概率论与数理统计作业
概率论与数理统计作业题及参考答案
东北农业大学网络教育学院 概率论与数理统计作业题（一）一、填空题1．将A ，A ，C ，C ，E ，F ，G 这7个字母随机地排成一行，恰好排成GAECF AC 的概率为 。
2．用随机变量X 来描述掷一枚硬币的试验结果. 则X 的分布函数为 。
3．已知随机变量X 和Y 成一阶线性关系，则X 和Y 的相关系数=XY ρ 。
4．简单随机样本的两个特点为：5．设21,X X 为来自总体),(~2σμN X 的样本，若2120041X CX +为μ的一个无偏估计，则C = 。
二、选择题1．关系（ ）成立，则事件A 与B 为互逆事件。
（A ）Φ=AB ； （B ）Ω=B A ； （C ）Φ=AB Ω=B A ； （D ）A 与B 为互逆事件。
2．若函数)(x f y =是一随机变量X 的概率密度，则（ ）一定成立。
)(A )(x f y =的定义域为[0,1] )(B )(x f y =非负)(C )(x f y =的值域为[0,1] )(D )(x f y =在),(+∞-∞内连续3．设Y X ,分别表示甲乙两个人完成某项工作所需的时间,若EY EX <,DY DX >则 ( ) (A ) 甲的工作效率较高,但稳定性较差 (B ) 甲的工作效率较低,但稳定性较好 (C ) 甲的工作效率及稳定性都比乙好 (D ) 甲的工作效率及稳定性都不如乙4．样本4321,,,X X X X 取自正态分布总体X ，μ=EX 为已知，而2σ=DX 未知，则下列随机变量中不能作为统计量的是（ ）(.A ).∑==4141i i X X (B ).μ241++X X (C ).∑=-=4122)(1i i X X k σ (D ).∑=-=4122)(31i i X X S 5．设θ是总体X 的一个参数，θˆ是θ的一个估计量，且θθ=)ˆ(E ，则θˆ是θ的（ ）。
（A ）一致估计 （B ）有效估计 （C ）无偏估计 （D ）一致和无偏估计三、计算题1．两封信随机地投向标号1，2，3，4的四个空邮筒，问：（1）第二个邮筒中恰好投入一封信的概率是多少；（2）两封信都投入第二个邮筒的概率是多少？22．一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求（1）这4个中的次品数X 的分布列；（2）)1(<X p3．已知随机变量X 的分布密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<=其他,021,210,)(x x x x x f ，求DX EX ,.4．设随机变量X 与Y（1）求X 与Y 的边缘分布列 （2）X 与Y 是否独立？5．总体X 服从参数为λ的泊松分布)(λp ，λ未知，设n X X X ，，， 21为来自总体X 的一个样本： （1）写出)(21n X X X ，，， 的联合概率分布； （2）}{max 1i ni X ≤≤，21X X +，212XX n -，5，∑=ni iX 12)(λ－中哪些是统计量？6．某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为04.02=σ，从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，试对05.0=α，求出滚珠平均直径的区间估计)96.1,645.1(025.005.0==Z Z概率论与数理统计作业题（二）一、填空题1．将A ，A ，C ，C ，E ，F ，G 这7个字母随机地排成一行，恰好排成GAECF AC 的概率为 。
概率论与数理统计练习题(含答案)
第一章 随机事件及其概率练习： 1. 判断正误（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。
（B ）（2）事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。
（B ）（3）事件的对立与互不相容是等价的。
（B ） （4）若()0,P A = 则A =∅。
（B ）（5）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。
（B ） （6）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ） （7）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P{}1=3两个女孩。
（B ）（8）若P(A)P(B)≤，则⊂A B 。
（B ） （9）n 个事件若满足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ∀=，则n 个事件相互独立。
（B ）（10）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。
（A ） 2. 选择题（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则©A. A 与B 互斥B. AB 是不可能事件C. AB 未必是不可能事件D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C)A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D)A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”（4）若A, B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是(A) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，则()P AB 等于(B)A. ()a c c + B . 1a c +-C.a b c +- D. (1)b c -（6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ （7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 则(D)A. 事件A, B 互不相容B. 事件A 和B 互相对立C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立8.,,.,,.D ,,.,,.,,1419.(),(),(),(),()37514131433.,.,.,.,37351535105A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）若则一定独立；若则一定独立；若则有可能独立；若则一定不独立；已知则的值分别为：(D)三解答题1.(),(),(),(),(),(),().P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：解：由德摩根律有____()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-________()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。
【精品】概率与数理统计作业
概率论与数理统计作业1（§1.1～§1.2）一、填空题1．设A、B、C表示三个随机事件，试将下列事件用A、B、C表示出来：（1）仅A发生；（2）A、B、C都不发生；（3）A、B、C不都发生；（4）A不发生，且B、C中至少有一个事件发生；（5）A、B、C中至少有两个事件发生；（6）A、B、C中最多有一个事件发生。
2．对飞机进行两次射击，每次射一弹，设事件A={第一次击中飞机}，B={第二次击中飞机}，试用A、B表示下列事件：（1）恰有一弹击中飞机；（2）至少有一弹击中飞机；（3）两弹都击中飞机。
3．设A、B、C是任意的三个随机事件，写出以下概率的计算公式：（1）=BP(AB)AP；)(P；（2）=(A=-)（3）=BP。
