集合论大作业
集合论总复习习题
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作业讲评 P86 3-1.(10)
(10)设S = {a1, a2, ..., a8}, 由B17 和B31所表示的S的子集 各是什么? 应如何表示子集{a1, a8} ,{a2, a6 ,a7}和
• (1) Show that R is an equivalence relation.
• (2) Compute A/R
∵即⑴a证 +ab：, =bRb是+S，a自则反<∴，a,对<ba>称,b>，AR传<a递,b 的>
∴ R自反
⑵令<a, b>R <c, d>，即a+d=b+c
∴ c + b= d + a ∴<c, d>R<a, b> ∴ R对称
<<2,1>, <2,1>>, <<2,1>, <3,2>>, <<2,1>, <4,3>>,
<<3,1>, <3,1>>, <<3,1>, <4,2>>，
<<4,1>, <4,1>>}
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作业讲评
• Let S = {1,2,3,4} and let A = SS. Define the following relation R on A: <a,b>R<c,d> if and only if a+d=b+c.
哈工大集合论习题
第一章 习题1.写出方程2210x x ++=的根所构成的集合。
2.下列命题中哪些是真的，哪些为假3设有n 个集合12,,,n A A A 且121n A A A A ⊆⊆⊆⊆，试证： 12n A A A === 4.设{,{}}S φφ=，试求2S5.设S 恰有n 个元素，证明2S 有2n 个元素。
6.设A 、B 是集合，证明:(\)()\A B B A B B B φ=⇔=7.设A 、B 是集合，试证A B A B φ=⇔=∆8. 设A 、B 、C 是集合，证明：()()A B C A B C ∆∆=∆∆9.设A 、B 、C 为集合，证明\()(\)\A B C A B C =10.设A ，B ，C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C =11.设A,B,C 为集合，证明： ()\(\)(\)A B C A C B C =12.设A,B,C 都是集合，若A B A C =且A B B C =，试证B=C 。
13.设A,B,C 为集合，试证：(\)\(\)\(\)A B C A B C B =14.设X Y Z ⊆⊆，证明\(\)(\)Z Y X X Z Y =15.下列命题是否成立（1）(\)\(\)A B C A B C =（2）(\)()\A B C A B C =（3）\()()\A B C A B B =16．下列命题哪个为真a)对任何集合A,B,C ，若A B B C =，则A=C 。
b)设A,B,C 为任何集合，若A B A C =，则B=C 。
c)对任何集合A,B ，222A B A B =。
d)对任何集合A,B ，222A BA B =。
e)对任何集合A,B ，\22\2A B A B =。
f)对任何集合A,B ，222A B A B ∆=∆。
17．设R,S,T 是任何三个集合，试证：（1）()()S T S T S T ∆=∆；（2）()()()R S T R S R T ∆⊇∆∆；（3）()()()()()R S R T R S T R S R T ∆∆⊆∆⊆∆∆；（4）()()()R S T R S R T ∆⊇∆18．设A 为任一集，{}I B ξξ∈为任一集族（I φ≠），证明：()()I I A B A B ξξξξ∈∈= 19．填空：设A,B 是两个集合。
离散数学集合论部分形成性考核书面作业2答案
离散数学集合论部分形成性考核书面作业本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。
本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业。
一、填空题1．设集合{1,2,3},{1,2}==，则P(A)-P(B )= {{3}, {1,2,3}, {1, 3 },A B{2,3}} ，A⨯B= {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>} ．2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为1024 ．3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系，∈∈R⋂x∈>且=且y<{BA,,}yxAyBx则R的有序对集合为{<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>}，<3, 3>．4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系R＝}yyx∈=>x∈<,,x,2{ByA那么R－1＝{<6，3>，<8，4>}5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}，则R具有的性质是反自反性，反对称性．6．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={<a, a >, <b, b>, <b, c>, <c, d>}，若在R中再增加两个元素<c, b>, <d, c>，则新得到的关系就具有对称性．7．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有 2 个．8．设A={1, 2}上的二元关系为R={<x, y>|x∈A，y∈A, x+y =10}，则R的自反闭包为{<1, 1>, <2, 2>} ．9．设R是集合A上的等价关系，且1 , 2 , 3是A中的元素，则R中至少包含<1, 1>, <2, 2>, <3, 3> 等元素．10．设集合A={1, 2}，B={a, b}，那么集合A到B的双射函数是{<1, a >, <2, b >}，或{<1, b >, <2, a >}二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．若集合A = {1，2，3}上的二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<1, 2>}，则(1) R是自反的关系；(2) R是对称的关系．(1) R 不是自反关系，因为没有有序对<3,3>. (2) R 不是对称关系，因为没有有序对<2,1>2．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，判断结论：“R -11、R 1∪R 2、R 1∩R 2是自反的” 是否成立？并说明理由．解：成立．因为R 1和R 2是A 上的自反关系，即I A ⊆R 1，I A ⊆R 2。
集合论作业
§3 关系的特性
1. 设 A＝{1, 2, 3}, 定义 A 上的二元关系如下: R＝{1, 1, 2, 2}, S＝{1, 1, 1, 2, 2, 1}, T＝{1, 2, 1, 3}, U＝{1, 3, 1, 2, 2, 1}.
