高等数学第七章重积分第二节 二重积分的计算法
二重积分的计算方法及应用
二重积分的计算方法及应用二重积分是微积分中重要的计算方法之一，它用于计算二元函数在平面区域上的累积效应。
本文将介绍二重积分的计算方法和其在实际问题中的应用。
一、二重积分的计算方法1. 矩形区域上的二重积分计算当被积函数在矩形区域上有明显的解析表达式时，可以使用矩形区域的特点进行计算。
首先，将矩形区域划分成小矩形，计算每个小矩形上函数值的加权累计，然后将这些小矩形的累加值相加得到最终结果。
2. 极坐标下的二重积分计算在某些情况下，函数的表达式在直角坐标下很难处理，但在极坐标下却具有较简单的形式。
对于极坐标下的二重积分计算，我们需要根据被积函数的性质选择适当的极坐标变换，并利用极坐标系下的面积微元进行计算。
3. 变量替换法变量替换是一种常用的二重积分计算方法。
通过引入新的变量替换原有的积分变量，可以简化被积函数的形式，使问题变得更易处理。
变量替换法的关键在于选择合适的变换关系，并确定新的积分范围。
4. 利用对称性简化计算当被积函数具有一定的对称性时，我们可以利用对称性简化计算。
例如，如果被积函数关于某个坐标轴对称，可以将积分区域关于对称轴进行映射，再利用对称性将两边的积分结果相等。
二、二重积分的应用1. 物理学中的应用二重积分在物理学中有广泛的应用。
例如，通过对平面区域上的力场进行二重积分计算，可以求解物体的质心、转动惯量等物理量。
二重积分还可以用于计算电场、磁场等物理场的分布情况。
2. 统计学中的应用统计学中的某些问题可以通过二重积分来求解。
例如，在概率密度函数已知的情况下，可以通过二重积分计算随机变量落在某一区域内的概率。
这在统计推断和假设检验中有着重要的应用。
3. 经济学中的应用在经济学中，二重积分可以用于计算产量、收入、消费等指标。
通过对经济模型中的生产函数或效用函数进行二重积分计算，可以分析经济变量之间的相互作用关系。
4. 工程学中的应用工程学中常常需要对平面区域上的物理量进行计算和分析。
高等数学(第三版)课件：二重积分的计算
式：0 x π ,0 y 2 所确定的长方形区域. 2
解 这题可以不必画积区域.分析被积函数可知，如先
对x积分，需用分部积分法. 如先对y积分则不必，
计算会简单些.因此，我们选择先对y积分，即
π
xy
cos(
xy
2
)dxdy
2
0
dx
2
0
xy
cos(
xy
2
)dy
D
1π
2
2
0
sin( xy 2 )
和
x
π
D
所围成的三角形区域.
2
解法1 先对y积分. 作平行于y轴的直线与积分 区域D
相交，沿着y的正方向看，入口曲线为y=0，出口
曲线为y=x，D在x 轴上的投影区间为[0, π] . 2
sin
x
cos
ydxdy
π
2
0
dx
x
0
sin
x
cos
ydy
D
π
02
sin
x
sin
y
x 0
dy
π
02
sin
2
xdx
由 y x, x 2,
得x 2, y 2.
在y轴上的积分区间为12 ,2
当1 y 1时，平行于x轴的直线与区域D相交时，
2 沿x轴正方向看，入口曲线为
x，出1口曲线为x=2.
y
当1 y 2时，平行于x轴的直线与区域D相交时, 沿x轴正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为x=2.
依上述不等式组可作出区域D的图形，
再化为先对y积分后对x积分的二次积分.
