高等数学二重积分总结.讲解学习
高等数学A10-2二重积分的计算(1)
10-2 二重积分的计算
（宋）苏轼
寄蜉蝣于天地,
渺沧海之一粟.
哀吾生之须臾，
羡长江之无穷.
10-2 二重积分的计算
第二节 二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、小结与思考
10-2 二重积分的计算
一、利用直角坐标系计算二重积分
(1) 在直角坐标系下用平行于 y
坐标轴的直线网来划分区域 D，
则面积元素为
d dxdy
o
D
x
故二重积分可写为
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
D
D
10-2 二重积分的计算
(2) 如果积分区域 D如图所示，那么可用不等式表示为
a x b, 1( x) y 2( x). ［X－型］
其中ri 为 ri与 ri ri 的平均值.由此当 ri , i 充分小 时，极坐标系下的面积元素 d rdrd.
10-2 二重积分的计算
其次, 直角坐标系与极坐标系有如下变换关系
x r cos
y
r
sin
最后, 两坐标系下积分区域 D 形状不变，因此有
f ( x, y)d f (r cos , r sin )rdrd .
D
o
10-2 二重积分的计算
D
D
以下我们讨论极坐标下的二重积分的计算．
r 1( ) r 2( )
DD
r 1( )
r 2( ) D
r 2( )
D
o
Ao
Ao
A
r 1( ) 0
高等数学二重积分概念及性质
D
设区域 D 关于 y 轴对称，函数 f(x, y) 在 D
上可 积， f (x, y) 关于 x 是 偶 函数，即
满足
f(-x,
y)
= f(x,
y) ，
并设
D
是
1
D
的右边
一半区域， 则 f(x, y)d 2 f(x, y)d .
将薄片分割成若干小块，
取典型小块，将其近似 看作均匀薄片，
所有小块质量之和 近似等于薄片总质量
y
•
(i,i )
i
o
n
x
Ml i0m i1(i,i)i.
二、二重积分的概念
定义 设 f ( x, y)是有界闭区域 D上的有界函数，
将 闭 区 域 D 任 意 分 成 n 个 小 闭 区 域 1 ，
记为 f ( x, y)d ，
D
n
即
D
f
( x,
y)d
lim
0 i1
f
(i 数
积 分 变 量
被 积 表 达
面 积 元 素
积 分 和
式
对二重积分定义的说明：
(1 ) 在 二 重 积 分 的 定 义 中 ， 对 闭 区 域 的 划 分 是 任 意 的 .
(2 )当 f(x ,y )在 闭 区 域 上 连 续 时 ， 定 义 中 和 式
D
D1
设区域 D 关于 x 轴对称，函数 f(x, y) 在 D 上可 积可 如果 f(x, y) 关于 y 是奇函数，
即 满 足 f(x,-y) = - f(x, y) ， 则 f(x, y)d 0;
高等数学 第九章 第2节 二重积分的计算法(2)(中央财经大学)
第二节 二重积分的计算法（2）
一、利用极坐标系计算二重积分
二、广义二重积分
一、利用极坐标计算二重积分 (polar coordinates)
D α
D
o
D
α
β
f
1=+y x 1
22=+y x θ
c o n 1
+
x
1
D 2
D S S
2
D R
R
2
y
d x
+ x2+
y
D D ，
D
1
(2x 2
y≥4
D
D
1
)
在一元函数中有无穷限广义积分(积分区间为无穷区间)，如果二重积分的积分区域为无穷区域时该如何积分呢？
在一元函数中有无穷限广义积分(积分区间为无穷区间)，如果二重积分的积分区域为无穷区域时该如何积分呢？
∞
),(y
1 a 2
z
z
三、小结
1.二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）
2.广义二重积分基本解法：
先在有界区域内积分，然后令有界区域趋于原无界区域时取极限求解.