A⋃⋃)(C4．某市有50％住户订日报，65％住户订晚报，85％住户至少订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的住户所占的百分比是。
5．设A、B、C是三个随机事件，且25PB=CP，=AP).0(=)()((=)=BCP，则：(ABPP，0)125).0AC(=（1）A、B、C中都发生的概率为；（2）A、B、C中至少有一个发生的概率为；（3）A、B、C都不发生的概率为。
6.设()()P AB P AB =，且()P A p =，则()P B ＝ ．二、单项选择题1．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为[]。
（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”；（D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
2．对于事件A 、B 有A B ⊂，则下述结论正确的是[]。
（A ）A 与B 必同时发生；（B ）A 发生，B 必发生；（C ）B 发生，A 必发生；（D ）B 不发生，A 必不发生。
3．对于任意两事件A 、B ，与B B A =⋃不等价的是[]。
（A ）B A ⊂；（B ）A B ⊂；（C ）φ=B A ；（D ）φ=B A 。
概率论与数理统计练习题(附答案)
练习题1、设随机变量)6.0,10(b ~X ，则22[()][(X)]D XE = ； 2、若随机变量X 的分布未知，但2,EX DX μσ==,则X 落在区间(2,2)μσμσ-+内的概率必不小于_________3、设ˆˆ(,......)12X X X n θθ=是未知参数θ的一个估计量，满足条件_________ 则称ˆθθ是的无偏估计。
4. 设X,Y 为随机变量，且D (X +Y )=7, D(X)=4, D(Y)=1，则相关系数XY ρ= 5. 设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且(1,2,,)=i X i n 都服从区间[0，1]上的均匀分布，则当n 充分大时，∑==ni i nn X Y 11近似服从（写出具体分布与参数）6．设(,)X Y 服从区域222:G x y R +≤上的均匀分布，其概率密度为：222(,)0Cx y R f x y ⎧+≤=⎨⎩其它，则C=（ ）；(A) 2R π ； (B)21R π； (C) R π2； (D) R π21。
7．设,......12X X X n 为相互独立的随机变量，且2(,())E X D X i iμσ==（1,2......i n =），11nX X i i n ∑==，则DX =（ ） (A)2nσ(B)2n σ (C)nσ(D)22n σ8．设一次试验中事件A 不发生的概率为p,独立重复n 次试验，A 发生了X 次则正确的是：（ ）(A) ()()21p p X E -= ； (B)()E X np = ；(C)(1)DX np p =- ； (D) 2DX p p =-。
9．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（ ）A ． X 与Y 独立； B. ()D X Y DX DY -=+； C ．()D X Y DX DY -=-； D. ()D XY DXDY =. 10. 任何一个连续型随机变量的概率密度)(x ϕ一定满足( )。
《概率论与数理统计》习题及答案
概率论与数理统计 第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。
2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。
3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为 。
4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。
5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。
6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。
7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。
8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。
9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为 。
10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A{}Y X B >=，则=)|(A B P 。
11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。
12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。
13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。
14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。
15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。
16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。
17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。
概率论与数理统计练习题集及答案
概率论与数理统计练习题集及答案一、选择题：1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为 A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++ C 321321321A A A A A A A A A ++ D 321A A A2．掷两颗均匀的骰子,它们出现的点数之和等于8的概率为 A365 B 364 C 363 D 362 3．设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则A )(1)(B P A P -= B )()()(B P A P AB P =C 1)(=+B A PD 1)(=AB P4．随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-000)(2x x ce x f x ,则=EXA 21B1 C2 D 415．下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是A +∞<<∞-+=x x x F ,11)(21 B ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=001)(2x x x x x FC +∞<<∞-=-x e x F x ,)(3D +∞<<∞-+=x x x F ,arctan 2143)(4π6．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 2-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为A )2(2y f X -B )2(y f X -C )2(21y f X -- D )2(21y f X -7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hg p fe d x c b a x p y y y X Y Y j Xi 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=h A 81 B 83 C 41 D 318．