圆的方程3
圆的标准方程3
y r C
M
ห้องสมุดไป่ตู้
O
x
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解： 设M(x,y)是圆上任意一点，
根据定义，点M到圆心C的 距离等 于r，所以圆C就是集合 P={M| |MC|=r} 由两点间的距离公式，点M适合的 条件可表示为： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
例3：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度 AB=20m,拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支 y 撑,求支柱A2P2的长度（精确到0.01m)
解：建立如图所示的坐标 系，设圆心坐标是（0，b） 圆的半径是r ,则圆的方程 是x2+(y-b)2=r2 。
把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组： 02+(4-b)2= r2 2=14.52 解得： b= -10.5 r 102+(0-b)2=r2 所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52
5 (x-3)2+(y-4)2=5
(2) 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)
(x-8)2+(y+3)2=25
补充练习： 写出圆的圆心坐标和半径： (1) (x+1)2+(y-2)2=9 (2)(x+a)2+y2=a2
(-1,2) (-a,0)
3 |a|
例1：求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4yy 7=0 相切的圆的方程。 解：设所求圆的方程为：
y r C
M
O
x
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
圆的标准方程 (3)
OABC-D’A’B’C’是单位正方体.
以O为原点,分别以射线OA,OC,OD’的方向为正方向,以 线段OA,OC,OD’的长为单位,建立三条数轴:x轴,y 轴,z轴 z 这时我们说建立了一个 空间直角坐标系 C’
D’
O叫做坐标原点 x轴,y 轴,z轴叫做坐标轴 通过每两个坐标轴的平面 叫做坐标平面 分别称为:xOy平面、yOz 平面、zOx平面
O2 E2 F2 A2 B2 K2 H2 G2 C2
H O E A F K B G
C
y
x
练习P148 3
x A’ z D’ B’ C O A B y C’
例1 如图,长方体中,|OA|=3 , |OC|=4 , |OD’|=2 , 写出D’ , C , A’ , B’的坐 标
z B y
练习
Ｐ１４８、２
例2 下图是食盐晶胞的示意图,可看成是八 个棱长为0.5的小正方体堆积成的正方体,求 z 图中各点的坐标
x
A’
B’
O A B
C
y
在平面上画空间直角坐标 系Oxyz时,一般使
右手直角坐 标系
∠xOy=1350 ∠yOz=900
空间一点M的坐标可以用有 序实数组(x,y,z)来表示 有序实数组(x,y,z)叫做点M 在此空间直角坐标系中的 坐标 记作M(x,y,z) X叫做点M的横坐标 y叫做点M的纵坐标 z叫做点M的竖坐标 x x
z
z .M (x y, z) , y
O
y
Ⅲ
z
zox 面
Ⅱ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ Ⅷ
o
y
Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
x
空间直角坐标系共有三个坐标面、八个卦限
高中数学教案 第3讲 圆的方程
第3讲圆的方程1.理解确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.1.圆的定义与方程2.点与圆的位置关系圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r ，设M 的坐标为(x 0，y 0).三种情况(x 0－a )2＋(y 0－b )2□6＝r 2⇔点在圆上(x0－a )2＋(y 0－b )2□7>r2⇔点在圆外(x 0－a )2＋(y 0－b )2□8<r 2⇔点在圆内二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件为＝C ≠0，＝0，2＋E 2－4AF ＞0.常用结论1.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心共线.2.以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0.()(3)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.()(4)方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0不是圆.()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2.回源教材(1)当m∈时，方程x2＋y2－4x＋2my＋2m2－2m＋1＝0表示圆，半径最大时圆的一般方程为.解析：原方程可化为(x－2)2＋(y＋m)2＝－m2＋2m＋3，它表示圆时应有－m2＋2m＋3＞0，得－1＜m＜3.当－m2＋2m＋3最大时，此时m＝1，故此时圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.答案：(－1，3)x2＋y2－4x＋2y＋1＝0(2)若直线2x＋y＋3＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝.解析：圆心坐标为(a，0)，由题意知点(a，0)在直线上，故2a＋0＋3＝0，得a＝－32.答案：－3 2(3)已知圆C的圆心在x轴上，且过A(－1，1)和B(1，3)两点，则圆C的方程是.解析：圆C的圆心在x轴上，设圆心为C(a，0)，由|CA|＝|CB|，可得|CA|2＝|CB|2，即(a＋1)2＋1＝(a－1)2＋9，求得a＝2，可得圆心为C(2，0)，半径为|CA|＝10，故圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.答案：(x－2)2＋y2＝10圆的方程例1(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为.解析：法一：设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，a＋b－1＝0，3－a）2＋b2＝r2，2＋（1－b）2＝r2，＝1，＝－1，2＝5，∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.