高数积分总结doc

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高数积分公式大全

常用积分公式（一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +⎰＝1ln ax b C a ++2．()d ax b x μ+⎰＝11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-）3．d x x ax b +⎰＝21(ln )ax b b ax b C a +-++4．2d x x ax b +⎰＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+-++++⎢⎥⎣⎦5．d ()xx ax b +⎰＝1ln ax b C b x +-+6．2d ()xx ax b +⎰＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +⎰＝21(ln )b ax b C a ax b++++ 8．22d ()x x ax b +⎰＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b+-+-++ 9．2d ()xx ax b +⎰＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++的积分10．x C +11．x ⎰＝22(3215ax b C a -12．x x ⎰＝22232(15128105a x abx b C a-+13．x⎰＝22(23ax b Ca -14．2x ⎰＝22232(34815a x abx b C a -+ 15．⎰(0)(0)C b C b ⎧+><16．⎰2a b - 17．d x x ⎰＝b ⎰18．x ⎰＝2a x -+ （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +⎰=1arctan x C a a+ 20．22d ()n x x a +⎰=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n xn a x a n a x a ---+-+-+⎰ 21．22d xx a -⎰=1ln 2x a C a x a -++（四）含有2(0)ax b a +>的积分22．2d x ax b +⎰＝(0)(0)C b C b ⎧+>+<23．2d x x ax b +⎰＝21ln 2ax b C a++24．22d x x ax b +⎰＝2d x b xa a ax b-+⎰25．2d ()x x ax b +⎰＝221ln 2x C b ax b++26．22d ()x x ax b +⎰＝21d a xbx b ax b --+⎰27．32d ()x x ax b +⎰＝22221ln 22ax b a C b x bx+-+ 28．22d ()x ax b +⎰＝221d 2()2x xb ax b b ax b +++⎰（五）含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d x ax bx c ++⎰＝22(4)(4)C b ac Cb ac +<+>30．2d x x ax bx c ++⎰＝221d ln 22b x ax bx c a a ax bx c++-++⎰(0)a >的积分 31．⎰＝1arshxC a +＝ln(x C ++ 32．C +33．x ⎰C34．x＝C +35．2x2ln(2a x C +36．2x ＝ln(x C +++37．⎰1ln aC a x -+38．⎰C +39．x 2ln(2a x C ++40．x ＝2243(25ln(88x x a a x C ++41．x ⎰C +42．xx ⎰＝422(2ln(88x a x a x C +++43．x ⎰a C +44．x ⎰＝ln(x C +++(0)a >的积分45．⎰＝1arch x xC x a+=ln x C ++ 46．C +47．x ⎰C48．x ＝C+49．2x 2ln 2a x C +++50．2x ＝ln x C +++51．⎰1arccos aC a x+52．⎰2C a x +53．x 2ln 2a x C -++54．x ＝2243(25ln 88x x a a x C -++55．x ⎰C56．xx ⎰＝422(2ln 88x a x a x C -+57．x ⎰arccos a a C x -+58．x ⎰＝ln x C +++(0)a >的积分 59．⎰＝arcsinxC a + 60．C +61．x ⎰＝C+62．x C +63．2x ＝2arcsin 2a x C a + 64．2x arcsinxC a-+65．⎰1C a +66．⎰2C a x -+67．x 2arcsin 2a x C a+68．x ＝2243(52arcsin 88x x a x a C a-+69．x ⎰＝C70．xx ⎰＝422(2arcsin 88x a x x a C a-+71．x ⎰ln a a C x ++72．x ⎰＝arcsin xC a-+(0)a >的积分73．⎰2ax b C +++74．x22ax b C ++++75．x ⎰2ax b C -+++76．⎰＝C +77．x 2C +78．x ⎰＝C ++79．x ⎰＝((x b b a C --+80．x ⎰＝((x b b a C -+-81．⎰＝C ()a b <82．x 2()arcsin 4b a C -+ ()a b < （十一）含有三角函数的积分 83．sin d x x ⎰＝cos x C-+84．cos d x x ⎰＝sin x C + 85．tan d x x ⎰＝ln cos x C -+ 86．cot d x x ⎰＝ln sin x C +87．sec d x x ⎰＝ln tan()42xC π++＝ln sec tan x x C ++ 88．csc d x x ⎰＝ln tan2xC +＝ln csc cot x x C -+ 89．2sec d x x ⎰＝tan x C + 90．2csc d x x ⎰＝cot x C -+ 91．sec tan d x x x ⎰＝sec x C + 92．csc cot d x x x ⎰＝csc x C -+93．2sin d x x ⎰＝1sin 224x x C -+ 94．2cos d x x ⎰＝1sin 224x x C ++95．sin d nx x ⎰＝1211sin cos sin d n n n x x x x n n----+⎰ 96．cos d n x x ⎰＝1211cos sin cos d n n n x x x x n n---+⎰ 97．d sin n x x ⎰＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n xn x n x----⋅+--⎰ 98．d cos n x x ⎰＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n xn x n x---⋅+--⎰ 99．cos sin d m nx x x ⎰＝11211cos sin cos sin d m n m n m x x x x x m n m n -+--+++⎰ ＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n+----+++⎰ 100．sin cos d ax bx x ⎰＝11cos()cos()2()2()a b x a b x Ca b a b -+--++-101．sin sin d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b -++-++-102．cos cos d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++-++-103．d sin xa b x +⎰tanxa b C ++22()a b >104．d sin x a b x +⎰C+22()a b <105．d cos xa b x +⎰)2x C +22()a b >106．d cos x a b x +⎰C +22()a b <107．2222d cos sin x a x b x +⎰＝1arctan(tan )bx C ab a + 108．2222d cos sin xa xb x -⎰＝1tan ln 2tan b x a C ab b x a ++-109．sin d x ax x ⎰＝211sin cos ax x ax C a a -+ 110．2sin d x ax x ⎰＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a -+++111．cos d x ax x ⎰＝211cos sin ax x ax C a a ++112．2cos d x ax x ⎰＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a+-+（十二）含有反三角函数的积分（其中0a >）113．arcsin d x x a ⎰＝arcsin x x Ca+114．arcsin d x x x a⎰＝22()arcsin 24x a x C a -+115．2arcsin d x x x a ⎰＝3221arcsin (239x x x a C a ++116．arccos d xx a ⎰＝arccos x x C a-+117．arccos d x x x a⎰＝22()arccos 24x a x C a --118．2arccos d x x x a ⎰＝3221arccos (239x x x a C a -+ 119．arctand x x a ⎰＝22arctan ln()2x a x a x C a -++ 120．arctan d x x x a ⎰＝221()arctan 22x a a x x C a +-+ 121．2arctan d x x x a ⎰＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+++ （十三）含有指数函数的积分122．d xa x ⎰＝1ln x a C a+ 123．e d ax x ⎰＝1e ax C a+ 124．e d ax x x ⎰＝21(1)e ax ax C a-+ 125．e d n ax x x ⎰＝11e e d n ax n ax n x x x a a --⎰ 126．d x xa x ⎰＝21ln (ln )x x x a a C a a -+ 127．d n x x a x ⎰＝11d ln ln n x n x n x a x a x a a--⎰ 128．e sin d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )ax a bx b bx C a b-++ 129．e cos d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )ax b bx a bx C a b +++130．e sin d ax n bx x ⎰＝12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n--+ 22222(1)e sin d ax n n n b bx x a b n--++⎰ 131．e cos d ax n bx x ⎰＝12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n-++ 22222(1)e cos d ax n n n b bx x a b n--++⎰ （十四）含有对数函数的积分132．ln d x x ⎰＝ln x x x C -+ 133．d ln x x x ⎰＝ln ln x C +134．ln d n x x x ⎰＝111(ln )11n x x C n n +-+++ 135．(ln )d n x x ⎰＝1(ln )(ln )d n n x x n x x --⎰136．(ln )d m n x x x ⎰＝111(ln )(ln )d 11m n m n n x x x x x m m +--++⎰ （十五）含有双曲函数的积分 137．sh d x x ⎰＝ch x C +138．ch d x x ⎰＝sh x C +139．th d x x ⎰＝lnch x C + 140．2sh d x x ⎰＝1sh224x x C -++ 141．2ch d x x ⎰＝1sh224x x C ++ （十六）定积分142．cos d nx x π-π⎰＝sin d nx x π-π⎰＝0 143．cos sin d mx nx x π-π⎰＝0144．cos cos d mx nx x π-π⎰＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩ 145．sin sin d mx nx x π-π⎰＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩146．0sin sin d mx nx x π⎰＝0cos cos d mx nx x π⎰＝0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩ 147． n I ＝20sin d n x x π⎰＝20cos d n x x π⎰ n I ＝21n n I n-- 1342253n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅- （n 为大于1的正奇数），1I ＝1 13312422n n n I n n --π=⋅⋅⋅⋅⋅-（n 为正偶数），0I ＝2π（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。