设随机变量]5,1[~U X ,随机变量)4,2(~N Y ,且X 与Y 相互独立,则=-)2(Y XY EA3 B6 C10 D129．设X 与Y 为任意二个随机变量,方差均存在且为正,若EY EX EXY ⋅=,则下列结论不正确的是A X 与Y 相互独立B X 与Y 不相关C 0),cov(=Y XD DY DX Y X D +=+)(答案：1. B2. A 6. D 7. D 8. C 9. A1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为 C A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++C 321321321A A A A A A A A A ++D 321A A A2．将两封信随机地投入4个邮筒中,则未向前两个邮筒中投信的概率为 AA 2242B 2412C C C 24!2AD !4!23．设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则 D A )()|(A P B A P = B )()()(B P A P AB P = C )()()|(B P A P B A P = D 0)|(=B A P4．随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧∈=其他),0(2)(a x x x f ,则=EX AA 32B1 C 38 D316 5．随机变量X 的分布函数⎩⎨⎧≤>+-=-0)1()(x x e x A x F x,则=A B A0 B1 C2 D36．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 3-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为 DA )3(3y f X -B )3(y f X -C )3(31y f X --D )3(31y f X -7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hg p fe d x c b a x p y y y X Y Y j Xi 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=e B A 81 B 41 C 83 D 318．设随机变量Y X ,相互独立,且)5.0,16(~b X ,Y 服从参数为9的泊松分布,则=+-)12(Y X D CA-14 B13 C40 D419．设),(Y X 为二维随机向量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是 D A X 与Y 相互独立 B EY EX Y X E +=+)( C DY DX DXY ⋅= D EY EX EXY ⋅= 一、填空题1.设A ,B 是两个随机事件,5.0)(=A P ,8.0)(=+B A P ,)1(若A 与B 互不相容,则)(B P = ；)2(若A 与B 相互独立,则)(B P = .2.一袋中装有10个球,其中4个黑球,6个白球,先后两次从袋中各取一球不放回.已知第一次取出的是黑球,则第二次取出的仍是黑球的概率为 .3.设离散型随机变量X 的概率分布为}{k a k X P 3==, ,2,1=k ,则常数=a .4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,0,0)(2x x ax x x F则常数=a ,}31{<<X P = . 5.设随机变量X 的概率分布为则)33(2+X E = .6.如果随机变量X 服从],[b a 上的均匀分布,且3)(=X E ,34)(=X D ,则a = ,b = .7.设随机变量X ,Y 相互独立,且都服从参数为6.0的10-分布,则}{Y X P == .8.设X ,Y 是两个随机变量,2)(=X E ,20)(2=X E ,3)(=Y E ,34)(2=Y E ,5.0=XY ρ,则)(Y X D - = .答案：1. 3.0,6.02. 313. 414.41,435.5.46. 1,57. 0.52 8. 211.设A ,B 是两个随机事件,3.0)(=A P ,)()(B A P AB P =,则)(B P = .2.甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码,破译成功的概率依次为,,,则密码能译出的概率为 .3.设随机变量X 的概率分布为,5,4,3,2,1,15}{===k kk X P 则}31123{<<X P = . 4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x x x F ,则=<}6{πX P .5.设随机变量X 服从]3,1[上的均匀分布,则X1的数学期望为 .6.设随机变量21,X X 相互独立,其概率分布分别为则}{21X X P == .7.设X ,Y 是两个随机变量,)3,0(~2N X ,)4,1(~2N Y ,X 与Y 相互独立,则~Y X + .8.设随机变量21,X X 相互独立,且都服从0,1上的均匀分布,则=-)3(21X X D .9.设随机变量X 和Y 的相关系数为5.0,=)(X E 0)(=Y E ,=)(2X E 2)(2=Y E ,则2)(Y X E + = . 答案：1. 0.72.3.314. 0.55. 3ln 216. 957. )5,1(2N8. 659. 6二、有三个箱子,第一个箱子中有3个黑球1个白球,第二个箱子中有3个黑球3个白球,第三个箱子中有3个黑球5个白球. 现随机地选取一个箱子,再从这个箱子中任取1个球.1求取到的是白球的概率；2若已知取出的球是白球,求它属于第二个箱子的概率.解：设事件i A 表示该球取自第i 个箱子)3,2,1(=i ,事件B 表示取到白球.2411853163314131)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P114)()|()()()()|(241163312222=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P三、某厂现有三部机器在独立地工作,假设每部机器在一天内发生故障的概率都是2.0. 在一天中,若三部机器均无故障,则该厂可获取利润2万元；若只有一部机器发生故障,则该厂仍可获取利润1万元；若有两部或三部机器发生故障,则该厂就要亏损5.0万元. 求该厂一天可获取的平均利润.设随机变量X 表示该厂一天所获的利润万元,则X 可能取5.0,1,2-,且512.08.0}2{3===X P ,384.08.02.0}1{213=⨯⨯==C X P ,104.0384.0512.01}5.0{=--=-=X P .所以356.1104.0)5.0(384.01512.02)(=⨯-+⨯+⨯=X E 万元四、设随机向量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,10,4),(y x xy y x f .)1(求}{Y X P <；)2(求Y X ,的边缘密度,并判断X 与Y 的独立性.解： 1 5.0)1(24),(}{102110=-===<⎰⎰⎰⎰⎰<dx x x xydy dx dxdy y x f Y X P x yx ；2,,010,24),()(,,010,24),()(1010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其它其它y y xydx dx y x f y f x x xydy dy y x f x f Y X由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立.