工程流体力学第二章静力学
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工程流体力学第2章流体静力学
① 沿任意方向 ② 沿外法线方向
有切向分力 流体受拉力
都将破坏流体平衡。
这与静止前提不符，故假设不成立，则原命题成立。
①
②
4
第2章 流体静力学
特性二、静止流体中任何一点上各个方向的静压力大小相等，与作用面方位无关。
证明：采用微元体分析法 ① 取微单元体
在静止流体中，在O点附近取出各边长分别 为dx、dy、dz的微小四面体OABC。相应坐标 轴为x、y、z。
第2章 流体静力学
流体静力学：研究流体在静止状态下的平衡规律及其应用。 静止：流体质点相对于参考系没有运动，质点之间也没有相对运动。 静止状态包括两种情况： 1、绝对静止：流体整体对地球没有相对运动。
2、相对静止：流体整体对地球有运动，但流体各质点之间没有相对运动。
举例：
绝对静止
等加速水平直线运动 等角速定轴转动
2
第2章 流体静力学
§2.1 流体静压力及其特性
1、静压力的概念
（1）静压力：静止流体作用在单位面积上的压力，称为静压力，或静压强。记作“p”
一点的静压力表示方法：
设静止流体中某一点m，围绕该点取一微小作用面积A，其上压力为P，则： 平均静压力： p P
A
m点的静压力：p lim P
单位：
A0 A
m
国际单位：Pa
物理单位：dyn/cm2
工程单位：kgf/m2
混合单位：1大气压（工程大气压） = 1kgf/cm2
（2）总压力：作用在某一面积上的总静压力，称为总压力。记作“P”
单位：N
3
第2章 流体静力学
2、静压力的两个重要特性
特性一、静压力方向永远沿着作用面内法线方向。
工程流体力学2
§2-1 流体静压强及其特性
静压强：当流体处于平衡或者相对平衡状态时， 作用在流体单位面积上的力。
p lim Fn
A 0
A
pn
特性一：
流体静压强的作用方向沿着
作用面的内法线方向。
静止流体对容器的作用一定垂直于固体壁面。
§2-1 流体静压强及其特性
特性二：
静止流体中的任一点上，来自任意方向上的静压强都是相等的。
三、流体静压强的测量和液柱式测压计
常见的测压仪器有：液柱式测压计；金属式压强计（利用
金属的变形来测量压强）；电测式仪表（将压强变化转化
为电信号的变化）等。
液柱式测压计的测量原理是以流体静力学基本方程 为依据的。
§2-3 重力场中流体的平衡
1、测压管
p pa
p p a gh
p pa
计。通常采用双U形管或三U形管测压计。
§2-3 重力场中流体的平衡
3. U形管差压计 用于测量两个容器或管 道流体中不同位置两点 的压强差。
p p A p B 2 gh 1 gh 2 1 gh 1 2 1 gh
§2-3 重力场中流体的平衡
§2-3 重力场中流体的平衡
水头：单位重量流体所具有的能量用液柱高度来表示。 静水头：位置水头和压强水头之和。
方程的几何意义：
在重力作用下，静止的不可压缩流体中各点的静水头都相等。
§2-3 重力场中流体的平衡
有自由液面的静压强公式： p0 p z z h g g
p p 0 gh
h 为任意点在自由液面下的深
度，即淹深。
流体内部的静压强包含两部分：
流体第二章1流体静力学
h
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（3）连通容器中盛有两种液体，1 2但液面上的
压强相等（ p01 p02）时，自分界而起，液面的高
度之比与液体容重成反比。
p 0 11 h 1 1 h p 0 22 h 2 1 h
1h12h2
1 h2 2 h1
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二、等压面
流体中压力相等的点所组成的面(平面或曲面) 称为等压面（p为常数）。
等压面方程为 d p0X dYxd Z ydz
等压面特性为：
1、dpdU0，U=常量，等压面与等势面重合
2、由等压面方程可知
X Y d Z d ( x X d , Y y , Z ) ( d z , d , d x ) y F z d l 0