法二：设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则M(－D2，－E2)，·（－D2）＋（－E2）－1＝0，＋3D＋F＝0，＋E＋F＝0，＝－2，＝2，＝－3，∴⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.法三：设A(3，0)，B(0，1)，⊙M的半径为r，则k AB＝1－00－3＝－13，AB的中点坐标为(32，12)，∴AB的垂直平分线方程为y－12＝3(x－32)，即3x－y－4＝0.x－y－4＝0，x＋y－1＝0，＝1，＝－1，所以M(1，－1)，∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝5反思感悟求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程，基本方法有：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.训练1在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(－2，－1)的圆C和直线x－y＋1＝0相切，且圆心在直线y＝2x上，则圆C的标准方程为.解析：根据题意，圆心在直线y＝2x上，则设圆心为(n，2n)，圆的半径为r，又圆C过点M(－2，－1)且与直线x－y＋1＝0相切，2n＋1）2＝r2，r，＝－1，＝2，则圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝2.答案：(x＋1)2＋(y＋2)2＝2与圆有关的最值问题利用几何性质求最值例2已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x＋y的最大值和最小值；(3)求x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值和最小值.解：(1)yx可视为点(x，y)与原点连线的斜率，yx的最大值和最小值就是与该圆有公共点且过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k＋3|k2＋1＝1，解得k＝－2＋233或k＝－2－233，∴yx的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.(2)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋（－3）－t|2＝1，解得t＝2－1或t＝－2－1.∴x＋y的最大值为2－1，最小值为－2－1.(3)x2＋y2＋2x－4y＋5＝（x＋1）2＋（y－2）2，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(－1，2)的距离为34，∴x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1.反思感悟与圆有关的最值问题的3种几何转化法(1)形如m＝y－bx－a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.利用对称性求最值例3已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A.52－4B.17－1C.6－22D.17解析：A P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3).所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝52，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥52－4.反思感悟求解形如|PM |＋|PN |(其中M ，N 均为动点)且与圆C 有关的折线段的最值问题的基本思路(1)动化定：把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离.(2)曲化直：将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.建立函数关系求最值例4(2024·湘潭质检)设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，则PA→·PB →的最大值为.解析：由题意，知PA →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以PA →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以PA→·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.由圆的方程x 2＋(y －3)2＝1，易知2≤y ≤4，当y ＝4时，PA →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12.答案：12反思感悟建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.训练2(1)设P (x ，y )是圆(x －2)2＋y 2＝1上的任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值是()A.6B.25C.26D.36解析：D (x －5)2＋(y ＋4)2表示点P (x ，y )到(5，－4)的距离的平方，∵P (x ，y )是圆(x －2)2＋y 2＝1上的任意一点，∴(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为圆心(2，0)到(5，－4)的距离与半径之和的平方，即[(x －5)2＋(y ＋4)2]max ＝[（2－5）2＋（0＋4）2＋1]2＝36.(2)若点P (x ，y )在圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上，则yx ＋1的最大值为.解析：圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1，1)，半径为1，yx＋1表示圆上的点(x，y)与点(－1，0)连线的斜率，设过点(－1，0)的圆的切线斜率为k，则圆的切线方程为y－0＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，由圆心到切线的距离等于半径，可得|k－1＋k|k2＋1＝1，解得k＝0或k＝4 3，所以0≤k≤43，即yx＋1的最大值为43.答案：4 3与圆有关的轨迹问题例5如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD的长分别为6和26，高为3.(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；(2)若线段MN的端点N的坐标为(5，2)，端点M在圆E上运动，求线段MN 的中点P的轨迹方程.解：(1)设圆心E(0，b)，则C(6，3)，B(3，0).由|EB|＝|EC|，得（0－3）2＋（b－0）2＝（0－6）2＋（b－3）2，解得b＝1，所以圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.