高等数学积分学总结

《高等数学》中的积分学总结高等数学中涉及的积分类型主要有：定积分（含广义积分）、二重积分、三重积分、曲线积分（对弧长、对坐标）、曲面积分（对面积、对坐标）。

一、符号形式1()baI f x dx =⎰；2(,)DI f x y d σ=⎰⎰；3(,,)I f x y z dV Ω=⎰⎰⎰；4(,,)CI f x y z ds =⎰；5CCI F dr Pdx Qdy Rdz ==++⎰⎰；6(,,)I f x y z dS ∑=⎰⎰；7I F ndS F dS Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑∑∑===++⎰⎰⎰⎰⎰⎰二、共同点2.1 定义方法：划分—>微元—>求和—>取极限 2.2 性质：线性性质、可加性、估值三、不同点ds功、流量、环量、通量dS流量、通量四、重要联系及公式4.1 Newton-Leibniz 公式：()()()ba f x dx Fb F a =-⎰4.2 Green 公式：环量—旋度形式：()CDDQ P x y DPdx Qdy rotF kd F kd d σσσ∂∂∂∂+==∇⨯=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰通量—散度形式：()CDDQPx yDPdy Qdx F nd divFd d σσσ∂∂∂∂-===+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4.3 Stokes 公式：()()()CQQRP RP y zz x xy Pdx Qdy Rdz rotF ndS F ndSdydz dzdx dxdy∑∑∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∑++==∇⨯=-+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4.4 Gauss 公式：()QPR x yz Pdydz Qdzdx Rdxdy F ndS divFdV FdVdV∑∑ΩΩ∂∂∂∂∂∂Ω++===∇=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰五、基本计算方法5.1 定积分方法：凑微分法、换元法、分部积分法特殊结论：（1）对称性与奇偶性：02(),()()()0,()()aaaf x dx f x f x f x dx f x f x -⎧-=⎪=⎨⎪-=-⎩⎰⎰（2）周期性：0()()a T Taf x dx f x d x +=⎰⎰（3）无界性：(),(),(),()A bb Aaaf x dx f x dx f x dx f x dx -++∞-∞⎰⎰⎰⎰2(,)DI f x y d σ=⎰⎰，其中D 为平面有界区域。