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2、由等压面方程可知
pB p11gh1 pC p21gh22gh pB pC
p 1 p 2 1 g1 h (1 g2 h2 g)h 1 g (h 1 h 2 )2 g h (21 )g h 读 h 值
如果两球内的压强差微小，为了提高测量精 度常常把压差计的玻璃管倾斜放置，借以达到放 大压差读数提高测量精度。
因此欧拉平衡微分方程为 dp dU
积分可得： pUC
§2-3 流体静压强的基本方程
实际工程中，作用于平衡流体上的质量力只有重力 把z轴取在铅垂方向，则有：
X 0 Y 0 Z g
由欧拉平衡方程，则有
p0, p0, pg
x y z
经积分得出，压力p是 和 z 的函数，即为：
pgzC
p z C(常数） 称为水静力学基本方程
201683135重力场中流体的平衡几何意义不可压缩的重力流体处于平衡状态时静水头线或者计示静水头线为平行于基准面的水平线位置水头压强水头之和为静水头aa静水头线aa计示静水头线26水头与比势能26水头与比势能常数水静力学基本方程201683136物理意义当连续不可压缩的重力流体处于平衡状态时在流体中的任意点上单位重量流体的总势能为常数单位重量流体的位势能单位重量流体的压强势能液体静压强不仅可以用基本公式来计算而且还可以用各种仪表直接测定gh测量办法最简单
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（3）连通容器中盛有两种液体，1 2但液面上的
压强相等（ p01 p02）时，自分界而起，液面的高
度之比与液体容重成反比。
p 0 11 h 1 1 h p 0 22 h 2 1 h
1h12h2
1 h2 2 h1
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二、等压面
流体中压力相等的点所组成的面(平面或曲面) 称为等压面（p为常数）。
等压面方程为 d p0X dYxd Z ydz
等压面特性为：
1、dpdU0，U=常量，等压面与等势面重合
2、由等压面方程可知
X Y d Z d ( x X d , Y y , Z ) ( d z , d , d x ) y F z d l 0
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2、由等压面方程可知
pB p11gh1 pC p21gh22gh pB pC
p 1 p 2 1 g1 h (1 g2 h2 g)h 1 g (h 1 h 2 )2 g h (21 )g h 读 h 值
如果两球内的压强差微小，为了提高测量精 度常常把压差计的玻璃管倾斜放置，借以达到放 大压差读数提高测量精度。
因此欧拉平衡微分方程为 dp dU
积分可得： pUC
§2-3 流体静压强的基本方程
实际工程中，作用于平衡流体上的质量力只有重力 把z轴取在铅垂方向，则有：
X 0 Y 0 Z g
由欧拉平衡方程，则有
p0, p0, pg
x y z
经积分得出，压力p是 和 z 的函数，即为：
pgzC
p z C(常数） 称为水静力学基本方程
201683135重力场中流体的平衡几何意义不可压缩的重力流体处于平衡状态时静水头线或者计示静水头线为平行于基准面的水平线位置水头压强水头之和为静水头aa静水头线aa计示静水头线26水头与比势能26水头与比势能常数水静力学基本方程201683136物理意义当连续不可压缩的重力流体处于平衡状态时在流体中的任意点上单位重量流体的总势能为常数单位重量流体的位势能单位重量流体的压强势能液体静压强不仅可以用基本公式来计算而且还可以用各种仪表直接测定gh测量办法最简单
工程流体力学流体静力学
∂y 2
∂y 2
Y
−
1
ρ
∂p ∂y
=
0
流体平衡微分方程（即欧拉平衡方程）：
⎧ ⎪X ⎪
−
1
ρ
∂p ∂x
=
0
⎪ ⎨Y ⎪
−
1
ρ
∂p ∂y
=
0
⎪ ⎪Z ⎩
−
1
ρ
∂p ∂z
=
0
第二节 流体平衡微分方程
物理意义：
• 处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与 质量力分量彼此相等（大小相等，方向相反）。