谢谢大家！。
高等数学 第九章 第1节 二重积分的概念与性质(中央财经大学)
第一节 二重积分的概念与性质一、问题的提出二、二重积分的概念三、二重积分的性质),(y x f z =D求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，先看动画演示.刚才大家看到是曲顶 柱体的底面网格划分比较稀的情况，下面请大家继续观看网格划分较密时的情况.小平顶柱体近似代替.),(>=y x f z2、非均匀分布时平面薄板质量问题非均匀分布时平面薄板质量问题设平面薄板 D 上非均匀地分布着质量, 其分 .),(y x µµ=布密度为将区域 D 任意分割成 n 个小块,D i 每小块的面积记为.i σ∆∈∀),(i i ηξ,D i 则每小块上的质量可近似地表示为≈∆i m .),(i i i σηξµ∆令,}{max 1i ni σλ∆=≤≤求和并取极限便得薄板D 的质量为ini i i σηξµλ∆=∑=→1),(lim m以上讨论的问题的共同点：定义 设,(yxf是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域，，，其中表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个上任取一点， 作乘积 ， ， 并作和 ,二、二重积分的概念(1) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.(2)当,(yx f 在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在. 对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义:当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．如何划分？如何划分？D性质１∫∫±Dd y x g y x f σβα)],(),([.),(),(∫∫∫∫±=DD d y x g d y x f σβσα（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质设 、 为常数，则βα该性质可以推广至有限个函数的线性组合情形设函数在闭区域 上连续,为 的面积，则在D 上至少存在一点使得性质6（二重积分中值定理）σηξσ⋅=∫∫),(),(f d y x f D啊！a谢谢大家！。
二重积分的概念与性质
(2)二重积分与被积函数和积分区域有关，与积分变量 的表示无关。即
f x, ydxdy f u,vdudv
D
D
(3)二重积分的几何意义：若f(x, y)0,二重积分表示以 f(x, y)为曲顶，以Байду номын сангаас为底的曲顶柱体的体积；若f(x, y)0,二 重积分表示曲顶柱体的体积的负值；当f(x, y)有正、有负时， 二重积分就等于这些区域上柱体体积的代数和。
存在，则称此极限为函数f(x, y)在区域D上的二重积分，记作
f x, yd ，即
D
n
D
f x, yd
lim 0 i1
f
i ,i k
关于二重积分的几点说明: (1)当f(x, y)在闭区域D上连续时， f(x, y) 在D上的二重积 分必定存在。以后总假定f(x, y)在D上连续。
高等数学
二重积分的概念与性质
一、二重积分的定义
定义 设f(x, y)是有界闭区域D上的有界函数．将D任意分成 n个小区域Δσ1，Δσ2，…，Δσn，小区域Δσi的面积仍记为
n
Δσi．在Δσi内任取一点(ξi, ηi)，作和式 f (i ，i )i 。 i 1
如果当各小区域中的最大直径λ趋于零时，若此和式的极限
f x, yd f x, yd f x, yd
D
D1
D2
性质4 若在D上，f(x, y)=1，σ为区域D的面积，则
1d = d
D
D
性质5 若在D上，f(x, y) σ(x, y)，则有不等式
f x, yd x, yd
D
D
特殊地,由于-|f(x, y)| f(x, y) |-f(x, y)| ， 又有
二、二重积分的性质
高等数学(II)(第十章、重积分)
27
Z
A ( x )
(x)
z f ( x, y)
2
1
(x)
f ( x , y ) dy
y
1( x )
所以：
2(x)
2 (x)
D
f(x,y)dxdy
b
A(x)dx
a
[
a
b
f(x .y ) dy ]dx
1 (x)
3-12
28
注意: 1）上式说明: 二重积分可化为二次定 积分计算;
2）积分次序: X-型域 3）积分限确定法: 先Y后X;
域中一线穿—定内限， 域边两线夹—定外限
为方便，上式也常记为：
b
dx
a
2 (x)
f(x .y ) dy
1 (x)
29
3、Y-型域下二重积分的计算：
同理：
d
x 1( y)
D
x 2( y)
c
D
f ( x, y )d
6
得 (3) 求和. 将这 n 个小平顶柱体的体积相加，
到原曲顶柱体体积的近似值，即
V
i1
n
V i f ( i , i ) i .
i1
n
(4) 取极限. 将区域 D 无限细分且每一个子域趋 向于缩成一点， 这个近似值就趋向于曲顶柱体的体
积， 即
V lim
0
将区域 D 任意分成 n 个小区域
任取一点 若存在一个常数 I , 使 记作
则称 f ( x , y )
可积 , 称 I 为 f ( x , y ) 在D上的二重积分.