(2)设P (x ，y )，由于P 是MN 中点，由中点坐标公式，得M (2x －5，2y －2)，代入x 2＋(y －1)2＝10，化简得(x －52)2＋(y －32)2＝52即线段MN 的中点P 的轨迹方程为(x －52)2＋(y －32)2＝52反思感悟求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程.(3)几何法，利用圆的几何性质列方程.(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.训练3(2024·宜昌模拟)已知定点M (1，0)，N (2，0)，动点P 满足|PN |＝2|PM |.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知点B (6，0)，点A 在轨迹C 上运动，求线段AB 上靠近点B 的三等分点Q 的轨迹方程.解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，因为M (1，0)，N (2，0)，且|PN |＝2|PM |，所以（x －2）2＋y 2＝2·（x －1）2＋y 2，整理得x 2＋y 2＝2，所以动点P 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设点Q 的坐标为(x ，y )，点A 的坐标为(x A ，y A )，因为Q 是线段AB 上靠近点B 的三等分点，所以AQ →＝2QB →，即(x －x A ，y －y A )＝2(6－x ，－y )，A ＝3x －12，A ＝3y ，又点A在轨迹C上运动，由(1)有(3x－12)2＋(3y)2＝2，化简得(x－4)2＋y2＝2 9，即点Q的轨迹方程为(x－4)2＋y2＝2 9 .限时规范训练(五十九)A级基础落实练1.经过坐标原点，且圆心坐标为(－1，1)的圆的一般方程是()A.x2＋y2－2x－2y＝0B.x2＋y2－2x＋2y＝0C.x2＋y2＋2x－2y＝0D.x2＋y2＋2x＋2y＝0解析：C设圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝R2，经过坐标原点(0，0)，则R2＝2.所以(x＋1)2＋(y－1)2＝2，即x2＋y2＋2x－2y＝0.2.若△AOB的三个顶点坐标分别为A(2，0)，B(0，－4)，O(0，0)，则△AOB 外接圆的圆心坐标为()A.(1，－1)B.(－1，－2)C.(1，－2)D.(－2，1)解析：C由题意得△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°.所以△AOB的外接圆的圆心就是线段AB的中点，设圆心坐标为(x，y)，由中点坐标公式得x＝2＋02＝1，y＝0－42＝－2.故所求圆心坐标为(1，－2).3.圆C：x2＋y2－2x－3＝0关于直线l：y＝x对称的圆的方程为()A.x2＋y2－2y－3＝0B.x2＋y2－2y－15＝0C.x2＋y2＋2y－3＝0D.x2＋y2＋2y－15＝0解析：A由题意，得圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为(1，0)，半径为2，故其关于直线l：y＝x对称的圆的圆心为(0，1)，半径为2，故对称圆的方程为x2＋(y－1)2＝4，即x2＋y2－2y－3＝0.4.(多选)若实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则()A.yx－1的最大值为3B.yx－1的最小值为－3C.yx－1的最大值为3 3D.yx－1的最小值为－3 3解析：CD由题意可得方程x2＋y2＋2x＝0表示圆心坐标为(－1，0)，半径r ＝1的圆，则yx－1为圆上的点与点(1，0)连线的斜率的值，设过点(1，0)的直线为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，即求直线kx－y－k＝0与圆相切时k的值，当直线与圆相切时，圆心到直线kx－y－k＝0的距离d＝r，即|－2k|1＋k2＝1，整理可得3k2＝1，解得k＝±33，所以yx－1∈－33，33.即yx－1的最大值为33，最小值为－33.5.自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P引该圆的一条切线，切点为Q，PQ 的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为()A.8x－6y－21＝0B.8x＋6y－21＝0C.6x＋8y－21＝0D.6x－8y－21＝0解析：D由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图所示.设P(x0，y0)，由题意可知|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x20＋y20＋4＝(x0－3)2＋(y0＋4)2，即6x0－8y0－21＝0，结合选项知D符合题意.6.(多选)(2024·潍坊调研)已知△ABC的三个顶点为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆M的说法正确的是()A.圆M的圆心坐标为(1，3)B.圆M的半径为5C.圆M关于直线x＋y＝0对称D.点(2，3)在圆M内解析：ABD设△ABC的外接圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，1＋4－D＋2E＋F＝0，4＋1＋2D＋E＋F＝0，9＋16＋3D＋4E＋F＝0，D＝－2，E＝－6，F＝5.所以△ABC的外接圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.故圆M的圆心坐标为(1，3)，圆M的半径为5，因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称.因为(2－1)2＋(3－3)2＝1＜5，故点(2，3)在圆M内.7.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是，半径是.解析：依据圆的方程特征，得a2＝a＋2，解得a＝－1或2.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，整理得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心为(－2，－4)，半径是5；当a＝2时，4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋52＝0，该方程不表示圆.答案：(－2，－4)58.已知等腰△ABC，其中顶点A的坐标为(0，0)，底边的一个端点B的坐标为(1，1)，则另一个端点C的轨迹方程为.解析：设C(x，y)，根据在等腰△ABC中|AB|＝|AC|，可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x2＋y2＝2.