高数微积分公式大全

微积分公式cos2n -1x d x =⎰∞+-+01)1(nm m x x d x 希腊字母 (Greek Alphabets)大写小写读音大写小写读音大写小写读音 Α α alpha Ι ι iota Ρ ρ rho Β β beta Κ κ kappa Σ σ, ς sigmaΓ γ gamma Λ λ lambd a Τ τ tau Δ δ delta Μ μ mu Υ υ upsilon Ε ε epsilon Ν ν nu Φ φ phi Ζ ζ zeta Ξ ξ xi Χ χ khi Η η eta Ο ο omicro n Ψ ψ psi ΘθthetaΠπpiΩωomega商数关系: tan θ=θθcos sin ; cot θ= θθsin cos 平方关系: cos 2θ+ sin 2θ=1; tan 2θ+ 1= sec 2θ; 1+ cot 2θ= csc 2θ順位低順位高; ⎰ 顺位高d 顺位低 ;0*∞ =∞1 *∞ = ∞∞ = 0*01 = 0000 = )(0-∞e ; 0∞ = ∞⋅0e ; ∞1 = ∞⋅0e顺位一: 对数; 反三角(反双曲)顺位二: 多项函数; 幂函数顺位三: 指数; 三角(双曲)算术平均数(Arithmetic mean)nX X X X n+++= (21)中位数(Median) 取排序后中间的那位数字众数(Mode)次数出现最多的数值几何平均数(Geometric mean)n n X X X G ⋅⋅⋅= (21)调和平均数(Harmonic mean))1...11(1121nx x x n H +++=平均差(Average Deviatoin)nX Xni||1-∑1 000 000 000 000 000 000 000 000 1024 yotta Y 1 000 000 000 000 000 000 000 1021 zetta Z1 000 000 000 000 000 000 1018 exa E1 000 000 000 000 000 1015 peta P1 000 000 000 000 1012 tera T 兆1 000 000 000 109 giga G 十亿1 000 000 106 mega M 百万1 000 103 kilo K 千100 102 hecto H 百10 101 deca D 十0.1 10-1 deci d 分，十分之一0.01 10-2 centi c 厘（或写作「厘」），百分之一0.001 10-3 milli m 毫，千分之一0.000 001 10-6 micro ? 微，百万分之一0.000 000 001 10-9 nano n 奈，十亿分之一0.000 000 000 001 10-12 pico p 皮，兆分之一0.000 000 000 000 001 10-15 femto f 飞（或作「费」），千兆分之一0.000 000 000 000 000 001 10-18 atto a 阿0.000 000 000 000 000 000 001 10-21 zepto z0.000 000 000 000 000 000 000 001 10-24 yocto y。

高数定积分知识点总结

高数定积分知识点总结一、定积分的定义定积分是微积分中的一个重要概念，它是对一个函数在一个区间上的积分结果进行计算的过程。

在数学上，定积分是用来计算曲线下面的面积或者函数在某一区间上的平均值的方法。

定积分可以写成以下形式：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx \]其中，\( f(x) \)是被积函数，\( a \)和\( b \)是积分区间的端点。

定积分的计算过程就是求解被积函数在给定区间上的曲线下面的面积。

定积分在物理学、工程学和经济学等领域都有着广泛的应用，是微积分中不可或缺的重要工具。

二、定积分的性质1. 定积分的可加性如果函数\( f(x) \)在区间\([a, b]\)上是可积的，那么对于任意的\( c \)满足\( a \leq c \leq b \)，都有：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx \]这个性质表明了定积分的可加性，即在一个区间上进行积分的结果可以根据任意划分点\( c \)进行分割。

2. 定积分的线性性对于任意的实数\( \alpha, \beta \)和函数\( f(x), g(x) \)，如果\( f(x), g(x) \)在区间\([a, b]\)上是可积的，那么有：\[ \int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x))dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)dx \]这个性质表明了定积分的线性性，即在一个区间上进行线性组合的函数的积分等于线性组合的函数的积分的线性组合。

3. 定积分的保号性如果在区间\([a, b]\)上有\( f(x) \geq 0 \)，那么有：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx \geq 0 \]这个性质表明了定积分的保号性，即当被积函数在一个区间上非负时，其积分结果也是非负的。

