济南大学概率论A大作业答案

第一章 概率论的基本概念一、填空题1．;)3(;)2(;)1(C B A C B A C B A C B A C AB )()4(C B C A B A C B A C B A C B A C B A 或;2．2181，； 3．6.0； 4． 733.0，； 5． 8.0,7.0； 6． 87； 7． 85；8. 996.0121101012或A -； 9． 2778.01856446==A ；10. p -1.二、选择题 D ；C ；B ；A ；D ； C ；D ；C ；D ；B .三、解答题1.解：).()()()(),((AB P B P AB P A P A B P B A P -=-∴=）相互独立，又）B A B A P B P A P ,,91)(),((==∴ .32)(,91)](1[)()()()(22=∴=-===∴A P A P A P B P A P B A P2.解： 设事件A 表示“取得的三个数字排成一个三位偶数”，事件B 表示“此三位偶数的末尾为0”，事件B 表示“此三位偶数的末尾不为0”，则:=)(A P )()(B P B P += .1253412123423=+A A A A A 3.解：设A i =“飞机被i 人击中”，i =1,2,3 , B =“飞机被击落”, 则由全概率公式：)()()()((321321B A P B A P B A P B A B A B A P B P ++== ）)()()()()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P ++= (1)设1H =“飞机被甲击中”，2H =“飞机被乙击中”，3H =“飞机被丙击中”, 则: =)(1A P 321(H H H P 321(H H H P 321(H H H P ) =+)(321H H H P +)(321H H H P )(321H H H P ) 由于甲、乙、丙的射击是相互独立的，=∴)(1A P +)()()(321H P H P H P )()()(321H P H P H P+)()()(321H P H P H P )=36.07.05.06.03.05.06.03.05.04.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯同理求得41.0)(2=A P , 14.0)(3=A P .代入（1）式458.0114.06.041.02.036.0)(=⨯+⨯+⨯=∴B P .4.解：设事件A 表示“知道正确答案”，事件B 表示“答对了”，则所求为).|(B A P)|()()|()()|()()()()()()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P AB P AB P B P AB P B A P +=+==∴.755132131131=⨯+⨯⨯=5.解：设A =“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，=B “箱中恰有i 件残次品” 2,1,0=i , 由题意1.0)()(,8.0)(210===B P B P B P .1912)|(,54)|(,1)|(420418242041910=====C C B A P C C B A P B A P（1）由全概率公式：94.0475448)|()()(2≈==∑=i i i B A P B P A P ， （2）由贝叶斯公式：85.011295)()()|()|(000≈==A P B P B A P A B P .第二章 随机变量及其分布一、填空题1.21；2. e 21-；3. 9974.0； 4. 2719； 5.6. 421；7. 4； 8. 3.0-e ； 9. )21(-y F .；；；B ；D ；C ；B ；B ；C ；A . 三、 解答题1.解：(1) 因为1}{21==∑-=k k X P ，所以1913113=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++A ， 得409=A . (2) ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤--<=2,121,403910,10901,40271,0)(x x x x x x F . (3) 311{12}{1}{2}404010≤≤==+==+=P X P X P X .(4) 1+=X Y 的分布律为: 3,2,10,31409}{1，=⎪⎭⎫⎝⎛==-k k Y P k .或：4040402713940p3210Y .2. 解：且右连续，单调不减，并，为随机变量的分布函数)()(x F x F ∴ .0)(1)(=-∞=+∞F F ，.0lim )(1])1([lim )(2===-∞==++=+∞∴-∞→+∞→c c F a x ba F x x ，右连续，得由)(x F :.1])1([lim 20-=-=∴=+=+++→a b c b a x ba x ， .0,1,1=-==∴cb a 3. 解：可知，及）由（85}21{1)(1=>=⎰+∞∞-X P dx x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+⎰⎰85)(1)(12110dx B Ax dx B Ax 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+8528312B A B A 即⎪⎩⎪⎨⎧==211B A . ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+=其他得：由,010,21)()1()2(x x x f ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<+≤=≤=∴⎰1,110,)21(0,0}{)(0x x dx x x x X P x F x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<+≤=1,110,21210,02x x x x x .327)2121()21()(}2141{)3(2141221412141=+=+==≤<⎰⎰x x dx x dx x f X P ，则的分布函数为记)()4(y F Y Y)21(}21{}12{}{)(+=+≤=≤-=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y , 两边求导得： )21(21)21)(21()(+='++=y f y y f y f X X Y ,的表达式得：代入)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤+<++=其他）（,01210,212121)(y y y f Y , ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+=其他,011,214y y .4．