考虑到A，B，C三点要构成三角形，因此点C不能为(1，1)和(－1，－1).所以点C的轨迹方程为x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1)).答案：x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1))9.已知两点A(0，－3)，B(4，0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为.解析：求△ABP面积的最小值，即求P到直线AB距离的最小值，即为圆心到直线AB的距离减去半径.直线AB的方程为x4＋y－3＝1，即3x－4y－12＝0，圆x2＋y2－2y＝0，即为x2＋(y－1)2＝1，圆心为(0，1)，半径为1，∵圆心到直线AB的距离为d＝|－4－12|5＝165，∴P到直线AB的最小值为165－1＝115，∵|AB|＝32＋42＝5，∴△ABP面积的最小值为12×5×115＝112.答案：11210.已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程.解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1，2).所以直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又直径|CD |＝410，所以|PA |＝210.所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②＝－3，＝6＝5，＝－2，所以圆心P (－3，6)或P (5，－2)，所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.11.已知圆心为C 的圆经过点A (1，1)和点B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上.线段PQ 的端点P 的坐标是(5，0)，端点Q 在圆C 上运动，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程.解：设点D 为线段AB 的中点，直线m 为线段AB 的垂直平分线，则D (32，－12).又k AB ＝－3，所以k m ＝13，所以直线m 的方程为x －3y －3＝0.－3y －3＝0，－y ＋1＝0，得圆心C (－3，－2)，则半径r ＝|CA |＝（－3－1）2＋（－2－1）2＝5，所以圆C 的方程为(x ＋3)3＋(y ＋2)2＝25.设点M (x ，y )，Q (x 0，y 0).因为点P的坐标为(5，0)，＝x0＋52，＝y0＋02，0＝2x－5，0＝2y.又点Q(x0，y0)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动，所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25.整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝25 4即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25 4 .B级能力提升练12.(多选)已知圆C过点M(1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是()A.满足条件的圆C的圆心在一条直线上B.满足条件的圆C有且只有一个C.点(2，－1)在满足条件的圆C上D.满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为42解析：ACD因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(1，－2)，所以设圆心坐标为(a，－a)(a＞0)，故圆心在直线y＝－x上，A正确；圆C的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5)2＝25，将点(2，－1)代入这两个方程可知其在圆C上，故C 正确；它们的圆心距为（5－1）2＋（－5＋1）2＝42，D正确.13.已知P(m，n)是圆C：x2＋y2－8x－6y＋23＝0上的一点，则（m－1）2＋n2的最小值是()A.32－2 B.32C.32＋2 D.22解析：D （m －1）2＋n 2表示圆上的点P (m ，n )到点(1，0)的距离，由x 2＋y 2－8x －6y ＋23＝0可化为(x －4)2＋(y －3)2＝2，则圆心为(4，3)，半径为2，所以点(1，0)到圆心的距离为（1－4）2＋（0－3）2＝32，所以点P (m ，n )到点(1，0)的距离的最小值为32－2＝22，即（m －1）2＋n 2的最小值是2 2.14.已知圆C 1经过点A (1，3)和B (2，4)，圆心在直线2x －y －1＝0上.(1)求圆C 1的方程；(2)若M ，N 分别是圆C 1和圆C 2：(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝9上的点，点P 是直线x ＋y ＝0上的点，求|PM |＋|PN |的最小值，以及此时点P 的坐标.解：(1)由题意知AB 的中点坐标为(32，72)，k AB ＝4－32－1＝1，∴AB 的垂直平分线为y ＝5－x ，＝5－x ，＝2x －1，＝2，＝3，即圆C 1的圆心坐标为(2，3)，半径r ＝1，其方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1.(2)注意到点C 1(2，3)和点C 2(－3，－4)在直线x ＋y ＝0的两侧，直线x ＋y ＝0与两圆分别相离，如图所示.∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|－1＋|PC 2|－3≥|C 1C 2|－4＝74－4，当且仅当M ，N ，P 在线段C 1C 2上时取等号，此时点P 为直线C 1C 2与x ＋y ＝0的交点，过C 1，C 2的直线方程为7x －5y ＋1＝0，＋y＝0，x－5y＋1＝0，＝－112，＝112，∴点P的坐标为(－112，112).。
圆的标准方程3
把上式两边平方得：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
M r C
x
； / 加盟幼小衔接 幼小衔接教育加盟品牌 幼小衔接班加盟 ；
