概率论大作业讲解

现实生活中的大数定理及中心值定理的应用电子工程学院目录摘要........................................... 错误！未定义书签。

第一章引言...................................... 错误！未定义书签。

第二章大数定律 (2)2.1大数定律的发展历史 (2)2.2大数定律的定义 (3)2.3几个常用的大数定律 (3)第三章大数定律的一些应用 (6)3.1大数定律在数学分析中的一些应用 (6)3.2大数定律在保险业的应用 (6)3.3大数定律在银行经营管理中的应用 9结论 (11)参考文献 (12)对于随机现象而言,其统计规律性只有在基本相同的条件下进行大量的重复试验才能显现出来.本文主要是通过大数定律来讨论随机现象最根本的性质——平均结果稳定性的相关内容.大数定律,描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律,是随机现象统计规律性的具体表现.本文首先介绍了大数定律涉及的一些基础知识,以便于对文中相关知识的理解.通过比较,就不同条件下存在的大数定律做了具体的分析,介绍了几种较为常见的大数定律和强大数定律,总结了大数定律的应用,主要有大数定律在数学分析中的应用,大数定律在生产生活中的应用,大数定律在经济如：保险、银行经营管理中的应用等等,将理论具体化,将可行的结论用于具体的数学模型中,使大家对大数定律在实际生活中的应用价值有了更深的认识.概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来.在随机事件的大量重复出现中,往往呈现几乎必然的规律,这个规律就是大数定律.大数定律是概率论中一个非常重要的课题,而且是概率论与数理统计之间一个承前启后的重要纽带.大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性,证明了在大样本条件下,样本平均值可以看作总体平均值,它是“算数平均值法则”的基本理论,通俗地说,这个定理就是在试验不变的条件下,重复试验多次,随机事件的频率以概率为稳定值.在现实生活中,经常可以见到这一类型的数学模型,比如,我们向上抛一枚硬币,硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的,但当我们向上抛硬币的次数足够多时,达到上万次甚至几十万几百万次之后,我们会发现,硬币向上的次数约占总次数的二分之一,偶然中包含着必然.又如：在分析天平上称重量为a 的物品,若以12,,x x 3,...,n x x 表示n 次重复称量的结果,经验告诉我们,当n 充分大时,它们的算术平均值11ni i X n =∑与a 的偏差就越小.这种思想,不仅在整个概率论中起着重要00作用,而且在其他数学领域里面也占据着相当重要的地位.大数定律的发展与研究也经历了很长一段时间,伯努利是第一个研究这一问题的数学家,他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理.现在,大数定律的相关模型已经被国内外广大学者所研究,特别是应用在实际生活中,如保险业得以存在并不断发展壮大的两大基石的一个就是大数定律.许多学者也已经在此领域中研究出了许多有价值的成果,讨论了在统计,信息论,分析、数论等方面的应用.在许多数学领域中,广大学者对某些具有特定类型的数学模型,都能利用大数定律的思考方式总结其代表性的性质及结论,使得这些类型的数学模型在进行讨论的时候大大简化了繁琐的论证过程,方便了研究.大数定律作为概率论的重要内容,其理论成果相对比较完善,这方面的文章较多,结果也比较完美,但对大数定律的应用问题的推广也是一项非常有价值的研究方向,通过对这些问题的应用推广,不仅能加深对大数定律的理解,而且能使之更为有效的服务于各项知识领域中.下面文中就通过对大数定律的讨论,给出了各大数定律之间的关系,归结出一般性结论.最后列举了一些能用大数定律来解决的实例,希望能通过这些实例,来进一步阐明大数定律在各个分支学科中的重要作用,以及在实际生活中的应用价值,加深大家对大数定律的理解.第二章大数定律2.1大数定律的发展历史概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学, 而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来. 从概率的统计定义中可以看出: 一个事件发生的频率具有稳定性, 即随着试验次数的增多, 事件的频率逐渐稳定在某个常数附近. 人们在实践中观察其他一些随机现象时, 也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性. 这就是说, 无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何, 大量随机个体的平均效果与每一个体的特征无关, 且不再是随机的. 深入考虑后, 人们会提出这样的问题: 稳定性的确切含义是什么? 在什么条件下具有稳定性? 这就是大数定律要研究的问题.1733年，德莫佛—拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限分布是正态分布。

拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布。

1900年，李雅普诺夫进一步推广了他们的结论，并创立了特征函数法。

这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题，卜里耶为之命名“中心极限定理”。

20世纪初，主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件，二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展。

伯努利是第一个研究这一问题的数学家，他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。

因此概率论历史上第一个极限定理属于伯努利。

它是概率论与数理统计学的基本定律之一，属于弱大数定律之一，当然也称为伯努利大数定律。

它可以通俗的理解，有些随机事件无规律可循，但不少却是有规律的，这些“有规律的随机事件”中在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。