高等数学常用积分公式总结大全

高等数学常用积分公式总结大全目录高等数学常用积分公式总结大全 (1)（一）含有ax b +的积分(0a ≠) .............................................................................................. 2 （二）含有ax b +的积分 . (2)（三）含有22x a ±的积分 (3)（四）含有2(0)ax b a +>的积分 (4)（五）含有2ax bx c ++(0)a >的积分 ................................................................................... 4 （六）含有22x a +(0)a >的积分 ........................................................................................ 5 （七）含有22x a −(0)a >的积分 ........................................................................................ 6 （八）含有22a x −(0)a >的积分 ........................................................................................ 7 （九）含有2ax bx c ±++(0)a >的积分 ............................................................................. 8 （十）含有x a x b−±−或()()x a b x −−的积分 .................................................................... 9 （十一）含有三角函数的积分 (9)（十二）含有反三角函数的积分（其中0a >） (11)（十三）含有指数函数的积分 (12)（十四）含有对数函数的积分 (13)（十五）含有双曲函数的积分 (13)（十六）定积分 (14)（一）含有ax b +的积分(0a ≠)1．d x ax b +⎰＝1ln ax b C a ++2．()d ax b x μ+⎰＝11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠−） 3．d x x ax b +⎰＝21(ln )ax b b ax b C a +−++4．2d x x ax b +⎰＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+−++++⎢⎥⎣⎦5．d ()x x ax b +⎰＝1ln ax b C b x +−+6．2d ()x x ax b +⎰＝21ln a ax b C bx b x+−++ 7．2d ()x x ax b +⎰＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22d ()x x ax b +⎰＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +−+−++ 9．2d ()x x ax b +⎰＝211ln ()ax b C b ax b b x+−++ （二）含有ax b +的积分 10．d ax b x +⎰＝32()3ax b C a++ 11．d x ax b x +⎰＝322(32)()15ax b ax b C a −++12．2d xax b x +⎰＝222332(15128)()105a x abx b ax b C a −+++ 13．d x x ax b+⎰＝22(2)3ax b ax b C a −++ 14．2d x x ax b+⎰＝22232(348)15a x abx b ax b C a −+++ 15．d x x ax b +⎰＝1ln (0)2arctan (0)ax b b C b b ax b b ax b C b b b ⎧+−+>⎪++⎪⎨⎪++<⎪−−⎩16．2d x xax b +⎰＝d 2ax b a x bx b x ax b +−−+⎰ 17．d ax b x x +⎰＝d 2x ax b b x ax b +++⎰ 18．2d ax b x x +⎰＝d 2ax b a x x x ax b +−++⎰ （三）含有22xa ±的积分 19．22d x x a +⎰=1arctan x C a a + 20．22d ()n x x a +⎰=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a −−−+−+−+⎰21．22d x x a −⎰=1ln 2x a C a x a −++（四）含有2(0)ax b a +>的积分22．2d x ax b +⎰＝1arctan (0)1ln(0)2ax C b b ab ax b C b ab ax b ⎧+>⎪⎪⎨−−⎪+<⎪−+−⎩23．2d x x ax b +⎰＝21ln 2ax b C a ++24．22d x x ax b +⎰＝2dx b xa a axb −+⎰25．2d ()x x ax b +⎰＝221ln 2x C b ax b ++26．22d ()xx ax b +⎰＝21d a xbx b ax b −−+⎰27．32d ()x x ax b +⎰＝22221ln 22ax b aC b x bx +−+28．22d ()xax b +⎰＝221d 2()2xxb ax b b ax b +++⎰（五）含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d x ax bx c ++⎰＝222222222arctan (4)44124ln (4)424ax b Cb ac ac b ac bax b b acCb ac b ac ax b b ac +⎧+<⎪−−⎪⎨+−−⎪+>⎪−++−⎩ 30．2d xx ax bx c ++⎰＝221d ln 22b xax bx c a a ax bx c++−++⎰（六）含有22x a +(0)a >的积分 31．22d xx a +⎰＝1arsh x C a+＝22ln()x x a C +++ 32．223d ()x x a +⎰＝222x C a x a ++ 33．22d xx x a +⎰＝22x a C ++34．223d ()x x x a +⎰＝221C x a −++35．222d x x x a +⎰＝22222ln()22x a x a x x a C +−+++ 36．2223d ()x x x a +⎰＝2222ln()x x x a C x a −+++++ 37．22d x x x a+⎰＝221ln x a a C a x +−+ 38．222d xx x a +⎰＝222x a C a x +−+ 39．22d x a x +⎰＝22222ln()22x a x a x x a C +++++ 40．223()d x a x +⎰＝22224223(25)ln()88x x a x a a x x a C ++++++ 41．22d x x a x +⎰＝2231()3x a C ++ 42．222d x x a x +⎰＝4222222(2)ln()88x a x a x a x x a C ++−+++43．22d x a x x +⎰＝2222ln x a a x a a C x +−+++ 44．222d x a x x +⎰＝2222ln()x a x x a C x+−++++ （七）含有22x a −(0)a >的积分 45．22d x x a −⎰＝1arch x x C x a +=22ln x x a C +−+ 46．223d ()x x a −⎰＝222x C a x a −+− 47．22d xx x a −⎰＝22x a C −+48．223d ()x x x a −⎰＝221C x a −+−49．222d x x x a −⎰＝22222ln 22x a x a x x a C −++−+ 50．2223d ()x x x a −⎰＝2222ln x x x a C x a −++−+− 51．22d x x x a −⎰＝1arccos a C a x+ 52．222d x xx a −⎰＝222x a C a x −+ 53．22d x a x −⎰＝22222ln 22x a x a x x a C −−+−+ 54．223()d x a x −⎰＝22224223(25)ln 88x x a x a a x x a C −−++−+55．22d x x a x −⎰＝2231()3x a C −+ 56．222d x x a x −⎰＝4222222(2)ln 88x a x a x a x x a C −−−+−+ 57．22d x a x x −⎰＝22arccos a x a a C x −−+ 58．222d x a x x −⎰＝2222ln x a x x a C x −−++−+ （八）含有22a x −(0)a >的积分 59．22d xa x −⎰＝arcsin x C a+ 60．223d ()x a x −⎰＝222x C a a x +− 61．22d xx a x −⎰＝22a x C −−+62．223d ()x x a x −⎰＝221C a x +−63．222d x x a x −⎰＝222arcsin 22x a x a x C a −−++ 64．2223d ()x x a x −⎰＝22arcsin x x C a a x −+− 65．22d x x a x−⎰＝221ln a a x C a x −−+ 66．222d x x a x −⎰＝222a x C a x −−+67．22d a x x −⎰＝222arcsin 22x a x a x C a −++ 68．223()d a x x −⎰＝222243(52)arcsin 88x x a x a x a C a−−++ 69．22d x a x x −⎰＝2231()3a x C −−+ 70．222d x a x x −⎰＝42222(2)arcsin 88x a x x a a x C a −−++ 71．22d a x x x −⎰＝2222ln a a x a x a C x −−−++ 72．