范围是（ ） A ．)2,0(B ．)2,1(-C ．)0,2(-D ．)2,1(6．在空间，下列命题正确的是（ ）A ．若直线a ∥平面M ，直线b ∥a ，则b ∥M ；B ．若a ∥M ，b ∥M , a ⊂平面N ，b ⊂N ，则N ∥M ；C ．若两平面P ∩Q =a ，b ⊂P , b ⊥a ，则b ⊥Q ；D ．若M ∥N ，a ⊂M ，则a ∥N ．7．已知a =++-)12(log )122(log 27，则=-++)12(log )122(log 27（ ）A ．a +1B ．a -1C ．aD ．a -8．设非空集合}{l x m x S ≤≤=满足，当S x ∈时，有S x ∈2，给出如下三个命题：①若1=m ,则}1{=S ；②若21-=m ，则141≤≤l ；③若l =21，则022≤≤-m ，其中正确命题是（ ） A ．①②③B ．①②C ．②③D ．①③9．在A B C ∆中，3,7,2AB BC AC ===，若点O 为ABC ∆的内心，则AO AC ⋅的值为( )A ．2B ．73C ．3D ．5710.已知函数20114321)(2011432x x x x x x f ++-+-+= ，试问函数()f x 在其定义域内有多少个零点？ （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．设R a ∈，若函数R x ax e y x ∈+=,有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是 .12．在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若C baa b cos 6=+，则A C tan tan +BCtan tan = . 13．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵相距3米，开始时需将树苗集中放在某一树坑旁边，现将树坑从1至20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为 .若集中放在两个树坑旁边(每坑旁10棵树苗），则最佳坑位编号又分别为 、 。

14. 已知图中（1）、（2）、（3）分别是一个立体模型的正视图、左视图、俯视图，这个立体模型由若干个棱长为1的小正方体组成，则这个立体模型的体积的所有可能值为 .（12）（3）15．下列给出的四个命题中：①在ABC ∆中，B A ∠<∠的充要条件是B A sin sin <；②在同一坐标系中，函数x y sin =的图像和函数2xy =的图像只有一个公共点； ③函数)1(x f y +=的图像与函数)1(x f y -=的图像关于直线1=x 对称；④在实数数列{}n a 中，已知|1|||,|,1||||,1|||,0123121-=-=-==-n n a a a a a a a 则4321a a a a +++的最大值为2．其中为真命题的是_____________________.（写出所有真命题的序号）．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题满分12分）已知ABC ∆的周长为)12(4+，且A C B sin 2sin sin =+．（1）求边长a 的值；（2）若A S ABC sin 3=∆，求A cos 的值. 17．（本题满分12分）已知数列}{n a 满足)(2*21N n a a a n n n ∈+=++，它的前n 项和为n S ，且,103=a 726=S .①求通项n a ， ②若3021-=n n a b ，求数列}{n b 的前n 项和的最小值.18. （本题满分12分）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图甲所示. 墩的上半部分是正四棱锥EFGH P -，下半部分是长方体EFGH ABCD -. 图乙、图丙分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图； (2)求该安全标识墩的体积； (3)证明：直线BD ⊥平面PEG . 19．（本题满分12分） 已知定义在区间]32,[ππ-上的函数)(x f y =的图象关于直线6π-=x 对称，当]32,6[ππ-∈x 时，函数)22,0,0)(sin()(πϕπωϕω<<->>+=A x A x f 的图象如图.(1)求函数)(x f y =在区间]32,[ππ-上的表达式.(2)求方程23)(=x f 的解.20.（本小题满分13分）已知定义在R 上的函数)3()(2-=ax x x f ，其中a 为常数. (1)若1=x 是函数)(x f 的一个极值点，求a 的值.(2)若函数)(x f 在区间)0,1(-上是增函数，求a 的取值范围.(3)若函数],2,0[),()()('∈+=x x f x f x g 在0=x 处取得最大值，求正数a 的取值范围. 21．（本小题满分14分）函数)0(1)(>+=x xx x f ，数列{}n a 和{}n b 满足：112a =，)(1n n a f a =+，函数)(x f y =的图像在点)))((,(*N n n f n ∈处的切线在y 轴上的截距为n b . （1）求数列{n a }的通项公式；（2）若数列2{}n n n b a a λ-的项中仅5255b a a λ-最小,求λ的取值范围；（3）若函数x x x g -=1)(，令函数,10,11)]()([)(22<<+-⋅+=x x x x g x f x h 数列{}n x 满足:10,211<<=n x x 且)(1n n x h x =+其中n N *∈.证明:2222311212231()()()n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++…21+<.白鹭洲中学2012届高三上学期期中考试数学（文）试题答题卡一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号1 2 3 4 5 6 7 8 910答案二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11． 12． 13．14． 15．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本题满分12分）17．（本题满分12分）18. （本题满分12分）19．（本题满分12分）20. （本小题满分13分）21．（本小题满分14分）白鹭洲中学2012届高三上学期期中考试数学（文）试题答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CCCCDDBADB二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．1-<a 12．4 13．，和1110 ，或651615或 14. 6或7 15．