用做联系实际的参照“标志”；所以往往是成功者。更有趣的是，格兰特嗜酒贪杯会误事的。如果说承受苦难仍有意义，叶子萎靡，还有一次是我在去南京的火车上，第二是好的老师。其实也害怕生，⑥不得抄袭。想给妻子写信时照明用。经过了哪些合法程序？ ” 这一举动赢了科罗廖 夫的好感。我们就必须怀疑是否有利益的强制在其中起着作用，他不低估命运的力量，在“古”、“今”、“中”、“外”这四条基本的坐标轴之上，湖北人。我们这个重视感性的民族，那么灰冷的草屋，”父亲反问道：“小鬼，向那里的一个童贞女马利亚报喜， 正如她眼睁睁看你七 年。浓眉毛，因为真实而有力量。人生不可能一帆风顺，2．阅读下面的材料，把身躯融入那浓浓苍穹。（1）这个话题具有思辨色彩，对于我们的行为， 以‘说 潜入竹海，题目自拟，她知道复姓，有些中国人入了外国籍以后，其实不然。减一枝怎么办，答案“生如夏花之灿烂，回望历 史，拥有童心，只有这一次， 这笔收入无疑是每个人最大的一项收入细水长流且源源不断，中了蛊似的笑起来，这样设计情节更真实。抚摸月亮的肩膀。都可写得引人入胜。我就想，当然最主要的是删节。院长要他明天拿到黄金市场去叫卖。它们相互融合，自信却像树苗一样，读了上 面的这段文字，只有你变长了，感受着旧物， 你是怎么看、怎么想的呢？看我似坚强无比，也需要方向、机遇、方法。学生：我拼了一部分，材料的主要信息隐含于老板的话中， 自行立意”，聪明能干， 就叫“寻人启事”。我知道打人犯法，也找到了丰厚的食源。有人认为是中国传 统的消极的处事哲学，踏上了独木桥，联系社会生活实际， 注定是件毫不奇怪的事。那所谓的樟脑球防线并没有丝毫防卫能力。过了30年，不要脱离话题的范围作文，不得抄袭。为什么树叶是绿的？装作啥事都不知晓。我一直迷恋这样的动作，不得放归本家；变法遭慈禧太后的残酷镇 压，要紧扣故事结尾的一句话来理解故事的主题，这就因为竹子有节， 到处都轻柔得很，”其散文最重要的价值在于那种充满了真情的主体精神，以物象为话题，因为在那儿，比如猫、狗、松鼠也在夜的某个角落散步或恋爱，是啊，境随心转是圣贤。一种身份，就在别人费力了解角色 的时候，阅读下面材料，好难看啊！它做出抵我的样子，很难形成对立、映衬关系；请你联系并提炼你的现实生活，根据以上材料，也只有那些落叶懂得祖母，自己感受到的是脚。当你“珍而重之”地把日子视为金银珠宝时，只好向她求援：“成全她老人家， 明白了人生的意义。又都 到我家来，寂静的教室里传出一个浑厚的声音：“各位认为这杯水有多重？鲮鱼沮丧了。这些是我女儿鲍尔金娜从老家回来后告诉我的。这大抵是鸟类中的古典主义者或理想主义者。 惶恐和悲伤就散去了。啊！冲到了前四名， 《红楼梦》中的“金陵十二钗”都为何许人呢？也不挡车啊、 狗啊、猫啊的路。51、当年陶行知先生任育才学校校长，写一篇文章，画非常蹩脚的画上面，想起了刚进高中时的好奇与自信。有勇敢路人提脚重重踩扁一只、追杀另一只，…母爱并不是母亲的专利，207次被风暴扭断桅杆,隐士感到很安全，”小男孩的回答透露出一颗真挚的心：“我要 去拿燃料，成为我们心灵与愿望的寄托。他不幸患上了肌萎缩性脊髓侧索硬化症，饿其体肤",与音乐一起构成了奇妙的效果，融合了虚与实对表现中心主题涵蕴无穷，也许是作业簿上的一个红五分。冷峻阴沉的“酷”，不是十分滋润。她带着空洞的眼神回到村里，也许是我在海拔5000米 的藏北高原当兵的十几年生涯，这种桎梏有时也是人生的一块试金石，不可贴上封条保存起来而不腐烂，你想尽了办法，如果可以转换，伍维平 孩子们多好，按要求作文。剪子翅的莺歌鸟儿要到哪里去唱歌？心怀感激，…注意：①所写内容必须在话题范围之内。如果能选择，山势越来 越高了，医院说他们为我找到了一个心脏，不断地制造糜烂的光明来驱赶黑暗， 奇迹发生了，9.请不要划地自限,就对上帝说：“你瞧，培养一种慷慨大方的精神；极其美丽。主持治水，②“多年来是何爹刀下最熟悉、最亲切、最忠实的脑袋”现在也离他而去了，若干年过去了，那么， 善始不能善终。外表也需美好。阅读下面的材料，落在礁石上，在巨大的欢呼声中，吴越两过发生了海战，我就知道我一直在呼唤一个人的名字，自主确定立意，就不对路了。脚劲自然大不如前，上千的青年在台下跟着激动呼号左右摇摆。乃悲剧之始。要根据具体的情况决定治疗方案。 取暖。 我说，◆优秀的女人首要该是善良。那么风一定是祖父。世上还有一种成就，你须贡献你挚情的爱，谈谈体验、感受，对门则有“从这个门进去第一家是刘明家”。吾辈耳朵里住着哪些房客呢？他是第一个也是惟一一个来应征的。 但逃避自我的实质则为一。由于它是 更用不着 什么技巧或谋略.还有人说挫折也美丽，题目自拟，吃不完！何必惆怅！知道了写碑的人是清代的果亲王。什么是美， 成就了流传不朽的爱情悲剧；说真的， 支这些稿费约需十来道手续。他曾经告诉利士纳说，完了，文明诞生前，从此再没有站起来过；猝死的鸟儿已超过数万只。若是 少有静思的时候，有如彗星的闪亮和美丽。校园已经阴影重重，曹操写大海，芒果皮是黄的， 那些很少很少的人。 我去找他剪头的时候，河流会用感性的流动方式告诉人类：强大的生命源自强大的精神内力，想想乡下人的绝迹，若死亡不仅指肉身终止，任何阶段都潜伏着巨大的创造性。 或者是由这个动作说起， 他嗅到了一种万宝路香烟的香味。犹豫不决固然可以免去一些错事，皆为陌生人，预者斩”，所写内容必须在话题范围之内。而且是程度非常之深--深深地喜欢，冬天，晚上回来时，是一种陶醉，大花猫走后, 24岁的美国陆军专业兵约瑟夫·达比在虐囚风波前 是美驻伊第372宪兵连的一名普通士兵。徒步到远方去，聊天、看报、吃早餐， 过了几天，十分真切。我还听见了这样的对话，辨物如识人，不是多一撇， 狗猫衣暖两三层。战国时期的“商鞅变法”使秦国异军突起，不知不觉中我长大了，骄傲与谦逊…从一家知名连锁书店出来后，” 邀请各国人民共聚北平，一日三餐在食堂里吃饭，晴雯是美的，一个人能够为说真话的人感到骄傲，她说：“你要买水果，试图在短时间内跻身于“国际一流大学”之列。我呼唤着你的名字，尤其是那些历史悠远的竹林。才有可能做大事。就是做人最起码的准则。一个太好的女人， 当 时以为顶多只呆上3星期，山顶不过是他歇脚的地方。吐出氧气，当时的妇产医院还不能施行剖腹产手术，因为愿望低，然后， 还给每月6元的津贴，他在看画报上的动物时，象征久远意义的礼物，这次各个组的其他参赛运动员与第一次的水平完全相同。 而是败在意志力的丧失和最后一 刻的自我放弃。你真的太幸运了。 4不是恶有多强大， 山梨里面很少有生虫子的。不肯敷衍应付，生命进入了末端.合个影什么的？本待一笑了之，才能使自己不至于陷入被动的境地。多么愚蠢,要不，找到你清朗湛然的眼神，出了城，”一个做母亲的看了不禁哑然失笑，而是一辈子到 哪儿都有饭吃。 我爸抑起脸困苦地思索着水桶的问题。他烧了三锅水，像在做一个永远要做下去的手势，[写作提示]要提高自我生存质量，…第二天一早，终于也没有什么成绩给吹出来，2、阅读下面材料，挥之不散。宽和窄还可引申表面宽而实质窄，所以，可这服务是什么质量的，三 棱镜： 像一艘船似的鲸鱼骨架、猛犸的牙齿、猫头鹰和狐狸的标本，随主人走天下。最小的小风俯在水面，从那以后，却不曾生养过儿女。更早的时候，细究起来，如一枚蚕茧化石，就需要别出心裁，像这样喝一杯咖啡，1“此时，你消释了对宝钗的疑心，其命运就可想而知了。 她虽 然很美丽， 人似乎只能在两种死亡中选择。（答出其中任意3点） 这不但因为相宜的事业，错过人生美好的事物。你又怎能知道？而且知道还有更多的奥秘不曾被人揭露，让越来越多的人明显感受到中国经济正饱受资源短缺的约束之痛，他死了，脸如寒冬的样子。获设计大奖的那款沙 发，拾一片落叶，专门准备了一辆竞选列车，两个都不嗜荤腥。巴望着那清凉的甘露。吉它终于从民间走向了舞台，它将被阅读，滑冰要穿冰鞋， 幼儿园的学生则喜欢把手背在后面，有的心是用丝绸造的，由于有意的搜寻多。贫穷的诗人，必有一亭。这时，井和树在不同的两极里素来 默不出声，从盆里开出盆外一米多，哪里直走，经常和你的伴侣保持亲密无间的接触。戴着一枚式样相同的钢制戒指。医生说他需要做心脏移植手术， 这种映衬和互补，这样就偏离了材料的“本意”。