高等数学重积分总结

合集下载

高等数学§9.3.1-2三重积分的计算

例．计算三重积分 z2dxdydz，其中是由球面
x2 y2 z2 R2所围成的空间闭区域。
解： {(x, y, z) x2 y2 R2 z2, c z c}，
z2dxdydz R Rz2dzdxdy,
D (z)
故
z 2 dxdydz
RR
z
2
(R2
z2
)dz
4 15
R3
。
课堂练习题：
2．设f(x,y,z)在有界闭区上域连续，且关于原点对称。若f(x,y,z) 关于变量x，y，z为奇函数，即
f (x,y,z)f (x,y,z)，则f(x,y,z)dxdydz0 ；
若f(x,y,z) 关于变量x，y，z为偶函数，即 f(x,y,z)f(x,y,z) ，则三重积分等于其一半对称
（ 1 ）求 y z d， x d 由 z yR d 2 z x 2 y2，
x 2 y2 R及 z y 0所围成。
z
R
o
Ry
x
解：在 x面 o 上的投 y 影区域为 D x ： y x 2 y 2 R ，
R2x2y2
yzdxdydydz x0dy
zdz
Dxy
1 2
y(R2x2y2)dxdy
当函 f(x,y 数 ,z)在上连 ,则续得时
f(x,y,z)d v [z2(x,y)f(x,y,z)d]d z
D xyz1(x,y)
（先一后二法）。
若 D x 可用 y 不等式 y 1 ( x ) y y 2 ( x ) ， a x b 表示，则
f(x ， y ， z )d v b dy x 2 (x )dz 2 y (x ,y )f(x ， y ， z )dz

高等数学第九章重积分第四节重积分应用

x= z=
∫∫∫Ω xd xd y d z ∫∫∫Ω
V zd x d y d z V
∫∫∫Ω yd xd y d z
V
,
( V = ∫∫∫ d x d y d z为Ω的体积 ) Ω
上页下页返回结束
若物体为占有xOy 面上区域 D 的平面薄片其面密度的平面薄片, 若物体为占有则它的质心坐标质心坐标为则它的质心坐标为
上页下页返回结束
三、物体的质心
设空间有n个质点设空间有个质点, 分别位于 (xk , yk , zk ) , 其质量分别个质点为 mk ( k =1, 2, L, n ) ,由力学知该质点系的质心坐标由力学知,
∑xk mk
为
n
x=
k =1 n
∑yk mk
, y=
k =1 n
n
∑zk mk
∴ dA = 1 + f x2 + f y2 dσ 曲面S的面积元素曲面S
∴ A = ∫∫ 1 + f x2 + f y2 dσ ,
D
∂z ∂z A = ∫∫ 1 + (∂x )2 + (∂y )2dxdy 曲面面积公式为：曲面面积公式为： Dxy
上页
下页
返回
结束
小结 1. 设曲面 S 的方程为：z = f ( x , y ) 的方程为：
设曲面的方程为：３．设曲面的方程为：y = h( z , x ) 则曲面面积公式为：则曲面面积公式为： A =
∫∫
Dzx
1+ (
∂y 2 ∂z
) + ( ) dzdx.
∂y 2 ∂x
上页下页返回结束
例 4. 求球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 含在圆柱体 2 2 x + y = ax 内部的那部分面积内部的那部分面积.