高等数学 第二节 二重积分的计算
4
又解 :
1 ≤ x ≤ 2 D= 1 ≤ y ≤ x
2 x 1 1
y
y=x y =1
x=2
∫∫ x y d x d y = ∫ d x ∫ x y d y
D
9 ⌠ 1 3 1 . = x − x d x = 8 2 ⌡1 2
2
1
2
x
(∫
x
1
1 2 1 3 1 x y d y = xy = x − x) 2 2 2 y=1
1 y 1 x 0 0 0 0
(1,1) y=x
I = ∫ d y ∫ f ( x) f ( y)d x = ∫ d x ∫ f ( y) f ( x) d y
1 1
x
y
d x + 1 f ( x) x f ( y) d y d x 2 I = ∫ f ( x )∫ f ( y ) d y ∫0 ∫0 0 x 1 x f ( y) d y + 1 f ( y) d y d x = ∫ f ( x) ∫ ∫x 0 0 1 1 f ( y ) d y d x = A2 . A2 . = ∫ f ( x ) ∫ ∴ I= 13 0 0 2
≤
∫∫ e
D1
− x2 − y2
2R
x
18
∫∫e
D
−x2 − y2
dx dy ≤ ∫∫e
D2
−x2 − y2
dx dy ≤ ∫∫e
D 1
−x2 − y2
dx dy
又因为
∫∫ e
D2
− x2 − y2
d x dy = ∫
R − x2 R − y2 e dx ⋅ e dy 0 0
重积分知识点总结(一)
重积分知识点总结(一)前言重积分是高等数学中的重要知识点，是对多重积分进行研究的内容。
它在物理学、工程学和计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将针对重积分的知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和掌握这部分知识。
正文一、重积分的定义与性质1.重积分的定义：对于二重积分来说，可以将其理解为将被积函数在某个有界闭区域上的“总体积”。
而对于三重积分来说，则是将被积函数在某个有界闭区域上的“总体积”。
2.交换积分次序：在某些情况下，交换积分次序可以简化重积分计算的复杂程度。
3.重积分的性质：包括线性性质、保号性质、次可加性质等。
这些性质在进行重积分计算时非常重要。
二、二重积分的计算方法1.二重积分的计算方法主要有面积法、直角坐标法和极坐标法。
在具体的计算过程中，可以根据题目要求和被积函数的形式选择合适的计算方法。
2.面积法：将被积函数看做是一片平面上每一点的贡献，通过对整个区域的累加求和来计算二重积分。
3.直角坐标法：根据被积函数在直角坐标系内的表达式，利用基本积分计算公式进行计算。
4.极坐标法：将被积函数用极坐标系表示，通过变量代换进行计算。
对于具有旋转对称性的问题，极坐标法可以简化计算过程。
三、三重积分的计算方法1.三重积分的计算方法主要有体积法、直角坐标法和柱坐标法。
在具体的计算过程中，同样需要根据题目要求和被积函数的形式选择合适的计算方法。
2.体积法：将被积函数看做是空间内每一点的贡献，通过对整个区域的累加求和来计算三重积分。
3.直角坐标法：根据被积函数在直角坐标系内的表达式，利用基本积分计算公式进行计算。
4.柱坐标法：将被积函数用柱坐标系表示，通过变量代换进行计算。
对于具有旋转对称性的问题，柱坐标法可以简化计算过程。
结尾重积分是数学中重要而复杂的知识点，在实际应用中具有广泛的价值。
通过本文的总结，希望读者们能够对重积分的定义、性质和计算方法有更深入的理解，从而更好地应对相关问题的解决和应用。
前言重积分是高等数学中的重要知识点，是对多重积分进行研究的内容。
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高等数学二重积分总结. 第九章 二重积分 【本章逻辑框架】
【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。
⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。
⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。
在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12, , , n σσσ∆∆∆ 的分法要任意，二是在每个
小区域i σ∆上的点(, i i i ξησ∈∆的取法也要任意。有了这两个“任意”， 如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(, f x y 在区域D 上的二重积分存在。
2．明确二重积分的几何意义。 (1 若在D 上(, f x y ≥0，则(, d D f x y σ⎰⎰表示以区域D 为底，以 (, f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(, f x y ＝1时，(, d D f x y σ ⎰⎰表示平面区域D 的面积。 (2 若在D 上(, f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(, d D f x y σ⎰⎰的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3若(, f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(, d D
f x y σ⎰⎰表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 (即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积. 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数(, f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值，再应用估值不等式得到取值范围。
【主要概念梳理】 1. 二重积分的定义 设二元函数f(x,y在闭区域D 上有定义且有界. 分割 用任意两组曲线分割D 成n 个小区域12, , , n σσσ∆∆∆ ，同时用i σ∆表示它们的面积，1,2, , . i n = 其中任意两小块i σ∆和( j i j σ∆≠除边界外无公共点。i σ∆既表示第i 小块, 又表示第i 小块的面积.
近似、求和 对任意点(, i i i ξησ∈∆ ,作和式1(, . n i i i i f ξησ=∆∑ 取极限 若i λ为i σ∆的直径，记12max{, , , }n λλλλ= , 若极限 01lim (, n i i i i f λξησ→=∆∑ 存在，且它不依赖于区域D 的分法，也不依赖于点(, i i ξη的取法，称此极限为f (x,y 在D 上的二重积分. 记为
01(, d lim (, . n i i i D f x y f λσξη→==∑⎰⎰ 称f (x,y 为被积函数，D 为积分区域，x 、y 为积分变元，d σ为面积微元(或面积元素.
2. 二重积分 (, d D f x y σ⎰⎰的几何意义 (1 若在D 上f (x,y ≥0，则(,d D fx y σ⎰⎰表示以区域D 为底， 以f (x,y 为曲顶的曲顶柱体的体积. (2 若在D 上f (x,y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(, d D f x y σ⎰⎰ 的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3若f (x,y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域 上为负的，则(, d D f x y σ⎰⎰表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 (即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积. 3．二重积分的存在定理 3.1若f (x,y 在有界闭区域D 上连续，则f (x,y 在D 上的二重积分必存在(即f (x,y 在D 上必可积.