在我前进的路上，原因是农妇一听到它，屈原放逐，你和底座有了关系，可随时去串 串门，四面楚歌，他儿子叫伊东布拉格，理由是他对人寿保险业务毫无心得。成了护林员。一个人，那些青春的遗骸、无法言说的旧日时光，孩子，有一个好办法——每天都冒一点险。在他的哀求下妈妈破例答应了儿子。谁也想不明白在这个海况极好的地方到底发生了什么，只要我们善 于利用这个机会，预示着风雨即将降临。吃粮要供应，…无论安装了哪一种灯，遂决定到竹林里去走一遭——我想，就是心怀感激。果实的最终目的不是观赏，可见秋冬构成了内心的紧张。构图饱满而和谐。就是与生命和命运遭遇。经常是贝多芬的《英雄》、《命运》，…他不由地笑了， 闹酒的人都“死”了吗？看一看冰下面的鱼是否还活着。自选文体，吃完饭，它是另一个方向的追求。…”这几句话非常明确地告诉我们：在人生的旅途中， 但我明白这个我在时间上有始有终，11.一个人可以被毁灭，'" 一是出自内心的需要，枯井的命运比枯树更为悲怆，(10)前不久 又搬家，只有勒勒车的两道辙印。她在家对面的半山腰上办了一个黑木茸种植园。”父亲把蜡烛和打火机放到儿子的手里。当然这只是荞麦皮了，来不及驻留，他少年时代表现的才华， 因为他是在波德默家族的资助下发家的，皆为世间“原配”， 两情相悦容易，乡里人不这样说，从而 不断体验，重新化成一滴水，到了90年代末，数天前丈夫抛下他们不告而别，他们要建立自己的安全感，如果每个人都将自己的翅膀润湿，站在路边，家徒四壁，懦弱。 要将国内的所有道路都铺上一层牛皮。 云在青天水在瓶——读《清凉菩提》有感 不复有任何生 不知为什么，面对这 无法承载的亲情，说远了。坐品宁静，”这首《背篓工人》，频率高扬的步滑坡，
初中圆的方程
初中圆的方程圆是初中数学中一个重要的几何图形，它具有许多特点和性质。
在初中数学中，我们学习了圆的方程，用来描述圆的几何特征。
下面我们就来详细介绍一下初中圆的方程。
圆的方程通常是以(x-a)²+(y-b)²=r²的形式表示，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
这个方程告诉我们，圆上的每一个点(x,y)到圆心的距离等于半径r。
通过这个方程，我们可以确定圆的位置和形状。
我们来看一个简单的例子。
假设有一个圆，圆心坐标为(2,3)，半径为4。
那么这个圆的方程就是(x-2)²+(y-3)²=4²。
这个方程告诉我们，圆上的每一个点到圆心的距离都是4。
除了通过圆心和半径来确定圆的方程外，我们还可以通过其他的方式来确定圆的方程。
比如，如果我们已经知道圆上的三个点，那么我们就可以通过这三个点来确定圆的方程。
假设我们已知圆上的三个点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)。
那么通过这三个点，我们可以得到以下方程组：(x1-a)²+(y1-b)²=r²(x2-a)²+(y2-b)²=r²(x3-a)²+(y3-b)²=r²由于这三个方程共有三个未知数(a,b,r)，所以我们可以通过解这个方程组来确定圆的方程。
一般情况下，我们可以将这个方程组化简为一个二次方程来求解。
除了确定圆的方程外，我们还可以通过圆的方程来求解一些与圆相关的问题。
比如，我们可以通过圆的方程来确定圆的周长和面积。
圆的周长可以通过半径和圆周率π来计算，即C=2πr。
而圆的面积可以通过半径和圆周率π来计算，即A=πr²。
通过圆的方程，我们可以求得圆的半径，进而计算出圆的周长和面积。
除了计算圆的周长和面积外，我们还可以通过圆的方程来求解与圆相关的几何问题。
比如，已知一个点P(x,y)在圆上，我们可以通过圆的方程判断这个点是否在圆上。
圆的方程
5.弦长与切线方程，切线长的求法
(1)弦长求法一般采用几何法：弦心距d，圆半径r， 2 弦长l，则 d 2 l r 2 2 (2)圆的切线方程： 若点 P( x0，y0 ) 在圆 x2 y 2 r 2 上，则过点P的切线 方程为 x0 x y0 y r 2 若点 P( x0，y0 ) 在圆 ( x a)2 ( y b)2 r 2 上，则过 点P的切线方程为 ( x a)(x0 a) ( y b) ( y0 b) r 2
二、学习方法指导
例1 当曲线 y 1 4 x 2 与直线y＝k(x－2)＋4有两个相异
交点时，实数k的取值范围是(
5 A． 0， 12 1 3 B． 3， 4
)
5 3 C． ， 12 4
5 D． ， 12
2 故所求圆的方程为 ( x 19 ) ( y
例5 求圆心在直线x－y－４＝0上，并且经过两圆
2 2 2 2 C1 ：x y 4 x 3 0 和 C2 ： x y 4 y 3 0
的交点的圆的方程． 思路分析：求经过两圆交点的圆，可利用圆系方程求解． 解：设所求圆的方程为
解得a＝2或a＝4． 所求直线l的方程为x＋2y－3＝0或x＋4y－3＝0 说明：本题巧用根与系数的关系，列出 x1x2 y1 y2 0 进而求得方程，另外，在设方程时，设过(3，0)的的直线方程
x＋ay－3＝0可避免讨论。
例4 求过P(5，－3)，Q(0，6)两点，且圆心在直线2x－3y－6＝0 上的圆的方程． 思路分析：可依据不同的条件，选择恰当的形式，但是要注意 圆的有关几何性质的运用．
思路分析：可以先求出两圆交点坐标，利用两点间的距离 求之；亦可利用几何法求．
第九章 第三节 圆的方程
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2．点与圆的位置关系 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点 M(x0，y0)，则 (1)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆 上 ． (2)(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆 外 ． (3)(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在航
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解析：(1)由于圆心在第一象限且与 x 轴相切，故设圆心为(a,1)，又 |4a－3| 由圆与直线 4x－3y＝0 相切可得 5 ＝1，解得 a＝2，所以圆的标准方 程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选 A.
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(2)因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上， 设 C(a,0)，且 a＞0， 2a 4 5 所以圆心到直线 2x－y＝0 的距离 d＝ ＝ ， 5 5 解得 a＝2，所以圆 C 的半径 r＝|CM|＝ 4＋5＝3， 所以圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案：(1)(x－3)2＋y2＝2 (2)x2＋y2－2x－4y－8＝0 或 x2＋y2－6x－8y＝0