五、设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤=其它,010,3)(2x x x f X ,求随机变量12+=X Y 的密度函数.解法一：Y 的分布函数为)21(}21{}12{}{)(-=-≤=≤+=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y , 两边对y 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≤-=-=-=其它即,0311210,)1(83)21(23)21(21)(22y y y y y f y f X Y解法二：因为12+=x y 是10≤≤x 上单调连续函数,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-=≤-=⨯-==其它即,031121)(0,)21(2321)21(3|)(|))(()(22y y y h y y dy y dh y h f y f X Y注：21)(-==y y h x 为12+=x y 的反函数;二、设甲、乙、丙三人生产同种型号的零件,他们生产的零件数之比为5:3:2. 已知甲、乙、丙三人生产的零件的次品率分别为%2%,4%,3. 现从三人生产的零件中任取一个. )1(求该零件是次品的概率；)2(若已知该零件为次品,求它是由甲生产的概率.解：设事件321,,A A A 分别表示取到的零件由甲、乙、丙生产,事件B 表示取到的零件是次品.1 028.0%2105%4103%3102)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P ；2 143028.0%32.0)()|()()()()|(1111=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P .三、设一袋中有6个球,分别编号1,2,3,4,5,6. 现从中任取2个球,用X 表示取到的两个球的最大编号. )1(求随机变量X 的概率分布；)2(求EX .解：X 可能取6,5,4,3,2,且6,5,4,3,2,1511}{26=-=-==k k C k k X P所以X 的概率分布表为3/115/45/115/215/165432P X且31415162=-⨯=∑=k k k EX .四、设随机向量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,020,10,),(y x x y x f .)1(求}1{≤+Y X P ；)2(求Y X ,的边缘密度,并判断X 与Y 的独立性.解：1 31),(}1{1020101====≤+⎰⎰⎰⎰⎰≤+dx x xdy dx dxdy y x f Y X P x y x ； 2,,020,21),()(,,010,2),()(1020⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其它其它y xdx dx y x f y f x x xdy dy y x f x f Y X由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立.五、设随机变量X 服从区间]3,0[上的均匀分布,求随机变量13-=X Y 的密度函数.解法一：由题意知⎩⎨⎧≤≤=其它,030,3/1)(x x f X . Y 的分布函数为)31(}31{}13{}{)(+=+≤=≤-=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y , 两边对y 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+≤=+=其它即,0813310,91)31(31)(y y y f y f X Y 解法二：因为13-=x y 是30≤≤x 上单调连续函数,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+=≤=⨯==其它即,081,331)(0,913131|)(|))(()(y y y h dy y dh y h f y f X Y 注：31)(+==y y h x 为13-=x y 的反函数; 三、已知一批产品中有90%是合格品,检查产品质量时,一个合格品被误判为次品的概率为,一个次品被误判为合格品的概率是．求：1任意抽查一个产品,它被判为合格品的概率； 2一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率． 解：设=1A “确实为合格品”,=2A “确实为次品”, =B “判为合格品”1)|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P += 859.004.01.095.09.0=⨯+⨯=29953.0)()|()()|(111==B P A B P A P B A P四、设二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其他0),(yx e y x f y,求：1边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ；2判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由； 3}1{<+Y X P ． 解：1⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞-∞+∞-⎰⎰000000),()(x x ex x dy e dy y x f x f x x y X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==--∞+∞-⎰⎰00000),()(0y y yey y dx e dx y x f y f y y y Y 2)()(),(y f x f y x f Y X ≠ ∴ X 与Y 不独立 315.0210121}1{----+-==<+⎰⎰e e dxdy e Y X P xxy四、设二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<>=-其他10,02),(y x ye y x f x,求：1边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ；2判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由； 3}{Y X P <． 解：1⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==--∞+∞-⎰⎰0000002),()(10x x ex x dy ye dy y x f x f x x X⎩⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰+∞-∞+∞-其他其他01020102),()(0y y y dx ye dx y x f y f x Y2)()(),(y f x f y x f Y X = ∴ X 与Y 独立 3142}{1101-==<--⎰⎰e dxdy ye Y X P x x一、单项选择题1. 对任何二事件A 和B,有=-)(B A P C .A. )()(B P A P -B. )()()(AB P B P A P +-C. )()(AB P A P -D. )()()(AB P B P A P -+ 2. 设A 、B 是两个随机事件,若当B 发生时A 必发生,则一定有 B . A. )()(A P AB P = B. )()(A P B A P =⋃ C. 1)/(=A B P D. )()/(A P B A P = 3. 