试说明 R, S, T, U 是否是 A 上的对称关系和反对称关系.
2. 在 R2 平面上画出下述关系的关系图, 判断每一关系成立哪些性质. (1) R1＝{x, y | x＝y}. (2) R3＝{x, y | | x |≤1 且| y |≥1}.
3. 设 A＝{1, 2, 3, 4}, 确定下列关系是否是自反的, 反自反的, 对称的, 反对称的或 传递的.
.
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单元测试题（一）
一、单项选择题
1. 若集合 A＝{a, b, c}, 为空集合, 则下列表示正确的是( )
(A) {a}A
(B) {a}A
2. 对任意集合 S, S∪＝S, 满足(
(C) aA )
(D) A
(A) 幂等律
(B) 零一律
(C) 同一律
(D) 互补律
3. 设 S1＝, S2＝{}, S3＝P({}), S4＝P(), 以下命题为假的是( )
3. 找出由关系图所确定的关系并且给出它的关系矩阵.
f d e
b
c
a
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§2 关系的运算
1. 设 A＝{1, 2, 3, 4}, R＝{1, 2, 2, 4, 3, 4, 4, 4}, S＝{1, 3, 2, 4, 4, 2, 4, 3}. (1) 求出 R∪S, R∩S, R－S, R1. (2) 求出 dom (R), ran (R), dom (R∩S), ran (R∩S).
第1-4-5章 集合论(含答案)
求 A 的子集{3，4，5}和{1，2，3}，的上界，下界，上确界和下确界。
答案：{3，4，5}：上界：1，3；上确界：3；下界：无；下确界：无； {1，2，3}：上界：1；上确界：1；下界：4；下确界：4。 10、设 A={1,2,3,4,5},A 上偏序关系 R={〈1，2〉，〈3，2〉，〈4，1〉，〈4，2〉，〈4，3〉，〈3，5〉，〈4，5〉}∪IA; (1)作出偏序关系 R 的哈斯图 (2)令 B={1,2,3,5}，求 B 的最大，最小元，极大、极小元，上界，下确界，下界，下确界。 答案：.(1)偏序关系 R 的哈斯图为
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12、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝ ，B={1,2,3}，从Ａ到 B 的关系Ｒ＝｛ 〈x,y〉|x=y2｝ ，求 R 和 R-1 的集合 表示和关系矩阵表示。
答： （1）R={<1,1>,<4,2>} (2) R 1 ={<1,1>,<2,4>}
3
1 1 4、 设集合 A a, b, c, d 上的二元关系 R 的关系矩阵为 M R 0 0
矩阵，并画出 R， r ( R), s( R), t ( R) 的关系图。
0 0 0 0
0 1 0 0
0 1 ,求 r ( R), s( R), t ( R) 的关系 0 1
16、设|X|=n，|Y|=m 则（1）从 X 到 Y 有 （2）当 n , m 满足 n=m
时，存在双射有
17、在 0（ （4） ） 之间写上正确的符号。 (1) = (2) (3) (4) 18、若集合 S 的基数|S|=5，则 S 的幂集的基数|P(S)|=（ 32 ） 。 2 2 19、设 P={x|(x+1) 4 且 x R},Q={x|5 x +16 且 x R},则下列命题哪个正确（ (1) Q P (2) Q P (3) P Q (4) P=Q 20、判断下列命题哪几个为正确？( ) 答： （2） ， （4） (1) {Ф}∈{Ф,{{Ф}}} (2) {Ф} {Ф,{{Ф}}} (4) Ф {Ф} (5) {a,b}∈{a,b,{a},{b}} 21． 设 A={1， 2， 3， 4}， A 上关系图如右图所示， 2 R = 。 (3) Ф∈{{Ф}}
集合论、图论重要习题100
例：1、设A,B是两个集合,B≠¢,试证:若A×B=B×B, 则A=B。
2、设A,B,C,D是任意四个集合，证明：（A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)3、某班30名学生中学英语有7人，学日语有5人，这两科都选有3人，问两科都不选的有多少人？(|AC∩BC|+|A∪B|=30, |AC∩BC|=21人)4、令N={1,2,3,…}，S:N→N，则(1)∀n∈N,S(n)=n+1,Ｓ称为自然数集N上的后继函数。
(2)S(1)=1,∀n∈N,S(n)=n-1,n≥2,Ｓ称为自然数集N 上的前仆函数。
5、设f:N×N →N,f((x,y))=xy。
则（1）说明f是否是单射、满射或双射？（2）求f(N×{1}),f-1({0})。
(1,4)≠(2,2),f((1,4))=f((2,2))=4；∀y∈N,f((1,y))=1·y=y,任一元都有原象；[f不是单射,f是满射]f(N×{1})={n·1|n ∈N}=N；f-1({0})={(x,y)|xy=0}={N×{0}}⋃{{0}×N}。