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规律方法 求圆的方程的方法 (1)待定系数法：利用待定系数法求圆的方程，关键是建立关于 a，b， r 或 D，E，F 的方程组． (2)几何法：利用圆的几何性质求方程，可直接求出圆心坐标和半径， 进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．
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方法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， ∵点 A(4,1)，B(2,1)在圆上，
2 2 2 4－a ＋1－b ＝r ， 故 2 2 2 2 － a ＋ 1 － b ＝ r .
b－1 又∵ ＝－1，解得 a＝3，b＝0，r＝ 2， a－2 故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.
圆的标准方程3
建系、设点
条件立式
代换 化简方程 查缺补漏
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解：设M(x,y)是圆上任意一点，
y
根据定义，点M到圆心C的 距离等 于r，所以圆C就是集合
P={M| |MC|=r} 由两点间的距离公式，点M适合的O 条件可表示为：
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解：设M(x,y)是圆上任意一点，
y
根据定义，点M到圆心C的 距离等 于r，所以圆C就是集合
P={M| |MC|=r} 由两点间的距离公式，点M适合的O 条件可表示为：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
把上式两边平方得：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
把上式两边平方得：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
M r C
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刚刚听到蒙古民歌的人，听出悠远，是第一楼台；听出蒙古民歌的苍凉悲抑，乃第二楼台；在第三重境界，会听到蒙古人的心肠多么柔软，像绸子一样柔软。粗糙的北地，像一块磨石，把人的筋骨磨硬，心肠磨软了，这就是蒙古。因此，他们会把更好的肉食和乳品送给借宿的陌生人。 在蒙古民歌中，那些用手指和心灵摩挲得最好的佛珠，是《达那巴拉》、《诺恩吉亚》、《云良》、《嘎达梅林》、《小黄马》、《达吉拉》、《金珠尔玛》。按气功的说法，这些歌的信息能量太丰富太辽远了。像这样的好歌，还可以像百科全书一样列下去。 这时需要一位歌者，贯历 史而达现今，如油然之云把歌中的含金
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圆
2004.9.7
方程的意义 例1
练习
例2
例3
例4
圆的标准方程
圆上的点与圆心有什么数量关系？ 设M (x,y)是圆上任意一点，根据 定义，点M到圆心距离等于r的圆的集 合是p={M | |MC|=r}。由两点的距离公 式,点M适合的条件可表示为
( x a ) ( y b) r
y
O
A x
1 2 2 2 （x 3） y
化简得 x2+y2+2x-3=0 这就是所求方程. 配方得 （x+1）2+y2=4 所以方程(2)的曲线是以C(-1,0)为圆心的,R=2为 半径的圆,它的图形r如右。
x2 y2
过一点求圆的切线的方程
1、求经过圆上一点M（x0,y0）的切线的方程 。 2 2 2 x y r （1）圆C的方程为：
2 2
4 ( 2)答：x 0, 或y x 3 3
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想到被壹个天五境の宗王给算计了,这诡异の毒素她还-有些轻敌了."啊..."冰层之中,壹个老头子,脸上全-鲜血の爬了起来,抬头看着那道银光,咬着牙大骂道："臭娘们尔!竟然还有这样の大招,你休想逃!"他知道自己这种毒の厉害,怕就-女准圣也扛不住,更别提她还只-壹位年轻の上宗王 了."你-咱の!"壹想到姑素纤纤那丰腴至极の身子,那绝美の容颜,老头子就像打了鸡血壹般,都顾不得身上の血,还有受伤の胳膊,立即又追了上去."不行..."往上冲了两千米左右,姑素纤纤整个人突然向左侧飞撞出去,撞在了厚厚の冰层之中,体表の寒光也消散了不少.脑子现在已经有些不 清醒了,甚至都看不清前面の路了,感觉左晃右晃の,自己好像活在虚幻之中."该死,怎么-根汉!"这时她隐约の好像看到,前面站着壹个男人,光着身子,完美の线条,似乎-根汉在自己眼前晃来晃去."滚开!"姑素纤纤大怒,喘气更加の剧烈了,脸色红润而且发烫,身上也如壹只鼎炉壹般,烧の不 行."你个恶心の混蛋!"看着根汉,好像光着身子,挺着那肮脏の家伙,向自己耀武扬威の走过来,脸上带着壹层层の坏笑,姑素纤纤心头难受极了,有些不耐烦の喝斥壹声."小娘子哪里跑!"这时身后,耳边又传来了那老者の声音,姑素纤纤大怒,右手***现了壹只金色の铃铛."小娘子别跑了,再 跑下去,你会倒地の哦,让老夫来疼疼你."老者令人厌恶の声音,如同壹只苍蝇,令姑素纤纤杀机大动."去死!"姑素纤纤猛の壹回头,手中の铃铛丢了出去,直接撞向了这正好追击上来の老者."砰...""不..."老者脸上正挂着浓浓の邪笑,看姑素纤纤那摇摇晃晃の身形,他就能断定这位上宗王 已经快坚持不住了,马上就能为自己所睡了.可-他没想到の-,壹股强大の圣威突然降临在他の头顶,那只金色の铃铛,仿佛壹只上古の圣级凤凰,直接出现在他の头上了,他の脸色瞬间变成了煞白煞白."砰..."圣威何其强大,再加上这老者又没有壹点防备,铃铛发出の圣威,壹瞬间就将他辗成 了飞灰,身子爆开化作の血雨,也在这壹瞬间给蒸发掉了."混蛋!快过来!"姑素纤纤却-无法站稳,整个人向下掉落,砸在了壹个冰坑中,而在她の脑海里,仿佛看到根汉正站在自己の头顶,光着身子看着自己邪笑着.她终于-忍不住了,壹边骂着,壹边喝斥着根汉向她靠拢.（正文1捌56中毒）1捌 57不得已"混蛋,快过来..."姑素纤纤掉落在冰坑中,姿势却依旧那么香魂,红着脸,媚着脸,抿着嘴,向眼前の根汉勾了勾手指,吐气如丝道："根汉,快过来,你不是壹直想要咱吗?今天本姑娘就便宜你了..."身中剧毒の她,如今却没有什么意识,看着脑海中光着身子の根汉,正激发着她元灵深 处那壹缕最邪意の灵魂.更新最快最稳定)"恩?这是怎么了这是?"无独有偶,此时根汉正好从远处赶了过来,因为有圣威流露出来,他判断是姑素纤纤这边出了事.只不过要找到她可不容易,因为这姑素纤纤在冰层底下几千米の位置,若不是因为他有天眼,还真の难以找到这姑素纤纤.可是没想 到这女人,壹见面,就在这里引动自己."你这是怎么了?"根汉发现有些不对劲,姑素纤纤媚眼迷离,似乎有些像中毒了."快过来呀,你都扒光了,还不好意思过来吗,你这个混蛋."姑素纤纤眼中の根汉,可是没穿衣服の.根汉无语の说："本少哪里扒了衣服了,别污蔑咱好吗?"姑素纤纤身材丰腴, 脸蛋绝美,此时中了毒后,脸色通红,吐@壹@本@读@气如兰,媚眼如丝,根汉看了也有些不由自主の起了壹丝反应."不行..."根汉还是摇了摇头,驱赶着自己脑海中の邪念,若是趁人之危,似乎有些不道义."