甲、乙两人向同一目标独立地各射击一次,命中率分别为0.5,0.8,则目标被击中的概率为 C 甲乙至少有一个击中A. 0.7B. 0.8C. 0.9D.0.854. 设随机变量X 的概率分布为则a,b 可以是 D 归一性. A. 4161==,b a B. 125121==,b a C. 152121==,b a D.3141==,b a 5. 设函数0.5,()0,a x bf x ≤≤⎧=⎨⎩其它 是某连续型随机变量X 的概率密度,则区间],[b a 可以是 B 归一性.A. ]1,0[B. ]2,0[C. ]2,0[D. ]2,1[6. 设二维随机变量),(Y X 的分布律为则==}0{XY P D .A. 0.1B. 0.3C.D.7. 设随机变量X 服从二项分布),(p n B ,则有 D 期望和方差的性质.A. 12(-X E np 2)=B. 14)12(-=-np X EC. 1)1(4)12(--=-p np X DD. )1(4)12(p np X D -=- 8．已知随机变量(,)X B n p ,且 4.8, 1.92EX DX ==,则,n p 的值为 AA.8,0.6n p == B.6,0.8n p == C.16,0.3n p ==D.12,0.4n p == 9．设随机变量(1,4)XN ,则下式中不成立的是 BA. 1EX =B. 2DX =C. {1}0P X ==D.{1}0.5P X ≤=10. 设X 为随机变量,1,2=-=DX EX ,则)(2X E 的值为 A 方差的计算公式.A ．5 B. 1- C. 1 D. 311. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=其它,010,)(x b ax x f ,且EX=0,则A 归一性和数学期望的定义.A. 6,4a b =-=B. 1,1a b =-=C. 6,1a b ==D.1,5a b ==12. 设随机变量X 服从参数为的指数分布,则下列各项中正确的是 A A. ()0.2,()0.04E X D X == B. ()5,()25E X D X == C. ()0.2,()4E X D X == D. ()2,()0.25E X D X == 13. 设(,)X Y 为二维连续型随机变量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是 D .A. X 与Y 相互独立B.()()()E X Y E X E Y +=+C. ()()()E XY E X E Y =D. 221212(,)(,,,0)X Y N μμσσ 二、填空题1. 已知PA=,PA-B=,且A 与B 独立,则PB= .2. 设B A ,是两个事件,8.0)(,5.0)(=⋃=B A P A P ,当A, B 互不相容时,PB=；当A, B 相互独立时,PB=53 .3. 设在试验中事件A 发生的概率为p,现进行n 次重复独立试验,那么事件A 至少发生一次的概率为1(1)n p --.4. 一批产品共有8个正品和2个次品,不放回地抽取2次,则第2次才抽得次品的概率P =845. 5. 随机变量X 的分布函数Fx 是事件 PX )x ≤ 的概率.6. 若随机变量X ~ )0)(,(2>σσμN ,则X 的密度函数为 .7.设随机变量X 服从参数2=θ的指数分布,则X 的密度函数()f x = ； 分布函数Fx= .8. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,三个值,其相应的概率依次为125236,,c c c,则c = 2 归一性 . 9. 设随机变量X 的概率密度函数为2,01()0,x x f x λ⎧<<=⎨⎩其它,则λ＝ 3归一性 .10. 设随机变量X ～2(2,)N σ,且{23}0.3P X <<=,则{1}P X <=.22232{23}{}11()(0)0.3,(0)0.5()=0.821211{1}{}=()=1()=0.2X P X P X P X P σσσσσσσσσ---<<=<<=Φ-Φ=Φ=∴Φ--<=<Φ--Φ又，，11. 设随机变量X ～N1,4,φ=,φ=,则P{|X |﹥2}= .{||>2}1{||2}1{22}2112111{}1{1.50.5}22221((0.5)( 1.5)0.9332),( 1.5)0.06680.69150.06680.31(1.5)=1-{||>2}=1((0.5)( 1.5))=751)3(P X P X P X X X P P P X ==-≤=--≤≤-----=-≤≤=--≤≤=-Φ-Φ-Φ-=-Φ∴-Φ-Φ--=-又 12. 设随机变量X ~ ),(211σμN ,Y ~ ),(222σμN ,且X 与Y 相互独立,则X+Y ~221212(,)N μμσσ++ 分布.13. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差0DX >都存在,令DXEX X Y -=,则____0__=EY ；___1___=DY .14. 若X 服从区间0,2上的均匀分布,则2()E X ＝4/3 . 15. 若X ～(4,0.5)B ,则(23)D X -= 9 . 17. 设随机变量X 的概率密度23,01()0,x x f x ⎧<<=⎨⎩其它,()_____E X =,()_____D X =.18. 设随机变量X 与Y 相互独立,1,3DX DY ==,则(321)D X Y -+=(3)(2)9()4()D X D Y D X D Y +=+=21 .三、计算题1. 设随机变量X 与Y 独立,X ～(1,1)N ,Y ～)2,2(2N ,且0.2XY ρ=,求随机变量函数23Z X Y =-的数学期望与方差. 四、证明题1. 设随机变量X 服从标准正态分布,即X ～)1,0(N ,2X Y =,证明：Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,21)(2y y e yy f y Y π .五、综合题1.设二维随机变量X,Y 的联合密度为⎩⎨⎧<<<<=其它,010,10,6),(2y x xy y x f ,求：1关于X,Y 的边缘密度函数；2判断X,Y 是否独立；3求{}P X Y >.。
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《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ⋃= ，（5）B A = 。
§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。
概率论与数理统计课程作业b
概率论与数理统计课程作业_B 一单选题1. 图片2-10(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (A)标准答案： (C)2. 图-157(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (D) 3. 图片4-9(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (B)4. 图-54(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (D) 5. 图片2-5(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (C) 6. 图-42(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (C)7. 图片2-11(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (B) 标准答案： (C)8. 图-183(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (C) 标准答案： (B)9. 