第三节 流体静力学的基本方程
二、压强的表示方法 (绝对压强、相对压强和真空度）
a.绝对压强（absolute pressure）：是以绝对真空状态下的压强
（绝对零压强）为基准计量的压强，用 pabs 表示, pabs ≥ 0 。
b. 相对压强（relative pressure）：又称“表压强”，是以当地
pA = ρgh = ρgl sinα
（2）在测压管内放置轻质而又和水 互不混掺的液体，重度 (ρg)′ < (ρg) ， 则有较大的h。
第四节 压强单位和测压计
2 水银测压计与U形测压计 适用范围：用于测定管道或容器中某点流体压强，通常被测 点压强较大。
B—B等压面：
pA + ρ1gz1 = p0 + ρ2 gz2 pA = ρ2 gz2 − ρ1gz1
第五节 静止液体作用在壁面上的总压力
解：作出矩形闸门上的压强分布图：底为受压面面积，高度 是各点的压强。
4）推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一
点的压强值。
p2 = p1 + ρgΔh
工程流体力学第二章
pxdydz pnds • sin dz 0
p y dxdz
pnds
•
cos
dz
1 2
dxdydz
g
0
所以：
px pn 0
故
py
pn
1 2
dyg
0
y b
pxdy
o
px pn py pn
pnds
G x a
p y dx
得证
微元体分析法的步骤： 1 取合适的微元体 2 受力分析 3 建立方程
F pcg A ghc A
y D
y C
J cx yA
c
常见几何形状的惯性矩（表2－2）
矩形 圆型
c
l
J cx
1 12
bl 3
b
cR
J cx
1 R4
4
¼圆
xc c yc
xc
yc
4R
3
J cx
(1 4
16
9 2
R4
) 4
例2-5 设矩形闸门的宽为6米，长10米，铰链到低水面的 距离为4米。按图示方式打开该闸门，求所需要的力 R。
z
p0
o
B
z
p0
o
B
R
(a)
pg
2
2r2
R
(b)
pg
2
2(r2
R2)
例2-4 设内装水银的U型管绕过D点的铅垂线等角速度旋 转，求旋转角速度和D点的压强。设水银密度为
13600kg/m3 且不计液面变化带来的影响。
ω
关键：
10cm 5cm
1 写出所有的体积力
20c m
z
12cm 2 根据压力差公式写出压强
工程流体力学课件2说课讲解
➢平衡有两种：
一种是流体对地球无相对运动，即重力场中 的流体的绝对平衡；
一种是流体对某物体（或参考坐标系）无相 对运动，亦称流体对该物体的相对平衡。
第一节 流体静压强及其特性 一. 流体静压强的定义
plimPdP A0A dA
单位：N/m2，Pa
作用在单位面积上的力
二、流体静压强的特性
反证 法
❖ 几何意义
z --- 流体距基准面的位置高度，称为位置水头
p --- 流体在压强p 作用下沿测压管上升的高度，
g
称为压强水头
z p g
--- 静压水头（或静力水头）
流体静力学基本方程的几何意义是：在重 力作用下同一平衡流体中各点的静力水头为一 常数，相应的静力水头线为一水平线。
❖ 测压管水头的含义
• 重力液体 • 静止液体 • 同一容器（连通） • 同一介质 • 局部范围内
p0 1水 2 A
pa B
3 油4
5
6
水银
一、流体静力学基本方程
2.能量形式的静力学基本方程
pgzC
z p C
g
——不可压缩流体 的 静力学基本方程 （能量形式）
p2
p0
g
2
p1 g
对静止容器内的液体中 的1、2两点有
z2
pxpypzpn
证明思 路
取研究对象 受力分析 导出关系式 得出结论
取研究对象
取一四面体OABC，三条边相 互垂直且与坐标重合，
受力分析
质量力
fx
1 6
dxdydz
fy
1 6
dxdydz
fz
1 6
dxdydz
px
1 2
工程流体力学 第二章 流体静力学201012
Y = ω 2 r sin α = ω 2 y Z = −g
z ω
1.等压面方程 1.等压面方程
dp = ω 2 xdx + ω 2 ydy − gdz = 0