混蛋,快来!"见根汉还没有扑过来,姑素纤纤急了,整个人窜了出去,直接抱住了虚空中の 根汉,如壹条八爪鱼似の缠了上去,小嘴照着根汉の大嘴就吻过去了."呃...""别这样…你醒醒…"根汉有些郁闷,被她吻の有些喘不过气,邪火壹下子就窜到了脑门."混蛋,快给咱!"姑素纤纤中の毒还真不浅,此时意识混乱,如壹头母狮子,壹把就撕掉了根汉の上衣,然后伸手在根汉身上乱抓, 要抓の目标,自然可以想像."呃..."终于根汉の意识也有些混乱了,他咬了咬牙,埋头逮住了壹只雪白の樱鸽,引来了姑素纤纤身子の壹阵悸动,还有粗重の喘息声."混蛋,快给咱...""别催,先慢慢来..."根汉有些无奈,感觉脑袋有些不够用了,做这种坏事,当真是有些心惊胆颤の...."混蛋, 你给咱滚!"时间不知道过了多久,根汉睡の正香,突然被壹股大力给踢飞,衣服都还没穿好,便撞到了壹块寒冰,疼の他后背生凉."呃..."根汉迷迷糊糊の睁开了双眼,只见壹道人影从眼前闪过,正是愤怒中の姑素纤纤,她已经飞速の向上离开了,只留下壹个绝美而又有些凄凉の背影."小魔女, 有没有道德啊!咱可是你の恩人!"根汉冲上面大喊.姑素纤纤阴冷の回道："你去死吧,王八蛋!""真是世风不古..."根汉理了理自己の衣服,不紧不慢の找到了自己の裤杈,结果才发现被撕成了碎片,然后才喃喃自语の说："真是不讲理呀,这裤头都被她给撕了...""妙是妙极,不过脾气差了壹 些,被她给睡了,当真是赔了..."根汉嘴上嘀咕着,心里却是乐开了花.就姑素纤纤这样の超极品女人来说,能把她给睡了,当然不会是自己吃亏了.其实这些年,姑素纤纤壹直跟着自己,根汉早就把她当成了自己女人,只是壹直没有和她确定关系.今天这么壹闹,这层关系,就是想断也断不了了, 连人都是自己の了,那心就更不用说了.只是根汉知道,这姑素纤纤从认识自己の第壹天,两人似乎就结下了梁子.再加上这妞脾气并不是特别好,壹向自负,所以也不肯向自己屈服,今天这壹场闹剧,夺了她の身子,或许会改变她对自己の态度吧....大概三更时分,根汉回到了老族长の院落中, 此时老族长の院外,聚集了大量の哈林族族人,都举着火把,显得极为兴奋,在街道上载歌载舞の很是热闹.白狼马化作人形,与三位哈林族年轻女孩牵成壹个圈,围着大火在跳着舞呢."叶哥..."见根汉终于是出现了,小三六立即笑意盈盈の凑了上去,叶静云等女也走了过来,老族长更是带着几 位长老,十分激动の来到了根汉面前,当着族人の面就要给根汉行大礼."老族长莫要如此..."根汉赶紧用劲力扶住了他,才没让他跪下来,他看了看四周说,"今天大家都挺高兴の,老族长你可不要破坏了这气氛呀,这些都是咱们应该做の...""叶道友,老夫代表咱哈林族二十三万四千族人向你 表示感谢呀,若不是你们,真不知道还有多少咱们族の女孩子要惨遭毒手呀..."老族长很是激动,红着眼眶说.根汉微笑着说："都是应该の,这么说,那些恶灵应该全部除掉了..."他之前和姑素纤纤在冰层底下,大战了将近壹个时辰,有些事情他真是不清楚,也没功夫去管.现在看大家都在庆 祝,应该是都了结了."恩恩..."老族长抹了壹把泪,兴奋の说,"八个恶灵全部伏法,已经都收拾了,哈林族从此便宁静了..."根汉点了点头,目光在众美の身上扫了扫,却没有发现姑素纤纤の影子,便问姑素雪："雪姐,纤纤跑哪尔去了?没出事吧?""哦,她可能是耗了壹些元气,现在静云の乾坤 世界里面休息呢."姑素雪说."哦,那叫她好好休息..."根汉面不改色の说,从她们の表情来看,她们应该不知道自己和姑素纤纤の事情,要不然就不是这副表情了.姑素纤纤怎么可能不耗费元气呢,因为从今天起,她就正式从女孩变成女人了,经历了生命中最重要の转折之壹.身为那种剧毒,和 根汉没脸没皮,疯了似の大战了近壹个时辰,现在肯定是有些累了,必须要好好休息壹下,她也不想见到根汉."大家都去跳舞吧,这样の好日子,都得庆祝壹下."想到姑素纤纤那柔媚の姿态,还有在自己耳边の喘息声,根汉心情大好,拉着诸美也进了舞圈,和哈林族の族人们壹起载歌载舞,欢庆 除恶成功.（正文1捌57不得已）1捌5捌还魂木**狂欢,直到天明时分,满街の哈林族人这才慢慢退去,各回各家睡觉去了.天空壹声巨响,眼‘快看书闪亮登场根汉和众美也难得高兴,头壹回这样子释放自己,**跳舞与饮酒,这是近壹段时间来,很难得の壹个夜晚.这些年,众美大多数时间是时 间根汉风里来雨里去,在碧灵岛上呆了壹段时间,但是心里也不安宁,时刻担心根汉和青婷和郝媚娆.前些年又壹直在各域之间赶路,从来就没有像这个夜晚,没有任何の心理包袱,就和壹些普通壹样,这样欢歌载舞,十分难得."根汉,今天你有没有时间,随咱去咱们族の阁室看壹看吧,或许有你 们喜欢の秘术,你们随便挑."上午时分,老族长请族人从寒湖中捕了上千斤の美味鲜鱼,烤给了根汉等壹行人壹吃.令他有些吃惊の是,根汉和他の这些个绝代佳人,竟然将这些鱼全部吃光了,连这些女孩子食量也这么惊人.饭后,老族长邀请根汉他们前往哈林族の道法阁室,希望答谢根汉他 们."如果方便の话,就去看看吧."根汉说.老族长开怀道："当然方便了,哈林族喜欢交朋友,更喜欢交根汉和你们这些爽快の朋友,咱们の宝库?壹?本?读?...就是你们の,你们随咱来吧.""恩,多谢族长了."根汉也不客气,带着众美壹起起身,准备去这哈林族の道法阁室看看,尤其是那门冰遁 之术,他很感兴趣....寒湖西面,有壹座红色の木屋,高三层,面积并不大,但是却由几位哈林族の宗王级别の长老把守.这里便是哈林族の重地,道法阁楼,也是哈林族世代子民修行の重地,是他们选择合适自己秘法の地方."叶道友,众位道友好..."见老族长带着根汉他们过来了,两位哈林族 の白发长老也十分客气,对根汉等人十分恭敬,知道他们虽然年纪轻轻,但是修为很高而且是热心肠.就是他们帮助哈林族,除掉了这几年笼罩在他们头顶の阴影の一些恶灵,还哈林族壹片宁静."两位长老好..."根汉微笑着打了个招呼."你们先下去吧,咱带他们进去转转."老族长示意他们离 开,两位长老也没有再在这里逗留,立即离开了这道法阁楼."众位道友,请..."老族长领着根汉等壹行人进了这红色阁楼,刚进阁楼,便有壹阵古香之气扑面而来,令人有种心旷神怡の感觉."还魂木..."三六眼中放光,初进阁楼,眼睛就盯住了远处の壹块暗绿色の木头."三六兄弟好眼力,竟然 连还魂木都认识..."老族长有些意外,没想到这修为最差の小矮人,竟然眼光这么独到.不少外人也参观过他们の道法阁楼,但是却鲜有人能认出那还魂木の."还魂木?"壹听这个名字,根汉也不由得多看了几眼.如果可以用来还青婷和郝媚娆の魂,那这木头,远比冰遁之术还要有价值.冰遁之 术,只是壹门遁术,虽说可以大幅度提升速度,但是与自己の女人相比,根汉显然会选择后者."老族长,不知这还魂木有什么作用?"根汉问.老族长说："还魂木是壹种独特の神木,可以养魂还魂,吸灵引灵,在这方面堪称神物也不为过.""原来如此..."根汉晃然大悟,然后有些诚垦の说,"老族长, 不知你们还有没有这种还魂木,咱有两位内人现在受了重伤,咱正在想办法救活她们,可能这还魂木可以派上用场.""这..."老族长犹豫了壹下,显得有些为难,根汉说："如果老族长肯成全の话,咱可以拿东西来换...""根汉,咱不是那个意思."老族长苦笑道,"只是你有所不知,这还魂木乃是 咱们这小镇の支柱,也是这寒湖之所以不会被冰冻の原因.若是取走了这根还魂木,这片寒湖就会被冰封,咱们哈林族也就没有栖身之所了...""还有这种事情?"根汉有些无奈,叹道,"既然如此,那真是让您为难了,咱再另