图-98(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (C) 标准答案： (B) 10. 图片3-16(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (A) 标准答案： (A) 11. 图片3-7(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (B)12. 图片3-17(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (D) 标准答案： (B) 13. 图-46(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (B) 标准答案： (B) 14. 图-109(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (C) 标准答案： (A)15. 图-181(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (D) 标准答案： (D) 16. 图片3-9(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (D) 标准答案： (B)17. 图-14(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (B) 标准答案： (A)18. 图-171(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (C) 标准答案： (D)19. 图片4-6(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (C) 标准答案： (B) 20. 图-184(C)(D)(A)(B)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (D) 21. 图片4-16(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (B) 标准答案： (A)22. 图-104(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (B) 标准答案： (D)二判断题1. 图片2-24错对本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答：错标准答案：错2. 图片2-25错对本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答：对标准答案：对3. 图片2-28错对本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答：错标准答案：对一单选题1. 图-98(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (B)2. 图片3-16(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (A) 标准答案： (A)3. 图片1-8(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (D)4. 图-73(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (A) 标准答案： (A) 5. 图-66(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (C) 6. 图片4-8(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (D)7. 图-116(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (A) 标准答案： (A) 8. 图片3-8(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (D) 9. 图片4-3(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (B)10. 图-171(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (D) 11. 图片4-16(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (A) 标准答案： (A)12. 图片4-7(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (D)13. 图-190(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 4.0用户解答： (A) 标准答案： (A)14. 图片4-20(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (B) 15. 图片4-18(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (C) 16. 图片3-17(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (B)17. 图-55(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (D) 18. 图片4-10(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (D) 19. 图-105(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (C) 20. 图片4-1(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (A) 标准答案： (A) 21. 图-95(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (A) 标准答案： (A)22. 图-13(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (B)二判断题1. 图片2-22错对本题分值： 4.0用户得分： 4.0 用户解答：错标准答案：错2. 图片1-29错对本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答：错标准答案：对3. 图片2-23错对本题分值： 4.0 用户得分： 0.0用户解答：错标准答案：对概率论与数理统计课程作业_B 一单选题1. 图-157(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (A)标准答案： (D)2. 图片4-18(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (C)3. 图-171(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (D)4. 图-110(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (B)5. 图-198(A)(B)(C)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (C)6. 图-183(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (B)7. 图-102(A)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (B) 8. 