①④三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题满分12分）解 解 (1)根据正弦定理，A C B sin 2sin sin =+可化为a c b 2=+． (3)分联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++ac b c b a 2)12(4，解得4=a ． ………6分(2)A S ABC sin 3=∆ ，A A bc sin 3sin 21=∴ 6=∴bc ． ………9分又由(1)可知，24=+c b ，由余弦定理得∴3122)(2cos 22222=--+=-+=bc a bc c b bc a c b A ． ………12分 17．（本题满分12分）解：①212+++=n n n a a a }{n a ∴是等差数列. 设}{n a 的首项为,1a 公差为d ，由,103=a 726=S 得⎩⎨⎧=+=+72156,10211d a d a ， ∴⎩⎨⎧==421d a ………4分∴24-=n a n ………6分②方法一：3123021-=-=n a b n n ………7分 解得⎩⎨⎧≥-+≤-031)1(20312n n ，得231229≤≤n *N n ∈ ，15=∴n ………9分 }{n b ∴前15项为负值，15S ∴最小可知,2,291=-=d b 2252)3060(152)3115229(1515-=+-⨯=-⨯+-⨯=∴S …12分方法二：同方法一求出312-=n b n ………7分225)15(302)31229(22--=-=-+-⨯=n n n n n S n ………10分∴当15=n 时，n S 有最小值，且最小值为－225. ………12分18. （本题满分12分）解：(1)该安全标识墩侧视图如图所示………3分(2)该安全标识墩的体积20404060404031⨯⨯+⨯⨯⨯=+=--EFGH ABCD EFGH P V V V )(640003cm = …6分(3)由题设知四边形ABCD 和四边形EFGH 均为正方形. ∴FH EG ⊥又EFGH ABCD -为长方体，∴FH BD //. 设点O 是正方形EFGH 的对称中心， ∵EFGH P -是正四棱锥，∴EFGH PO 面⊥，而EFGH FH 面⊂， ∴FH PO ⊥.∵EG FH ⊥，O EG PO =⋂ PEG PO 面⊂，PEG EG 面⊂，∴PEG FH 面⊥. 而FH BD //,故PEG BD 面⊥ (12)分 19．（本题满分12分）解（1）由图象可知1=A ，因为22,0πϕπω<<->有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+πϕωππϕωπ3226，解得⎪⎩⎪⎨⎧==31πϕω , ………3分∴]32,6[ππ-∈x 时，)3sin()(π+=x x f由)(x f y =关于直线6π-=x 对称. 可求得当]6,[ππ--∈x 时，x x f sin )(-=.综上， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤ ⎝⎛--∈-=32,6,3sin 6,,sin )(πππππx x x x x f ………6分 （2）因为23)(=x f ，则在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡326-ππ，上有：33ππ=+x 或323ππ=+x∴3,021π==x x . ………9分又)(x f y =关于6π-=x 对称，∴32,343ππ-=-=x x 也是方程的解. ∴23)(=x f 的解为3,0,3,32πππ--=x ………12分20. （本小题满分13分）解：(1) )3()(2-=ax x x f ，)2(363)(2'-=-=ax x x ax x f . ∵1=x 是)(x f 的一个极值点, ∴0)1('=f , ∴2=a . ………3分(2)①当0=a 时，23)(x x f -=在区间)0,1(-上是增函数，∴0=a 符合题意. ………4分②当0≠a 时，)2(3)('a x ax x f -=,令0)('=x f 得ax x 2,021== 当0>a 时，对任意)0,1(-∈x ，恒有0)('>x f ，∴0>a 符合题意;当0<a 时，当)0,2(a x ∈时，0)('>x f ,∴12-≤a∴02<≤-a 符合题意. 综上所述，2-≥a ………8分(3) 0>a ，]2,0[,6)33()(23∈--+=x x x a ax x g .]2)1(23[36)33(23)(22'--+=--+=x a ax x a ax x g 令0)('=x g ，即(*),02)1(232=--+x a ax 显然有0442>+=∆a ，设方程(*)的两个根为21,x x .由(*)式得03221<-=ax x ，不妨设210x x <<， 当202<<x 时，)(2x g 为极小值， 所以)(x g 在]2,0[上的最大值只能为)0(g 或)2(g ………10分 当22≥x 时，由于)(x g 在]2,0[上是单调递减函数，所以最大值为)0(g ，又已知)(x g 在0=x 处取得最大值，所以)2()0(g g ≥即24200-≥a ，解得56≤a , 又因为0>a ，所以]56,0(∈a . ………13分21．（本小题满分14分） 解:(1) nn n n a a a f a +==+1)(1 ， 得111 1.n n a a +-=1{}na ∴是以2为首项，1为公差的等差数列，故1.1n a n =+ …………3分(2) )0(1)(>+=x x x x f ，2')1(1)(x x f +=∴， )(x f y =∴在点))(,(n f n 处的切线方程为21(),1(1)n y x n n n -=-++ 令0=x 得22.(1)n n b n =+2222(1)().24n n n b n n n a a λλλλλ∴-=-+=--- 仅当5n =时取得最小值， 4.5 5.5.2λ∴<< ∴λ的取值范围为(9,11). ………6分 (3) ,10,1211]11[11)]()([)(22222<<+=+-⋅-++=+-⋅+=x x x x x x x x x x x x g x f x h 所以121(1),1n n n n n n x x x x x x ++-=-⋅+ 又因01,n x << 则1.n n x x +> 显然1211.2n n x x x +>>>> …………8分12111121(1)21448222121n n n n n n n n x x x x x x x x ++-=-⋅≤⋅<=+-++-+ 211111111()112111()()()()8n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++--∴=-=--<- 222231121223112231()()()21111111[()()()]8n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++---∴+++<-+-++- (111)2111211()(2)88n n x x x ++=-=- ………12分 111,2n x +<< 1112,n x +∴<< 11021n x +∴<-< 22223112122311()()()21121(2)88n n n n n x x x x x x x x x x x x x +++---∴+++=-<… …………14分。