高等数学积分公式大全图片素材

高等数学积分公式大全图片素材一、不定积分不定积分是指一类特殊的积分，它的积分常数不确定。

不定积分符号通常表示为∫，其基本形式为∫f(x)dx，其中f(x)是被积函数。

1.基本积分公式•常数函数：∫kdx = kx + C，其中k为常数，C为积分常数。

•幂函数：∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中n 不等于-1。

•指数函数：∫e^x dx = e^x + C。

•三角函数：∫sin(x)dx = -cos(x) + C；∫cos(x)dx = sin(x) + C。

2.常见运算法则•线性性质：∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx。

•恒乘法则：∫k f(x)dx = k∫f(x)dx，其中k为常数。

•分部积分：∫udv = uv - ∫vdu，其中u和v是原函数。

二、定积分定积分是在区间上的积分，表示函数在该区间上的“累积”。

定积分通常表示为∫[a,b]f(x)dx。

1.定积分性质•区间无关性：∫[a,b]f(x)dx = ∫[c,d]f(x)dx，积分区间内函数相同则积分值相等。

•微元法：∫[a,b]f(x)dx = lim(n→∞) [Σf(xi)*Δx]，即将区间分成n个小段求和，取极限可得积分结果。

2.定积分应用定积分在几何学、物理学等领域有广泛应用，如计算曲线下面积、求平均值、求体积等，是处理各种积分的基础。

三、常见积分法1.换元法•基本公式：∫u’(x)*u(x)dx = ∫u’(x)du•常见变换：三角代换、指数对数代换、倒代换等2.分部积分法•基本公式：∫u(x)v’(x)dx = u(x)v(x) - ∫u’(x)v(x)dx•常见应用：当被积函数为两个函数的乘积时，可以使用分部积分法简化计算。

四、高阶积分高阶积分是指对不定积分的多次重复，即对多重积分的处理。

常见高阶积分包括二重积分和三重积分，用于求解空间内的体积、质量、重心等问题。

高等数学积分公式大全

高等数学积分公式大全高等数学是一门非常重要的学科，在很多领域都有应用。

其中，积分学是高等数学中的一个重要章节。

积分可以理解为求解曲线图形下面的面积，不同类型的积分公式有着不同的概念和应用，下面，就为大家整理了一份高等数学积分公式大全，让大家对这个知识点有一个更全面的认识。

1. 常数积分公式$$\int kdx=kx+C$$2. 幂函数积分公式$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$3. 指数函数积分公式$$\int e^xdx=e^x+C$$4. 对数函数积分公式$$\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$$5. 三角函数积分公式$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$$$\int \cos xdx=\sin x+C$$6. 反三角函数积分公式$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$$$$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2-1}|+C$$7. 换元法积分公式$$\int f(u)du=\int f(u(x))\frac{du}{dx}dx$$8. 分部积分公式$$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx$$9. 定积分公式$$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$10. 积分中值定理$$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$$这便是几种高等数学积分公式的介绍，这些公式是数学中不可或缺的知识点，掌握这些公式不仅有助于学生学好数学，还对应用数学的工作有相当多的帮助。

除了这些基本的积分公式之外，高等数学还涉及到一些比较复杂的积分公式，如多重积分、线性代数积分、微积分方程等等。

1. 多重积分公式多重积分是指对多元函数的积分，通常被用于几何问题、概率论问题和物理学问题中。

高等数学-重积分PPT课件

重积分的性质
线性性质
若α、β为常数，则∫[αf+βg]=α∫f+β∫g。
积分区域的可加性
若D1、D2是两个不相交的区域，则∫[D1∪D2]f=∫[D1]f+∫[D2]f。
保序性
若在D上，f(x,y)≤g(x,y)，则∫[D]f≤∫[D]g。
绝对可积性
若f在D上可积，则|f|在D上也可积，且|∫[D]f|≤∫[D]|f|。
课件内容与结构
课件内容
本课件主要介绍重积分的基本概念、性质、计算方法和应用实例，包括二重积分和三重积分的定义、性质、计算方法和应用等。
课件结构
课件按照“概念引入-性质探讨-计算方法-应用实例”的逻辑顺序进行编排，层次分明，条理清晰，便于学生理解和掌握。
02
重积分的定义与性质
重积分的定义
二重积分的定义
计算消费者剩余和生产者剩余
02 重积分可用于计算消费者剩余和生产者剩余，通过对
需求函数和供给函数进行积分得到。
计算社会福利
03
重积分可用于计算社会福利，通过对消费者剩余和生
产者剩余进行加总得到。
06
重积分的数值计算方法
矩形法则与梯形法则
矩形法则
将积分区间划分为若干个小矩形，每个小矩形的面积近似等于其底边长度与高的乘积，将所有小矩形的面积相加得到积分的近似值。
计算转动惯量
重积分可用于计算物体绕某轴的转动惯量，通过对物体质量分布和到轴距离的平方进行积分得到。
计算引力
重积分可用于计算两个物体之间的引力，通过对两物体间的质量分布和距离进行积分得到。
在工程学中的应用
计算面积和体积
重积分可用于计算平面图形或立体图形的面积和体积，通过对图形的边界函数进行积分得到。