图片4-14(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (D)9. 图-20(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (B)10. 图-160(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 4.0用户解答： (A) 标准答案： (A) 11. 图片4-2(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (C) 12. 图-184(C)(D)(A)(B)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (C) 标准答案： (D) 13. 图-13(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (B)14. 图片3-16(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (A) 标准答案： (A) 15. 图片3-15(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (C) 16. 图片3-6(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (B) 17. 图-38(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (C)18. 图-53(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (C)19. 图-66(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (C) 20. 图-105(A)(B)(C)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (C)21. 图-7(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (B)22. 图-1(A)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (D)二判断题1. 图片2-25错对本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答：错标准答案：对2. 图片1-28错对本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答：错标准答案：错3. 图片3-22错对本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答：错标准答案：错加载中，请稍候概率论与数理统计课程作业_B 一单选题1. 图-125(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (B)2. 图-171(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (D) 3. 图片4-6(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (B)4. 图片4-5(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (C) 5. 图-38(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (C)6. 图-110(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (B) 7. 图片4-19(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (B) 8. 图片3-11(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0。
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概率论与数理统计作业第一章随机事件与概率1•将一枚均匀的硬币抛两次，事件代B,C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。
试写出样本空间及事件A,B,C中的样本点。
解：舄」正正、正反、反正、反反］A=.正正、正反/, B =「正正1, C =:正正、正反、反正 /2.设P(A)二3，P(B)二2，试就以下三种情况分别求P(BA):3 2(1)AB=必，(2)A B，( 3)P(AB)=18解：(1)P(BA) =P(B — AB) =P(B) — P(AB) =P(B) =0.5(2)P(BA)二P(B —AB)二P(B) —P(AB)二P(B) 一P(A) = 0.5 -1/3 = 1/6(3)P(BA)二P(B — AB)二P(B) —P(AB) =0.5 —0.125 =0.3753.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解：记H表拨号不超过三次而能接通。
Ai表第i次拨号能接通。
注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。
寫H = A +瓦人 2 +瓦入2民三种情况互斥二P(H) =P(A)+P(AjP(A2 |瓦)+ 卩(瓦)卩(入2丨A I)P(A3 1A1A2)19 19 8 13=—+—X —+ —X —X —=—10 10 9 10 9 8 10如果已知最后一个数字是奇数(记为事件B)问题变为在B已发生的条件下，求H再发生的概率。
P(H |B) =PA |B A A2 |B A1A2A3| B)= P(A!|B) P(A1| B)P(A2|BA1) P(A1| B)P(A2| BA!)P(A3 |B^A2)14 14 3 13= ---- i ----- 4 --- I ------ A. ---- A. --- = ------5 5 4 5 4 3 54•进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为，试求以下事件的概率：(1)直到第r次才成功;(2)在n次中取得r(「乞r乞n)次成功；解：(1) P=(1—p)rJL p (2) P =C：p r(1 一p)^5.设事件A, B的概率都大于零，说明以下四种叙述分别属于那一种：(a)必然对，(b) 必然错，(c)可能对也可能错，并说明理由。
(1)若A，B互不相容，则它们相互独立。
(2)若A与B相互独立，则它们互不相容。
(3)P(A)二P(B) =0.6，则 A与 B互不相容。
(4)P(A)二P(B) =0.6，则 A与 B相互独立。
解:(1)b, 互斥事件，一定不是独立事件(2)c, 独立事件不一定是互斥事件，(3)b, P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)若 A与 B互不相容，则P(AB) = 0而P(A B) =P(A) P(B) - P(AB) =1.2 1⑷a, 若A与B相互独立,则P(AB) = P(A)P(B)J这时P(A B)二P(A) P(B) -P(AB) =1.2 -0.36 =0.846.有甲、乙两个盒子，甲盒中放有 3个白球，2个红球；乙盒中放有4个白球，4个红球，现从甲盒中随机地取一个球放到乙盒中，再从乙盒中取出一球，试求：(1)从乙盒中取出的球是白球的概率；⑵若已知从乙盒中取出的球是白球，则从甲盒中取出的球是白球的概率。
解:(1)记A, A分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”再记B表“再从乙袋中取得白球”。