3.2若有界函数f (x,y 在有界闭区域D 上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续，则f (x,y 在D 可积.
4．二重积分的性质 二重积分有与定积分类似的性质. 假设下面各性质中所涉及的函数f (x , y ，g(x,y在区域 D 上都是可积的.
性质1 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即 [(, (, ]d(, d (, d . D D D f x y g x y f x y g x y σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即 (, d (, d (. D D kf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰为常数 性质3 若D 可以分为两个区域D 1, D 2，它们除边界外无公共点，则 12 (, d (, d (, d . D D D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 性质4 若在积分区域D 上有f (x , y =1，且用S (D 表示区域D 的面积，则 d (. D S D σ=⎰⎰ 性质5 若在D 上处处有f (x , y ≤g (x , y ，则有 (, d (, d . D D f x y g x y σσ≤⎰⎰⎰⎰ 推论 (, d (, d . D D f x y f x y σσ≤⎰⎰⎰⎰ 性质6(估值定理 若在D 上处处有m ≤f (x , y ≤M ，且S (D 为区域D 的面积，则
( (, d (. D mS D f x y MS D σ≤≤⎰⎰ 性质7(二重积分中值定理 设f (x , y 在有界闭区域D 上连续，则在D 上存在一点(, ξη, 使
(, d (, (. D f x y f S D σξη=⎰⎰ 【基本问题导引】 根据二重积分的几何意义或性质求解下列各题： 1．2d D a xdy =⎰⎰，其中222{(, |}D x y x y a =+≤ 2．设D 是由x 轴，y 轴与直线1x y +=所围成的区域，则21( , D I x y d σ=+⎰⎰32( D
I x y d σ=+⎰⎰的大小关系 是 . 【巩固拓展提高】 1．若f (x , y 在有界闭区域D 上连续，且在D 的任一子区域D *上有* (, d 0D f x y σ=⎰⎰，试证明在D 内恒有f (x , y ＝0 2．估计22(y d D I x xy x xdy =+--⎰⎰的值，其中{(, |02,01}.D x y x y =≤≤≤≤ 3．设f (x , y 是有界闭区域D ：222x y a +≤上的连续函数，则201 lim (, a D f x y dxdy a π→⎰⎰的值为多少？ 【数学思想方法】 二重积分是一元函数定积分的推广与发展，它们都是某种形式的和的极限，即分割求和、取极限，故可用微元法的思想来理解二重积分的概念与性质。
9.2 在直角坐标系中二重积分的计算 【学习方法导引】 本章的重点是二重积分的计算问题，而直角坐标系中二重积分的 计算问题关键是如何确定积分区域及确定X 型区域还是Y 型区域，这也是本章的难点。
直角坐标系中二重积分计算的基本技巧： (1在定积分计算中，如果D 的形状不能简单地用类似 12( ( x y x a x b ϕϕ≤≤⎧⎨ ≤≤⎩或12( ( y x y c y d φφ≤≤⎧⎨≤≤⎩的形式来表示，则我们可以将D 分成若干块，并由积分性质
1 2 (, d (, d (, d . D D D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 对右端各式进行计算。 (2交换积分次序不仅要考虑到区域D 的形状，还要考虑被积函数 的特点。如果按照某一积分次序的积分比较困难，若交换积分次序后，由于累次积分的积分函数(一元积分 形式发生变化，可能会使新的积分次序下的积分容易计算，从而完成积分的求解。但是无论是先对x 积分，再对y 积分，还是先对y 积分，再对x 积分最终计算的结果应该是相同的。一般的处理方法是由积分限确定积分区域D ，并按照新的积分次序将二重积分化成二次积分。具体步骤如下：①确定D 的
边界曲线，画出D 的草图； ②求出D 边界曲线的交点坐标； ③将D 的边界曲线表示为x 或y 的单值函数； ④考虑是否要将D 分成几块； ⑤用x , y 的不等式表示D .
注：在积分次序选择时，应考虑以下几个方面的内容：(ⅰ 保证各层积分的原函数能够求出；(ⅱ 若D 为X 型(Y 型, 先对x (y 积分；(ⅲ 若D 既为X 型又为Y 型，且满足(ⅰ 时，要使对D 的分块最少。
(3 利用对称性等公式简化计算 设f (x , y 在区域D 上连续，则 ①当区域D 关于x 轴对称
若(, (, f x y f x y -=-，则(, d D f x y σ⎰⎰＝0； 若(, (, f x y f x y -=，则(, d D f x y σ⎰⎰＝21 (, d D f x y σ⎰⎰，其中D 1为D 在 x 轴上方部分。