222d a x x x −⎰＝22arcsin a x x C x a−−−+ （九）含有2ax bx c ±++(0)a >的积分 73．2d xax bx c ++⎰＝21ln 22ax b a ax bx c C a+++++ 74．2d ax bx c x ++⎰＝224ax b ax bx c a+++2234ln 228ac b ax b a ax bx c C a −++++++ 75．2d xx ax bx c ++⎰＝21ax bx c a++ 23ln 222b ax b a ax bx c C a −+++++ 76．2d xc bx ax +−⎰＝212arcsin 4ax b C a b ac−−++77．2d c bx ax x +−⎰＝2232242arcsin 484ax b b ac ax b c bx ax C a a b ac −+−+−+++ 78．2d xx c bx ax +−⎰＝23212arcsin 24b ax b c bx ax C a a b ac−−+−+++ （十）含有x a x b −±−或()()x a b x −−的积分 79．d x a x x b −−⎰＝()()ln()x a x b b a x a x b C x b−−+−−+−+− 80．d x a x b x −−⎰＝()()arcsin x a x a x b b a C b x b x −−−+−+−− 81．d ()()x x a b x −−⎰＝2arcsin x a C b x −+−()a b < 82．()()d x a b x x −−⎰＝22()()()arcsin 44x a b b a x a x a b x C b x−−−−−−++− ()a b < （十一）含有三角函数的积分83．sin d x x ⎰＝cos x C −+84．cos d x x ⎰＝sin x C +85．tan d x x ⎰＝ln cos x C −+86．cot d x x ⎰＝ln sin x C +87．sec d x x ⎰＝ln tan()42x C π++＝ln sec tan x x C ++ 88．csc d x x ⎰＝ln tan 2x C +＝ln csc cot x x C −+ 89．2sec d x x ⎰＝tan x C +90．2csc d x x ⎰＝cot x C −+91．sec tan d x x x ⎰＝sec x C +92．csc cot d x x x ⎰＝csc x C −+ 93．2sin d x x ⎰＝1sin 224x x C −+ 94．2cos d x x ⎰＝1sin 224x x C ++ 95．sin d n x x ⎰＝1211sin cos sin d n n n x x x x n n−−−−+⎰ 96．cos d n x x ⎰＝1211cos sin cos d n n n x x x x n n −−−+⎰97．d sin n x x ⎰＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n x n x n x −−−−⋅+−−⎰ 98．d cos n x x ⎰＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n x n x n x−−−⋅+−−⎰ 99．cos sin d m n x x x ⎰＝11211cos sin cos sin d m n m n m x x x x x m n m n−+−−+++⎰ ＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n +−−−−+++⎰ 100．sin cos d ax bx x ⎰＝11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b −+−−++− 101．sin sin d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b −++−++− 102．cos cos d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++−++−103．d sin x a b x +⎰＝2222tan 22arctan x a b C a b a b ++−−22()a b >104．d sin x a b x +⎰＝222222tan12ln tan 2x a b b a C x b a a b b a +−−+−++−22()a b < 105．d cos x a b x +⎰＝2arctan(tan )2a b a b x C a b a b a b +−++−+22()a b > 106．d cos x a b x +⎰＝tan 12ln tan 2x a ba b b a C a b b a x a bb a +++−++−+−−22()a b < 107．2222d cos sin x a x b x +⎰＝1arctan(tan )b x C ab a+ 108．2222d cos sin x a x b x −⎰＝1tan ln 2tan b x a C ab b x a ++− 109．sin d x ax x ⎰＝211sin cos ax x ax C a a−+ 110．2sin d x ax x ⎰＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a−+++ 111．cos d x ax x ⎰＝211cos sin ax x ax C a a++ 112．2cos d x ax x ⎰＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a +−+ （十二）含有反三角函数的积分（其中0a >） 113．arcsin d xx a ⎰＝22arcsin x x a x C a+−+ 114．arcsin d x x x a⎰＝2222()arcsin 244x a x x a x C a −+−+115．2arcsin d x x x a ⎰＝322221arcsin (2)39x x x a a x C a ++−+ 116．arccos d xx a ⎰＝22arccos x x a x C a−−+ 117．arccos d x x x a⎰＝2222()arccos 244x a x x a x C a −−−+ 118．2arccos d x x x a ⎰＝322221arccos (2)39x x x a a x C a −+−+ 119．arctand x x a ⎰＝22arctan ln()2x a x a x C a −++ 120．arctan d x x x a ⎰＝221()arctan 22x a a x x C a +−+ 121．2arctan d x x x a ⎰＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a −+++ （十三）含有指数函数的积分122．d xa x ⎰＝1ln x a C a+ 123．e d ax x ⎰＝1e ax C a+ 124．e d ax x x ⎰＝21(1)e ax ax C a−+ 125．e d n ax x x ⎰＝11e e d n ax n ax n x x x a a −−⎰ 126．d x xa x ⎰＝21ln (ln )x x x a a C a a −+ 127．d n x x a x ⎰＝11d ln ln n x n x n x a x a x a a−−⎰ 128．e sin d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )ax a bx b bx C a b−++ 129．e cos d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )ax b bx a bx C a b +++130．e sin d ax n bx x ⎰＝12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n−−+ 22222(1)e sin d ax n n n b bx x a b n −−++⎰131．e cos d ax n bx x ⎰＝12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n−++ 22222(1)e cos d ax n n n b bx x a b n−−++⎰ （十四）含有对数函数的积分 132．ln d x x ⎰＝ln x x x C −+ 133．d ln x x x ⎰＝ln ln x C +134．ln d n x x x ⎰＝111(ln )11n x x C n n +−+++ 135．(ln )d n x x ⎰＝1(ln )(ln )d n n x x n x x −−⎰ 136．(ln )d m n x x x ⎰＝111(ln )(ln )d 11m n m n n x x x x x m m +−−++⎰（十五）含有双曲函数的积分 137．sh d x x ⎰＝ch x C +138．ch d x x ⎰＝sh x C +139．th d x x ⎰＝lnch x C + 140．2sh d x x ⎰＝1sh224x x C −++ 141．2ch d x x ⎰＝1sh224x x C ++（十六）定积分 142．cos d nx x π−π⎰＝sin d nx x π−π⎰＝0 143．cos sin d mx nx x π−π⎰＝0 144．cos cos d mx nx x π−π⎰＝0,,m n m n≠⎧⎨π=⎩ 145．sin sin d mx nx x π−π⎰＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩ 146．0sin sin d mx nx x π⎰＝0cos cos d mx nx x π⎰＝0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩ 147． n I ＝20sin d n x x π⎰＝20cos d n x x π⎰ n I ＝21n n I n−− 1342253n n n I n n −−=⋅⋅⋅⋅− （n 为大于1的正奇数），1I ＝1 13312422n n n I n n −−π=⋅⋅⋅⋅⋅−（n 为正偶数），0I ＝2π。