•••B=AB+AB且 A, A互斥3 4+1 2 4P ( B)= P ( A) P( B| A»+ P ( A) P (B| A2)= =3+2 4+4+1 3+2 4+4+1(2)7.思考题：讨论对立、互斥(互不相容)和独立性之间的关系。
解:独立事件不是对立事件，也不一定是互斥事件；对立事件是互斥事件，不能是独立事件;互斥事件一般不是对立事件，一定不是独立事件.第二章随机变量及其概率分布1.设X的概率分布列为：F(x)为其分布的函数，则F (2) =?解：F(2) =P{X 乞2}二P{X =0} P{X =1} P{X =2} =0.3-c2 •设随机变量X的概率密度为f (x)= X2, x 1;则常数c等于?[0, x 兰1,丹* 「一 c :: c伤牛：由于 2 dx 2 dx 二 C 二〔，^故 c = 1x 1 x3.一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻(1)恰有2台计算机被使用的概率是多少？(2)至少有3台计算机被使用的概率是多少？(3)至多有3台计算机被使用的概率是多少？(4)至少有1台计算机被使用的概率是多少？解：(1) P{X =2} =C；0.620.43 =0.2304(2)P{X _3} =1 —P{X =4} —P{X =5} =1 — C；0.640.4 一0.65 = 0.66304(3)P{X <3} = P{X =1} +P{X =2} +P{X =3} =C；0.6 O44 +C；0.620.43+ C；0.630.42=0.0768+0.2304+0.1728=0.48(4)P{X _1} =1 -P{X =0} =1 一0.45=0.989764.设随机变量K在区间(0, 5) 上服从均匀分布，求方程4 x2+ 4Kx + K + 2 = 0 有实根的概率。
解：由,;.=16k2 -4 4 (k 2) =16k2 -16k -32 _0可得：k 乞-1,k _2所以P{K _2}55.假设打一次电话所用时间(单位：分) X服从:=0.2的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：(1)超过10分钟的概率；(2)10分钟到20分钟的概率。
解: X ~ f(x) =0.2eg,x 010P{X 10} =1 —P{X 岂10} =1 - 0 0.2e』.2x dx =1 -1 e，20P{10 乞X 岂20} = J 0.2eH.2x dx —e，6.随机变量 X〜N (3, 4), (1) 求 P(2<X < 5) , P(- 4<X < 10), P(|X|>2),P(X>3) ;(2)确定 c，使得 P(X>c) = P(X<c)。
5_3 2 —3解：P{2 ：X 乞5}3)—：」(2 3)—：」(1) 一：」(一0.5) —：，(1) 一1 G(0.5)2 2= 0.8413-1 0.6915=0.5328P{ -4 - X 乞10}=讥1^13) _：：」(/ 3)—：」(3.5)- ：」(-3.5) = 2初(3.5)-1 =12 22 _3 _ 2 _3P{ X >2}=1—P{X 兰2} =1—^( ------- )+◎( ------ ) =1-^(一0.5) + ①(一2.5)2 2=1 _(1 _「(0.5)) 1 -：：」(2.5) =1 -0.9938 0.6915 二0.69773 _3P{X 3} =1 -P{X — 3} =1 - 讥)=1 - 0.5 二0.523. (X、Y)的联合密度函数为:「k(x + y) 0 x 1,0 y 1 其 他c 一3c — 3P{X . c} =1 —P{X < c} =1 —：：」()=P{X :：: c}—：」( )22 所以：「(c?) =0.5 故 c =327 •设随机变量X 与丫相互独立，且X, 丫的分布律分别为试求：(1) 二维随机变量(X,丫的分布律；(2)随机变量Z=XY 的分布律. 解：8.思考题:举出几个随机变量的例子第三章多维随机变量及其概率分布1. 设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X 表示取到的红 球个数，用丫表示取到的白球个数，写出(X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。
解:2. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为： 试根椐下列条件分别求a 和b 的值；(1) P(X -1) -0.6 ； (2) P(X =1|Y =2) =0.5 ；(3) 设F(x)是Y 的分布函数，F(1.5) =0.5。
解：(1) P{X =1} =0.1 b 0.2 =0.6, b =0.3(2) P{X =0} P{X =1} =1, P{X =0} =1 -P{X =1} =0.4二 0.3 a , a =0.1X 01P1 3 44Y 12P2 3 551/61/91/18求(1 常数 k; (2) P(X<1/2,Y<1/2) ; (3) P(X+Y<1);⑷ P(X<1/2)。
:::: 11 …解：⑴f(x, y)dxdy k(x y)dxdy = k = 1,故 k=1 1 1 _ _ 1⑵p{Xw —才爲(xWE1 1_x⑶ P{X Y :：: 1} = 0 ,0 (x y)dxdy求(1)常数 k; (2) P(X+Y<1); (3) P(X<1/2)。
::::1 x解：(1) 」L f(X, y)dxdy = 0 [ kxydxdy=迈=1 ,故 k = 26.设(X, Y)的联合密度函数如下，分别求 X 与Y 的边缘密度函数 f("叫0其；；解： ■bexfx (x)二. ..f (x, y)dy = 0 e^dy (0 ：： x ：：::) -bo -bof x (x)二 _：f(x, y)dx 二 y 「dx 二e\ (0 ：： y ：：：：)7. (X, Y) 的联合分布律如下,Y 12 3 p{X :::1 120 (xy)dxdy4. (X、Y)的联合密度函数为:f(x,y) [kx y=<0 ：： x 1, 0 ：： y x⑶ p{ X :: 1 _ X12}0 2x ydxdy 二 6；5.设(X, Y)的联合密度函数如下，分别求X 与Y 的边缘密度函数f (x, y)二1~2 22~(1 x 2)(1 - y 2)—co X £< y <f x (X) 1 2~二f Y(y)二■be . ..f(x, y)dx 1 - ：-：2(1 x 2)(1 y 2)dX_ 1■:(1 y 2)P{X Y ::: 1}二12xydxdy =24 二 _..f(x, y)dy二12 2 2~(1 x )(1 y )试根椐下列条件分别求a和b的值;(1) P(Y : =1) =1/3 ;⑵P(X .1|Y =2) =0.5 ；(3) 已知: X与Y相互独立。
解：(1) P{Y = 1} = a - = 1, a_ 1_6(2)1/6+1/6+1/9+b+1/18+1/9=1,b=7/188.(X,Y)的联合密度函数如下，求常数c,并讨论X与Y是否相互独立?f (x, y)= 解: 2cxy 0 0 ：：： x :: 1, 0 ： y ::: 1 其:::: 1 1 2二J(x,y)dxdy 二0 0cx y dxdy =1 ,c=6:: if x(x) = =f (x, y)dy = 06xy dy =2x ,-- 1 2 2 f Y(y) = . J(x, y)dy = 06xy dx =3yf x(x) f Y(y) =f(x,y),故X 与Y 相互独立.9.思考题：联合分布能决定边缘分布吗？反之呢？解:联合分布可以得到边缘分布，反之不真.第四章随机变量的数字特征1.盒中有5个球，其中2个红球，随机地取3个，用X表示取到的红球的个数，则 EX 是：B(A) 1；(B) 1.2 ;2.设X有密度函数：f(x)二(C)1.5 ;3x2江2乞x乞4(D) 2.求E(X), E(2X -1), E(A),并求 X 大于数X学期望E(X)的概率。