通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。

例如：在重复投掷一枚硬币的随机试验中，观测投掷n次硬币中出现正面的次数。

不同的n次试验，出现正面的频率（出现正面次数与n之比）可能不同，但当试验的次数n越来越大时，出现正面的频率将大体上逐渐接近于1／2。

频率靠近概率的一种客观存在的，可以直接观察到的现象。

而伯努利给这种现象给予了一种确切的含义。

随着数学的发展，随机变量序列服从大数定律的证明，出现了更多更广泛的大数定律，例如契贝晓夫大数定律，伯努利大数定律就是契贝晓夫大数定律的一个特例。

再到后面，出现独立同分布的辛钦大数定律等常用的大数定律。

2.2 大数定律的定义大数定律使用极限方法研究大量随机现象的统计规律性.人们在长期的实践中发现,频率以及大量测量值的算术平均值具有稳定性,也就是说,无论个别测量值如何,其平均结果实际上与个别测量值的特征无关,几乎不再是随机的了.这种稳定性问题如何从理论上给出解释？这正是大数定律要解决的问题.阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的一系列定理都称为大数定律. 一般的大数定律都涉及一个随机变量序列{n X },为此我们给出如下定义. 定义 2.2.1 设有一随机变量序列{n X },假如对任意的0ε>,有 1111lim ()1n ni i n i i P X E X n n ε→+∞==⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑∑ (1.1.1)的性质,则称该随机变量序列{n X }服从大数定律.2.3几个常用的大数定律由于随机变量序列向常数的收敛有多种不同的形式，按其收敛为依概率收敛，以概率1收敛或均方收敛，分别有弱大数定律、强大数定律和均方大数定律。

定义1 设有一列随机变量1,2,ηηη…..，如果对于任意的0ε>，有()l i m 1n n P ηηε→∞-<=则称随机变量序列{}n η依概率收敛于η，记作(),p n n ηη−−→→∞。

定义2 设有随机变量η和一列随机变量{}n η ，1,2ηη…..，若(){}l i m 1n n P ηωη→∞==成立，则称{}n η几乎处处收敛于η，记作().,a e n n ηη−−→→∞ 定义3 若12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是随机变量序列,如果存在常数列1,2,a a ⋅⋅⋅,使得对任意的0ε>,有11lim 1n i n n i P a n ξε→∞=⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑ （8）成立,则称随机变量序列{}i ξ满足大数定律.定义4 设有随机变量η和随机变量序列{}n η的r 阶原点矩r E η、r nE η（n=1,2……）存在，其中r>0，若lim 0rn n E ηη→∞-=则称n ηr 次平均收敛到η。

记作 rL n ηη−−→。

此时必有r r n E E ηη=。

当r=2时是常用的二阶矩，2L n ηη−−→称为均方收敛。

定义5 若12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是随机变量序列，它们的数学期望(1,2,.....)i E i ξ=存在，0ε∀>有 11lim 1n nk k n i i E n n ξξε→∞⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑∑ 则称随机变量序列12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅服从弱大数定律。

定义6 若12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是随机变量序列，它们的数学期望(1,2,.....)i E i ξ=存在，0ε∀>有()1l i m 01nk k n iP E n ξξ→∞⎧⎫-==⎨⎬⎩⎭∑或等价地.110n n a e k k i i E n n ξξ-−−→∑∑， 则称12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅服从强大数定律。

上述两个大数定律要注意，强大数定律和弱大数定律区别不仅仅是一个法则的不同，不能简单的把极限符号lim n →∞从概率号P （）中移出来，弱大数定律描述的是一列概率的收敛性，而强大数定律说的是一列随机变量收敛到一个常数，也正是这点，保证了用事件出现的频率来作为事件概率的估计的正确性。

定理1 对任意的随机变量ξ，若E a ξ=，又D ξ存在，则对任意的正常数ε，有()2D P a ξζεε-≥≤， 则称此式子为契贝晓夫不等式。

粗糙地说，如果D ξ越大，那么()P a ζε-≥也会大一些。

大数定律形式有很多种，我们仅介绍几种最常用的大数定律。

定理2 （伯努利大数定律）设n μ是n 重伯努利实验中事件A 出现的次数，且A 在每次试验中出现的概率为p （0<p<1）,则0ε∀>，有l i m 1n n P p n με→∞⎛⎫-<= ⎪⎝⎭（5） 此定理表明：当n 很大时，n 重伯努利试验中事件A 发生的频率几乎等于事件A 在每次试验中发生的概率，这个定律以严格的数学形式刻画了频率的稳定性，因此，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。

定理3 （契贝晓夫大数定律） 设12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是一列两两不相关的随机变量,又设它们的方差有界,即存在常数0C >,使有,1,2,3i D C i ξ≤=⋅⋅⋅，则对于任意的0ε>,有1111lim 1n ni i n i i P E n n ξξε→∞==⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑∑ （9） 在上述的定理中，因为用到契贝晓夫不等式，都有对方差的要求，其实方差这个条件并不是必要的。