01
dy
1y
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法在高等数学的学习中，二重积分是一个重要的概念和工具，它在解决许多实际问题和理论推导中都有着广泛的应用。
理解和掌握二重积分的计算方法对于我们深入学习数学以及解决相关的实际问题至关重要。
首先，让我们来明确一下二重积分的定义。
二重积分是在平面区域上对某个二元函数进行积分。
简单来说，就是把平面区域划分成许多小的区域，然后对每个小区域上的函数值乘以小区域的面积，再把这些乘积相加。
接下来，我们来介绍几种常见的二重积分计算方法。
一、直角坐标系下的计算方法在直角坐标系中，二重积分可以表示为两种形式：先对 x 积分再对y 积分，或者先对 y 积分再对 x 积分。
当我们选择先对 x 积分时，我们需要把积分区域投影到 x 轴上，确定 x 的积分限。
然后，对于每个固定的 x 值，在对应的垂直于 x 轴的线段上确定 y 的积分限。
例如，对于积分区域 D 是由直线 y ＝ x ，y ＝ 1 以及 x ＝ 0 所围成的三角形，我们要计算二重积分∬D f(x,y)dxdy。
先对 x 积分，x 的积分限是从 0 到 y ，y 的积分限是从 0 到 1 。
则可以将二重积分化为累次积分：∫₀¹(∫₀ʸ f(x,y)dx)dy 。
同样，如果先对 y 积分，就把积分区域投影到 y 轴上，确定 y 的积分限，然后再确定每个固定 y 值对应的 x 的积分限。
二、极坐标系下的计算方法在某些情况下，使用极坐标系来计算二重积分会更加方便。
极坐标系中的坐标是（r,θ) ，其中 r 表示点到原点的距离，θ 表示极角。
在极坐标系下，二重积分的表达式为∬D f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ 。
比如，对于圆形或者扇形的积分区域，使用极坐标系往往能简化计算。
例如，计算以原点为圆心，半径为 R 的圆上的二重积分，积分区域 D 为 x²＋y² ≤ R² 。
在极坐标系中，r 的积分限是从 0 到 R ，θ 的积分限是从 0 到2π 。
二重积分计算法
0 D
R
x
I 2
2 0
d d 0 1 2
1
1 2
2
1
ln(1 ) ln 2 2 2 2 0
【例3】计算二重积分 e
D
x y
d . 其中D {( x, y ) | | x | | y | 1 }.
分析 首先应画出区域 D的图形,然后根据图形的特点选择适当 的坐标计算。本题可采用直角坐标计算, 即框图中线路1的方法。 注意到 D 既是 X 型区域, 又是Y 型区域，而无论 X 型区域 或 Y 型区域都不能用一个不等式组表出, 均需要把D 分割成 两个X 型区域或两个 Y 型区域的和的形式。 不妨把 D分成 两个X 型区域的和 D D1 D2来计算． 解: 积分区域如图所示.
(1, 1)
y x
x
. D
0
.
1
2
将二重积分转化为先对 y 对后 x 的二次积分，得
D
2 2 x x x2 dxdy dx 1 2 dy 2 1 y x y
x x 9 ( x x )dx 1 2 1 4 4
2
4 2
2
3
注：若本题将二重积分转化为先对x 后对 y 的二次积分,
y 2 ( x)
. .
D
y 1 ( x )
o
a
2 ( x ) 1 ( x )
x b
x
f ( x,
D
y )dxdy dx
a
b
f ( x , y )dy
（2）Y-型区域：
y
c y d D : 1 ( y ) x 2 ( y )
二重积分的算法
二重积分的算法二重积分是微积分中的重要概念之一，它在许多科学和工程领域中都有广泛的应用。
二重积分的算法是求解二重积分的方法和步骤，下面将介绍二重积分的算法。
一、二重积分的定义二重积分是对二元函数在有界闭区域上的积分。
设函数f(x,y)在闭区域D上有定义，其中D是一个有界闭区域，D的边界可以用一组参数方程x=x(t)，y=y(t)，a≤t≤b表示。
则称函数f(x,y)在闭区域D 上的二重积分为：∬D f(x,y) dxdy二、二重积分的计算方法二重积分的计算方法有多种，常见的有直角坐标系下的直接计算法和极坐标系下的极坐标变换法。
1. 直接计算法直角坐标系下的直接计算法是将二重积分转化为两个一重积分的叠加，按照积分的定义逐个计算。
具体步骤如下：（1）确定积分区域D的范围和方向；（2）将二重积分转化为两个一重积分，先对y进行积分，再对x进行积分；（3）根据积分区域D的范围和方向，确定积分的上下限；（4）按照一重积分的定义计算每个一重积分；（5）将两个一重积分的结果相加，得到二重积分的结果。
2. 极坐标变换法极坐标系下的极坐标变换法是通过极坐标系下的变换公式将二重积分转化为极坐标系下的一重积分。
具体步骤如下：（1）确定积分区域D的范围和方向；（2）通过极坐标变换公式将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的一重积分；（3）根据积分区域D的范围和方向，确定极坐标下的积分范围和方向；（4）按照一重积分的定义计算极坐标下的一重积分；（5）得到极坐标下的一重积分后，根据极坐标变换公式将其转化为直角坐标系下的二重积分。