6、设R、I、N是实数、整数、自然数集合，下面定义映射f1,f2,f3,f4,f5,f6，试确定它们的性质。
（0 ∈N）（1）f1:R→R,f1(x)=2x；（2）f2:I→N,f2(x)=|x|；f1单射，不是满射。
f2不是单射，满射。
（3）f3:N→N,f3(n)=n(mod3)；（4）f4:N→N×N,f4(n)=(n,n+1)；f3不是单射，不是满射；f4单射，不是满射。
（5）f5:R→R,f5(x)=x+2；（6）f6:R→R,f6(x)=x2,x≥0,f6(x)=-2,x<0；f5是双射(单射,满射)；f6不是单射,不是满射。
7、证明：在52个正整数中，必有两个整数，使得这两个整数之和或差能被100整除。
离散数学集合论部分形成性考核书面作业9
离散数学集合论部分形成性考核书面作业本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。
本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业。
要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2018年11月7日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。
并在03任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，完成并上交任课教师。
一、填空题1．设集合{1,2,3},{1,2}==，则P(A)-P(B )={{3}, {1,2,3}, {1, 3 },A B{2,3}}，A⨯B={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>}．2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为1024．3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系，∈R⋂x∈>y且=且∈<{B,,xAyAyBx}则R的有序对集合为{<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>}，<3, 3>．4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系R＝}yyx∈=<>∈x,,x,2{ByA那么R－1＝{<6，3>，<8，4>}5．设集合A=｛a,b,c,d｝，A上的二元关系R={<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}，则R具有的性质是反自反性，反对称性．6．设集合A=｛a,b,c,d｝，A上的二元关系R={<a, a>, <b, b>, <b, c>, <c, d>}，若在R中再增加两个元素<c, b>, <d, c>，则新得到的关系就具有对称性．7．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有2个．8．设A={1,2}上的二元关系为R={<x,y>|x∈A，y∈A,x+y=10}，则R的自反闭包为{<1,1>,<2,2>}．9．设R是集合A上的等价关系，且1 , 2 , 3是A中的元素，则R中至少包含<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>等元素．10．设集合A={1, 2}，B={a, b}，那么集合A到B的双射函数是{<1, a >, <2, b >}，或{<1, b >, <2, a >}二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．若集合A = {1，2，3}上的二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<1, 2>}，则(1) R是自反的关系； (2) R是对称的关系．(1)R不是自反关系，因为没有有序对<3,3>.(2)R不是对称关系，因为没有有序对<2,1>2．如果R1和R2是A上的自反关系，判断结论：“R-11、R1∪R2、R1∩R2是自反的”是否成立？并说明理由．解：成立．因为R1和R2是A上的自反关系，即I A⊆R1，I A⊆R2。
离散数学集合论哈工大答案
反之， x X ( Z \ Y ) ，则 x X 或 x Z \ Y 。 若 x X ，则由 X Y Z 有 x Y , x Z ，故 x Y \ X ，因此 x Z \ (Y \ X ) 。 若 x Z \ Y ，则 x Z 但 x Y ，故 x Y \ X ，因此 x Z \ (Y \ X ) 。从而
1