⇓ 积分
ω 2 x2
2 +
p0
o
m
h z
zs y
ω 2 y2
2
− gz = C
ω 2r 2
2
− gz = C
等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。 等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。 自由液面： 自由液面： x=0 z=0 C=0
z g p0
2
⇒
dp = ρ(Xdx +Ydy + Zdz)
dp = −ρgdz
p2
p1
1
⇒
dp dz + =0 ρg
z1
z2
积分得： 积分得：
p z+ =C ρg
o
p p z1 + 1 = z2 + 2 ρg ρg
基准面
x
2.物理意义 2.物理意义
z+ p =C ρg
总 势 能
3.几何意义 3.几何意义
o y
αr
y x ω2y ω2r
⇓
zs =
ω 2r 2
2g
x
ω2x
二、等角速旋转容器中液体的相对平衡
2. 静压强分布规律
dp = ρ (ω 2 xdx + ω 2 ydy − gdz )
z ω
⇓ 积分
p = ρ(
ω 2x2
2
+
ω 2 y2
2
− gz ) + C
p = ρg (
ω 2r 2
z ω
1.等压面方程 1.等压面方程
dp = ω 2 xdx + ω 2 ydy − gdz = 0
⇓ 积分
ω 2 x2
2 +
p0
o
m
h z
zs y
ω 2 y2
2
− gz = C
ω 2r 2
2
− gz = C
等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。 等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。 自由液面： 自由液面： x=0 z=0 C=0
z g p0
2
⇒
dp = ρ(Xdx +Ydy + Zdz)
dp = −ρgdz
p2
p1
1
⇒
dp dz + =0 ρg
z1
z2
积分得： 积分得：
p z+ =C ρg
o
p p z1 + 1 = z2 + 2 ρg ρg
基准面
x
2.物理意义 2.物理意义
z+ p =C ρg
总 势 能
3.几何意义 3.几何意义
o y
αr
y x ω2y ω2r
⇓
zs =
ω 2r 2
2g
x
ω2x
二、等角速旋转容器中液体的相对平衡
2. 静压强分布规律
dp = ρ (ω 2 xdx + ω 2 ydy − gdz )
z ω
⇓ 积分
p = ρ(
ω 2x2
2
+
ω 2 y2
2
− gz ) + C
p = ρg (
ω 2r 2
第二章 流体静力学
所以表面abcd的总压力为：( p
p dx )dxdy x 2
同理面aˊbˊcˊd ˊ的总压
p dx 力为： (p )dydz x 2
z
微团在X轴方向的表面
力和为：
(p p dx p dx )dydz ( p )dydz x 2 x 2
p
p dx x 2
位质量流体受到的质量力在水平面x轴和y轴的投影为零， 铅直方向z轴的投影为重力加速度g，根据
则有
dp g dz
dp ( f x dx f y dy f z dz)
积分得
p zc g
液体静止的基本方程
式中：g在本书中取值9.807m/s2；
z为测压处相对于边界条件(基准面)的高差。 c为常数，大小由边界条件确定。
若一个函数W(x,y,z)使质量力的投影等于这个函数的偏
导数，即
W fx x
fy
W y
fz
W z
则称函数W(x,y,z)为质量力势函数。 一个存在质量力势函数的力场，称为有势力场，相应的
质量力称为有势质量力，简称有势力。
等压面性质： • 等压面就是等势面； • 等压面与质量力垂直； •两种互不掺混液体的分界面也是等压面。
等压面:在静止流体内，由静压力相等的各点组成的面
自由面：静止液体和气体接触的面
水平面既是等压面也是自由面
液体静压强分布规律只适用静止、同种、连续液体
同一容器或同一连通器盛有多种不同密度的液体时，关键是找到等 压面
§2-4
液体的相对静止
辩证唯物主义:
①运动是普遍的、永恒的和无条件的，因而是绝