高数：曲线积分与曲面积分总结

Q P y
则有
Pdx Q dy
L
( x
D

)d x d y
其中 L 是 D 的取正向的边界曲线,公式称为格林公式.
格林
积分与路径无关：
定理2 设D是平面单连通区域， ( x , y ), Q( x , y )及其 P 一阶偏导数在内连续，则下述四个命 D 题等价：
(2)若投影域面积是零，则积分值是零。
注：“一投,二代,三定号”
z

2
O
n
y
1
x
若是母线平行于 z 轴的柱面 , 则 Pdxdy 0 .

例如积分 I 1 : x
2 2

( x y 1 ) dxdy ,
y
2
1 , ( 0 z 1 );
: x y 1 , ( x 0 , y 0 , 0 z 1 ).
3 .如果由 y y ( z , x ) 给出 , 则有
D yz
把曲面Σ向yoz面投影，得区域D yz
把曲面Σ向xoz面投影，得区域Dxz
Q( x , y , z )dzdx Q[ x , y( z , x ), z ]dzdx
Dzx
注意:(1)对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.
f [ x , y , z ( x , y )] 1 z x z y dxdy
2 2

R ( x , y , z ) dxdy

D xy
R [ x , y , z ( x , y )] dxdy
D xy
算一投,二代,三换(与侧无关)一投,二代,三定号 (与侧有关)

高数微积分公式大全(总结的比较好)

高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=-⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅ ⑼()xxe e '= ⑽()ln xxa aa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arc cot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫=⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则（1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑四、基本初等函数的n 阶导数公式（1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x xd a a adx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xad dx x a= ⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x =-+六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫=⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dx x c x =+⎰⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰ ⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰ ⑽21arctan 1dx x c x=++⎰ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan xdx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsin xc a =+ln x c =++九、下列常用凑微分公式十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令nu x =，ax dv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx =⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos axe xdx ⎰令,sin ,cos ax u e x x =均可。