3. 其他计算方法除了直接计算法和极坐标变换法外，还有其他一些特殊情况下的计算方法，如利用对称性、变量替换等方法进行计算。
具体使用哪种方法取决于具体的问题和积分区域的特点。
三、二重积分的性质二重积分具有一些重要的性质，包括线性性、保号性、保序性、可加性等。
这些性质在计算二重积分时起到了重要的作用，可以简化计算过程和提高计算效率。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的重要内容，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要对二元函数在某个区域上的积分进行计算，而二重积分就是用来描述这样的问题的数学工具。
本文将介绍二重积分的计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来了解一下二重积分的定义。
对于平面上的有界闭区域D和在D 上有定义的连续函数f(x, y)，我们可以将D分成许多小的面积ΔS，然后在每个小面积ΔS上取点(xi, yi)，计算函数值f(xi, yi)与ΔS的乘积，然后将所有这些乘积相加，得到的极限值就是二重积分的值，即：∬D f(x, y) dxdy = lim Σ f(xi, yi)ΔS。
其中，ΔS是小面积ΔS的面积，Σ表示对所有小面积求和，极限值即为二重积分的值。
接下来，我们将介绍二重积分的计算方法。
在实际应用中，我们通常会遇到以下几种情况：1. 矩形区域上的二重积分计算。
当积分区域为矩形区域时，我们可以利用定积分的性质，将二重积分转化为两次定积分的形式进行计算。
具体而言，对于矩形区域D=[a, b]×[c, d]上的函数f(x, y)，其二重积分可以表示为：∬D f(x, y) dxdy = ∫c^d ∫a^b f(x, y) dxdy。
这样，我们就可以将二重积分的计算转化为两次定积分的计算，从而简化了计算的过程。
2. 极坐标系下的二重积分计算。
在极坐标系下，二重积分的计算通常更加简便。
对于极坐标系下的二元函数f(r, θ)，其二重积分可以表示为：∬D f(r, θ) drdθ。
在极坐标系下，积分区域D的描述通常更加简单，而且在计算过程中也更加方便，因此在一些问题中，我们可以通过将坐标系转化为极坐标系来简化计算过程。
3. 用换元法进行二重积分计算。
在一些复杂的情况下，我们可以利用换元法来简化二重积分的计算。
通过适当的变量替换，我们可以将原来的积分区域转化为一个更加简单的积分区域，从而简化计算过程。
0902二重积分的计算法-1
b ϕ2( x) f ( x , y )dy ; = dx a ϕ1 ( x )
∫
∫∫ f ( x , y )dσ ∫
D
d ϕ2 ( y) f ( x , y )dx . = dy c ϕ1 ( y )
∫
［混合型］ 混合型］ （在积分过程中要正确选择积分次序） 在积分过程中要正确选择积分次序） 积分次序
y
A(x)
a
x
y = ϕ2 ( x)
b
x
D
y = ϕ1( x)
b ϕ ( x) ∴ ∫∫ f ( x , y )dσ =∫a dx ∫ϕ 2( x ) f ( x , y )dy . ……二次积分公式 ? 1 二次积分公式
D
◆如果积分区域为：c ≤ y ≤ d , ϕ1 ( y ) ≤ x ≤ ϕ 2 ( y ). 如果积分区域为：
π
练习1 练习 改变下列积分的积分次 序
∫
1 2 x− x2 2 2− x dx f ( x , y )dy + dx f ( x , y )dy . 0 0 1 0
∫
∫
∫
解 积分区域如图： 积分区域如图：
y = 2− x
原式 = ∫0 dy ∫
1
2− y
2
y = 2x − x2
1− 1− y
f ( x , y )dx.
1
o
1
x
2.设f ( x , y )在D上连续 , 其中 D是由直线 y = x , y = a及x = b (b > a )所围成的闭区域 , 证明 :
(1)∫
b x dx a a
∫ f ( x , y )dy = ∫
b b dy y a
第二节 二重积分的计算法
0 1r
4.
例8. 求球体
被圆柱面x2 y2 2 a x
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解: 设 D : 0 r 2a cos , 0
由对称性可知
2
z 4a2 x2 y2
z
V 4 4a2 r 2 r d r d D
2 acos
4 2d
4a2 r2 rdr
b
[
2( x) f ( x,y)d y ]d x
a 1 ( x)
x0
累次积分
D
o a x0 b x y 1(x)
z f ( x0, y)
1( x0 ) 2( y0 )
同样, 曲顶柱的底为
D ( x, y) 1( y) x 2( y), c y d
则其体积可按如下两次积分计算 y
c o
c
1( y)
x
X型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点 .