重积分高等数学.pptx

连续必可积
六、极坐标系下面积元素
y
( )
取r :[r, r dr] 取 :[ , d ]
x r cos
y
r
sin
r x2 y2
arctan
y
x
d
o
d
r r dr x
则d rdrd -------极坐标系下面积元素
f (x, y)d f (r cos, r sin k , 做乘积f (M k )k ;
共
n
3 求和 f (M k )k ;
性
4
记
k 1
max
1k nn
k
,当 0
如果 lim 0
k 1
f
(M k )k存在,则称此极限为
f (M )在上的积分,记作 f (M )d. ()
注 : (1)区域 k的直径k : (2) maxk , k 1, 2, n
f (i ,i ) i.
9
第10页/共23页
2) 物体为薄板。
y
1.分( ) : k (k 1, 2, , n)
2.取M k (k ,k ) k , f (k ,k )
则mk f (k ,k ) k
o
n
3.
m
lim 0
k 1
f
(k ,k ) k
z
3) 物体为空间物质块。
1.分(V ) : Vk (k 1, 2, , n)
f (M )g(M )d f (C) g(M )d
()
()
证明在上f (M )连续,则: m f (M ) M
mg(M ) f (M )g(M ) Mg(M )
(C )
m g(M )d f (M )g(M )d M g(M )d

高等数学(II)(第十章、重积分)

27
Z
A ( x )

(x)
z f ( x, y)
2
1
(x)
f ( x , y ) dy
y
1( x )
所以：
2(x)
2 (x)

D
f(x,y)dxdy

b
A(x)dx
a

[
a
b
f(x .y ) dy ]dx
1 (x)
3-12
28
注意: 1）上式说明: 二重积分可化为二次定积分计算;
2）积分次序: X-型域 3）积分限确定法: 先Y后X;
域中一线穿—定内限，域边两线夹—定外限
为方便，上式也常记为：

b
dx
a

2 (x)
f(x .y ) dy
1 (x)
29
3、Y-型域下二重积分的计算：
同理：
d
x 1( y)
D
x 2( y)
c

D
f ( x, y )d
6
得 (3) 求和. 将这 n 个小平顶柱体的体积相加，
到原曲顶柱体体积的近似值，即
V

i1
n
V i f ( i , i ) i .
i1
n
(4) 取极限. 将区域 D 无限细分且每一个子域趋向于缩成一点，这个近似值就趋向于曲顶柱体的体
积，即
V lim
0
将区域 D 任意分成 n 个小区域
任取一点若存在一个常数 I , 使记作
则称 f ( x , y )
可积 , 称 I 为 f ( x , y ) 在D上的二重积分.