高数积分公式

常用积分公式（一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +⎰＝1ln ax b C a ++2．()d ax b x μ+⎰＝11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-）3．d x x ax b +⎰＝21(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +⎰＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+-++++⎢⎥⎣⎦5．d ()x x ax b +⎰＝1ln ax bC b x +-+6．2d ()x x ax b +⎰＝21ln a ax b C bx b x+-++ 7．2d ()xx ax b +⎰＝21(ln )b ax b C a ax b++++ 8．22d ()x x ax b +⎰＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2d ()x x ax b +⎰＝211ln ()ax b C b ax b b x+-++的积分10．x C +11．x ⎰＝22(3215ax b C a -12．x x ⎰＝22232(15128105a x abx b C a-+13．x⎰＝22(23ax b C a -14．2x＝22232(34815a x abx b C a -+15．(0)(0)C b C b ⎧+>+<16．2a bx b -- 17．d x x ⎰＝b 18．x＝2a +（三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +⎰=1arctan x C a a+ 20．22d ()n xx a +⎰=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+⎰21．22d x x a -⎰=1ln 2x a C a x a-++ （四）含有2(0)ax b a +>的积分22．2d x ax b +⎰＝(0)(0)C b C b ⎧+>+<23．2d x x ax b +⎰＝21ln 2ax b C a++ 24．22d x x ax b+⎰＝2d x b x a a ax b -+⎰25．2d ()xx ax b +⎰＝221ln 2x C b ax b++ 26．22d ()xx ax b +⎰＝21d a x bx b ax b --+⎰27．32d ()x x ax b +⎰＝22221ln 22ax b a C b x bx+-+ 28．22d ()xax b +⎰＝221d 2()2x x b ax b b ax b +++⎰（五）含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d x ax bx c ++⎰＝22(4)(4)C b ac C b ac +<+> 30．2d x x ax bx c ++⎰＝221d ln 22b x ax bx c a a ax bx c++-++⎰(0)a >的积分 31．＝1arshxC a+＝ln(x C ++ 32．C +33．xC34．x＝C +35．2x2ln(2a x C ++ 36．2x ⎰＝ln(x C +++37．1C a + 38．2C a x -+ 39．x2ln(2a x C ++40．x ＝2243(25ln(88x x a a x C +++41．x ⎰C42．xx ⎰＝422(2ln(88x a x a x C +++43．x a C +44．2d x x ⎰＝ln(x C x-+++(0)a >的积分45．＝1arch x xC x a+=ln x C ++ 46．C +47．x C48．x ＝C +49．2x 2ln 2a x C ++50．2x ⎰＝ln x C +++51．1arccos aC a x+52．2C a x +53．x 2ln 2a x C +54．x ＝2243(25ln 88x x a a x C -++55．x ⎰C56．xx ⎰＝422(2ln 88x a x a x C -++57．d x x⎰arccos a a C x -+58．x ＝ln x C +++(0)a >的积分 59．＝arcsinxC a+ 60．C +61．x ＝C +62．x C +63．2x ＝2arcsin 2a x C a + 64．2x ⎰arcsinxC a-+65．1lna C a x +66．C +67．x 2arcsin 2a x C a+68．x ＝2243(52arcsin 88x x a x a C a -+69．x ⎰＝C70．xx ⎰＝422(2arcsin 88x a x x a C a-++71．x a C72．2d x x ⎰＝arcsin xC x a--+(0)a >的积分73．2ax b C +++74．x2n 2a x b c C++++75．xn 2a x b c C-+++ 76．＝C +77．x 2C ++78．x ＝C +79．x ＝((x b b a C --+80．x ＝((x b b a C --81．C()a b <82．x 2()4b a C -()a b < （十一）含有三角函数的积分 83．sin d x x ⎰＝cos x C -+ 84．cos d x x ⎰＝sin x C + 85．tan d x x ⎰＝ln cos x C -+ 86．cot d x x ⎰＝ln sin x C + 87．sec d x x ⎰＝ln tan()42xC π++＝ln sec tan x x C ++ 88．csc d x x ⎰＝ln tan2xC +＝ln csc cot x x C -+ 89．2sec d x x ⎰＝tan x C + 90．2csc d x x ⎰＝cot x C -+ 91．sec tan d x x x ⎰＝sec x C + 92．csc cot d x x x ⎰＝csc x C -+93．2sin d x x ⎰＝1sin 224x x C -+ 94．2cos d x x ⎰＝1sin 224x x C ++95．sin d nx x ⎰＝1211sin cos sin d n n n x x x x n n----+⎰ 96．cos d nx x ⎰＝1211cos sin cos d n n n x x x x n n---+⎰ 97．d sin n x x ⎰＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n xn x n x ----⋅+--⎰98．d cos n x x ⎰＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n xn x n x---⋅+--⎰99．cos sin d m nx x x ⎰＝11211cos sin cos sin d m n m n m x x x x x m n m n -+--+++⎰ ＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n +----+++⎰100．sin cos d ax bx x ⎰＝11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b -+--++-101．sin sin d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b -++-++-102．cos cos d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++-++-103．d sin xa b x +⎰tan xa b C ++22()a b >104．d sin x a b x +⎰C+22()a b <105．d cos x a b x +⎰)2xC +22()a b >106．d cos x a b x +⎰C +22()a b <107．2222d cos sin x a x b x +⎰＝1arctan(tan )bx C ab a + 108．2222d cos sin x a x b x -⎰＝1tan ln 2tan b x a C ab b x a ++-109．sin d x ax x ⎰＝211sin cos ax x ax C a a -+ 110．2sin d x ax x ⎰＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a -+++111．cos d x ax x ⎰＝211cos sin ax x ax C a a ++112．2cos d x ax x ⎰＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a+-+（十二）含有反三角函数的积分（其中0a >）113．arcsin d x x a ⎰＝arcsin x x C a114．arcsin d x x x a ⎰＝22()arcsin 24x a x C a -+115．2arcsin d x x x a ⎰＝3221arcsin (239x x x a C a ++116．arccos d x x a ⎰＝arccosxx C a- 117．arccos d x x x a ⎰＝22()arccos 24x a x C a --118．2arccos d x x x a ⎰＝3221arccos (239x x x a C a -+119．arctand x x a ⎰＝22arctan ln()2x a x a x C a -++ 120．arctan d x x x a ⎰＝221()arctan 22x a a x x C a +-+121．2arctan d x x x a ⎰＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+++ （十三）含有指数函数的积分122．d xa x ⎰＝1ln xa C a + 123．e d axx ⎰＝1e ax C a +124．e d axx x ⎰＝21(1)e ax ax C a-+125．e d n axx x ⎰＝11e e d n ax n ax n x x x a a--⎰126．d xxa x ⎰＝21ln (ln )x x x a a C a a -+ 127．d nxx a x ⎰＝11d ln ln n x n x nx a x a x a a --⎰ 128．e sin d axbx x ⎰＝221e (sin cos )ax a bx b bx C a b -++ 129．e cos d axbx x ⎰＝221e (sin cos )ax b bx a bx C a b+++ 130．e sin d ax nbx x ⎰＝12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n--+ 22222(1)e sin d ax n n n b bx x a b n --++⎰131．e cos d ax nbx x ⎰＝12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n-++ 22222(1)e cos d axn n n b bx x a b n--++⎰ （十四）含有对数函数的积分 132．ln d x x ⎰＝ln x x x C -+133．d ln xx x ⎰＝ln ln x C +134．ln d nx x x ⎰＝111(ln )11n x x C n n +-+++135．(ln )d nx x ⎰＝1(ln )(ln )d n nx x n x x --⎰136．(ln )d m nx x x ⎰＝111(ln )(ln )d 11m n m n nx x x x x m m +--++⎰ （十五）含有双曲函数的积分 137．sh d x x ⎰＝ch x C + 138．ch d x x ⎰＝sh x C + 139．th d x x ⎰＝ln ch x C +140．2sh d x x ⎰＝1sh224x x C -++ 141．2ch d x x ⎰＝1sh224x x C ++（十六）定积分 142．cos d nx x π-π⎰＝sin d nx x π-π⎰＝0143．cos sin d mx nx x π-π⎰＝0144．cos cos d mx nx x π-π⎰＝0,,m nm n ≠⎧⎨π=⎩145．sin sin d mx nx x π-π⎰＝0,,m nm n≠⎧⎨π=⎩ 146．0sin sin d mx nx x π⎰＝0cos cos d mx nx x π⎰＝0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩147． n I ＝20sin d nx x π⎰＝20cos d n x x π⎰n I ＝21n n I n-- 1342253n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅- （n 为大于1的正奇数），1I ＝1 13312422n n n I n n --π=⋅⋅⋅⋅⋅- （n 为正偶数），0I ＝2π。