解： 2S { ,{ },{{ }},{ ,{ }}} 7.设 S 恰有 n 个元素，证明 2S 有 2n 个元素。 证明： （1）当 n＝0 时， S , 2 S { }, 2S 1 20 ，命题成立。 （2）假设当 n k ( k 0, k N ) 时命题成立，即 2 S 2k （ S k 时） 。那么对 于 S1 （ S1 k 1 ） ， 2S1 中的元素可分为两类，一类为不包含 S1 中某一元素 x 的 集合，另一类为包含 x 的集合。显然，这两类元素个数均为 2k 。因而 2 S1 2k 1 ， 亦即命题在 n k 1 时也成立。 由（1） 、 （2） ，可证得命题在 n N 时均成立。
S T ( S T ) ( S T ) 。
反之，因为 ( S T ) ( S T ) ，故
教材习题解答
第一章 集合及其运算
P8 习题 3. 写出方程 x 2 2 x 1 0 的根所构成的集合。 解： x 2 2 x 1 0 的根为 x 1 ，故所求集合为 {1} 4.下列命题中哪些是真的，哪些为假 a)对每个集 A， A ；b)对每个集 A， A ； c)对每个集 A， A { A} ；d)对每个集 A， A A ； e)对每个集 A， A A ；f)对每个集 A， A { A} ； g)对每个集 A， A 2 A ；h)对每个集 A， A 2 A ； i)对每个集 A， { A} 2 A ；j)对每个集 A， { A} 2 A ； k)对每个集 A， 2 A ；l)对每个集 A， 2 A ； m)对每个集 A， A { A} ；n) { } ； o) {} 中没有任何元素；p)若 A B ，则 2 A 2 B q)对任何集 A， A {x | x A} ；r)对任何集 A， {x | x A} { y | y A} ； s)对任何集 A，y A y {x | x A} ； t)对任何集 A， {x | x A} { A | A A} ； 答案：假真真假真假真假真假真真假假假真真真真真 5.设有 n 个集合 A1 , A2 , , An 且 A1 A2 An A1 ，试证： A1 A2 An 证明：由 A1 A2 A4 An A1 ，可得 A1 A2 且 A2 A1 ，故 A1 A2 。 同理可得： A1 A3 A4 An 因此 A1 A2 A3 An 6.设 S { ,{ }} ，试求 2S ？
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图论算法的无人机影像匹配特征点粗差剔除[1]
——论文概括总结
注：本文是对检索到的相关论文中涉及到集合论与图论知识的部分进行归纳总结和学习。
目前无人机在各个领域有着广泛的应用，其中一个重要应用是利用无人机拍摄图像，而在影像匹配过程中,粗差是不可避免的,因此,获取稳健性较高的特征点进行无人机影像匹配至关重要。
传统的方法是采用经典的RANSAC算法进行粗差剔除,该算法受抽样次数、误差阈值的影响,还会残存部分误匹配的特征点。
本篇论文提出了一种新的方法,将图论算法与经典的RANSAC算法相结合进行粗差剔除，利用该算法可以提高特征点的稳健性,获取高精度的结果。
图是由一个点集和该点集中的某些点对的连线构成，图的结构一般是用圆点代表事物，用连线表示事物二者之间的二元关系，如图1。
图G是指两个集合(V,E)，其中集合E是集合V×V的一个子集。
集合V称为图的顶点集，代表实际系统中的个体，集合E被称为图的边集，多用于表示实际系统中个体之间的关系或相互作用。
图1 图的结构
本文要讨论的图为无向图，如图1(b)所示，V为图的顶点集，而E为图的边集，这两个组成一个二元数组(V,E)，用v(G)表示G的顶点集，用E(G)表示G的边集，图1(b)为6阶无向图，共有6个顶点，顶点集为{1,2,3,4,5,6}，边集为{13,14,15,23,24,26,36,56}。
1号点周围有3条边;2号点周围有3条边;4号点周围有2条边;5号点周围有2条边;6号点周围有3条边。
顶点与周围其他顶点的边数越多，关联性越强，则认为这个顶点越重要，说明该顶点的能量值越大，能量值越大，该点稳健性就越强，构造能量函数E(f)：E(f)=E(G)式中，E(G)表示G的边集，即该特征点的集合。
结合图论的方法，对SIFT算法提取的特征点进行处理，剔除能量较小的点，保留稳健性较强的特征点，从而达到提高匹配稳定性
基于图论的算法流程为:
(1)基于SIFT算法提取影像特征点。
(2)求特征点之间的平均欧氏距离ω1;根据聚类的平均欧氏距离计算特征点总的平均欧氏距离ω2。
(3)根据特征点的平均欧氏距离，设置搜索范围，在搜索范围内构建特征点之间的图，记录每个特征点的边集E(G)，一条边对应的能量值为1，取所有的能量之和，对所有的特征点按照能量大小进行排列，得到特征点的集合E(fi),i=1,2，…，n。
(4)设置阈值ω3，大小可以根据实际情况进行设置，利用阈值去除图中小于阈值ω3的特征点，得到剩余的特征集。
(5)对剩余的特征点集，结合RANSAC算法再进一步剔除粗差点。
文献来源：
[1]喜文飞,史正涛,李国柱.图论算法的无人机影像匹配特征点粗差剔除[J].测绘通报,2020,04:6-10.。