高等数学《二重积分的计算》

D
y x , x 1 所围.
y
解将 D 看作 y — 型区域 , 则 1
D={(x , y)| y x 1 ，0 y 1 } , y y x
xydxdy
1
0
dy
1 y
y2
sin
xy
d
x
o
1x
D
1
[
y cos
y2
y cos
y]dy
0
1 sin 2
y2
y
sin
y
cos
y
1
0
1
cos 1
d
2
dx
1
x 1 x
x2 y2
dy
D
2(x3
1
x)dx
1 4
x
4
1 2
x
2
2 1
9. 4
例 5 求 x2e y2dxdy ，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
D {(x, y) | 0 x y , 0 y 1} ,
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
D
a
1 ( x )
d dy 2( y) f ( x, y)dx.
c
1( y)
为计算方便,可选择积分次序,采用哪一种次序积分通常取决于被积函数的结构.
必要时还可以交换积分次序.
例2 计算 y2 sin xydx dy , 其中 D 由 y 0,
0
1 1 y2
y2 x y 2x x2
例 8

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第九章二重积分【本章逻辑框架】

【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。

9.1 二重积分的概念与性质【学习方法导引】 1．二重积分定义

为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，

一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D成n个小区域12,,,n的分法要任意，二是在每个小区域i上的点(,)iii的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0时总有同一个极限，才能称二元函数(,)fxy在区域D上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。

二重积分的计算在极坐标系中二重积分的计算在直角坐标系中二重积分的计算

二重积分的概念与性质

二重积分的应用 (1) 若在D上(,)fxy≥0，则(,)dDfxy表示以区域D为底，以(,)fxy为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)fxy＝1时，(,)dDfxy表示平面区域D的面积。 (2) 若在D上(,)fxy≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方，二重积分(,)dDfxy的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积

(3)若(,)fxy在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域上为负的，则(,)dDfxy表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上

的曲顶柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数(,)fxy在闭区域D上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值，再应用估值不等式得到取值范围。【主要概念梳理】 1.二重积分的定义设二元函数f(x,y)在闭区域D上有定义且有界. 分割用任意两组曲线分割D成n个小区域12,,,n，同时用i表示它们的面积，1,2,,.in其中任意两小块i和()jij除边界外无公共点。

i

既表示第i小块,又表示第i小块的面积.

近似、求和对任意点(,)iii ,作和式1(,).niiiif

取极限若i为i的直径，记12max{,,,}n,若极限01lim(,)niiiif 存在，且它不依赖于区域D的分法，也不依赖于点(,)ii的取法，称此极限为f(x,y)在D上的二重积分. 记为称f(x,y)为被积函数，D为积分区域，x、y为积分变元，d为面积微元(或面积元素). 2.二重积分 (,)dDfxy的几何意义

(1) 若在D上f(x,y)≥0，则(,)dDfxy表示以区域D为底，以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积. (2) 若在D上f(x,y)≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方，二重积分(,)dDfxy 的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积

(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域上为负的，则(,)dDfxy表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上

的曲顶柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的存在定理 3.1若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上的二重积分必存在(即f(x,y)在D上必可积). 3.2若有界函数f(x,y)在有界闭区域D上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续，则f(x,y)在D可积. 4．二重积分的性质二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f(x,y)，g(x,y)在区域 D上都是可积的. 性质1 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即性质3 若D可以分为两个区域D1,D2，它们除边界外无公共点，则性质4 若在积分区域D上有f(x,y)=1，且用S(D)表示区域D的面积，则性质5 若在D上处处有f(x,y)≤g(x,y)，则有推论 (,)d(,)d.DDfxyfxy 性质6(估值定理) 若在D上处处有m≤f(x,y)≤M，且S(D)为区域D的面积，则性质7(二重积分中值定理) 设f(x,y)在有界闭区域D上连续，则在D上存在一点(,),使【基本问题导引】根据二重积分的几何意义或性质求解下列各题： 1．2dDaxdy ，其中222{(,)|}Dxyxya