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第四章一元函数的积分及其应用
第一节不定积分
一、原函数与不定积分的概念定义1.设)(x f 是定义在某区间的已知函数，
若存在函数)(x F ，使得)
()(x f x F ='或
dx x f x dF )()(=,则称)(x F 为)(x f 的一个原函数
定义2.函数
)(x f 的全体原函数C x F +)(叫做)(x f 的不定积分，，记为:
⎰+=C x F x x f )(d )(
其中
)(x f 叫做被积函数 x x f d )(叫做被积表达式 C 叫做积分常数
“
⎰”叫做积分号
二、不定积分的性质和基本积分公式
性质1. 不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式，即
()⎰=='
⎰
x x f x x f x f x x f d )(d )(d )(d )(；.
性质2. 函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数，即
⎰+=+=⎰'C x f x f C x f x x f )()(d ,)(d )(或
性质3. 非零的常数因子可以由积分号内提出来，即
⎰≠=⎰)0(d )(d )(k x x f k x x kf .
性质4. 两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和，即
[]⎰⎰±=⎰±x x g x x f x x g x f d )(d )(d )()(
基本积分公式
(1)⎰+=C kx x k d (k 为常数) (2)C x x x ++=
⎰+1
1
1d μμμ(1-≠μ) (3)C x x x
+=⎰ln d 1 (4)⎰
+=C e dx e x x
(5)⎰
+=C a
a x a x
x
ln d
(6)⎰+=C x x x sin d cos (7)⎰
+-=C x x x cos d sin (8)⎰+=C x x x tan d sec 2 (9)⎰+-=C x x x cot d csc 2 (10)⎰+=C x x x x sec d tan sec (11)⎰+-=C x x x x csc d cot csc (12)⎰++=C x x x x tan sec ln d sec
(13)+-=C x x x x cot ln d csc (14)C x x +=arctan d 1
三、换元积分法和分部积分法定理1. 设)(x ϕ可导，并且.)(d )(⎰
+=C u F u u f 则有
C
x F x u C
u F u
u f x u x x f x x x f +=+⎰=⎰'⎰))(()
()(d )()
()
(d )]([d )()]([ϕϕϕϕϕϕϕ代回令凑微分
该方法叫第一换元积分法(integration by substitution)，也称凑微分法．定理2.设)(t x
ϕ=是可微函数且0)(≠'t ϕ，若)())((t t f ϕϕ'具有原函
数)(t F ，则
()()d x t f x x
ϕ=⎰换元
()()()()()11
d .
t x f t t t
F t C
F x C ϕϕϕϕ--='⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦⎰
积分
回代
该方法叫第二换元积分法
:
)d (的原则或及选取v v u '
1) v 容易求得 ; x v u x v u d d )2''⎰
⎰比
解题技巧: :的一般方法及选取v u '
把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的顺序,
前者为u 后者为.v '
第二节定积分概念
一、原函数与不定积分的概念二、定积分的定义和存在定理
三、定积分的几何意义与定积分的性质 1．定积分的几何意义 2. 定积分的性质性质1.=⎰±dx x g x f b a
)]()([
±⎰b a dx x f )(⎰b
a dx x g )(.
性质2.
=⎰b a
dx x kf )(k ⎰b
a dx x f )( (k 是常数).
性质3. =⎰b a
dx x f )(⎰+c a dx x f )(⎰b
c dx x f )(.
性质4.
=⎰b a
dx x f )(a b dx b
a -=⎰.
推论1. 如果在],[b a 上，则),()(x g x f ≤≤⎰b a dx x f )(⎰b a dx x g )( (a <b ).
推论2. ≤⎰b a
dx x f )(⎰b
a dx x f )(
性质5.
0)(≥⎰b a
dx x f )(b a <.
性质6. 设M 与m 分别是函数
],[)(b a x f 在上的最大值及最小值，则
≤-)(a b m ≤⎰b a dx x f )()(a b M - (b a <).
性质7 .(定积分中值定理) 如果函数
)(x f 在闭区间],[b a 上连续，
则在积分区间],[b a ]上至少存在一点ξ，使下式成立：
))(()(a b f dx x f b
a
-=⎰ξ (b a ≤≤ξ)
可积的充分条件:
定理1.上连续在函数],[)(b a x f ，则.],[)(可积在b a x f
定理2.,],[)(上有界在函数b a x f 且只有有限个间断点，则.],[)(可积在b a x f
第三节微积分基本公式一、微积分基本公式 1. 变上限函数
定义1. 设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则它在],[b a 任意一个子区间],[x a 上可积，则
⎰=
Φx
a dx t f x )()( (
b x a ≤≤)
是上限变量x
的函数，称此函数为积分上限函数，也称为变上限函数. 2. 微积分基本公式
定理2.=⎰b a
dx x f )(-)(b F )
(a F
1.定积分的换元积分法
定理3.=⎰b a dx x f )([]
dt t t f ⎰'βα
ϕϕ)()(
注：设
)(x f 在],[a a -上连续,证明
(1)若)(x f 在],[a a -为偶函数，则 ⎰-a a
dx x f )(=⎰a dx x f 0)(2；
(2)若)(x f 在],[a a -上为奇函数，则
⎰-a
a dx x f )(=0.
2.定积分的分部积分法
定理4.⎰-⎰=b a
b a
b a
vdu uv udv ][
第四节定积分的应用（这点跟高中无异，于是乎就偷懒了=v=~）一、定积分的微元法其实质是找出
A 的微元dA 的微分表达式.
二、定积分在几何中的应用 1. 平面图形的面积 ⎰
=b
a
dx
x f A )(.
2. 旋转体的体积x x A V
b
a d )(⎰=
三、定积分在物理上的应用 1.变力做功⎰=b a x x F W d )(
2.液体静压dx x xf F
b
a )(g ρ⎰=
四、定积分在医学上的应用
（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。

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