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• 倾斜管微压计
pa
p
L
1
A Θ
h2
2
h1
0
0 ρ
s
• 双杯式微压计（测量压差）
p2 Δh p1
D
Δh
D
油 ρ1 h h0
N
N
ρ
2
水
d
微压计的放大效果为11mm→100mm，放大效果显著。
§2-5 液体的相对平衡
★ 研究特点：建立动坐标系
一、液体随容器作等加速直线运动 建立如图所示动坐标系，则 f x a f y 0 f z -g 1.压强分布 p pa ( ax gz ) 2.等压面方程 p pa ax gz c (斜平面)
p --- 压强势能，简称压能 g p z --- 总势能 g
y
A Z
x
z
p C g
流体静力学基本方程的能量意义是：在重力作用 下平衡流体中各点的单位重量流体所具有的总势 能（包括位能和压能）是相等的，即势能守恒。
几何意义 z --- 流体距基准面的位置高度，称为位置水头
p --- 流体在压强p 作用下沿测压管上升的高度， g 称为压强水头 p z --- 静压水头（或静力水头） g
流体力学电子教案
第2章 流体静力学
★特点：τ=0 ★重点掌握：
p（压强）
概念及特性 p p0 gh 的意义 p p0 gh 的应用
P（压力）的计算
平衡有两种：
一种是流体对地球无相对运动，即重力场中 的流体的绝对平衡；如盛装在固定不动容器 中的液体。 一种是流体对某物体（或参考坐标系）无相 对运动，亦称流体对该物体的相对平衡。例 如盛装在作等加速直线运动和作等角速度旋 转运动的容器内的液体。
A
B
C
D F
E
§2-1 平衡流体中的应力特征
特征2（大小性）：平衡流体内任一点的压强 p与作用方位无关,即p =f(x,y,z)。
p x p y p z pn
证明思路： 取研究对象 受力分析 根据相关定理定律写出等式 得出结论
§2-1 平衡流体中的应力特征
证明 取研究对象
§2-1 平衡流体中的应力特征
(水平面 )
1.压强形式的静力学基本方程
在重力场中： f x 0 ,
f y 0,
f z g
dp ( f x dx f y dy f z dz ) ( g )dz gdz
积分得
p gz C
p p0 g ( z0 z )
1.压强形式的静力学基本方程
§2-2 流体平衡微分方程
流体平衡微分方程推导
z
dz
1 p p dx 2 x
y
A
C
B
dx
dy x
p
1 p dx 2 x
§2-2 流体平衡微分方程
欧拉平衡微分方程或流体平衡微分方程（1775 年由瑞士学者欧拉首先提出）
1 p fx 0 x 1 p fy 0 y 1 p fz 0 z
f z g p 整理得 z C g
——不可压缩流体的 静力学基本方程（能量形式）
f y 0,
p2 g
p0 2
p1 g
对静止容器内的液体中的 1、2两点有
z2
0
1
z1
0
p1 p2 z1 z2 C g g
z
3.静力学基本方程的物理意义
能量意义
p0
单位重量流体 z --- 位置势能，简称位能
压强分布图
A
pa
A
B
Pa+ρgh
B
pa
A
B
pa+ρg2R
§2-4 液体压强的量测
三.压强的度量单位
应力单位 N/m2（Pa），kN/m2（kPa） 液柱高单位 工程大气压单位
1个标准大气压（atm）=1.01325×105 Pa =760 mmHg 1个工程大气压（at）= 1kgf/cm2 = 98×103 Pa
§2-2 流体平衡微分方程
欧拉平衡微分方程积分式（物理意义的理解）
前三式分乘dx，dy，dz，再相加，得
p p p ( f x dx f y dy f z dz ) ( dx dy dz ) 0 x y z
＝dU
＝dp
令U＝U（x,y,z）， U 称为质量力的势函数，如重力、惯性力。 积分得
连通器原理
连通容器
连通容器
连通器被隔断
水平面是等压面的条件： • 重力液体 • 静止液体 • 同一容器（连通） • 同一介质 • 局部范围内
p0 1 水 2 A B 3
pa 油4
5 水银
6
§2-3 重力作用下流体静压强 的分布规律
2.能量形式的静力学基本方程