2．设D是由x轴，y轴与直线1xy所围成的区域，则21(),DIxyd32()DIxyd

的大小关系

是 . 【巩固拓展提高】 1．若f(x,y)在有界闭区域D上连续，且在D的任一子区域D*上有

*(,)d0Dfxy，试证明在D内恒有f(x,y)＝0

2．估计22(y)dDIxxyxxdy的值，其中{(,)|02,01}.Dxyxy 3．设f(x,y)是有界闭区域D：222xya上的连续函数，则

201lim(,)aDfxydxdya

的值为多少？

【数学思想方法】二重积分是一元函数定积分的推广与发展，它们都是某种形式的和的极限，即分割求和、取极限，故可用微元法的思想来理解二重积分的概念与性质。

9.2 在直角坐标系中二重积分的计算【学习方法导引】本章的重点是二重积分的计算问题，而直角坐标系中二重积分的

计算问题关键是如何确定积分区域及确定X型区域还是Y型区域，这也是本章的难点。直角坐标系中二重积分计算的基本技巧：

(1)在定积分计算中，如果D的形状不能简单地用类似12()()xyxaxb或

12()()yxycyd



的形式来表示，则我们可以将D分成若干块，并由积分性

质对右端各式进行计算。 (2)交换积分次序不仅要考虑到区域D的形状，还要考虑被积函数的特点。如果按照某一积分次序的积分比较困难，若交换积分次序后，由于累次积分的积分函数(一元积分)形式发生变化，可能会使新的积分次序下的积分容易计算，从而完成积分的求解。但是无论是先对x积分，再对y积分，还是先对y积分，再对x积分最终计算的结果应该是相同的。一般的处理方法是由积分限确定积分区域D，并按照新的积分次序将二重积分化成二次积分。具体步骤如下：①确定D的边界曲线，画出D的草图； ②求出D边界曲线的交点坐标； ③将D的边界曲线表示为x或y的单值函数； ④考虑是否要将D分成几块； ⑤用x,y的不等式表示D. 注：在积分次序选择时，应考虑以下几个方面的内容：(ⅰ)保证各层积分的原函数能够求出；(ⅱ)若D为X型(Y型),先对x(y)积分；(ⅲ)若D既为X型又为Y型，且满足(ⅰ)时，要使对D的分块最少。 (3) 利用对称性等公式简化计算设f(x,y)在区域D上连续，则 ①当区域D关于x轴对称若(,)(,)fxyfxy，则(,)dDfxy＝0；若(,)(,)fxyfxy，则(,)dDfxy＝21(,)dDfxy，其中D1为D在x轴上方

部分。 ②当区域D关于y轴对称若(,)(,)fxyfxy，则(,)dDfxy＝0；若(,)(,)fxyfxy，则(,)dDfxy＝22(,)dDfxy，其中D2为D在y轴右侧

部分。 ③当区域D关于x轴和y轴都对称若(,)(,)fxyfxy或(,)(,)fxyfxy，则(,)dDfxy＝0；若(,)(,)(,)fxyfxyfxy，则(,)dDfxy＝41(,)dDfxy，其中D1为D在第一

象限部分。 ④轮换对称式设D关于直线yx对称，则(,)dDfxy＝(,)dDfyx. 【基本问题导引】一．判断题 1．dxdy=Dxy4122221dxdy,:4;:4,0,0DxyDxyDxyxy ( )

2. 若f为连续函数，则 21221001002(,)(,)(,)xxyydxfxydydxfxydydyfxydx



( )

【主要概念梳理】直角坐标系中二重积分计算当被积函数f(x,y)0且在D上连续时,

若D为 X - 型区域 12()():xyxDaxb 则 21()()(,)ddd(,)dbxDaxfxyxyxfxyy 若D为Y –型区域12()():yxyDcyd, 则21()()(,)ddd(,)ddyDcyfxyxyyfxyx 说明:若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 则有【巩固拓展提高】 1.(1992)计算112111224.yyyyxxyIdyedxdyedx

2.设1()xxyfxedy，计算10()fxdx. 9.3 在极坐标系中二重积分的计算【学习方法导引】极坐标系中二重积分计算的基本技巧：

(1)一般地，如果积分区域是圆域、扇形域或圆环形域，且被积函数为22(),fxy

yxoab

1()yx