解：，则的分布函数为记)(y F Y Y ：}1{}1{}{)(22y e P y e P y Y P y F X X Y -≥=≤-=≤=--，;0)(101=≥≤-y F y y Y 时，即当;0)(011=≤≥-y F y y Y 时，即当所以)}1ln(21{}1{)(102y X P y e P y F y X Y --≤=-≥=<<-时，当 ))1ln(21(y F X --=.两边求导得：yy f y f X Y -⋅⋅--=1121))1ln(21()( 的表达式得：代入)(x f .1)(=y f Y ⎩⎨⎧<<=∴其他,010,1)(y y f Y , 即)1,0(U Y 服从的均匀分布.四、应用题1. 解：设考生的外语成绩为X ，则),72(~2σN X . 因为 0.023=⎪⎭⎫⎝⎛Φ-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤--=≤-=>σσσ24124721}96{1}96{X P X P X P ， 即977.024=⎪⎭⎫⎝⎛Φσ，查表得：224=σ，即12=σ.于是)12,72(~2N X . 所以6826.01)1(2112721}8460{=-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-≤-=≤≤X P X P . 2. 解：由)10,5.7(~2N X ，得一次测量中误差不超过10米的概率为5586.0105.710105.710}1010{≈⎪⎭⎫⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=≤≤-X P .设需要进行n 次独立测量，A 表示事件“在n 次独立测量中至少有一次误差不超 过10米”， 则 : 39.0)5586.01(1)(≥⇒>--=n A P n, 即至少需要进行3次独立测量才能达到要求.第三、四章 多维随机变量、数字特征一、填空题：1．1-e ； 2. 4.18； 3. N (－3,25)； 4.98；5．4.0，1.0; 6．6，6；7．9.0；8．91；9. e 21；10. e211-. 二、选择题： A ；B ；C ； D ；A ；B ；C ；C ；D ；A .三、解答题：1．解：21}0{}1,0{}01{=+=======b a b X P Y X P X Y P ①31}0{}0,1{}01{=+=======c a c Y P Y X P Y X P ②5.0,15.01=++=+++∴=∑c b a c b a pi即，又③由①得, ;b a = 由②得, ;2c a =代入将c b a 2==③式得：.2.0,1.0===b a c2. 解：（1）（X ，Y ）的分布律及边缘分布律为：（2）{}Y X P ≥=P {Y =－1}+P {X =1,Y =0}=24165+=2421. (3) ),2(Y Y X Cov -=-),(Y X Cov ),(2Y Y Cov因X,Y 相互独立，故 0),(=Y X Cov ；而 65610651)(-=⨯+⨯-=Y E ，65610651)(2=⨯+⨯=Y E ， )(),(Y D Y Y Cov =∴365)()(22=-=Y E Y E , ),2(Y Y X Cov -=-),(Y X Cov ),(2Y Y Cov = 185- .3. 解：(1)由,31),(1010k kxdy dx dxdy y x f x ===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-得3=k .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<<++==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其他,010,030),()(00x dy xdy dy dy y x f x f xx X ⎩⎨⎧<<=其它,010,32x x ；同理:⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,010),1(23)(2y y y f Y .由于),()()(y x f y f x f Y X ≠，故X 与Y 不是相互独立的.(3)==>+⎰⎰>+1),(}1{y x dxdy y x f Y X P 8531211=⎰⎰-xxxdy dx . 4. 解：),(,2121Y X dx xS D e D ∴==⎰的面积为的联合概率密度为: ⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,21),(D y x y x f从而⎪⎩⎪⎨⎧<<===⎰⎰∞+∞-其他,01,2121),()(210e x x dy dy y x f x f x X , .41)2()(2===∴X X f x f x 处，在5. 解：(1)由已知得：.21)()()|(,21)()()|(====B P AB P B A P A P AB P A B P.81)(,41)()(===∴AB P B P A P).1,1(),0,1(),1,0(),0,0(),(的所有可能取值为Y X.85)]()()([1)()(}0,0{=-+-=====AB P B P A P B A P B A P Y X P.81)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P.81)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P.81)(}1,1{====AB P Y X P的联合分布律为：),(Y X ∴(2) ,41)(=X E ,41)(=Y E ,8)(=XY E .161414181)()()(),(=⨯-=-=Y E X E XY E Y X Cov6. 解：=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>3πX P ⎰=ππ3,212cos 21dx x ).21,4(~B Y ∴ ,2214)(=⨯=∴Y E ,121214)(=⨯⨯=Y D .541)()()(22=+=+=∴Y E Y D Y E7. 