在重力场中： 得
fx 0,
p gz C
B ρ
B
B ρA A hA hp 1 （b） 2 ρp
若A、B处为同种液体，且同 高，即hA＝hB+h ，得
hB
p A pB ( p ) gh
p A pB 若为水与水银： 12.6h g
• 复式压力计（多管测压计）
ρ
若球形容器内是气体，U 形 管上端也充以气体，则
A h3 ρ ρ
其常用于理论计算；
米水柱（mH2O），（mmHg） 其常用于实验室计量；
大气压与大气压强
10mH 2O 736mmHg
【例】 已知▽1＝9m，▽2＝8m，▽3＝7m，▽4＝10m， 大气压强为1at，求1、2、3、4各点的绝对压强、相对压 强（以液柱高表示）及M2、M4两个压强表的表 压强或真空读数。
水
p A gh1 pa gh2
A
水
故A点的真空压强为 pv pa p A g (h2 h1 )
1000 9.8 (2 1) 9800Pa
h1
§2-4 液体压强的量测
二.压强分布图的绘制
1.绘制液体静压强分布图的知识点 流体静力学基本方程 静止流体中的应力特征（大小性、方向性） 2.液体静压强分布图的绘制方法
z 的 ，所以
叫测压管水头。
p
pB /
zB
O O
敞口容器和封口容器接上测压管后的情况如图
§2-4 液体压强的量测
一.压强的度量标准
绝对压强p‘ ★ 绝对压强不可为负 相对压强（计示压强、表压强）p ★ p= p' – pa ★ 相对压强可正可负 真空压强（真空值）pv ★ pv =-p= -(p' - pa)= pa - p' ★ 真空压强恒为正值
h A
pA pa gh
pA gh
B 空气
ρ
• 真空计或倒式测压管
p B gh pa pvB gh pB
当测压管所测压强大于2mH2O时， 不便使用。
h
ρ
• U形测压管
p A gh1 pa p gh2
ρ A 1
p A pa p gh2 gh1
【解】
§2-4 液体压强的量测
四、测压仪器
金属式 金属式测压仪安装方便、易读数、量程较大， 但精度不高，工程当中常用。 电测式 电测式测压仪便于远距离测量及动态测量。 液柱式 液柱式测压仪构造简单，方便可靠，测量精度高， 但量程小，一般用于低压实验场所。
液柱式测压仪表如下： • 测压管
§2-2 流体平衡微分方程
（1）欧拉平衡微分方程式适用于任何种类的平衡流体。 （2）欧拉平衡微分方程说明了微元平衡流体的质量力和 表面力无论在任何方向上都应该保持平衡，即：平衡流体 在哪个方向上有质量分力，则流体静压强沿该方向必然发 生变化；反之平衡流体在哪个方向上没有质量分力，则流 体静压强在该方向上必然保持不变。 （3）假如可以忽略流体的质量力，则这种流体中的流体 静压强必然处处相等。
h
p h
a
g
a
自由液面方程：
a z0 x g
§2-5 液体的相对平衡
3.与绝对静止情况比较 压强分布 绝对静止： p pa gz f ( z ) 相对静止：
a p pa g( x z ) f ( x , z ) g
等压面 绝对静止： 相对静止：
z c
p0 z h z0 z 0(y) x
p p0 g ( z0 z ) p0 gh
2.压强形式的方程的推论
p p0 gh
帕斯卡定律 平衡流体中，自由表面处压强p0的任何变化都会 等值地传递到液体中的任意一点上。
流体静压强分布 静止液体中，任一点的压强值与其所处的深度h成 正比。因此，压强与液体深度为线性函数关系。 气体压强的计算 由于气体的密度很小，在高差不很大时气柱产生 的压强很小，可以忽略，则p＝p0（即小范围内，气体 压强处处相等）。
证明 受力分析
质量力
1 f x dxdydz 6
表面力
1 p x dydz 0 0 pn An cos( n, x） 2
§2-1 平衡流体中的应力特征
证明 导出关系式
F
x
0
得出结论
p x p y p z pn
§2-1 平衡流体中的应力特征
压强在流体运动、流体与固体相互作用中扮演重要 角色，如机翼升力、高尔夫球及汽车的尾流阻力都 与压强有关，龙卷风产生强大的负压强作用，液压 泵和压缩机推动流体做功是正压强作用的结果。然 而，压强在静止流体、相对静止流体及粘性运动流 体中的压强分布规律将明显不h1 ) g