P 81 82
(向 X 轴投影)
D
a1(
x x)
b y
2
(
x
)
Y型区域的特点：穿过区域且平行于 x 轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点 .Leabharlann (向Y 轴投影)D
c
1(
yd y) x
2
(
y)
y y 2(x)
V f (x, y)d
d
D d
[
2( y) f ( x, y)dx ]d y
x 1(y)
y
c 1( y)
c
x 2(y)
d
dy
2( y) f (x, y)dx
c
二重积分的计算方法与技巧
二重积分的计算方法与技巧二重积分是微积分中的重要概念之一，它用于计算平面区域上的定积分。
二重积分的计算方法和技巧有很多，下面将介绍一些常用的方法。
1.通过直角坐标系进行计算。
在直角坐标系中，计算二重积分的方法很简单。
首先，将二重积分所在的区域投影到水平和垂直轴上，确定积分的上下限。
然后，将被积函数表示为直角坐标系下的函数形式，进行具体的计算。
可以根据被积区域的形状选择适当的坐标变换，从而简化计算过程。
2.通过极坐标系进行计算。
在一些情况下，使用极坐标系可以更方便地计算二重积分。
特别是对于圆形区域或具有旋转对称性的区域，使用极坐标系可以大大简化计算过程。
在极坐标系下，被积函数需要进行一定的变换，然后利用极坐标系下的积分公式进行计算。
3.利用对称性简化计算。
如果被积函数具有其中一种对称性，可以利用这种对称性来简化计算。
例如，如果被积函数关于一些坐标轴对称，那么可以将积分区域分为两个对称的部分，然后只计算其中一个部分的积分值，并乘以2即可。
这样可以显著简化计算过程。
4.利用奇偶性简化计算。
如果被积函数具有奇偶性，也可以利用这种性质来简化计算。
如果被积函数关于一些坐标轴是奇函数，那么在计算积分时可以将积分区域分为两个部分，然后只计算其中一个部分的积分值，并乘以2再加上另一个部分的积分值即可。
如果被积函数关于一些坐标轴是偶函数，那么只需要计算其中一个部分的积分值即可。
5.利用换元法进行计算。
对于一些复杂的二重积分，可以通过变量替换的方法来简化计算。
根据被积函数的特点选择适当的变量替换可以使得积分的计算变得更加容易。
例如，如果被积函数中包含平方根或三角函数等复杂的函数形式，可以选择适当的代换来简化计算过程。
6.利用积分的线性性质简化计算。
二重积分具有线性性质，即两个函数的和或差的积分等于分别对这两个函数进行积分后再求和或差。
因此，对于复杂的被积函数，可以将其分解为简单的部分，然后对每个部分进行积分，最后求和或差即可。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法2. 二重积分的计算法目前所能接触到的方法是：将二重积分化为两次单积分将二重积分化为两次单积分_接下来介绍：①直角坐标系②极坐标③二重积分的换元法（至于二重积分的换元法，仅作简单介绍）2.1 利用直角坐标计算二重积分本质思想是通过画图来判断是先对x还是先对y积分。
（先对哪一个积分不绝对，需要具体问题具体分析，但仍需考虑图形，这里不过多解释为什么，仅给出相关题型的做法）下面的介绍中，默认f(x,y)≥0①有如下闭区域D：∬Df(x,y) dσ=∫abdx∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y) dy（先对y后对x）②∬Df(x,y) dσ=∫cddy∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y) dx（先对x后对y）（注：这里未考虑在立体空间中的形状，但只研究物体在xOy面上的投影即可解决问题）我们称①、②中的区域分别为X型区域、Y型区域。
（按先对、x、y中的哪个积分来命名）若闭区域D既是X型区域，又是Y型区域，则选择哪一种都可以（尽量找简单的）不管先对还是进行积分，要找准积分限不管先对x还是y进行积分，要找准积分限“每个人都有每个人的理解方式，这里我有些解释不出来，大家自行领会吧”注：在解题时，注意使用可加性"可加性"，区间可以分为X型、Y型，既是X型又是Y型的，此时我们对其分别求二重积分即可。
这里给出一个例子来让大家认识到选择正确的积分次序的重要性：计算∬Dy1+x2−y2 dσ，其中区域D是由、、y=x、x=−1、y=1围成的闭区域。
显然D既是X型，又是Y型积分区域，现在我们用两种方法来看一下：①先对y后对x：∫−11dx∫x1y1+x2−y2 dσ（偶函数，想想为什么这里是）=−13∫−11[(1+x2−y2)32|x1] dx=−13∫−11(|x|3−1) dx_（偶函数，想想为什么这里是|x|3）=−23∫01(x3−1)dx=−23(x44−x)|01 =−23⋅(14−1)=12②先对x后对y：∫−11dy∫y1y1+x2−y2dx=∫−11[xy(1+x2−y2)12|1y−∫1yx d[y(1+x2−y2)12]]=∫−11[y2−y2−y2−∫1yx2y1+x2−y2 dx]dy此时还需求∫1yx2y1+x2−y2 dx，难免比较麻烦。