解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧≤>==⎰⎰-∞+∞-000),()(0x x dy e dy y x f x f x x X ⎩⎨⎧≤>=-000x x xex⎪⎩⎪⎨⎧<<==其他01)(),()|(|x y x x f y x f x y f X X Y ；（2）⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(y y e y f y Y)1()1,1()11(≤≤≤=≤≤Y P Y X P Y X P 12111--=-=--⎰⎰e e e dy edx x x8．解：利用公式dx x z x f z f Z ⎰+∞∞--=),()(,⎩⎨⎧<-<<<---=-其他10,10)(2),(x z x x z x x z x f⎩⎨⎧<<-<<-=其他1,102zx z x z .① 当0≤z 或2≥z时，0)(=z f Z ;② 当10<<z 时，)2()2()(0z z dx z z f z Z -=-=⎰; ③ 当21<≤z 时，211)2()2()(z dx z z f z Z -=-=⎰-.故 Y X Z +=.的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<-=其他021)2(10)2()(2z z z z z z f Z . 注：本题也可利用分布函数的定义求.第六、七章 样本及抽样分布、参数估计一、填空题1．),(2nN σμ，∑=-n i i X X n 12)(1，2M '=∑=-n i i X X n 12)(1； 2. 8； 3．)4(t ； 4． ))1()1(,)1()1((2212222-----n S n n S n ααχχ； 5． X -23 ； 6． 1ˆ2+θ； 7. )1,0(N ； 8. 131;,Y Y Y .二选择题 B ；C ；C ；D ；B ；A ；C ；D ； D .三、解答题1.解：设来自总体X 、Y 的样本均值分别为Y X 、，,3,20222121====σσμμ15,1021==n n ，则)21,0(),(~22212121N n n N Y X =+--σσμμ，故： )]2103.0()2103.0([1}3.0{1}3.0{--Φ--Φ-=≤--=>-Y X P Y X P674.0)]4242.0(1[2=Φ-=2.解：.43)21(32)1(210)()1(22θθθθθθ-=-⋅+⋅+-⋅+⋅=X E,341ˆ.43,)(）（的矩估计量为：故得即令X X X X E -==-=θθθ的矩估计量为故而θ,2)32130313(81=+++++++=x .41ˆ=θ 42681)21()1(4}{)()2(θθθθ--===∏=i i x X P L 然函数为由给定的样本值，得似取对数：),21ln(4)1ln(2ln 64ln )(ln θθθθ-+-++=L求导：.)21)(1(24286218126)(ln 2θθθθθθθθθθ--+-=----=d L d,121370)(ln 2,1±==θθθ，解得：令d L d的最大似然估计值为故由于θ,2112137>+：.12137ˆ-=θ3.解： （1） 2d )(6d )()(032-θθθθ=-==⎰⎰∞+∞x x x x x xf X E ， ∑==ni i X n X 11令X =2θ，得θ的矩估计量为X 2ˆ=θ. （2）)1(2)2()ˆ(1∑===n i i X n E X E E θ )(2)(12X E X nE ni =⋅⋅=,22θθ=⋅=所以θˆ是θ的无偏估计量.4.解：似然函数为：)()1()1(),()(2111θθθθθθθθn n ni i n i i x x x x x f L +=+==∏∏==取对数：∑=++=ni i x n L 1ln )1ln()(ln θθθ，0ln 1)(ln 1=++=∑=ni i x nd L d θθθ， 解得： ∑=--=ni ixn1ln 1ˆθ，所以θ 的最大似然估计量为∑=--=ni iXn1ln 1ˆθ.5．解： 由于2σ未知，故用随机变量)1(~--=n t nSX T μ7531.1)15()1( 0.1, ,90.01 ,1605.02==-==-=t n t n ααα由样本值得 01713.0 ,125.2==s x .计算得 1175.21601713.07531.1125.2)15(05.0=⨯-=-n s t x1325.21601713.07531.1125.2)15(05.0=⨯+=+ns t x故所求置信区间为)1325.2,1175.2(. 6．解：（1） ==⎰+∞∞-d )()(x x xf X E λλλ22=⎰+∞-dx xe x x ，令X =λ2，得λ的矩估计量为X2ˆ=λ. （2）似然函数为：∏==n i i x f L 1),()(λλ=⎪⎩⎪⎨⎧>∑=-其他，00,,,)(21121n x n n x x x e x x ni i λλ 当时，0,...,,21>n x x x∑=-+=ni i n x x x n L 11)ln(ln 2)(ln λλλ ，,2)(ln 1∑=-=ni i x n d L d λλλ ,0)(ln =λλd L d 令解得： x 2ˆ=λ， 所以λ的最大似然估计量为X2ˆ=λ.第八章 假设检验一、填空题1. 5%>μ ，α ；2. 概率很小的事件在一次试验中是不可能发生的；3. 2αz U >;4. nS X T /0μ-=，nX U /0σμ-=；5. 25.30=μ：H ，25.31≠μ：H ；5/25.3S X T -=；)4(t ；6041.4>T ;6. 210μμ≤：H ，211μμ>：H ；22212121n n X X U σσ+-=；)1,0(N ；645.105.0=>z U .二、选择题 B ； A ； D ； D ； B ； B ；C. 三、解答题1.解：假设,:,55.4:0100μμμμ≠==H H 在假设0H 为真时，统计量),1,0(~0N nX Z σμ-=对01.0=α查标准正态分布表，得临界值：,58.2005.02==z z α,6,108.0,452.46161====∑=n x x i i σ ,223.26108.055.4452.40=-=-=∴n x z σμ 由于,58.2223.2<=z ，所以在显著性水平01.0=α下，接受假设0H ， 即认为这天的铁水含碳量无显著变化。